2 Fixed Income Märkte nach der Finanzkrise: Basis Spreads und Multi-Kurven Modelle

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1 2 Fixed Income Märkte nach der Finanzkrise: Basis Spreads und Multi-Kurven Modelle Frank Thomas Seifried TU Kaiserslautern, Fachbereich Mathematik Moderne Finanzmathematik für die Praxis 5. September 2013 ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 1

2 Überblick 1 Überblick über wichtige Zinssätze 2 Zinsprodukte 3 Das NPV Prinzip für Zinsprodukte 4 Bewertung in klassischen 1-Kurven Modellen 5 Basis Spreads 6 Modellfreier Multi-Kurven Ansatz ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 2

3 1 Überblick über wichtige Zinssätze 2 Zinsprodukte 3 Das NPV Prinzip für Zinsprodukte 4 Bewertung in klassischen 1-Kurven Modellen 5 Basis Spreads 6 Modellfreier Multi-Kurven Ansatz ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 3

4 Zinssätze: Überblick Im Folgenden lernen wir eine Vielzahl verschiedener Zinssätze kennen. Um den Überblick zu erleichtern, halten wir schon jetzt fest: Die fundamentalen Zinssätze sind die Fed Funds Effective Rate und die LIBOR Raten für verschiedene Laufzeiten. Alle anderen Raten lassen sich aus diesen beiden ableiten oder durch Übergang zu einer anderen Währung substitutieren. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 4

5 Zinssätze: LIBOR LIBOR Die London Interbank Offered Rate (LIBOR) ist der täglich festgelegte Referenzzinssatz im globalen Interbankengeschäft. LIBOR ist der Zinssatz, zu dem sich die wichtigsten Banken in London unbesichert für verschiedene Laufzeiten (1d, 1w, 2w, 1m, 2m,..., 12m) in verschiedenen Währungen (USD, aber auch GBP, JPY, CHF, CAD, AUD, EUR,... ) refinanzieren können. LIBOR wird täglich von Thomson Reuters berechnet und (noch) von der British Bankers Association (BBA) veröffentlicht. Ab 2014 wird dies von der NYSE Euronext übernommen. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 5

6 Zinssätze: LIBOR Für jede Währung wird ein Panel von Banken festgelegt. Die Mitglieder des Panels quotieren täglich ihre Finanzierungskosten für verschiedene Laufzeiten in dieser Währung. Daraus berechnet sich das LIBOR Fixing als Durchschnitt der Werte zwischen dem 25%- und dem 75%-Quantil. LIBOR ist nicht transaktionsbasiert. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 6

7 Zinssätze: LIBOR Im USD LIBOR Panel sind aktuell 18 Banken: Bank of America Bank of Tokyo-Mitsubishi Barclays Bank BNP Paribas Citibank Credit Agricole Credit Suisse Deutsche Bank HSBC JP Morgan Chase Lloyds Banking Group Rabobank Royal Bank of Canada Société Générale Sumitomo Mitsui Banking Corporation The Norinchukin Bank The Royal Bank of Scotland Group UBS AG LIBOR als Zinssatz im Interbankenmarkt Die LIBOR Rate ist der Zinssatz, zu dem im Interbankenmarkt unbesicherte Geldgeschäfte abgewickelt werden. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 7

8 Zinssätze: LIBOR LIBOR hat zahlreiche Verwandte in aller Welt, u.a. die Zwillingsschwester London Interbank Bid Rate (LIBID) den japanischen Bruder TIBOR, den chinesischen Bruder HIBOR, den Bruder SIBOR aus Singapur, den russischen bzw. indischen Bruder MIBOR, den südafrikanischen Cousin JIBAR, den europäischen Cousin EURIBOR und dessen Vater FIBOR. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 8

9 Zinssätze: EURIBOR EURIBOR Die Euro Interbank Offered Rate (EURIBOR) ist das europäische Pendant zu LIBOR. EURIBOR ist der Zinssatz, zu dem sich erstklassige europäische Banken unbesichert für verschiedene Laufzeiten (1d, 1w, 2w, 3w, 1m, 2m,..., 12m) in EUR refinanzieren können. EURIBOR wird von Thomson Reuters berechnet und von der European Banking Federation (EBF) veröffentlicht. EURIBOR ist nicht EUR-LIBOR. EURIBOR ist nicht transaktionsbasiert. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 9

