Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Modellierung

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1 This ocument contains a post-print version of the paper Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung authore by T. Glück, W. Kemmetmüller, A. Kugi, an P. Zanolin an publishe in at Automatisierungstechnik. The content of this post-print version is ientical to the publishe paper but without the publisher s final layout or copy eiting. Please, scroll own for the article. Cite this article as: T. Glück, W. Kemmetmüller, A. Kugi, an P. Zanolin, Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung, at Automatisierungstechnik, vol. 60, no. 12, pp , oi: / auto BibTex Title = {{Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung}}, Author = {T. Gl\"uck an W. Kemmetm\"uller an A. Kugi an P. Zanolin}, Journal = {at--automatisierungstechnik}, Year = {2012}, Number = {12}, Pages = { }, Volume = {60}, Doi = { /auto.2012.} } Link to original paper: Rea more ACIN papers or get this ocument: Contact: Automation an Control Institute (ACIN Internet: Vienna University of Technology office@acin.tuwien.ac.at Gusshausstrasse 27-29/E376 Phone: Vienna, Austria Fax:

2 Methoen at 12/2012 Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung Three-Stage Compressor with Upstream Roots Blower: Part 1, Moeling Tobias Glück, Wolfgang Kemmetmüller, Technische Universität Wien, Patrick Zanolin, Graz, Anreas Kugi, Technische Universität Wien Korresponenzautor: Zusammenfassung Dieser Beitrag beschäftigt sich mit er mathematischen Moellierung eines reistufigen Kolbenkompressors mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor, welcher zur Prouktion von PET-Flaschen eingesetzt wir. Ausgehen von en Grungesetzen er Thermoynamik weren ie Einzelkomponenten es Kompressors mathematisch moelliert un er zugrune liegene Kreisprozess beschrieben. Anhan von Simulationsstuien wir as Verhalten es Kompressors im belasteten Fall untersucht. Das entwickelte Moell ient als Grunlage für en Reglerentwurf im zweiten Teil ieses Beitrags. Summary This paper presents the mathematical moeling of a three-stage compressor with upstream roots blower. The iniviual components of the compressor are moele base on the funamental laws of thermoynamics in orer to escribe the unerlying cyclic process. Simulation stuies are carrie out in orer to analyse the behavior of the compressor. The evelope moel provies the basis for the subsequent controller esign in the secon part of this paper. Schlagwörter Kolbenkompressor, Drehkolbenkompressor, mathematische Moellierung Keywors Piston Compressor, roots blower, mathematical moeling 1 Einleitung Die weltweite Prouktion von PET-Flaschen liegt bei ca. 500 Milliaren Stück pro Jahr [10]. Zur Herstellung von PET-Flaschen weren sogenannte Preforms urch Blasmaschinen mithilfe von Druckluft in ihre engültige Flaschenform gepresst. Die hierzu benötigte Druckluft mit einem Druck von ca. p s = 40 bar un typischen Volumenströmen in er Größenornung von q = 2000 m 3 /h wir in er Regel von mehrstufigen Kolbenkompressoren bereitgestellt. Beingt urch en Herstellungsprozess (Anlagenanlauf, häufige kurzzeitige Stillstäne kommt es zu großen sprungartigen Änerungen es Lastvolumenstromes, welche eine unzulässige Variation es Druckes zur Folge haben können. Diese Druckvariation beeinträchtigt wieerum ie Prouktqualität, weshalb eine genaue Regelung es Druckes in iesen Anlagen von besonerer Beeutung ist. Insbesonere muss im Betrieb ein Absinken es Drucks unter einen minimalen Druck ver- 766 at Automatisierungstechnik 60 ( / DOI /auto Olenbourg Wissenschaftsverlag Post-print version of the article: T. Glück, W. Kemmetmüller, A. Kugi, an P. Zanolin, Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung, at Automatisierungstechnik, vol. 60, no. 12, pp , oi: /auto The content of this post-print version is ientical to the publishe paper but without the publisher s final layout or copy eiting.

