Kurvendiskussion von Polynomfunktionen Theorie: Für die weiteren Berechnungen benötigen wie die 1. f (x) und 2. f (x) Ableitung der zu untersuchenden Funktion f (x). Wir werden viele Gleichungen lösen müssen, wiederhole also am besten zuerst wie man Polynomgleichungen löst (Herausheben, Lösungsformeln, Substitution,Polynomdivison,Newtonverfahren,...). Nullstellen Die Nullstellen sind die Schnittpunkte, des Graphen der Funktion mit der x-achse. Die Nullstellen kenzeichnen die x-werte, an denen der Funktionswert 0 ist. Die Nullstellen sind die x-werte, an denen sich das Vorzeichen der Funktionswerte verändern kann. Wir setzen die Funktion gleich 0. (f (x) = 0) Extremstellen Extremstellen sind entweder lokale Minima oder Maxima (Hoch- oder Tiefpunkte). Bei den Extremstellen ändert sich das Monotonieverhalten, die Funktion geht von fallend zu steigend (Tiefpunkt), oder von steigend zu fallend (Hochpunkt) über. Die Steigung der Funktion an einem Extrempunkt ist 0. Ist die Krümmung des Extrempunktes positiv, so ist es ein Tiefpunkt, ist sie negativ so ist es ein Hochpunkt. Setze die 1. Ableitung gleich 0, die Lösungen dieser Gleichung sind die x-werte der möglichen Extrempunkte. Um die y-werte zu erhalten, setze die x-werte in die Funktion ein. Test ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt: Setze die x-werte der möglichen Extrempunkte in die 2. Ableitung ein, ist das Ergebniss: Wendestellen f (x) > 0 so ist x ein Minimum f (x) < 0 so ist x ein Maximum f (x) = 0 so ist x kein Extrempunkt, es handelt sich um einen Sattelpunkt. An der Wendestellen ändert sich das Krümmungsverhalten. Bei den Wendestellen ist die 2. Ableitung gleich 0. Setze die 2. Ableitung gleich 0, die Lösung dieser Gleichung sind die x-werte der möglichen Wendepunkte. Um die y-werte zu erhalten, setze die x-werte in die Funktion ein.
Wendetangenten Die Wendetangente ist die Tangente der Funktion an der Wendestelle. Die Wendetangente hat die gleich Steigung wie die Funktion an der Wendestelle. Die Wendetangente hat als Gerade, die Form: y = kx + d x w und y w sind die Koordinaten des Wendepunktes. k = f (x w ) d = y w k x w einsetzen in die Form y = kx + d ergibt die Wendetangente. Monotonieverhalten Das Monotonieverhalten ändert sich bei den Extremstellen, daher ändert es sich nicht in den Intervallen davor, dazwischen und danach. Das führt zu folgenden Intervallen gleicher Monotonie: ],x 1 [ ]x 1,x 2 [... ]x n, [ wobei x 1,x 2,...,x n die x-werte der Extrempunkte sind. Um die Art der Monotonie in den einzelnen Intervallen zu bestimmen, nimmt man ein beliebiges Element aus dem Intervall, und setzt es in die 1. Ableitung ein, ist das Ergebniss > 0 so ist die Funktion in diesem Intervall monoton steigend, ist das Ergebniss < 0 so ist die Funktion eben dort monoton fallend. Krümmungsverhalten Das Krümmungsverhalten ändert sich bei den Extremstellen, daher ändert es sich nicht in den Intervallen davor, dazwischen und danach. Das führt zu folgenden Intervallen gleicher Krümmung: ],x 1 [ ]x 1,x 2 [... ]x n, [ wobei x 1,x 2,...,x n die x-werte der Wendepunkte sind. Um die Art der Krümmung in den einzelnen Intervallen zu bestimmen, nimmt man ein beliebiges Element aus dem Intervall, und setzt es in die 2. Ableitung ein, ist das Ergebniss > 0 so ist die Funktion in diesem Intervall positiv gekrümmt, ist das Ergebniss < 0 so ist die Funktion eben dort negativ gekrümmt. Beispiel: 1. Führe eine Kurvendiskussion mit folgender Funktion durch :f (x) = x 3 3x + 2 Wir bestimmen zuerst die 1. und 2. Ableitung: f (x) = x 3 3x + 2 f (x) = 3x 2 3 f (x) = 6x