10 Zinssätze: EURIBOR EURIBOR berechnet sich analog zu LIBOR aus den Quotierungen der EURIBOR Panel Mitglieder als Durchschnitt der Werte zwischen dem 15. und dem 85. Quantil. Im EURIBOR Panel sind aktuell 39 Banken: Österreich Belgien Finnland Frankreich Deutschland Griechenland Irland Italien Luxemburg Niederlande Portugal Spanien weitere EU weitere global Erste Group Bank Belfius, KBC Nordea, Pohjola BNP Paribas, Banque Postale, Crédit Agricole, Crédit Industriel et Commercial, HSBC France, Natixis, Société Générale LB Berlin, Commerzbank, Deutsche Bank, DZ Bank, LBBW Girozentrale, LB Hessen-Thüringen Girozentrale, NordLB Girozentrale National Bank of Greece AIB Group, Bank of Ireland Intesa Sanpaolo, Monte dei Paschi di Siena, Unicredit, UBI Banca Banque et Caisse d Épargne de l État ING Bank Caixa Geral De Depósitos Banco Bilbao, Banco Santander, CecaBank, CaixaBank Barclays Capital, Den Danske Bank, Svenska Handelsbanken Bank of Tokyo Mitsubishi, JP Morgan Chase, UBS ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 10

11 Zinssätze: Fed Funds Effective Fed Funds Effective Rate (FFE) Die Fed Funds Effective (FFE) Rate ist die mittlere Rate, zu der Banken über Nacht (o/n) untereinander Überschussreserven in USD bei der Federal Reserve verleihen. Das Federal Open Market Committee legt die Fed Funds Target Rate fest und sorgt durch Offenmarktoperationen dafür, dass die FFE Rate in etwa der Target Rate entspricht. Die FFE ist somit ein wichtiger Transmissionsriemen für die Geldpolitik der Zentralbank. Sie wird täglich von der Federal Reserve veröffentlicht. Im Gegensatz zu LIBOR beruht die Fed Funds Effective Rate auf tatsächlichen Transaktionen. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 11

12 Zinssätze: Fed Funds Effective Auf Grund der kurzen Laufzeit werden o/n Geldgeschäfte als praktisch risikolos angesehen. Zentralbankrate als risikoloser Zinssatz Die FFE Rate ist die beste Approximation des abstrakten Konzepts einer risikolosen Rate. Auch die FFE hat als o/n Zentralbankrate zahlreiche internationale Verwandte, u.a. die britische SONIA, den Schweizer SARON, den japanischen Mutan, den europäischen EONIA. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 12

13 Zinssätze: Fed Funds Effective Fed Funds Effective Rate ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 13

14 Zinssätze: EONIA Euro Overnight Index Average (EONIA) Die Euro Overnight Index Average (EONIA) Rate ist das europäische Pendant zur Fed Funds Effective Rate und ist der mittlere Zinssatz, zu dem sich die EURIBOR Panel Banken auf dem Interbankenmarkt über Nacht unbesichert Geld leihen. EONIA wird von der Europäischen Zentralbank berechnet und kann, ebenso wie die FFE Rate im USD Raum, als risikolos betrachtet werden. EONIA ist wie die FFE Rate transaktionsbasiert. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 14

15 Zinssätze: EONIA Weitere wichtige Zinssätze sind u.a. die Euro Repo Market (EUREPO) Rate als Referenzzinsatz für besicherte Geldgeschäfte im Interbankenmarkt, die Discount Rate der Zentralbank als Spitzenrefinanzierungssatz der Zentralbank, die Treasury Bill Rate als Finanzierungskosten des U.S. Treasury Department... ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 15

16 Zinssätze: USD vs. EUR Im Folgenden verwenden wir die US Terminologie. Alles weitere gilt mutatis mutandis für den europäischen Markt: Übersetzung USD EUR USD EUR LIBOR EURIBOR FFE EONIA ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 16

17 1 Überblick über wichtige Zinssätze 2 Zinsprodukte 3 Das NPV Prinzip für Zinsprodukte 4 Bewertung in klassischen 1-Kurven Modellen 5 Basis Spreads 6 Modellfreier Multi-Kurven Ansatz ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 17

18 Zinsprodukte: Grundlagen Im Folgenden betrachten wir vollständig besicherte Zinsprodukte... wie z.b. Forward Rate Agreements, Zinsswaps, Caplets, Caps und Floors, Swaptions, etc. Die vollständige Besicherung eliminiert das Counterparty Risiko. Dabei kann es sich um börsengehandelte Geschäfte oder OTC Geschäfte unter einem standard CSA Vertrag handeln ( 1). ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 18

