Diagramme. 1. Kapitel: Zinsrechnen
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- Erwin Vogt
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1 institut für banken und finanzplanung Feldstrasse 41, 7205 Zizers , Diagramme Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik Kompakte Einführung für Praxis und Studium Max Lüscher-Marty 3. Auflage 2016 Compendio Bildungsmedien AG 1. Kapitel: Zinsrechnen Copyright 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
2 Zinsrechnung: Grundfragen Die Grundfragen der Zinsrechnung lauten: a. Welches ist das Endkapital (Kn), wenn ein bestimmtes Anfangskapital (K0) zu einem bestimmten Zinssatz (i) während einer bestimmten Laufzeit (n) angelegt wird? b. Welches ist das Anfangskapital (K0), um mit einem bestimmten Zinssatz (i) während einer bestimmten Laufzeit (n) ein bestimmtes Endkapital (Kn) zu erreichen? c. Welches ist der Zinssatz (i), damit ein bestimmtes Anfangskapital (K0) nach einer bestimmten Laufzeit (n) auf ein bestimmtes Endkapital (Kn) anwächst? d. Welches ist die Laufzeit (n), damit ein bestimmtes Anfangskapital (K0), verzinst zu einem bestimmten Zinssatz (i), ein bestimmtes Endkapital (Kn) erreicht? Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 3
3 Zinsrechnung: Ausprägungen Laufzeit unterjährige Laufzeit überjährige Laufzeit zwei, drei, vier und mehr Jahre zwei, drei, vier und mehr Jahre plus ein angebrochenes Jahr Zinsperioden eine Zinsperiode unterjährlich/jährlich bestimmte Anzahl Zinsperioden diskrete Verzinsung jährlich mehrere Zinsperioden ½-, ¼-jährlich, usw. unendlich viele Zinsperioden stetige Verzinsung Verzinsung Lineare Verzinsung einfacher Zins exponentielle Verzinsung Zinseszins gemischte Verzinsung Zinsusanz 30/360 deutsche Usanz/ schweizer Usanz actual/360 internationale/ französische Usanz (Eurozinsmethode) actual/365 englische Usanz actual/actual echt/echt-methode (ISMA-Rule) Beispiel: jährlich verzinste Spareinlage von CHF mit einer Laufzeit von 4 Jahren und 158 Tagen Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 3
4 100'000 Banksparen in der Schweiz: Kassenobligationen Kassenobligation Teuerungsindex CHF / logarithmische Skala 10'000 1' Datenbasis: Nationalbank (SNB) Diagramm: Max Lüscher-Marty +3,68% nominell +1,57% real 2' ,20% 3,24% 2,82% 3,35% 5,08% 4,60% 5,29% 3,01% 1,60% 7,23% -1,60% 1,49% 1,37% -0,45% 1,24% 2,34% 2,07% 1,23% Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 5
5 Zinsstrukturkurven 7% 6% Zinssatz / Verfallrendite 5% 4% 3% Flache Zinsstrukturkurve Normale Zinsstrukturkurve 2% Inverse Zinsstrukturkurve 1% 1T 1M 3M 6M 12M 2J 3J 4J 5J 6J 7J 8J 9J 10J 20J 30J Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 6
6 3-M-LIBOR / CH-Bundesanleihen (%) Datenbasis: Nationalbank (SNB) Diagramm: Max Lüscher-Marty Geld- und Kapitalmarktsätze Schweiz Monatsendwerte: Monate 5 Jahre 10 Jahre 20 Jahre Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 7
7 Liborsätze / CH-Bundesanleihen (%) Zinsstrukturkurven Schweiz Monatsendwerte: , , T 1M 3M 6M 12 M 2 J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 J 8 J 9 J 10 J 20 J 30 J Laufzeit Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 7
8 4' Kapitalentwicklung bei linearer (einfacher) Verzinsung Anfangskapital: 1'500.00, Zinssatz: 4,50% 3' Endkapital 3' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Jahre Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 12
9 Kapitalentwicklung bei exponentieller und linearer Verzinsung Anfangskapital: 1'500.00, Zinssatz: 4,50% 1' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' exponentielle Verzinsung lineare Verzinsung Endkapital Jahre Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 14
10 Lineare und exponentielle Verzinsung im Vergleich Monatliche Entwicklung des Zinsertrgs; Kapital: 10'000.00, Zinssatz: 50% ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Einfache Verzinsung (linear) Zinseszins (exponentiell) Zinsertrag Monate Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 19
11 institut für banken und finanzplanung Feldstrasse 41, 7205 Zizers , Diagramme Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik Kompakte Einführung für Praxis und Studium Max Lüscher-Marty 3. Auflage 2016 Compendio Bildungsmedien AG 2. Kapitel: Rentenrechnen Copyright 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
