GRUNDLAGEN DER STRÖMUNGSMECHANIK

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1 Skriptu zu Fach Luftfahrzeugbau 4.Jahrgang HTL-Eisenstadt GRUNDLAGEN DER STRÖMUNGSMECHANIK Dipl.Ing.Dr.Günter Hacküller 009 Dipl.Ing.Dr.Günter Hacküller e-ail:

2 Grundlagen der Aerodynaik Gegenstand des vorliegenden Skriptus sind Ströungen von Fluiden. Unter der Bezeichnung Fluid werden dabei Flüssigkeiten und Gase zusaengefasst. Jede Beschreibung von Fluidströungen setzt die Beschreibung des therodynaischen Zustands der Fluideleente voraus. Geht an davon aus, dass zu allen Zeiten therodynaisches Gleichgewicht herrscht, wird dieser Zustand eindeutig durch Druck, Dichte und Teperatur beschrieben. Druck p: Schneidet an aus einer Fluidenge ein Volueneleent frei (siehe Abb.), so wirkt an jede Teil seiner Oberfläche der Größe A eine Noralkraft Fn. Der Druck p ist dann die auf die Flächeneinheit bezogene Noralkraft. Fn dfn p li A0 A da Als SI-Einheit dieses Druckes ergibt sich das Pascal: p 1Pascal 1Pa 1 N. Neben de Pascal ist das Bar eine weitere i Rahen der Technik gebräuchliche Druckeinheit. Es gilt 5 5 N 1bar 10 Pa 10. Freigeschnittenes Volueneleent Der Druck ist zunächst nur für ein bestites i Rau orientiertes Flächeneleent A definiert. Wie sich aber zeigen lässt, erhält an für alle an derselben Stelle platzierten Flächeneleente unabhängig von ihrer Orientierung i Rau denselben Druckwert 1. Dies rechtfertigt es vo Druck p an der Stelle P zu sprechen. Dichte : Die Dichte ist das Verhältnis aus Masse in eine Volueneleent und der Größe dieses Volueneleentes d. dv Ihr Kehrwert ist das spezifische Voluen v: v 1. Ähnlich wie der Druck ist auch die Dichte i Rahen des SI-Systes eine abgeleitete Größe. Ihre Einheit ist kg/³. Absolute Teperatur T: In der Therodynaik wird gezeigt, dass die Beschreibung des Therischen Zustandes einfacher Systee erst vollständig ist, wenn die Teperatur T des Systes angegeben wird. Die Teperatur wird in Grad Kelvin: [T]=1K, angegeben. Teperaturen unterhalb des absoluten NullpunktesT=0K treten in der Natur nicht auf. Die Skalenteilung wurde von der Celsiusskala übernoen. Die drei therischen Größen Druck p, Dichte und absolute Teperatur T einfacher therodynaischer Systee sind i.a. nicht unabhängig voneinander. F n A 1 Es ist dies eine Folge davon, dass Fluide - anders als etwa Festkörper - nicht in der Lage sind Schubspannungen standzuhalten.

3 Während die Dichte von Flüssigkeiten in vielen Fällen als vo Druck unabhängig betrachtet werden kann, gilt für ideale Gase die Beziehung p.r.t. R ist die Gaskonstante. Ihr Wert hängt von der speziellen Art des Gases oder Gasgeisches ab. J Speziell für trockene Luft gilt R 87 kgk Innere Energie U, spezifische innere Energie u: Jede Materieenge beinhaltet Energie U. Die spezifische innere Energie u ist die innere Energie je Masseneinheit: U u. Die Größe der spezifischen Energie u hängt vo therodynaischen Zustand des Systes ab: u u v,t. Für ideale Gase, bei denen die Gasoleküle nur über elastische Stöße iteinander wechselwirken, hängt die spezifische innere Energie u nur von der Teperatur nicht aber vo spezifischen Voluen ab. Insbesondere bei kalorisch idealen Gasen ist diese Teperaturabhängigkeit linear: u cv T u 0 v c spezifische Wärekapazität bei konstante Voluen. Enthalpie H, spezifische Enthalpie h: Addiert an zur inneren Energie die Arbeit, die notwendig ist, u das betrachtete Masseeleent in ein Gebiet it de gegebenen therodynaischen Zustand einzuschieben erhält an die Enthalpie: p h u p v u. Für das kalorisch ideale Gas erhält an dann h cp T u0 it der spezifischen Wärekapazität cp bei konstante Druck. Die beiden spezifischen Wärekapazitäten c p und cv und die Gaskonstanten R sind nicht unabhängig voneinander. Setzt an in die Definition der Enthalpie die Teperaturabhängigkeit von innerer p Energie und Enthalpie ein und verwendet die Gleichung R T des idealen Gases, folgt R c p c v. Das die spezifische Wärekapazität bei konstante Druck größer ist als diejenige bei konstante Voluen ist leicht einzusehen. Wird nälich der Druck konstant gehalten, führt eine Wärezufuhr dazu, dass ein ideales Gas sich ausdehnt. Dabei wird vo Gas Arbeit an der Ugebung verrichtet. Es wird daher nur ein Teil der zugeführten Wäre dazu genutzt, die Teperatur des Gases zu erhöhen. Ugekehrt bedeutet dies, dass für dieselbe Teperaturerhöhung wie bei konstante Voluen ehr an Wäre zuzuführen ist. 1.Hauptsatz der Therodynaik: Die innere Energie ändert sich durch Zu- bzw. Abfuhr von Wäre oder Arbeit:

4 p du dq p dv dq d Dieselbe Aussage lässt sich auch it Hilfe der Enthalpie ausdrücken 1 dh dq vdp dq dp.hauptsatz der Therodynaik: a. Jedes therodynaische Syste besitzt eine Zustandsgröße Entropie S. Sie ist durch dqrev dq rev ds bzw. bezogen auf die Masseneinheit ds T T definiert. b. Die Entropie eines geschlossenen ( d 0), adiabaten( dq 0 ), sich selbst überlassenen Systes kann höchstens zunehen. Anerkungen: Die Entropie ist ein Maß für die Uwandelbarkeit der inneren Energie in Arbeit. Wie an der Definition der Entropie entnehen kann, ist Wäre uso wertvoller, auf je höhere Teperaturniveau sie zur Verfügung steht. Viskosität: An der Oberfläche eines frei geschnittenen Fluideleentes wirken i.a. nicht nur Druckkräfte sondern auch noch Schubspannungen. Die Ursache dieser Schubspannungen ist die innere Reibung in Fluiden. Sie treten ier dann auf, wenn Fluidschichten unterschiedlicher Geschwindigkeit aneinander abgleiten. Neben den Schubspannungen ist die innere Reibung auch dafür verantwortlich, dass Fluide an festen Oberflächen haften. Die Geschwindigkeit des Fluides relativ zur Oberfläche ist dort null. Die Größe der Schubspannung hängt von der Art des ströenden Fluides und davon, wie rasch sich die Ströungsgeschwindigkeit quer zu Ströungsrichtung verändert, ab: du. dy Die Größe ist eine Stoffeigenschaft, die dynaische Viskosität des ströenden Medius. Neben der Bezeichnung findet sich in der Literatur auch die Bezeichnung. Die Einheit der dynaischen Viskosität ergibt sich i Rahen des SI-Systes zu kg.. s Die dynaische Viskosität hängt grundsätzlich von Teperatur und Druck ab. Die Druckabhängigkeit kann aber in vielen Fällen vernachlässigt werden. Wie sich die dynaische Viskosität it der Teperatur ändert, kann für einige Flüssigkeiten und Gase aus Abb.1 entnoen werden. y u(y) Scherströung zwischen parallelen Platten: aneinander vorbei gleitende Schichten üben aufeinander entgegengesetzt gleich große Schubspannungen aus; an den Oberflächen haftet das Fluid. x Der Index rev deutet an, dass der Definition eine reversible (ukehrbare) Zustandsänderung zugrunde liegt.

