Matrizen und Vektoren

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1 Kapitel Matrizen und Vektoren Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema, in dem Zahlen zusammengefasst werden Matrizen haben vielfältige Anwendungen, etwa bei der Beschreibung von Produktionsprozessen oder dem Lösen linearer Gleichungssysteme Mit Hilfe der sogenannten Matrix-Vektor-Notation können komplizierte Zusammenhänge oftmals in einfacher und übersichtlicher Form dargestellt werden Wir beginnen dieses Kapitel mit zwei Beispielen, an denen wir die Nützlichkeit der Matrix-Vektor-Schreibweise illustrieren Beispiel 1 (Lineare Produktionsfunktion) Ein Betrieb stellt ein Gut her Für die Produktion dieses Gutes werden n verschiedene Faktoren benötigt Der Output y des Gutes bei gegebenen Inputs x 1,,x n werde beschrieben durch y = f(x 1,,x n )=a 1 x 1 + a x + + a n x n Die Funktion f : R n R ist eine sogenannte lineare Produktionsfunktion Beispiel (Offenes Input-Output-Modell von Leontief 1 ) Wir betrachten eine Volkswirtschaft, die aus n Sektoren 1,,n (Landwirtschaft, Energiewirtschaft, Baugewerbe, Bankgewerbe, usw) besteht In jedem Sektor wird ein einziges Gut als Output erzeugt Die Sektoren sind miteinander verflochten, sodass zur Produktion eines Gutes Inputs aus den anderen Sektoren benötigt werden Es bezeichne x i den Output des i-ten Sektors und d i die Endnachfrage nach dem i-ten Gut, die sogenannte exogene Nachfrage 1 Wassily Leontief ( ); Wirtschaftsnobelpreis 1973 K Mosler et al, Mathematische Methoden für Ökonomen, Aufl, Springer-Lehrbuch, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 011

2 34 Matrizen und Vektoren Mit a ij werde die Menge des i-ten Gutes bezeichnet, die zur Produktion einer Einheit des j-ten Gutes benötigt wird Die Menge des Gutes i, das als Input für die Sektoren 1,,n verwendet wird, die sogenannte endogene Nachfrage, ist also insgesamt a i1 x 1 + a i x + + a in x n Damit die Nachfrage d i gedeckt werden kann, muss der Output des i-ten Sektors gleich der Summe aus exogener und endogener Nachfrage, dh x i =(a i1 x 1 + a i x + + a in x n )+d i sein Es stellt sich nun die Frage, ob eine gegebene exogene Nachfrage befriedigt werden kann und wie groß ggf die Outputs x i der einzelnen Sektoren sein müssen Formal führt dies auf das Problem, ob das folgende Gleichungssystem eine Lösung besitzt, und, wenn ja, für welche Werte x 1,,x n es erfüllt ist: x 1 = a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n + d 1 x = a 1 x 1 + a x + + a n x n + d x n = a n1 x 1 + a n x + + a nn x n + d n Um Gleichungssysteme wie dieses in übersichtlicher Form zu schreiben und zu lösen, verwendet man Matrizen und Vektoren Im Folgenden definieren wir Matrizen und Vektoren und geben Rechenregeln für ihre Addition und Multiplikation an 1 Matrizen Definition 1: Matrix, transponierte Matrix Seien m, n N Ein rechteckiges Zahlenschema A = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn von Zahlen a ij R, i =1,,m, j =1,,n,heißtMatrix mit m Zeilen und n Spalten oder Matrix des Formats m n, kurzm n Matrix Die Menge aller m n Matrizen bezeichnet man mit R m n

3 1 Matrizen 35 Man schreibt dafür auch A =(a ij )i=1,,m j=1,,n Die n m-matrix A T = a 11 a 1 a m1 a 1 a a m a 1n a n a mn nennt man die zu A transponierte Matrix bzw A =(a ij ) oder A =(a ij ) mn Wir bezeichnen Matrizen mit großen lateinischen Buchstaben in Fettdruck, also A, B, A 1, A, usw Beim Übergang zur transponierten Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht: Die Spalten der transponierten Matrix sind gerade die Zeilen der ursprünglichen Matrix und umgekehrt Beispiel 3 A = , A T = [ Transponiert man eine bereits transponierte Matrix erneut, so erhält man wieder die ursprüngliche Matrix; es gilt (A T ) T = A Die Elemente a 11,a, einer Matrix bilden die sogenannte Hauptdiagonale Die Hauptdiagonalen einer Matrix und ihrer transponierten Matrix sind identisch Die Matrix, deren Komponenten alle gleich null sind, heißt Nullmatrix Wir bezeichnen die Nullmatrix vom Format m n mit 0 m n, 0 m n = Eine Matrix A mit gleich vielen Zeilen und Spalten, dh mit m = n, heißt quadratische Matrix Sie heißt symmetrisch, wenna = A T ist, also wenn a ij = a ji für alle Indizes i, j gilt Beispielsweise ist A = eine symmetrische Matrix Die quadratische Matrix, deren Hauptdiagonalelemente alle gleich eins und deren restliche Elemente alle gleich null sind, heißt Einheitsmatrix Wir bezeichnen die Einheitsmatrix vom Format n n mit I n, ]

4 36 Matrizen und Vektoren I n = Eine quadratische Matrix heißt Diagonalmatrix, wenn die Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen alle gleich null sind (a ij =0, falls i j), während in der Hauptdiagonalen beliebige Zahlen a 11,a,,a nn stehen Für eine solche Matrix schreibt man kurz diag(a 11,a,,a nn ) Eine quadratische Matrix heißt obere Dreiecksmatrix, wenn die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen alle gleich null sind, dh a ij =0, falls i>j Sie heißt untere Dreiecksmatrix, wenn die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen alle gleich null sind, dh a ij =0, falls i<j Beispiel 4 D = , U = , L = D ist Diagonalmatrix, U ist obere und L ist untere Dreiecksmatrix Definition : Spaltenvektor, Zeilenvektor Eine Matrix des Formats n 1 wird als Spaltenvektor mit n Komponenten bezeichnet, x 1 x x = =[x 1,x, x n ] T x n x i nennt man die i-te Komponente von x, i = 1,,nEntsprechend wird eine Matrix y des Formats 1 n als Zeilenvektor mit n Komponenten bezeichnet, y =[y 1,y,,y n ] Wenn es auf den Unterschied zwischen Zeilen- und Spaltenform nicht ankommt, sagt man einfach Vektor Wir bezeichnen Vektoren mit kleinen lateinischen Buchstaben in Fettdruck, x, y, z, u, v, a, b, usw Das gleiche Symbol ohne Fettdruck mit angehängtem Index j bezeichnet dann die j-te Komponente des Vektors Beispielsweise ist u 4 die vierte Komponente des Vektors u

