Daten und Zufall im Mathematikunterricht Mit neuen Medien verständlich erklärt

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2 Andreas Pallack / Ursula Schmidt (Hrsg.) Daten und Zufall im Mathematikunterricht Mit neuen Medien verständlich erklärt

3 Bildquellen: S. 7: mit freundlicher Genehmigung von Sven Plöger; S. 69 Bild unten: HoRa 2000 E; alle übrigen Fotos: Herausgeber und Autoren Webcode: Sie können die Kopiervorlagen aus dem Internet als pdf-datei herunterladen. Sie finden dazu eine Zahlenkombination unten auf der jeweiligen Buchseite. Geben Sie diese unter de/webcodes ein. Achten sie bitte darauf, dass beim Ausdrucken bei Seitenanpassung In Druckbereich einpassen gewählt ist, damit Sie eine DIN-A4-Seite erhalten. Für das interaktive Onlineangebot finden Sie die Zahlenkombination auch auf der jeweiligen Buchseite. Im Buch sowie den Kopiervorlagen und insbesondere im interaktiven Onlineangebot wurde das TI-Nspire CX CAS Handheld mit entsprechender PC-Software verwendet. Beide Produkte sind eingetragene Warenzeichen von Texas Instruments. Projektleitung: Gabriele Teubner-Nicolai, Berlin Redaktion: Jürgen Grimm, Braunschweig Graphik: Fromm MediaDesign, Selters im Taunus Umschlaggestaltung: Magdalene Krumbeck, Wuppertal Umschlagfoto: shutterstock.com Layout/technische Umsetzung: Fromm MediaDesign, Selters im Taunus Nicht in allen Fällen war es uns möglich, die Rechteinhaber ausfindig zu machen. Berechtigte Ansprüche werden selbstverständlich im Rahmen der üblichen Vereinbarungen abgegolten. Wir bitten um Verständnis. Die Links zu externen Webseiten Dritter, die in diesem Titel angegeben sind, wurden vor Drucklegung sorgfältig auf ihre Aktualität geprüft. Der Verlag übernimmt keine Gewähr für die Aktualität und den Inhalt dieser Seiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind. 1. Auflage Cornelsen Verlag, Berlin Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu den 46, 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Druck: CPI Clausen & Bosse, Leck ISBN L Inhalt gedruckt auf säurefreiem Papier aus nachhaltiger Forstwirtschaft.

4 Inhalt Einleitung (Pallack) Daten und Zufall mit digitalen Werkzeugen untersuchen(pallack) Die Leitidee Daten und Zufall (Schmidt) Wie verschafft man sich einen Überblick? (Pallack) Daten graphisch darstellen Kopiervorlage: Daten erheben und auswerten Onlineangebot Gibt es mehr als eine Mitte? (Langlotz, Zappe, Pallack) Arithmetisches Mittel und Median Kopiervorlage: Anzahlen schätzen Onlineangebot Kann man allem, was man sieht, trauen? (Brode, Malik) Manipulation des Informationsgehalts von Diagrammen Kopiervorlage: Fußballstatistik Onlineangebot Kann weniger und weniger mehr sein? (Pallack) Relative Häufigkeiten berechnen und deuten Kopiervorlage: Neueinführung eines Menüs Onlineangebot Auf was soll ich wetten? (Pallack) Wahrscheinlichkeiten bestimmen Kopiervorlage: Mal anders würfeln? Onlineangebot Bin ich ein Zufallsgenerator? (Grabinger, Pallack) Umgang mit subjektiven Wahrscheinlichkeiten Kopiervorlage: Bin ich ein Zufallsgenerator? Onlineangebot Wo liegen die meisten Werte? (Pallack) Boxplots erstellen Kopiervorlage: Friseurbesuch Onlineangebot Wie wahrscheinlich ist es, mehr als einmal zu treffen? (Schmidt) Mehrstufige Zufallsversuche Kopiervorlage: Biathlon Onlineangebot Inhalt 5

5 11 Wann muss man um die Ecke denken? (Pallack, Langlotz, Schmidt) Bedingte Wahrscheinlichkeiten Kopiervorlage: Inhalt einer Urne analysieren Onlineangebot Wer ist besser und wer ist näher dran? (Schmidt) Streuung von Daten Kopiervorlage: Schulwege Onlineangebot Gibt es da einen Zusammenhang? (Brode, Malik) Modellierung von Trends mit linearer Regression Kopiervorlage: Vergleich von Körper- und Schuhgröße Onlineangebot Wie stark hängen zwei Datenreihen zusammen? (Hüllen, Schmidt) Korrelationen bestimmen Kopiervorlage: Zusammenhängen auf der Spur Onlineangebot Welches Muster ergibt sich durch Zufall? (Grabinger, Pallack) Die Binomialverteilung Kopiervorlage: Mäuselabyrinth Onlineangebot Wie sicher ist eine Behauptung? (Schmidt) Hypothesentests Kopiervorlage: Mit Quadern würfeln Onlineangebot Wie erfahre ich etwas über viele Leute? (Schmidt) Wahrscheinlichkeiten schätzen Kopiervorlage: Von der Stichprobe zur Gesamtheit Onlineangebot Sind glockenförmige Verteilungen normal? (Schmidt) Normalverteilungen Kopiervorlage: Binomialverteilungen unter die Glocke bringen Onlineangebot Wie kann man Meeresschildkröten retten? (Schmidt) Übergangsmatrizen Kopiervorlage: Meeresschildkröten Onlineangebot Wie würfelt ein Computer? (Grabinger, Pallack) Hintergrundwissen Zufallszahlen Wie man Zufallszahlen erzeugt Lineare Kongruenzgeneratoren Literatur Inhalt

