Investitionsrechnung: Rentabilitätsrechnung

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1 Investitionsrechnung: Rentabilitätsrechnung Rentabilitätsvergleichsrechnung Erweiterung des Kosten- und Gewinnvergleichs um die Berücksichtigung des Kapitaleinsatzes Kostenvergleich: nur Kosten Gewinnvergleich: Kosten und Erlöse Rentabilitätsrechnung: Kosten, Erlöse und Kapitaleinsatz Rentabilität = durchschnittliche Verzinsung einer Investition p.a. entspricht dem RoI ( Return on Investment, s.u.) erhöhte Aussagekraft ermöglicht den Vergleich vollkommen unterschiedlicher Investitionen, z.b. Sachund Finanzinvestitionen ermöglicht den Vergleich mit einer Mindestverzinsung Brutto(Netto)-Rentabilität ohne (inklusive) Berücksichtigung von kalkulatorischen Zinsen, d.h. Berechnung der (über die kalkulatorische Verzinsung hinausgehenden) Verzinsung des eingesetzten Kapitals r Brutto = ( G + Zi ) / KE bzw. r Netto = G / KE 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 76

2 Investitionsrechnung: Rentabilitätsrechnung Einzelentscheidung Vergleich der Rentabilität mit einer vorgegebenen Mindestverzinsung Auswahlentscheidung Vergleich der Rentabilität alternativer Investitionen vereinfachende Annahme bei unterschiedlichen Anschaffungs- /Herstellungskosten (AHK) oder unterschiedlichen Nutzungsdauern (ND): Differenzinvestitionen verzinsen sich genau so wie die eigentliche Investition 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 77

3 Daten I II III Anschaffungskosten (Euro) AHK , , ,00 fixe Betriebskosten p.a. (Euro) K B,f 750, , ,00 variable Stückkosten (Euro) k v 3,20 2,10 1,20 geplante Produktion p.a. (Stück) x geplante Nutzungsdauer (Jahre) T Restbuchwert am Ende der Nutzungsdauer (Euro) RW 5.000, , ,00 Erlöse pro Stück (Euro) p 5,70 5,75 5,85 Zinssatz p.a. i 10,00% 10,00% 10,00% Kostenvergleich p.a. (Euro) Abschreibungen AfA=(AHK-RW)/T 6.250, , ,00 durchschnittlicher Kapitaleinsatz KE=(AHK+RW)/ , , ,00 Zinsen Zi=KE*i 1.750, , ,00 gesamte Fixkosten K f =K B,f +AfA+Zi 8.750, , ,00 variable Kosten K v =k v *x , , ,00 durchschnittliche Gesamtkosten K=K v +K f , , ,00 Gewinnvergleich (Euro) Erlöse p.a. U=p*x , , ,00 Gewinn p.a. G=U-K 2.500, , ,00 Rentabilitätsrechnung Brutto-Rentabilität r Brutto =(G+Zi)/KE 24,29% 22,98% 21,82% Netto-Rentabilität r Netto =G/KE 14,29% 12,98% 11,82% 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 78

4 Investitionsrechnung: Rentabilitätsrechnung Bsp5 Daten I II Anschaffungskosten (Euro) AHK , ,00 fixe Betriebskosten p.a. (Euro) K B,f , ,00 variable Stückkosten (Euro) k v 20,00 15,00 geplante Produktion p.a. (Stück) x geplante Nutzungsdauer (Jahre) T 5 5 Restbuchwert am Ende der Nutzungsdauer (Euro) RW 0, ,00 Erlöse pro Stück (Euro) p 25,50 25,50 Zinssatz p.a. i 5,00% 5,00% entscheiden Sie sich auf der Grundlage von Kostenvergleich, Gewinnvergleich und Rentabilitätsrechnung 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 79

