T3 - Wärmekapazität. Überprüfen Sie Ihr Vorwissen zum Versuch anhand folgender Frage- und Aufgabenstellungen:

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1 T3 - Wärmekapazität Ziel des Versuches In diesem Versuch sollen Sie sich mit den Konzepten der Wärmekapazität und der Kalorimetrie vertraut machen. Hierzu bestimmen Sie die Wärmekapazität des zur Verfügung gestellten beheizbaren Kalorimeters sowie zweier Metallzylinder. Als Materialkonstante dienen Ihnen die Wärmekapazität und die Dichte schließlich zur Charakterisierung der Metalle. Hinweise zur Vorbereitung Die Überprüfung Ihrer Vorbereitung wird im Rahmen eines Testatgespräches durchgeführt. Um sich das notwendige Hintergrundwissen zu erarbeiten, sollten Sie sich an den Inhalten dieser Versuchsanleitung orientieren sowie die angegebene Literatur am Ende dieses PDFs nutzen. Inhaltliche Schwerpunkte zur Vorbereitung Überprüfen Sie Ihr Vorwissen zum Versuch anhand folgender Frage- und Aufgabenstellungen: Was besagen der nullte und erste Hauptsatz der Thermodynamik? Leiten Sie die Grundgleichung der Kalorimetrie her! Erläutern Sie den Temperatur-Zeit-Verlauf für ein isoliertes und ein geschlossenes Kalorimeter! Nach welchem Temperatur-Zeit-Gesetz T(t) kühlt sich ein erwärmter Körper ab? Wie sind spezifische und molare Größen definiert? Erläutern Sie das Gesetz von Dulong und Petit zur Wärmekapazität von Metallen! Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 1 von 10

2 Theoretischer Hintergrund Allgemeines zur Wärmekapazität Die innere Energie U beschreibt den gesamten Energieinhalt eines Systems. Sie ist eine eindeutige Funktion unabhängiger Zustandsgrößen wie bspw. der Temperatur T oder des Volumens V. Die Änderung der inneren Energie du kann somit durch ein totales Di erenzial beschrieben werden und ist folglich wegunabhängig: j du =0. (1) Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es zwei verschiedene Wege vom Zustand A in den Zustand B, bei denen sich die Energieänderungen U (1) AB und U (2) AB unterscheiden. Es könnte folglich ein Kreisprozess realisiert werden, bei dem Energie aus dem Nichts gescha en wird. Dies entspräche einem perpetuum mobile erster Art. In geschlossenen Systemen kann sich die innere Energie zudem lediglich durch Zufuhr oder Abfuhr von Wärme Q sowie durch das Verrichten von Arbeit W ändern: 1 du = Q + W. (2) Man nennt diesen Sachverhalt den ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Betrachtet man die innere Energie als Funktion der Zustandsgrößen Temperatur T und Volumen V, so ist das totale Di erenzial Der Term du(t,v )= ˆU ˆT dt + ˆU dv. (3) - V ˆV - T C V ˆU ˆT (4) - V wird als isochore Wärmekapazität bezeichnet. Sie beschreibt, mit welcher Temperaturänderung ein System auf die Änderung der inneren Energie reagiert. Findet bei dem Prozess zur Änderung der inneren Energie lediglich Wärmeaustausch statt ( Q = 0& W =0), so ergibt sich mit (2) C V = Q ˆT. (5) - V Lässt sich weiterhin annehmen, dass die Wärmekapazität im betrachteten Temperaturintervall temperaturunabhängig ist, so entspricht die isochore Wärmekapazität dem Verhältnis von ausgetauschter Wärme Q und erzeugter Temperaturdi erenz C V = T Q -. (6) T V 1 Wärme Q und Arbeit W bilden keine totalen Di erenziale, so dass infinitesimale Änderungen mit statt d geschrieben werden. Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 2 von 10

