Psychologische Methodenlehre und Statistik II

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1 Psychologische Methodenlehre und Statistik II Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr 9. Juni 2010 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 1/47

2 Allgemeines Eine in vielen empirischen Wissenschaften häufige Fragestellung ist die nach dem Unterschied zwischen mehreren empirischen Verteilungen hinsichtlich einer polytomen (qualitativen mehrkategoriellen) Variablen Frage nach Zusammenhang zwischen zwei polytomen Variablen Beispiel: E. Kretschmer (1921) postulierte einen Zusammenhang zwischen Körperbau und Charakter, bei Psychotikern zwischen Körperbau und Psychosekategorie Westphal (1931) trug umfangreiches Material von n = 8099 Fällen zusammen, um damit die genannte Vermutung zu prüfen Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 2/47

3 Körperbautypen von Kreschmer Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 3/47

4 Bespiel 1 - Daten k m Kontingenztafel; j = 1,..., k Ausprägungen bei Variable 1, l = 1,..., m Ausprägungen bei Variable 2 k = 4 Körperbautypen, m = 3 Diagnosegruppen k... Zeilen, m... Spalten Vierfeldertafel ist Spezialfall mit k = m = 2 Kategorien je Variable Ist Zusammenhang gegeben? f jl MA/DE EP SCH pyknisch f 1. athletisch f 2. leptosom f 3. atypisch f f.. = n f.1 f.2 f.3 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 4/47

5 Notation und Hypothesen Index j durchläuft die Zeilen, l die Spalten der Kontingenztafel Eintragungen im Inneren der Tabelle heissen f jl, beobachtete Häufigkeiten ( frequencies ) Zeilensummen werden mit f j., Spaltensummen mit f.l bezeichnet H 0 besagt, dass die Verteilungen innerhalb der k Zeilen / m Spalten voneinander nur zufällig abweichen Verteilung der pyknischen Patienten auf die Diagnosekategorien MA/DE, EP, SCH, weicht nur zufällig von jener der athletischen Patienten, der leptosomen Patienten und der atypischen Patienten ab H 0 : Es besteht kein Zusammenhang (keine Kontingenz) zwischen Art der Psychose und Körperbau des Patienten Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 5/47

6 Hypothesen H 1 : es besteht ein Zusammenhang zwischen Art der Psychose und Körperbau des Patienten H 0 ist mittels χ 2 -Test prüfbar, indem man die f jl mit den unter H 0 erwarteten Häufigkeiten e jl vergleicht e jl : Wenn Psychose und Körperbau nicht zusammenhängen (H 0 ), dann erwarten wir für die pyknischen Patienten dieselbe Verteilung auf die Diagnosekategorien wie bei allen Patienten insgesamt, nämlich einen Anteil von f 1l f 1. = f.l n für MA/DE, 8099 für EP, für SCH Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 6/47

7 Hypothesen und Teststatistik Erwartungswert (H 0 ) für die Anzahl der pyknischen Patienten mit Diagnose MA/DE ist gleich f e 11 = f.1 1. n = = Erwartungswert (H 0 ) für die Anzahl der pyknischen Patienten mit Diagnose EP ist gleich = 312 Erwartungswert (H 0 ) für die Anzahl der pyknischen Patienten mit Diagnose SCH ist gleich = Analog die Berechnung der Erwartungswerte in den anderen Zellen Allgemein ist unter H 0 der Erwartungswert e jl für die Zahl der Beobachtungen mit Kombination Kategorie j in Variable 1 und l in Variable 2 e jl = f j.f.l n Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 7/47

8 Hypothesen und Teststatistik e jl MA/DE EP SCH pyknisch athletisch leptosom atypisch Als Maß für die Abweichung der f jl von den unter H 0 erwarteten e jl verwenden wir die Statistik χ 2 = k m (f jl e jl ) 2 H0 χ 2 (k 1)(m 1) j=1 l=1 Asymptotische Verteilung unter H 0 gegeben, wenn alle e jl genügend groß sind Faustregel: 80% der e jl 5, kein e jl < 1 e jl Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 8/47

