finanzmathematische Grundlagen

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1 107 finanzmathematische Grundlagen dynamische Investitionsrechnungen Verfahren der Investitionsrechnung beurteilen Investitionen anhand von Einzahlungen und Auszahlungen erfassen alle Perioden (Jahre) der Nutzungsdauer benutzen finanzmathematische Verfahren finanzmathematische Grundlagen Verzinsung, Zinsfaktor, Diskontierung Endwert, Barwert Rentenbarwertfaktor, Wiedergewinnungsfaktor, Endwertfaktor, Restwertverteilungsfaktor Annuität Kapitalwert, interner Zinssatz

2 108 finanzmathematische Grundlagen Endwert Verfahren der Investitionsrechnung EW1 Endwert: verzinsliche Anlage eines einmaligen Betrages für ein Jahr Zeitpunkt t 0 1 Anfangsbetrag I , ,00 Zinsen (nachschüssig) Zi t =K t-1 *i 80,00 Anlagekapital K 0 =I 0 ; K t =K t-1 +Zi t 1 000, ,00 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 1 K 1 : Kapital am Ende des 1. / Anfang des 2. Jahres K 1 =K 0 *q

3 109 finanzmathematische Grundlagen Endwert Verfahren der Investitionsrechnung EW2 Endwert: Anlage eines einmaligen Betrages für drei Jahre mit Wiederanlage der Zinsen Zeitpunkt t Anfangsbetrag I , ,00 Zinsen (nachschüssig) Zi t =K t-1 *i 80,00 86,40 93,31 Anlagekapital K 0 =I 0 ; K t =K t-1 +Zi t 1 000, , , ,71 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 Zinsfaktor q = 1 + i K 0 : Kapital im Zeitpunkt 0 / Anfang des 1. Jahres K 0 =I 0 K 1 : Kapital am Ende des 1. / Anfang des 2. Jahres K 1 =K 0 +K 0 *i=k 0 *(1+i) K 2 : Kapital am Ende des 2. / Anfang des 3. Jahres K 2 =K 1 +K 1 *i=k 1 *(1+i)=K 0 *(1+i)*(1+i)=K 0 *(1+i) 2 K 3 : Kapital am Ende des 3. / Anfang des 4. Jahres (Endwert) K 3 =K 2 +K 2 *i=k 2 *(1+i)=K 0 *(1+i) 2 *(1+i)=K 0 *(1+i) 3 K T : Formel zur Berechnung des Endwertes nach T Jahren K T =K 0 *(1+i) T =K 0 *q T mit q=1+i

4 110 finanzmathematische Grundlagen Endwert und Endwertfaktor EWF v (vorschüssig) Verfahren der Investitionsrechnung EW3 Endwert: Anlage regelmäßiger, gleich hoher Beträge für drei Jahre mit Wiederanlage der Zinsen Zeitpunkt t Zahlungen (vorschüssig) Z 1 000, , , ,00 0,00 Zinsen (nachschüssig) Zi t =K t-1 *i 80,00 166,40 259,71 Anlagekapital K 0 =-Z; K t =K t-1 +Zi t -Z 1 000, , , ,11 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 K 0 : Kapital im Zeitpunkt 0 / Anfang des 1. Jahres K 1 : Kapital am Ende des 1. / Anfang des 2. Jahres K 2 : Kapital am Ende des 2. / Anfang des 3. Jahres K 0 =-Z K 1 =K 0 +K 0 *i-z=k 0 *q-z K 2 =K 1 +K 1 *i-z=k 1 *q-z K 3 : Kapital am Ende des 3. / Anfang des 4. Jahres (Endwert) K 3 =K 2 +K 2 *i=k 2 *q K T : Formel zur Berechnung des Endwertes nach T Jahren K T =-Z*q*(q T -1)/(q-1) EWF v = q qt 1 q 1

5 111 finanzmathematische Grundlagen Endwert und Endwertfaktor EWF n (nachschüssig) Verfahren der Investitionsrechnung EW4 Endwert: Anlage regelmäßiger, gleich hoher Beträge für drei Jahre mit Wiederanlage der Zinsen Zeitpunkt t Zahlungen (nachschüssig) Z 1 000, , , ,00 Zinsen (nachschüssig) Zi t =K t-1 *i 0,00 80,00 166,40 Anlagekapital K 0 =0; K t =K t-1 +Zi t -Z 0, , , ,40 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 K 0 : Kapital im Zeitpunkt 0 / Anfang des 1. Jahres K 0 =0 K 1 : Kapital am Ende des 1. / Anfang des 2. Jahres K 2 : Kapital am Ende des 2. / Anfang des 3. Jahres K 3 : Kapital am Ende des 3. / Anfang des 4. Jahres (Endwert) K T : Formel zur Berechnung des Endwertes nach T Jahren K 1 =-Z K 2 =K 1 +K 1 *i-z=k 1 *q-z K 3 =K 2 +K 2 *i-z=k 2 *q-z K T =-Z*(q T -1)/(q-1) EWF n = qt 1 q 1

6 112 finanzmathematische Grundlagen Endwert Verfahren der Investitionsrechnung EW5 Endwert: Anlage beliebiger Beträge für drei Jahre mit Wiederanlage der Zinsen Zeitpunkt t Zahlungen (vorschüssig) Z t , ,00-800,00 Zinsen (nachschüssig) Zi t =K t-1 *i 80,00 182,40 260,99 Anlagekapital K 0 =Z 0 ; K t =K t-1 +Zi t +Z t 1 000, , , ,39 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 K 0 : Kapital im Zeitpunkt 0 / Anfang des 1. Jahres K 0 =Z 0 K 1 : Kapital am Ende des 1. / Anfang des 2. Jahres K 1 =K 0 +K 0 *i-z=k 0 *q-z K 2 : Kapital am Ende des 2. / Anfang des 3. Jahres K 2 =K 1 +K 1 *i-z=k 1 *q-z K 3 : Kapital am Ende des 3. / Anfang des 4. Jahres (Endwert) K 3 =K 2 +K 2 *i=k 2 *q K T : keine Formel zur Berechnung des Endwertes nach T Jahren

7 113 finanzmathematische Grundlagen Barwert Verfahren der Investitionsrechnung BW1 Barwert: Gegenwartswert eines in einem Jahr fälligen Betrages Zeitpunkt t 0 1 zukünftiger Betrag K ,00 Diskontierungsfaktor 1/q 0,9259 Barwert des zukünftigen Betrages K 0 925,93 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 1 K 1 : Kapital am Ende des 1. / Anfang des 2. Jahres K 1 =K 0 *q K 0 : Kapital im Zeitpunkt 0 / Anfang des 1. Jahres K 0 =K 1 /q

8 114 finanzmathematische Grundlagen Barwert Verfahren der Investitionsrechnung BW2 Barwert: Gegenwartswert eines in drei Jahren fälligen Betrages Zeitpunkt t zukünftiger Betrag K ,00 Diskontierungsfaktor 1/q 3 0,7938 Barwert des zukünftigen Betrages K 0 =K 3 /q 3 793,83 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 K 3 : Kapital am Ende des 3. / Anfang des 4. Jahres K 3 =K 0 *q 3 K 0 : Kapital im Zeitpunkt 0 / Anfang des 1. Jahres K 0 =K T /q T