5 Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen 37 Beispiel 5 Beispiele für Vektoren sind x = 1 R 3, a = 1 3 R4, a T =[, 1, 3, 0] = (, 1, 3, 0) R Der Spaltenvektor mit n Komponenten, x =[x 1,x,,x n ] T,entsprichteinem Punkt (x 1,x,,x n ) R n (Das Gleiche gilt natürlich auch für den Zeilenvektor [x 1,x,,x n ]) Im Folgenden identifizieren wir die Punkte des n-dimensionalen Euklidischen Raumes R n mit den Spaltenvektoren des Formats n 1 DerRaumR n ist also die Menge aller Spaltenvektoren mit n Komponenten Der Ursprung des R n entspricht dem Nullvektor [0, 0,, 0] T DerVektor, dessen i-te Komponente gleich eins ist und dessen andere Komponenten alle den Wert null haben, heißt i-ter Einheitsvektor Er wird mit e i bezeichnet Im R n gibt es n solche Einheitsvektoren e 1,,e n,etwaimr 3 die Einheitsvektoren e 1 = 1 0, e = , e 3 = Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen Mit Matrizen kann man fast wie mit Zahlen rechnen Die einfachsten Operationen sind die Addition und die Subtraktion zweier Matrizen sowie die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl Die Addition zweier Matrizen erfolgt in sehr naheliegender Weise Man addiert zwei Matrizen, indem man die Komponenten an den entsprechenden Positionen addiert Definition 3: Addition von Matrizen Seien A und B m n Matrizen, A =(a ij ), B =(b ij ) Die Summe von A und B ist so definiert: A + B =(a ij + b ij )= a 11 + b 11 a 1 + b 1 a 1n + b 1n a 1 + b 1 a + b a n + b n a m1 + b m1 a m + b m a mn + b mn

6 38 Matrizen und Vektoren Bemerkung: Zu beachten ist, dass zwei Matrizen nur dann addiert werden können, wenn sie dasselbe Format, dh die gleiche Anzahl von Zeilen und die gleiche Anzahl von Spalten besitzen! Beispiel 6 A = 0 1 5, B = 0 7 1, A + B = Addiert man zu einer Matrix des Formats m n die Nullmatrix desselben Formats, so erhält man wieder die ursprüngliche Matrix, dh A + 0 m n = 0 m n + A = A Die Subtraktion zweier Matrizen erfolgt wie die Addition komponentenweise Definition 4: Subtraktion von Matrizen Seien A und B m n Matrizen, A =(a ij ), B =(b ij )DieDifferenzvonA und B ist so definiert: a 11 b 11 a 1 b 1 a 1n b 1n a 1 b 1 a b a n b n A B =(a ij b ij )= a m1 b m1 a m b m a mn b mn Subtrahiert man eine Matrix von sich selbst, so erhält man die Nullmatrix des entsprechenden Formates: A A = 0 m n Eine weitere Rechenoperation ist die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl Man bezeichnet sie als Skalarmultiplikation Die Skalarmultiplikation einer Matrix erfolgt, indem jede Komponente der Matrix mit der reellen Zahl multipliziert wird Definition 5: Skalarmultiplikation Sei A eine m n Matrix und λ R Das Skalarprodukt aus λ und A ist so definiert: λa =(λa ij )= λa 11 λa 1 λa 1n λa 1 λa λa n λa m1 λa m λa mn

7 Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen 39 Beispiel 7 (Fortsetzung von Beispiel 6) ( 1 ) 1 0 A = Unter der Matrix A versteht man die Matrix ( 1) A Bemerkung: Offensichtlich ist A B = A +( 1) B Man hätte also die Differenz zweier Matrizen auch mithilfe von skalarer Multiplikation und Addition definieren können Satz 1: Rechenregeln für Matrizen Seien A, B und C m n Matrizen, λ, μ R Dann gelten die folgenden Aussagen: (i) A + B = B + A, kommutativ (für + ) (ii) (A + B)+C = A +(B + C), assoziativ (für + ) (iii) A + 0 m n = A, neutrales Element (für + ) (iv) A +( A) = 0 m n, negatives Element (für + ) (v) λ(a + B) = λa + λb, } (vi) (λ + μ)a = λa + μa, distributiv (vii) λ(μa) = (λμ)a, assoziativ (für ) (viii) 1 A = A neutrales Element (für ) Addition und Skalarmultiplikation von Punkten des R n Da Vektoren spezielle Matrizen sind (nämlich solche mit nur einer Spalte bzw Zeile) sind Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation von Vektoren wie bei Matrizen definiert Die obigen Rechenregeln gelten daher auch für Vektoren und in gleicher Weise für Punkte des R n Insbesondere werden zwei Punkte x =(x 1,,x n ) und y =(y 1,,y n ) komponentenweise addiert, x + y =(x 1,,x n )+(y 1,,y n ) = (x 1 + y 1,,x n + y n ) Die Addition von x und y entspricht dem Aneinandersetzen der beiden zugehörigen Pfeile von 0 bis x bzw y (Abbildung 1)

