Anfängerpraktikum III Interferometer / Beugung am Gitter

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1 Anfängerpraktikum III Interferometer / Beugung am Gitter Praktikumsbericht René Sedlak, Simon Hönl Tutor: Alexander Frey Durchgeführt am 7.1./

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Physikalische Grundlagen Beugung Huygens sches Prinzip Kohärenz Interferenz Interferenzfilter Interferometer Michelson-Interferometer Fabry-Pérot-Interferometer spektrales Auflösungsvermögen Autokollimation Versuch I: Interferometer Aufbau und Durchführung Auswertung Fehlerdiskussion Fragen und Aufgaben Versuch II: Beugung am Gitter Versuchsaufbau und Durchführung Fragen und Aufgaben Anhang Literatur

3 1 Einleitung 1 Einleitung Das Ziel des Versuchs ist es, zwei wichtige thermodynamische Effekte experimentell kennenzulernen. Den kritischen Punkt und den Stirling-Kreisprozess. 2 Physikalische Grundlagen 2.1 Beugung Siehe für diese Grundlagen Sedlak, Hönl: Diffraktive Optik / Lichtstreuung Praktikumsbericht (2012) 2.2 Huygens sches Prinzip Nach dem Hygens schen Prinzip besteht jede Welle aus unendlich vielen Punktwellen, die ihren Ursprung in jedem Punkt der Wellenfront haben und durch Superposition die propagierende Welle bilden. Fasst man nun beim Übergang der Welle in ein anderes Medium die Punkte der Grenzfläche als Ursprung von Elementarwellen auf, so ergibt, falls die Brechungsindizes der beiden Medien verschieden ist, nach der Superposition der Elementarwellen eine Brechung nach dem Snellius schen Brechungsgesetz: sin α sin β = c 1 c 2 (1) Wobei α der Einfallswinkel der Welle, β ihr Ausfallswinkel und c 1,2 der Brechungsindizes der beiden Medien sind. 2.3 Kohärenz Kohärenz beschreibt eine bestimmte Phasenbeziehung zwischen zwei Wellen. Man unterscheidet zwischen räumlicher und zeitlicher Kohärenz. Räumliche Kohärenz beschreibt eine Phasenbeziehung zweier Wellen zueinander zu einem bestimmten Zeitpunkt an verschiedenen Orten, während zeitliche Kohärenz eine Phasenbeziehung an festgelegten Orten, jedoch zu verschiedenen Zeitpunkten beschreibt. den maximalen Laufzeitunterschied, den zwei Wellen haben dürfen, um noch kohärent zu sein, bezeichnet man als Kohärenzlänge. Damit man Phänomene wie Beugung und Interferenz Beobachten kann, muss Licht einen bestimmten Grad räumlicher Kohärenz besitzen. Diese kann man beispielsweise durch einen Beleuchtungsspalt erzeugen. Für eine hinreichende Kohärenz muss der Spalt die Verdetsche Kohärenzbedingung erfüllen: D d f = D sin θ! λ (2) 3