9 115 finanzmathematische Grundlagen Barwert und Rentenbarwertfaktor RBF v (vorschüssig) BW3 Barwert: Gegenwartswert regelmäßiger zukünftiger Zahlungen Verfahren der Investitionsrechnung Zeitpunkt t zukünftige Zahlungen (vorschüssig) Z 1 000, , , ,00 0,00 Diskontierungsfaktor 1/q t 1,0000 0,9259 0,8573 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z/q t 1 000,00 925,93 857,34 Summe aller Barwerte K 0 =S(BW t ) 2 783,26 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 RBF v = q T 1 q T 1 q 1 K 0 : Formel zur Berechnung der Summe aller Barwerte K 0 =Z*(q T -1)/(q T-1 *(q-1))

10 116 finanzmathematische Grundlagen Barwert und Rentenbarwertfaktor RBF n (nachschüssig) BW4 Barwert: Gegenwartswert regelmäßiger zukünftiger Zahlungen Verfahren der Investitionsrechnung Zeitpunkt t zukünftige Zahlungen (nachschüssig) Z 1 000,00 0, , , ,00 Diskontierungsfaktor 1/q t 0,9259 0,8573 0,7938 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z/q t 925,93 857,34 793,83 Summe aller Barwerte K 0 =S(BW t ) 2 577,10 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 RBF n = q T 1 q T q 1 K 0 : Formel zur Berechnung der Summe aller Barwerte K 0 =Z*(q T -1)/(q T *(q-1))

11 117 finanzmathematische Grundlagen Barwert Verfahren der Investitionsrechnung BW5 Barwert: Gegenwartswert beliebiger zukünftiger Zahlungen Zeitpunkt t zukünftige Zahlungen (nachschüssig) Z t 0,00 700,00 500,00 300,00 Diskontierungsfaktor 1/q t 0,9259 0,8573 0,7938 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z t /q t 648,15 428,67 238,15 Summe aller Barwerte K 0 =S(BW t ) 1 314,97 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 K 0 : keine Formel zur Berechnung der Summe aller Barwerte

12 118 finanzmathematische Grundlagen Barwert bei unendlicher Laufzeit ( ewige Rente ) Verfahren der Investitionsrechnung K 0 = Z q T 1 q T q 1 qt q T K 0 = Z 1 1 q T 1 q 1 T 1 q T 0 K 0 T = Z 1 q 1 = Z i

13 119 finanzmathematische Grundlagen Annuität mit Wiedergewinnungsfaktor WGF v (vorschüssig) A1 Annuität: Verteilung eines heute zur Verfügung stehenden Betrages auf gleiche zukünftige Zahlungen Verfahren der Investitionsrechnung Zeitpunkt t zur Verfügung stehender Betrag K , ,00 zukünftige Zahlungen (vorschüssig) Z=K 0 *q T-1 *(q-1)/(q T -1) 1 077, , , ,87 Diskontierungsfaktor 1/q t 1,0000 0,9259 0,8573 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z t /q t 1 077,87 998,03 924,10 Summe aller Barwerte K 0 =S(BW t ) 3 000,00 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 WGF v = 1 = qt 1 q 1 RBF v q T 1

14 120 finanzmathematische Grundlagen Annuität mit Wiedergewinnungsfaktor WGF n (nachschüssig) A2 Annuität: Verteilung eines heute zur Verfügung stehenden Betrages auf gleiche zukünftige Zahlungen Verfahren der Investitionsrechnung Zeitpunkt t zur Verfügung stehender Betrag K , ,00 zukünftige Zahlungen (nachschüssig) Z=K 0 *q T *(q-1)/(q T -1) 1 164,10 0, , , ,10 Diskontierungsfaktor 1/q t 0,9259 0,8573 0,7938 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z t /q t 0, ,87 998,03 924,10 Summe aller Barwerte K 0 =S(BW t ) 3 000,00 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 WGF n = 1 = qt q 1 RBF n q T 1

15 121 finanzmathematische Grundlagen Annuität mit Restwertverteilungsfaktor RWF v (vorschüssig) A3 Annuität: Verteilung eines später zur Verfügung stehenden Betrages auf gleiche zukünftige Zahlungen Verfahren der Investitionsrechnung Zeitpunkt t zur Verfügung stehender Betrag K T 3 000, ,00 zukünftige Zahlungen (vorschüssig) Z=K T *(q-1)/(q*(q T -1)) 855,65 855,65 855,65 855,65 Diskontierungsfaktor 1/q t 1,0000 0,9259 0,8573 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z t /q t 855,65 792,27 733,58 aufgezinste Summe aller Barwerte K T =S(BW t )*q T 3 000,00 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 RWF v = 1 EWF v = q 1 q q T 1

16 122 finanzmathematische Grundlagen Annuität mit Restwertverteilungsfaktor RWF n (nachschüssig) A4 Annuität: Verteilung eines später zur Verfügung stehenden Betrages auf gleiche zukünftige Zahlungen Verfahren der Investitionsrechnung Zeitpunkt t zur Verfügung stehender Betrag K T 3 000, ,00 zukünftige Zahlungen (nachschüssig) Z=K T *(q-1)/(q T -1) 924,10 0,00 924,10 924,10 924,10 Diskontierungsfaktor 1/q t 0,9259 0,8573 0,7938 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z t /q t 0,00 855,65 792,27 733,58 aufgezinste Summe aller Barwerte K T =S(BW t )*q T 3 000,00 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 RWF n = 1 EWF n = q 1 q T 1

17 123 finanzmathematische Grundlagen Kalkulation Kaufpreis Verfahren der Investitionsrechnung Ein Unternehmen der Energiewirtschaft erwägt den Kauf der Förderrechte für ein natürliches Gasvorkommen. Aufgrund der vorliegenden Untersuchungen kann davon ausgegangen werden, dass für die nächsten 10 Jahre ein jährlich nachschüssiger Gewinn von 3 Mio. Euro erzielt werden kann. Welchen Kaufpreis wird das Unternehmen bei einem Kalkulationszins von 10% akzeptieren? Alternativ wird der Kauf einer Solarfarm diskutiert, die ebenfalls einen jährlich nachschüssigen Gewinn von 3 Mio. Euro verspricht. Aufgrund von stetigen Ersatzinvestitionen (bereits in der Gewinnprognose berücksichtigt!) ist allerdings von einer unendlichen Lebensdauer auszugehen. Welchen Kaufpreis wird das Unternehmen für diese Investition akzeptieren, wenn der Kalkulationszins wiederum 10% beträgt?

18 124 finanzmathematische Grundlagen Verfahren der Investitionsrechnung Basisdaten Gasvorkommen jährlicher Gewinn Z ,00 Kalkulationszinssatz i 10,00% Förderzeit T 10 Zinsfaktor q=1+i 1,1000 Kaufpreis Gasvorkommen Rentenbarwertfaktor RBF=(q T -1)/(q T *(q-1)) 6,1446 Kapitalwert C 0 =Z*RBF ,32 Basisdaten Solarfeld jährlicher Gewinn Z ,00 Kalkulationszinssatz i 10,00% Nutzungsdauer T unendlich Kaufpreis Solarfeld Kapitalwert C 0 =Z/i ,00

19 125 finanzmathematische Grundlagen Zahlungsmodalitäten Großauftrag Verfahren der Investitionsrechnung Ein Großauftrag wird mit 40 Mio. Euro, zahlbar in drei Jahren direkt bei schlüsselfertiger Übergabe (SF-Preis), kalkuliert. Alternativ sind die folgenden Zahlungsvarianten zu berechnen: Zahlung in drei gleichen Raten jeweils zum Ende des 1., 2. und 3. Jahres. Zahlung in drei unterschiedlich hohen Raten: 12 Mio. Euro in einem Jahr, 10 Mio. Euro nach zwei Jahren und eine Schlusszahlung nach 3 Jahren. Kundenanzahlung bei Auftragserteilung (sofort), keine weiteren Zahlungen. Zahlung in einem Gesamtbetrag mit einem Zahlungsziel von einem Jahr nach Abnahme. Kalkulieren Sie jedes Angebot so, dass alle Varianten gleichwertig zum SF- Preis sind. Gehen Sie dabei von einem Kalkulationszinssatz von 10% p.a. aus.