19 Zinsprodukte: Grundlagen Die relevanten Zinssätze sind die risikolose Short Rate r(t), die Collateral Rate r C (t) = r(t), und (potentiell riskante) LIBOR Raten L(t, T ). Konkret identifizieren wir einerseits r(t) = r C (t) als die Fed Funds Effective (FFE) Rate mit zugehöriger Discount Kurve {T δ(t, T )} gemäß [ δ(t, T ) = E t e ] T t r(s)ds und andererseits L(t, T ) als das LIBOR Fixing zur Zeit t für den Zeitraum [t, T ]. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 19

20 Zinsprodukte: Forward Rate Agreement Wir betrachten zunächst ein Forward Rate Agreement (FRA)... für den LIBOR Zinssatz L(T m 1, T m ) mit fixer Rate K > 0, das zur Zeit T m 1 gefixt wird und zur Zeit T m zahlt. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 20

21 Zinsprodukte: Forward Rate Agreement Es handelt sich also um ein Finanzgeschäft mit einem Cashflow Cash(T m ) = [L(T m 1, T m ) K](T m T m 1 ). FRA Rate Die FRA Rate L(t, T m 1, T m ) zur Zeit t für [T m 1, T m ] ist diejenige fixe Rate K, für die das FRA den Wert NPV(t) = 0 hat. Die FRA Rate L(t, T m 1, T m ) ist die risikolose Rate, die man zur Zeit t für das zukünftige Zeitfenster [T m 1, T m ] einlocken kann. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 21

22 Zinsprodukte: Swaps In einem (fixed floating) Swap wird vereinbart, die Cashflows eines Assets gegen eine fixe Rate auszutauschen. Wir betrachten insbesondere OIS Swaps und LIBOR Swaps... bei denen das zugrundeliegende Asset eine rollierte o/n Anlage zur Fed Funds Effective Rate (OIS Swap) eine Anlage zum LIBOR Zinssatz (LIBOR Swap) ist. Die Swap Rate ist diejenige fixe Rate, für die der Swap den Wert 0 hat. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 22

23 Zinsprodukte: Swaps Die variable Seite eines OIS Swaps besteht aus den Cashflows Tm T r(s)ds Cash(T m ) = e m 1 1 die einer täglich rollierten Anlage zum o/n Zinssatz entsprechen. Die OIS Swap Rate ist die fixe Rate, die der risikolosen Rate für die Laufzeit des Swaps entspricht: Mit einem OIS Swap lässt sich so die (variable) o/n Rate für eine gegebene Laufzeit in eine fixe Rate umdrehen. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 23

24 Zinsprodukte: Swaps Die variable Seite eines LIBOR Swaps besteht aus den Cashflows Cash(T m ) = L(T m 1, T m )(T m T m 1 ). Mit entsprechenden FRAs lassen sich diese Cashflows in zur Zeit t fixierte FRA Raten umwandeln: Der Wert der variablen Seite eines LIBOR Swaps ist NPV(t) = M m=1 δ(t, T m)l(t, T m 1, T m )(T m T m 1 ). ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 24

25 Zinsprodukte: Basis Spreads LIBOR-OIS Spread Der LIBOR-OIS Spread ist die Differenz zwischen der Swap Rate eines LIBOR Swaps und der eines OIS Swaps mit identischer Tenorstruktur und Laufzeit (z.b. 3m-LIBOR Rate und 3m-OIS Rate). Alternativ können wir den LIBOR-OIS Spread auch als den Aufschlag auffassen, den die OIS Seite in einem (floating floating) LIBOR-OIS Swap zahlen muss. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 25

26 Zinsprodukte: Basis Spreads Tenor Basis Spread Der Tenor Basis Spread ist die Differenz zwischen den Swap Rates zweier LIBOR Swaps mit identischer Laufzeit, aber unterschiedlicher Tenorstruktur (z.b. 3m-LIBOR Rate und 6m-LIBOR Rate). Alternativ können wir den Tenor Basis Spread auch als den Aufschlag auffassen, den eine Seite in einem (floating floating) LIBOR-LIBOR Swap zahlen muss. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 26