6 7 Auf was soll ich wetten? Wahrscheinlichkeiten bestimmen Mit Wahrscheinlichkeiten kann man das langfristige Verhalten eines Zufallsgeräts prognostizieren. Wir überschreiten in diesem Kapitel die Grenze von Daten zum Zufall. Wahrscheinlichkeiten sind keinesfalls so handfest wie relative Häufigkeiten, sondern theoretische Größen, denen man sich im Unterricht im Wesentlichen auf zwei Wegen nähern kann: 1. durch die (theoretische) Analyse von Zufallsgeräten 2. durch Serien von Zufallsversuchen mit dem Zufallsgerät Beispiel Als Zufallsgerät stehen eine Münze und ein Kronkorken, der vorsichtig von einer Flasche entfernt wurde, zur Verfügung. Sie sollen einmal geworfen werden. Würdest du eher auf Kopf bei der Münze oder die Innenseite des Kronkorkens wetten? Laplace- Experiment Beim Kronkorken könnte man annehmen, dass er mit einer größeren Wahrscheinlichkeit auf der gezackten Seite landet, da der Rand den größeren Radius hat. Andererseits ist die bedruckte Seite abgerundet, so dass der Kronkorken möglicherweise häufiger auf dieser Seite landen könnte. Dies sind nur Beispiele für mögliche Begründungen, eine Theorie des Kronkorkenwurfs ist uns nicht bekannt. Die Münze weist in der Regel eine ausgezeichnete Symmetrie auf. Deshalb muss man sie nicht 100-mal werfen, sondern ordnet jeder Seite direkt die Wahrscheinlichkeit 1_ 2 zu. Bei 100 Würfen mit dem Kronkorken landete er in 40 Fällen mit der Innenseite nach oben. Ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit ist also 40/100. Man sollte also auf die Münze wetten. Als Ereignis E bezeichnet man eine Menge von Ergebnissen, z. B. die Menge aller geraden Zahlen beim Würfeln mit einem Spielwürfel. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E eintritt, ist P(E) = 3_ 6 = 1_ 2. Können die Eigenschaften eines Zufallsgeräts gut beschrieben werden und erscheinen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, spricht man von einem Laplace-Experiment. Für jedes Ereignis kann man die Wahrscheinlichkeit angeben: P(E) = Anzahl der Elemente von E, Anzahl der Elemente von Ω wobei E die günstigen und Ω alle (endlich viele) Ergebnisse enthält Auf was soll ich wetten?

7 Ist das nicht möglich, kann man mithilfe von Zufallsexperimenten einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit angeben. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ist immer gleich 1. Das Wissen um die Wahrscheinlichkeit ist für das Wetten wichtig (Präperspektive), bietet aber trotzdem keine Sicherheit (Postperspektive). Jedes Spiel ist einmalig, die Versuche sind voneinander unabhängig und bei einer Wiederholung unter gleichen Bedingungen ist jedes Ergebnis möglich. Eichler & Vogel (2009, 160) sprechen im Zusammenhang mit der Endlichkeit der möglichen Versuche von einer unangenehmen Unsicherheit. Dieses oder ein vergleichbares Gefühl sollte im Unterricht entstehen, bevor man den Begriff der Wahrscheinlichkeit definiert. Eine sprachliche Definition, die man gemeinsam mit Schülern entwickelt, könnte z. B. lauten: Die Ergebnisse von Experimenten mit Zufallsgeräten kann man nicht exakt vorhersagen. Jedoch kann man den Ergebnissen, z. B. durch das Betrachten von Symmetrien oder Daten zu den Zufallsgeräten, Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Angemessen gewählte Wahrscheinlichkeiten beschreiben das Verhalten des Zufallsgeräts auf lange Sicht gut. Mit Wahrscheinlichkeiten kann man jedoch keine Ergebnisse vorhersagen. Ausnahmen sind das sichere Ereignis (p = 1) oder das unmögliche Ereignis (p = 0). Die Rolle des Rechners Bei der Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs ist der Umgang mit realen Zufallsgeräten sehr wichtig. Sind jedoch Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeit festgelegt, bekommt der Rechner eine große Bedeutung, da er es erlaubt, viele Experimente in kurzer Zeit durchzuführen. Man kann so früh der Fehlvorstellung entgegenwirken, dass Zufallsgeräte ein Gedächtnis haben ( irgendwann muss ja der Kopf fallen ), was für die Behandlung mehrstufiger Zufallsversuche (Stichwort: stochastische Unabhängigkeit) unverzichtbar ist. Der Rechner sollte einerseits zur Auswertung der Zufallsversuche genutzt werden eine Funktionalität, die die Schüler bereits kennengelernt haben. Neu ist hingegen das Durchführen von Simulationen mithilfe von Zufallszahlen. Die Beschränkung auf einige wenige Zufallsgeräte und Versuchswiederholungen kann damit aufgehoben werden natürlich verknüpft mit dem Nachteil, dass man vorher Wahrscheinlichkeiten angeben muss. Wahrscheinlichkeiten bestimmen 51