5 Kostenvergleich p.a. (Euro) I II Abschreibungen AfA=(AHK-RW)/T 8.000, ,00 durchschnittlicher Kapitaleinsatz KE=(AHK+RW)/ , ,00 Zinsen Zi=KE*i 1.000, ,00 gesamte Fixkosten K f =K B,f +AfA+Zi , ,00 variable Kosten K v =k v *x , ,00 durchschnittliche Gesamtkosten K=K v +K f , ,00 Stückkosten k=k/x 24,75 24,58 kritische Auslastung (Stück) x kr =(K f,2 -K f,1 )/(k v,1 -k v,2 ) Gewinnvergleich (Euro) Erlöse p.a. U=p*x , ,00 Gewinn p.a. G=U-K 3.000, ,00 Gewinn pro Stück g=g/x 0,75 0,92 Deckungsbeitrag pro Stück db=p-k v 5,50 10,50 Deckungsbeitrag p.a. DB=db*x , ,00 Break-Even-Analyse Break-Even (Stück) x BE =K f /db Break-Even (% d. gepl. Produktion) x BE,rel =x BE /x 86,38% 91,25% Rentabilitätsrechnung Brutto-Rentabilität r Brutto =(G+Zi)/KE 20,00% 17,05% Netto-Rentabilität r Netto =G/KE 15,00% 12,05% 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)

6 x K I K II G I G II r B,I -95,00% -81,25% -67,50% -53,75% -40,00% -26,25% -12,50% 1,25% 15,00% 28,75% 42,50% 56,25% 70,00% r B,II -125,66% -108,44% -91,23% -74,02% -56,80% -39,59% -22,38% -5,16% 12,05% 29,26% 46,48% 63,69% 80,90% KI KII GI GII ,00% 50,00% 0,00% -50,00% -100,00% rb,i rb,ii ,00% Februar prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 81

7 Investitionsrechnung: Rentabilitätsrechnung Ersatzproblem vereinfachende Annahmen die Erlöse der alten und neuen Investition sind gleich (U alt = U neu ) ein Liquidationserlös aus der alten Investition fällt nicht an (L AV = 0) der Ersatz kann somit wie beim Kostenvergleich unter Verwendung von K B,alt und K neu beurteilt werden alternativ: Olfert vergleicht K alt und K neu (s. S. 106) Brutto-Rentabilität des Ersatzes (r Brutto,Ersatz ) Kostenersparnis (K B,alt K neu ) durchschnittlicher Kapitaleinsatz der neuen Investition KE neu r Brutto,Ersatz = (K B,alt K neu ) / KE neu Netto-Rentabilität des Ersatzes (r Netto,Ersatz ) r Netto,Ersatz = (K B,alt K neu +Zi neu ) / KE neu Ersatz durchführen, wenn r Brutto,Ersatz > 0 bzw. r Netto,Ersatz > i 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 82

8 Daten I ("alt") II ("neu") Anschaffungskosten (Euro) AHK , ,00 fixe Betriebskosten p.a. (Euro) K B,f 4.000, ,00 variable Stückkosten (Euro) k v 5,00 4,50 geplante Produktion p.a. (Stück) x geplante Nutzungsdauer (Jahre) T 8 8 Restbuchwert am Ende der Nutzungsdauer (Euro) RW 0,00 0,00 Erlöse pro Stück (Euro) p 8,00 8,00 Zinssatz p.a. i 5,00% 5,00% Kostenvergleich p.a. (Euro) bei Ersatzinvestition Abschreibungen AfA=(AHK-RW)/T 2.500, ,00 durchschnittlicher Kapitaleinsatz KE=(AHK+RW)/ , ,00 Zinsen Zi=KE*i 500,00 625,00 gesamte Fixkosten "alt": K f =K B,f ; "neu": K f =K B,f +AfA+Zi 4.000, ,00 variable Kosten K v =k v *x , ,00 durchschnittliche Gesamtkosten K=K v +K f , ,00 Gewinnvergleich (Euro) bei Ersatzinvestition Erlöse p.a. U=p*x , ,00 Gewinn p.a. G=U-K 2.000, ,00 Rentabilität des Ersatzes Brutto-Rentabilität r Brutto,Ersatz =(K B,alt -K neu )/KE neu Netto-Rentabilität r Netto,Ersatz =(K B,alt -K neu +Zi neu )/KE neu 2,00% 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 83 7,00%

