7.1 Matrizen. Die Kurzschreibweise von LGS führt zum Begriff der Matrix.

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1 7.1 Die Kurzschreibweise von LGS führt zum Begriff der Matrix. 7.1 Eine pm, nq-matrix ist ein mn-tupel von Zahlen, die zu einem rechteckigen Schema aus m Zeilen und n Spalten angeordnet sind: a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A... pa i,kq i 1,...,m k 1,...,n a m,1 a m,2 a m,n Die a i,k heißen die Koeffizienten (oder Einträge) der Matrix A. 0 : mˆn Nullmatrix E n : nˆn Einheitsmatrix Höhere Mathematik 126

2 - Addition und Skalarmultiplikation Spaltenvektoren können als mit einer Spalte, Zeilenvektoren als mit einer Zeile betrachtet werden Addition und Skalarmultiplikation Die Menge aller pm, nq- mit reellen Koeffizienten wird mit Matpm, nq oder R mˆn bzw. C mˆn bezeichnet. Diese Menge ist ein Vektorraum mit den Operationen pa i,k q mˆn ` pb i,k q mˆn pa i,k ` b i,k q mˆn, αpa i,k q mˆn pαa i,k q mˆn Man kann nur gleicher Dimensionen addieren. Die Nullmatrix p0q mˆn ist das neutrale Element der Addition. Für A, B P Matpm, nq bedeutet A B, dass a i,k b i,k für alle 1 ď i ď m, 1 ď k ď n gilt. Höhere Mathematik 127

3 Produkte von und Vektoren Wir schreiben eine Matrix A P Matpm, nq häufig mit Hilfe ihrer Spaltenvektoren A p a 1,..., a n q, a k a 1,k. a m,k. 7.3 Produkte von und Vektoren Die Matrix A P Matpm, nq habe die Spalten a 1 bis a n. Das Produkt von A wird mit dem Vektor x px 1,..., x n q J ist die Linearkombination der a i mit den x i als Koeffizienten, also A x x 1 a 1 ` ` x n a n. Hat die Matrix B P Matpn, pq die Spalten b 1 bis b p, so hat das produkt AB die Spalten A b 1 bis A b p. Für die einzelnen Einträge bedeutet dies: Höhere Mathematik 128

4 produkt 7.4 produkt Es seien m, n, p P N sowie A pa i,k q mˆn P Matpm, nq und B pb k,j q nˆp P Matpn, pq. Dann ist das Matrixprodukt C : AB P Matpm, pq definiert mit den Komponenten c i,j nÿ k 1 a i,k b k,j Zeile i mal Spalte j b 1,j B Ñ b 2,j b 3,j a i,1 a i,2 a i,3.. c i,j. A C AB Höhere Mathematik 129

5 produkt Bemerkung: Die Merkregel Zeile mal Spalte ergibt: Die i-te Zeile des Produkts AB hängt nur von der i-ten Zeile von A ab. Insbesondere gilt: Ist in p0,..., 0, 1, 0,..., 0q die 1 an der i-ten Stelle, so ergibt p0,..., 0, 1, 0,..., 0qB die i-te Zeile von B A e j ergibt die j-te Spalte von A. Mit den obigen Beobachtungen ergibt sich: Die Einheitsmatrizen sind die neutralen Elemente des Matrixprodukts, d.h. für A P Matpm, nq gilt E m A AE n A. Höhere Mathematik 130

6 Rechenregeln 7.5 Rechenregeln Gegeben seien A, B, C so, dass die entsprechenden Produkte definiert sind. a) Es gelten das Assoziativ- und das Distributiv-Gesetz: ApBCq pabqc, pa ` BqC AC ` BC, ApB ` Cq AB ` AC. b) Das Matrixprodukt ist nicht kommutativ. Bemerkung: zu (b): Wenn A P Matpm, nq und B P Matpn, pq, so ist AB definiert, jedoch ist BA nur im Fall p m definiert. Selbst wenn beide Produkte AB und BA definiert sind, so sind die oft verschieden. Höhere Mathematik 131