8 40 Matrizen und Vektoren Komponentenweise geht man auch vor, wenn man den Punkt y vom Punkt x subtrahiert und wenn man den Punkt x mit einer Zahl λ R multipliziert, x y =(x 1,,x n ) (y 1,,y n ) = (x 1 y 1,,x n y n ), λx =(λx 1,,λx n ) y x + y λx x x x 1 x x 1 1 Abbildung 1: Summe von Vektoren, z = x + y, und Vielfaches eines Vektors, z = λx Beispiel 8 (Aggregation von Produktbündeln) Ein Unternehmen produziert vier Produkte, die an drei verschiedenen Standorten gelagert werden Zu einem bestimmten Zeitpunkt befanden sich [100, 000, 300, 0] Stück in Lager A, [40, 0, 0, 700] in Lager B und [400, 00, 0, 0] in Lager C Hierbei sind für jedes Lager die Stückzahlen der vier Produkte zu einem Stückvektor im R 4 zusammengefasst Insgesamt waren also [100, 000, 300, 0] + [40, 0, 0, 700] + [400, 00, 0, 0] = [540, 00, 300, 700] Stück vorhanden Durch ein Unwetter wurden sodann 80% der Produkte in Lager A zerstört, das sind Stück Insgesamt sind danach noch 08 [100, 000, 300, 0] = [80, 1600, 40, 0] [540, 00, 300, 700] [80, 1600, 40, 0] = [460, 600, 60, 700] Stück der vier Produkte auf Lager Beispiel 9 In Abbildung ist n =, x =(3, 1), y =(, ), z =(, 6), also x + y =(5, 3), x z =(5, 5) Für beliebige Zahlen λ betrachten wir die Vielfachen λx Sie bilden die Menge { U = {(3λ, λ) :λ R} = (x 1,x ):x = 1 } 3 x 1 Dies ist die Gerade durch den Nullpunkt und den Punkt (3, 1) im R

9 3 Multiplikation von Matrizen 41 z 6 4 x + y y U x z x z Abbildung : Zu Beispiel 9 3 Multiplikation von Matrizen Für Matrizen sind nicht nur die linearen Operationen Multiplikation mit einer Zahl und Addition von Matrizen gleichen Formats definiert Man kann Matrizen auch miteinander multiplizieren Voraussetzung ist, dass sie im Format zusammenpassen, indem die linke Matrix so viele Spalten hat wie die rechte Matrix Zeilen Definition 6: Matrizenprodukt Sei A R m k und B R k n mit A =(a il ) und B =(b lj )DasProdukt von A und B ist die m n Matrix AB =(c ij ) mit den Elementen c ij = a i1 b 1j + a i b j + + a ik b kj = k a il b lj l=1 Das Element c ij ergibt sich also durch Multiplikation der i-ten Zeile der Matrix A mit der j-ten Spalte der Matrix B

10 4 Matrizen und Vektoren Beispiel 10 Gegeben seien die Matrizen A = und B = 1 Dann ist n =, m =3, k =und [ ] B A AB, also AB = Das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte der Matrix AB berechnet man beispielsweise als 1 ( 1) + 0 ( 3) = 1 Entsprechend berechnet man die anderen Elemente von AB Ferner sei x =[3, 7] T Wir erhalten Ax = 3 7 R 3, Bx = 13 [ 11 9 ] R, x T x =3 +7 =58 Das Produkt BA ist nicht definiert, da die Anzahl der Spalten von B nicht mit der Anzahl der Zeilen von A übereinstimmt Wir berechnen AA T und A T A Beide Produkte sind definiert, aber im Allgemeinen verschieden, wie das folgende Zahlenbeispiel zeigt Es gilt AT A AA T, aber A 1 A T A T A

11 3 Multiplikation von Matrizen 43 Satz : Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation Sei A R m n, B und C R n k, D R k r, λ R Danngeltendie folgenden Aussagen: (i) A(BD) = (AB)D, assoziativ (ii) AI n n = A, } (iii) I m m A = A, neutrales Element (iv) A(B + C) = } AB + AC, (v) (B + C)D = BD + CD, distributiv (vi) A(λB) = λ(ab), (vii) (AB) T = B T A T Bemerkung: Während Addition und Subtraktion von Vektoren im Wesentlichen dieselben Eigenschaften besitzen wie Addition und Subtraktion reeller Zahlen, gilt dies nicht für die Multiplikation von Matrizen Wir wollen an dieser Stelle zwei Punkte hervorheben, in denen sich die Matrizenmultiplikation grundlegend von der Multiplikation reeller Zahlen unterscheidet Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, dheskommtsehr wohl auf die Reihenfolge der Faktoren an Wenn man das Produkt AB zweier Matrizen bilden kann, heißt dies nicht, dass auch das Produkt BA gebildet werden kann Aber selbst wenn das Produkt BA definiert ist,müssen die MatrizenAB und BA nicht übereinstimmen Wir geben dazu ein weiteres Beispiel: [ ][ ] [ ] AB = =, BA = [ ][ ] = [ ] Ist das Produkt zweier reeller Zahlen gleich null, so bedeutet dies, dass einer der Faktoren gleich null ist Das Produkt zweier Matrizen kann jedoch die Nullmatrix ergeben, ohne dass einer der Faktoren eine Nullmatrix ist So ist zb AB = [ 1 4 ][ ] 4 = 1 obwohl weder A noch B eine Nullmatrix ist [ ] 0 0 = 0 0 0,

12 44 Matrizen und Vektoren 4 Inverse Matrizen Jede Zahl x, die ungleich null ist, hat einen sogenannten Kehrwert, nämlich die Zahl 1/x = x 1 Multipliziert man x von rechts oder links mit seinem Kehrwert, so ist das Ergebnis immer gleich eins; es gilt x x 1 = x 1 x =1 Die Frage ist, ob es etwas Vergleichbares bei Matrizen gibt Hat jede Matrix, die nicht die Nullmatrix ist, einen Matrixkehrwert, sodass die Multiplikation der Matrix mit ihrem Kehrwert die Einheitsmatrix ergibt? Wenn eine Matrix A nicht quadratisch ist, so lässt sich in der Tat keine Matrix B finden, für die sowohl AB als auch BA gleich der Einheitsmatrix ist In einer großen Klasse quadratischer Matrizen existiert jedoch ein Analogon zum Kehrwert, die sogenannte inverse Matrix Definition 7: Inverse Matrix Sei A eine quadratische n n-matrix Gibt es eine n n-matrix B, sodass AB = I n ist, dann heißt B inverse Matrix zu A oder Inverse von A Man schreibt A 1 = B Es gilt dann AA 1 = A 1 A = I n Existiert zu einer Matrix A die inverse Matrix A 1,soheißtA invertierbar oder regulär ExistiertzuA keine inverse Matrix, so heißt A nicht invertierbar oder singulär Beispiel 11 Die Matrix A = [ 47 1] ist invertierbar mit [ ] A 1 7 = 1 4 Man prüft dies durch Ausmultiplizieren nach: [ ] [ ] [ ] AA = = Die Matrix B = [ 1 4] ist nicht invertierbar Die Einheitsmatrix I n ist regulär Es gilt I 1 n = I n Die Nullmatrix 0 n n ist nicht invertierbar Eine 1 1-Matrix A =[a 11 ] ist offensichtlich genau dann invertierbar, wenn a 11 0ist Die Inverse ist dann A 1 =[a 1 11 ] Auch für -Matrizen kann man leicht entscheiden, ob die Matrix invertierbar ist, und ggf die inverse Matrix in sehr einfacher Weise bestimmen