4 2 Physikalische Grundlagen Dabei ist D die Breite des Beleuchtungsspaltes, f die Brennweite der Linse, d die Breite des Beugungsspaltes (Gitterkonstante), θ der halbe Öffnungswinkel der Spalte. 2.4 Interferenz Als Interferenz bezeichnet man die Überlagerung von Wellen aller Art; insbesondere beobachten wir hier die Interferenz von kohärenten EM-Wellen, welche sich durch die homogene Wellengleichung beschreiben lassen: ( 1c ) 2 u( r, t) = 0 (3) 2 t 2 Man unterscheidet zwischen konstruktiver und destruktiver Interferenz. Bei konstruktiver Interferenz beträgt der Phasenunterschied zwischen den interferierenden Welle ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ, geschieht dies, so ist die entstehende Welle durch die Interferenz verstärkt. Bei destruktiver Interferenz muss der Phasenunterschied ein ungradzahliges Vielfaches von λ sein, ist das der Fall, so löschen sich die Interferierenden Wellen aus. Sind die Wellen senkrecht zueinander polarisiert, so tritt keine 2 destruktive Interferenz auf. Die Interferenz zwischen mehr als 2 Lichtstrahlen nennt man Vielstrahlinterferenz, diese tritt beispielsweise am Gitter auf, es wird dabei angenommen, dass von jeder Öffnung des Gitters eine Elementarwelle ausgeht. 2.5 Interferenzfilter Mit einem Interferenzfilter kann man aus dem Spektrum einer Lichtquelle einen Teil heraussschneiden, beispielsweise will man in einem der behandelten Versuchsteile nur die gelben Spektrallinien der Hg-Dampflampe betrachten. Ein Interferenzfilter besteht aus mehreren hintereinander angeordneten Schichten eines dielektrischen Materials. Beim eintreten in das Material werden die Wellen an den unterschiedlichen Schichten reflektiert oder transmittiert, wobei es zu Gangunterschieden zwischen den reflektierten und transmittierten Wellen kommt und so durch geschickte Wahl des Materials bestimmte Wellenlängen durch destruktive Interferenz herausgefiltert werden können. Es gilt für den Gangunterschied s mit der Schichtdicke d des Materials und dem bei der Reflexion entstehenden Gangunterschied r: 2.6 Interferometer s = 2nd + r (4) Ein Interferometer ist ein Gerät, welches Interferenz ausnutzt, um unterschiedliche Phänomene zu beobachten. Im Prinzip funktioniert jedes Interferometer gleich; von einer Lichtquelle wird ein kohärenter Strahl erzeugt, welcher in zwei Teilstrahlen aufgeteilt wird, 4

5 2 Physikalische Grundlagen normalerweise wird der eine Teilstrahl möglichst ohne Störfaktoren weitergeleitet und dient später als Referenz, während der andere Strahl auf irgendeine Weise beeinflusst wird. Die Lichtstrahlen werden wieder zusammengeleitet und auf einem Schirm wird nun die auftretende Interferenz beobachtet, anhand derer Rückschlüsse auf den beeinflussenden Faktor gezogen werden können. Im Folgenden werden drei Bauarten von Interferometern beschrieben: Michelson-Interferometer Michelson-Interferometer Quelle: ( ) Das oben abgebildete Michelson-Interferometer ist vom Aufbau ein sehr einfaches Interferometer. Der Lichtstrahl wird durch einen halbdurchlässigen Spiegel getrennt, danach passieren die Teilstrahlen einen Strahlengang, in dem Experimente durchgeführt werden können, werden an der gegenüberliegenden Seite gespiegelt, passieren wieder den Strahlengang und werden durch den halbdurchlässigen Spiegel wieder zusammengeführt (wobei die Hälfte des Lichts wieder in die Quelle zurückfällt), so dass nun auf dem Schirm die Interferenzphänomene beobachtet werden können; die auftretenden Interferenzmuster sind ringförmig und werden Haidinger Ringe genannt. Das Interferenzmuster kann verändert werden, indem der Gangunterschied zwischen den Teilstrahlen verändert wird, das kann durch verschieben der Spiegel geschehen oder dadurch, dass man Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes in den Strahlengang stellt. 5

6 2 Physikalische Grundlagen Im Versuch wird die Druckabhängigkeit des Brechungsindexes mithilfe eines solchen Interferometers bestimmt; das Twyman-Interferometer unterscheidet sich vom Michelson Interferometer nur dadurch, dass einer der Spiegel drehbar gelagert ist, es wird in der Regel zum Prüfen von optischen Bauteilen verwendet Fabry-Pérot-Interferometer Fabry-Pérot-Interferometer Quelle: ( ) Wie in der Skizze zu sehen ist, fällt das Licht der Lampe zunächst auf eine Linse, wodurch es kollimiert wird. Die parallelen Strahlen treffen auf die halbdurchlässigen Spiegel, zwischen denen sie wie in einem optischen Resonator reflektiert werden. Die reflektierten Strahlen interferieren mit den einfallenden Strahlen, so dass das Bild auf dem Schirm wieder Haidinger-Ringe aufweist. Der Abstand der Ringe ist abhängig vom Einfallswinkel des Lichts und dem Brechungsindex des Mediums. 2.7 spektrales Auflösungsvermögen Das spektrale Auflösungsvermögen ist eine Eigenschaft des optischen Gitters, die angibt, wie gut zwei Wellenlängen (Spektrallinien) λ und λ + λ unterschieden werden können. Das Rayleigh - Kriterium besagt, dass zwei Lichtstrahlen aufgelöst sind, wenn das Maximum der einen Intensitätskurve mindestens mit dem Maximum der anderen Inten- 6