8 Kopiervorlage Mal anders würfeln? Maria und Dominik wollen das Mensch-ärgere-dich-nicht -Spiel ein wenig aufpeppen und mit anderen Würfeln spielen. Eigentlich braucht man eine 6, um auf das Spielfeld zu kommen. Sie wollen stattdessen abwechselnd eines der abgebildeten Zufallsgeräte wählen lassen. Ein Holz-Quader mit den Augenzahlen von 1 bis 6 wird wie ein Würfel geworfen. Man kommt auf das Spielfeld, wenn die 5 fällt. Drei Plättchen mit der Aufschrift O, M und A. Sie werden in ein Säckchen gesteckt und nacheinander gezogen. Als neue 6 gilt die Buchstabenfolge OMA. Ein Glücksrad mit den Einteilungen wie im Bild. Der Pfeil wird gedreht man darf auf das Spielfeld, wenn der Pfeil auf das helle Feld zeigt. Fünf rote und eine gelbe Kugel, die ebenfalls in ein Säckchen gesteckt werden. Es wird genau eine Kugel verdeckt gezogen. Ins Spiel darf man, wenn man die gelbe Kugel zieht. Cornelsen Verlag, Berlin Daten und Zufall a) Probiert jedes Zufallsgerät einmal(!) aus. Welche neue 6 würdest du als Spieler wählen? Begründe deine Antwort. b) Du darfst nun ein Zufallsgerät rund 15 Minuten testen und dann erneut wählen. Welches Zufallsgerät soll ausprobiert werden? Formuliert vorab eine Frage, die der Versuch beantworten kann/soll. c) Gib Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse Augenzahl 5, Buchstabenfolge OMA, Helles Feld, Gelbe Kugel an. d) Auch für das eigentliche Spiel sollen statt eines Würfels andere Zufallsgeräte genutzt werden. Welche Zufallsgeräte könnten ein Mensch-ärgere-dich-nicht -Spiel besonders interessant, welche besonders langweilig machen? 52 7 Auf was soll ich wetten? Webcode: ZM

9 Information und Kommentar Zu den Zufallsgeräten: Unser Holz-Quader hat die Abmessungen 2 cm, 2 cm und 2,5 cm. Das Glücksrad ist in 4 Sektoren zu 1_ 2, 1_ 4, 1_ 8 und 1_ 8 unterteilt. Die Zufallsgeräte lassen sich vergleichsweise leicht selbst zusammen- bzw. herstellen. Ein Glücksrad lässt sich aus verschiedenen Materialien herstellen, z. B. kann man den Zeiger durch eine Flasche ersetzen und den Gewinn-Bereich mit Klebeband auf dem Boden markieren. Einen Quader kann man von einer Latte absägen oder aus fester Pappe herstellen. Die Säckchen mit den Kugeln oder Buchstabenplättchen erklären sich von selbst. Die Aufgabe zielt primär darauf ab, die beiden eingangs beschriebenen Zugänge zum Begriff der Wahrscheinlichkeit gegenüberzustellen und natürlich auch miteinander zu vereinbaren. a) Da jedes Zufallsgerät nur einmal ausprobiert werden darf, möglichst im Plenum, ist die Aussagekraft der Experimente eher gering. In der Regel werden die Schüler recht schnell beginnen zu spekulieren. Die Diskussion bereitet Teil b) wesentlich vor. b) Glücksrad und Urne (hier: Säckchen) sind vergleichsweise leicht zu beschreiben. Ziehen aus einer Urne und Drehen eines Glücksrads (bei gleicher Größe der Felder) sind klassische Laplace-Experimente. Das Ziehen der Buchstabenplättchen lässt sich im Kopf leicht durchführen. Sollten sich Lernende für die Analyse dieses Zufallsgeräts entscheiden, sind 15 Minuten vergleichsweise hoch angesetzt. Die Menge der Ergebnisse ist beschränkt und sämtliche Ergebnisse (OMA, MAO, AOM, AMO, MOA, OAM) sind gleichwahrscheinlich. Es handelt sich um ein La place- Experiment. Am wenigsten weiß man wohl über den Quader. Dieser entzieht sich einer theoretischen Analyse zwar nicht vollständig, jedoch in weiten Teilen (vertiefende Informationen zur theoretischen Analyse solcher Quader findet man in Riemer & Stoyan (2011)). Man findet einige Symmetrien. Die Augenzahlen 1, 3, 4 und 6 sollten deswegen gleichwahrscheinlich sein ebenso wie 5 und 2, die sich gegenüberliegen. 5 und 2 sollten mit einer Wahrscheinlichkeit von kleiner als 1_ fallen. Die anderen Augenzahlen entsprechend mit einer größeren Wahrscheinlichkeit. Diese Überlegung sollte man 6 mit den Schülern aber erst im zweiten Schritt anstellen, nachdem bereits Erfahrungen mit dem Zufallsgerät gewonnen wurden. Der Quader wurde insgesamt 100-mal geworfen und die Ergebnisse mit Hilfe einer Tabellenkalkulation erfasst und ausgewertet. Zufallsgeräte basteln und ausprobieren Wahrscheinlichkeiten bestimmen 53