13 4 Inverse Matrizen 45 Satz 3: Inverse, n = Für A = [ ab cd] existiert A 1 genau dann, wenn ad bc 0ist In diesem Fall ist A 1 = 1 ad bc [ ] d b c a Die Größe ad bc ist die sogenannte Determinante der Matrix A Damit lautet die Merkregel für die Inversion einer -Matrix: Merkregel: Inverse, n = Hauptdiagonalelemente vertauschen, bei den Nebendiagonalelementen das Vorzeichen umkehren, und alle Elemente jeweils durch die Determinante teilen Auch für größere Matrizen kann man zumindest im Prinzip Formeln für die Inverse angeben So ist die Inverse einer 3 3-Matrix a b c 1 d e f = 1 ei fh ch bi bf ce fg di ai cg cd af, λ g h i dh eg bg ah ae bd wobei λ = aei + bfg + cdh gec hfa idb die entsprechende Determinante darstellt Die Inverse existiert, wenn λ 0ist Offensichtlich kann man sich diese Formel aber nur schwer merken, was in der Tat auch nicht nötig ist Wir werden in Abschnitt 84 ein einfaches Verfahren kennenlernen, mit dem man nicht nur entscheiden kann, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht, sondern auch im Fall der Existenz direkt die Inverse berechnet Es folgen weitere Eigenschaften der Inversen einer Matrix Satz 4: Inverse eines Produktes Seien A und B invertierbare n n-matrizen Dann ist auch AB invertierbar und es gilt (AB) 1 = B 1 A 1 Beweis: Zu zeigen ist, dass (AB)(B 1 A 1 )=I n gilt: (AB)(B 1 A 1 )=A(BB 1 )A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n Zu Determinanten siehe Kapitel 10

14 46 Matrizen und Vektoren Diesen Satz kann man sich leicht mit der Socke-Schuh-Regel merken: Beim Anziehen zieht man erst die Socke an (A) und dann den Schuh (B) Das Inverse vom Anziehen (AB) ist das Ausziehen ((AB) 1 ) Dabei muss man zuerst den Schuh ausziehen (B 1 ) und dann die Socke ausziehen (A 1 ) Also ist (AB) 1 = B 1 A 1, siehe Abbildung 3 A B B 1 A 1 Abbildung 3: Illustration (AB) 1 = B 1 A 1 Satz 5: Rechenregeln für die Inversion Falls A invertierbar ist, gilt: (i) (A 1 ) 1 = A, (ii) (A T ) 1 =(A 1 ) T, (iii) Ist A symmetrisch, so ist auch A 1 symmetrisch, (iv) Für jede reelle Zahl λ 0ist (λa) 1 = 1 λ A 1 5 Lineare Abbildungen Wir wissen also nun, was Matrizen bzw Vektoren sind und wie man mit ihnen rechnet Vektoren dienen insbesondere dazu, Punkte im mehrdimensionalen Raum zu beschreiben und mit ihnen zu rechnen Worin liegt aber nun der Nutzen von Matrizen? Um dies zu sehen, betrachten wir wieder die Beispiele 1 und vom Beginn dieses Kapitels Beispiel 1 (Lineare Produktionsfunktion) Fasst man die Koeffizienten a 1,,a n der linearen Produktionsfunktion zu einem Zeilenvektor a = [a 1,,a n ] und die Inputs x 1,,x n zu einem Spaltenvektor x = [x 1,,x n ] T zusammen, so kann man die lineare Produktionsfunktion in der Form y = f(x) =ax

15 5 Lineare Abbildungen 47 schreiben Hier wird die Analogie zu linearen Funktionen von R nach R, die bekanntlich die Form y = ax besitzen, deutlich Beispiel 13 (Offenes Input-Output-Modell von Leontief) Wie im vorigen Beispiel fassen wir die Produktionskoeffizienten zusammen, jedoch statt zu einem Zeilenvektor zu einer Matrix A =(a ij ) Die Matrix A heißt Produktionsmatrix Entsprechend fassen wir die exogene Nachfrage d 1,,d n und die Outputs x 1,,x n zu Spaltenvektoren d =[d 1,,d n ] T bzw x =[x 1,,x n ] T zusammen In dieser Notation wird das Gleichungssystem des Leontief-Modells eine Gleichung zwischen Vektoren des R n, x = Ax + d Wegen Ix = x kann man die Gleichung auch als Ix = Ax + d schreiben und mit Hilfe der Rechenregeln für Matrizen zu (I A)x = d umformen Dies ist die bekannte Gleichung des offenen Input-Output-Modells in Matrix-Vektor-Schreibweise Es handelt sich um eine sogenannte lineare Gleichung Um zu prüfen, ob eine gegebene exogene Nachfrage d gedeckt werden kann und welcher Gesamtoutput x dazu nötig ist, muss lediglich diese Gleichung gelöst werden Wie man lineare Gleichungen löst, werden wir ausführlich in Kapitel 8 behandeln Der tiefere Nutzen von Matrizen liegt darin begründet, dass sie lineare Funktionen von R n nach R m beschreiben Definition 8: Lineare Funktion Eine Funktion f : R n R m heißt linear, wenn für alle x, y R n und λ R gilt: Lin1: f(x + y) =f(x)+f(y), Lin: f(λx) =λf(x) Statt linearer Funktion sagt man auch lineare Abbildung Durch eine gegebene m n Matrix A wird eine Funktion f A : R n R m, x f A (x) =Ax, definiert Aus den Rechenregeln für Matrizen ergibt sich unmittelbar, dass f A eine lineare Abbildung ist Die grundlegende Bedeutung von Matrizen rührt nun daher, dass sogar jede lineare Abbildung die Form f A mit einer geeignet