7 3 Versuch I: Interferometer sitätskurve übereinstimmt. Das spektrale Auflösungsvermögen A G ergibt sich dann wie folgt: A G = λ λ = n N (5) Wobei n die Ordnung der Maxima ist und N die Anzahl der beleuchteten Spalte. 2.8 Autokollimation Rayleigh Kriterium für das Spektrale Auflösungsvermögen Quelle: ( ) Bei diesem Verfahren wird das Licht zunächst durch eine Linse geleitet, durch die es gebündelt wird und anschließend durch einen Spiegel wieder durch die Linse zurück auf die Lichtquelle geworfen wird. Ist die Abbildung der Lichtquelle scharf, so sind die Strahlen hinter der Linse parallel, da sie dann auf dem Rückweg genau den selben Strahlengang nehmen. Auf diese Weise kann überprüft werden, ob die Linse für die Erzeugung paralleler Lichtstrahlen richtig positioniert ist, wie sind zum Beispiel bei der Anwendung im Versuch erforderlich sind. 3 Versuch I: Interferometer 3.1 Aufbau und Durchführung Im ersten Teil des Versuchs soll die Druckabhängigkeit des Brechungsindexes mithilfe eines Michelson-Interferometers untersucht werden. Nach dem justieren des Strahlengangs durch Verstellen des Spiegels, wird der Druck in der Luftkammer mit der installierten Handpumpe reduziert, dabei bewegen sich die Haidinger Ringe des Interferenzmusters. Anschließend wir der Druck wieder kontrolliert angehoben, wobei im Interferenzmuster die Haidinger-Ringe gezählt werden. 7

8 3 Versuch I: Interferometer Im zweiten Versuchsteil wird mit einem Fabry-Perot-Interferometer die Wellenlängendifferenz zwischen den gelben Spektrallinien einer Hg-Dampflampe gemessen. Dabei wird analog zu Versuchsteil 1 der Strahlengang justiert und der Spiegelabstand so eingestellt, dass die beiden Ringsysteme auf Lücke liegen. Nun wird der Spiegelabstand so lange in eine Richtung verändert, bis die Ringsysteme wieder auf Lücke liegen, wobei auch wieder die enstehenden Ringe gezählt werden. 3.2 Auswertung Der Brechungsindex kann wie folgt aus der Gasgleichung hergeleitet werden: Für die Differenz der optischen Weglängen der beiden Strahlengänge d gilt: d = n(p 0 ) L n(p 1 ) L (6) Wobei L der Abstand zwischen den Doppelspiegeln und den Spiegeln ist. Für konstruktive Interferenz muss z ein ganzzahliges Vielfaches von λ sein, wenn z die Anzahl der durchlaufenen Maxima ist, gilt also d = zλ. zλ = (n(p 0 ) n(p 1 )) L (7) In unserem Fall bleiben Temperatur und Volumen konstant, deshalb folgt aus dem idealen Gasgesetz: Aus (6) und (7) folgt: n(p 0 1 n(p 1 1 = p 0 p 1 (8) n(p 1 ) 1 = p 1 p 0 (n(p 1 ) 1) (9) n(p 0 ) = zλ ( ) + 1 (10) L 1 p 1 p 0 Mit dem Fehler: δn = n p 1 δp 1 + n p 0 δp λzp 0 0 = L(p 1 p 0 ) δp λzp L(p 0 p 1 ) δp 2 0 (11) Mit der Annahme, dass z fehlerfrei ist. Die gemessenen Drücke in Pascal können mit dem Verhältnis 1T orr = 133, 322P a umgerechnet werden. Wir nehmen einen Fehler δp 0,1 = 20T orr = 2666P a an. Brechungsindex der Luft n und δn 8