9 Beispiel 1 Es genügt, die e jl nur auf den rot gedruckten Teil der Tabelle anzuwenden Restliche e jl können dann einfacher als Differenz zu den gegebenen Randsummen bestimmt werden Teststatistik ergibt dann χ 2 = ( ) ( ) = bei df = (4 1)(3 1) = 6 H 0 verwerfen Es besteht ein Zusammenhang zwischen Körperbau und psychiatrischer Diagnose Wie stark ist aber dieser Zusammenhang? Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 9/47

10 Kontingenzkoeffizient Wir versuchen χ 2 in ein Maß zu transformieren, das einer Korrelation ähnlich ist Kontingenzkoeffizient CC χ CC = + 2 χ 2 + n Für χ 2 = 0 ist CC = 0 Je größer χ 2 desto näher kommt CC an 1 heran CC hat eine entfernte Ähnlichkeit mit einer Korrelation. Es bestehen allerdings auch wesentliche Unterschiede Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 10/47

11 Kontingenzkoeffizient CC ist laut Definition stets 0, d.h. CC ist ein richtungsloses Zusammenhangsmaß Da χ 2 nur endlich groß sein kann, ist CC stets < 1, denn erst für χ 2 würde CC 1 streben Das Quadrat von CC kann nicht als Bestimmtheitsmaß interpretiert werden Dass CC nie 1 werden kann, läßt sich beheben, indem man CC mit dem jeweils maximalen Kontingenzkoeffizienten CC max, in Beziehung setzt d 1 CC max = mit d = min(k, m) d CC max hängt nur von der Dimension der Kontingenztafel ab Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 11/47

12 Kontingenzkoeffizient Wir definieren den korrigierten Kontingenzkoeffizienten CC CC = CC CC max CC drückt aus, welcher Prozentsatz der überhaupt erreichbaren Kontingenz in den gegebenen Daten vorliegt Es gilt 0 CC 1 CC ist besser interpretierbar als CC Beispiel 1: CC = = 0.48 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 12/47

13 Kontingenzkoeffizient CC = CC max = 2 3 = 0.82 CC = 0.48 CC max 0.82 = 0.59 Zusammenhang zwischen Körperbau und Psychose ist vorhanden aber nicht sehr stark, liegt im mittleren Bereich Interpretation der Art des Zusammenhanges mithilfe der Differenzen zwischen f jl und e jl Zellen mit absolut großen Differenzen zwischen Beobachtetem und unter der H 0 Erwartetem tragen zur Stärke des Zusammenhanges bei Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 13/47

14 Kontingenzkoeffizient f jl MA/DE EP SCH pyknisch athletisch leptosom atypisch e jl MA/DE EP SCH pyknisch athletisch leptosom atypisch Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 14/47

15 Voraussetzungen für χ 2 -Tests in Kontingenztafeln Eintragungen müssen stets absolute Häufigkeiten sein (häufiger Fehler: Prozentzahlen statt Häufigkeiten) Jede Einheit der Untersuchung darf nur einmal in die Kontingenztafel eingehen Häufiger Fehler: Mehrere Eintragungen stammen von derselben Person Alle Eintragungen sind wechselseitig unabhängig 80% der e jl 5, kein e jl < 1 χ 2 -Test stets einseitig durchführen, da nur große Werte für die H 1 sprechen Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 15/47

16 Beispiel 2 Im Rahmen einer kulturvergleichenden Studie zu Essstörungen zwischen Italien, Österreich und den Niederlanden bei jährigen weiblichen Jugendlichen wurde u.a. der Body-Mass-Index erhoben. Die Jugendlichen wurden in die drei Gewichtsgruppen Untergewicht, Normalgewicht und Übergewicht eingeteilt. Unterscheiden sich die Gewichtsverteilungen in den drei Ländern bzw. gibt es einen Zusammenhang zwischen Land und Gewichtsverteilung? Land Gewichtsgruppe Niederlande Österreich Italien f j. Untergewicht Normalgewicht Übergewicht f.l Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 16/47