12 Rentenrechnung: Kapitalaufbau Rente/nachschüssig: CHF 5'000.00, Zinssatz: 4,5%, Laufzeit: 10 Jahre Rente, Kapital (CHF) 75'000 60'000 45'000 30'000 15'000 Rente nachschüssig Kapital 5' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5' Laufzeit/Jahre Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 27
13 Rente, Kapital (CHF) 50'000 40'000 30'000 20'000 10'000 Rentenrechnung: Kapitalabbau Rente/nachschüssig: CHF 5'000.00, Zinssatz: 4,5%, Laufzeit: 10 Jahre 39' ' ' ' ' ' ' ' ' Rente nachschüssig Kapital 4' '000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5'000 5' Laufzeit/Jahre Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 27
14 Rentenrechnung: Ausprägungen/Formen Rentenhöhe Konstante (fixe) Renten sich regelmässig ändernde Renten veränderliche Renten sich regellos ändernde Renten Rentendauer endliche Renten befristete Renten unendliche Renten endlose Renten Rentenzahlung vorschüssige Renten zu Beginn einer Rentenperiode nachschüssige Renten am Ende einer Rentenperiode Rentenperioden jährlich unterjährlich halbjährlich quartalsweise monatlich usw. Zinsperioden jährlich unterjährlich halbjährlich quartalsweise monatlich usw. Beispiel: jährliche Einzahlung von CHF auf ein 3a-Konto, jeweils am 31. Dezember Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 28
15 Endkapital einer vorschüssigen Rente: Optik Geldgeber (Sparer) Jahresrente/vorschüssig: , Zinssatz: 3,00%, Laufzeit: 10 Jahre Rn Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Jahr 6 Jahr 7 Jahr 8 Jahr 9 Jahr r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10 Zinstermine Rate/Ratenzahlung Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 29
16 Endkapital einer vorschüssigen Rente: Optik Geldnehmer (Bank) Jahresrente/vorschüssig: , Zinssatz: 3,00%, Laufzeit: 10 Jahre r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Jahr 6 Jahr 7 Jahr 8 Jahr 9 Jahr 10 Rn Zinstermine Rate/Ratenzahlung Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 29
17 Endkapital einer nachschüssigen Rente: Optik Geldgeber (Sparer) Jahresrente/nachschüssig: , Zinssatz: 3,00%, Laufzeit: 10 Jahre Rn Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Jahr 6 Jahr 7 Jahr 8 Jahr 9 Jahr r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10 Zinstermine Rate/Ratenzahlung Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 30
18 Anfangskapital einer nachschüssigen Rente: Optik Versicherter Jahresrente/nachschüssig: , Zinssatz: 3,00%, Laufzeit: 10 Jahre r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Jahr 6 Jahr 7 Jahr 8 Jahr 9 Jahr 10 K0-4' Zinstermine Rate/Ratenzahlung Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 30
19 Rentenrechnung: Endwert jährlicher nachschüssiger Renten Der Kapitalaufbau auf der Basis nachschüssiger Zahlungen kann mit folgenden Fragestellungen verknüpft sein: a. Welches ist der Rentenendwert (Rn), wenn eine jährliche nachschüssige Rente (r) während einer Laufzeit (n) zum jährlichen Zinssatz (i) angespart wird? b. Welches ist die jährliche nachschüssige Rente (r), verzinst zum jährlichen Zinssatz (i), damit nach einer Laufzeit (n) ein bestimmter Rentenendwert (Rn) erreicht wird? c. Welches ist der jährliche Zinssatz (i), damit eine jährliche nachschüssige Rente (r) während einer Laufzeit (n) einen bestimmten Rentenendwert (Rn) ergibt? d. Welches ist die Laufzeit (n), damit eine jährliche nachschüssige Rente (r), verzinst zum jährlichen Zinssatz (i), einen bestimmten Rentenendwert (Rn) ergibt? Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 31
20 Rentenrechnung: Barwert jährlicher nachschüssiger Renten Der Kapitalabbau auf der Basis nachschüssiger Zahlungen ist mit folgenden Fragestellungen verknüpft: a. Welches Kapital bzw. welcher Rentenbarwert (R0) muss heute vorliegen, um - bei einem jährlichen Zinssatz (i) - eine jährliche nachschüssige Rente (r) während einer Laufzeit (n) auszahlen zu können? oder: Welches ist, abgezinst zum jährlichen Zinssatz (i), der Gegenwartswert (Present Value) bzw. der Rentenbarwert (R0) jährlicher nachschüssiger Zahlungen (r), die während einer bestimmten Laufzeit (n) anfallen? b. Welches ist die jährliche nachschüssige Rente (r), verzinst zum jährlichen Zinssatz (i), die während einer Laufzeit (n) aufgrund eines bestimmten Anfangskapitals bzw. Rentenbarwertes (R0) geleistet werden kann? c. Welches ist der jährliche Zinssatz (i), damit eine jährliche nachschüssige Rente (r) während einer Laufzeit (n) aufgrund eines bestimmten Anfangskapitals bzw. Rentenbarwertes (R0) geleistet werden kann? d. Welches ist die Laufzeit (n), während der eine jährliche nachschüssige Rente (r), verzinst zum jährlichen Zinssatz (i), aufgrund eines bestimmten Anfangskapitals bzw. Rentenbarwertes (R0) geleistet werden kann? Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 34