9 Investitionsrechnung: Rentabilitätsrechnung Bsp7(Ersatz) Daten I ("alt") II ("neu") Anschaffungskosten (Euro) AHK , ,00 fixe Betriebskosten p.a. (Euro) K B,f , ,00 variable Stückkosten (Euro) k v 20,00 10,00 geplante Produktion p.a. (Stück) x geplante Nutzungsdauer (Jahre) T 4 4 Restbuchwert am Ende der Nutzungsdauer (Euro) RW 0,00 0,00 Erlöse pro Stück (Euro) p 36,00 40,00 Zinssatz p.a. i 5,00% 5,00% soll ein Ersatz durchgeführt werden? nutzen Sie für eine Entscheidung den Kosten- und Gewinnvergleich sowie die Rentabilitätsrechnung unter der Annahme, dass kein Liquidationserlös erzielt werden kann 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 84

10 Investitionsrechnung: Rentabilitätsrechnung Kostenvergleich p.a. (Euro) bei Ersatzinvestition I ("alt") II ("neu") Abschreibungen AfA=(AHK-RW)/T , ,00 durchschnittlicher Kapitaleinsatz KE=(AHK+RW)/ , ,00 Zinsen Zi=KE*i 4.000, ,00 gesamte Fixkosten "alt": K f =K B,f ; "neu": K f =K B,f +AfA+Zi , ,00 variable Kosten K v =k v *x , ,00 durchschnittliche Gesamtkosten K=K v +K f , ,00 Gewinnvergleich (Euro) bei Ersatzinvestition Erlöse p.a. U=p*x , ,00 Gewinn p.a. G=U-K , ,00 Rentabilität des Ersatzes Brutto-Rentabilität r Brutto,Ersatz =(K B,alt -K neu )/KE neu 23,57% Netto-Rentabilität r Netto,Ersatz =(K B,alt -K neu +Zi neu )/KE neu 28,57% Ersatzproblem 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 85

11 Investitionsrechnung: Rentabilitätsrechnung Vor- und Nachteile der Rentabilitätsrechnung Vorteil schnell und einfach durchführbar, wenig aufwändig berücksichtigt unterschiedliche Erlöse und unterschiedlichen Kapitaleinsatz ermöglicht den Vergleich mit einem Referenzzinssatz Nachteile möglicherweise ungenau, weil Entscheidungen aufgrund einer fiktiven Durchschnittsperiode getroffen werden (typisch für alle statischen Verfahren) Aufteilung in fixe und variable Kosten möglicherweise schwierig Zurechnung von Erlösen auf einzelne Investitionen unter Umständen problematisch möglicherweise unrealistische Annahme einer gleichartigen Differenzinvestition bei unterschiedlichem Kapitaleinsatz oder unterschiedlicher Nutzungsdauer 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 86

12 Investitionsrechnung: Amortisationsrechnung Amortisationsrechnung Amortisationsdauer (T A ): Zeitraum, innerhalb dessen die Anschaffungs- /Herstellungskosten (AHK) aus dem Cash-Flow (CF) der Investition zurück fließen synonyme Begriffe: Pay-Off-Periode, Wiedergewinnungsdauer Cash-Flow p.a. = durchschnittliche Einzahlungen p.a. abzüglich durchschnittliche Auszahlungen p.a., Berechnung des Cash-Flows als Summe aus dem durchschnittlichen Gewinn (G) und der kalkulatorischen Abschreibung (AfA): CF = G + AfA je kürzer die Amortisationsdauer, desto kürzer wird die Liquidität eines Unternehmens belastet sicherer ist eine Investition Verwendung der relativen Amortisationsdauer (T A,rel )bei unterschiedlichen Nutzungsdauern (T) T A,rel = T A /T 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 87

