IPMG-GET-V1. Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET. GET-Vorbereitungsunterlagen für den Versuch 1 / EME 13

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1 IPMG-GET-V1 Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET GET-Vorbereitungsunterlagen für den Versuch 1 / EME 13 Gleichstromkreis mit Leistungsanpassung WS 2017/18 Revision 01 Prof. Dr.-Ing. Holger Wrede holger.wrede@hs-duesseldorf.de

2 Inhaltsverzeichnis 1 Der Stromkreis Elektrischer Strom Spannungsquelle Widerstand Leistung im Stromkreis Der erweiterte Stromkreis Parallelschaltung Knotenregel Reihenschaltung - Maschenregel Messen von Strom und Spannung Strommessgerät Spannungsmessgerät Leistungsanpassung... 12

3 1 Der Stromkreis 1.1 Elektrischer Strom Bild 1.1 zeigt den Aufbau einer elektrischen Schaltung, bei der eine Glühlampe über eine elektrische Leitung an eine Batterie angeschlossen ist. Was passiert hier? Bild 1.1 Aufbau einer elektrischen Schaltung (Beispiel) Die Batterie (Primärelement) erzeugt ein elektrisches Feld, wodurch eine elektrische Spannung an den Ausgangsklemmen anliegt. Ein elektrisches Feld wirkt eine Kraft auf Ladungsträger aus, insbesondere auf die freien Ladungsträger entlang der elektrischen Leitung. Die freien Ladungsträger bewegen sich infolge der elektrischen Kraft, d.h. es fließt ein elektrischer Strom. Der elektrische Strom, der durch die Glühlampe, fließt bringt diese zum Leuchten. Definition der Stromrichtung: Die Richtung, in der freie positive Ladungsträger vom Pluspol einer elektrischen Quelle (z.b. Batterie) zum Minuspol driften würden, stellt die positive Stromrichtung dar. Freie negative Ladungsträger (Elektronen) driften entgegengesetzt zur positiven Stromrichtung vom Minus- zum Pluspol. In einem Leiter bewegen sich Ladungen. Innerhalb einer kurzen Zeitspanne t treten Q Ladungsträger durch den Leiterquerschnitt A und fließen im Leiter das Stück x weiter, siehe Bild 1.2. Durch den Leiter ist nach der Zeit t die Ladungsmenge Q = i t geflossen, wobei i den elektrischen Strom darstellt, der in der Zeit t aufgetreten ist. Prof. Dr. H. Wrede Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET 3

4 Bild 1.2 Ausschnitt eines stromdurchflossenen Leiters Es gilt: Q = i t Q: Ladungsmenge, die bei einem elektrischen Strom i in der Zeit t durch den Leiterquerschnitt A geflossen ist. i = Q t bzw. i(t) = dq dt i: zeitabhängiger elektrischer Strom (d.h. i = i(t)) Im Folgenden gilt die Annahme, dass der Strom zeitlich konstant ist. Wir sprechen dann von Gleichstrom, d.h. es gilt: i(t) = I = konst. I = Q t [I] = C s = As s = A A: Ampere 1.2 Spannungsquelle In einem Leiter fließt nur dann ein Strom, wenn eine äußere Kraft zwischen den Leiterenden auf alle Ladungen im Leiter wirkt. Die Spannungsquelle im Bild 1.3 ruft die Elektromotorische Kraft (EMK) hervor, die positive Ladungen im Leiter von + nach - treibt und entsprechend negative Ladungen (Elektronen) entgegengesetzt von - nach +. Bild 1.3 Wirkung der Elektromotorischen Kraft (EMK) Prof. Dr. H. Wrede Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET 4