3 Eine ähnliche Betrachtung lässt sich für die isobare Wärmekapazität C p machen. 2 Da bei isobarer Prozessführung zusätzlich zur Temperaturänderung Volumenarbeit verrichtet werden kann, gilt in der Regel C p >C V. Für Festkörper und Flüssigkeiten ist jedoch in den seltensten Fällen eine erhebliche Änderung des Druckes bzw. des Volumens zu verzeichnen, so dass in guter Näherung C p = C V = C angenommen werden kann. Zur Wärmekapazität von Festkörpern Normiert man die allgemeine Wärmekapazität (Gl. 6) auf extensive Größen wie die Masse m oder die Sto menge n, so wird aus der allgemeinen Größe eine Materialkonstante. Man definiert die spezifische Wärmekapazität als c = C (7) m und die molare Wärmekapazität als c m = C n. (8) Die beiden Größen lassen sich mithilfe der molaren Masse M ineinander umrechnen (c m = c M). Während sich die spezifische Wärmekapazität aller Sto e in der Regel stark unterscheidet, haben P. L. Dulong und A. Th. Petit im Jahre 1819 experimentell herausgefunden, dass die molare Wärmekapazität fester Sto e nahezu denselben Wert annimmt: c m =3R, (9) wobei R die allgemeine Gaskonstante ist. Dieser Sachverhalt kann klassisch verstanden werden: In einem kristallinen Festkörper sind alle Atome in einem Gitter regelmäßig angeordnet. Auf ihren Gitterplätzen können die Atome lediglich leicht um ihre Ruhelage herum schwingen. Diese Schwingung ist harmonisch und erfolgt in alle drei Raumdimensionen. Nach dem Gleichverteilungssatz der Thermodynamik besitzt jede dieser drei Schwingungsfreiheitsgrade im Mittel die kinetische Energie E kin = 1 2 k BT, (10) wobei k B die Boltzmann-Konstante ist. Die innere Energie U des Systems, die für die Bestimmung der Wärmekapazität nach (4) relevant ist, setzt sich aus der kinetischen und potentiellen Energie eines jeden Atoms im Festkörper zusammen. Da die Atome mit ihren Schwingungen als harmonische Oszillatoren aufgefasst werden, ist die potentielle Energie eine homogene Funktion zweiten Grades, so dass aus dem Virialsatz E kin = E pot (11) 2 Hier wird von der Enthalpie H statt der inneren Energie U ausgegangen. Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 3 von 10

4 folgt. Dies bedeutet, dass auf einen Schwingungsfreiheitsgrad mit potentieller und kinetischer Energie die Gesamtenergie k B T entfällt. Die innere Energie entspricht der Summe der Atomenergien. Somit ergibt sich U =3Nk B T. (12) Der Faktor 3 berücksichtigt die drei Schwingungsfreiheitsgrade und N ist die Anzahl der Atome im Festkörper. Die molare Wärmekapazität eines Festkörpers ergibt sich nun nach (4), (8) und (12) zu 3R. 3 Die Wärmekapazität ist somit unabhängig von der Temperatur. Das Gesetz von Dulong und Petit ist jedoch nur ein Hochtemperaturlimit. Der Grund dafür ist die Quantenmechanik. Die einzelnen Atomschwingungen im Festkörper sind gekoppelt, so dass sich Wellen im Gitter ausbilden, die man als Phononen bezeichnet. Damit Energie in Form von Wärme durch den Festkörper transportiert bzw. gespeichert werden kann, müssen diese Phononen (ebenfalls durch Energiezufuhr) angeregt sein. Die Anregung erfolgt in der Regel über das thermische Strahlungsfeld der Umgebung. Der zuvor angenommene Gleichverteilungssatz gilt nur dann, wenn alle Phononen angeregt sind, d.h. der Festkörper eine ausreichend hohe Temperatur besitzt. 4 Ist dies nicht der Fall, so wird die zugeführte Energie zuerst in das Auftauen der nicht angeregten Phononen gesteckt. Die Wärmekapazität wird hierdurch temperaturabhängig. Zur Bestimmung der Wärmekapazität des Kalorimeters Um die Wärmekapazität des Kalorimeters zu bestimmen, wird dieses mit Wasser befüllt und das gesamte System über einen Heizdraht erwärmt. Die vom Heizdraht innerhalb der Zeit t abgegebene Energie entspricht der elektrischen Arbeit: W el = P t = U I t. (13) Hierbei sind U die angelegte Spannung, I die Stromstärke und t das betrachtete Zeitintervall. Diese Energie wird im Idealfall vollständig vom Kalorimeter und vom Wasser als Wärme aufgenommen. Nach Gleichung (6) setzt sich die aufgenommene Wärme wie folgt zusammen: Q = Q K + Q W =(C K + C W ) (Ë e Ë a ). (14) C K ist die Wärmekapazität des Kalorimeters, C W = m W c W die Wärmekapazitat der verwendeten Menge Wasser und Ë a bzw. Ë e die Anfangs- bzw. Endtemperatur in Grad Celsius. Unter Annahme des Idealfalls lassen sich somit die Gleichungen (13) und (14) gleichsetzen. Man erhält eine Geradengleichung zur Bestimmung der zeitabhängigen Temperatur: Ë(t) = U I C K + C W t + Ë a. (15) 3 Man beachte, dass N = n N A mit N A der Avogadrokonstanten und R = N A k B ist. 4 Ausreichend meint in der Regel bereits Raumtemperatur Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 4 von 10