13 Daten I II III Anschaffungskosten (Euro) AHK , , ,00 fixe Betriebskosten p.a. (Euro) K B,f 750, , ,00 variable Stückkosten (Euro) k v 3,20 2,10 1,20 geplante Produktion p.a. (Stück) x geplante Nutzungsdauer (Jahre) T Restbuchwert am Ende der Nutzungsdauer (Euro) RW 5.000, , ,00 Erlöse pro Stück (Euro) p 5,70 5,75 5,85 Zinssatz p.a. i 10,00% 10,00% 10,00% Kostenvergleich p.a. (Euro) Abschreibungen AfA=(AHK-RW)/T 6.250, , ,00 durchschnittlicher Kapitaleinsatz KE=(AHK+RW)/ , , ,00 Zinsen Zi=KE*i 1.750, , ,00 gesamte Fixkosten K f =K B,f +AfA+Zi 8.750, , ,00 variable Kosten K v =k v *x , , ,00 durchschnittliche Gesamtkosten K=K v +K f , , ,00 Gewinnvergleich (Euro) Erlöse p.a. U=p*x , , ,00 Gewinn p.a. G=U-K 2.500, , ,00 Amortisationsrechnung Cash-Flow p.a. CF=G+AfA 8.750, , ,00 Pay-Off-Periode (Jahre) T A =AHK/CF 3,43 3,33 3, Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 88 relative Pay-Off-Periode T A,rel =T A /T 85,71% 83,16% 93,75%

14 Investitionsrechnung: Amortisationsrechnung Bsp5 Daten I II Anschaffungskosten (Euro) AHK , ,00 fixe Betriebskosten p.a. (Euro) K B,f , ,00 variable Stückkosten (Euro) k v 18,00 12,50 geplante Produktion p.a. (Stück) x geplante Nutzungsdauer (Jahre) T 5 5 Restbuchwert am Ende der Nutzungsdauer (Euro) RW 0, ,00 Erlöse pro Stück (Euro) p 28,00 28,00 Zinssatz p.a. i 5,00% 5,00% entscheiden Sie sich auf der Grundlage der Rentabilität und Amortisationsdauer 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 89

15 Investitionsrechnung: Amortisationsrechnung Kostenvergleich p.a. (Euro) I II Abschreibungen AfA=(AHK-RW)/T , ,00 durchschnittlicher Kapitaleinsatz KE=(AHK+RW)/ , ,00 Zinsen Zi=KE*i 2.000, ,00 gesamte Fixkosten K f =K B,f +AfA+Zi , ,00 variable Kosten K v =k v *x , ,00 durchschnittliche Gesamtkosten K=K v +K f , ,00 Gewinnvergleich (Euro) Erlöse p.a. U=p*x , ,00 Gewinn p.a. G=U-K 8.000, ,00 Rentabilitätsrechnung Brutto-Rentabilität r Brutto =(G+Zi)/KE 25,00% 21,82% Netto-Rentabilität r Netto =G/KE 20,00% 16,82% Amortisationsrechnung Cash-Flow p.a. CF=G+AfA , ,00 Pay-Off-Periode (Jahre) T A =AHK/CF 3,33 3,53 relative Pay-Off-Periode T A,rel =T A /T 66,67% 70,64% 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 90

16 Investitionsrechnung: Amortisationsrechnung Ersatzproblem vereinfachende Annahmen die Erlöse der alten und neuen Investition sind gleich (U alt = U neu ) CF = G + AfA = U K + AfA ein Liquidationserlös aus der alten Investition fällt nicht an (L AV = 0) der Ersatz kann somit wie beim Kostenvergleich beurteilt werden alte Investition: Berücksichtigung der Betriebskosten (K B,alt ) neue Investition: Berücksichtigung der Gesamtkosten (K), hier jedoch ohne Abschreibungen (AfA) Amortisationsdauer des Ersatzes (T A,Ersatz ) ersparte variable Kosten: K v,erspart = K v,alt K v,neu ersparte fixe Betriebskosten: K B,f,erspart = K B,f,alt K B,f,neu (liquiditätswirksame) Zinsen für die neue Investition: Zi neu T A,Ersatz = AHK neu / ( K v,erspart + K B,f,erspart Zi neu ) Ersatz durchführen, wenn T A,Ersatz < T neu bzw. wenn wenn T A,Ersatz,rel < 100% 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 91