3 Moellierung eines Kompressors hinert weren. Bisher verwenete Regelungsstrategien für Kolbenkompressoren erhöhen en Druck im Druckspeicher im Vergleich zum benötigten Druck, um im Falle es Druckeinbruchs zufolge einer schnellen Änerung es Lastvolumenstroms ie untere Grenze noch zuverlässig einhalten zu können. Zusätzlich zum bereits beschriebenen nachteiligen Einfluss er Druckschwankungen auf en Prouktionsprozess besitzt iese Vorgehensweise en Nachteil, ass mit er Druckerhöhung auch eine Erhöhung er Leistungsaufnahme es Kompressors einhergeht. Weiterhin steigt ie thermische Belastung er einzelnen Kompressorstufen, ie im Hinblick auf en Verschleiß er Komponenten unerwünscht ist. Deutlich besser kann ie Anlage betrieben weren, wenn er Druck mithilfe geeigneter Regelungsstrategien konstant gehalten wir. Moerne moellbasierte Regelungsverfahren erlauben es abei nicht nur iese Primäranforerung zu erfüllen, sonern zusätzlich auch gezielt Einfluss auf ie Lastverteilung zwischen en einzelnen Stufen es Kompressors un somit auf ie maximal auftretenen Kolbentemperaturen zu nehmen. Damit ist, bei geeigneter Regelung, eine Verlängerung er Lebensauer es Kompressors zu erwarten. Zuem ermöglicht ie em Regelungsentwurf zugrune liegene mathematische Beschreibung ie Analyse es Kompressors mit em Ziel, Konstruktionsvarianten abzuschätzen un gegebenenfalls entsprechene leistungssteigerne Änerungen er Konstruktion abzuleiten. Der Fokus er mathematischen Moellierung liegt auf er Abbilung er wesentlichen Nichtlinearitäten un er ominierenen Dynamik es Systems. Die mathematische Moellierung von pneumatischen Systemen wure bereits in einer Reihe von Publikationen betrachtet. So weren z. B. in [11; 15] ie thermoynamischen Grunlagen umfassen beschrieben un ie wesentlichen Grunprinzipien er Moellierung von pneumatischen Systemen weren unter anerem in [1; 13] un[14] argestellt. Mit er Entwicklung eines für ie Simulation, ie Analyse un en Reglerentwurf geeigneten mathematischen Moells eines mehrstufigen Kolbenkompressors beschäftigen sich hingegen nur sehr wenige Arbeiten. In [12] wir ein mathematisches Moell eines öl-gefüllten Schraubenkompressors vorgestellt. Der Fokus ieser Arbeit liegt auf er Analyse es mittleren Massenstroms un es energetischen Wirkungsgras. Ein stark vereinfachtes lineares Moell eines einstufigen Kolbenkompressor wir in [9] entwickelt. Wesentlich etailliertere thermoynamische Moelle einstufiger Kolbenkompressoren weren in [7] un [16] vorgestellt. In [6] wir zusätzlich er Einfluss es realen Gasverhaltens auf ie Thermoynamik in einem Flügelzellenkompressor untersucht. Ein Simulationsmoell eines zweistufigen Kolbenkompressors wir in [5] hergeleitet, womit eine etaillierte Beschreibung er Kolbenrücke möglich ist. Eine etaillierte Analyse er Kolbentemperaturen erfolgt jeoch nicht. Schließlich stellt [3] eine objektorientierte Simulationsumgebung für Kolbenkompressoren vor, welche ie wesentlichen statischen Eigenschaften ein- un zweistufiger Kolbenkompressoren abbilet. Im Gegensatz zum vorliegenen Beitrag wir in [3] jeoch kein Moell zur Simulation es ynamischen Verhaltens argestellt. In iesem ersten Teil es Beitrages wir für en betrachteten Kompressor ein mathematisches Moell zur Analyse un zur Entwicklung einer geeigneten Regelungsstrategie (siehe zweiter Teil ieses Beitrages erstellt. Das in iesem Beitrag betrachtete System unterscheiet sich in folgenen wesentlichen Punkten von en oben genannten Publikationen: (i Es wir ein reistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor (Roots-Gebläse betrachtet. (ii Die Einlassventile er Kolbenkompressorstufen sin mit Hilfe es ValCOM- System [8] verstellbar. (iii Zwischen en einzelnen Kompressorstufen sin Kühler verbaut. Diese Eigenschaften es Systems führen zu einer wesentlich höheren Komplexität es resultierenen mathematischen Moells im Vergleich zu bekannten Arbeiten. Dieser Beitrag ist wie folgt strukturiert: Im Abschnitt 2.1 wir eine einzelne Kolbenverichterstufe beschrieben. Anschließen weren im Abschnitt 2.2 ie verbinenen Rohrleitungen, im Abschnitt 2.3 ie Saugun Druckventile un im Abschnitt 2.4 er Drehkolbenkompressor moelliert. Im Abschnitt 2.5 wir ein vollstäniges mathematisches Moell es Systems, bestehen aus en zuvor moellierten Einzelkomponenten, hergeleitet. Die Eigenschaften es Systems weren im Abschnitt 3 anhan von Simulationsergebnissen argestellt. 2 Mathematische Moellierung Der prinzipielle Aufbau es betrachteten Kompressors ist in Bil 1 argestellt. Das System besteht aus einem Drehkolbenkompressor ( über essen Drehzahl er Massenstrom ṁ vorgegeben weren kann. Ihm folgen ein oppeltwirkener Kolben er ersten Stufe un ie beien einfach wirkenen Kolben er zweiten un ritten Stufe es Kolbenkompressors. Die Einlassventile er einzelnen Stufen verfügen über ein sogenanntes ValCOM-System (vc, womit ie Ventilöffnungszeiten vorgegeben weren können [8]. Nach jeer Stufe wir ie komprimierte Luft mithilfe eines Wärmetauschers (wt abgekühlt, bevor sie in ie Bil 1 Prinzipskizze es Kompressors bestehen aus em Drehkolbenkompressors (, enrei Kolbenverichterstufen, en Wärmetauschern (wt, en Rohrleitungen (r1, r2, r3 un en ValCOM-Systemen (vc. 767 Post-print version of the article: T. Glück, W. Kemmetmüller, A. Kugi, an P. Zanolin, Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung, at Automatisierungstechnik, vol. 60, no. 12, pp , oi: /auto The content of this post-print version is ientical to the publishe paper but without the publisher s final layout or copy eiting.

