Einführung in Verkehr und Logistik

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1 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 1 / 33 Einführung in Verkehr und Logistik (Bachelor) Schichtplanung bei stochastischer Dienstleistungsnachfrage Univ.-Prof. Dr. Knut Haase Institut für Verkehrswirtschaft Wintersemester 2013/2014, Dienstag 10:15-11:45 Uhr, Phil E WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 3 / 33 Dienstplanungsprobleme I Struktur der Personalnachfrage entscheidet über die Art der Planung Bestimmungsfaktoren der Personalnachfrage Aufgaben Crew Scheduling (Airlines) Bus u. Bahnbetrieb Fixe Schichten Nurse Scheduling Einsatzplanung für Krankenwagen Zufall Call-Center Bodenpersonal von Flughäfen Supermarktkassen Bedienschalter u.a.

2 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 5 / 33 Das Planungsproblem bei zufällig schwankender Nachfrage I Unternehmen produziert eine Dienstleistung I es existiert eine schwankende Nachfrage nach der Dienstleistung I diese Nachfrage führt zu Personalbedarf, z.b. I Nachfrage: Anrufe in einem Call-Center, Kunden an einem Bahnschalter I Personalbedarf: Call-Center-Agenten, Beratungsspersonal I keine Betrachtung unterschiedlicher Qualifikationen I Personaleinsatz unterliegt Restriktionen I Schichtplanungsrestriktionen (i.d.r. tagesbezogen) I Dienstreihenfolgerestriktionen (bezogen auf Woche, Monat und Jahr) WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik Beispiele I Ticketschalter I Supermärkte I Bodenpersonal eines Flughafens I Hotels I Call-Center I Post-/Briefdienste u.ä. 6 / 33

3 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 8 / 33 Der Planungsprozess Nachfrageprognose Personalbedarfsermittlung Schichtplanung Shift Scheduling Schichtzuweisung Rostering WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 10 / 33 Nachfrageprognose und Personalbedarfsermittlung I Messung von Nachfragedaten I Festlegung von Service-Zielen I Bsp. Call-Center: mindestens 90% der Anrufe sollen innerhalb von 20 Sek. beantwortet werden I Bestimmung des Personalbedarfs in Abhängigkeit vom angestrebten Servicegrad der Dienstleistung I Dazu kann auf Modelle der Warteschlangentheorie zurückgegriffen werden

4 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 12 / 33 Einschub: Analyse von Warteschlangen Ankunftsstrom λ Warteraum Abfertigungsrate μ I Analyse von Kenngrößen einer Warteschlange, z.b. I Wie viel verbringt ein Kunde im System? I Wie lange wartet ein Kunde in der Warteschlange? I Wie viele Kunden befinden sich in der Warteschlange? I Wie hoch ist die Anzahl der ausgelasteten Server? WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 13 / 33 Da es sehr unterschiedliche Warteschlangen gibt, werden folgende Eigenschaften in der Standardnotation zuasmmengefasst: (a/b/c):(d/e/f) a Verteilung der Ankünfte b Verteilung der Abfertigung durch den Server c Anzahl paralleler Server d Warteschlangendisziplin (FCFS,LCFS,SIRO) e Maximale Anzahl an Aufträgen (Personen) im System f Art der Quelle (unendliche, endliche Quelle)

5 19:00 18:00 17:00 16:00 15:00 14:00 21:00 20:00 19:00 18:00 17:00 16:00 15:00 14:00 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 14 / 33 Typische Eigenschaften einer M/M/c - Warteschlange I Anzahl der eintreffenden/abgefertigten Kunden je einheit ist eine Zufallsvariable - es wird eine Verteilungsfunktion unterstellt I Zwischenankunftszeit und Abfertigungszeit sind exponentialverteilt I Ankünfte und Abfertigungen je einheit sind poissonverteilt I Auftreten eines Ereignisses (Ankunft/Abfertigung eines Kunden) ist unabhängig von der Länge der spanne, die seit dem letzten Ereignis vergangen ist I Betrachtung des langfristigen Gleichgewichts (steady state) der Warteschlange Personalbedarf eines Call-Centers Durchschnittliche Anzahl Anrufe pro Minute Personalbedarf je Periode # Anrufe pro Minute Anzahl benötigter Mitarbeiter Service-Zielvorgabe Ankunftrate λ 1 Abfertigungsrate μ Abfertigungsrate μ 2... Quelle Warteraum c Abfertigungsrate μ Server