17 Beispiel 2 Erwartete Häufigkeiten e jl = f j.f.l n Land Gewichtsgruppe Niederlande Österreich Italien f j. Untergewicht Normalgewicht Übergewicht f.l χ 2 = ( )2 (83 80) = > 9.49 = χ 2 (0.95;4) H 0 verwerfen, CC = 0.076, CC = 0.11 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 17/47

18 Kontingenztafel in SPSS Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 18/47

19 Kontingenztafel in SPSS Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 19/47

20 Vierfeldertafeln Häufige Fragestellung in Testpsychologie ist, ob eines von 2 Testitems schwieriger ist als das andere Dieselbe Stichprobe wird zweimal untersucht (Messwiederholung) Je zwei Antworten in der Tabelle stammen von derselben Person Eintragungen sind teilweise abhängig Bei falscher Aufstellung der Tafel würde Stichprobengröße (scheinbar) verdoppelt Item 1 Item 2 richtig f 11 f 12 f 1. falsch f 21 f 22 f 2. f.1 f.2 n Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 20/47

21 Vierfeldertafeln Item 2 richtig falsch Item 1 richtig a b a + b falsch c d c + d a + c b + d n Unter H 0 (gleich schwere Items) gilt P ((+ ) (+ ) ( +)) = P (( +) (+ ) ( +)) = 1 2 Sei K die Zufallsvariable Anzahl der Personen mit Antwortfolge (+ ) unter der Bedingung, dass nur die Personen mit genau einer richtigen Antwort betrachtet werden Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 21/47

22 Vierfeldertafeln Realisierung von K ist b, Erwartungswert und Varianz E(K) = b + c, σ K = 1 b + c 2 2 Normalverteilungsapproximation z = k E(K) σ K = b b+c b + c z = b c χ 2 (b c)2 = b + c b + c, df = 1 McNemar Test, äquivalent dem Binomialtest mit NV-Approximation χ 2 -Test stets einseitig durchgeführt, obwohl H 1 stets zweiseitig Im Falle einseitiger H 1 wird Binomialtest gerechnet Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 22/47

23 Beispiel 3 Ein Kurz-Screening zur Erfassung einer dementiellen Erkrankung, das bisher aus zwei Items bestand, soll um ein drittes Item erweitert werden. Für die beiden ersten Items kann aufgrund bisheriger Untersuchungen vermutet werden, dass Item 2 schwieriger ist als Item 1. Für das neu erstellte Item 3 liegen diesbezüglich noch keine Informationen vor. Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 23/47

24 Beispiel 3: Fragestellungen 1. Unterscheiden sich die drei Items bezüglich Schwierigkeit? 2. Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Items? Fragen zur Unterschiedlichkeit: 3 Hypothesen 1. H 0 : Item 3 und Item 1 gleich schwierig; H 1 : Item 3 und Item 1 unterschiedlich schwierig 2. H 0 : Item 3 und Item 2 gleich schwierig; H 1 : Item 3 und Item 2 unterschiedlich schwierig 3. H 0 : Item 2 gleich schwierig oder leichter als Item 1; H 1 : Item 2 schwieriger als Item 1 Fragen zum Zusammenhang: 3 Hypothesen 1. H 0 : kein Zusammenhang zwischen Items 1 und 2; H 1 : positiver Zusammenhang zwischen Items 1 und 2 2. H 0 : kein Zusammenhang zwischen Items 1 und 3; H 1 : positiver Zusammenhang zwischen Items 1 und 3 3. H 0 : kein Zusammenhang zwischen Items 2 und 3; H 1 : positiver Zusammenhang zwischen Items 2 und 3 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 24/47

25 Beispiel 3: Sind Items 1 und 3 unterschiedlich schwierig? Item Item a 90 b c 151 d McNemar-Test: χ 2 = (b c)2 b + c = (90 142) = = χ 2 1,0.95 = 3.84 < H 0 verwerfen: Items sind unterschiedlich schwierig (Item 3 schwieriger) Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 25/47

26 Beispiel 3: Sind Items 2 und 3 unterschiedlich schwierig? mittels SPSS Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 26/47