5 Bei der gezeigten idealen Spannungsquelle ist die Quellenspannung U q immer konstant und damit unabhängig vom Strom bzw. der Belastung der Quelle. Ist sie bspw. nicht mit dem Leiter verbunden (Leerlauf) liegt trotzdem die Quellenspannung U q an ihren Klemmen an. Wird die Spannungsquelle nun gemäß Bild 1.3 mit dem Leiter verbunden, liegt die Quellenspannung über dem Leiter an, womit die Quellenspannung U q der Leiterspannung U L entspricht. U q = U L bzw. U q U L = 0 Bildet man längs des gesamten Stromkreises die Addition der Spannungen U q und U l unter Berücksichtigung ihrer Richtungen, so ist ihre Summe null. Dies ist allgemeingültig und wird als Maschenregel oder zweites Kirchhoffsches-Gesetz bezeichnet. 1.3 Widerstand Georg Simon Ohm, geb. in Erlangen, fand 1826 in Köln bei Untersuchungen über die Leitfähigkeit elektrischer Leiter heraus, dass der elektrische Strom I in einem einfachen Stromkreis proportional zur angelegten Spannung U ist: I~U Führt man den elektrischen Leitwert G als Proportionalitätsfaktor ein ergibt sich: I = G U G = I U [G] = A V = S = 1 Ω bzw. U = 1 I = R I R G = 1 G = U I [R] = V A = Ω Der Kehrwert des Leitwerts wird als elektrischer Widerstand R bezeichnet. Zur Anwendung kommt das Ohmsche Gesetz vor allem bei der Berechnung des Zusammenhangs zwischen Strom und Spannung bei gegebenem Widerstand: U = R I bzw. I = U R In Schaltplänen werden Widerstand oder Leitwert durch ein Rechteck symbolisiert. Die positive Stromrichtung durch den Widerstand wird durch einen Strompfeil I im (bzw. am) Leiter gekennzeichnet. Da positive Stromrichtung und positive Spannungsrichtung zusammenfallen, hat der neben das Schaltzeichen gezeichnete Spannungspfeil U die gleiche Richtung wie der Strompfeil. Bild 1.4 Schaltzeichen des Widerstandes Prof. Dr. H. Wrede Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET 5

6 An einem Widerstand gilt also das Ohmsche Gesetz. D.h. wird die Spannung U über einem Widerstand und der Strom I durch den Widerstand gemessen, kann der elektrische Widerstand R aus R = U I bestimmt werden. Wird in einem Widerstand R ein Strom I eingeprägt (bspw. durch eine Stromquelle), fällt über diesem Widerstand die Spannung U ab: U = R I Wird über einem Widerstand R eine Spannung U eingeprägt (bspw. durch eine Spannungsquelle), ergibt sich der Strom I durch diesen Widerstand: I = U R. 1.4 Leistung im Stromkreis Im Bild 1.5 geht vom Pluspol der Spannung ein elektrisches Feld durch den Leiter, das in Richtung des Minuspols weist. Das Feld beginnt am Punkt A des Leiters, der mit dem Pluspol verbunden ist. Das Feld endet am Punkt B des Leiters, der mit dem Minuspol verbunden ist. Dann weist das elektrische Feld im Leiter vom Plus- zum Minuspol. Zwischen den Punkten A und B des Leiters tritt die Spannung U auf. Dieser Spannung wird ein Zählpfeil zugeordnet, dessen Richtung in die Richtung des elektrischen Feldes zeigt, also vom Ort A, dem Pluspol, zum Ort B, dem Minuspol. Der im Leiter fließende Strom I vom Ort A nach Ort B erhält ebenfalls einen Zählpfeil in diese Richtung. Im Leiter haben Strom- und Spannungspfeil gleiche Richtung. Bild 1.5 Verbraucherzählpfeilsystem Das Produkt aus Spannung mal Strom stellt die elektrische Leistung P dar: P = U I [P] = W W: Watt In Elementen, in denen Strom- und Spannungsrichtung zusammenfallen, ergibt das Produkt aus Strom und Spannung einen positiven Wert. Dieses Produkt stellt die elektrische Leistung dar, die das Prof. Dr. H. Wrede Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET 6