20 126 finanzmathematische Grundlagen Basisdaten Großauftrag SF-Preis K T ,00 Kalkulationszinssatz i 10,00% Produktionsdauer T 3 Zinsfaktor q=1+i 1, gleiche Zahlungen zum Ende des ersten, zweiten und dritten Jahres Endwertfaktor EWF=(q T -1)/(q-1) 3,3100 Zahlungsrate Z=K T /EWF ,15 Anzahlung 12 Mio. am Ende des ersten Jahres, 10 Mio. am Ende des zweiten Jahres, den Rest als Schlussrate am Ende des dritten Jahres 1. Zahlung nach einem Jahr Z 1, ,00 Endwert der ersten Zahlung Z 3,1 =Z 1,1 *q ,00 2. Zahlung nach zwei Jahren Z 2, ,00 Endwert der zweiten Zahlung Z 3,2 =Z 2,2 *q ,00 Schlusszahlung nach drei Jahren Z 3,3 =K T -Z 3,1 -Z 3, ,00 Kundenanzahlung bei Auftragserteilung (sofort) Sofort-Preis K 0 =K T /q T ,04 Zahlungsziel 1 Jahr, d.h. Zahlung nach vier Jahren (T+1) Zielpreis K T+1 =K T *q ,00 Verfahren der Investitionsrechnung

21 127 finanzmathematische Grundlagen Zahlungsbedingungen für eine Windkraftanlage (WKA) Verfahren der Investitionsrechnung Bei einem großen Hersteller von WKAs wird mit einem Zeitraum von einem Jahr zwischen der Auftragsannahme und der Inbetriebnahme gerechnet. Für eine mittelgroße WKA wird ein Auftragswert von 1,5 Mio. Euro kalkuliert, wobei von einer Zahlung direkt bei Inbetriebnahme ausgegangen wird. Den Kunden werden folgende Zahlungsmodalitäten genannt: 30% des Rechnungsbetrages bei Auftragsannahme 60% des Rechnungsbetrages bei Inbetriebnahme 10% des Rechnungsbetrages ¼ Jahr nach Inbetriebnahme. Wie hoch ist der Rechnungsbetrag und welche Zahlungen sind von den Kunden jeweils zu leisten, wenn der Hersteller einen Kalkulationszinssatz von 8% zu Grunde legt?

22 128 finanzmathematische Grundlagen Verfahren der Investitionsrechnung Zahlungsbedingungen für eine Windkraftanlage Zinssatz kalkulierter Auftragswert im Zeitpunkt der Inbetriebnahme Zahlungen: Beträge und Zeitpunkte t 0 Z 0 30,00% 0,30 * R 1 + i 1,08000 Z 0 * (1 + i) 0,30 * R * 1, ,32400 * R 1 Z 1 60,00% 0,60 * R 1 1,00000 Z 1 0,60 * R * 1, ,60000 * R 1,25 Z 1,25 10,00% 0,10 * R (1 + i/4) -1 0,98039 Z 1,25 * (1 + i/4) -1 0,10 * R * 0, ,09804 * R S R 100,00% 1,00 * R K ,00 1,02204 * R Ergebnisse Z Rechnungsbetrag Anzahlung (t = 0) Anteil am Rechnungsbetrag R Zahlung bei Inbetriebnahme (t = 1) Zahlung nach ¼ Jahr Betrieb (t = 1,25) R Z 0 Z 1 Z 1,25 i K 1 Aufzinsung / Diskontierung (t = 1) Faktoren für Aufzinsung / Diskontierung Wert der Zahlungen in t=1 8,00% , ,00 / 1,02204 = , , , ,41

23 129 Kapitalwert vereinfachende Annahmen Verfahren der Investitionsrechnung mit der Investition verbundene Zahlungen können eindeutig identifiziert werden sind hinsichtlich Höhe und Zeitpunkt bekannt und sicher (keine Ungewissheit) es existiert ein vollkommener Kapitalmarkt mit einem einheitlichen Zinssatz für Guthaben und Kredite ohne Unsicherheit hinsichtlich zukünftiger Entwicklungen Investitionen erfolgen mit dem Ziel der Gewinnmaximierung

24 130 Kapitalwert geeignete Auswahlkriterien bei alternativen Investitionen Verfahren der Investitionsrechnung Endwert des Vermögens es ist die Investition auszuwählen, die das Vermögen am Ende der Nutzungsdauer maximiert Entnahmen während der Nutzungsdauer es ist die Investition auszuwählen, aus der während der Nutzungsdauer die höchste Annuität entnommen werden kann Annuität: regelmäßige Zahlung in identischer Höhe (s.o. finanzmathematische Grundlagen )

25 131 Kapitalwert welche Investition ist besser? Verfahren der Investitionsrechnung beide Investitionen erfordern einen Kapitaleinsatz von und bieten über drei Jahre verteilt Erträge von insgesamt die zeitliche Verteilung der Erträge bei Inv. 1 erscheint jedoch günstiger Inv ,00 700,00 500,00 300,00 Inv ,00 300,00 500,00 700,00

26 132 Kapitalwert Verfahren der Investitionsrechnung Kapitalwert C 0 Berücksichtigung der Anfangsinvestition sowie der Barwerte zukünftiger Einund Auszahlungen i = 8,00% Inv ,00 700,00 500,00 300,00 648,15 (1+i) ,67 (1+i) ,15 (1+i) -3 C 0 = 314,97

27 133 Kapitalwert Verfahren der Investitionsrechnung Kapitalwert C 0 Summe der Anfangsinvestition I 0 und aller mit dem Kalkulationszinssatz i diskontierten Zahlungsströme Z t (Einzahlungen t Auszahlungen t ) zu jedem Zeitpunkt t der Nutzungsdauer T Vorzeichen beachten: Wenn die Investition mit einer Anfangsauszahlung von z.b beginnt, ist in die Kapitalwertformel einzusetzen C 0 = I 0 + T t=1 Einzahlungen t Auszahlungen t 1 + i t = I 0 + Z i 1 + Z i 2 + Z i Z T 1 + i T

28 134 Kapitalwert Verfahren der Investitionsrechnung Kapitalwert C 0 i = 8,00% Inv ,00 277,78 428,67 555,68 300,00 500,00 700,00 (1+i) -1 (1+i) -2 (1+i) -3 C 0 = 262,13

29 135 Kapitalwert Kapitalwert C 0 und Endwert EW Verfahren der Investitionsrechnung Annahme: Reinvestition der Erträge und Diskontierung des Endwertes zum einheitlichen Kalkulationszinssatz i i = 8,00% Inv ,00 700,00 500,00 300,00 (1+i) 1 540, ,97 (1+i) 2 (1+i) ,48 EW = 1 656,48 C 0 = 314,97