27 Beispiel 3: Sind Items 2 und 3 unterschiedlich schwierig? mittels SPSS Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 27/47

28 Beispiel 3: Ist Item 2 schwieriger als Item 1? Item Item a 115 b c 150 d Binomialtest (mit NV-Approximation): k = 115; E(K) = np = = 129, σ K = np(1 p) = 64.5 z = k E(K) = = 1.68 σ K > z 0.95 = H 0 verwerfen: Item 1 leichter als Item 2 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 28/47

29 Signifikanz einer Produktmomentkorrelation Überprüfen der Existenz eines linearen Zusammenhanges H 0 : ρ = 0, H 1 : ρ 0; H 0 : ρ 0( 0), H 1 : ρ > 0(< 0); ρ XY = E(XY ) E(X )E(Y ) σ X σ Y Voraussetzungen: Metrisches Skalenniveau von X und Y, und bivariate Normalverteilung von X und Y Prüfung der zweiten Voraussetzung ist äußerst schwierig Beschränken uns darauf, das bivariate Streudiagramm mittels Anschauung auf Auffälligkeiten zu untersuchen Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 29/47

30 Bivariate Normalverteilung Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 30/47

31 Signifikanz einer Produktmomentkorrelation Die Statistik t = r 1 r 2 n 2 ist unter den obigen Voraussetzungen eine Realisierung einer t-verteilten Variable mit df = n 2 Signifikanz von r kann mittels t-tabelle geprüft werden Beispiel: Verschiedene faktorenanalytisch orientierte Intelligenztheorien unterscheiden einen verbal-edukativen und einen technisch-praktischen Leistungsbereich und ordnen diesen Bereichen unabhängige Faktoren zu In einer Stichprobe von n = 87 Probanden korrelierte die verbal-edukative Leistung, X, mit der praktisch-technischen, Y, zu r XY = 0.57 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 31/47

32 Signifikanz einer Produktmomentkorrelation Kann die Vermutung H 0 : ρ 0 gegenüber H 1 : ρ > 0 beibehalten werden (α = 0.01)? t = = 6.40, df = 85, > t(0.99,85) H 0 verwerfen In der Praxis können wir selbst diese kurze Rechnung sparen, da die gerade signifikanten Korrelationen r für verschiedene df tabelliert sind (Tabelle 11) r krit(df =80) = < 0.57, also wird die H 0 verworfen Partielle Korrelation: Signifikanzprüfung wie bei Produktmomentkorrelation, jedoch mit df = n 3 Punktbiseriale Korrelation: Mittels t-test oder U-Test Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 32/47

33 Signifikanz einer Rangkorrelation H 0 : ρ = 0, H 1 : ρ 0; H 0 : ρ 0( 0), H 1 : ρ > 0(< 0); Asymptotisch standardnormalverteilte Prüfgröße z z = r n 1 Beispiel: Für die n = 14 Teilnehmer eines Pfadfinder-Zeltlagers wurde eine Rätsel-Rallye und ein Tischtennis-Turnier veranstaltet. Alle 14 Kinder wurden in jeder der beiden Disziplinen gemäß ihrem Abschneiden gerangreiht. Rangkorrelation betrug r = 0.39 Kann man schließen, dass beide Leistungen statistisch abhängig sind (α = 0.05)? Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 33/47

34 Signifikanz einer Rangkorrelation H 0 : ρ = 0, gegen ungerichtete H 1 : ρ 0 z = r n 1 = = 1.41 < z (0.975) = 1.96 H 0 beibehalten Ein statistischer Zusammenhang zwischen den Rangplätzen in der Rätsel-Rallye und im Tischtennisturnier kann demnach anhand der vorliegenden Daten nicht nachgewiesen werden Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 34/47

35 Signifikanzprüfung von Produktmoment-, Rangkorrelation und partieller Korrelation mittels SPSS Korrelieren Drive for Thinness, Bulimia, Body Dissatisfaction, Perfectionism und Ineffectiveness signifikant miteinander? Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 35/47