7 Bemerkung zum Matrixprodukt 7.6 Bemerkung zum Matrixprodukt Das Produkt mit der Nullmatrix ergibt die Nullmatrix. Aber: Aus AB p0q mˆp folgt nicht, dass A oder B eine Nullmatrix ist. Ebenso gilt im allgemeinen nicht die Kürzungsregel: aus AB AC folgt i.a. nicht die Gleichheit von B und C. Hierzu muss A eine Zusatzbedingung erfüllen (siehe invertierbare, reguläre ). Wenn man das Produkt eines Vektors mit einer Zahl als produkt auffassen will, muss die Zahl rechts vom Vektor stehen. Mehrere Vektoren multipliziert man mit Zahlen, indem man sie zu einer Matrix zusammenfasst und mit einer Diagonalmatrix multipliziert. Höhere Mathematik 132

8 Matrix-Form des linearen Gleichungssystems 7.7 Matrix-Form des linearen Gleichungssystems Für A P Matpm, nq, einen Spaltenvektor b P R m sowie einen Spaltenvektor x P R n lässt sich das inhomogene Gleichungssystem (*) in 5.3 schreiben als A x b. A heißt die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems und b die rechte Seite. Das lineare Gleichungssystem A x b ist genau dann lösbar, wenn die rechte Seite b eine Linearkombination der Spaltenvektoren von A ist. Die elementaren Umformungen (E1) (E4) lassen sich auf die Zeilen und Spalten der Matrix A anwenden, um eine reduzierte Stufenform von A zu erhalten. Der Rang der Matrix A ist dasselbe wie der Rang r der reduzierten Stufenform von A. Höhere Mathematik 133

9 Matrix-Form des linearen Gleichungssystems Die Matrix à pa, bq mˆpn`1q in der Kurzform des Gleichungssystems heißt die erweiterte Koeffizientenmatrix. Wir haben in 5.8 festgestellt, dass das inhomogene lineare Gleichungssystem genau dann lösbar ist, wenn gilt. Rang A Rang à Weitere Aussagen in 5.8 erhalten nun die folgende Form: Rang A m ùñ das Gleichungssystem A x b ist lösbar Rang A n ùñ das Gleichungssystem A x b hat höchstens eine Lösung Rang A m n ùñ das Gleichungssystem A x b ist für jede rechte Seite b eindeutig lösbar (universell eindeutig lösbar) Höhere Mathematik 134

10 Definition und Satz: Kern und Bildraum 7.8 Definition und Satz: Kern und Bildraum Die Lösungsmenge des homogenen LGS A x 0 zur reellen Matrix A P Matpm, nq ist ein Vektorraum. Dieser Vektorraum ist ein Untervektorraum von R n bzw. C n und wird wie in 6.13 mit Kern bezeichnet. Kern A t x P R n A x 0u Für eine Matrix A p a 1,..., a n q P Matpm, nq mit Spaltenvektoren a k heißt der Unter-Vektorraum Bild A Spanp a 1,..., a n q der Bildraum von A. Es gilt Rang A dimpbild Aq, also mit der Dimensionsformel dimpkern Aq ` dimpbild Aq n. p q Höhere Mathematik 135

11 Definition und Satz: Kern und Bildraum Bemerkung: Hieraus folgt, dass sich der Rang einer Matrix auf zwei verschiedene Weisen darstellen lässt: r Rang A ist die maximale Anzahl von linear unabhängigen Zeilen von A; das bedeutet dimpkern Aq n r. r Rang A ist die maximale Anzahl von linear unabhängigen Spalten von A; das bedeutet dimpbild Aq r. Weiter gilt: es gibt eine Basis v 1 bis v n des R n mit: A v 1 bis A v r ist eine Basis des Bildes von A v r`1 bis v n ist eine Basis des Kerns von A Höhere Mathematik 136

12 Definition: Transponierte Eine weitere Operation für : 7.9 Definition: Transponierte Die zu a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A P Matpm, nq... a m,1 a m,2 a m,n transponierte Matrix ist a 1,1 a 2,1 a m,1 A J a 1,2 a 2,2 a m,2 P Matpn, mq.... a 1,n a 2,n a m,n Die Adjungierte A einer komplexen Matrix ist definiert durch A A J A J Höhere Mathematik 137