9 3 Versuch I: Interferometer Es ergibt sich für n ein Mittelwert n = 1, 00015±0, Dieser Wert ist verglichen mit dem Literaturwert von n lit = 1, mit einer Abweichung von 0, 014% sehr gut, trotzdem ist das Ergebnis fehlerbehaftet, da wir bei der Berechung des Drucks beispielsweise nicht die barometrische Höhenformel verwendet haben, was für ein genaues Ergebnis erforderlich gewesen wäre. Es fällt trotzdem auf, dass die Fehlertoleranz offenbar zu klein ist, da der Literaturwert nicht mehr in dieser Spanne liegt, dies könnte daran liegen, dass wir uns vielleicht doch verzählt haben oder dass wir nicht bis zum Standarddruck p 0 = P a gemessen haben. Für die Wellenlängendifferenz im zweiten Versuchsteil gilt (Nach Runge: Skript zum AP): Mit dem Fehler: λ = λ mittel z (12) δ λ = λ z δz = λ mittel δz (13) z 2 Wir nehmen für die mittlere Wellenlänge λ mittel = 578nm(Interferenzfilter) an und wir gehen bei den Messungen von einer Ungenauigkeit von 20 Ringen pro Messung aus, es ergibt sich folgendes: λ 1 = 578nm 2, 4nm ± 0, 2nm z 1 (14) λ 2 = 578nm 2, 5nm ± 0, 2nm z 2 (15) λ 3 = 578nm 2, 5nm ± 0, 2nm z 3 (16) Der Mittelwert des Wellenlängenunterschieds ist also 2, 5nm, verglichen mit dem Literaturwert von 2, 11nm ist das ein relativ passables Ergebnis trotz der vielen Fehlerquellen. 3.3 Fehlerdiskussion Gerade im zweiten Versuchsteil ergeben sich sehr große Fehler, da es äußerst schwierig war, die Ringe genau zu zählen. 3.4 Fragen und Aufgaben 1 Welche Veränderung am Interferenzmuster würden Sie erwarten, wenn im Michelson- Interferometer exakt paralleles Licht verwendet würde? Anstatt der im Versuch beobachteten Haidinger-Ringe würde man ein Interferenzmuster aus geraden Strichen beobachten. 9

10 3 Versuch I: Interferometer 2 Wie müsste man den Strahlengang des Michelson-Interferometers verändern, um damit a) die Schlierenfreiheit eines Glasprismas oder b) die Qualität eines Objektives zu überprüfen (Twyman-Interferometer)? Siehe Grundlagenteil (2.6.1) 3 Warum sollen die beiden teilverspiegelten Glasplatten beim Fabry-Perot- Interferometer keilförmig sein? Damit Interferenzeffekte an den Außenflächen minimiert werden. 4 Vergleichen Sie das Fabry-Perot-Interferometer hinsichtlich seines spektralen Auflösungsvermögens mit dem Michelson-Interferometer. Das Fabry-Perot-Interferometer hat ein wesentlich höheres Spektrales Auflösungsvermögen als das Michelson-Interferometer, da in ersterem sehr viele Strahlen miteinander interferieren, in letzterem nur zwei und da das Auflösungsvermögen eines Gitter mit zunehmender Anzahl der beleuchteten Spalte, also der Zahl der interferierenden Strahlen zunimmt, ist auch das Auflösungsvermögen des Fabry-Perot- Interferometers entsprechend höher als das des Michelson-Interferometers. 10