7 elektrische System verlässt. Solche Elemente werden als passive Elemente oder elektrische Verbraucher bezeichnet. Im Leiter findet die Energiewandlung durch Stoßprozesse der Elektronen mit den Atomen statt. Dabei entsteht Wärme. Ein Leiter ist also ein Wandler für elektrische Energie in Wärmeenergie. Bei der Spannungsquelle weist der Spannungspfeil ebenfalls von der Plusklemme zur Minusklemme. Der Strom in der Quelle fließt dagegen von der Minusklemme zur Plusklemme. Strom und Spannungsrichtung sind entgegengesetzt zueinander. Das Produkt aus Strom und Spannung wird dann, da die Zählpfeile zueinander entgegengesetzt gerichtet sind, negativ gewertet. Das bedeutet, dass die Quelle Energie an den Leiter abgibt. Eine elektrische Quelle wird als aktives Element bezeichnet. Die beschriebene Vereinbarung über die Richtung von Strom- und Spannungspfeil wird als Verbraucherzählpfeilsystem bezeichnet. In einem elektrischen Widerstand wird elektrische Energie in Wärmeenergie umgewandelt, damit ist der Widerstand ein elektrischer Verbraucher bzw. passives Element: P el = U I = R I 2 = U2 1.5 Der erweiterte Stromkreis R In einem sogenannten Ersatzschaltbild werden alle Bauelemente durch Symbole dargestellt. Tabelle 1.1 Ersatzschaltbildsymbole Spannungsquelle mit Spannung U q Stromquelle mit StromI q Widerstand mit Wert R Galvanische Verbindung (= ideale Verbindung ohne Leitungswiderstand) Prof. Dr. H. Wrede Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET 7

8 1.5.1 Parallelschaltung Knotenregel An eine Quelle werden gemäß Bild 1.6 a) zwei Leiter angeschlossen. Die Leiter verlaufen parallel, sie bilden somit eine Parallelschaltung. Die Quelle liefert einen Strom, der sich am Knoten (die Verbindung des Leiters von der Quelle mit den beiden parallelen Leitern) auf beide Leiter aufteilt. Wird der Strom von der Quelle mit I q bezeichnet, der des Leiters 1 mit I 1 und der des Leiters 2 mit I 2, folgt: I q = I 1 + I 2 a) Bildliche Darstellung b) Ersatzschaltbild (ESB) Bild 1.6 Parallelschaltung von zwei Leitern bzw. Widerständen Anhand des Ersatzschaltbildes in Bild 1.6 b) erkennt man folgendes: 1) Auf den Konten 1 fließt der Strom I q zu, vom Knoten fließen die Ströme I 1 + I 2 weg. I q = I 1 + I 2 2) Auf den Konten 2 fließen die Ströme I 1 + I 2 zu, vom Knoten fließt der Strom I q weg. I 1 + I 2 = I q Offenbar ist die Stromstärke der vom Konten wegfließenden Ströme immer genau so groß wie der auf den Konten zufließenden Ströme. Wird eine Bilanz (Summe) gebildet, ergibt sich das 1. Kirchhoff sche Gesetz bzw. die Knotenregel: Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist null n k=1 I k = 0 Achtung: Das Vorzeichen der Ströme bzw. die Zählrichtung muss berücksichtigt werden. Im Bild 1.6 b) ist folgendes zu erkennen: Bei der Parallelschaltung von Elementen stimmen die Spannung an ihnen überein. D.h. mit U q = U L ergeben sich die beiden Teilströme sowie der Quellenstrom zu Prof. Dr. H. Wrede Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET 8