4 Methoen Rohrleitungen (r1, (r2, (r3 bzw. in en Druckspeicher (s geförert wir. Vom Druckspeicher wir er unbekannte un stark variierene Lastmassenstrom ṁ l an ie Prouktionsanlage abgegeben. 2.1 Kolbenverichterstufe Den folgenen Untersuchungen liegt er in Bil 2 schematisch argestellte Zyliner zugrune. Mit em Inex k {k11, k12, k2, k3} weren im Folgenen ie Zustansun Eingangsgrößen er jeweiligen Zyliner gekennzeichnet. Durch as Saugventil wir er Massenstrom ṁ k,z mit er Temperatur T k,z angesaugt un über as Druckventil wir er Massenstrom ṁ k,a mit er Kolbentemperatur T k ausgeblasen. Für eine Beschreibung er thermoynamischen Prozesse im Inneren es Zyliners weren zwei unabhängige Zustansgrößen, er Kolbenruck p k un ie Kolbentemperatur T k, benötigt. Aus er Leistungsbilanz für en Zyliner (vgl. z. B. [15] nach Bil 2 folgt, ass ie Änerung er inneren Energie U k gleich er Summe er zugeführten mechanischen Leistung P k = p k V k, mit em Kolbenvolumen V k, er zu- un abgeführten thermischen Leistung Q k sowie er Summe er zu- un abfließenen Enthalpieströme ṁ k,z h k,z ṁ k,a h k,a ist t U k = P k + Q k + ṁ k,z h k,z ṁ k,a h k,a. (1 Dabei beschreiben h k,z un h k,a ie spezifischen Enthalpien es zu- bzw. abfließenen Gases es Kolbens. Im Weiteren wir angenommen, ass ie Luft im Kolben urch as ieale Gasgesetz p k /ρ k = R s T k, mit em Druck p k, er Dichte ρ k un er spezifischen Gaskonstanten R s, beschrieben weren kann. Weiterhin weren ie kalorischen Zustansgleichungen es iealen Gases in er Form u k = c v T k bzw. h i = c p T i, mit er spezifischen inneren Energie u k (U k = ρ k V k u k un er spezifischen Enthalpie h i, verwenet. Es wir schließlich vorausgesetzt, ass ie spezifischen Wärmekapazitäten c v un c p temperaturunabhängig sin un ass er thermoynamische Prozess im Kolben aiabat ist,. h. Q k = 0 gilt, siehe azu z. B. [2]. Unter Berücksichtigung er Massenerhaltung in er Form t m k = t (ρ kv k = ṁ k,z ṁ k,a, (2 Bil 2 Schematische Darstellung eines Zyliners. un er Beziehung für as ieale Gas c p c v = R s kann ie Differentialgleichung für ie Kolbentemperatur T k zu t T k = R s T ( k p k V k + ṁ k,z (c p T k,z c v T k ṁ k,a R s T k, c v p k V k (3 formuliert weren. Eine Differentialgleichung für en Kolbenruck p k kann aus (2 gefunen weren, inem man ie Dichte ρ k mithilfe es iealen Gasgesetzes als Funktion es Drucks p k un er Temperatur T k ausrückt un anschließen ie zeitliche Änerungen Ṫ k urch (3 ersetzt, t p k = κ ( pk V k + ṁ k,z R s T k,z ṁ k,a R s T k. (4 V k Darin bezeichnet κ = c p /c v en konstanten Isentropenkoeffizienten. Das in (3 un (4 verwenete Kolbenvolumen V k ergibt sich zufolge er Drehung er Kurbelwelle mit er konstanten Kompressorrehzahl n k zu V k (t = V s + V h ( 1 cos(2πnk t, (5 2 wobei V h as Hubvolumen zwischen unterem un oberem Totpunkt es Kolbens bezeichnet. Durch Fertigungstoleranzen un urch Ausehnung in Folge von Temperaturänerungen muss zusätzlich ein sogenanntes Schavolumen V s zwischen Zylinereckel un em oberen Totpunkt in Kauf genommen weren. 2.2 Rohrleitung Die Moellierung er Rohrleitung erfolgt analog zu en Ausführungen in Abschnitt 2.1. Für ie vor en jeweiligen Rohrleitungen angebrachten Wärmetauscher wir angenommen, ass er in as Rohrsegment zufließene Massenstrom ṁ r,z unabhängig vom Durchsatz auf ie nominelle Kühlertemperatur T wt = 47 C abgekühlt wir. Daraus folgt ie konstante Temperatur T r,z = T wt es in ie Rohrleitung zufließenen Massenstroms. Die Anwenung es ersten Hauptsatzes (1 für ein konstantes Rohrvolumen ( V r = 0 un ein ieal thermisch isoliertes Rohr ( Q r = 0 ergibt ie Differentialgleichung er Rohrtemperatur T r t T r = R s T ( r ṁ r,z (c p T wt c v T r ṁ r,a (c p T r,a c v T r. c v p r V r (6 Darin bezeichnet p r en Druck un V r as Volumen er Rohrleitung, ṁ r,z en zufließenen un ṁ r,a en abfließenen Massenstrom. Wie im Folgenen noch gezeigt wir, kann es zu einem Rückströmen von Luft aus em Kolben über as Einlassventil in as vorgelagerte Rohrsegment kommen. Deswegen ist ie Temperatur T r,a es Massenstroms ṁ r,a in (6 im Allgemeinen unterschielich zur Temperatur T r im Rohr. 768 Post-print version of the article: T. Glück, W. Kemmetmüller, A. Kugi, an P. Zanolin, Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung, at Automatisierungstechnik, vol. 60, no. 12, pp , oi: /auto The content of this post-print version is ientical to the publishe paper but without the publisher s final layout or copy eiting.