11 4 Versuch II: Beugung am Gitter 4 Versuch II: Beugung am Gitter 4.1 Versuchsaufbau und Durchführung Schematische Darstellung des Versuchsaufbaus, ohne den Interferenzfilter beim Versuchsteil mit dem Glasgitter und ohne Zusatzspalt bei den anderen Versuchsteilen Quelle: Runge: Skript zum AP (2012) Wie oben dargestellt, wird das Licht aus der Hg-Dampflampe durch eine Kondensorlinse (f 1 = 65mm) auf den möglichst schmalen Kohärenzspalt fokussiert und dann durch eine mit durch Autokollimation justierten Linse (f 2 = 200mm) parallelisiert und trifft anschließend auf das Gitter, hinter dem dann mit dem Fernrohr das Interferenzmuster analysiert werden kann. Der Abstand von der Messskala zum Drehtisch betrug 33, 4cm. Zuerst wird das Interferenzmuster eines Doppelgitters mit einer Gitterkonstanten von g = 0, 4mm analysiert. Um den toten Gang der Halbwinkelführung zu beachten müssen die Maxima nacheinander durchgemessen werden, ohne die Richtung der Halbwinkelführung zu verändern. Die mittlere Wellenlänge λ ergibt sich nun als Mittelwert der Wellenlängen λ n = g n sin α n = g n x a die mit dem Fehler δλ n = λ n x δ x + λ n a δa = gn a (17) δ x + gn x a 2 δa (18) behaftet sind. Wir nehmen als Fehler x = 0, 1mm und als Fehler a = 3mm an: 11

12 4 Versuch II: Beugung am Gitter Ergebnisse aus Versuchsteil 1 Der Fehler für λ ergibt sich dann durch die Standardabweichung von λ: σ λ = N (δλ n ) 2 (19) als gewichteter Mittelwert: n=1 λ = N n=1 (δλ n) 2 λ n N n=1 (δλ n) 2 (20) Damit ergibt sich für λ 529nm ± 131nm. Der Literaturwert ist λ = 578nm. Die Abweichung liegt zwar innerhalb der (ziemlich großen) Fehlerabschätzung, ist aber relativ groß, unsere Wellenlänge wäre grünes Licht. Die große Abweichung kann verschiedene Ursachen haben; die Wahrscheinlichste Ursache ist die fehlerhafte Bestimmung des Abstands zwischen Messskala und Drehtisch, da das Gitter auf diesem frei positioniert werden konnte und dieser Fehler sehr stark in das Ergebnis mit einfließt. Im zweiten Versuchsteil werden die mittleren Ablenkwinkel β n = βna+β nb und die Winkeldifferenzen β = β na β nb für die gelbe Hg-Doppellinie am Glasgitter berechnet. 2 Die Ablenkwinkel ergeben sich wieder durch: β = arctan x a Der Fehler ergibt sich wie oben durch ( ) ( β n δβ n = x δ x + β n a δa 180 2π = a a 2 + x 2 δ x + (21) ) x a 2 + x δa π (22) 12

13 4 Versuch II: Beugung am Gitter Ergebnisse aus Versuchsteil 2 Nun wird die Gitterkonstante des Glasgitters berechnet. Dabei sollen die Ergebnisse aus Versuchsteil 1 und 2 verwendet werden. Es gilt nun: g n = Der Fehler ergibt sich wieder durch δg n = g λ δλ + g β n δβ n = nλ sin β n (23) n sin β n δλ + Wie in Versuchsteil 1 ist auch hier der gewichtete Mittelwert wieder nλ sin β n tan β n δβ n (24) g = N n=1 (δg n) 2 g n N n=1 (δg n) 2 (25) Außerdem kann man die Wellenlängendifferenz mit der Formel λ = g sin β n n berechnen. Wobei für den Fehler gilt: δ λ = λ g δg + λ β n δβ n = sin β n δg + g sin β n δ β n (26) n n tan β n Ergebnisse aus Versuchsteil 3 Es ergibt sich also für g = 2, 3µm ± 1, 1µm und eine Wellenlängendifferenz λ = 72, 5nm ± 0, 9nm. Leider sind diese Werte etwas unglaubwürdig, da die Spektrallinien ja beide gelb sind und deshalb unmöglich 72nm auseinander liegen können. Die Gitterkonstante liegt von der Größenordnung durchaus im Bereich molekularer Kristallgitter, wodurch der Wert plausibel scheint, leider ist nicht angegeben, um welche Art Glas es sich handelt, da der Versuchswert sonst mit dem Literaturwert hätte verglichen werden können. Wieso die gemessenen Werte so stark fehlerbehaftet sind ist unklar, da der Versuch zwar Fehlerquellen enthält, wie beispielsweise das Spiel der Winkelschraube oder die Position des Gitters auf dem Glastisch, oder die Justierung des Fernrohrs, jedoch 13