13 Transponierte, Adjungierte und Skalarprodukt 7.10 Transponierte, Adjungierte und Skalarprodukt Sei A P Matpm, nq. Dann gibt es genau eine Matrix B P Matpn, mq, so dass für alle x P R n und y P R m gilt ă A x, y ą ă x, B y ą. Es ist B A J. Eine entsprechende Aussage gilt für komplexe Vektorräume und B A. Höhere Mathematik 138

14 Rechenregeln 7.11 Rechenregeln Addition: Für A, B P Matpm, nq und α P R gilt pa ` Bq J A J` B J, pαaq J αa J. pa ` Bq A ` B, pαaq αa. Matrixprodukt: Für A P Matpm, nq und B P Matpn, pq gilt pabq J B J A J und pabq B A Für jede Matrix A gilt pa J q J A und pa q A. Es gilt Rang A Rang A J und Rang A Rang A. Es ist ă x, y ą y J x bzw. ă x, y ą y x (Skalarprodukt als produkt). Höhere Mathematik 139

15 Rang von Produkten 7.12 Rang von Produkten Für alle A P Matpm, nq und B P Matpn, pq gilt RangpABq ď mintrang A, Rang Bu. Höhere Mathematik 140

16 Definition und Satz: Inverse Wir betrachten ab jetzt quadratische A P Matpn, nq (Zeilenzahl = Spaltenzahl) 7.13 Definition und Satz: Inverse Gegeben sei A P Matpn, nq. Falls es eine Matrix X P Matpn, nq mit AX XA E n gibt, so heißt A invertierbar (oder regulär) und X A 1 heißt die Inverse von A. Satz: a) Die Matrix A P Matpn, nq besitzt genau dann eine Inverse A 1, wenn Rang A n gilt. b) Falls A invertierbar ist, so ist die Inverse A 1 eindeutig bestimmt. Bemerkung; Es gibt viele A P Matpn, nq, die keine Inverse besitzen (nämlich alle vom Rang r ă n). Wir werden später sehen, dass die Bedingung det A 0 notwendig und hinreichend für die Invertierbarkeit von A ist. Höhere Mathematik 141

17 Beispiel 7.14 Beispiel Bestimme die Inverse (falls möglich) zu A Höhere Mathematik 142

18 Zwei nützliche Hilfsaussagen 7.15 Zwei nützliche Hilfsaussagen Die Umformungen (E1) - (E3) des Gauß-Algorithmus lassen sich durch Multiplikation der (erweiterten) Matrix von links mit invertierbaren darstellen. Wichtige Konsequenz aus 7.12 Falls A P Matpn, nq regulär ist, so gilt RangpABq Rang B für alle B P Matpn, pq, RangpCAq Rang C für alle C P Matpp, nq. Höhere Mathematik 143

19 Satz: Lösbarkeit von LGS 7.16 Satz: Lösbarkeit von LGS a) Falls A P Matpn, nq regulär ist, so ist das lineare Gleichungssystem A x b universell eindeutig lösbar und die Lösung lautet x A 1 b. b) Falls A P Matpn, nq regulär ist, so gilt für B, C P Matpn, pq die Kürzungsregel AB AC ðñ B C. c) Falls A, B P Matpn, nq beide regulär sind, so ist auch C AB regulär und es gilt pabq 1 B 1 A 1. d) Für reguläre A P Matpn, nq gilt pa J q 1 pa 1 q J. Höhere Mathematik 144

20 Satz: Lösbarkeit von LGS Die Kürzungsregel besagt: Multiplikation beider Seiten eines linearen Gleichungssystems mit einer regulären Matrix ist eine Äquivalenzumformung: A x b ðñ MA x M b, falls M P Matpm, mq regulär Höhere Mathematik 145