5 Moellierung eines Kompressors Die Differentialgleichung für en Rohrruck p r ergibt sich analog zu (4 in er Form t p r = κr s V r (ṁr,z T wt ṁ r,a T r,a. (7 2.3 Saug- un Druckventile Bil 3 zeigt eine Prinzipskizze er in Form von feerbelasteten Rückschlagventilen gefertigten Saug- un Druckventile es Kolbenverichters. Die Ventile bestehen im Wesentlichen aus einer Ventilplatte, ie mit Rückstellfeern gegen en Ventilsitz gerückt wir. Durchflussgesetz einer Drossel In erster Näherung können ie Schlitze er Ventilplatte als Drossel mit variabler Querschnittsfläche betrachtet weren. Aufgrun er scharfkantigen Drossel tritt eine Einschnürung er Strömung auf, wourch sich er effektive Strömungsquerschnitt verkleinert. Nach [14]bestimmt sich er Durchfluss einer aiabatischen Drossel bei einer Druckifferenz Δp = p 1 p 2 zu ṁ = α v A v Ψ(Π 2p v ρ v sign(δp, (8 mit em Druck p v = max(p 1, p 2 in Strömungsrichtung vor un em Druck p n = min(p 1, p 2 in Strömungsrichtung nach er Drossel sowie em Druckverhältnis Π = p v /p n. Weiterhin bezeichnet ρ v ie Dichte vor er Drossel un α v en Kontraktionskoeffizienten, welcher as Verhältnis von geometrischer Ventilfläche A v zu effektiver Querschnittsfläche er Strömung berücksichtigt. Die in (8 verwenete Ausflussfunktion Ψ(Π lautet [14] Ψ(Π = κ κ 1 κ κ+1 [ (Π 2 κ ( Π ] κ+1 κ für Π Π krit ( 2 1 κ 1 κ+1 für Π > Π krit, (9 mit em kritischen Druckverhältnis ( κ 2 κ 1 Π krit =. (10 κ +1 Die Ausflussfunktion entspricht abei einer auf en Druck vor er Drossel bezogenen Strömungsgeschwinigkeit un erreicht ihren Maximalwert bei er Schallgeschwinigkeit. Ventilfläche un Einfluss er ValCOM Die Saug- un Druckventile sin im Wesentlichen als feerbelastete Plattenventile ausgeführt, welche ab einem Differenzruck von Δp Δp o öffnen un beim Unterschreiten von Δp Δp c schließen, siehe Bil 4. Der Übergang zwischen geöffnetem un geschlossenem Ventil wir in Form einer linearen Abhängigkeit er Ventilöffnungsfläche vom Differenzruck moelliert. Die Dynamik er feerbelasteten Ventilplatten wir in Form eines Verzögerungsgliees erster Ornung approximiert. ValCOM Stelleingang Die Druckventile er einzelnen Kolbenstufen sin in Form von passiven feerbelasteten Plattenventilen ausgeführt, womit ie Öffnungsfläche A v nur eine Funktion er Druckifferenz Δp ist. Die Saugventile er einzelnen Kompressorstufen können hingegen urch eine Steuereinheit (ValCOM am Schließen gehinert weren. Passiert er Kolben einer Kompressorstufe seinen unteren Totpunkt zum Zeitpunkt t UT, so beginnt ie Phase es Verichtens un ein passives Saugventil würe aufgrun er entstehenen Druckifferenz schließen. Dieser Zeitpunkt kann urch as Eingreifen es ValCOM-Systems bis zum oberen Totpunkt t OT = t UT + T/2 verzögert weren un es folgt ie Schließzeit t c zu t c = t UT + χ T, χ [0, 1], (11 2 mit er Perioenauer T = 1/n k es Kolbenkompressors. Daurch strömt Luft in ie Saugleitung zurück un nimmt nicht am Kompressionsprozess im Kolben teil. Die Ventilfläche A v es Saugventils ist amit von er Bil 3 Schematische Darstellungen eines Plattenventils. Links ie Ventilplatte mit kreisförmigen Schlitzen, rechts as Ventil bestehen aus Ventilsitz, Ventilplatte un Feern [8]. Bil 4 Hysterese er Ventilfläche A v in Abhängigkeit es Differenzrucks Δp = p 1 p 2 mit em Öffnungsruck Δp o, em Schließruck Δp c un er Hysteresesteigung k v. 769 Post-print version of the article: T. Glück, W. Kemmetmüller, A. Kugi, an P. Zanolin, Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung, at Automatisierungstechnik, vol. 60, no. 12, pp , oi: /auto The content of this post-print version is ientical to the publishe paper but without the publisher s final layout or copy eiting.

6 Methoen Bil 6 Temperaturen T r,a un T k,z es zufließenen Massenstroms ṁ vor un nach em Saugventil. Bil 5 pv-diagramm eines iealen Kolbenverichters mit verschieenen ValCOM-Stellungen χ: Aiabatische Expansion I, isobares Ansaugen II, aiabatische Kompression III, isobares Ausstoßen IV. Druckifferenz Δp un zusätzlich vom Stelleingang χ abhängig. Mithilfe es ValCOM-Systems kann ie Förermenge er einzelnen Kompressorstufen gezielt beinflusst weren, was in weiterer Folge ie Regelung er Drücke zwischen en einzelnen Kompressorstufen un somit er Temperaturverteilung ermöglicht. Bil 5 zeigt en Einfluss es ValCOM-Systems anhan es pv-diagramms eines iealisierten Kreisprozesses eines Kolbenverichters bei verschieenen ValCOM-Stellungen. Wie man erkennt, sinkt für steigene Werte von χ er vom Kompressor geförerte Massenstrom bis er für χ = 1 komplett verschwinet. Rückströmener Massenstrom Die Saugventile sin jeweils zwischen einer Rohrleitung un einem Zyliner angebracht, womit er aus er Rohrleitung abgeführte Massenstrom ṁ r,a em in en Zyliner zugeführten Massenstrom ṁ k,z entspricht, ṁ r,a = ṁ k,z = ṁ, siehebil6. Durch en Druckabfall über as Saugventil erfolgt eine Änerung er Temperatur er Luft, welche mithilfe einer isentropen Expansion moelliert wir, siehe z. B. [15]. Da as ValCOM-System eine Rückförerung von Luft aus em Zyliner in ie Rohrleitung erlaubt, kann er Massenstrom ṁ auch negative Werte annehmen. Dies wir urch ie folgene, von er Strömungsrichtung