9 I 1 = U q R 1 (Ohmsches Gesetz) I 2 = U q R 2 I q = I 1 + I 2 = U q ( 1 R R 2 ) (1. Kirchhoff sches Gesetz) Für die Parallelschaltung von R 1 und R 2 im Bild 1.6 b) kann ein Ersatzwiderstand R p bestimmt werden, der anstelle der Widerstände R 1 und R 2 zwischen den Knoten 1 und 2 geschaltet das gleiche Spannungs-Stromverhältnis aus U q = U L und I q = I 1 + I 2 hervorruft: R p = U q = 1 1 I q R1 + 1 R2 = R 1 R 2 R 1 +R 2 Mit Hilfe von Leitwerten ergibt sich mit I 1 = G 1 U q und I 2 = G 2 U q : I q = I 1 + I 2 = U q (G 1 + G 2 ) = G p U q G p = G 1 + G 2 1 R p = 1 R R 2 Liegen mehr als zwei Widerstände parallel, gilt allgemein für die Parallelschaltung von n Widerständen: n G p = i=1 G i bzw. 1 R p = n 1 i=1 R i Bei einer Parallelschaltung von zwei Widerständen R 1 und R 2 (siehe Bild 1.12) teilt sich der Gesamtstrom I q auf die beiden parallelen Zweige mit den Zweigströmen I 1 und I 2 auf. Dabei gilt: U L = U q = R p I q = R 1 I 1 = R 2 I 2 I 1 I 2 = R 2 R 1 Mit R p = R 1 R 2 R 1 +R 2 folgt zudem die Stromteiler-Regel zur Bestimmung der einzelnen Zweigströme aus dem Gesamtstrom: I 1 = U q R 1 = R p I q R 1 bzw. I 2 = U q R 2 = R p I q R 2 I 1 = R 2 R 1 +R 2 I q bzw. I 2 = R 1 R 1 +R 2 I q Reihenschaltung - Maschenregel An eine Quelle werden gemäß Bild 1.7 a) zwei unterschiedliche, hintereinander angeordnete Leiter angeschlossen. Die Leiter bilden eine Reihenschaltung. Aus dem Pluspol der Quelle tritt der Strom I q = I L in den ersten Leiter ein, durchfließt ihn und tritt in den zweiten Leiter ein. Der Strom durchfließt auch diesen Leiter und tritt am Leiterende in den Minuspol der Quelle ein, durchfließt diese und tritt dann wieder in den ersten Leiter ein. Der Stromkreis ist geschlossen, er hat keinen Anfang und kein Ende. Diese Leiterschleife wird als Masche bezeichnet. Der Strom I q = I L ist im gesamten Kreis konstant. Anhand des Ersatzschaltbildes in Bild 1.7 b) erkennt man folgendes: Prof. Dr. H. Wrede Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET 9

10 1) Beide Widerstände sind in Reihe geschaltet und werden vom gleichen Strom durchflossen: I q = I L Bei einer Reihenschaltung stimmt der Strom in allen Elementen überein. 2) An jedem Widerstand tritt eine andere Spannung auf, deren Summe die Gesamtspannung über beiden Leitern ergibt, welche wiederum mit der Spannung der Quelle übereinstimmt: U 1 = R 1 I L bzw. U 2 = R 2 I L U 1 + U 2 = U L = U q 0 = U 1 + U 2 U q a) Bildliche Darstellung b) Ersatzschaltbild (ESB) Bild 1.7 Reihenschaltung von zwei Leitern bzw. Widerständen Daraus folgt das 2. Kirchhoff sche Gesetz bzw. die Maschenregel: Die Summe aller Spannungen in einem geschlossenen Kreis, der sogenannten Masche, ist immer null. n m=1 U m = 0 Achtung: Das Vorzeichen der Spannungen bzw. die Zählrichtung muss berücksichtigt werden. Für die Reihenschaltung von R 1 und R 2 im Bild 1.7 b) kann ein Ersatzwiderstand R r bestimmt werden, der anstelle der Widerstände R 1 und R 2 zwischen den Knoten 1 und 2 geschaltet das gleiche Spannungs-Stromverhältnis aus U q = U 1 + U 2 und I q = I L hervorruft: R r = U q I q = U 1+U 2 I L = R 1 + R 2 Mit Hilfe von Leitwerten ergibt sich mit I L = G 1 U 1 und I L = G 2 U 2 : U q = U 1 + U 2 = I q ( 1 G G 2 ) = U q G p Prof. Dr. H. Wrede Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET 10