27 1 Überblick über wichtige Zinssätze 2 Zinsprodukte 3 Das NPV Prinzip für Zinsprodukte 4 Bewertung in klassischen 1-Kurven Modellen 5 Basis Spreads 6 Modellfreier Multi-Kurven Ansatz ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 27

28 NPV für Zinsprodukte Für ein vollständig besichertes Finanzgeschäft mit Cashflows Cash(T m ) gilt ( 1) [ M ] NPV(t) = E t m=1 D(t, T m)cash(t m ) (NPV) mit D(t, T ) = e T t r(s)ds und der risikolosen Rate (d.h. der Fed Funds Effective Rate, der Collateral Rate) r(t). Wie oben schreiben wir [ δ(t, T ) = E t [D(t, T )] = E t e ] T t r(s)ds für den zugehörigen risikolosen Zero-Coupon Bond. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 28

29 NPV für Zinsprodukte Durch einen Numérairewechsel zum Numéraire δ(, T m ) erhalten wir NPV Prinzip Der Wert zur Zeit t eines Finanzgeschäfts mit Cashflows Cash(T m ) ist NPV(t) = M m=1 δ(t, T m)e m [ t Cash(Tm ) ] (NPV) wobei E m [ ] der Erwartungswert unter dem T m -Forward Maß ist. Aus (NPV) wird die Bezeichnung Discount Kurve für {T δ(t, T )} klar, wenn man konstante Cashflows betrachtet. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 29

30 1 Überblick über wichtige Zinssätze 2 Zinsprodukte 3 Das NPV Prinzip für Zinsprodukte 4 Bewertung in klassischen 1-Kurven Modellen 5 Basis Spreads 6 Modellfreier Multi-Kurven Ansatz ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 30

31 1-Kurven Modell: Definition Unter einem 1-Kurven Modell... verstehen wir ein Modell, in dem es nur eine Zinsstruktur gibt. Dann werden die LIBOR Raten L(t, T ) und die Discount Kurve δ(t, T ) anhand derselben Zinskurve berechnet; insbesondere gilt δ(t, T ) = L(t, T )(T t). ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 31

32 1-Kurven Modell: Definition Da {T δ(t, T )} die risikolose Zinsstruktur repräsentiert, ist das 1-Kurven Modell korrekt, wenn die relevanten Zinssätze L(t, T ) als risikolos gelten dürfen. In den guten alten Zeiten vor der Finanzkrise... ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 32

33 1-Kurven Modell: FRA Im Folgenden nennen wir F (t, T m 1, T m ) = 1 T m T m 1 ( δ(t, Tm 1 ) δ(t, T m ) ) 1 die Forward LIBOR Rate zur Zeit t für [T m 1, T m ]. In jedem 1-Kurven Modell gilt die FRA Lehrbuchformel L(t, T m 1, T m ) = F (t, T m 1, T m ) = 1 T m T m 1 ( δ(t, Tm 1 ) δ(t, T m ) ) 1 In einem 1-Kurven Modell sind Forward LIBOR und FRA Raten identisch. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 33

34 1-Kurven Modell: FRA Warum ist das so? Wir zeigen: L(t, T m 1, T m ) = 1 T m T m 1 ( δ(t, Tm 1 ) δ(t, T m ) ) 1. FRA Strategie Bond Strategie t schließe FRA ab verkaufe einen T m 1-Bond; kaufe δ(t,t m 1) δ(t,t m) T m-bonds Cashflow 0 Cashflow 0 T m 1 investiere 1 zu L(T m 1, T m) zahle T m 1-Bond zurück Cashflow 1 Cashflow 1 T m Rückzahlung des Investments: 1 + L(T m 1, T m)(t m T m 1); Rückzahlung aus T m-bonds Zahlung aus FRA: [L(t, T m 1, T m) L(T m 1, T m)](t m T m 1) Cashflow 1 + L(t, T m 1, T m)(t m T m 1) Cashflow δ(t,t m 1) δ(t,t m) Da es keine Arbitrage-Möglichkeiten gibt, ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 34

35 1-Kurven Modell: LIBOR Swap Aus der FRA Lehrbuchformel 1 L(t, T m 1, T m ) = T m T m 1 folgt, wiederum in jedem 1-Kurven Modell, die Swap Lehrbuchformel... für die variable Seite eines LIBOR Swaps: ( δ(t, Tm 1 ) δ(t, T m ) ) 1 NPV(t) = M m=1 δ(t, T m)l(t, T m 1, T m )(T m T m 1 ) = ( ) M δ(t, m=1 δ(t, T Tm 1 ) m) 1 δ(t, T m ) = M m=1 δ(t, T m 1) δ(t, T m ) = 1 δ(t, T M ). Der NPV der variablen Seite hängt also nicht von der Tenorstruktur ab. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 35