30 136 Kapitalwert Kapitalwert C 0 und Endwert EW Verfahren der Investitionsrechnung Fazit: je größer (kleiner) der Endwert, desto größer (kleiner) der Kapitalwert Maximierung des Kapitalwertes entspricht Maximierung des Endwertes i = 8,00% Inv ,00 300,00 500,00 700,00 (1+i) 1 540,00 (1+i) 2 349, ,13 (1+i) -3 EW = 1 589,92 C 0 = 262,13

31 137 Kapitalwert Interpretation des Kapitalwerts: C 0 > 0 mathematisch Barwerte aller zukünftigen Zahlungen > Anfangsinvestition I 0 ökonomisch Verfahren der Investitionsrechnung der Investor realisiert einen Ertrag, der die Verzinsung des Kapitaleinsatzes I 0 zum Kalkulationszins i übersteigt Endwert einer alternativen Kapitalanlage EW = Z + Z + + Z + I 0 = Z * EWF n + I 0 ist geringer als der Endwert der Investition

32 138 Kapitalwert Finanzinvestition Kapitalanlage in Höhe von I 0 zum Kalkulationszinssatz i Verfahren der Investitionsrechnung i = 8,00% Finanz.-Inv ,00 80,00 80, ,00 (1+i) 1 86,40 (1+i) 2 93, ,00 (1+i) -3 EW = 1 259,71 C 0 = 0,00

33 139 Kapitalwert Interpretation des Kapitalwerts: C 0 = 0 mathematisch Barwert aller zukünftigen Zahlungen = Anfangsinvestition I 0 ökonomisch Verfahren der Investitionsrechnung der Investor realisiert einen Ertrag, der der Verzinsung des Kapitaleinsatzes I 0 zum Kalkulationszins i entspricht Endwert einer alternativen Kapitalanlage ist gleich dem Endwert der Investition

34 140 Kapitalwert Interpretation des Kapitalwerts: C 0 < 0 mathematisch Barwert aller zukünftigen Zahlungen < Anfangsinvestition I 0 ökonomisch Verfahren der Investitionsrechnung der Investor realisiert einen Ertrag, der niedriger ist als die Verzinsung des Kapitaleinsatzes I 0 zum Kalkulationszins der Endwert einer alternativen Kapitalanlage ist höher als der Endwert der Investition

35 141 Kapitalwert C 0 < 0 Verfahren der Investitionsrechnung mit den Endwerten aus Inv. 1, Inv. 2 und Finanz-Inv. vergleichen i = 8,00% Inv ,00 400,00 300,00 300,00 (1+i) 1 324,00 (1+i) 2 466,56 865,72 (1+i) -3 EW = 1 090,56 C 0 = - 134,28

36 142 Kapitalwert Vor- und Nachteile der Kapitalwertmethode Vorteile vollständige, zeitlich und betragsmäßig differenzierte Erfassung von Zahlungsströmen geeignet für Einzel- und Auswahlentscheidungen Nachteile Verfahren der Investitionsrechnung Zurechenbarkeit von Zahlungsströmen auf einzelne Investition oftmals schwierig zunehmende Ungenauigkeit in der Prognose von Zahlungsströmen bei zunehmender Nutzungsdauer (Prognoseproblem) Annahme von Differenzinvestitionen bei unterschiedlichen Anfangsauszahlungen oder unterschiedlichen Nutzungsdauern erforderlich (anders: Olfert, S. 127) keine Aussagen über die Rentabilität

37 143 interner Zinssatz Kapitalwert C 0 bei alternativen Kalkulationszinssätzen i Verfahren der Investitionsrechnung je größer der i, desto kleiner C 0 der interne Zinssatz i int ist der Kalkulationszinssatz, bei dem gilt: C 0 = i 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00% 8,00% 9,00% 10,00% 11,00% 12,00% 13,00% 14,00% 15,00% C 0 474,39 449,56 425,45 402,05 379,33 357,26 335,81 314,97 294,70 274,98 255,80 237,13 218,96 201,26 184,02 i 16,00% 17,00% 18,00% 19,00% 20,00% 21,00% 22,00% 23,00% 24,00% 25,00% 26,00% 27,00% 28,00% 29,00% 30,00% C 0 167,23 150,86 134,90 119,34 104,17 89,36 74,91 60,81 47,04 33,60 20,47 7,64-4,90-17,15-29,13

38 144 interner Zinssatz Kapitalwert und interner Zinssatz Verfahren der Investitionsrechnung i int

39 145 interner Zinssatz Verfahren der Investitionsrechnung Interpretation des internen Zinssatzes i int mathematisch Nullstelle der Kapitalwertfunktion (d.h.: Schnittpunkt mit der waagerechten Achse im Koordinatensystem) ökonomisch i int ist der Zinssatz, den eine alternative Finanzinvestition aufweisen müsste, damit sie zum gleichen Endwert führt i int wird deshalb oft auch als Rendite einer Investition bezeichnet

40 146 interner Zinssatz Berechnung des internen Zinssatzes Verfahren der Investitionsrechnung für T > 2 mathematisch schwierig bzw. unmöglich Anwendung von Näherungsverfahren, z.b. regula falsi, um einen Schätzwert mit mehr oder weniger großer Genauigkeit für i int zu erhalten C 0 = I 0 + T t=1 Einzahlungen t Auszahlungen t 1 + i t = I 0 + Z 1 1+i 1 + Z 2 1+i 2 + Z 3 1+i Z T 1+i T

41 147 interner Zinssatz Schätzung des internen Zinssatzes mit der regula falsi Verfahren der Investitionsrechnung 1.: Festlegung von beliebigen Versuchszinssätzen i 1 und i 2 sofern eine Vermutung über den internen Zinssatz besteht: Festlegung von Versuchszinssätzen, die nah an dem vermuteten Wert für i int liegen 2.: Berechnung von C 0 ( i 1 ) und C 0 ( i 2 ) 3.: Schätzwert für i int nach der regula falsi : i 2 i 1 i int = i 1 C 0 i 1 C 0 i 2 C 0 i 1 4.: evtl. Wiederholungen mit neuen Versuchszinssätzen, die nur wenig vom jeweiligen Schätzwert für i int abweichen 5.: Ergebnis

42 148 interner Zinssatz interner Zinssatz Anwendung der regula falsi am Beispiel Inv. 1 zumeist wird bereits nach drei Schritten das Ergebnis bis auf die erste Nachkommastelle genau geschätzt exakt: i int = 27,6066% Verfahren der Investitionsrechnung Start mit willkürlich gewählten Zinssätzen 1. i 1 2,00% C 0 (i 1 ) 449,56 i 2 4,00% C 0 (i 2 ) 402,05 i int 20,928% neue Versuchszinssätze: i int ± i int / 5 (gerundet) 2. i 1 17,00% C 0 (i 1 ) 150,86 i 2 25,00% C 0 (i 2 ) 33,60 i int 27,292% neue Versuchszinssätze: i int ± 1% (gerundet) 3. i 1 27,00% C 0 (i 1 ) 7,64 i 2 28,00% C 0 (i 2 ) -4,90 i int 27,609% neue Versuchszinssätze: i int ± 0,1% (gerundet) 4. i 1 27,60% C 0 (i 1 ) 0,08 i 2 27,70% C 0 (i 2 ) -1,17 i int 27,607%