16 48 Matrizen und Vektoren gewählten Matrix A hat Mit Hilfe von Matrizen lassen sich also alle linearen Abbildungen von R n nach R m in einfacher Form beschreiben Wie findet man aber zu einer gegebenen linearen Funktion f die zugehörige Matrix A?IstA die zu f gehörige Matrix, und sind a 1, a,,a n die Spalten der Matrix A, so folgt, dass der Funktionswert des j-ten Einheitsvektors e j gleich f(e j )=Ae j =[a 1,, a i,, a m ] e j = a j ist Mit anderen Worten: Die j-te Spalte der Matrix A ist das Bild des j-ten Einheitsvektors Wir formulieren dies als Merksatz Merkregel: Matrix und zugehörige lineare Abbildung Sei f : R n R m eine lineare Abbildung und A die zugehörige m n Matrix Dann sind die Spalten a j von A die Bilder der Einheitsvektoren, a j = f(e j ),j =1,,n Hieraus folgt unmittelbar, dass eine lineare Funktion durch die Funktionswerte der Einheitsvektoren eindeutig festgelegt ist Beispiel 14 Sei f : R 3 R 4 eine lineare Abbildung und gelte f(e 1 )=[1, 3, 4, ] T, f(e )=[, 0, 5, 1] T, f(e 3 )=[0, 3,, 4] T Dann ist f(x) =Ax mit 1 0 A = Lineare Funktionen von R nach R haben die Form f(x) =ax Diesehaben sofern a 0ist immer eine Umkehrfunktion, nämlich f 1 (x) = 1 a x Unter welchen Bedingungen besitzt nun eine lineare Funktion f A : R n R m, x Ax, eine Umkehrfunktion und wie sieht diese aus? Wenn m = n und A invertierbar ist, dann ist die lineare Funktion f A 1 offenbar die Umkehrfunktion von f A, denn es gilt f A 1( fa (x) ) = A 1 Ax = I n x = x, ( f A fa 1(x) ) = AA 1 x = I n x = x Dass die lineare Abbildung auch nur in diesem Fall eine Umkehrfunktion besitzt, ist die Aussage des folgenden Satzes

17 6 Geometrie des R n 49 Satz 6: Umkehrfunktion einer linearen Funktion Ist f A : R n R m, x Ax, eine lineare Funktion, so besitzt f A genau dann eine Umkehrfunktion, wenn m = n und A invertierbar ist In diesem Fall ist die Umkehrfunktion gegeben durch f A 1 : R n R n, x A 1 x Eine weitere wichtige Klasse von Abbildungen sind die sogenannten affinlinearen Abbildungen R n R m Diese haben die Form x Ax + b mit geeigneter Wahl einer m n Matrix A und eines Spaltenvektors b R m Geometrisch stellt die Addition des Vektors b eine Verschiebung dar 6 Geometrie des R n Den R kann man sich anschaulich als eine zweidimensionale Zeichenebene vorstellen, den R 3 als den uns umgebenden dreidimensionalen Raum Für die Ebene und den dreidimensionalen Raum wissen wir, was unter Begriffen wie Länge, Abstand, Winkel oder auch senkrecht zu verstehen ist Der R n ist die natürliche Verallgemeinerung des R und des R 3, doch fehlt ihm im Gegensatz zu diesen beiden die direkte Anschaulichkeit Einige geometrische Eigenschaften des R und des R 3 lassen sich allerdings auf den allgemeinen R n übertragen In diesem Abschnitt definieren wir diese Begriffe allgemein für den Euklidischen Raum R n Zunächst definieren wir das innere Produkt zweier Vektoren Es ist, wie wir zeigen werden, grundlegend für die Verallgemeinerung der eingangs genannten geometrischen Begriffe Definition 9: Inneres Produkt Für x, y R n heißt x T y inneres Produkt Esist x T y = y T x = x 1 y 1 + x y + + x n y n = n x i y i R i=1 Das innere Produkt von x und y ist gleich dem Matrizenprodukt des Zeilenvektors x T mit dem Spaltenvektor y

18 50 Matrizen und Vektoren Beispiel 15 Sei a = 1, b = 0 c = Dann ist a T b =1 ( ) =4und b T c =0 Beispiel 16 (Fortsetzung: Beispiel 8) Die vier Produkte des Unternehmens A haben pro Stück einen Wert von 500, 700, 00 bzw 100 e Der Gesamtwert der durch das Unwetter zerstörten Produkte beträgt [80, 1600, 40, 0] = = e Der Lagerbestand hat nach dem Unwetter nur noch einen Wert von [460, 600, 60, 700][500, 700, 00, 100] T = e Ist x =(x 1,x ) ein Punkt im R, so kann man den Abstand von x zum Ursprung 0 mit dem Satz von Pythagoras 3 berechnen; er beträgt x 1 + x Analog gilt für einen Punkt x R 3, dass der Abstand des Punktes von 0 durch x 1 + x + x 3 gegeben ist Den Abstand eines Punktes oder Vektors x vom Nullpunkt nennt man auch Norm von x Auch wenn wir für den R 4 und höhere Dimensionen keine anschauliche Vorstellung mehr besitzen, so lässt sich doch der Begriff der Norm durch eine entsprechende Formel verallgemeinern Definition 10: Norm Für x R n heißt x := n x i x = 1 + x + + x n = x T x i=1 (Euklidische) Norm von x 3 Pythagoras von Samos (ca 570 v Chr - ca 500 v Chr)

19 6 Geometrie des R n 51 Im Fall n =1,alsowennx eine reelle Zahl ist, gilt x = x = x Die Norm ist in diesem Fall gleich dem Betrag Man kann die Norm also auch als Verallgemeinerung des Betrages ansehen Betrachtet man im R oder R 3 einen Vektor als Pfeil, der vom Ursprung 0 zum Punkt x führt, so entspricht x der Länge des Pfeiles x x { x y y x } {{ } x 1 1 } {{ } x 1 y 1 1 Abbildung 4: Norm und Distanz von Vektoren im R Satz 7: Eigenschaften der Norm Für alle x, y R n gilt (i) x 0, (ii) x =0genau dann, wenn x = 0, (iii) λx = λ x für jede reelle Zahl λ, (iv) x + y x + y Eigenschaft (iv) bezeichnet man als Dreiecksungleichung Geometrischbedeutet sie, dass in einem Dreieck eine Seite höchstens so lang ist, wie die Summe der beiden anderen Seiten, vgl die folgende Abbildung x y x + y x x + y y 1 Mit dem Begriff der Norm haben wir festgelegt, was wir im R n unter dem