17 Bsp8 (Ersatz): Daten I ("alt") II ("neu") Anschaffungskosten (Euro) AHK , ,00 fixe Betriebskosten p.a. (Euro) K B,f 4.000, ,00 variable Stückkosten (Euro) k v 10,00 1,00 geplante Produktion p.a. (Stück) x geplante Nutzungsdauer (Jahre) T 5 5 Restbuchwert am Ende der Nutzungsdauer (Euro) RW 0,00 0,00 Erlöse pro Stück (Euro) p 20,00 16,00 Zinssatz p.a. i 5,00% 5,00% Kostenvergleich p.a. (Euro) bei Ersatzinvestition Abschreibungen AfA=(AHK-RW)/T 8.000, ,00 durchschnittlicher Kapitaleinsatz KE=(AHK+RW)/ , ,00 Zinsen Zi=KE*i 1.000, ,00 gesamte Fixkosten "alt": K f =K B,f ; "neu": K f =K B,f +AfA+Zi 4.000, ,00 variable Kosten K v =k v *x , ,00 durchschnittliche Gesamtkosten K=K v +K f , ,00 Gewinnvergleich (Euro) bei Ersatzinvestition Erlöse p.a. U=p*x , ,00 Gewinn p.a. G=U-K , ,00 Amortisationsdauer des Ersatzes ersparte variable Kosten K v,erspart =K v,alt -K v,neu ,00 ersparte fixe Betriebskosten K B,f,erspart =K B,f,alt -K B,f,neu Pay-Off-Periode (Jahre) T A,Ersatz =AHK neu /(K v,erspart +K B,f,erspart -Zi neu ) 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 92 relative Pay-Off-Periode T A,Ersatz,rel =T A,Ersatz /T neu ,00 3,57 71,43%

18 Investitionsrechnung: Amortisationsrechnung Bsp9(Ersatz) Daten I ("alt") II ("neu") Anschaffungskosten (Euro) AHK , ,00 fixe Betriebskosten p.a. (Euro) K B,f , ,00 variable Stückkosten (Euro) k v 50,00 44,00 geplante Produktion p.a. (Stück) x geplante Nutzungsdauer (Jahre) T 8 8 Restbuchwert am Ende der Nutzungsdauer (Euro) RW 0, ,00 Erlöse pro Stück (Euro) p 55,00 55,00 Zinssatz p.a. i 5,00% 5,00% soll ein Ersatz durchgeführt werden? entscheiden Sie sich auf der Grundlage der Amortisationsdauer 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 93

19 Investitionsrechnung: Amortisationsrechnung Kostenvergleich p.a. (Euro) bei Ersatzinvestition I ("alt") II ("neu") Abschreibungen AfA=(AHK-RW)/T , ,00 durchschnittlicher Kapitaleinsatz KE=(AHK+RW)/ , ,00 Zinsen Zi=KE*i 5.500, ,00 gesamte Fixkosten "alt": K f =K B,f ; "neu": K f =K B,f +AfA+Zi , ,00 variable Kosten K v =k v *x , ,00 durchschnittliche Gesamtkosten K=K v +K f , ,00 Gewinnvergleich (Euro) bei Ersatzinvestition Erlöse p.a. U=p*x , ,00 Gewinn p.a. G=U-K , ,00 Amortisationsdauer des Ersatzes ersparte variable Kosten K v,erspart =K v,alt -K v,neu ,00 ersparte fixe Betriebskosten K B,f,erspart =K B,f,alt -K B,f,neu Pay-Off-Periode (Jahre) T A,Ersatz =AHK neu /(K v,erspart +K B,f,erspart -Zi neu ) relative Pay-Off-Periode T A,Ersatz,rel =T A,Ersatz /T neu ,00 7,58 94,70% 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 94

20 Investitionsrechnung: Amortisationsrechnung Vor- und Nachteile der Amortisationsrechnung Vorteil schnell und einfach durchführbar, wenig aufwändig ermöglicht die grobe Abschätzung des mit einer Investition verbundenen Liquiditätsrisikos Nachteile möglicherweise ungenau, weil Entscheidungen aufgrund einer fiktiven Durchschnittsperiode getroffen werden (typisch für alle statischen Verfahren) Zurechnung von Erlösen auf einzelne Investitionen unter Umständen problematisch keine Berücksichtigung des Kapitaleinsatzes, deshalb nur als Ergänzung zur Rentabilitätsrechnung geeignet 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 95