43 149 interner Zinssatz Vor- und Nachteile der interner-zinssatz-methode Vorteile Verfahren der Investitionsrechnung vollständige, zeitlich und betragsmäßig differenzierte Erfassung von Zahlungsströmen ermöglicht den Vergleich von Sach- und Finanzinvestitionen bei unterschiedlichen Anfangsauszahlungen geeignet für Einzel- und Auswahlentscheidungen Nachteile Zurechenbarkeit von Zahlungsströmen auf einzelne Investition oftmals schwierig rechnerisch aufwändig Probleme mit Prognosen und Differenzinvestitionen (s. Kapitalwert) mehrdeutige Ergebnisse bei der Schätzung von i int möglich

44 150 Übungsaufgaben interner Zinssatz Verfahren der Investitionsrechnung Ein Automobilzulieferer denkt über die Anschaffung einer neuen Produktionsanlage nach. Folgende Zahlungsströme werden prognostiziert: Bsp1: Anschaffung einer neuen Produktionsanlage Zeitpunkt t Zahlungen (nachschüssig) I 0 bzw. Z t , , , , , ,00 Berechnen Sie den internen Zinssatz dieser Investition. Möglicherweise lässt sich am Ende der Nutzungsdauer (also am Ende des fünften Jahres) die Produktionsanlage noch zu einem Restwert auf dem Gebrauchtmarkt verkaufen. Wie hoch müsste dieser Liquidationswert ungefähr sein, damit das unternehmensinterne Renditeziel von 11% für diese Investition erreicht wird?

45 151 Übungsaufgaben Verfahren der Investitionsrechnung Ermittlung des erforderlichen Liquidationserlöses durch probieren Kalkulationszinssatz = geforderte Mindestverzinsung Variation des Liquidationserlöses bis sich ein Kapitalwert nahe 0 ergibt C 0 = 0 wenn i int = i Bsp1: Anschaffung einer neuen Produktionsanlage Zeitpunkt t Zahlungen inkl. Liquidationserlös I 0, Z t, Z T +L , , , , , ,00 Diskontierungsfaktor 1/q t 1,0000 0,9009 0,8116 0,7312 0,6587 0,5935 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z t /q t , , , , , ,88 Kapitalwert C 0 =I 0 +S(BW t ) 454,74 Zinssatz i 11,00% Liquidationserlös L ,00

46 152 Übungsaufgaben Überprüfung des Ergebnisses Berechnung des internen Zinssatzes ( regula falsi ) unter Verwendung von Z T +L i 2 i 1 i int = i 1 C 0 i 1 C 0 i 2 C 0 i 1 Verfahren der Investitionsrechnung Start mit willkürlich gewählten Zinssätzen 1. i 1 3,00% C 0 (i 1 ) ,52 i 2 5,00% C 0 (i 2 ) ,81 i int 10,083% neue Versuchszinssätze: i int ± i int / 5 (gerundet) 2. i 1 8,00% C 0 (i 1 ) ,65 i 2 12,00% C 0 (i 2 ) ,66 i int 11,116% neue Versuchszinssätze: i int ± 1% (gerundet) 3. i 1 11,00% C 0 (i 1 ) 454,74 i 2 12,00% C 0 (i 2 ) ,66 i int 11,057% neue Versuchszinssätze: i int ± 0,1% (gerundet) 4. i 1 11,00% C 0 (i 1 ) 454,74 i 2 11,10% C 0 (i 2 ) - 354,72 i int 11,056%

47 153 Übungsaufgaben Kapitalwert und interner Zinssatz Verfahren der Investitionsrechnung Bringen Sie zunächst die oben skizzierten Investitionen im Hinblick auf ihre Vorteilhaftigkeit in eine Rangfolge (ohne umfangreichere Berechnungen) Berechnen Sie dann für die vorteilhafteste Investition den Kapitalwert (Kalkulationszinssatz i = 6%) und den internen Zinssatz Bsp2: Rangfolge von Investitionen, Kapitalwert und interner Zinssatz Zeitpunkt 1 t Zahlungen (nachschüssig) I 0 bzw. Z t , , , , , Zahlungen (nachschüssig) I 0 bzw. Z t , , , , ,00 Zahlungen (nachschüssig) I 0 bzw. Z t , , , , ,00 Zahlungen (nachschüssig) I 0 bzw. Z t ,00 0,00 0,00 0, ,00 Zinssatz i 6,00%

48 154 Übungsaufgaben 1.: oberflächliche Beurteilung der Alternativen (Bsp2) Verfahren der Investitionsrechnung wie hoch ist die Summe der jeweiligen Zahlungen? Investition 1: , Investitionen 2, 3 und 4 jeweils es kann daher davon ausgegangen werden, dass Investition 1 die schlechteste Investition ist und daher nicht weiter betrachtet zu werden braucht welche der verbleibenden Investitionen lässt den höchsten Barwert vermuten? da die Summe der Zahlungen bei den verbleibenden Investitionen identisch ist, gilt: je höher die Zahlungen und je früher die Zahlungszeitpunkte, desto höher ist der Kapitalwert unter Berücksichtigung dieses Aspektes hat Investition 2 im Vergleich den höchsten Kapitalwert

49 155 Übungsaufgaben Verfahren der Investitionsrechnung 2.: Berechnung von Kapitalwert und interner Zinssatz für die ausgewählte Investition (Bsp2) Bsp2: Rangfolge von Investitionen, Kapitalwert und interner Zinssatz Zeitpunkt t Diskontierungsfaktor 1/q t 1,0000 0,9434 0,8900 0,8396 0, Zahlungen (nachschüssig) I 0 bzw. Z t , , , , ,00 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z t /q t , , , , ,94 Kapitalwert C 0 =I 0 +S(BW t ) 8 016,99 interner Zinssatz i int 10,75% Zinssatz i 6,00%

50 156 Übungsaufgaben 2.: Anwendung der regula falsi zur Berechnung des internen Zinssatzes für die ausgewählte Investition Verfahren der Investitionsrechnung Start mit willkürlich gewählen Zinssätzen 1. i 1 3,00% C 0 (i 1 ) ,01 i 2 5,00% C 0 (i 2 ) 9 857,52 i int 10,107% neue Versuchszinssätze: i int ± i int / 5 (gerundet) 2. i 1 8,00% C 0 (i 1 ) 4 502,66 i 2 12,00% C 0 (i 2 ) ,97 i int 10,803% neue Versuchszinssätze: i int ± 1% (gerundet) 3. i 1 10,00% C 0 (i 1 ) 1 195,27 i 2 11,00% C 0 (i 2 ) - 386,14 i int 10,756% neue Versuchszinssätze: i int ± 0,1% (gerundet) 4. i 1 10,70% C 0 (i 1 ) 83,42 i 2 10,80% C 0 (i 2 ) - 73,56 i int 10,753%

51 157 Übungsaufgaben Verfahren der Investitionsrechnung Kapitalwerte und interne Zinssätze der übrigen Investitionen Bsp2: Rangfolge von Investitionen, Kapitalwert und interner Zinssatz Zeitpunkt Diskontierungsfaktor 1 t /q t 1,0000 0,9434 0,8900 0,8396 0,7921 Zahlungen (nachschüssig) I 0 bzw. Z t , , , , ,00 Kapitalwert C 0 =I 0 +S(BW t ) ,36 interner Zinssatz i int 0,00% 3 4 Zahlungen (nachschüssig) I 0 bzw. Z t , , , , ,00 Kapitalwert C 0 =I 0 +S(BW t ) - 51,91 interner Zinssatz i int 5,98% Zahlungen (nachschüssig) I 0 bzw. Z t ,00 0,00 0,00 0, ,00 Kapitalwert C 0 =I 0 +S(BW t ) ,76 interner Zinssatz i int 4,66% Zinssatz i 6,00%