Nullstellen: Wir setzen die Funktion gleich 0: x 3 3x + 2 = 0 und lösen diese Gleichung. Da es sich um eine Gleichung dritten Grades handelt, und wir hoen ganzzahlige Lösungen zu nden, bestimmen wie zuerst die Teiler des konstanten Gliedes, also in unserem Fall von 2, das sind -1,1,-2 und 2. Durch Ausprobieren nden wir so unseren erste Nullstelle: also ist -1 keine Nullstelle, damit haben wir unsere 1. Nullstelle gefunden, ( 1) 3 3( 1) + 2 = 2 (1) 3 3 1 + 2 = 0 N 1 = (1/0) Um die weiteren Nullstellen zu bestimmmen führen wir eine Polynomdivison durch: ( x 3 3x + 2 ) : ( x 1 ) = x 2 + x 2 x 3 + x 2 Und setzen das Ergebniss wieder null, x 2 3x x 2 + x 2x + 2 2x 2 0 x 2 + x 2 = 0 Mit der kleinen Lösungsformel, erhalten wir die weiterne Nullstellen. x 2,3 = 1 2 ± ( 1 2 )2 + 2 Das ergibt, x 2 = 1,x 3 = 2, Die Stelle 1 ist also doppelte Nullstelle, und wir haben nur mehr eine neue Nullstelle: Extremstellen: Wir setzen die 1. Ableitung gleich 0: durch Umformen erhalten wir die beiden Lösungen: N 2 = ( 2,0) 3x 2 3 = 0 x 1 = +1,x 2 = 1 Das sind die x-werte der möglichen Extrempunkte, um die zugehörigen y-werte auszurechnen setzen wir sie in die Funktion ein, y 1 = 1 3 3 1 + 2 = 0 und y 2 = ( 1) 3 3( 1) + 2 = 2 Die beiden möglichen Extrempunkte lauten also: E 1 = (1,0) und E 2 = ( 1, 2)
Jetzt bleibt noch zu testen ob diese Punkte auch wirklich Extrempunkte sind und von welcher Art, dafür setzen wir wieder die x-werte der möglichen Extrempunkte in die 2. Ableitung ein: f (1) = 6 1 = 6 und f ( 1) = 6 1 = 6 da nun f (1) > 0 ist, ist E 1 ein Extrempunkt und im speziellen ein Tiefpunkt, aus f ( 1) < 0 folgt hingegen das E 2 zwar auch ein Extrempunkt ist, aber ein Hochpunkt. Wendepunkte: Wir setzen die 2. Ableitung gleich 0. und lösen die Gleichung 6x = 0 x = 0 Das ist der x-wert des Wendepunktes, um die zugehörigen y-werte auszurechnen setzen wir sie in die Funktion ein, Der Wendepunkt lautet: Wendetangente: daraus folgt die Gleichung der Wendetangente: Monotonieverhalten: Wir haben drei Intervalle gleichbleibender Monotonie: y 1 = 0 3 3 0 + 2 = 2 W = (0,2) k = f (0) = 3(0) 2 3 = 3 d = 2 ( 3)0 = 2 y = 3x + 2 ], 1[, ] 1,1[, ]1, [ für jedes Intervall wählen wir einen Punkt aus, und setzen ihn in die 1. Ableitung ein. f ( 2) = 3( 2) 2 3 = 9 somit ist die Funktion im Intervall ], 1[ streng monoton steigend. f (0) = 3(0) 2 3 = 3 somit ist die Funktion im Intervall ] 1,1[ streng monoton fallend. f (2) = 3(2) 2 3 = 9 somit ist die Funktion im Intervall ]1, [ streng monoton steigend. Krümmungsverhalten: Wir haben zwei Intervalle gleichbleibender Krümmung: ],0[; ]0, [ für jedes Intervall wählen wir einen Punkt aus, und setzen ihn in die 2. Ableitung ein. f ( 1) = 6( 1) = 6 somit ist die Funktion im Intervall ],0[ negativ gekrümmt. f (1) = 6(1) = 6 somit ist die Funktion im Intervall ]0, [ positiv gekrümmt.