abhängige, Berechnung er Temperaturen berücksichtigt T r für ṁ>0 T r,a = ( T pr κ (12a k für ṁ<0, p k κ 1 ( κ 1 T pk κ T k,z = r p r für ṁ>0 T k für ṁ<0, (12b mit er Temperatur T r,a er aus bzw. in as Rohr strömenen Luft un er Temperatur T k,z er aus bzw. in en Kolben fließenen Luft. 2.4 Drehkolbenkompressor Drehkolbenkompressoren sin eine spezielle Form von rotierenen Verrängermaschinen. Durch en sehr ein- Bil 7 Schematische Darstellung eines Drehkolbenkompressors mit rei Verrängern pro Rotor. fachen Aufbau ist ein berührungsfreier un somit ölfreier Lauf möglich, was insbesonere für as betrachtete Anwenungsgebiet in er PET-Flaschenprouktion wichtig ist. Bil 7 zeigt en schematischen Aufbau eines Drehkolbenkompressors mit rei Verrängern pro Rotor. Eine exakte Beschreibung es Drehkolbenkompressors gestaltet sich aufgrun er komplexen Geometrie er Strömungspfae im Kompressor als schwierig. Daher basiert ie mathematische Moellierung auf physikalisch motivierten Ansätzen, ie sowohl en Massenstrom ṁ urch en Drehkolbenkompressor als auch ie resultierene Temperaturerhöhung er Luft beschreiben. Der Abgleich er Parameter es Moells erfolgt anhan er gemessenen Kennfeler es Drehkolbenkompressors. Der theoretische, geometrische Massenstrom ṁ th eines Drehkolbenkompressors ist nach [17] eine lineare Funktion er Drehzahl n un in er Form A a D 2 r ṁ th = ρ 0 A r 4 b an = ρ 0 k 1 n, (13 mit em zylinrischen Arbeitsraumquerschnitt A a un essen Breite b a, em Rotorquerschnitt A r un em Rotorurchmesser D r, sowie er Dichte ρ 0 er angesaugten Luft, gegeben. Infolge er Druckerhöhung Δp = p p 0 stellen sich in en Spaltflächen zwischen en Verrängern sogenannte Stirnspaltverluste un in en Umfangsspalten zwischen Verränger un Gehäuse Umfangsspaltverluste ein. Diese minern ie Förerleistung es Drehkolbenkompressors un sin von er Druckifferenz abhängig [17]. Mit er Summe er Spaltflächen A sp un em Druckverlustbeiwert ζ kann er 770 Post-print version of the article: T. Glück, W. Kemmetmüller, A. Kugi, an P. Zanolin, Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung, at Automatisierungstechnik, vol. 60, no. 12, pp , oi: /auto The content of this post-print version is ientical to the publishe paper but without the publisher s final layout or copy eiting.

7 Moellierung eines Kompressors theoretische Spaltmassenstrom für eine turbulente inkompressible Strömung [17] urch 2 ṁ sp = ρ 0 A sp p p 0 = ρ 0 k 2 p p 0 (14 ρ 0 ζ abgeschätzt weren. Der theoretische Massenstrom (13 un ie Spaltverluste (14 motivieren en phänomenologischen Ansatz für en Massenstrom es Drehkolbenkompressors ṁ = ρ 0 k 1 n ρ 0 k 2 p p 0, (15 wobei ie Parameter k 1 un k 2 mithilfe einer Least- Squares Ientifikation an vorhanene Kennfelaten angepasst wuren. Die Biler 8 un 9 zeigen, ass ie Messungen sehr gut mit em Ansatz (15 approximiert weren können. Anhan es ersten Hauptsatzes für stationäre Fließprozesse [15] lässt sich ie auftretene Temperaturerhöhung er Luft im Drehkolbenkompressor beschreiben. Setzt man voraus, ass ie zu- un abfließenen Massenströme gleich ṁ sin un ie Energie es thermoynamischen Systems konstant ist, folgt für ie Temperaturerhöhung als Funktion er Druckifferenz un er Drehzahl n T = T c p ṁ ( P + Q, (16 Bil 8 Approximation es Drehkolbenkompressormassenstroms ṁ in Abhängigkeit er Drehzahl n un es Differenzrucks Δp = p p 0. Bil 10 Approximation er Temperaturerhöhung es Drehkolbenkompressors zufolge er Reibung un Verichtung. mit er zugeführten mechanischen Leistung P P = ṁth ( ( p p 0 = k1 n p p 0 (17 ρ 0 sowie em phänomenologischen Ansatz für ie zugeführte Wärmeleistung Q = k 3 n, (18 mit en Parametern k 1 un k 3. Der Parameter k 3 wure ebenfalls mithilfe einer Least-Squares Ientifikation an Messungen angepasst. Die sehr gute Übereinstimmung er Messaten mit em Ansatz ist in Bil 10 gezeigt. 2.5 Vollstäniges Kompressormoell Der Aufbau es Kompressors un ie Bezeichnung er Komponenten ist nochmals in Bil 11 argestellt. Wie eingangs erwähnt, besteht as System aus em Drehkolbenkompressor, er en Massenstrom ṁ über einen Wärmetauscher (ausfließene Lufttemperatur T wt in as Volumen V r1 (Druck p r1, Temperatur T r1 förert. Anschließen folgt er oppeltwirkene Kolben er ersten Stufe mit en zufließenen Massenströmen ṁ k11,z un ṁ k12,z, welche über en ValCOM-Stelleingang χ 1 geregelt weren können un en abfließenen Massenströmen ṁ k11,a un ṁ k12,a, welche über einen Wärmetauscher in ie Rohrleitung mit em Volumen V r2 (Druck p r2, Temperatur T r2 geförert weren. Die entsprechenen Zylinerrücke un -temperaturen er Bil 9 Approximation es Spaltmassenstroms ṁ sp in Abhängigkeit er Druckifferenz Δp = p p 0. Bil 11 Vollstäniges Kompressormoell bestehen aus em Drehkolbenkompressor, en rei Kolbenverichterstufen, en Wärmetauschern, en Rohrleitungen un en ValCOM Systemen. 771 Post-print version of the article: T. Glück, W. Kemmetmüller, A. Kugi, an P. Zanolin, Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung, at Automatisierungstechnik, vol. 60, no. 12, pp , oi: /auto The content of this post-print version is ientical to the publishe paper but without the publisher s final layout or copy eiting.