5 Sind die Größen U, I und C W bekannt, so lässt durch eine lineare Regression an die Messdaten aus dem gefundenen Anstieg der Geraden die Wärmekapazität des Kalorimeters bestimmen: Hier ist A der aus der linearen Regression bestimmte Anstieg. C K = U I A C W. (16) Zur Bestimmung der Wärmekapazität von Metallen Nach einem Erfahrungssatz der Thermodynamik, der häufig auch als nullter Hauptsatz bezeichnet wird, streben zwei zunächst abgeschlossene Teilsysteme A und B einem gemeinsamen thermischen Gleichgewicht (einer gemeinsamen Temperatur) zu, wenn sie in Kontakt miteinander gebracht werden. Unter Ausschluss von Arbeit gilt für das (abgeschlossene) Gesamtsystem Q A + Q B =0. (17) Das bedeutet: die von einem Teilsystem abgegebene Wärme ist gleich der vom anderen Teilsystem aufgenommenen Wärme. Gleichung (17) ist die Grundlage für die Herleitung einer Messgleichung zur Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität eines festen Sto es: im Kalorimeter ist Wasser (bei Raumtemperatur T B ). Der Probekörper wird zunächst außerhalb des Kalorimeters auf eine höhere Anfangstemperatur T A erhitzt. Bringt man den Probekörper in das mit Wasser gefüllte Kalorimeter, so stellt sich allmählich eine Mischungstemperatur T M ein. Unter Vernachlässigung der Wärmeabgabe an die Umgebung gilt folgende Bilanzgleichung Q F + Q W + Q K =0. (18) Hierbei ist Q F die vom Probekörper abgegebene Wärme, Q W die vom Wasser und Q K die vom Kalorimeter aufgenommene Wärme. Durch Ersetzen von Q F und Q W mittels (7) und Q K mittels (6) erhält man aus (18) für die spezifische Wärmekapazität des festen Sto es c F = (C K + m W c W ) (T M T B ) m F (T A T M ) (19) Die Mischungstemperatur T M kann durch ein grafisches Extrapolationverfahren aus der Messreihe zur zeitlichen Änderung der Temperatur ermittelt werden (vgl. Abbildung 1 sowie [1] - [3]). Zum Zeitpunkt t 0 wird der heiße Probekörper in das wassergefüllte Kalorimetergefäß eingetaucht. Dadurch steigt die Temperatur des Wassers (beginnend bei der Raumtemperatur Ë B ) zunächst zügig an. Nachdem die Wärmeübertragung vom Probekörper auf das Wasser abgeschlossen ist (Maximum der Messkurve), wird sich aufgrund der Wärmeabgabe an die Umgebung die Messtemperatur langsam asymptotisch der Raumtemperatur nähern. Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 5 von 10

6 Abbildung 1: Extrapolationsverfahren zur Bestimmung der Mischtemperatur Für kurze Beobachtungszeiten kann diese Temperaturabnahme linear genähert werden. Nun zeichnet man eine senkrechte Linie so in das Diagramm, dass die beiden schra erten Flächen gleich groß sind. Diese Flächen sind proportional zu den ausgetauschten Wärmen Q A und Q B. Die grafische Extrapolation der linearisierten Messkurve führt zu einem Schnittpunkt mit der eben konstruierten senkrechten Linie. Dieser Schnittpunkt liefert die gesuchte Mischungstemperatur Ë M. Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 6 von 10

7 Experimentelle Bestimmung der Wärmekapazität des Kalorimeters Zubehör Beheizbares Kalorimeter mit Stromversorgung, elektronische Waage, destilliertes Wasser, Thermometer Planung des Experiments Bevor sie mit dem Experiment beginnen, diskutieren sie mit ihrem Betreuer ein geeignetes Verfahren zur Bestimmung der spezifischen Wärmekapazitäten der beiden Metallzylinder mit den Ihnen zur Verfügung stehenden Mitteln. Hinweis: Die Erwärmung des Metallzylinders erfolgt in sehr kurzem Zeitraum(30s - 60s) Die Abkühlung des Systems dauert lange (bis zu 15 min) Da das Kalorimeter ab einer Wassertemperatur von etwa 35 C eine höhere Wärmeabgabe an die Umgebung hat, wechseln sie das Wasser zu Beginn einer neuen Messung aus. Beachten sie, dass die Masse des gewechselten Wassers wieder zu bestimmen ist. Thermodynamische Systeme unterliegen einer statistischen Beschreibung. Bedeutsam für die Untersuchung eines solchen Systems ist die Reproduzierbarkeit. Diese stellt sicher, dass bei gleicher Versuchsanordnung ähnlichen Ergebnisse zu erwarten. Ist diese Reproduzierbarkeit in diesem Experiment vorhanden? Diskutieren sie mit ihrem Betreuer und wiederholen sie, wenn möglich, den jeweiligen Versuchsteil. Halten sie die Ergebnisse der Diskussion in ihrem Bericht fest. Zum Versuch: Teil 1 Setzen sie den Heizdraht in den Deckel des Kalorimeters ein. Füllen Sie das Kalorimeter mit destilliertem Wasser soweit auf, dass der Heizdraht vollständig von Wasser umgeben ist (ca. 170 ml). Bestimmen Sie die Masse des aufgefüllten Wassers mittels Di erenzwägung (Wert notieren!). Setzen Sie den Deckel auf das Kalorimeter und schließen Sie den Heizdraht an die Stromversorgung (vgl. Abb. 2) an. Die Schaltung ist vom Betreuer abzunehmen! Das Thermometer wird in das mittlere Loch im Deckel eingeführt. Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 7 von 10