52 158 Übungsaufgaben Auswahl aus Alternativen Verfahren der Investitionsrechnung Ein Produzent von Baumaterialien hatte sich im Jahre 2006 für eine Erweiterungsinvestition entschieden. Im Angesicht der seinerzeit stark steigenden Baustoffpreise wurde ein interner Zinssatz von 15% prognostiziert. Folgende Zahlungen wurden seitdem geleistet: 2006: (Projektplanung), 2007: (Grunderwerb), 2008: (Grunderwerb) Vor dem Bau der Produktionshallen wird in 2009 die Planung unter Berücksichtigung der wieder gesunkenen Preise aktualisiert. Das Ergebnis finden Sie in der nebenstehenden Tabelle. Sind 15% unter diesen Voraussetzungen noch aktuell? Wäre es sinnvoller, das Vorhaben zu stoppen und in 2009 die nun zusammenhängenden Grundstücke für zu verkaufen? Jahr Zahlung* , , , , , , , , , , , ,00 * Tsd. Euro, nachschüssig

53 159 Übungsaufgaben Bsp3: Erweiterungsinvestition Produzent von Baumaterialien Verfahren der Investitionsrechnung Jahr Zeitpunkt t Diskontierungsfaktor 1/q t 1,0000 0,8696 0,7561 0,6575 0,5718 0,4972 0,4323 0,3759 0,3269 0,2843 0,2472 0,2149 Zahlungen (Tsd.) I 0 bzw. Z t -25,00-120,00-30,00-960,00 175,00 250,00 300,00 300,00 300,00 200,00 100,00 375,00 Barwerte (Tsd.) BW t =Z t /q t -25,00-104,35-22,68-631,22 100,06 124,29 129,70 112,78 98,07 56,85 24,72 80,60 Kapitalwert (Tsd.) C 0 =I 0 +S(BW t ) -56,17 Verkauf der Grundstücke als Alternative Zahlungen (Tsd.) I 0 bzw. Z t -25,00-120,00-30,00 240,00 Barwerte (Tsd.) BW t =Z t /q t -25,00-104,35-22,68 157,80 Kapitalwert (Tsd.) C 0 =I 0 +S(BW t ) 5,77 Zinssatz i 15,00%

54 160 Annuitätenmethode Verfahren der Investitionsrechnung Überblick über die dynamischen Verfahren wie hoch ist die Summe C 0 aller auf den Anfangszeitpunkt diskontierten Zahlungen? Berechnung: Summierung der Barwerte aller Zahlungen interner Zinssatz (Kriterium: Totalerfolg) mit welchen Zinssatz i int müsste eine alternative Kapitalanlage ausgestattet sein, damit sie einen mit der Investition identischen Endwert erbringt? Berechnung: Schätzung des Zinssatzes, bei dem C 0 = 0 gilt Annuität (Kriterium: Periodenerfolg) welcher konstante, über die Verzinsung zum Kalkulationszinssatz hinaus gehende Betrag A kann regelmäßig der Investition entnommen werden? Berechnung: Multiplikation von C 0 mit dem Wiedergewinnungsfaktor oder alternativ Division von C 0 durch den Rentenbarwertfaktor

55 161 Annuitätenmethode Berechnung der Annuität mit dem Rentenbarwertfaktor RBF n Verfahren der Investitionsrechnung Annuität Inv. 1 Zeitpunkt t Diskontierungsfaktor 1/q t 1,0000 0,9259 0,8573 0,7938 Zahlungen (nachschüssig) I 0 bzw. Z t ,00 700,00 500,00 300,00 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z t /q t ,00 648,15 428,67 238,15 Kapitalwert C 0 =I 0 +S(BW t ) 314,97 Rentenbarwertfaktor RBF n =(q T -1)/(q T *(q-1)) 2,57710 Annuität A=C 0 /RBF n 122,22 RBF n = q T 1 q T (q 1)

56 162 Annuitätenmethode Annuität und Endwert bei Entnahme der Annuität entspricht der Endwert der verbleibenden Zahlungen dem Endwert der alternativen Kapitalanlage, d.h. C 0 = 0 i = 8,00% Inv. 1 A =122,22 0 C 0 = 0,00 1 Verfahren der Investitionsrechnung ,00 700,00 500,00 300, , ,22-122,22-122,22 577,78 377,78 177,78 (1+i) 1 408,00 (1+i) 2 673,93 (1+i) -3 EW = 1 259,71 3

57 163 Annuitätenmethode Verwendung der Annuitätenmethode Verfahren der Investitionsrechnung Einzelinvestitionen Annuität A > 0 bedeutet, dass die Investition zu einem höheren Endwert führt als die alternative Kapitalanlage zum Kalkulationszinssatz deshalb: Ablehnung von Investitionen mit einer Annuität A < 0 Auswahlentscheidungen je höher die Annuität desto höher der Endwert deshalb: Entscheidung für die Investition mit der höchsten Annuität

58 164 Annuitätenmethode Vor- und Nachteile der Annuitätenmethode Verfahren der Investitionsrechnung Vorteile wie bei der Kapitalwertmethode vollständige, zeitlich und betragsmäßig differenzierte Erfassung von Zahlungsströmen geeignet für Einzel- und Auswahlentscheidungen Nachteile wie bei der Kapitalwertmethode Zurechenbarkeit von Zahlungsströmen auf einzelne Investition oftmals schwierig zunehmende Ungenauigkeit in der Prognose von Zahlungsströmen bei zunehmender Nutzungsdauer (Prognoseproblem) Annahme von Differenzinvestitionen bei unterschiedlichen Anfangsauszahlungen oder unterschiedlichen Nutzungsdauern erforderlich keine Aussage über die Rentabilität

59 165 dynamische Amortisation Ergänzung der dynamischen Verfahren Verfahren der Investitionsrechnung statische Amortisationsrechnung: Berechnung der Amortisationsdauer unter Verwendung des durchschnittlichen jährlichen Cash-Flows Amortisationsdauer T A : wann übersteigen die kumulierten durchschnittlichen Cash- Flows CF die Anschaffungsauszahlung abzüglich Restwert AHK-RW? T A = (AHK-RW) / CF dynamische Amortisationsrechnung: Berechnung der Amortisationsdauer unter Verwendung der jährlichen Cash-Flows dynamische Amortisationsdauer (1): wann übersteigen die kumulierten CF die AHK-RW? dynamische Amortisationsdauer (2): wann übersteigen die kumulierten Barwerte der zukünftigen CF die AHK-RW? wenig gebräuchlich

60 166 dynamische Amortisation statische und dynamische Amortisation Verfahren der Investitionsrechnung Bsp1: Anschaffung einer neuen Produktionsanlage (Amortisationsdauer) Zeitpunkt t Zahlungen (nachschüssig) I 0 bzw. Z t , , , , , ,00 durchschnittlicher Cash-Flow p.a. CF ,00 statische Amortisationsdauer T A =(I 0 -L)/CF 3,16 kumulierte Zahlungen S(Z 1 t ) , , , , ,00 dynamische Amortisationsdauer (1) T A,dyn 3,11 3,11 Diskontierungsfaktor 1/q t 1,0000 0,9009 0,8116 0,7312 0,6587 0,5935 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z t /q t , , , , , ,08 kumulierte Barwerte (ab t=1) S(BW 1 t ) , , , , ,94 dynamische Amortisationsdauer (2) T A,dyn 3,93 3,93 Zinssatz i 11,00% Liquidationserlös L ,00