21 Anfangskapital einer vorschüssigen Rente: Optik Versicherter Jahresrente/vorschüssig: , Zinssatz: 3,00%, Laufzeit: 10 Jahre r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5 Jahr 6 Jahr 7 Jahr 8 Jahr 9 Jahr 10 K0-4' Zinstermine Rate/Ratenzahlung Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 37
22 Barwerte/Barwertsumme 600' ' ' ' ' ' Immobilienbewertung Barwert konstanter Nettomietzinseinnahmen 472' ' ' ' ' ' ' ' Jahre M1 = CHF 30' i = 6,00% bzw w = 0,00% bzw Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 48
23 institut für banken und finanzplanung Feldstrasse 41, 7205 Zizers , Diagramme Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik Kompakte Einführung für Praxis und Studium Max Lüscher-Marty 3. Auflage 2016 Compendio Bildungsmedien AG 3. Kapitel: Bondrechnen Copyright 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
24 Obligation (Bond): Optik Geldgeber Nennwert: , Coupon: 6,00%, Laufzeit: 5 Jahre C C1 C2 C3 C Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr Zinstermine Bondcoupon Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 51
25 8.0 Zinssensitivität einer Obligation Coupons 6%, Laufzeit 5 Jahre Marktzins/Verfallrendite (%) Barwert/Bondkurs 2.0 Barwert Marktzins Restlaufzeit Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 52
26 Barwert einer Obligation Coupon 6,00%, Verfallrendite 4,00%, Nennwert CHF , Restlaufzeit 5 Jahre Zinstermine/ Rückzahlung (t) Zahlungsströme (Z) Barwerte t heute in 1 Jahr = heute in 2 Jahren = heute in 3 Jahren = heute in 4 Jahren = heute in 5 Jahren = Total = ,90% Der Barwert der Obligation ist CHF Das entspricht einem Börsenkurs von 108,90% (CHF von CHF ). Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 53
27 Barwert einer Obligation Coupon 6,00%, Verfallrendite 3,00%, Nennwert CHF , Restlaufzeit 3.5 Jahre Zinstermine/ Rückzahlung (t) Zahlungsströme (Z) Barwerte t heute in 0.5 Jahren = heute in 1.5 Jahren = heute in 2.5 Jahren = heute in 3.5 Jahren = Total = /. Marchzins für 180 Tage = = Börsenkurs = ,81% Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 55
28 Duration einer Obligation bei Emission Coupon 6,00%, Verfallrendite 6,00%, Nennwert CHF , Restlaufzeit 5 Jahre (1) Zinstermine/ Rückzahlung (t) (2) Zahlungsströme (Z ) t (3) Barwerte (4) Barwertanteile (5) Kapitalbindung der Zahlungsströme in Jahren (6) mit der Kapitalbindung gewichtete Barwertanteile (4) x (5) in 1 Jahr = ,6604% 1 Jahr in 2 Jahren = ,3400% 2 Jahre in 3 Jahren = ,0377% 3 Jahre in 4 Jahren = ,7526% 4 Jahre in 5 Jahren = ,2093% 5 Jahre = ,0000% = Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 59
29 4' '000.0 Duration einer Obligation Coupon 6%, Nennwert CHF 5'000, Laufzeit 5 Jahre 3' x = 2' Barwert 3' ' ' ' ' ' x = x = x = x = ' Fälligkeit der Zahlungsströme Duration Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 59
30 140.0 Duration einer Obligation Coupon 6%, Nennwert CHF 5'000, Laufzeit 5 Jahre Endwert (%) Schockartige Marktzinssenkung unmittelbar nach Emission um 2% Duration = Schockartige Marktzinserhöhung unmittelbar nach Emission um 2% Laufzeit Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 61
31 Duration einer Obligation während der Laufzeit Coupon 6.00%, Verfallrendite 5,00%, Nennwert CHF , Restlaufzeit 3.25 Jahre (1) Zinstermine/ Rückzahlung (t) (2) Zahlungsströme (Z ) t (3) Barwerte (4) Barwertanteile (5) Kapitalbindung der Zahlungsströme in Jahren (6) mit der Kapitalbindung gewichtete Barwertanteile (4) x (5) 0.25 in 3 Monaten = ,5186% 0.25 Jahre in 1.25 Jahren = ,2558% 1.25 Jahre in 2.25 Jahren = ,0055% 2.25 Jahre in = % 3.25 Jahre = 107, ,0000% = Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 61
32 Wert/Kurs der Obligation (%) Konvexitätsfehler Kurssteigerung bei Unterstellung der Duration Konvexität Zinssensitivität von Obligationen Schockartige Marktzinsreduktion von 6% auf 2% Kurvenverlauf effektiv Kurvenverlauf Duration Marktzins (%) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 63