21 Satz: Die Gruppe der regulären 7.17 Satz: Die Gruppe der regulären Die regulären pn, nq- bilden mit der Multiplikation die Gruppe Glpnq: das heißt: (G1) das Produkt C AB zweier regulärer pn, nq- ist eine reguläre pn, nq-matrix, (G2) es gilt das Assoziativgesetz der Matrix-Multiplikation, (G3) die Einheitsmatrix E n ist das eindeutige neutrale Element der Multiplikation, also AE n E n A A für jede reguläre pn, nq-matrix, (G4) zu jeder regulären pn, nq-matrix A gibt es genau eine reguläre pn, nq-matrix X mit AX XA E n, nämlich X A 1. Beachte: Das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt in Matpn, nq nicht (für n ě 1). E 1 n E n, denn E n E n E n Höhere Mathematik 146

22 Definition der Determinante 7.18 Definition der Determinante Die Determinante im R n ist eine Funktion, die n Vektoren (bzw. einer n ˆ n-matrix) eine reelle Zahl zuordnet. Sie lässt sich durch diese Bedingungen charakterisieren: det : R n ˆ ˆ R n looooooomooooooon n Faktoren Ñ R ist linear in jedem Faktor, d.h. detp v 1,..., pα u ` β wq,..., v n q α detp v 1,..., u,..., v n q ` β detp v 1,..., w,..., v n q Die Determinante ist alternierend, d.h. detp v 1,..., v i,..., v j,..., v n q detp v 1,..., v j,..., v i,..., v n q Die Determinante ist normiert: detp e 1,..., e n q 1. Diese Bedingungen legen die Determinante eindeutig fest (ohne Beweis). Der zweite Punkt ergibt sofort detp v 1,..., u,..., u,..., v n q 0, mit der ersten Bedingung erhält man detp v 1,..., v i ` α v j,..., v j,..., v n q detp v 1,..., v i,..., v j,..., v n q. Dies gilt im C n analog. Alternative Schreibweise: A statt det A Höhere Mathematik 147

23 Berechnung von Determinanten 7.19 Berechnung von Determinanten Für eine p1, 1q-Matrix A paq ist det A a. Für eine p2, 2q-Matrix A `a b c d wird det A ad bc. Für eine pn, nq-matrix A pa i,k q nˆn wird det A berechnet durch die Rekursion ( Entwicklung nach der ersten Spalte ) det A nÿ p 1q k`1 a k,1 detpa k,1 q, k 1 wobei die pn 1, n 1q-Matrix A k,m aus A durch Streichen der k-ten Zeile und der m-ten Spalte hervorgeht. Höhere Mathematik 148

24 Berechnung von Determinanten Bemerkung: Die Rekursion kann nach jeder Zeile und jeder Spalte gebildet werden und führt zum gleichen Wert: det A det A nÿ p 1q j`k a j,k detpa j,k q, k 1 nÿ p 1q i`l a i,l detpa i,l q, i 1 Entwicklung nach der j-ten Zeile Entwicklung nach der l-ten Spalte Man beachte das Schachbrettmuster des Vorzeichenfaktors p 1q i`j ` ` ` ` ` `.... Höhere Mathematik 149

25 Beispiele Beispiele: Für p3, 3q- ergibt sich die Determinante det a b c d e f apei fhq bpdi fgq ` cpdh egq g h i auch mit der Merkregel von Sarrus a b c a b d e f d e g h i g h ceg afh bdi `aei `bfg `cdh Achtung! Die Sarrus-Regel kann nur bei 3 ˆ 3- angewendet werden! Höhere Mathematik 150

26 Für A ÐÝ Entw. n. d. 2. Zeile ist det A 5 det A 2,1 ` 2 det A 2, ` Determinantenberechnung mit dem Gauß-Algorithmus Die Berechnung von det A erfolgt bei größeren mit dem Gauß-Algorithmus: 7.21 Determinantenberechnung mit dem Gauß-Algorithmus Gegeben sei A P Matpn, nq. a) Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten von A (Umformungen E1 und E4) ändert det A um den Faktor 1. b) Addition eines Vielfachen der i-ten Zeile zur j-ten Zeile (mit i j) ändert det A nicht (Umformung E3). Dasselbe gilt für die entsprechende Umformung für die Spalten. c) Multiplikation einer Zeile (oder Spalte) von A mit einer Zahl α ändert die Determinante um diesen Faktor α (Umformung E2). Höhere Mathematik 151