10 Formeln für eine Tabellenkalkulation In Spalte A wurden die Ergebnisse der Versuche eingetragen. In den Zellen C1 bis H1 stehen die möglichen Ergebnisse. Die Anzahl der Einsen werden hier mit der Formel ZÄHLENWENN; im englischen COUNTIF automatisch gezählt. Damit die Zelladressen beim Kopieren in die Zellen C2 bis H2 nicht verändert werden, wird in der Formel der zu durchsuchende Bereich ($A1:$A100) mit $-Zeichen vor dem A versehen. Die zusammengefassten Ereignisse wurden in den Zellen E4 und E5 berechnet. Als Resultat erhält man die (vorläufige) Schätzung einer Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 5 fällt, die sich durch größere Fallzahlen verfeinern ließen. Je nachdem welcher Argumentation man folgt, erhält man 8 % (bei 100 Würfen ist insgesamt 8-mal die 5 gefallen) oder 7 % (bei 100 Würfen ist insgesamt 14-mal eine der Seiten mit dem kleinen Flächeninhalt gefallen). Riemer & Stoyan (2011, 210) kommen für einen ähnlichen Quader (2,1 cm, 2 cm, 2,3 cm) auf Werte in der gleichen Größenordnung, rund 10 %. c) In diesem Aufgabenteil wird das erste Mal der Begriff Wahrscheinlichkeit verwendet. Man sollte ihn im obigen Sinne bewusst und deutlich zu der Berechnung relativer Häufigkeiten kontrastieren. Wir schlagen für die Zufallsgeräte folgende Wahrscheinlichkeiten vor: P( 5 fällt ) = 8 % P( OMA ) = 1_ 6 16,7 % P( helles Feld ) = 1_ 8 = 12,5 % P( gelbe Kugel ) = 1_ 6 16,7 % Als Spieler sollte man also für sich die Buchstabenplättchen oder die gelbe Kugel wählen. d) Diese recht offene Aufgabe verbindet den Spielgedanken mit der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen. Jeder, der schon einmal Mensch-ärgeredich-nicht gespielt hat, weiß, wie nervig es ist, beim dreimaligen Würfeln keine 6 zu bekommen. Würde man nun z. B. die 5 des Quaders verwenden, gäbe es lange Serien von Würfen mit Nieten Auf was soll ich wetten?

11 Je nachdem wie das Spiel gestaltet wird, kann das natürlich auch gerade spannend sein. Schließlich fällt bei diesem Quader die 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von 21 %. Simuliert wurde hier (mit TI-Nspire ) der 10-fache Wurf eines Zufallsgeräts, das mit der Wahrscheinlichkeit 8 % 1 anzeigt und sonst 0. Für Spannung können Zufallsgeräte sorgen, die ihre Wahrscheinlich keit im Laufe des Spiels ändern (z. B. eine Urne mit 6 weißen und 6 mit Zahlen beschrifteten Kugeln). Die weißen werden nicht zurückgelegt und zählen als Niete, die beschrifteten werden wie Würfelaugen gezählt und jeweils zurückgelegt. Onlineangebot Hier können Sie einige der in der Kopiervorlage beschriebenen Experimente simulieren. Sie lernen dabei unterschiedliche Möglichkeiten kennen, Zufallszahlen zu erzeugen bzw. aus einer Liste zu ziehen. In den folgenden Beschreibungen finden Sie auch Bedienhinweise für Tabellenkalkulationen (außer Experiment 3). webcodes Glücksspiele simulieren 1. Experiment: Dreimaliges Würfeln mit einem Spielwürfel Links sehen Sie die Umsetzung mit TI-Nspire. In anderen Tabellenkalkulationen können Sie ganzzahlige Zufallszahlen von 1 bis 6 mit dem Befehl = GANZZAHL(6*ZUFALLSZAHL() + 1) erzeugen. Diese Formel schreiben Sie in die Zellen A1 und kopieren sie nach A2 und A3. 2. Experiment: Würfeln mit dem Quader. Die Ergebnisse 2 und 5 fallen mit der Wahrscheinlichkeit von 8 %, die Ergebnisse 1, 3, 4 und 6 mit der Wahrscheinlichkeit von 21 %. Webcode: ZM Wahrscheinlichkeiten bestimmen 55

12 In vielen Tabellenkalkulationen erzeugen Sie eine Zufallszahl z aus dem Intervall 0 z < 1 mit dem Befehl =ZUFALLSZAHL(). Diese Formel tragen Sie in A1 ein und kopieren sie nach unten. Die Anzahl der Einsen bestimmen Sie mit der Formel =ZÄHLENWENN(A1:A100;"<=0,21"). In der Abbildung sehen Sie die Umsetzung mit TI-Nspire der Zählbefehl lautet hier countif(.). 3. Experiment: Ziehen aus dem Säckchen mit den Plättchen O, M, A. Dabei werden zwei Varianten (ohne Zurücklegen und mit Zurücklegen) berücksichtigt. Das Experiment läuft nach dem Starten vollständig automatisiert ab. Es bietet sich deswegen nicht an, mit dieser Simulation zu beginnen. Sie kann vielmehr eingesetzt werden, um theoretische Überlegungen zu unterstützen oder um Verständnisschwierigkeiten aufzudecken. Die prozentuale Auswertung erhalten Sie, wenn Sie mit dem Mauszeiger auf die entsprechenden Balken gehen Auf was soll ich wetten? Webcode: ZM