33 institut für banken und finanzplanung Feldstrasse 41, 7205 Zizers , Diagramme Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik Kompakte Einführung für Praxis und Studium Max Lüscher-Marty 3. Auflage 2016 Compendio Bildungsmedien AG 4. Kapitel: Performancerechnen Copyright 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
34 Aktie A und Aktie B: Kurse und Dividenden Anfang 2011 Ende 2011 Ende 2012 Ende 2013 Ende 2014 Ende 2015 Kurse Aktie A Dividende Aktie A Kurse Aktie B Dividende Aktie B Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 69
35 Aktie A: Kurs- und Kapitalentwicklung Anfang 2011 Ende 2011 Ende 2012 Ende 2013 Ende 2014 Ende 2015 Kursentwicklung Dividende Endkapital Diskrete Rendite 31.33% 13.94% % 30.01% 11.93% Stetige Rendite 27.26% 13.05% % 26.24% 11.27% Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 72
36 1'000 Aktie B: Kurs- und Kapitalentwicklung Anfang 2011 Ende 2011 Ende 2012 Ende 2013 Ende 2014 Ende 2015 Kursentwicklung Dividende Endkapital Diskrete Rendite -5.98% 17.27% 12.84% -9.72% 21.35% Stetige Rendite -6.17% 15.93% 12.08% % 19.35% Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 72
37 Renditebestimmung bei Einlagen/Entnahmen Betrachtungszeitraum: Datum Depotbestand vor Einlagen/Entnahmen Einlagen Einzahlungen Entnahmen Rückzahlungen Depotbestand nach Einlagen/Entnahmen Rendite t 31. Dezember März ,50% 30. Juni ,00% 12. September ,75% 31. Dezember ,00% Zeitgewichtete Rendite = bzw. +4,7102% = bzw. +4,7102% Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 78a/81
38 Renditebestimmung bei Einlagen/Entnahmen Betrachtungszeitraum: Datum Depotbestand vor Einlagen/Entnahmen Einlagen Einzahlungen Entnahmen Rückzahlungen Depotbestand nach Einlagen/Entnahmen Rendite t 31. Dezember Januar ,50% 15. Januar ,00% 21. Januar ,75% 31. Januar ,00% Zeitgewichtete Rendite = bzw. +4,7102% = bzw. +4,7102% Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 78b/81
39 institut für banken und finanzplanung Feldstrasse 41, 7205 Zizers , Diagramme Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik Kompakte Einführung für Praxis und Studium Max Lüscher-Marty 3. Auflage 2016 Compendio Bildungsmedien AG 5. Kapitel: Funktionen und Diagramme Copyright 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
40 Risk Adjusted Pricing 9.0% Eigenmittelkosten Zinssatz 8.0% 7.0% 6.0% 5.0% 4.0% 3.0% 2.0% Risikokostenmarge Gewinnmarge Betriebskostenmarge Refinanzierungssatz Risiko: Ausfallwahrscheinlichkeit, Ausfallquote Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 85
41 Kartesisches Koordinatensystem Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 87
42 Kartesisches Koordinatensystem 2. Quadrant y-achse Quadrant P (-5/+3) Nullpunkt (Ursprung) x-achse Quadrant Quadrant Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 88
43 Kauf (long) bzw. Leerverkauf (short) einer Aktie L Referenzkurs: CHF Gewinn-/Verlust (CHF) Quadrant 1. Quadrant Quadrant 4. Quadrant Aktienkauf (long) Aktienverkauf (short) Underlying: Aktie L (CHF) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 88
44 Lineare Funktion +8 y = 1.5x + 1 y-achse m = b = 1 x-achse Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 91
45 7.00 Exponentialfunktion Arithmetische (lineare) Skala y-achse (z.b. CHF) x-achse (z.b. Jahre) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 92
46 y-achse (z.b. CHF) y = e x Exponentialfunktion Logarithmische Skala x-achse (z.b. Jahre) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 93
47 600' '000 y = 0.5e x Das Schachbrett und die Reiskörner Arithmetische (lineare) Skala 524'288 Anzahl Reiskörner 400' ' ' ' ' '536 32' ' Schachbrettfelder Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 94
48 Geometrische Folgen und Reihen Beispiel: Vorschüssige Rente Endwerte R10, R9, usw. Summe der Endwerte y-achse (z.b. CHF) x-achse (z.b. Jahre) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 96
49 35.00 Geometrische Folgen und Reihen Beispiel: Nachschüssige Rente Endwerte R10, R9, usw. Summe der Endwerte y-achse (z.b. CHF) x-achse (z.b. Jahre) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 96
50 Umkehrfunktion Umkehrfunktion 7 6 y-achse x-achse Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 97