27 Satz: Determinante oberer Dreiecksmatrizen Vorgehen Bestimmung von det A: Man bringt A auf reduzierte Stufenform und merkt sich in jedem Schritt, wie sich die Determinante ändert. Wir müssen also nur noch die Determinante einer reduzierten Stufenform bestimmen. Man nennt eine Matrix der Form a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,n 0 a 2,2 a 2,3 a 2,n A , also a i,k 0 für i ą k, a n 1,n 0 0 a n,n eine obere Dreiecksmatrix Satz: Determinante oberer Dreiecksmatrizen Für eine obere Dreiecksmatrix A P Matpn, nq ist det A das Produkt der Diagonal-Elemente, also det A a 1,1 a 2,2 a n,n. Höhere Mathematik 152

28 Beispiel: Erneute Berechnung der Determinante von A Satz: Determinante oberer Dreiecksmatrizen tausche Gl.1 und Gl dividiere Gl.2 durch subtrahiere Gl subtrahiere 3*Gl subtrahiere 6*Gl tausche Gl.2 und Gl multipliziere Gl.3 mit Höhere Mathematik 153

29 Satz: Determinante oberer Dreiecksmatrizen addiere *Gl subtrahiere *Gl addiere Gl Mit 2 Vertauschungen und den Multiplikationen ergibt sich det A p 1q 2 5 p 1 q Höhere Mathematik 154

30 Weitere Regeln zur Determinatenberechnung 7.23 Weitere Regeln zur Determinatenberechnung Enthält A eine Nullzeile (oder Nullspalte), so ist det A 0 (klar durch reduzierte Stufenform in 7.21). Insbesondere gilt für eine pn, nq-matrix A: det A 0 ðñ Rang A n. Falls eine Zeile (oder Spalte) von A das Vielfache einer anderen Zeile (bzw. Spalte) ist, so ist det A 0. Es gelten die Rechenregeln det A J det A, det A 1 1 det A und der Multiplikationssatz detpabq det A det B. detpαaq α n det A Es gibt keine Regel für detpa ` Bq pfalls det A 0q, Geometrie: Für n 2 und n 3 gilt: Der Absolutbetrag von det A ist der Flächeninhalt des Parallelogramms bzw. das Volumen des Spats, das von den Spaltenvektoren von A aufgespannt wird. Dies besitzt eine Verallgemeinerung auf n-dimensionale Körper. Höhere Mathematik 155

31 Charakterisierung regulärer Wir können nun die folgenden Aussagen zur Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems A x b mit einer pn, nq-matrix A formulieren Charakterisierung regulärer Für A P Matpn, nq sind folgende Aussagen äquivalent: (i) A ist regulär. (ii) Rang A n. (iii) det A 0. (iv) Das homogene LGS A x 0 hat als einzige Lösung x 0. (v) Das LGS A x b ist universell eindeutig lösbar. Höhere Mathematik 156

32 Cramersche Regel Für kleine und weitere Anwendungen ist die folgende Regel wichtig Cramersche Regel Die Matrix A P Matpn, nq sei regulär. Die Komponenten des eindeutigen Lösungsvektors x von A x b haben die Darstellung x j 1 a 1,1 a 1,j 1 b 1 a 1,j`1 a 1,n det A det..... a n,1 a n,j 1 b n a n,j`1 a n,n Höhere Mathematik 157

33 Satz: Adjunktenform der Inversen Mit der Cramerschen Regel kann man auch eine Darstellung für die Inverse von A erhalten Satz: Adjunktenform der Inversen Die Inverse einer regulären Matrix A hat die Form A 1 1 det A pα j,kq nˆn mit α j,k p 1q j`k det A k,j. Höhere Mathematik 158

34 Satz: Adjunktenform der Inversen Beispiel zur Cramerschen Regel: Löse das LGS ˆ x ˆ7 8 ˆ1 2 Es ist det 2, also nach der Cramerschen Regel x ˆ1 7 det 3 8 x det ˆ ˆ1 2 Weiter: ˆa b Allgemein: c d invertierbar. ˆ ad bc ˆ d b, falls ad bc 0; sonst ist die Matrix nicht c a Höhere Mathematik 159