Musterlösung Thermodynamik 1 Dieses Blatt muss nicht abgegeben werden! Besprechung in der Woche vom bis

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1 E-Ep: Experientalphysik Prof. J. Lipfert SS 18 Musterlösung 1 Musterlösung Therodynaik 1 Dieses Blatt uss nicht abgegeben werden! Besprechung in der Woche vo bis.4.18 Aufgabe 1 Wie viel ist ein Mol? a) Stellen Sie sich vor, Sie haben 1 ol Würfel der Kantenlänge 1 c und benutzen diese u die Fläche Deutschlands zu bedecken. Wie hoch wäre diese Würfelschicht? Welche Höhe erreicht die Schicht für den Fall, dass alle Kontinente (d.h. die gesate Landasse der Erde) belegt würden? Hinweis: Die Fläche Deutschlands beträgt etwa 357 k. Nehen Sie an, dass 3/5 der Erdoberfläche von Wasser bedeckt sind (Erdufang 4 k). I SI Einheitensyste ist das Mol wie folgt definiert: Das Mol ist die Stoffenge eines Systes, das aus ebenso vielen Einzelteilchen besteht, wie Atoe in 1 g des Nuklids Kohlenstoff- 1 enthalten sind. Die Teilchenzahl pro ein Mol ist soit gleich der Avogadro-Konstante: N A 6, 1 3 ol 1. Deutschland: 1. Das Voluen eines Würfels in k 3 beträgt 1 c 3 1 (1 1 3 k) k 3.. Das Voluen ist gegeben durch V A h, wobei A die Grundfläche und h die Höhe angibt. 3. Das Gesatvoluen der Würfel beträgt: V W N A 1 15 k Soit finden wir für die Würfelschicht über Deutschland: h V W N A 1 15 k 3 1, k. A D A D Dies entspricht ungefähr de Radius des Mondes! Gesate Landasse der Erde: 1. Der Ufang einer Kugel berechnet sich aus U D, wobei D den Durchesser bezeichnet.. Die Oberfläche einer Kugel ist gegeben durch A 4R D U /. 3. Da 3/5 der Erdoberfläche von Wasser bedeckt sind, erhalten wir für die Landasse der Erde 4. Letztendlich finden wir für die Würfelschicht: A LE U 5. h V W A LE 3 k, was ier noch ungefähr der Höhe der Zugspitze entspricht! b) Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie gerade zuindest ein Molekül eingeatet haben, das Julius Caesar bei seine letzten Atezug ( Et tu, i fili Brute ) ausgeatet hat? Wir wollen davon ausgehen, dass sich heute noch die gleichen Luftoleküle in der Atossphäre befinden wie i März 44 v. Chr. und dass seitde genug Zeit vergangen ist, u die Atosphäre koplett zu durchischen; die Atossphäre wollen wir it konstanter Dichte und einer Höhe von 1 k 1

2 nähern. Ein Atezug habe 5 l Luft, die Sie als ideales Gas nähern können. Ein Mol eines idealen Gases bei Noraldruck und C hat ein Voluen von 4 l. Lösung 1: Das ittleres Luftvoluen der Erde bei etwa 1 k Höhe der Atosphäre ist näherungsweise V 4r h 4(6, ) 1 4 5, , 1 1 l. In diese Voluen ist die folgende Anzahl an Molekülen enthalten: N V V ol N A 5, 11 l 4 l ol 1 6, 13 ol 1 1, Ein Atezug it V 5 l enthält nach analoger Rechnung A 1, Moleküle. Die Wahrscheinlichkeit zuindest eines von A (Caesar) aus N Molekülen zu finden beträgt soit bei gleichäßiger Durchischung p A N 1 1. Da A N, ändert sich p nur unwesentlich, wenn ein arkiertes Molekül eingeatet wird. Wir können also p i folgenden als konstant annehen. In eine Atezug it A Molekülen beträgt daher die Wahrscheinlichkeit kein solches einzuaten (1 p) A exp[a ln(1 p)] Taylor exp[ A p] 3, , also praktisch null. Jeden Ihrer Atezüge teilen Sie it Caesars! Lösung : Die Poisson-Verteilung P λ (k) it der Ereignisrate λ A /N und der Ereignisanzahl k gibt für k die Wahrscheinlichkeit, kein arkiertes Molekül einzuaten, also P λ () exp( λ), welches den gleichen Wert liefert. Aufgabe Längenausdehnung der Dakota Access Pipeline Die in den USA ustrittene Dakota Access Pipeline ist eine 18 k lange Ölleitung durch die US Bundesstaaten North Dakota, South Dakota, Iowa und Illinois. Zur Vereinfachung wollen wir annehen, dass es sich u eine koplett durchgängige Stahlröhre handelt, die überall die gleiche Teperatur hat. Der lineare therische Ausdehnungskoeffizient von Stahl ist / C. a) Die Abbildung unten zeigt das Klia für Bisarck, North Dakota. Entnehen Sie der Abbildung die höchste und tiefste i Jahresverlauf auftretende Teperatur in F. Aus der Abbildung sieht an, dass die niedrigste Teperatur von F in Bisarck, ND, i Januar auftritt und die höchste it 85 F i Juni. b) Rechnen Sie die höchste und tiefste Teperatur in Bisarck in C u. Die Urechnung von F nach C ist gegeben durch Folglich, T C 5 9 ( TF F 3 ) C. T in F 18 C, T ax 85 F 9 C, T T ax T in 47 C.