61 167 Übungsaufgaben Annu4a: Berechnung eines Anlagebetrags Verfahren der Investitionsrechnung Welchen Betrag muss ein Stifter heute in eine Stiftung einbringen, damit bei einer Verzinsung des Anlagekapitals von 4% zukünftig am Ende eines jeden Jahres (zeitlich unbegrenzt) ein Betrag von ausgezahlt werden kann? Die erste Zahlung soll heute in einem Jahr stattfinden. Annu4a: Anlagebetrag für eine unbegrenzt häufige nachschüssige Zahlung Zeitpunkt t Zahlungen (nachschüssig) A 0, , , , , ,00

62 168 Übungsaufgaben Annu4a: Berechnung eines Anlagebetrags Verfahren der Investitionsrechnung Annu4a: Anlagebetrag für eine unbegrenzt häufige nachschüssige Zahlung Zeitpunkt t Zahlungen (nachschüssig) A 0, , , , , ,00 Barwert zukünftiger Zahlungen K 0 =A/i ,00 Zahlung (nachschüssig) A ,00 Zinssatz i 4,00% Zinsfaktor q=1+i 1,0400 Laufzeit T

63 169 Übungsaufgaben Annu4b: Berechnung eines Anlagebetrags Verfahren der Investitionsrechnung Welchen Betrag muss ein Stifter heute in eine Stiftung einbringen, damit bei einer Verzinsung des Anlagekapitals von 4% zukünftig zu Beginn eines jeden Jahres (zeitlich unbegrenzt) ein Betrag von ausgezahlt werden kann? Die erste Zahlung soll bereits heute stattfinden. Annu4b: Anlagebetrag für eine unbegrenzt häufige vorschüssige Zahlung Zeitpunkt t Zahlungen (vorschüssig) A , , , , , ,00

64 170 Übungsaufgaben Annu4b: Berechnung eines Anlagebetrags Verfahren der Investitionsrechnung Annu4b: Anlagebetrag für eine unbegrenzt häufige vorschüssige Zahlung Zeitpunkt t Zahlungen (vorschüssig) A , , , , , ,00 Barwert zukünftiger Zahlungen K 0 =A+A/i ,00 Zahlung (vorschüssig) A ,00 Zinssatz i 4,00% Zinsfaktor q=1+i 1,0400 Laufzeit T

65 171 Übungsaufgaben Annu4c: Berechnung eines Anlagebetrags Verfahren der Investitionsrechnung Welchen Betrag müssen Eltern bei einem Zinssatz von 4% heute zur Finanzierung des Studiums ihres Kindes anlegen, damit fünf Mal ein jährlicher Betrag von ausgezahlt werden kann? Die erste Zahlung soll bereits heute, weitere Zahlungen jeweils zu Beginn des Jahres stattfinden. Annu4c: Anlagebetrag für eine begrenzt häufige vorschüssige Zahlung Zeitpunkt t Zahlungen (vorschüssig) A , , , , ,00

66 172 Übungsaufgaben Annu4c: Berechnung eines Anlagebetrags Verfahren der Investitionsrechnung Annu4c: Anlagebetrag für eine begrenzt häufige vorschüssige Zahlung Zeitpunkt t Zahlungen (vorschüssig) A , , , , ,00 Rentenbarwertfaktor RBF v =(q T -1)/(q T-1 *(q-1)) 4,62990 Barwert zukünftiger Zahlungen K 0 =RBF v *A ,38 Zahlung (vorschüssig) A ,00 Zinssatz i 4,00% Zinsfaktor q=1+i 1,0400 Laufzeit T 5

67 173 Übungsaufgaben Annu4d: Berechnung eines Anlagebetrags Verfahren der Investitionsrechnung Welchen Betrag müssen Eltern bei einem Zinssatz von 4% heute zur Finanzierung des Studiums ihres Kindes anlegen, damit fünf Mal ein jährlicher Betrag von ausgezahlt werden kann? Die erste Zahlung soll in 17 Jahren, weitere Zahlungen jeweils zu Beginn der darauf folgenden Jahre stattfinden. Annu4d: Anlagebetrag für eine begrenzt häufige vorschüssige Zahlung ab einem zukünftigen Termin Zeitpunkt t Zahlungen (vorschüssig) A , , , ,00

68 174 Übungsaufgaben Annu4d: Berechnung eines Anlagebetrags Verfahren der Investitionsrechnung Annu4d: Anlagebetrag für eine begrenzt häufige vorschüssige Zahlung ab einem zukünftigen Termin Zeitpunkt t Zahlungen (vorschüssig) A , , , ,00 Rentenbarwertfaktor (t=17) RBF v,t=17 =(q T -1)/(q T-1 *(q-1)) 4,62990 Barwert zukünftiger Zahlungen (t=17) K 0,t=17 =RBF v,t=17 *A ,38 Barwert zukünftiger Zahlungen (t=0) K 0,t=0 =K 0,t=17 /q ,61 Zahlung (vorschüssig) A ,00 Zinssatz i 4,00% Zinsfaktor q=1+i 1,0400 Laufzeit T 5 Beginn der Zahlungen T Beginn 17

69 175 Übungsaufgaben Annu4e: Berechnung eines regelmäßigen Sparbetrags Verfahren der Investitionsrechnung Welchen regelmäßigen jährlichen Sparbetrag müssen Eltern zur Finanzierung des Studiums ihres Kindes leisten, wenn bei einem Zinssatz von 4% über einen Zeitraum von 17 Jahren ein Guthaben entstehen soll, das für fünf jährliche Zahlungen in Höhe von ausreicht? Die Sparbeträge sind jeweils zu Beginn eines Jahres zu leisten, der erste Sparbetrag ist bereits heute fällig. Die Zahlungen an das Kind werden ebenfalls zum Jahresbeginn geleistet. Annu4e: erforderlicher Sparbetrag für eine begrenzt häufige vorschüssige Zahlung ab einem zukünftigen Termin Zeitpunkt t Zahlungen (vorschüssig) A 4 696, , , , , ,00

70 176 Übungsaufgaben Annu4e: Berechnung eines regelmäßigen Sparbetrags Verfahren der Investitionsrechnung Annu4e: erforderlicher Sparbetrag für eine begrenzt häufige vorschüssige Zahlung ab einem zukünftigen Termin Zeitpunkt t Zahlungen (vorschüssig) A 4 696, , , , , ,00 Rentenbarwertfaktor (t=17) RBF v,t=17 =(q T -1)/(q T-1 *(q-1)) 4,62990 Barwert zukünftiger Zahlungen (t=17) K 0,t=17 =RBF v,t=17 *A ,38 Endwertfaktor EWF v =q*(q TS -1)/(q-1) 24,64541 erforderlicher Sparbetrag (vorschüssig) A=K 0,t=17 /EWF v 4 696,51 Zahlung (vorschüssig) A ,00 Zinssatz i 4,00% Zinsfaktor q=1+i 1,0400 Laufzeit T 5 Anzahl der vorschüssigen Sparbeträge TS 17

71 177 Übungsaufgaben Immobilieninvestition Verfahren der Investitionsrechnung Eine Immobilie wird zu (inkl. Nebenkosten) zum Kauf angeboten. Folgende Nutzungsalternativen stehen zur Wahl: 5 Jahre zu p.a. verpachten, dann Verkauf zu unbefristet zu p.a. verpachten, nie verkaufen 20 Jahre zu p.a. verpachten, dann Verkauf zu Prüfen Sie die Vorteilhaftigkeit der einzelnen Nutzungsalternativen unter Berücksichtigung folgender Annahmen: die angegebenen jährlichen Zahlungen bezeichnen den Grundstücksreinertrag (Pachteinnahmen abzgl. aller Bewirtschaftungskosten) Zahlungstermine für Pacht und Verkaufserlös: nachschüssig Kalkulationszinssatz: 9,00% p.a. Lassen sich die Alternativen uneingeschränkt vergleichen?