8 Methoen ersten Stufe weren mit p k11 un p k12 bzw. T k11 un T k12 bezeichnet. Die zweite Kolbenverichterstufe wir urch en Druck p k2, ie Temperatur T k2,ievalcom-stellung χ 2 sowie ie Massenströme ṁ k2,z un ṁ k2,a beschrieben. Dabei wir er Massenstrom ṁ k2,z aus em Volumen V r2 entnommen un er Massenstrom ṁ k2,a in ie Rohrleitung mit em Volumen V r3 (Druck p r3, Temperatur T r3 über einen Wärmetauscher geförert. Zur Beschreibung er ritten Stufe weren er Druck p k3, ie Temperatur T k3,ievalcom-stellung χ 3 sowie ie Massenströme ṁ k3,z un ṁ k3,a verwenet. Der von er ritten Stufe geförerte Massenstrom ṁ k3,a wir schließlich über einen Wärmetauscher in en Druckspeicher geförert. Die Luft im Druckspeicher besitzt en Druck p s un ie Temperatur T s. Weiterhin wir er Lastmassenstrom mit ṁ l bezeichnet. Die Druckaufbaugleichungen er Rohrleitungen folgen aus (7 zu t p r1 = κr ( s ṁ T wt ṁ k11,z T r11,a ṁ k12,z T r12,a V r1 t p r2 = κr s V r2 ( (ṁk11,a + ṁ k12,a Twt ṁ k2,z T r2,a t p r3 = κr ( s ṁ k2,a T wt ṁ k3,z T r3,a V r3 t p s = κr s V s ( ṁ k3,a T wt ṁ l T s (19 un aus (6 lassen sich ie Temperaturifferentialgleichungen er Rohrleitungen wie folgt t T r1 = R s T ( r1 ṁ (c p T wt c v T r1 c v p r1 V r1 ṁ k11,z (c p T r11,a c v T r1 ṁ k12,z (c p T r12,a c v T r1 t T r2 = R s T ( r2 ṁ k11,a (c p T wt c v T r2 c v p r2 V r2 + ṁ k12,a (c p T wt c v T r2 ṁ k2,z (c p T r2,a c v T r2 t T r3 = R s T ( r3 ṁ k2,a (c p T wt c v T r3 c v p r3 V r3 ṁ k3,z (c p T r3,a c v T r3 t T s = R s T ( s ṁ k3,a (c p T wt c v T s ṁ l R s T s c v p s V s (20 herleiten. Die Temperaturen T rj,a, j {11, 12, 2, 3} er abfließenen Rohrmassenströme ergeben sich aus (12 urch Einsetzen er entsprechenen Massenströme un Temperaturen in er Form T rj für ṁ kj,z > 0 T rj,a = ( prj κ (21 T kj für ṁ kj,z < 0, p kj κ 1 wobei natürlich T r11 = T r21 = T r1 sowie p r11 = p r12 = p r1 gilt. Die Druckifferentialgleichungen er einzelnen Kolbenstufen lauten nach (4 t p kj = κ ( p kj V kj + ṁ kj,z R s T kj,z ṁ kj,a R s T kj, (22 V kj währen sich ie Temperaturifferentialgleichungen er Kolben nach (3 zu t T kj = R s T ( kj p kj V kj ṁ kj,a R s T kj c v p kj V kj + ṁ kj,z (c p T kj,z c v T kj, (23 für j {11, 12, 2, 3} errechnen. Die entsprechenen Temperaturen er zufließenen Massenströme folgen wieerum aus (12 zu ( pkj κ 1 κ T T kj,z = rj für ṁ p kj,z > 0 rj (24 T kj für ṁ kj,z < 0. Schließlich ergeben sich ie jeweiligen Massenströme ṁ kj,z un ṁ kj,a, j {11, 12, 2, 3}, aus (8 mit er Ausflussfunktion nach ( Moellierung er Drucksensorik Die Drücke p r1, p r2, p r3 un p s in en Rohrleitungen zwischen en Verichterstufen weren mithilfe von Druckmessumformern es Typs MBS33 [4] gemessen. Das Messprinzip beruht auf er Wierstansänerung von Dehnungsmessstreifen (DMS, ie auf einer Eelstahlmembran angebracht sin. Der integrierte Druckstoßminerer ist notwenig, um Druckspitzen, welche urch as schnelle Schließen er Ventile entstehen können, zu glätten. Die Ansprechzeit ieser Druckmessumformer liegt für gasförmige Meien im Bereich von 30 ms. Angesichts ieser Reaktionszeit ist ie Sensorynamik nicht vernachlässigbar un wir eshalb über ein Verzögerungsglie 1. Ornung moelliert. 3 Simulationsergebnisse Das vollstänige Kompressormoell wuren in Matlab/Simulink implementiert. In en folgenen Simulationsstuien wir as Verhalten es Systems unter verschieenen Beingungen untersucht. Dabei weren aus Grünen er Übersicht leiglich er Mittelwert er Massenströme un er Rohrrücke x(t = 1 T t t T x(ττ ( Post-print version of the article: T. Glück, W. Kemmetmüller, A. Kugi, an P. Zanolin, Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung, at Automatisierungstechnik, vol. 60, no. 12, pp , oi: /auto The content of this post-print version is ientical to the publishe paper but without the publisher s final layout or copy eiting.