14 4 Versuch II: Beugung am Gitter sollte dies eigentlich nicht zu einem derart großen Fehler führen. Wir haben in unseren Formeln zwar keinen Fehler gefunden, doch es ist trotzdem möglich, dass wir uns irgendwo um eine Größenordnung vertan haben. Zum Schluss soll noch das spektrale Auflösungsvermögen A des Gitters bestimmt werden. Für dieses gilt: A = N n = N ist in diesem Verusch dn g, wobei d n die maximal mögliche Öffnung des Zusatzspaltes ist, der vor dem Gitter angebracht ist (s.skizze), so dass die beiden Spektrallinien gerade noch aufgelöst sind. Es gilt also: Für den Fehler ergibt sich (analog zu oben): Es ergeben sich folgende Werte für A: λ λ (27) A = d n g n (28) δa = d nn g 2 δg + n g δd n (29) A 1 = d 1 g A 2 = d 2 g = 1552 ± 829 (30) = 1739 ± 918 (31) A 3 = d 3 = 1734 ± 916 g (32) A = 1675 ± 887 (33) Leider ist auch dieser Wert durch den großen Fehler von g sehr unscharf. Man könnte alternativ A auch über λ über den obigen Zusammenhang berechnen, jedoch macht das in diesem Fall keinen Sinn, da der berechnete Wert für λ offensichtlich falsch ist. Leider sind die meisten Werte aus dem Versuch unbrauchbar, da sie mit einem zu starken Fehler behaftet sind, jedoch sind die Werte meistens zumindest in der richtigen Größenordnung, außerdem ist der Wellenlängenunterschied der gelben Spektrallinien der Hg-Dampflampe bekannt, weshalb eine starke Messungenauigkeit in diesem Fall nicht so tragisch ist. 4.2 Fragen und Aufgaben 1 Warum muss die Drehachse des Fernrohres nicht durch das Gitter verlaufen? das Verstellen des Fernrohres ist im Prinzip gleichbedeutend damit, eine andere 14

15 4 Versuch II: Beugung am Gitter Stelle auf dem Schirm zu beobachten, daher spielt es keine Rolle, wo sich die Drehachse des Fernrohres befindet. 2 Warum soll das Interferenzfilter in dem Bereich aufgestellt werden, in dem die Strahlen parallel verlaufen? Der Interferenzfilter muss dort aufgestellt werden, wo die Strahlen parallel verlaufen, da sonst keine destruktive Interferenz stattfinden kann, da sonst die optische Weglänge für verschiedene Strahlen unterschiedlich wäre. 3 Warum betragen bei einer 1:1-Abbildung der Lampe auf den Beleuchtungsspalt die Abstände zwischen Linse und Lampe, sowie zwischen Linse und Beleuchtungsspalt, gerade jeweils das Doppelte der Brennweite f 1 der Kondensorlinse? Das Linsengesetz besagt: 1 f = 1 b + 1 g, woraus mit b = g folgt: 1 f = 2 g 4 Beweisen Sie mit Hilfe des huygensschen Prinzips, dass bei fraunhoferscher Beugung am Gitter (d. h. bei paralleler Beleuchtung und Beobachtung im Unendlichen) die Maxima unter den Winkeln α max = arcsin mλ g auftreten, wobei g die Gitterkonstante ist, also der Abstand zwischen den Mitten zweier Gitterspalte, λ die g Wellenlänge des gebeugten Lichtes und m die Beugungsordnung. Siehe Grundlagen 5 Warum ist für die Interferenz im Interferenzfilter kein Beleuchtungsspalt notwendig? (Vgl. z.b. die Regenbogenfarben dünner Ölfilme auf Wasser.) Im Interferenzfilter ist die Interferenz abhängig von der Wellenlänge, es findet also auch ohne kohärentes Licht Interferenz statt. 15

16 5 Anhang 5 Anhang 5.1 Literatur Runge, Bernd-Uwe: Physikalisches Anfängerpraktikum (Stand 2012) ( ) Demtröder - Experimentalphysik 2 (Elektrizität und Optik) -Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2006 K. Köhler, F. Süß: Praktikumsbericht: Interferometer/Beugung am Gitter (2010) 16