72 178 Übungsaufgaben Alternative 1 Verfahren der Investitionsrechnung Bsp5: kurzfristiger Pachtvertrag (5 Jahre), dann verkaufen Rentenbarwertfaktor RBF n =(q T -1)/(q T *(q-1)) 3,88965 Barwert Grundstücksreinertrag K 0,1 =RBF n *A ,47 Barwert Liquidationserlös L 0 =L/q T ,25 Kapitalwert C 0 =-I 0 +K 0,1 +L ,72 Zinssatz i 9,00% Zinsfaktor q 1,0900 Nutzungsdauer T 5 Kaufpreis inkl. Nebenkosten I ,00 Grundstücksreinertrag p.a. A ,00 Liquidationserlös L ,00

73 179 Übungsaufgaben Alternative 2 Verfahren der Investitionsrechnung Bsp5: unbefristeter Pachtvertrag, nie verkaufen Barwert Grundstücksreinertrag K 0,1 =A/i ,00 Kapitalwert C 0 =-I 0 +K 0, ,00 interner Zinssatz i int =A/I 0 8,077% Zinssatz i 9,00% Zinsfaktor q 1,0900 Nutzungsdauer T Kaufpreis inkl. Nebenkosten I ,00 Grundstücksreinertrag p.a. A ,00

74 180 Übungsaufgaben Alternative 3 Verfahren der Investitionsrechnung Bsp5: langfristiger Pachtvertrag (20 Jahre), dann verkaufen Rentenbarwertfaktor RBF n =(q T -1)/(q T *(q-1)) 9,12855 Barwert Grundstücksreinertrag K 0,1 =RBF n *A ,46 Barwert Liquidationserlös L 0 =L/q T ,09 Kapitalwert C 0 =-I 0 +K 0,1 +L ,45 Zinssatz i 9,00% Zinsfaktor q 1,0900 Nutzungsdauer T 20 Kaufpreis inkl. Nebenkosten I ,00 Grundstücksreinertrag p.a. A ,00 Liquidationserlös L ,00

75 181 Übungsaufgaben Zusammenfassung der Ergebnisse Verfahren der Investitionsrechnung da die Anschaffungsinvestition bei allen Alternativen identisch ist, reicht zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit der Kapitalwert aus eine Analyse der internen Zinssätze würde hier zum gleichen Ergebnis führen es ist dann die Alternative mit dem höchsten Kapitalwert zu wählen, also Alternative 1 da die Alternativen unterschiedliche Nutzungsdauern aufweisen, kann der Kapitalwert als Auswahlkriterium nur herangezogen werden, wenn davon ausgegangen werden kann, dass Unterschiede in den Nutzungsdauern durch Differenzinvestitionen ausgeglichen werden können dabei wird (oftmals stillschweigend) unterstellt, dass die Differenzinvestitionen zum Kalkulationszinssatz erfolgen

76 182 Übungsaufgaben Rettungspaket für Ewald Verfahren der Investitionsrechnung Kegelbruder Ewald, Landwirt im Nebenerwerb, benötigt dringend Bargeld zur Zahlung seiner Steuerschulden und bietet Ihnen deshalb ein größeres Stück Land zum Preis von inkl. Nebenkosten an. Sie sind gerade liquide und könnten das Geld langfristig zu 5% p.a. anlegen. Um sich einen Überblick über die Profitabilität zu verschaffen, rechnen Sie folgende Szenarien durch: Langfristige Verpachtung als landwirtschaftliche Fläche zu p.a. Für die Fläche wird mittelfristig ein B-Plan aufgestellt. Sie hoffen auf einen Verkauf als Bauerwartungsland zu in 5 Jahren und verpachten deshalb nur kurzfristig zu p.a. Es wird tatsächlich ein B-Plan aufgestellt. Sie haben (wie oben) kurzfristig verpachtet, führen nach 5 Jahren für die Erschließung durch und vergeben die Baugrundstücke in Erbpacht für 99 Jahre () zu p.a.

77 183 Übungsaufgaben Rettungspaket für Ewald als landwirtschaftliche Fläche verpachten, nie verkaufen Bsp6(a): als landwirtschaftliche Fläche verpachten, nie verkaufen Barwert landw. Pacht K 0 =A/i ,00 Kapitalwert C 0 =-I 0 +K ,00 interner Zinssatz i int =A/I 0 6,250% Kaufpreis inkl. Nebenkosten I ,00 Nutzungsdauer T langfr. landw. Pacht p.a. A ,00 Zinssatz i 5,00% Verfahren der Investitionsrechnung

78 184 Übungsaufgaben Rettungspaket für Ewald Verfahren der Investitionsrechnung kurzfristig als landwirtschaftliche Fläche verpachten, nach 5 Jahren als Bauerwartungsland verkaufen Bsp6(b): wie (a), jedoch Verkauf als Bauerwartungsland Rentenbarwertfaktor RBF n =(q T -1)/(q T *(q-1)) 4,32948 Barwert landw. Pacht K 0 =RBF n *A ,38 Barwert Verkaufspreis L 0 =L/q T ,85 Kapitalwert C 0 =-I 0 +K 0 +L ,23 Kaufpreis inkl. Nebenkosten I ,00 Nutzungsdauer T 5 kurzfr. landw. Pacht p.a. A 5 000,00 Verkaufspreis Bauerwartungsland L ,00 Zinssatz i 5,00% Zinsfaktor q 1,0500

79 185 Übungsaufgaben Rettungspaket für Ewald kurzfristig als landwirtschaftliche Fläche verpachten, nach 5 Jahren erschließen und Baugrundstücke in Erbpacht vergeben Bsp6(c): wie (b), jedoch Baugrundstücke in Erbpacht Verfahren der Investitionsrechnung Rentenbarwertfaktor RBF n =(q T -1)/(q T *(q-1)) 4,32948 Barwert landw. Pacht K 01 =RBF n *A L ,38 Barwert Erbpacht (t=5) K 02,t=5 =A E /i ,00 Barwert Erbpacht (t=0) K 02,t=0 =K 02,t=5 /q T ,17 Barwert Erschließungsbeitrag E 0 =-E 5 /q T ,08 Kapitalwert C 0 =-I 0 +K 0,1 +K 02,t=0 +E ,47 Kaufpreis inkl. Nebenkosten I ,00 Dauer der landw. Pacht T 5 kurzfr. landw. Pacht p.a. A L 5 000,00 Erschließungsbeitrag E ,00 Dauer der Erbpacht Erbpacht A E ,00 Zinssatz i 5,00% Zinsfaktor q 1,0500