8 Abbildung 2: Schaltung zur Bestimmung der Wärmekapazität des Kalorimeters. Schalten Sie nun die Stromversorgung ein. Der Drehregler wird auf maximal 50% eingestellt. Wie können sie eine gleichmäßige Temperaturverteilung während der Messung gewährleisten? Diskutieren sie mit ihrem Betreuer und vermerken das Ergebnis im Bericht. Notieren Sie nun über wenigstens 7min alle 30s die Temperatur und abschließend die auf den Multimetern angegebenen Werte für Stromstärke und Spannung! Notieren Sie sich ebenfalls die Gerätefehler! Zusatzaufgabe: Sofern sie noch Zeit haben, können sie sich ein Verfahren zur Bestimmung der Wärmekapazität von Wasser überlegen. Besprechen sie es mit ihrem Betreuer und führen sie eine Messung durch. Zur Auswertung Zur Bestimmung der Wärmekapazität des Kalorimeters wird die spezifische Wärmekapazität des Wassers vorausgesetzt. Literaturwerte können bspw. in [1] - [3] gefunden werden. Die aufgenommenen Werte werden in einem Ë(t)-Diagramm dargestellt. An die Daten wird eine lineare Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 8 von 10

9 Regression vorgenommen und aus dem so gefundenen Anstieg nach Gleichung (16) die Wärmekapazität des Kalorimeters bestimmt. Ermitteln Sie weiterhin den Messfehler ihrer bestimmten Wärmekapazität mittels linearer Fehlerfortpflanzung! Experimentelle Bestimmung der Wärmekapazität zweier Metalle Zubehör Beheizbares Kalorimeter mit Stromversorgung, elektronische Waage, destilliertes Wasser, Thermometer, Heizplatte, Messbecher, 2 Metallzylinder, Messzylinder Zum Versuch: Teil 2 Gehen sie diesen Versuchsteil nach ihrem Verfahren durch, welches sie sich im Vorfeld überlegt haben. Bestimmen Sie zusätzlich die Dichte der beiden Metalle als weitere Sto größe, um somit eine bessere Aussage über das untersuchte Material tre en zu können. Sollten sie dabei die Dichte und Wärmekapazität von Seltenen Erden (wie z.b.cadmium, Indium, Tellur, Chrom etc) ermitteln, so müssen wir ihnen leider mitteilen, dass wir nicht genug Geld haben, um solche Metalle bereit zu stellen. Bleiben sie bei handelsüblichen Materialien. Zur Auswertung Berechnen Sie die spezifische Wärmekapzität und die Dichte der Metalle. Vergleichen Sie ihre Werte mit der Literatur. Um welche Metalle handelt es sich? Weicht die Zuordnung über die Wärmekapazität gegenüber der Zuordnung mittels Dichte ab? Diskutieren Sie mögliche Fehlerquellen! Berechnen Sie abschließend die molare Wärmekapazität der beiden Metalle. Suchen Sie hierfür die molare Masse der beiden Sto e aus der Literatur heraus. Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit dem Gesetz von Dulong und Petit. Literatur [1] W. Schenk, F. Kremer (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, Wiesbaden, 2014 [2] W. Walcher (Hrsg.): Praktikum der Physik, Wiesbaden, 2006 Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 9 von 10

10 [3] H.-J. Eichler u.a.: Das neue physikalische Praktikum, Berlin, 2016 [4] W. Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme, Berlin, 2015 [5] P.A. Tipler : Physik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Berlin, 2015 [6] P. Stephan u.a.: Thermodynamik 1, Berlin, 2013 Universität Potsdam, Institut für Physik und Astronomie, Grundpraktikum Seite 10 von 10