5 Auffallend ist das unterschiedliche Teperaturverhalten der dynaischen Viskosität von Flüssigkeiten und Gasen. Während die dynaische Viskosität von Flüssigkeiten it der Teperatur stark abnit, nit sie bei Gasen zu. Dieses unterschiedliche Teperaturverhalten erklärt sich daraus, dass in den beiden Fällen unterschiedliche Mechanisen für das Auftreten von Reibungsspannungen verantwortlich sind. Flüssigkeiten insbesondere Wasser bestehen aus Molekülen it einer asyetrischen elektrischen Ladungsverteilung. Sie haben daher ein elektrisches Dipoloent. Derartige Dipole ziehen sich an. Sollen Schichten bestehend aus derart aufgebauten Molekülen aneinander vorbei gleiten, uss diese Wechselwirkung zwischen den Molekülen der beiden Schichten überwunden werden. Makroskopisch äußert sich die Wechselwirkung zwischen den Molekülen als Schubspannung, die zwischen den aneinander vorbei gleitenden Flüssigkeitsschichten wirkt. dynaische Viskosität verschiedener Fluide in Abhängigkeit von der Teperatur nach Becker [Be] Bei Teperaturerhöhung nit die ittlere kinetische Energie der olekularen Schwankungsbewegung zu. Die interolekulare Wechselwirkung wird dadurch geschwächt. Daraus erklärt sich, waru die dynaische Viskosität von Flüssigkeiten wie Wasser it der Teperatur abnit. Ganz anders verhält es sich bei Gasen. Ideale Gase bestehen aus Molekülen, die - abgesehen von elastischen Stößen - nicht iteinander wechselwirken. Hier ist die Viskosität daher auch nicht der Ausdruck interolekulare Kräfte. Sie ist vielehr das Resultat eines Ipulstransportes zwischen aneinander vorbei gleitenden Gasschichten. Moleküle, die i Zuge ihrer zufälligen gaskinetischen Schwankungsbewegung aus einer i Mittel langsaeren in eine benachbarte aber i Mittel schnellere Schicht gelangen, werden durch Stöße it den Molekülen der neuen Ugebung auf die dortige ittlere Geschwindigkeit beschleunigt. Makroskopisch acht sich dies als eine auf die schnellere Schicht wirkende verzögernde Kraft beerkbar. Ugekehrt werden Teilchen, die aus einer schnelleren in eine langsaere Schicht gelangen dort verzögert. Auf diese Schicht wirkt entsprechend eine beschleunigende Kraft. Je höher die Teperatur, desto größer ist die für diesen Molekül- und Ipulsaustausch zwischen benachbarten Schichten verantwortliche Schwankungsgeschwindigkeit der Moleküle und desto höher ist daher auch die dynaische Viskosität. Diese Teperaturabhängigkeit der dynaischen Viskosität von Luft kann it der auf Sutherland zurückgehenden epirischen Gleichung T T berechnet werden. Die absolute Teperatur T ist in Kelvin einzusetzen. Die berechnete dynaische kg Viskosität hat die SI-Einheit..s

6 Für die Beantwortung der Frage, wie groß in einer gegebenen Ströungssituation der Einfluss der Viskosität ist, kot es darauf an, wie groß die Reibungskräfte i Verhältnis zu den sonst noch auftretenden Kräften - insbesondere der Trägheitskraft - ist. Aussagekräftiger als die dynaische Viskosität ist daher die durch definierte kineatische Viskosität. Die Bezeichnung kineatisch für diese Viskosität leitet sich nur die kineatischen Einheiten Meter und Sekunde enthält. daraus ab, dass ihre Einheit s Die endgültige Beurteilung der relativen Bedeutung des Reibungseinflusses ist nur it Hilfe diensionsloser Größen öglich. Setzt an die Trägheitskräfte zu den Reibungskräften ins Verhältnis, gelangt an zur Reynoldszahl v L Re. Hierin ist v eine für das betrachtete Ströungsgeschehen charakteristische Geschwindigkeit - etwa die Anströgeschwindigkeit eines Tragflügels - und L ist eine typische Länge - i Beispiel die Sehnenlänge des Tragflügelprofils. Neben den Reibungsspannungen hat auch noch die Kopressibilität des ströenden Fluids entscheidenden Einfluss auf das Ströungsgeschehen. Dieser Einfluss findet seinen Ausdruck in der Machzahl M, de Verhältnis von Ströungsgeschwindigkeit und Schallgeschwindigkeit. Schallgeschwindigkeit: Die Schallgeschwindigkeit a ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit schwacher Druckstörungen. Für ideale Gase ist sie eine Funktion ausschließlich der absoluten Teperatur a. R. T. Hier ist R wieder die Gaskonstante, ist der Isentropenexponent, eine Größe die i betrachteten Teperaturbereich für jedes Gas als konstant angesehen wird. Speziell für Luft hat der Isentropenexponent den Wert =1.4. Luft bei einer Teperatur T=88.16K, wie sie i Durchschnitt auf Meeresniveau vorliegt, hat eine Schallgeschwindigkeit von a=340/s. Mit Hilfe der Machzahl lassen sich Ströungen folgenderaßen klassifizieren: M<<1 reine Unterschallströung M<1 Unterschallströung M=1 schallnahe Ströungen M>1 Überschallströung M>>1 Hyperschallströungen

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