11 1 G r = 1 G G 2 R r = R 1 + R 2 Liegen mehr als zwei Widerstände in Reihe, gilt allgemein für die Reihenschaltung von n Widerständen: n R r = i=1 R i bzw. 1 G r = n 1 i=1 G i Bei einer Reihenschaltung von zwei Widerständen R 1 und R 2 (siehe Bild 1.13) teilt sich die Gesamtspannung U L = U q auf die beiden in Reihe liegenden Widerstände mit den Teilspannungen U 1 und U 2 auf. Dabei gilt: I L = I q = U q R r = U 1 R 1 = U 2 R 2 U 1 U 2 = R 1 R 2 Mit R r = R 1 + R 2 folgt zudem die Spannungsteiler-Regel zur Bestimmung der einzelnen Teilspannungen aus der Gesamtspannung: U 1 = R 1 I q = R 1 U q R r bzw. U 2 = R 2 I q = R 2 U q R r U 1 = R 1 R 1 +R 2 U q bzw. U 2 = R 2 R 1 +R 2 U q 1.6 Messen von Strom und Spannung Da jeder Strom grundsätzlich mit einem Magnetfeld verbunden ist, wurden bei den ersten Strommessgeräten Kompassnadeln zum Nachweis eines elektrischen Stroms verwendet. Dies Art Strommessgerät ist sehr störanfällig gegenüber äußeren Magnetfeldern, weswegen das Prinzip heute nicht mehr angewendet wird. Hierfür stehen heutzutage moderne Digitalmesswerke zur Verfügung, die die Stromstärke als Zahl darstellen. Meist wird die Umwandlung der Stromstärke in eine Zahl auf elektronischem Weg durchgeführt. Bei der Umwandlung liegt aber immer ein unsicherer Bereich vor, der durch die Änderung der letzten Ziffer bedingt ist: Erst wenn sich die Stromstärke soweit geändert hat, wie es der letzten Stelle der Zahl entspricht, wird die letzte Stelle der Zahl geändert. Der Strom wird also in kleinsten Stromeinheiten gezählt, es liegt eine Quantisierung vor. Die Anzahl der Ziffern gibt die Auflösung der Digitalmesswerke an Strommessgerät Die Klemmen eines Strommessgerätes werden in den Zug des Leiters geschaltet. Hierbei ist sind die gekennzeichneten Vorzeichen der Klemmen zu beachten, weil dadurch die positive Zählrichtung (von Plus nach Minus ) der Strommessung festgelegt wird. Durch das Einklemmen des Strommessgerätes wird der innere Widerstand R M des Strommessgerätes in den Stromkreis eingefügt. Als Folge davon sinkt der Strom etwas, es entsteht ein Messfehler. Um diesen Fehler gering zu halten, sollte der Messwiderstand des Strommessgerätes möglichst gering sein. Prof. Dr. H. Wrede Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET 11