13 Wie sicher ist eine Behauptung? 16 Hypothesentests Eine Möglichkeit, ins Testen einzuführen und Testen als Methode zur Entscheidungsfindung zu erleben, kann die Diskussion über ein aktuelles kommunales Problem sein, bei dem sich zwei Parteien mit gegensätzlichen Interessen gegenüberstehen. Beispiel Im Zuge der Umgestaltung der Innenstadt wurde eine herkömm liche Straße zu einem durchgehend gepflasterten Platz ausgedehnt, den sich Fußgänger, Radfahrer und Autofahrer als gleichberechtigte Verkehrsteilnehmer teilen sollen. Deshalb gibt es eine Geschwin digkeitsbegrenzung auf Tempo 10 km/h. Seit der Eröffnung dieses Platzes gehen bei der Stadtverwaltung ständig Beschwerden darüber ein, dass die meisten Autos zu schnell fahren. Eine Verkäuferin, die das Verkehrsgeschehen in den letzten Monaten beobachtet hat, behauptet stellvertretend für viele Bürger: Höchstens 15 % aller Verkehrsteilnehmer halten die vorgegebene Geschwindigkeit von 10 km/h ein. Die Opposition im Stadtrat fordert die Einrichtung eines Zebrastreifens. Die Stadtverwaltung lehnt das ab mit der Behauptung, dass nach ihren Beobachtungen der größte Teil der Autofahrer nicht übermäßig schnell fährt. Die Situation ist typisch für viele Diskussionsprozesse, die damit enden, dass zwei gegensätzliche Behauptungen im Raum stehen. Jede der beiden Parteien kann unterschiedliche Absichten verfolgen: entweder ist ihr Ziel, die eigene Behauptung abzusichern oder sie möchte die Behauptung des Gegners widerlegen. Da kann es helfen, anhand einer Stichprobe die Behauptungen zu überprüfen. In dem Streit um die Einrichtung eines Zebrastreifens hat die Stadtverwaltung an einem typischen Donnerstag zwischen 7 und 21 Uhr eine Geschwindigkeitsmessung an allen Verkehrsteilnehmern durchgeführt. Geschwindigkeit in km/h mehr als 50 Anzahl Hypothesentests 113

14 Hypothesen bilden Das Messgerät konnte zwar alle Werte automatisch aufnehmen, es hat aber aus technischen Gründen die Werte zwischen 0 und 20 km/h zusammengefasst. Die Stadtverwaltung sieht sich in ihrer Auffassung bestätigt: Die Messwerte zeigen, dass 76 % aller Verkehrsteilnehmer langsamer als 20 km/h sind. Die Bürger, die sich beschwert haben, wollen dies aber nicht als Antwort auf ihr Anliegen akzeptieren. Schließlich geht es um eine Geschwindigkeitsbegrenzung auf 10 km/h. Um ihre Behauptung zu stützen, dass sich höchstens 15 % der Verkehrsteilnehmer an diese Geschwindigkeitsbegrenzung halten, beschließen sie eine eigene Messung durchzuführen. Dazu wollen sie an einem Wochentag zwischen 10 und 12 Uhr eine Messstrecke von 10 m Länge auf dem Platz markieren, die Durchfahrzeiten von 200 Fahrzeugen stoppen und daraus die Geschwindigkeiten berechnen. Gezählt werden soll, wie viele Fahrzeuge die Geschwindig keitsbegrenzung einhalten. Die Auswahl der Fahrzeuge ist zufällig ( Was vorbeikommt, wird gemessen! ). Wenn die Bürger Recht haben, würde man erwarten, dass sich höchstens 30 (= 15 % der 200) Fahrzeuge an die vorgegebene Geschwindigkeitsbegrenzung halten. Wenn aber in der Messung mehr als 30 Fahrzeuge unter 10 km/h blieben, spräche dies gegen die Behauptung der Bürger. Dabei ergibt sich eine Schwierigkeit: Da die Stichprobe von 200 Fahrzeugen zufällig ausgewählt wird, könnte es auch rein zufällig so sein, dass gerade in dieser Stichprobe mehr als 30 Fahrzeuge die Geschwindigkeitsbegrenzung einhalten, obwohl dies ansonsten nicht der Fall ist. Die Bürger müssten dann ihre Behauptung zu Unrecht zurückziehen. Es stellt sich die Frage, ob diese Entscheidungsregel zu hart ist, wenn in der Stichprobe 31, 32, oder 33 Fahrzeuge sind. Bei welchen Ergebnissen der Stichprobe sollten die Bürger ihre Behauptung als falsch verwerfen und wie wahrscheinlich sind Fehlentscheidungen? Fassen wir noch einmal zusammen, führen dabei einige Begriffe ein und formalisieren das Verfahren ein wenig. Die Behauptung, die die Bürger hier absichern wollen, ist ihre Nullhypothese H 0 : Höchstens 15 % der Verkehrsteilnehmer halten sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 10 km/h. Die Gegenhypothese H 1 : Mehr als 15 % der Fahrzeuge halten sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 10 km/h. Mit einer Zufallsvariablen X wird gezählt, wie viele Fahrzeuge aus der Stichprobe die Geschwindigkeitsbegrenzung einhalten. Diese Wahrscheinlichkeit soll für jedes Fahrzeug gleich sein, d. h. wir gehen davon aus, dass X binomialverteilt ist. Bei einem Stichprobenumfang von n = 200 Fahrzeugen Wie sicher ist eine Behauptung?