51 100'000 Datenbasis: Banque Pictet, SIX Diagramm: Max Lüscher-Marty Wertentwicklung CH-Aktien Jahresschlusswerte: ' CH-Aktienindex / CHF / arithmetisch 75'000 50'000 25' ' ' ' ' ' ' Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 98
52 100'000 Wertentwicklung CH-Aktien Jahresschlusswerte: ' ' ' CH-Aktienindex / CHF / logarithmisch 10'000 1' ' ' ' ' Datenbasis: Banque Pictet, SIX Diagramm: Max Lüscher-Marty Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 99
53 50.0% 37.5% BIP-Wachstum real und CH-Aktienmarktrenditen % CH-Aktienrenditen 12.5% 0.0% -12.5% -25.0% -37.5% -50.0% 0 Datenbasis: SNB, Pictet, SECO Diagramm: Max Lüscher-Marty -10.0% -8.0% -6.0% -4.0% -2.0% 0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% CH-BIP-Wachstum real 20 Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 99
54 2'250 Standard & Poor's 500 Price Index '000 Punkte / USD 1'750 1'500 Datenbasis: finance.yahoo.com Diagramm: Max Lüscher-Marty Dez 13 Mrz 14 Jun 14 Sep 14 Dez 14 Mrz 15 Jun 15 Sep 15 Dez 15 Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite100
55 2'250 Standard & Poor's 500 Price Index '000 Punkte / USD 1'750 1'500 Datenbasis: finance.yahoo.com Diagramm: Max Lüscher-Marty Dez 13 Mai 14 Okt 14 Mrz 15 Aug 15 Dez 15 Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 101
56 80.0 Verteilung diskreter CH-Aktienrenditen: Mittelwert = 7,87%, Standardabweichung = 19,09% 60.0 CH-Aktienrenditen diskret (%) Datenbasis: Banque Pictet, SIX Diagramm: Max Lüscher-Marty Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 102
57 1' '500.0 CH-Banken: Kunden- und Hypothekarforderungen In-/Ausland Hypothekarforderungen Kundenforderungen gedeckt Kundenforderungen ungedeckt Datenbasis: Nationalbank (SNB) Diagramm: Max Lüscher-Marty 1' ' Mia. CHF Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 102
58 100% Hypothekarforderungen Inland: Marktanteile : Mia. CHF / inkl. Fremdwährungskredite % 50% Werte in Mia. CHF 25% 0% Datenbasis: Nationalbank (SNB) Diagramm: Max Lüscher-Marty Grossbanken Kantonalbanken Raiffeisenbanken Regionalbanken Übrige/weitere Banken Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 103
59 CH-Aktienmarkt Die 20 besten Börsenjahre Börsenjahr % 27.29% 26.14% 26.10% 24.60% 23.61% 23.18% 23.06% 22.76% 55.19% 52.52% 50.81% 49.39% 47.19% 46.76% 44.46% 39.49% 35.61% 34.66% 61.36% Datenbasis: Banque Pictet, SIX Diagramm: Max Lüscher-Marty 0.0% 10.0% 20.0% 30.0% 40.0% 50.0% 60.0% 70.0% Jahresperformance Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 103
60 75.0 Datenbasis: Nationalbank (SNB) Diagramm: Max Lüscher-Marty SNB: Notenumlauf Monatsendwerte: Mia. CHF andere total total bis 200 Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 104
61 900 Anzahl Banken und Geschäftsstellen in der Schweiz 7'500 Datenbasis: Nationalbank (SNB) Diagramm: Max Lüscher-Marty 622 5' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Anzahl Banken Anzahl Geschäftsstellen (Sitze, Filialen) 5'000 2' Banken Inland-Geschäftsstellen Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 104
62 institut für banken und finanzplanung Feldstrasse 41, 7205 Zizers , Diagramme Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik Kompakte Einführung für Praxis und Studium Max Lüscher-Marty 3. Auflage 2016 Compendio Bildungsmedien AG 6. Kapitel: Statistik Copyright 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
63 Portfoliotheoretische Basiskennzahlen Rendite: Erwartungswert Risiko: Volatilität Wachstum Varianz Erträge - Dividenden - Zinsen Standardabweichung Kovarianz/Korrelation Investment A Investment B Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 107
64 Statistik Beschreibende Statistik (deskriptive Statistik) Schliessende Statistik (analytische Statistik) Daten sammeln Daten aufbereiten Daten präsentieren versucht, aufgrund vergleichsweise kleiner Datenmengen, allgemein gültige Aussagen abzuleiten, Trends zu erkennen oder Vorhersagen zu machen Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 107/8
65 Mittelwert = 100 Standardabweichung = 20 Histogramm mit Normalverteilungskurve Beispiel: Intelligenztest mit 508 Probanden 20.08% 25% 20% 16.93% 16.93% Häufigkeit % 12.20% Wahrscheinlichkeit 68.26% (ca. 2/3) % 6.89% 15% 10% Wahrscheinlichkeit % 0.00% % Wahrscheinlichkeit 95.44% (ca. 95%) % % % % 0% Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 110