20 5 Matrizen und Vektoren Abstand eines Punktes vom Ursprung verstehen wollen Wie soll man aber nun den Abstand zwischen zwei Punkten x, y R n definieren? Die Abbildung 4 zeigt, dass im R der Abstand zwischen zwei Punkten x und y durch (x1 y 1 ) +(x y ) = x y gegeben ist Entsprechendes gilt für den Abstand zweier Punkte im R 3 Allgemein definiert man deshalb den Abstand zweier Punkte x, y R n als die Norm ihrer Differenz, x y = (x 1 y 1 ) +(x y ) + +(x n y n ) Man bezeichnet x y als Euklidische Distanz oder Euklidischen Abstand Offenbar ist dieser Abstand symmetrisch; es gilt x y = y x Für n =1,, 3 stimmt der Begriff der Euklidischen Distanz mit unserer gewöhnlichen Anschauung überein Wir kommen nun zum Begriff des Winkels zwischen zwei Vektoren Grundlegend hierfür ist der folgende Satz Satz 8: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 4 Für x, y R n gilt x T y x y Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt, dass für Vektoren x, y 0 stets 1 xt y x y 1 gilt Man verwendet diesen Quotienten, um den Öffnungswinkel α(x, y) zweier Vektoren x, y 0 zu definieren: cos α(x, y) = xt y x y Diese Definition entspricht im R der klassischen Definition des Kosinus (Ankathete durch Hypotenuse) am rechtwinkligen Dreieck In der folgenden Abbildung hat die Hypotenuse die Länge y, die Ankathete die Länge x T y/ x 4 Augustin Louis Baron Cauchy ( ) und Hermann Amandus Schwarz ( )

21 6 Geometrie des R n 53 y α(x, y) x x T y x 1 =cosα(x, y) y 1 Die Definition der Länge eines Vektors sowie des Öffnungswinkels zweier Vektoren ermöglicht es, das Skalarprodukt zweier Vektoren geometrisch zu interpretieren Es gilt x T y = x y cos α(x, y) Das Skalarprodukt ist also das Produkt der Längen (Normen) der Vektoren mit dem Kosinus des Öffnungswinkels Wenn der von zwei Vektoren x und y gebildete Öffnungswinkel 90 beträgt, sagt man, dass die Vektoren zueinander orthogonal sind, dh senkrecht aufeinander stehen Das innere Produkt x T y und damit der Kosinus sind in diesem Fall null Man nutzt diesen Umstand zur formalen Definition des Begriffes orthogonal Definition 11: Orthogonale Vektoren Ist x T y =0, so heißen x und y orthogonal oder auch senkrecht zueinander, kurz: x y Beispiel 17 In Beispiel 15 ist b c Sei d =[, 1] T und e =[, 4] T,dannistd e Die folgende Abbildung zeigt d und e sowie die beiden Mengen G = {x R : d T x 0} (grau) und H = {x R : d T x 0} (blau) Die Menge U = {x R : x = λe,λ R} ist die Gerade, auf der alle Vektoren, die orthogonal zu d sind, liegen

22 54 Matrizen und Vektoren U 4 G d 1 H 4 e Die folgende Tabelle fasst die in diesem Abschnitt entwickelten geometrischen Begriffe sowie ihre Formalisierung im R n zusammen Geometrischer Begriff Länge eines Vektors x Abstand zwischen x und 0 Formalisierung x, x, Abstand zwischen x und y x y, Winkel zwischen x und y cos α(x, y) = xt y x y, x und y sind orthogonal x T y =0 7 Weitere Eigenschaften von Mengen im R n Die Menge aller Punkte, deren Norm höchstens 1 beträgt, bildet die abgeschlossene Einheitskugel des R n, das ist die Kugel mit Radius 1 um den Nullpunkt des R n, K(0, 1) = {x =(x 1,x,,x n ) R n : x 1} Offenbar ist dies für n =die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius 1, { } (x 1,x ) R : x 1 + x 1 Für n =3ist es die gewöhnliche Kugel mit Radius 1, und für n =1ist es das Intervall [ 1, 1]

23 7 Weitere Eigenschaften von Mengen im R n 55 Allgemein betrachtet man die Kugel K(a,ε) mit Mittelpunkt a R n und Radius ε>0, K(a,ε)={x =(x 1,x,,x n ) R n : x a ε}, das ist die Menge aller Punkte im R n, die vom Punkt a höchstens den Abstand ε besitzen 1 1 ε a Abbildung 5: Kugel K(a,ε) im R (= Kreisscheibe) mit a =(0, 1),ε= Eine Menge A R n heißt beschränkt, wenn sie in eine hinreichend große Kugel um 0 passt,dhwenneseinezahlm gibt, sodass A K(0,M) Beispielsweise ist jede Kugel K(a,ε) mit gegebenem Mittelpunkt a R n und Radius ε beschränkt Für jedes x K(a,ε) gilt nämlich x a ε, also x = x a + a x a + a ε + a Demnach liegt K(a,ε) in der Kugel um 0 mit Radius M = ε + a Auch jedes endliche n-dimensionale Intervall [a, b] mit a, b R n ist eine beschränkte Menge Als nächstes betrachten wir die Randpunkte einer Menge A R n EinPunkt z heißt Randpunkt von A, wenn jede noch so kleine Kugel um z sowohl Punkte von A als auch Punkte des Komplements von A enthält Die Menge aller Randpunkte wird als Rand rd(a) bezeichnet Beispielsweise hat die Einheitskugel K(0, 1) im R den Rand {(x 1,x ):x 1 + x =1}, das ist die Kreislinie um 0 mit Radius 1 Für a, b R besitzt das gewöhnliche abgeschlossene Intervall [a, b] R die Randpunkte a und b Ebensohaben