6 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 17 / 33 Schichtplanung I Schichtplan: Menge aller durchgeführten Schichten in einem definierten Planungszeitraum I kurzfristige Planung z.b. eines Arbeitstages Zielstellung: I Ermittlung eines Schichtplans mit minimalen Lohnkosten I ermittelte Mindestnachfrage jeder Periode decken, d.h. nicht unterschreiten I Einhaltung von Pausen- und Schichtlängenregelung WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 18 / 33 Modellierung Schicht 3 Schicht 2 Schicht :00 15:00 16:00 17:00 18:00 I Einteilung des Planungshorizontes in perioden (kürzeste Pausenlänge) I Schicht: Kombination aus Schichttyp, Startzeit und Pausenlage, z.b. I Typ: 9h-Schichten (blauer Bereich) I Pausenlage: explizit für jede Schicht definiert (rote Abschnitte) I fixe Kostenbewertung jeder Schicht! Was kostet der Einsatz eines MA in dieser Schicht?

7 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 19 / 33 Modellierung Mengen und Indices T K Menge der perioden des Planungshorizonts Menge der Schichten (Kombinationen aus Startzeit,Schichtlänge und Pausenlage) Parameter a kt b t c k 1, wenn Arbeiter der Schicht k in Periode t für die Arbeit zur Verfügung steht (0 sonst) Personalbedarf in der Periode t Kosten, die durch den Einsatz eines Mitarbeiters in Schicht k entstehen WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 20 / 33 Modellierung Variablen k S Anzahl der Arbeiter, die der Schicht k zugewiesen werden Gesamte Lohnkosten (Zielfunktionswert) im Planungshorizont Set Covering Modell min S = k2k c k k (1) u.d.n. (2) a kt k b t 8t 2 T (3) k2k k 0 und ganzzahlig 8k 2 K (4)

8 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 21 / 33 Modellierung von Pausen Schicht 3 Schicht 2 Schicht :00 15:00 16:00 17:00 18:00 I Jede Kombination der Pausenanordnungen wird als separate Schicht definiert I Schichten k = 1 und k = 2 unterscheiden sich lediglich durch die Lage der Pausen I für jede Schicht wird eine ganzzahlige Variable benötigt! Praxisprobleme können sehr viele ganzzahlige Variablen enthalten I Empfehlenswert ist die Implementierung von Pausenzeitfenstern WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 22 / 33 fenster im expliziten Set Covering Modell Schicht 1 Pausenzeitfenster (1) Explizites Modell Schicht 3 Schicht 2 Schicht 1

9 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 23 / 33 fenster im expliziten Set Covering Modell Schicht 9 Schicht 8 Schicht 7 Schicht 6 Schicht 5 Schicht 4 Schicht 1 Pausenzeitfenster (1) Pausenzeitfenster (2) Explizites Modell Schicht 3 Schicht 2 Schicht 1 I Jede Schicht wird durch eine ganzzahlige Variable im Modell repräsentiert I Praxisprobleme schwer lösbar (vgl. Branch & Bound Verfahren) WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 24 / 33 Implizite Modellierung von Pausen Schicht 2 Schicht :00 15:00 16:00 17:00 18:00 Implizite Modellierung von Pausenzeitfenstern I Schicht: Kombination aus Schichttyp und Startzeit I Typ: hier 9h-Schichten I Startzeiten: Abstand von 2h I Einführung von fenstermengen und Pausenvariablen I Gleichzeitige Zuweisung von Arbeitern I zu Schichten I zu Pausen innerhalb der fenster (gelb markiert)

10 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 25 / 33 Mathematische Formulierung für 3 Pausenzeitfenster Modell für die Schichtplanung mit 3 Pausenzeitfenstern I Erste Erholungspause: 1 Periode (z.b. 15 Minuten) im ersten Drittel der Schicht I Mittagspause: 2 Perioden (z.b. 30 Minuten) in der Mitte der Schicht I Zweite Erholungspause: 1 Periode im letzten Drittel der Schicht WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 26 / 33 Mathematische Formulierung für 3 Pausenzeitfenster Mengen K Menge aller Schichten T Menge aller Planperioden Untermengen I (fenster) B1 k BL k B2 k Menge aller perioden in denen Mitarbeiter der Schicht k eine erste Erholungspause beginnen können Menge aller perioden in denen Mitarbiter der Schicht k eine Mittagspause beginnen können Menge aller perioden in denen Mitarbeiter der Schicht k eine zweite Erholungspause beginnen können