66 28% Verteilung stetiger CH-Aktienrenditen: Mittelwert = 7,58%, Standardabweichung = 19,09% historische Häufigkeit theoretische Häufigkeit Häufigkeit / relativ 21% 14% 7% 0% Datenbasis: Banque Pictet, SIX Diagramm: Max Lüscher-Marty 0.11% 0.51% % % % % % % -45% -35% -25% -15% -5% 5% 15% 25% 35% 45% 55% 65% 19.19% Stetige Rendite 13.75% % % % 0.25% Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 111
67 Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 111
68 40% Standardnormalverteilung Mittelwert = 0, Standardabweichung = -4.0 bis 0.0; 0.0 bis % Wahrscheinlichkeit / Dichte 30% 25% 20% 15% 10% Wahrscheinlichkeit 68.26% % Wahrscheinlichkeit 95.44% % Standardabweichung (N-Werte) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 115
69 3.0% Diagramm Normalverteilung Puls nach Treppensteigen 2.5% Wahrscheinlichkeit / Dichte 2.0% 1.5% 1.0% 0.5% Die Wahrscheinlichkeit, einen Studenten (Raucher) mit einem Pulsschlag von weniger als auszuwählen, beträgt 15.87% 0.0% Puls nach Treppensteigen Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 118
70 175 Streudiagramm Zigarettenkonsum / Pulsfrequenz 5; 122 6; 115 8; 120 9; ; ; ; ; ; Pulsfrequenz nach Treppensteigen Anzahl Zigaretten pro Tag Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 120
71 175 Streudiagramm Zigarettenkonsum / Pulsfrequenz 5; ; ; ; ; ; ; ; ; Pulsfrequenz nach Treppensteigen Anzahl Zigaretten pro Tag Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 120
72 175 Streudiagramm Zigarettenkonsum / Pulsfrequenz 5; 136 6; 134 8; 131 9; ; ; ; ; ; Pulsfrequenz nach Treppensteigen Anzahl Zigaretten pro Tag Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 122
73 175 y = x R 2 = Streudiagramm Zigarettenkonsum / Pulsfrequenz Pulsfrequenz nach Treppensteigen ; 122 9; ; ; ; ; 145 6; 115 8; ; Anzahl Zigaretten pro Tag Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 123
74 175 Streudiagramm Zigarettenkonsum / Pulsfrequenz Pulsfrequenz nach Treppensteigen b= ; 122 6; 115 8; 120 9; ; ; 150 x/y = 12/130 14; ; ; Anzahl Zigaretten pro Tag m = Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 125
75 4.00% SMI: Normalverteilungsfunktion Jahresrendite (Mittelwert) = 6.33%, Standardabweichung = 10.99% Wahrscheinlichkeit 3.00% 2.00% 1.00% Mit einer WS von 68,26% ist die Jahresrendite höher als -4,66%, jedoch tiefer als 17,32% 0.00% Stetige Rendite (%) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 128
76 4.00% ABBN: Normalverteilungsfunktion Jahresrendite (Mittelwert) = 1,17%, Standardabweichung = 15.27% Wahrscheinlichkeit 3.00% 2.00% Mit einer WS von 15,87% (ca. 16%) ist die Jahresrendite tiefer als -14,10%. Mit einer WS von 84,13% (100-15,87) ist die Jahresrendite höher als -14,10%. 1.00% 0.00% Stetige Rendite (%) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 129
77 SMI/ABBN: Regressionsgerade, Alpha, Beta 25% 20% 15% y = x R 2 = %; 22.50% m = % 5% -1.69%; 4.37% 13.91%; 5.88% ABBN 0% -5% b = % -10% 9.09%; % -15% -8.08%; % -20% -25% -25% -20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20% 25% Swiss Market Index Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 130
78 20% 15% ABBN/SMI : Beta, Alpha, R2 y = x R 2 = % ABBN (ABB Ltd.) 5% 0% -5% -10% -15% -20% -20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20% SMI Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 131a
79 20% 15% NESN/SMI : Beta, Alpha, R2 y = 0.581x R 2 = % NESN (Nestlé) 5% 0% -5% -10% -15% -20% -20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20% SMI Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 131b
80 20% 15% ROG/SMI : Beta, Alpha, R2 y = x R 2 = % ROG (Roche GS) 5% 0% -5% -10% -15% -20% -20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20% SMI Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 131c
81 20% 15% ZURN/SMI : Beta, Alpha, R2 y = x R 2 = ZURN (Zurich Insurance Group) 10% 5% 0% -5% -10% -15% -20% -20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20% SMI Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 131d
82 100% Lorenzkurve 90% 80% 70% Einkommenssteuern 60% 50% 40% 47.5% 30% 20% 22.5% 10% 2.5% 7.5% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Bevölkerung (Steuerzahler) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 135
83 100% Lorenzkurve und Gini-Koeffizient 90% 80% 70% Einkommenssteuern 60% 50% 40% 30% Gini-Koeffizient = % 20% 22.5% 10% 2.5% 7.5% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Bevölkerung (Steuerzahler) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 136