21 finanzmathematische Grundlagen dynamische Investitionsrechnungen beurteilen Investitionen anhand von Einzahlungen und Auszahlungen erfassen alle Perioden (Jahre) der Nutzungsdauer benutzen finanzmathematische Verfahren finanzmathematische Grundlagen Verzinsung, Zinsfaktor, Diskontierung Endwert, Barwert Rentenbarwertfaktor, Wiedergewinnungsfaktor, Endwertfaktor, Restwertverteilungsfaktor Annuität Kapitalwert, interner Zinssatz 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 96

22 finanzmathematische Grundlagen EW1 Endwert: verzinsliche Anlage eines einmaligen Betrages für ein Jahr Zeitpunkt t 0 1 Anfangsbetrag I , ,00 Zinsen (nachschüssig) Zi t =K t-1 *i 80,00 Anlagekapital K 0 =I 0 ; K t =K t-1 +Zi t 1.000, ,00 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 1 Endwert 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 97

23 finanzmathematische Grundlagen EW2 Endwert: Anlage eines einmaligen Betrages für drei Jahre mit Wiederanlage der Zinsen Zeitpunkt t Anfangsbetrag I , ,00 Zinsen (nachschüssig) Zi t =K t-1 *i 80,00 86,40 93,31 Anlagekapital K 0 =I 0 ; K t =K t-1 +Zi t 1.000, , , ,71 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 Zinsfaktor q = 1 + i K 0 : Kapital im Zeitpunkt 0 / Anfang des 1. Jahres K 0 =I 0 K 1 : Kapital am Ende des 1. / Anfang des 2. Jahres K 1 =K 0 +K 0 *i=k 0 *(1+i) K 2 : Kapital am Ende des 2. / Anfang des 3. Jahres K 2 =K 1 +K 1 *i=k 1 *(1+i)=K 0 *(1+i)*(1+i)=K 0 *(1+i) 2 K 3 : Kapital am Ende des 3. / Anfang des 4. Jahres (Endwert) K 3 =K 2 +K 2 *i=k 2 *(1+i)=K 0 *(1+i) 2 *(1+i)=K 0 *(1+i) 3 K T : Formel zur Berechnung des Endwertes nach T Jahren K T =K 0 *(1+i) T =K 0 *q T mit q=1+i Endwert 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 98

24 finanzmathematische Grundlagen EW3 Endwert: Anlage regelmäßiger, gleich hoher Beträge für drei Jahre mit Wiederanlage der Zinsen Zeitpunkt t Zahlungen (vorschüssig) Z 1.000, , , ,00 0,00 Zinsen (nachschüssig) Zi t =K t-1 *i 80,00 166,40 259,71 Anlagekapital K 0 =-Z; K t =K t-1 +Zi t -Z 1.000, , , ,11 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 K 0 : Kapital im Zeitpunkt 0 / Anfang des 1. Jahres K 1 : Kapital am Ende des 1. / Anfang des 2. Jahres K 2 : Kapital am Ende des 2. / Anfang des 3. Jahres K 0 =-Z K 1 =K 0 +K 0 *i-z=k 0 *q-z K 2 =K 1 +K 1 *i-z=k 1 *q-z K 3 : Kapital am Ende des 3. / Anfang des 4. Jahres (Endwert) K 3 =K 2 +K 2 *i=k 2 *q K T : Formel zur Berechnung des Endwertes nach T Jahren K T =-Z*q*(q T -1)/(q-1) EWF v = q qt 1 q 1 Endwert und Endwertfaktor EWF v (vorschüssig) 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 99

25 finanzmathematische Grundlagen EW4 Endwert: Anlage regelmäßiger, gleich hoher Beträge für drei Jahre mit Wiederanlage der Zinsen Zeitpunkt t Zahlungen (nachschüssig) Z 1.000, , , ,00 Zinsen (nachschüssig) Zi t =K t-1 *i 0,00 80,00 166,40 Anlagekapital K 0 =0; K t =K t-1 +Zi t -Z 0, , , ,40 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 K 0 : Kapital im Zeitpunkt 0 / Anfang des 1. Jahres K 0 =0 K 1 : Kapital am Ende des 1. / Anfang des 2. Jahres K 2 : Kapital am Ende des 2. / Anfang des 3. Jahres K 3 : Kapital am Ende des 3. / Anfang des 4. Jahres (Endwert) K T : Formel zur Berechnung des Endwertes nach T Jahren K 1 =-Z K 2 =K 1 +K 1 *i-z=k 1 *q-z K 3 =K 2 +K 2 *i-z=k 2 *q-z K T =-Z*(q T -1)/(q-1) EWF n = qt 1 q 1 Endwert und Endwertfaktor EWF n (nachschüssig) 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 100