3 c) Gehen Sie nun davon aus, dass der axiale Teperaturunterschied in Bisarck der axialen Teperaturänderung der gesaten Pipeline entspricht. Wie groß ist die dadurch auftretende Längenänderung? Die Gesatlänge der Pipeline beträgt L 18 k 1, Mit einer Teperaturänderung von T 47 C und it α C 1 erwarten wir eine Längenänderung von L L α T 93, also fast einen ganzen k! Aufgabe 3 Maxwell-Boltzann Verteilung Die Maxwell-Boltzann Geschwindigkeitsverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Gasolekül der Masse bei einer Teperatur T eine Geschwindigkeit zwischen v und v + dv hat: D(v)dv ( ) 3/ 4v e v /(k B T ) dv. k B T a) Zeichnen (oder plotten) Sie die Maxwell-Boltzann Geschwindigkeitsverteilung scheatisch als Funktion von v. 3

4 b) Berechnen Sie die wahrscheinlichste Geschwindigkeit eines Gasoleküls, d.h. das Maxiu der Verteilung.! dd ( dv k B T ( k B T v W ) 3/ ( 4(v W )e v W /(kb T ) ) 3/ 8v W e v W /(kb T ) kb T ) 3/ 4v v W W k B T k B T e v ( ) 3/ 8vW 3 k B T k B T e v W /(kb T ) W /(kb T ) c) Berechnen Sie die ittlere Geschwindigkeit der Gasoleküle v. Der Mittelwert berechnet sich zu v vd(v)dv. v vd(v)dv ( ) 3/ 4 v 3 e v /(k B T ) dv k B T ( ) 3/ b ( ) 3/ 4 v 3 e bv b dv 4 v 3 bx dx e v ( ) 3/ b ( ) 3/ b x e bx dx ( 1) d e bx dx db ( ) 3/ b d ( ) 1 3/ db b e bx b d [ 1 ] db b ( ) 3/ b 1 4 b b 8kb T, wobei wir b /(k B T ) und x v für die dritte bzw. vierte Gleichheit benutzt haben. Wie wir sehen, ist die ittlere Geschwindigkeit ungleich der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit der Gasoleküle! d) Berechnen Sie die Wurzel der ittleren quadratischen Geschwindigkeit der Gasoleküle, d.h. ( 1/ v v D(v)dv). 4

5 v Gauss v D(v)dv ( ) 3/ b ( ) 3/ 4 v 4 e bv b ( d ) dv 4 e bv dv db ( ) 3/ b ( d ) ( ) 3/ 1 b 4 db b 3 3/ b 5/ 3 3k BT b v 3kB T Aufgabe 4 Totales Differential Das totale Differential einer Funktion f (x, y, z) ist wie folgt definiert: ( ) ( ) ( ) f f f df dx + dy + dz. x y z y,z Die hierbei verwendete Schreibweise, welche für die Therodynaik typisch ist, bedeutet, dass die Variablen a unteren Ende der Klaer bei partiellen Ableiten konstant gehalten werden. Gegeben sei nun eine Funktion U U (S, V, N ) und das dazugehörige totale Differential x,z du TdS pdv + µdn. (a) Stellen Sie das totale Differential du nach ds u. Von welchen Variablen hängt S ab? x,y ds 1 (du + pdv µdn ) T Nach obiger Definition gilt soit S S(U, V, N ). (b) Gegeben sei eine zweite Funktion H für die gilt H U + pv. Zeigen Sie, dass an für das totale Differential der Funktion H schreiben kann dh TdS + Vdp + µdn. Zunächst betrachten wir df d(pv ). Hier sollen zwei Lösungsansätze vorgestellt werden. 1. Der oderne, geoetrische Ansatz: Wir fassen das Zeichen d als Diffenerentialoperator (die äußere Ableitung in der Sprache der Differentialgeoetrie) auf, dann können wir nälich die Produktregel anwenden: df d(pv ) dpv + pdv. 5

6 . Der übliche, analytische Ansatz: Wir bilden das totale Differential von f und nehen dabei an, dass dieses existitert: ( ) ( ) ( ) ( ) df f p dp + f v dv (pv ) p dp + (pv ) V dv Vdp + pdv. V p V p Nun können wir problelos dh ausrechnen: dh du + d(pv ) TdS pdv + µdn + pdv + Vdp TdS + Vdp + µdn. (c) Gegeben sei eine weitere Funktion F it de totalen Differential Wie hängen F und U zusaen? df SdT pdv + µdn. df SdT pdv + µdn TdS TdS SdT pdv + µdn du TdS SdT du d(ts) d(u TS) F U TS 6