24 56 Matrizen und Vektoren z Abbildung 6: Randpunkt einer Menge das offene Intervall ]a, b[ und die halboffenen Intervalle [a, b[ und ]a, b] die Randpunkte a und b Offenbar können Randpunkte zur Menge dazugehören oder auch nicht Eine Menge A R n heißt abgeschlossen, wenn alle Randpunkte von A auch Elemente von A sind Die Menge heißt offen, wenn keiner der Randpunkte Element von A ist A \ rd(a) wird als Inneres von A bezeichnet, A rd(a) als abgeschlossene Hülle von A EineMengeA R n, die abgeschlossen und beschränkt ist, nennt man kompakt So ist zum Beispiel das gewöhnliche abgeschlossene Intervall [a, b] R eine abgeschlossene Menge, das entsprechende offene Intervall ]a, b[ eine offene Menge Die halboffenen Intervalle [a, b[ und ]a, b] sind weder abgeschlossene noch offene Mengen Die Einheitskugel K(0, 1) im R ist eine abgeschlossene Menge Allgemeiner ist jede Kugel K(a,ε) im R n abgeschlossen Der nichtnegative Orthant R n + ist abgeschlossen Eine Menge A R n nennt man konvex, wenn zu je zwei Punkten in A auch deren Verbindungsstrecke ganz in A liegt, dh wenn für alle x, y A und alle λ [0, 1] gilt λx +(1 λ)y A x y x y Abbildung 7: Eine konvexe und eine nichtkonvexe Menge Beispiele für konvexe Mengen sind die Intervalle in R, aber auch alle n- dimensionalen Intervalle [a, b] Weiter ist jede Kugel K(a,ε) im R n konvex Auch der R n + und der R n sind konvex

25 8 Orthogonale Matrizen und Abbildungen 57 8 Orthogonale Matrizen und Abbildungen Eine wichtige Klasse von Matrizen sind die sogenannten orthogonalen Matrizen Definition 1: Orthogonale Matrix Eine n n-matrix Q heißt orthogonal, wenn alle Spalten von Q die Norm eins haben und je zwei verschiedene Spalten orthogonal sind Bezeichnet q i die i-te Spalte von Q, so gilt Q orthogonal q T i q j = { 1, falls i = j, 0, falls i j Orthogonale Matrizen haben einige sehr schöne Eigenschaften Betrachten wir zunächst das Produkt Q T QDasichdasElementanderPosition(i, j) des Produktes als inneres Produkt der i-ten Zeile von Q T und der j-ten Spalte von Q ergibt, ist dies offensichtlich gleich q T i q j(diespaltenvon Q sind die Zeilen von Q T!) Aus der Definition folgt dann, dass Q T Q auf der Hauptdiagonalen Einsen und an allen anderen Positionen Nullen enthält Mit anderen Worten: Q T Q ist die Einheitsmatrix Das bedeutet, dass Q T die Inverse von Q ist Dann ist aber auch QQ T die Einheitsmatrix Hieraus folgt, dass auch Q T eine orthogonale Matrix ist Also sind auch die Spalten von Q T orthogonal zueinander und haben die Norm Eins Da die Spalten von Q T die Zeilen von Q sind, gilt dasselbe auch für die Zeilen von Q Wir fassen diese Überlegungen in einem Satz zusammen: Satz 9: Eigenschaften orthogonaler Matrizen Sei Q eine n n-matrix Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) Q ist orthogonal, (ii) Q T ist orthogonal, (iii) Q T Q = I n, (iv) QQ T = I n, (v) Q ist invertierbar und Q 1 = Q T, (vi) die Spalten von Q sind orthogonal und haben die Norm eins, (vii) die Zeilen von Q sind orthogonal und haben die Norm eins

26 58 Matrizen und Vektoren Wir haben in Abschnitt 5 gesehen, dass die linearen Abbildungen von R n nach R n gerade die Abbildungen f A : x Ax sind, wobei A eine n n- Matrix ist Lineare Abbildungen der Form f Q : x Qx, wobeiq eine orthogonale Matrix ist, heißen orthogonale Abbildungen Die Bedeutung der orthogonalen Abbildungen liegt in der Tatsache begründet, dass sie längen- und winkeltreu sind Satz 10: Längen- und Winkeltreue orthogonaler Abbildungen Sei Q eine orthogonale Matrix Dann ist die Abbildung f Q (i) längentreu, dh für beliebige Vektoren x, y gilt Qx Qy = x y, (ii) winkeltreu, dh für beliebige Vektoren x, y 0 gilt α(qx, Qy) =α(x, y) Beweis: Eigenschaft (i) ergibt sich aus Qx Qy = Q(x y) = [Q(x y)] T [Q(x y)] = (x y) T Q T Q(x y) = (x y) T (x y) = x y Für (ii) überlegt man sich zunächst, dass (Qx) T (Qy) =x T Q T Qy = x T y Wegen (i) ist aber auch Qx = x und Qy = y Eigenschaft (ii) folgt dann unmittelbar aus der Formel für den Öffnungswinkel cos α(qx, Qy) = (Qx)T (Qy) Qx Qy = xt y =cosα(x, y) x y Insbesondere folgt aus der Längentreue, dass Qx = x ist Orthogonale Abbildungen lassen also die Abstände sowie die Winkel zwischen zwei Punkten unverändert Die orthogonalen Abbildungen von R nach R sind gerade die Drehungen um den Koordinatenursprung sowie die Spiegelungen an den Ursprungsgeraden