36 1-Kurven Modell: Schlussfolgerungen Die Lehrbuchformeln haben empirisch überprüfbare Konsequenzen Variabel verzinsliche Anleihen notieren stets zu pari. Die FRA Rate ergibt sich gemäß der Lehrbuchformel aus der Zinsstruktur. LIBOR-OIS Spreads sind immer Null. Tenor Basis Spreads sind immer Null. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 36

37 1 Überblick über wichtige Zinssätze 2 Zinsprodukte 3 Das NPV Prinzip für Zinsprodukte 4 Bewertung in klassischen 1-Kurven Modellen 5 Basis Spreads 6 Modellfreier Multi-Kurven Ansatz ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 37

38 Basis Spreads: Historie 3m-LIBOR-OIS Spread (1y) Siehe auch [Mercurio (2008), Mercurio (2010)] ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 38

39 Basis Spreads: Historie 3m 6m-Tenor Basis Spread (5y) Siehe auch [Mercurio (2008), Mercurio (2010)] ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 39

40 Basis Spreads: Historie 3m 6m-LIBOR Forward Rates vs. 3m 6m-FRA Siehe auch [Mercurio (2008), Mercurio (2010)] ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 40

41 Basis Spreads: Fazit Vor der Finanzkrise betrachtete man den Markt für Zinsprodukte mit klassischen 1-Kurven Modellen aber seit der Finanzkrise können diese die Realität an den Märkten nicht mehr adäquat abbilden: ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 41

42 Basis Spreads: Was ist hier los? Der entscheidende Grund für das Entstehen der Spreads ist die Tatsache, dass zwar die LIBOR-Zinssätze Prämien für das Kredit- und Liquiditätsrisiko im Interbankenmarkt enthalten, aber die relevanten Zinsderivate besichert sind und somit diesen Risiken tatsächlich nicht unterliegen. Deswegen muss in einem Swap die jeweils weniger (!) riskant erscheinende Seite eine Prämie zahlen, nämlich die OIS Seite im LIBOR-OIS Swap und die Seite mit dem kürzeren Tenor im Tenor Basis Swap. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 42

43 Basis Spreads: Das FRA Puzzle Seit der Finanzkrise gilt die FRA Lehrbuchformel ( 1 δ(t, Tm 1 ) L(t, T m 1, T m ) = T m T m 1 δ(t, T m ) ) 1 nicht mehr, d.h. LIBOR Forward und FRA Raten sind nicht mehr identisch. Forward Rate Puzzle [Morini (2009)] Seit der Finanzkrise ist 3m (3m 6m) < 6m, oder [ 1 + L(t, Tm 1 )(T m 1 t) ][ 1 + L(t, T m 1, T m )(T m T m 1 ) ] < [ 1 + L(t, T m )(T m t) ]. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 43

44 Basis Spreads: Das FRA Puzzle FRA Strategie Bond Strategie t schließe FRA ab verkaufe einen T m 1-Bond; kaufe δ(t,t m 1) δ(t,t m) T m-bonds Cashflow 0 Cashflow 0 T m 1 investiere 1 zu L(T m 1, T m) zahle T m 1-Bond zurück Cashflow 1 Cashflow 1 T m Rückzahlung des Investments: 1 + L(T m 1, T m)(t m T m 1); Rückzahlung aus T m-bonds Zahlung aus FRA: [L(t, T m 1, T m) L(T m 1, T m)](t m T m 1) Cashflow 1 + L(t, T m 1, T m)(t m T m 1) Cashflow δ(t,t m 1) δ(t,t m) Was ist anders seit der Finanzkrise? Kreditrisiko: Es gibt keine LIBOR Bonds! Liquiditätsrisiko: Das Finanzierungsrisiko der Bond Strategie ist höher als das der FRA Strategie (Liquiditätsengpass zur Zeit T m 1!). ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 44