26 finanzmathematische Grundlagen EW5 Endwert: Anlage beliebiger Beträge für drei Jahre mit Wiederanlage der Zinsen Zeitpunkt t Zahlungen (vorschüssig) Z t , ,00-800,00 Zinsen (nachschüssig) Zi t =K t-1 *i 80,00 182,40 260,99 Anlagekapital K 0 =Z 0 ; K t =K t-1 +Zi t +Z t 1.000, , , ,39 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 K 0 : Kapital im Zeitpunkt 0 / Anfang des 1. Jahres K 0 =Z 0 K 1 : Kapital am Ende des 1. / Anfang des 2. Jahres K 1 =K 0 +K 0 *i-z=k 0 *q-z K 2 : Kapital am Ende des 2. / Anfang des 3. Jahres K 2 =K 1 +K 1 *i-z=k 1 *q-z K 3 : Kapital am Ende des 3. / Anfang des 4. Jahres (Endwert) K 3 =K 2 +K 2 *i=k 2 *q K T : keine Formel zur Berechnung des Endwertes nach T Jahren Endwert 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 101

27 finanzmathematische Grundlagen BW1 Barwert: Gegenwartswert eines in einem Jahr fälligen Betrages Zeitpunkt t 0 1 zukünftiger Betrag K ,00 Diskontierungsfaktor 1/q 0,9259 Barwert des zukünftigen Betrages K 0 925,93 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 1 K 1 : Kapital am Ende des 1. / Anfang des 2. Jahres K 1 =K 0 *q K 0 : Kapital im Zeitpunkt 0 / Anfang des 1. Jahres K 0 =K 1 /q Barwert 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 102

28 finanzmathematische Grundlagen BW2 Barwert: Gegenwartswert eines in drei Jahren fälligen Betrages Zeitpunkt t zukünftiger Betrag K ,00 Diskontierungsfaktor 1/q 3 0,7938 Barwert des zukünftigen Betrages K 0 =K 3 /q 3 793,83 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 K 3 : Kapital am Ende des 3. / Anfang des 4. Jahres K 3 =K 0 *q 3 K 0 : Kapital im Zeitpunkt 0 / Anfang des 1. Jahres K 0 =K T /q T Barwert 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 103

29 finanzmathematische Grundlagen BW3 Barwert: Gegenwartswert regelmäßiger zukünftiger Zahlungen Zeitpunkt t zukünftige Zahlungen (vorschüssig) Z 1.000, , , ,00 0,00 Diskontierungsfaktor 1/q t 1 0,9259 0,8573 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z/q t 1.000,00 925,93 857,34 Summe aller Barwerte K 0 =S(BW t ) 2.783,26 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 RBF v = q T 1 q T 1 q 1 K 0 : Formel zur Berechnung der Summe aller Barwerte K 0 =Z*(q T -1)/(q T-1 *(q-1)) Barwert und Rentenbarwertfaktor RBF v (vorschüssig) 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 104

30 finanzmathematische Grundlagen BW4 Barwert: Gegenwartswert regelmäßiger zukünftiger Zahlungen Zeitpunkt t zukünftige Zahlungen (nachschüssig) Z 1.000,00 0, , , ,00 Diskontierungsfaktor 1/q t 0,9259 0,8573 0,7938 Barwerte zukünftiger Zahlungen BW t =Z/q t 925,93 857,34 793,83 Summe aller Barwerte K 0 =S(BW t ) 2.577,10 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 RBF n = q T 1 q T q 1 K 0 : Formel zur Berechnung der Summe aller Barwerte K 0 =Z*(q T -1)/(q T *(q-1)) Barwert und Rentenbarwertfaktor RBF n (nachschüssig) 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 105