84 institut für banken und finanzplanung Feldstrasse 41, 7205 Zizers , Diagramme Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik Kompakte Einführung für Praxis und Studium Max Lüscher-Marty 3. Auflage 2016 Compendio Bildungsmedien AG 7. Kapitel: Wahrscheinlichkeitsrechnung Copyright 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
85 Entbindungen in einer Frauenklinik Anteil Knabengeburten Knabenanteil Entbindungen Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 141
86 Wahrscheinlichkeitsrechnung für zwei und mehr Ereignisse Ereignisse Ereignismuster Rechenregeln Beispiele Ereignis A oder Ereignis B Ereignis A (B) schliesst Ereignis B (A) aus Ereignis A (B) schliesst Ereignis B (A) nicht aus einfacher Additionssatz allgemeiner Additionssatz Augenzahl 5 oder 6 bei einmaligem Würfeln Herz-Ass oder Kreuz-Ass bei einmaligem Kartenzug Herzkarte oder Herz-Ass bei einmaligem Kartenzug Gerade Augenzahl oder Augenzahl 6 beim einmaligen Würfeln Ereignis A und Ereignis B Ereignis A (B) ist ohne Einfluss auf Ereignis B (A) Ereignis A beeinflusst Ereignis B einfacher Multiplikationssatz allgemeiner Multiplikationssatz Jedesmal Augenzahl 6 bei mehrmaligem Würfeln Herzkarte oder Herz-Ass bei je einem Zug aus zwei Kartenspielen Drei Mal hintereinander gerade Zahl beim Roulette, vorausgesetzt sie ist rot Gerade Zahl beim Roulette, vorausgesetzt sie ist rot König oder Ass, vorausgesetzt es wird eine Kreuzkarte gezogen Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 143
87 "prüfungsreif" = 350 Ereignis A1 Baumdiagramm "Prüfung bestanden" = 315 Ereignis B1 "Prüfung nicht bestanden" = 35 Ereignis B2 "nicht prüfungsreif" = 150 Ereignis A2 "Prüfung bestanden" = 15 Ereignis B1 "Prüfung nicht bestanden" = 135 Ereignis B2 Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 145
88 Bedingte Wahrscheinlichkeit: Detailanalyse WS "prüfungsreif" und "bestanden" "bestanden" = x 0.90 = 0.63 P(B1 A1) = 0.90 "prüfungsreif" = 350 P(A1) = 0.70 "nicht bestanden" = 35 WS "prüfungsreif" und "nicht bestanden" 0.70 x 0.10 = 0.07 Beta-Fehler P(B2 A1) = 0.10 "bestanden" = 15 WS "nicht prüfungsreif" und "bestanden" 0.30 x 0.10 = 0.03 Alpha-Fehler P(B1 A2) = 0.10 "nicht prüfungsreif" = 150 P(A2) = 0.30 "nicht bestanden" = 135 WS "nicht prüfungsreif" und "nicht bestanden" 0.30 x 0.90 = 0.27 P(B2 A2) = 0.90 Summe = 1.00 Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 147
89 Ereignisse und Ereignis-Wahrscheinlichkeiten keine Grippe = 312 P(B1 A1) = 0.80 zufrieden = 390 P(A1) = 0.60 Grippe = 78 P(B2 A1) = 0.20 keine Grippe = 182 P(B1 A2) = 0.70 unzufrieden = 260 P(A2) = 0.40 Grippe = 78 P(B2 A2) = 0.30 Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 148
90 Ereignisse und Ereignis-Wahrscheinlichkeiten bewilligt = 705 P(B1 A1) = 0.94 "guter" Kredit = 750 P(A1) = 0.75 abgelehnt = 45 P(B2 A1) = 0.06 bewilligt = 15 P(B1 A2) = 0.06 "schlechter" Kredit = 250 P(A2) = 0.25 abgelehnt = 235 P(B2 A2) = 0.94 Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 149
91 Kombinatorik Variationen Permutationen Kombinationen Gegeben sind k sich ausschliessende Ereignisse Wie viele verschiedene Ereignisabfolgen sind bei n Versuchen möglich Gegeben sind n verschiedene Elemente Wie viele Möglichkeiten gibt es, die verschiedenen Elemente anzuordnen bzw..einzureihen? Wie viele Anordnungen sind möglich, wenn aus n Elementen k Elemente gezogen werden? Gegeben sind n verschiedene Elemente Wie viele verschiedene Kombinationen* sind möglich, wenn zufällig k Elemente gezogen werden? * Bei Kombinationen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle? Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 150
92 institut für banken und finanzplanung Feldstrasse 41, 7205 Zizers , Diagramme Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik Kompakte Einführung für Praxis und Studium Max Lüscher-Marty 3. Auflage 2016 Compendio Bildungsmedien AG 8. Kapitel: Tilgungsrechnung Copyright 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
93 120' '000 Festtilgung Kapital: 1'000'000, Laufzeit: 15 Jahre, Zinssatz: 4.00%, Tilgung: 66' Zinsbetrag Tilgungsrate 66' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '000 60'000 40'000 Tilgungsrate/Zinsbetrag 20' Jahre Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 157