15 und einer Trefferwahr scheinlichkeit von p = 0,15 ist der Erwartungswert μ = np = 30. Intuitiv würde man H 0 ablehnen, wenn X > 30 ist. Dabei begeht man einen Fehler, wenn zufällig X > 30, aber trotzdem p 0,15. Im Folgenden wird die Wahrscheinlichkeit für diese Fehlentscheidung P(X > 30 p 0,15) für verschiedene p 0,15 berechnet (vgl. S. 107): Fehlentscheidungen berücksichtigen Der größte Wert ergibt sich für p = 0,15; die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung kann also abgeschätzt werden durch P(X > 30 p = 0,15) 45 %. Das ist der Bürgerinitiative natürlich zu hoch, sie wollen ihre Behauptung nicht fälschlicherweise verwerfen. Eine Möglichkeit, die Fehlerwahrscheinlichkeit zu reduzieren, ist die Entscheidungsgrenze höher als 30 zu setzen. Wir berechnen deshalb P(X > g p = 0,15) für verschiedene g > 30: In der rechten Spalte stehen die Wahrscheinlichkeiten, die Nullhypothese aufgrund des Stichprobenergebnisses aufzugeben, obwohl sie eigentlich richtig ist. Die Bürgerinitiative muss sich entscheiden, welche Fehlerwahr scheinlichkeit sie noch akzeptieren würde, daraus ergibt sich der Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Wenn die Bürger ihre Behauptung verwerfen, falls mehr als 37 Fahrzeuge höchstens mit 10 km/h fahren, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich mit dieser Regel falsch entscheiden, ca. 10 %. Wenn sie die Behauptung erst verwerfen, falls mehr als 39 Fahrzeuge die Geschwindigkeitsbeschränkung einhalten, liegt die Fehlerwahrschein lichkeit sogar unter 5 %. Anders hingegen die Stadtverwaltung. Sie möchte gern die Behauptung der Bürger widerlegen und stellt deshalb diese Nullhypothese auf: H 0 : Mehr als 15 % der Verkehrsteilnehmer halten sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 10 km/h. Die Gegenhypothese H 1 ist dann: H 1 : Höchstens 15 % der Fahrzeuge halten sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 10 km/h. Perspektive wechseln Hypothesentests 115

16 Signifikanzniveau einhalten Die Stadtverwaltung wird ihre Nullhypothese dann verwerfen, wenn sich nur wenige Verkehrsteilnehmer an die Geschwindigkeits beschränkung halten. Auch hier könnte es sein, dass sich in der zufällig gewählten Stichprobe nur wenige Verkehrsteilnehmer an Tempo 10 km/h halten, obwohl dieser Anteil sonst über 15 % liegt. Die Stadtverwaltung möchte die Wahrscheinlichkeit für solch eine Fehlentscheidung von vornherein auf 5 % begrenzen. D. h. es wird eine Entscheidungsregel mit einer Grenze für den Ablehnungsbereich der Nullhypothese gesucht, die diese Bedingung erfüllt: P(X g p > 0,15) P(X g p = 0,15) 0,05. Systematisches Probieren mit dem Rechner liefert g = 21: Also: Auf dem vorgegebenen Signifikanzniveau von 5 % wird die Stadtverwaltung ihre Nullhypothese nur dann verwerfen (und sich der Behauptung der Bürger anschließen), wenn sich höchstens 21 Verkehrsteilnehmer an die Geschwindigkeitsbeschränkung halten, d. h. von den 200 getesteten Fahrzeugen mehr als 179 schneller als 10 km/h fahren. Vorgehen beim Hypothesentest Testen auf Wahrscheinlichkeiten: 1. Es wird festgelegt, welche Behauptung abgesichert werden soll. Dabei spielen Standpunkt und Interesse (Ziel) eine Rolle und werden deshalb auch angegeben. Diese Behauptung wird als Nullhypothese H 0 formuliert. Der konträre Standpunkt wird als Gegenhypothese oder Alternativhypothese H 1 formuliert. 2. Der Stichprobenumfang und die Zufallsvariable (Was wird gezählt?) werden festgelegt. 3. Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese (die Entscheidungsregel) wird festgelegt: Falls die Entscheidungsgrenze einfach gesetzt wird, berechnet man die Fehlerwahr scheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl die Behauptung in der Grundgesamtheit stimmt. Falls diese Fehlerwahrscheinlichkeit vorgegeben wird (Signifikanzniveau), wird daraus die Entscheidungsgrenze berechnet. 4. Anhand des Stichprobenergebnisses und der Entscheidungsregel wird über die Ablehnung oder das Beibehalten der Nullhypothese entschieden. Das Beispiel führt anhand eines Problems aus der Alltagswelt der Schüler in einige grundsätzliche Ideen des Hypothesentests ein und erklärt erste Be Wie sicher ist eine Behauptung?

17 griffe. Es steht exemplarisch dafür, wie man mit etwas Recherche in der Lokalzeitung oder im Fernsehen (Kontexte: Wahlen, Werbung, Wetten dass?, usw.) aktuelle Beispiele finden kann, die im Unterricht entsprechend diskutiert werden können. Man spricht von einem rechtsseitigen Test, wenn die Nullhypothese für große Werte der Zufallsvariablen (X g) abgelehnt wird (hier: Sicht der Bürger) und von einem linksseitigen Test, wenn die Nullhypothese für kleine Werte der Zufallsvariablen (X g) verworfen wird (hier: Sicht der Stadtverwaltung). Anhand des Beispiels auf der Kopiervorlage wird ein zweiseitiger Test erläutert. Es gibt keine eindeutigen Hinweise darauf, welche Variante für den Einstieg in den Unterricht besonders geeignet ist. Wichtig ist vor allem, dass das Testschema nicht zu früh formalisiert wird, sondern die Schüler ausreichend Zeit bekommen, die Hypothesenformulierung unter den Aspekten Standpunkt und Interesse (Ziel) ausführlich zu diskutieren, die möglichen Fehlentscheidungen zu benennen und inhaltlich zu diskutieren, darauf einzugehen, warum eine Nullhypothese nicht bewiesen werden, sondern nur verworfen oder beibehalten werden kann. Wenn die Logik des Testens hinreichend verstanden wurde, kann eine Darstellung in Form einer Tabelle eingeführt werden. Entscheidung für p wie in H 0 H 1 Fehler 1. Art Fehlerwahrscheinlichkeit α reale Situation p wie in H 1 richtige Entscheidung H 0 richtige Entscheidung Fehler 2. Art Fehlerwahrscheinlichkeit β Dies ist die Tabelle für den Test aus Sicht der Stadtverwaltung: Entscheidung für H 1 (X g) H 0 (X > g) reale Situation p > 0,15 p 0,15 Fehler 1. Art α = P(X g p > 0,15) richtige Entscheidung richtige Entscheidung Fehler 2. Art β = P(X > g p 0,15) Dabei ist g die Entscheidungsgrenze (s. oben) und α max wurde in obigem Beispiel gleich 5 % gesetzt. Hypothesentests 117