11 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 27 / 33 Mathematische Formulierung für 3 Pausenzeitfenster Untermengen II T 1 t T L t T 2 t Menge aller Schichten, bei denen in Periode t eine erste Erholungspause begonnen werden kann Menge aller Schichten, bei denen in Periode t eine Mittagspause begonnen werden kann Menge aller Schichten, bei denen in Periode t eine zweite Erholungspause begonnen werden kann Parameter a kt 1, wenn Periode t eine Planperiode von Schicht k ist (0, sonst) b t c k Personalbedarf der Periode t Kosten eines Mitarbeiters in Schicht k WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 28 / 33 Mathematische Formulierung für 3 Pausenzeitfenster Variablen S Gesamte Lohnkosten (Zielfunktionswert) k U kt W kt V kt Anzahl Arbeiter in Schicht k Anzahl Arbeiter in Schicht k mit Beginn der ersten Erholungspause in t Anzahl Arbeiter in Schicht k mit Beginn der Mittagspause in t Anzahl Arbeiter in Schicht k mit Beginn der zweiten Erholungspause in t

12 Mathematische Formulierung für 3 Pausenzeitfenster min S = c k k (5) k2k u.d.n. k2k a kt k k2t 1 t U kt W k(t 1) k2t L (t 1) k2t Lt k = k = k = k2t 2 t V kt W kt b t 8t 2 T ; (6) t2b1 k U kt 8k 2 K; (7) t2bl k W kt 8k 2 K; (8) V kt 8k 2 K; (9) t2b2 k k 0 und ganzzahlig 8k 2 K; (10) U kt 0 und ganzzahlig 8k 2 K; t 2 B1 k ; (11) W kt 0 und ganzzahlig 8k 2 K; t 2 BL k ; (12) V kt 0 und ganzzahlig 8k 2 K; t 2 B2 k : (13) WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 30 / 33 Beispiel Schicht 2 Schicht :00 15:00 16:00 17:00 18:00 (6) für t = 28: {z } 2 eingeplante Arbeiter W 2;27 W 2;28 V 1;28 {z } Arbeiter in der Pause b {z} 28 Personalbedarf in t=28 (8) für k = 2: 2 = W 2;24 + W 2;25 + W 2;26 + W 2;27 + W 2;28 {z } Gesamtzahl der geplanten Mittagspausen der Schicht k=2

13 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 31 / 33 Anpassbarkeit und Wachstum I Anpassung der Schichtlängen und -typen I Anpassung der Anzahl und Länge von Pausen und fenstern I Pausenraumkapazität beschränkbar I Mindestanzahl an Mitarbeitern in bestimmten Schichttypen I Die Anzahl der ganzzahligen Variablen steigt linear. GAMS-Output eines Schichtplanungsergebnisses Schichtplanung - Zusammenfassung ================================ Mitarbeiter gesamt: Nachfrage gesamt: Nachfrage durchschnitt: Schicht: 4 (t= 4,...,39), Arbeiter: 23, c(k) = => Gesamtkosten: Schicht: 11 (t=11,...,46), Arbeiter: 9, c(k) = => Gesamtkosten: Schicht: 13 (t=13,...,48), Arbeiter: 2, c(k) = => Gesamtkosten: Schicht: 18 (t=18,...,53), Arbeiter: 36, c(k) = => Gesamtkosten: Schicht: 21 (t=21,...,56), Arbeiter: 20, c(k) = => Gesamtkosten: Schicht: 24 (t=24,...,59), Arbeiter: 6, c(k) = => Gesamtkosten: Schicht: 38 (t=38,...,73), Arbeiter: 4, c(k) = => Gesamtkosten: Schicht: 46 (t=46,...,81), Arbeiter: 26, c(k) = => Gesamtkosten: ======================= Summe: (...) Schicht: 4 ========== Perioden: 4-39 Anzahl Mitarbeiter: 23 c(k) = => Gesamtkosten: t U(k,t) W(k,t) V(k,t) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x-- --x x-- --x x-- --x x-- --x x x x x x x x x x x x-- --x x-- --x x-- --x-- 10 (...)

14 WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 33 / 33 Literaturhinweise I Aykin, T.: Optimal Shift Scheduling with Multiple Break Windows. Management Science, 42(4): , Dantzig, G.B.: A Comment on Edie s"traffic Delays at Toll Booths". Journal of the Operations Research Society of America, 2(3): , Haase, K. und M. Koch: Modellbasierte Schichtplanung am Beispiel eines Dienstleistungsunternehmens. WiSt-Wirtschaftswissenschaftliches Studium, Taha, H.A.: Operations research: an introduction, Band 8. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1997.