94 Rückzahlung (t) Ratenzahlung (A) Festtilgung Tilgung (T) Zins (Z) Restkredit (K) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite (157)
95 120'000 Annuitätentilgung Kapital: 1'000'000, Laufzeit: 15 Jahre, Zinssatz: 4.00%, Annuität: 89' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '000 80'000 60'000 40'000 20'000 Zinsbetrag Tilgungsrate Tilgungsrate/Zinsbetrag Jahre Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 157
96 Annuitätentilgung Rückzahlung (t) Annuität (A) Tilgung (T) Zins (Z) Restkredit (K) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 162
97 EU-Annuitätenmethode CHF CHF CHF CHF CHF CHF CHF 5' Rate 1 nach 2 Monaten Rate 2 nach 4 Monaten Rate 3 nach 6 Monaten Rate 4 nach 8 Monaten Rate 5 nach 10 Monaten Rate 6 nach 12 Monaten Kredit (K0) CHF 5' Rate/Annuität (A) CHF Anzahl Raten (m) 6 (zweimonatlich) Laufzeit (n) 1 Jahr Zinssatz (normal) (i) 14.00% Zinsatz (EU-Norm) (i) 14.84% Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 169
98 institut für banken und finanzplanung Feldstrasse 41, 7205 Zizers , Diagramme Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik Kompakte Einführung für Praxis und Studium Max Lüscher-Marty 3. Auflage 2016 Compendio Bildungsmedien AG 9. Kapitel: Investitionsrechnung Copyright 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
99 Methoden der Investitionsrechnung Dynamische (mathematische) Verfahren Statische (buchhalterische) Verfahren Kapitalwertmethode Annuitätenmethode Methode des internen Zinssatzes Dynamische Amortisationsrechnung (dynamische Payback-Methode) Kostenvergleichsrechnung Gewinnvergleichsrechnung Renditerechnung Amortisationsrechnung (Paypack-Methode) Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 173
100 175'000 Kapitalwertverfahren: Maschine A 61' ' Anschaffungswert/Barwert 150' ' '000 75'000 50'000 25'000 Kapitalwert (NPV) 106' Anschaffungswert (Ko) Summierte Barwert (PV) der Cashflows (CF) 32' ' ' ' ' ' Ko CFo CF1 CF2 CF3 CF4 CF5 CF6 Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 175
101 175'000 Kapitalwertverfahren: Maschine B 150'000 Anschaffungswert/Barwert 125' '000 75'000 50'000 25'000 37' Kapitalwert (NPV) 90' Anschaffungswert (Ko) 127' Summierte Barwert (PV) der Cashflows (CF) 24' ' ' ' ' ' Ko CFo CF1 CF2 CF3 CF4 CF5 CF6 Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 175
102 40'000 Annuitätenmethode: Maschine A 21' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '000 20'000 10'000 Annuität (Soll-CF) Annuität (Soll-CF) Annuität (Soll-CF) Annuität (Soll-CF) Annuität (Soll-CF) Annuität (Soll-CF) Annuität/Cashflows Cashflow (Ist-CF) Cashflow (Ist-CF) Cashflow (Ist-CF) Cashflow (Ist-CF) Cashflow (Ist-CF) Cashflow (Ist-CF) Nutzungsdauer Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 177
103 40'000 Annuitätenmethode: Maschine B 30'000 18' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '000 10'000 Annuität (Soll-CF) Annuität (Soll-CF) Annuität (Soll-CF) Annuität (Soll-CF) Annuität (Soll-CF) Annuität (Soll-CF) Annuität/Cashflows Cashflow (Ist-CF) Cashflow (Ist-CF) Cashflow (Ist-CF) Cashflow (Ist-CF) Cashflow (Ist-CF) Cashflow (Ist-CF) Nutzungsdauer Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 177
104 Anschafungswert/Cashflows 150' '000 50' ' ' ' ' Payback-Methode: Maschine A -36' ' ' ' ' Payback-Dauer = 3.05 Jahre -150' Jahre Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 180
105 150'000 Payback-Methode: Maschine B Anschafungswert/Cashflows 100'000 50' '000-90' ' ' ' ' ' ' '000 Payback-Dauer = 3.36 Jahre -150' Jahre Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite 180
106 institut für banken und finanzplanung Feldstrasse 41, 7205 Zizers , Diagramme Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik Kompakte Einführung für Praxis und Studium Max Lüscher-Marty 3. Auflage 2016 Compendio Bildungsmedien AG 10. Kapitel: Abschreibungsrechnung Copyright 2016: Max Lüscher-Marty, Institut für Banken und Finanzplanung, Zizers
107 Abschreibungsmethoden Lineare Abschreibung Degressive Abschreibung Progressive Abschreibung Der Abschreibungsbetrag ist von Jahr zu Jahr gleich gross Der Abschreibungsbetrag verringert sich von Jahr zu Jahr. Der Abschreibungsbetrag vergrössert sich von Jahr zu Jahr. Max Lüscher-Marty, Grundlagen der Finanzmathematik/-statistik, 2016 FM/S, Seite (183)
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