18 Die Rolle des Rechners Der Rechner wird bei Hypothesentests vor allem genutzt, um die Werte der Binomialverteilungen zu berechnen (vgl. S. 107) und rasch durch systematisches Probieren zu Entscheidungsregeln auf dem gewünschten Signifikanzniveau zu gelangen. Eine weitere Funktion ist die Veranschaulichung der Ablehnungs- und Annahmebereiche der Nullhypothese. Für das oben genannte Beispiel wurden in einer Tabellenkalkulation alle Werte der Binomialverteilung mit n = 200 und p = 0,15 berechnet und das Histogramm dieser Verteilung erstellt. Markiert ist der Ablehnungsbereich der Nullhypothese aus Sicht der Stadtverwaltung. Weiter kann der Rechner genutzt werden, um das Ziehen der Stichprobe zu simulieren. Diese Funktion wird in der Aufgabe auf der Kopiervorlage thematisiert Wie sicher ist eine Behauptung?

19 Kopiervorlage Mit Quadern würfeln Lenas Tischgruppe bekommt im Unterricht diese quaderförmigen Würfel. Die Schüler sollen die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgeräte durch häufiges Würfeln schätzen. Lena behauptet: Je größer eine Seite des Quaders ist, desto größer ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass er auf diese Seite fällt. Wir müssen also gar nicht würfeln, sondern können die Wahrschein lichkeiten ausrechnen. Sie sind proportional zu den Flächeninhalten. Die vier anderen Mitglieder aus ihrer Arbeitsgruppe sind aber skeptisch oder haben keine Lust zu rechnen. Sie beschließen, dass jeder von ihnen 125-mal würfelt, während Lena rechnet. a) Ein Quaderwürfel hat die Maße 1,4 cm x 2 cm x 2,8 cm. Bestimmen Sie für den Fall, dass Lena mit ihrer Behauptung Recht hat, die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der Würfel auf eine große, eine mittlere und eine kleine Seitenfläche fällt. b) Lena möchte gerne die 500 Würfelergebnisse der anderen nutzen, um ihre Vermutung zu testen. Geben Sie für die große, die mittlere und die kleine Seitenfläche jeweils eine Entscheidungsregel an, nach der Lena ihre Vermutung verwerfen oder beibehalten wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie aufgrund der Stichprobenergebnisse ihre Vermutung für falsch hält, obwohl sie eigentlich stimmt, soll jeweils auf maximal 5 % begrenzt werden. c) Die Würfelergebnisse lauten bei n = 500 Würfen: Cornelsen Verlag, Berlin Daten und Zufall absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs ,60% 6,80% 18,80% 17,00% 26,00% 27,80% Wie muss man Lenas Vermutung aufgrund der Entscheidungsregeln aus b) beurteilen? Webcode: ZM Wie sicher ist eine Behauptung? 119

20 Information und Kommentar Das Beispiel der Kopiervorlage soll den Umgang mit einer Forschungshypothese nachstellen. Lena steht hier stellvertretend für viele Schüler, die nach einigen Würfelversuchen ganz intuitiv sagen: Je größer die Fläche, desto wahrscheinlicher das Ergebnis. Sie hat für sich eine Theorie entwickelt, mit der sie die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Ergebnisse bei einem Quaderwürfel bestimmen kann. Diese Theorie möchte sie nur dann aufgeben, wenn die Würfelergebnisse ihrer Mitschüler signifikant dagegen sprechen. Lösungen zu a) Der Quaderwürfel hat die Maße 1,4 cm 2 cm 2,8 cm. Die Seitenflächen haben damit die Flächeninhalte: A 1 = 1,4 cm 2 cm = 2,8 cm 2 A 2 = 1,4 cm 2,8 cm = 3,92 cm 2 A 3 = 2 cm 2,8 cm = 5,6 cm 2 Der gesamte Oberflächeninhalt beträgt also: O = 24,64 cm 2. Wenn nach Lenas Behauptung die Wahrscheinlichkeiten proportional zu den Flächeninhalten sind, muss gelten: O = 24,64 cm % 1 cm : 24,64 % 4 % A 1 = 2,8 cm 2 p 1 11,36 % A 2 = 3,92 cm 2 p 2 15,91 % A 3 = 5,6 cm 2 p 3 22,73 % Lösungen zu b) Lena möchte ihre Behauptung stützen. Dementsprechend formuliert sie als (eine ihrer) Nullhypothese(n): H 0 : Die Wahrscheinlichkeit mit dem Quader eine Sechs zu würfeln beträgt p 3 = 22,73 %. Die Gegenhypothese lautet dann: H 1 : Die Wahrscheinlichkeit mit dem Quader eine Sechs zu würfeln ist ungleich 22,73 %. Es handelt sich hier also um einen zweiseitigen Test. Stichprobenumfang: n = 500 X: Anzahl der Sechsen Annahme: X ist binomialverteilt; Erwartungswert μ = n p = 113,65 Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art soll auf maximal 5 % beschränkt werden. Bei einem zweiseitigen Test ist es üblich, diesen Wert auf beide Seiten des Ablehnungsbereichs der Nullhypothese aufzuteilen Wie sicher ist eine Behauptung?