31 finanzmathematische Grundlagen BW5 Barwert: Gegenwartswert beliebiger zukünftiger Zahlungen Zeitpunkt t zukünftige Zahlungen (nachschüssig) Z t 0,00 700,00 500,00 300,00 Diskontierungsfaktor 1/q t 0,9259 0,8573 0,7938 Barwerte zukünftiger Zahlungen Z 0 =Z t /q t 648,15 428,67 238,15 Summe aller Barwerte K 0 =S(Z 0 ) 1.314,97 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 K 0 : keine Formel zur Berechnung der Summe aller Barwerte Barwert 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 106

32 finanzmathematische Grundlagen K 0 = Z q T 1 q T q 1 qt q T K 0 = Z 1 1 q T 1 q 1 T 1 q T 0 K 0 T = Z 1 q 1 = Z i Barwert bei unendlicher Laufzeit ( ewige Rente ) 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 107

33 finanzmathematische Grundlagen A1 Annuität: Verteilung eines heute zur Verfügung stehenden Betrages auf gleiche zukünftige Zahlungen Zeitpunkt t zur Verfügung stehender Betrag K , ,00 zukünftige Zahlungen (vorschüssig) Z=K 0 *q T-1 *(q-1)/(q T -1) 1.077, , , ,87 Diskontierungsfaktor 1/q t 1,0000 0,9259 0,8573 Barwerte zukünftiger Zahlungen Z 0 =Z t /q t 1.077,87 998,03 924,10 Summe aller Barwerte K 0 =S(Z 0 ) 3.000,00 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 WGF v = 1 = qt 1 q 1 RBF v q T 1 Annuität mit Wiedergewinnungsfaktor WGF v (vorschüssig) 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 108

34 finanzmathematische Grundlagen A2 Annuität: Verteilung eines heute zur Verfügung stehenden Betrages auf gleiche zukünftige Zahlungen Zeitpunkt t zur Verfügung stehender Betrag K , ,00 zukünftige Zahlungen (nachschüssig) Z=K 0 *q T *(q-1)/(q T -1) 1.164,10 0, , , ,10 Diskontierungsfaktor 1/q t 0,9259 0,8573 0,7938 Barwerte zukünftiger Zahlungen Z 0 =Z t /q t 0, ,87 998,03 924,10 Summe aller Barwerte K 0 =S(Z 0 ) 3.000,00 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 WGF n = 1 = qt q 1 RBF n q T 1 Annuität mit Wiedergewinnungsfaktor WGF n (nachschüssig) 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 109

35 finanzmathematische Grundlagen A3 Annuität: Verteilung eines später zur Verfügung stehenden Betrages auf gleiche zukünftige Zahlungen Zeitpunkt t zur Verfügung stehender Betrag K T 3.000, ,00 zukünftige Zahlungen (vorschüssig) Z=K T *(q-1)/(q*(q T -1)) 855,65 855,65 855,65 855,65 Diskontierungsfaktor 1/q t 1,0000 0,9259 0,8573 Barwerte zukünftiger Zahlungen Z 0 =Z t /q t 855,65 792,27 733,58 aufgezinste Summe aller Barwerte K T =S(Z 0 )*q T 3.000,00 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 RWF v = 1 EWF v = q 1 q q T 1 Annuität mit Restwertverteilungsfaktor RWF v (vorschüssig) 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 110

36 finanzmathematische Grundlagen A4 Annuität: Verteilung eines später zur Verfügung stehenden Betrages auf gleiche zukünftige Zahlungen Zeitpunkt t zur Verfügung stehender Betrag K T 3.000, ,00 zukünftige Zahlungen (nachschüssig) Z=K T *(q-1)/(q T -1) 924,10 0,00 924,10 924,10 924,10 Diskontierungsfaktor 1/q t 0,9259 0,8573 0,7938 Barwerte zukünftiger Zahlungen Z 0 =Z t /q t 0,00 855,65 792,27 733,58 aufgezinste Summe aller Barwerte K T =S(Z 0 )*q T 3.000,00 Zinssatz i 8,00% Laufzeit T 3 RWF n = 1 EWF n = q 1 q T 1 Annuität mit Restwertverteilungsfaktor RWF n (nachschüssig) 25. Februar 2011 prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa) 111