Aufgaben: 1. f (x) = x 2 x 2 2. f (x) = x2 2 + 3x 5 2 3. (x) = x 3 6x 2 + 9x 4. f (x) = x3 4 3x 5. f (x) = x3 / 6 + x 2 6. f (x) = x 3 3x 2 + 4 7. f (x) = x 3 + x 2 9 8. f (x) = 2x 3 6x 2 + 6x 9. f (x) = x3 4 3x 2 + 9x 10. f (x) = 1 4 (x 3 3x 2 9x + 27) 11. f (x) = 1 3 ( x 3 + 3x 2 + 9x + 5) 12. f (x) = 1 4 (x 3 3x 2 + 20) 13. f (x) = 1 2 (x 3 3x 2 + 4x + 8) 14. f (x) = 1 2 (x 3 + x 2 x 1) 15. f (x) = 1 2 (x 4 6x 2 + 9) 16. f (x) = x 4 /16 3x 2 /2 + 5 17. f (x) = x 4 /2 + x 2 + 4 18. f (x) = x 4 /8 3x 3 /2 + 6x 2 8x 19. f (x) = 1/12(3x 4 22x 3 + 36x 2 ) Lösungen: 1. N 1 = ( 1/0), N 2 = (2/0), T = (0,5/ 2,25) 2. N 1 = (1/0), N 2 = (5/0), H = (3/2) 3. N 1 = (0/0), N 2 = T = (3/0), H = (1/4), W = (2/2), t : y = 3x + 8 4. N 1 = W 1 = (0/0), N 2 = (4/0), H = (3/6,75), W 2 = (2/4), t 1 : y = 0, t 2 : y = 4x 4 5. N 1 = W = (0/0), N 2,3 = (± 12/0), T = (2/ 4), H = ( 2/4), t : y = 3x 6. N 1 = T = (0/0), N 2 = ( 6/0), H = ( 4/51/3), W = ( 2/22/3), t : y = 2x 4/3 7. N 1 = ( 1/0), N 2 = T = (2/0), H = (0/4),W = (1/2), t : y = 3x + 5 8. N = (2/0), W = (0/ 9), t : y = x/2 9 9. N = (0/0), W = (1/2), t : y = 2 10. N 1 = (0/0), N 2 = T = (6/0),H = (2/8),W = (4/4), t : y = 3x + 16 11. N 1 = T = (3/0), N 2 = ( 3/0), H = ( 1/8), W = (1/4), t : y = 3x + 7 12. N 1 = T = ( 1/0), N 2 = (5/0), H = (3/102/3), W = (1/51/3), t : y = 4x + 4/3
13. N = ( 2/0), H = (0/5), T = (2/4), W = (1/4,5), t : y = 0,75x + 5,25 14. N = ( 1/0), W = (1/5), t : y = x/2 + 4,5 15. N 1 = H = ( 1/0), N 2 = (1/0), T = (1/3/ 16/27), W ( 1/3/ 8/27), t : y = 2/3x 14/27 16. N 1,2 = T 1,2(± 3/0), H = (0/4,5), W 1,2 = (±1/2), t : y = / + 4x + 6 17. N 1,2 = W 1,2 = (±2/0), N 3,4 = (± 20/0), T 1,2 = (± 12/ 4), H = (0/5), t : y = / + 4x + 8 18. N 1,2 = (±2/0), T = (0/4), H 1,2 = (±1/4,5), W 1,2 = (±0,58/4,28), t 1,2 : y = ±0,77x + 3,83 19. N 1 = (0/0), N 2 = W 1(4/0), T = (1/ 3,375), W 2 = (2/ 2), t 1 : y = 0, t 2 : y = 2x 6 20. N 1 = T 1 (0/0), N 2 = (2,46/0), N 3 (4,87/0), T 2 (4/ 5,33), H = (1,5/1,83), W 1 = (0,67/0,84), W 2 = (3/ 2,25), t 1 : y = 1,85x 0,40, t2 : y = 4,5x + 11,25