36 Signifikanz einer Produktmomentkorrelation mittels SPSS Korrelieren Drive for Thinness, Body Dissatisfaction und Perfectionism signifikant miteinander (H 1 : ρ > 0)? Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 36/47

37 Signifikanz einer Produktmomentkorrelation mittels SPSS Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 37/47

38 Signifikanz einer partiellen Korrelation mittels SPSS Korrelieren Drive for Thinness und Body Dissatisfaction unter Konstanthalten von Perfectionism miteinander (H 1 : ρ > 0)? Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 38/47

39 Signifikanz einer partiellen Korrelation mittels SPSS Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 39/47

40 Signifikanz einer Rangkorrelation mittels SPSS Korrelieren Bulimia und Ineffectiveness signifikant miteinander (H 1 : ρ > 0)? Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 40/47

41 Signifikanzprüfung einer Vierfelderkorrelation Beispiel: Gibt es einen Zusammenhang zwischen Items 2 und 1? vgl. WS, Vierfelderkorrelation r φ Item Item a 115 b c 150 d r φ = (ad) (bc) (a + b)(a + c)(c + d)(b + d) = 0.12 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 41/47

42 Beispiel: Gibt es einen Zusammenhang zwischen Items 2 und 1? Bzw. durch Einsetzen in die χ 2 -Formel und Umformen: χ 2 (ad) (bc) = n (a + b)(a + c)(b + d)(c + d) χ 2 = nr 2 φ = = 8.42; df = 1 χ 2 1;0.95 = 3.84 < 8.42 H 0 verwerfen; Zusammenhang ist signifikant Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 42/47

43 Beispiel: Gibt es einen Zusammenhang zwischen Items 3 und 1? mittels SPSS Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 43/47

44 Beispiel: Gibt es einen Zusammenhang zwischen Items 3 und 1? mittels SPSS Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 44/47

45 Signifikanz des Unterschiedes unabhängiger Korrelationen Um die Signifikanz des Unterschiedes zwischen Produktmomentkorrelationen zu prüfen, ist es erforderlich, diese zunächst in eine näherungsweise normalverteilte Variable zu transformieren Korrelation nimmt Werte zwischen 0 r 1 an, während die NV Werte zwischen und + annimmt z - Transformation von R. A. Fisher (1915) führt r in eine Realisierung einer (annähernd) normalverteilten Variable z über z = 1 ( ) 1 + r 2 ln 1 r Erwartungswert und Varianz E(Z ) = 1 2 ln ( 1 + ρ 1 ρ ) + ρ 2(n 1), Var(Z ) = 1 n 3 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 45/47

46 Signifikanz des Unterschiedes unabhängiger Korrelationen Wir erhalten für den Vergleich gegebener unabhängiger Stichprobenkorrelationen r 1 und r 2 durch Standardisierung der Differenz z 1 z 2 sofort die Prüfgröße, die mit den kritischen Werten aus der N(0, 1) Tabelle zu vergleichen ist z = z 1 z 2 1 n n 2 3 Beispiel: Eine Gruppe von Fahrschülern wurde beim anschließenden praktischen Test vor der Fahrprüfung von einem mitfahrenden Experten beobachtet und in bezug auf die Variable riskantes Fahrverhalten beurteilt. Ist der Zusammenhang zwischen Risikobereitschaft als Persönlichkeitsdimension und riskantem Fahrverhalten altersabhängig? Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 46/47

47 Signifikanz des Unterschiedes unabhängiger Korrelationen Es wird erwartet, dass der Zusammenhang bei jungen Menschen stärker ausgeprägt ist als bei älteren (α = 0.01) Für die jährigen Fahrschüler (n = 187) ergab sich r 1 = 0.39, für die jährigen Fahrschüler (n = 93) r 2 = 0.07 H 0 : ρ 1 ρ 2 gegen H 1 : ρ 1 > ρ 2 Mithilfe von Tabelle 12 transformieren wir die Korrelationen r 1 = 0.39 z 1 = 0.41, r 2 = 0.07 z 1 = 0.07 z = = 2.64 > z = 2.33 H 0 verwerfen Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik II 47/47