12 Da der Widerstand des Strommessgerätes bekannt ist (er ist aus den technischen Unterlagen zu entnehmen), kann die gemessene Stromstärke nachträglich durch Rechnung korrigiert werden. Solche Messfehler, die durch die Messeinrichtung verursacht werden, werden als systematische Messfehler bezeichnet. Im Gegensatz dazu stehen zufällige Einwirkungen auf die Messung. Die dadurch hervorgerufenen zufälligen Messfehler sind nicht korrigierbar. Kein Messgerät arbeitet genau. Jedes Messgerät weist eine zufällige Abweichung vom wahren Wert der zu messenden Größe auf, die als zufälliger Messfehler bezeichnet wird. Daher muss für jede Messung dieser Fehler angegeben werden Spannungsmessgerät Das Spannungsmessgerät wird parallel zum Bauelement geschaltet, wobei stillschweigend vorausgesetzt wird, dass durch das Messgerät kein Strom parallel zum Bauelement fließt. Dieser Strom würde scheinbar den Strom durch das Bauelement vergrößern, und es würde in der Anzeige ein Spannungsfehler auftreten. Ein kleiner Strom ist zwar unvermeidlich, er sollte aber sehr viel geringer als der Strom durch das Bauelement sein. Spannungsmesser müssen daher hochohmig sein. Die Messung der Spannung wird i.a. auf eine Strommessung zurückgeführt, indem ein sehr geringer Strom parallel zum Bauelement, an dem die Spannung gemessen werden soll, über ein Messwerk geleitet wird. Beim Anschließen des Spannungsmessgerätes sind die gekennzeichneten Vorzeichen der Klemmen zu beachten, weil dadurch die positive Zählrichtung (von Plus nach Minus ) der Spannungsmessung festgelegt wird. Die Fehlerklassen und damit die absoluten und relativen Messabweichungen bzw. Messfehler sind beim Spannungsmessgerät wie beim Strommessgerät definiert. Der relative Messfehler ist somit bei kleinen Messwerten (bei kleinem Ausschlag) immer größer als bei großen Messwerten (bei großem Ausschlag). 1.7 Leistungsanpassung Die von einem Verbraucher aus einer realen Quelle entnehmbare maximale Wirkleistung oder Verbraucherleistung P V hängt von der Größe seines Widerstandes R V ab. Um dies zu zeigen werden die reale Spannungsquelle und die zum Verbraucher führenden Widerstände der Hin- und Rückleitung in eine Ersatzspannungsquelle umgewandelt, deren Quellwiderstand R q durch die Addition des Quellwiderstandes und des Leitungswiderstandes gegeben ist (siehe Bild 1.8 a)). Die Leistung am Verbraucher ergibt sich somit zu: P V = U V I V = R V I V 2 mit I V = U q R q +R V P V = R V (R q +R V ) 2 U q 2 = P V (R V ) An dem Ausdruck ist zu erkennen, dass für R V = 0 sowie R V die Verbraucherleistung jeweils null ist. Zwischen diesen beiden Extremen liegt ein Punkt bzw. gibt es einen Wert R V,LA, bei dem die Prof. Dr. H. Wrede Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET 12

13 Leistung am Verbraucher maximal ist. Dies wird als Leistungsanpassung bezeichnet. Durch Differenzieren der Verbraucherleistung nach dem Verbraucherwiderstand und Nullsetzen der Ableitung ergibt sich der Verbraucherwiderstand R V,LA, bei dem die von der Quelle zum Verbraucher übertragene Wirkleistung, kurz Leistung, maximal wird: dp V (R V ) = (R 2 q+r V ) 2 RV (R q +R V ) dr V (R q +R V ) 4 U 2 q = 0 R V,LA = R q Ist also der Verbraucherwiderstand R V genau so groß wie R q, die Summe aus dem Innenwiderstand der Quelle und dem Leitungswiderstand, tritt am Verbraucher die größte Leistung auf: P V (R V = R V,LA ) = R q (R q +R q ) 2 U 2 q = R q ( U 2 q ) = U q 2 2 R q 4 R q a) Ersatzschaltbild b) Leistung am Verbraucher (U q = 1 V und R q = 1 Ω) Bild 1.8 Leistungsanpassung Der Wirkungsgrad η ist das Verhältnis der vom Verbraucher aufgenommenen zu der von der Quelle gelieferten Leistung und beträgt in diesem Fall bei Leistungsanpassung (R V = R V,LA ): η = P V = ( U 2 q P q ) ( U 2 q ) = 1 = 50 % mit P 4 R q 2 R q 2 q = U q I q = U q 2 2 R q bei Leistungsanpassung Die Spannung am Verbraucher ist bei Leistungsanpassung auf 50% gegenüber der Quellspannung abgesunken: U V = R V I V = R q U q = U q 2 R q 2 D.h. bei Leistungsanpassung wird nur 50 % der von der Quelle gelieferten Leistung im Verbraucher umgesetzt, die zweiten 50 % werden in Form von Wärmeverlusten an die Umgebung abgegeben. Da der Wirkungsgrad von 50 % im Vergleich zu dem oftmals angestrebten Wert von 1 sehr klein ist, wird die Leistungsanpassung nur in Sonderfällen angewendet. So beispielsweise beim Satellitenempfang in der Nachrichtentechnik. Dort kommt es darauf an, die geringe Signalleistung eines Satelliten so weit wie möglich zu nutzen, also ein Maximum der Signalleistung dem Empfänger zuzuführen. Prof. Dr. H. Wrede Interdisziplinäres Praktikum Mathe/GET 13