9 Moellierung eines Kompressors Bil 12 Simulationsergebnisse es vollstänigen Kompressormoells für konstante ValCOM-Stellungen χ j = 0,5, j = 1,..., 3, un veränerliche Drehzahl n es Drehkolbenkompressors. Bil 13 Simulationsergebnisse es vollstänigen Kompressormoells für konstante Drehzahl n = 30 s 1 es Drehkolbenkompressors un veränerliche ValCOM-Stellungen. 773 Post-print version of the article: T. Glück, W. Kemmetmüller, A. Kugi, an P. Zanolin, Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung, at Automatisierungstechnik, vol. 60, no. 12, pp , oi: /auto The content of this post-print version is ientical to the publishe paper but without the publisher s final layout or copy eiting.

10 Methoen sowie ie Maximalwerte er Temperaturen es vollstänigen Kompressormoells argestellt. Die Perioenauer T einer Umrehung es Kolbenkompressors errechnet sich für eine Drehzahl n k = 750 U/min zu T = 80 ms. Das Verhalten es Systems bei einer Änerung er Drehzahl n es Drehkolbenkompressors von n = 9s 1 auf n = 60 s 1 mit er maximal möglichen Drehzahlänerungsrate von ṅ = 5s 2 ist in Bil 12 gezeigt. Dabei wure er Druck p s im Druckspeicher konstant auf p s = 40 bar gehalten un für ie ValCOM Ventile eine mittlere Stellung von χ = 0,5 gewählt. Wie in Bil 12 zu sehen, bewirkt eine Erhöhung er Drehzahl n eine Erhöhung es Massenstroms ṁ, was aufgrun er Massenerhaltung eine Erhöhung er Massenströme er einzelnen Stufen es Kolbenkompressors zur Folge hat. Der Massenstrom ṁ k1,z setzt sich abei aus en beien Massenströmen es oppeltwirkenen Zylinerkolbens zusammen,. h. ṁ k1,z = ṁ k11,z + ṁ k12,z. Der steigene Massenstrom urch en Kompressor führt bei konstanter ValCOM-Stellung zu einer Erhöhung er Rohrrücke. Da amit jeoch as Druckverhältnis zwischen Saugun Druckseite er einzelnen Kolbenkompressorstufen absinkt, bewirkt ies eine Verringerung er maximalen Kolbentemperaturen, siehe Bil 12. Der Einfluss er ValCOM-Stellungen wir in en Simulationen in Bil 13 untersucht. Diese Simulation erfolgt bei einer konstanten Drehzahl n es Drehkolbenkompressors von n = 30 s 1 un einem konstanten Druck im Druckspeicher von p s = 40 bar. Die Simulationsergebnisse in Bil 13 zeigen eutlich, ass eine sehr schnelle un gezielte Variation er Rohrrücke un er araus resultierenen maximalen Kolbentemperaturen urch ie ValCOM-Stellungen möglich ist. 4 Zusammenfassung un Ausblick In iesem ersten Teil es Beitrag wure ie Moellierung eines reistufigen Kolbenkompressors mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor vorgestellt. Die Einzelkomponenten, nämlich er Drehkolbenkompressor, ie Kolbenverichterstufen un ie entsprechenen Rohrleitungen, wuren mithilfe er Grungesetze er Thermoynamik mathematisch beschrieben. Ferner wure er Einfluss er ValCOM-Steuereinheit zur Regulierung er an er Verichtung teilnehmenen Luftmenge in en einzelnen Kolbenverichterstufen untersucht un physikalisch moelliert. Ausgehen hiervon konnte ein vollstäniges Kompressormoell, welches en zugrune liegenen Kreisprozess etailliert beschreibt, hergeleitet weren. Anhan von Simulationsstuien wure as Verhalten es Kompressors auf Änerungen er Drehzahl es Drehkolbenverichters un er ValCOM-Stellungen untersucht. Im zweiten Teil ieses Beitrag wir ausgehen vom erarbeiteten vollstänigen Kompressormoell ein vereinfachtes Mittelwertmoell unter Ausnutzung er Perioizität er Systemgrößen es Kompressors abgeleitet. Dieses reuzierte Moell ient als Grunlage für ie Entwicklung einer nichtlinearen Mehrgrößenregelungsstrategie. Literatur [1] P. Beater, Pneumatic Drives: System Design, Moelling an Control, Springer, Berlin, [2] S. W. Brok, S. Touber un J. S. Van er Meer, Moeling of Cyliner Heat Transfer Large Effort, Little Effect?, Int. Compressor Engineering Conference, Paper 305, Seiten 43 50, [3] R. Damle, J. Rigola, C. D. Perez-Segarra, J. Castro un A. Oliva, Object-oriente simulation of reciprocating compressors: Numerical verification an experimental comparison, Int. Journal of Refrigeration, Jahrgang 34, Seiten , [4] Danfoss, Druckmessumformer für inustrielle Anwenungen Typ MBS32 un MBS33, Prouktatenblatt, [5] M. Elhaj, F. Gu, A. D. Ball, A. Albarbar, M. Al- Qatta un A. Nai, Numerical Simulation an Experimental Stuy of a Two-Stage Reciprocating Compressor for Conition Monitoring, Mechanical Systems an Signal Processing, Jahrgang 22, Seiten , [6] F. Gyberg un H. S. Nissen, A Simulation Moel for Fixe Vane Rotary Compressor Using Real Gas Properties, Int. Compressor Engineering Conference, Paper 430, Seiten 33 