21 Entscheidung für H 1 (X g u oder X g o ) H 0 (g u < X < g o ) reale Situation p = 0,2273 p 0,2273 Fehler 1. Art α = P(X g u oder X g o p = 0,2273) richtige Entscheidung 1 α richtige Entscheidung 1 β Fehler 2. Art β = P(g u < X < g o p 0,2273) P(X g u p = 0,2273) 2,5 % und P(X g o p = 0,2273) ) 2,5 %. Durch systematisches Probieren mit dem Rechner erhält man g u = 95 und g o = 133. Lena wird ihre Nullhypothese verwerfen und sich für H 1 entscheiden, wenn die anderen aus ihrer Gruppe höchstens 95 oder mindestens 133 Sechsen gewürfelt haben. Die Entscheidungsregel für die Fünfen ist aufgrund der Symmetrie des Würfels gleich. Tauscht man in der Rechnung 0,2273 durch 0,1591 aus, gelangt man zur Entscheidungsregel für die Dreien und Vieren. Hier muss Lena ihre Nullhypothese verwerfen, wenn die anderen aus ihrer Gruppe höchstens 63 und mindestens 96 Dreien bzw. Vieren gewürfelt haben. Eine analoge Rechnung mit 0,1136 führt zur Entscheidungsregel für die Einsen und Zweien. Hier muss Lena ihre Nullhypothese verwerfen, wenn die anderen aus ihrer Gruppe höchstens 42 und mindestens 72 Einsen oder Zweien gewürfelt haben. Lösungen zu c) Vergleicht man die Wahrscheinlichkeiten aus Lenas Behauptung (p 1 11,36 %; p 2 15,91 %; p 3 22,73 %) mit den relativen Häufigkeiten der Würfelergebnisse, gibt es große Unterschiede bei Eins und Zwei, während die beiden anderen Werte noch mit Lenas Theorie kompatibel sein könnten. Aufgrund der Entscheidungsregeln aus b) müsste Lena ihre Nullhypothesen verwerfen bei den Sechsen und bei Eins und Zwei. Aus anderen Quellen wissen wir, dass Lenas Theorie aus physikalischen Gründen falsch ist (s. dazu Riemer/Stoyan, 2011). Aufgrund der vorliegenden Daten kann sie auch verworfen werden. Es gelingt aber nur knapp, sodass in diesem Beispiel klar wird, dass eine Stichprobe auch so ausgehen kann, dass man eine Nullhypothese beibehalten muss, obwohl sie eigentlich falsch ist. Hypothesentests 121

22 webcodes Onlineangebot Mit dem Rechner kann das Ziehen der Stichproben auch simuliert werden. In Anlehnung an die relativen Häufigkeiten aus dem Quaderexperiment simulieren wir einen Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeiten für eine Eins oder Zwei 0,05 betragen, die Wahrscheinlichkeiten für eine Drei oder eine Vier bei 0,18 liegen und die Wahrscheinlichkeiten für Fünf oder Sechs bei 0,27. Gezogen werden jeweils Stichproben vom Umfang n = 500. Untersucht wird, ob man anhand der Stichprobenergebnisse mit den Entscheidungsregeln aus b) Lenas Ausgangshypothesen verwerfen kann oder nicht. In diesem Beispiel müsste man Lenas Behauptung für Eins, Zwei, Drei und Fünf verwerfen, für Vier und Sechs sprechen diese Stichprobenergebnisse nicht dagegen. Wiederholt man diese Simulation sehr oft, kann man auch untersuchen, in wie viel Prozent der Fälle die Ausgangshypothese hier zu Recht verworfen wird. Die Schüler können sich dabei auch arbeitsteilig auf ein Ergebnis des Würfels konzentrieren. Nicht betrachtet wurde bisher der Fehler 2. Art: Lena wird aufgrund der Stichprobenergebnisse ihre Nullhypothese beibehalten, obwohl sie eigentlich falsch ist. Untersucht wird im Folgenden das Würfeln einer Sechs: Die Wahrscheinlichkeit β für das Auftreten des Fehlers 2. Art kann für alle p 0,2273 jeweils einzeln berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art kann erstaunlich groß sein. Das kann gut veranschaulicht werden, wenn über das Diagramm der Binomialverteilung mit p = 0,2273 (mit eingezeichneten Entscheidungsgrenzen) das Diagramm einer Binomi Wie sicher ist eine Behauptung? Webcode: ZM

23 alverteilung gelegt wird, deren p 1 mithilfe eines Schiebereglers variiert werden kann. Dazu wird im Onlineangebot eine Datei bereitgestellt. Z. B. beträgt für p 1 = 0,27 (aus der Simulation) die Wahrscheinlichkeit β für einen Fehler 2. Art knapp 50 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass Lena ihre Nullhypothese verwirft, wenn auch in Wirklichkeit p 0,2273 ist, beträgt 1 β. Diese Wahrscheinlichkeit wird auch als Testpower bezeichnet. Webcode: ZM Hypothesentests 123