45 Basis Spreads: Das FRA Puzzle Die FRA Strategie handelt nur in Instrumenten mit Tenor = T m T m 1. Die Bond Strategie handelt zur Zeit t den T m -Bond, also ein Instrument mit Laufzeit T m t. Ist es möglich, das FRA sauber im Tenor zu replizieren? Basis-konsistente Replikation [Morini (2009)] Ein Zinsprodukt mit Tenor sollte ausschließlich mit Instrumenten mit demselben Tenor repliziert werden. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 45

46 Basis Spreads: Das FRA Puzzle Wir betrachten folgende Replikationsstrategie im 6m 12m-Tenor Basis Swap, der einen negativen Spread S auf der 12m-Seite trägt. FRA Strategie Basis Swap Strategie 1 0 schließe 6m 12m-FRA ab schließe α = 1+L(0,6m) 6m 6m 12m-TBS ab Cashflow 0 Cashflow 0 6m investiere 1 zu L(6m, 12m) zahle αl(0, 6m) 6m in TBS; investiere α zu L(6m, 12m) Cashflow 1 Cashflow α[1 + L(0, 6m) 6m] = 1 12m Rückzahlung des Investments: erhalte α[l(0, 12m) S] 12m aus TBS; 1 + L(6m, 12m) 6m; zahle αl(6m, 12m) 6m in TBS; Zahlung aus FRA: Rückzahlung des Investments: [L(0, 6m, 12m) L(6m, 12m)] 6m 1 + αl(6m, 12m) 6m Cashflow 1 + L(0, 6m, 12m) 6m Cashflow 1+[L(0,12m) S] 12m 1+L(0,6m) 6m ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 46

47 Basis Spreads: Das FRA Puzzle Da es keine Arbitrage-Möglichkeiten gibt, gilt L(0, 6m, 12m) = 1 ( 1 + [L(0, 12m) S] 12m 6m 1 + L(0, 6m) 6m ) 1. Morini (2009) zeigt, dass die Basis-konsistente Replikation des FRA die Marktdaten sehr gut erklärt: ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 47

48 1 Überblick über wichtige Zinssätze 2 Zinsprodukte 3 Das NPV Prinzip für Zinsprodukte 4 Bewertung in klassischen 1-Kurven Modellen 5 Basis Spreads 6 Modellfreier Multi-Kurven Ansatz ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 48

49 Multi-Kurven Ansatz: Motivation Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene Ansätze, die konzeptuell mit Struktur- und Reduced-Form Modellen im Kreditrisiko vergleichbar sind: Strukturmodell: Identifikation und Modellierung der fundamentalen Risikofaktoren und Herleitung modellendogener Spreads. Spreadmodell: Direkte Modellierung der relevanten Zinssätze und dadurch modellexogene Erzeugung der Spreads. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 49

50 Multi-Kurven Ansatz: Motivation In der Praxis wird der zweite Zugang verwendet: Multi-Kurven Ansatz [Mercurio (2008), Morini (2009), Bianchetti (2010), Henrard (2010), Fujii e.a. (2011),... ] Der Zinsmarkt wird gemäß der zugrundeliegenden Tenorstruktur (1m, 3m, 6m, 12m, etc.) segmentiert. In jedem Teilmarkt (z.b. 3m) wird eine separate Zinsstruktur verwendet. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 50

51 Multi-Kurven Ansatz: Definition Unter einer -Tenorstruktur verstehen wir im Folgenden ein äquidistantes Zeitgitter 0 < T 1 < T 2 < < T M mit T m T m 1 =, m = 2,..., M. Typischerweise ist der Tenor = 1d,..., 3m, 6m, 12m,... ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 51

52 Multi-Kurven Ansatz: Definition Modellfreier Multi-Kurven Ansatz [Bianchetti 2010] Für den Wert zur Zeit t eines Zinsprodukts mit Cashflows Cash(T m ) = α m + β m L(T m 1, T m ) wobei T 1 < < T M eine -Tenorstruktur ist, gilt NPV(t) = M m=1 δ(t, T m) [ α m + β m L (t, T m 1, T m ) ]. (NPV ) Hier bezeichnet man {T δ(t, T )} als die Discount Kurve und {T L (t, T, T )} als die -Fixing Kurve. Jedem Tenor entspricht damit eine individuelle Fixing Kurve. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 52

53 Multi-Kurven Ansatz: Definition In der Praxis werden Fixing Kurven {T L (t, T, T )} auch in Form von Discount Kurven {T p (t, T )} gespeichert. Die Umrechnung erfolgt mit Hilfe der Lehrbuchformel für FRA Raten. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 53