27 8 Orthogonale Matrizen und Abbildungen 59 Geometrische Interpretation orthogonaler Matrizen Wie sehen nun die orthogonalen Abbildungen des R aus? Da zu einer orthogonalen Abbildung eine orthogonale Matrix Q gehört, müssen wir uns lediglich überlegen, wie die orthogonalen -Matrizen aussehen Da orthogonale Abbildungen längentreu sind, muss das Bild des ersten Einheitsvektors den Abstand eins vom Ursprung haben, also irgendwo auf dem Einheitskreis liegen Ist α der Winkel zwischen e 1 und dem Bild Qe 1, so gilt also Qe 1 =[cosα, sin α] T Qe 1 α e 1 Was ist jetzt aber das Bild des zweiten Einheitsvektors? Da orthogonale Abbildungen winkeltreu sind und die beiden Einheitsvektoren einen rechten Winkel bilden, müssen auch die Bilder der Einheitsvektoren einen rechten Winkel bilden Da das Bild des zweiten Einheitsvektors wegen der Längentreue ebenfalls auf dem Einheitskreis liegen muss, gibt es nur die folgenden beiden Möglichkeiten: Qe e Qe 1 e Qe 1 α e 1 α e 1 Qe Im ersten Fall ist Qe =[ sin α, cos α] T und im zweiten Fall entsprechend Qe =[sinα, cos α] T Da in den Spalten der Matrix die Bilder der Einheitsvektoren stehen, muss eine orthogonale -Matrix Q also eine der folgenden beiden Gestalten haben: [ ] [ ] cos α sin α cos α sin α Q = oder Q = sin α cos α sin α cos α

28 60 Matrizen und Vektoren Geometrisch beschreibt eine Matrix der ersten Gestalt eine Drehung um den Winkel α im Nullpunkt des Koordinatensystems Eine Matrix der zweiten Gestalt liefert eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden, die mit der x-achse den Winkel α/ bildet Qe e Qe 1 e Qe 1 α α e 1 α e 1 Qe Damit haben wir die orthogonalen -Matrizen vollständig klassifiziert Wir fassen die Ergebnisse im folgenden Satz zusammen Satz 11: Klassifikation der orthogonalen -Matrizen Ist Q eine orthogonale -Matrix, so gibt es einen Winkel α ] π, π], sodass Q eine der folgenden Gestalten hat: [ ] [ ] cos α sin α cos α sin α Q = oder Q = sin α cos α sin α cos α Im ersten Fall beschreibt Q eine Drehung um den Winkel α, im zweiten Fall eine Spiegelung an der um α/ gedrehten x-achse In höheren Dimensionen ist die geometrische Interpretation orthogonaler Matrizen deutlich komplizierter Allerdings gilt allgemein, dass jede orthogonale Matrix einer Hintereinanderausführung von Drehungen und Spiegelungen entspricht Wichtige Begriffe zur Wiederholung Nach der Lektüre dieses Kapitels sollten folgende Begriffe geläufig sein: Matrix Einheitsmatrix, Nullmatrix transponierte Matrix symmetrische Matrix

29 Selbsttest 61 Skalarmultiplikation einer Matrix Addition und Multiplikation zweier Matrizen Zeilenvektor, Spaltenvektor inneres Produkt von Vektoren, orthogonal Norm inverse Matrix lineare Abbildung Selbsttest Anhand folgender Ankreuzaufgaben können Sie Ihre Kenntnisse zu diesem Kapitel überprüfen Beurteilen Sie dazu, ob die Aussagen jeweils wahr (W) oder falsch (F) sind Kurzlösungen zu diesen Aufgaben finden Sie in Anhang E I Bei der Multiplikation W F zweier Diagonalmatrizen entsteht eine Diagonalmatrix einer Diagonalmatrix mit einer unteren Dreiecksmatrix entsteht eine Diagonalmatrix zweier oberer Dreiecksmatrizen entsteht eine obere Dreiecksmatrix II Gegeben sind die Zahl λ R und die Matrizen A, B und C von jeweils geeignetem Format Sind folgende Aussagen wahr oder falsch? W F A(B + C) =AB + CA A(B + λc) =AB + λac ((BA) 1 ) T =(B 1 ) T (A T ) 1 (A + B)(C + D) =AC + BC + AD + BD III Gegeben sind die Zahlen λ, μ R und die Vektoren x, y, z R 3 Sind folgende Aussagen wahr oder falsch? W F λx + μy λ x + μ y Aus x y und y z folgt x z

30 6 Matrizen und Vektoren IV Sind folgende Aussagen wahr oder falsch? Die Vereinigung zweier konvexer Mengen ist wieder konvex Die Einheitsmatrix ist die einzige Diagonalmatrix, die orthogonal ist [ ] 1 0 Die Matrix ist orthogonal 0 1 W F Aufgaben Aufgabe 1 Gegeben seien folgende Vektoren im R 4 : x =[3, 4, 5, 1] T, y =[ 1, 4, 3, ] T und z =[1, 1, 1, ] T Berechnen Sie a) x +3y z, b) x T (λz), λ R + \{0}, c) die Entfernung zwischen dem Punkt y und dem Nullpunkt Aufgabe Gegeben seien die Vektoren a =[1,, 3, 4, 5] T, b =[0, 1, 0, 1, 0] T, c =[0, 1,, 3] T und d =[0,, 4, 1] T Berechnen Sie, falls möglich, a) 1 a + b, b) a + c, c) (a T b)c, d) a(b T c), e) a T b + c T d Aufgabe 3 Gegeben sind die Matrizen und Vektoren A = 1 6 [ ] 5 4 1, B =, C = d = [, 0, 1 ], e = 5 1 3,

31 Aufgaben 63 Bestimmen Sie falls möglich a) AB, b) BA, c) ABC, d) 3CAB, e) 5de, f) e T A, g) dc, h) ec, i) A + B T, j) AB + C ed, k) C(d T + e) Aufgabe 4 Nehmen Sie an, dass die im Folgenden betrachteten Matrizen alle ein geeignetes Format besitzen Berechnen Sie a) (AB) T (B 1 A 1 ) T, b) (A(A 1 + B 1 )B)(B + A) 1, c) (I 1 ) T A (I T ) 1 A +0 I Aufgabe 5 Gegeben sind die Matrizen A = a) A 1 + B 1, b) (A 1 B) 1, c) ((A 1 B) T ) 1 [ ] und B = [ ] Berechnen Sie Aufgabe 6 Gegeben sind die Vektoren x T =[1,, 3], y T =[0, 3, ], z T =[ 1, 1, 1] a) Schätzen Sie x + y und x z nach unten ab, dh wie groß sind die Ausdrücke mindestens? Berechnen Sie auch die exakten Werte b) Wie stehen die Vektoren x und y im Raum zueinander? Aufgabe 7 Prüfen Sie, ob die folgenden Matrizen orthogonal sind: a) [ ] , b)

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