39, [7] J. Hafner un B. Gaspersic, Dynamic Moeling of Reciprocating Compressor, Int. Compressor Engineering Conference, Paper 708, Seiten , [8] HOERBIGER, ValCOM: Das Energieeinsparungssystem für PET-Kompressoren, technische Prouktbeschreibung, [9] B. J. Huang un Y. C. Chen, System Dynamics an Control of a Linear Compressor for Stroke an Frequency Ajustment,ASME J. of Dynamic Systems, Measurement an Control, Jahrgang 124, Seiten , [10] Kl ckner Werke AG, Steigerung von Energie- un Resourceneffizienz bei er Herstellung von PET-Flaschen Pressemelung vom , url: Aufruf [11] G. Kluge un G. Neugebauer, Grunlagen er Thermoynamik, Spektrum Verlag, Heielberg, [12] S. V. Krichel un O. Sawony, Dynamic moeling of compressors illustrate by an oil-flooe twin helical screw compressor, Mechatronics, Jahrgang 21, Seiten 77 84, [13] H. Murrenhoff, Grunlagen er Fluitechnik, Teil 2 Pneumatik, Shaker Verlag, Aachen, 2. Auflage, [14] J. H. Spurk un N. Aksel, Strömungslehre: Einführung in ie Theorie er Strömungen, Springer-Verlag, Berlin, 7. Auflage, [15] P. Stephan, K. Schaber, K. Stephan, un F. Mayinger, Thermoynamik Grunlagen un technische Anwenungen Ban 1: Einstoffsysteme, Springer-Verlag, Berlin, 17. Auflage, [16] S. Y. Sun un T. R. Ren, New Metho of Thermoynamic Computation for a Reciprocating Compressor: Computer Simulation of Working Process, Int. Journal of Mechanical Science, Jahrgang 37, No. 4, Seiten , [17] B. Blume, G. Grabov, R. Neumair un D. Reinger, Rotierene Verrängermaschinen (Pumpen, Verichter un Vakuumpumpen, Faragallah, Sulzbach 2. Auflage, Manuskripteingang: 11. Juni Post-print version of the article: T. Glück, W. Kemmetmüller, A. Kugi, an P. 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11 Moellierung eines Kompressors Dipl.-Ing. Tobias Glück ist Projektassistent am Institut für Automatisierungs- un Regelungstechnik (ACIN er Technischen Universität Wien. Hauptarbeitsgebiete: Moellbasierter Beobachter- un Regelungsentwurf mit Anwenungen in er Pneumatik un Elektromechanik. Aresse: Technische Universität Wien, Institut für Automatisierungsun Regelungstechnik, A-1040 Wien, Dr.-Ing. Wolfgang Kemmetmüller ist Post-Doktoran am Institut für Automatisierungs- un Regelungstechnik (ACIN er Technischen Universität Wien. Hauptarbeitsgebiete: Moellbasierter Steuerungs- un Regelungsentwurf für lineare un nichtlineare Systeme mit Anwenungen in er Hyraulik, er Mechatronik un in er Fahrzeugtechnik sowie Anwenungen mit intelligenten Fluien (elektrorheologische Fluie. Aresse: Technische Universität Wien, Institut für Automatisierungsun Regelungstechnik, A-1040 Wien, Dipl.-Ing. Patrick Zanolin war Diploman am Institut für Automatisierungs- un Regelungstechnik (ACIN er Technischen Universität Wien. Aresse: Schauensteingasse 4 Top 7, A-8010 Graz, patrick.zanolin@gmx.at Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Anreas Kugi ist Institutsvorstan am Institut für Automatisierungs- un Regelungstechnik (ACIN er Technischen Universität Wien. Hauptarbeitsgebiete: Moellierung, Simulation un Regelung nichtlinearer sowie infinit-imensionaler mechatronischer Systeme mit Anwenungen in er Hyraulik un Pneumatik, er Walzwerksautomatisierung, in er Automobilinustrie sowie für mikromechanische Systeme. Aresse: Technische Universität Wien, Institut für Automatisierungsun Regelungstechnik, A-1040 Wien, kugi@acin.tuwien.ac.at Vorschau auf Heft 1/2013 Unsere nächste Ausgabe ist ein Schwerpunktheft zum Thema Engineering (Gastherausgeber: Ch. Dierich un enthält unter aneren folgene Beiträge: B. Kormann: Engineering-Schwerpunkt Automatisierter moellbasierter Applikationstest für SPS Steuerungsprogramme auf er Basis von UML M. Maurmaier: Effizienz urch systematischen Einsatz von Moellen in er Entwicklung von Automatisierungssystemen J. Ploennigs: Ganzheitlicher, automatischer Entwurf rahtloser Gebäueautomationssysteme A. Schimschar: Koexistenzsimulation von rahtlosen Systemen als Bestanteil es Engineerings Weitere Informationen über geplante Hefte, ausführliche Informationen über ie in en letzten Heften er at erschienenen Beiträge sowie Hinweise für Autoren finen Sie im Internet unter Post-print version of the article: T. Glück, W. Kemmetmüller, A. Kugi, an P. Zanolin, Dreistufiger Kolbenkompressor mit vorgeschaltetem Drehkolbenkompressor: Teil 1, Moellierung, at Automatisierungstechnik, vol. 60, no. 12, pp , oi: /auto The content of this post-print version is ientical to the publishe paper but without the publisher s final layout or copy eiting.