54 Multi-Kurven Ansatz: Fixing vs. Discount Kurve Was bedeuten die beiden verschiedenen Kurven in (NPV )? Im Multi-Kurven Ansatz NPV(t) = M m=1 δ(t, T m) [ α m + β m L (t, T m 1, T m ) ] (NPV ) verwendet man die relevante -Fixing Kurve zum Ausrollen der Cashflows, d.h. man ersetzt jedes Fixing durch die entsprechende FRA Rate, und die Discount Kurve um daraus den NPV des Geschäfts zu berechnen. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 54

55 Multi-Kurven Ansatz: Beispiel LIBOR Swap Zur Illustration betrachten wir einen (fixed floating) 6m-LIBOR Swap... mit Tenorstruktur 6m < 12m < 18m < 24m, d.h. 2y Laufzeit. Zunächst liefert die fixe Seite die Cashflows Cash(k 6m) = K 6m = α k + β k L(T m 1, T m ) mit α k = K 6m und β k = 0. Gemäß (NPV ) ergibt sich NPV(0) = 4 k=1 δ(0, k 6m)[ α k + β k L 6m (0, (k 1) 6m, k 6m) ] = 4 k=1δ(0, k 6m)K 6m = K 6m 4 k=1δ(0, k 6m). ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 55

56 Multi-Kurven Ansatz: Beispiel LIBOR Swap Die variable Seite zahlt die Cashflows Cash(k 6m) = L((k 1) 6m, k 6m) 6m = α k + β k L((k 1) 6m, k 6m) mit α k = 0 und β k = 6m, also folgt mit (NPV 6m ) und der 6m-Fixing Kurve {T L 6m (t, T 6m, T )} NPV(0) = 4 k=1 δ(0, k 6m)[ α k + β k L 6m (0, (k 1) 6m, k 6m) ] = 4 k=1 δ(0, k 6m)L6m (0, (k 1) 6m, k 6m) 6m. Insgesamt erhalten wir für die 6m-LIBOR Swap Rate K = 4 k=1 δ(0, k 6m)L6m (0, (k 1) 6m, k 6m) 4 k=1 δ(0, k 6m). ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 56

57 Multi-Kurven Ansatz: Fazit Mit dem Multi-Kurven Ansatz sind wir in der Lage, Marktpreise von FRAs und Swaps korrekt abzubilden. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 57

58 Zusammenfassung Basis Spreads zeigen auf, dass klassische 1-Kurven Modelle seit der Finanzkrise nicht mehr gültig sind. Das liegt im wesentlichen daran, dass die LIBOR Raten nicht mehr als risikolos eingestuft werden können. Im Rahmen des modellfreien Multi-Kurven Ansatzes haben wir gesehen, wie wir Marktpreise korrekt abbilden können. Jeder Tenor wird mit einer individuellen Fixing Kurve repräsentiert; Cashflows werden mit Hilfe einer einheitlichen Discount Kurve abgezinst. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 58

59 Konstruktion der Discount und Fixing Kurven... an Hand von Marktdaten sehen wir nach dem Mittagessen. ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 59

60 Referenzen F. Ametrano, M. Bianchetti: Bootstrapping the Illiquidity, in Modelling Interest Rates, Risk Books (2010). M. Bianchetti: Two Curves, One Price, Risk: August (2010), W. Boenkost, W. Schmidt: Cross currency swap valuation, HfB Business School of Finance & Management (2005). M. Fujii, Y. Shimada, A. Takahashi: A Market Model of Interest Rates with Dynamic Basis Spreads in the Presence of Collateral and Multiple Currencies, Wilmott Magazine 54 (2011), M. Henrard: The Irony in the Derivatives Discounting, Part II: The Crisis, Wilmott Journal 2 (2010), ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 60

61 Referenzen F. Mercurio: Interest Rates and the Credit Crunch: New Formulas and Models, SSRN (2008). F. Mercurio: Modern LIBOR Market Models: Using Different Curves for Projecting Rates and for Discounting, International Journal of Theoretical and Applied Finance 13 (2010), M. Morini: Solving the Puzzle in the Interest Rate Market: Parts I & II, SSRN (2009). ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 61

62 If you have questions, feedback, or ideas for joint research projects please do not hesitate to contact me: Frank Seifried Department of Mathematics University of Kaiserslautern ITWM: Moderne Finanzmathematik 2 Multi-Kurven Modelle 62