Schriftliche Prüfung. im Fach. Nachrichtenübertragung. 14. Oktober Aufgaben. 120 Punkte

Transkript

1 KLehrstuhl für Informationsübertragung Schriftliche Prüfung im Fach Nachrichtenübertragung 14. Oktober Aufgaben 120 Punkte Hinweise: Für die Bestnote sind ca. 100 Punkte erforderlich. Die Aufgabenstellung beinhaltet also einen Überhang von 20 Punkten! Sollten Sie Teilaufgaben nicht lösen können, so beachten Sie ggf. die angegebenen Hilfswerte zum Weiterrechnen. Diese Werte entsprechen nicht immer der tatsächlichen Lösung! Alle Teilaufgaben, die mit markiert sind, sind damit unabhängig von den vorhergehenden lösbar! Beachten Sie die Hilfs- und Ergebnisblätter im Anhang. Geben Sie diese zusammen mit Ihren Bearbeitungsblättern ab.

2 Seite 2 1. Aufgabe 19 Punkte Grundwissen Betrachtet wird die digitale Übertragung von zufälligen analogen uellensignalen, deren Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Amplitude sich durch folgende Verteilung annähern läßt: 2 f q0 (q 0 ) = e q 2 0 q 0,eff 2q 0,eff a) Wie bezeichnet man diese Verteilung? Nennen Sie eine Hauptanwendung, bei der diese Verteilung üblicherweise als Modell für die Amplitudenverteilung herangezogen wird! Das Übertragungssystem hat einen begrenzten Aussteuerbereich, der durch eine Spitzenwertbegrenzung mit einem sog. Soft-Limiter mit folgender Kennlinie k L (q) modelliert wird: q max für q < q max k L (q) = q für q max q q max +q max für q > +q max b) c) Nennen Sie zwei Ursachen, warum reale Systeme einen begrenzten Aussteuerbereich aufweisen! Wie groß muss der Aussteuerpegel gewählt werden, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,9% keine Übersteuerung auftritt? d) Wie groß ist das Signalstörleistungsverhältnis infolge Spitzenwertbegrenzung, wenn der Aussteuerpegel gemäß Teilaufgabe c) gewählt wird? e) Welcher Auswirkungen hat es, wenn der Aussteuerpegel zu groß bzw. zu klein gewählt wird? Zusätzlich sollen auch Signale, deren Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Amplitude sich durch folgende Verteilung annähern läßt, betrachtet werden: f II q 0 (q 0 ) = 1 e 2πq0,eff q 2 0 2q 0,eff 2 f) Inwieweit darf/muss bei gleichem Störabstand infolge Spitzenwertbegrenzung der Aussteuerpegel bei solchen Signalen im Vergleich zur obigen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion angepasst werden? Vor der Übertragung werden die uellensignale mit einer Abtastfrequnz von 44,1 khz abgetastet und mit 16 Bit pro Abtastwert quantisiert.

3 Seite 3 g) In welchen Zeitabständen treten im Mittel Bitfehler auf, wenn die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit nach der digtalen Übtertragung 10 8 beträgt (gedächtnisloser, symmetrischer Kanal vorausgesetzt)?

4 Seite 4 2. Aufgabe 23 Punkte Analoge Modulation Die Übertragung eines analogen uellensignals q(t) (dimensionslos, auf Amplitudenbereich ±1 begrenzt, Bandbreite B NF ) soll mit dem nachfolgend abgebildeten Modulator realisiert werden. Dieser besteht, wie es früher üblich war, aus einem nichtlinearen, dispersionslosen Bauelement und einem Bandpassfilter (Mittenfrequenz: f c ). q(t) x(t) f(x) = (x + a) 2 s HF (t) f c s HF (t) cos(2πf c t) a) Bestimmen Sie s HF (t) in Abhängigkeit von q(t) und dem Parameter a. Unterscheiden Sie die Nutzanteile im Signal s HF (t) von den Signalanteilen, die vom Bandpassfilter unterdrückt werden! Hinweis: Beachten Sie das Hilfsblatt! b) Welches Übertragungsverfahren wird mit dem angegebenen Modulator für das uellensignal q(t) realisiert? c) Wie groß muss in Abhängigkeit der Bandbreite B NF des uellensignals q(t) die Frequenz f c mindestens gewählt werden, damit der Modulator bei geeigneter Dimensionierung des Bandpassfilters verzerrungsfrei arbeitet? Begründen Sie ihre Antwort! d) Wie ist der Parameter a zu wählen, damit am Empfänger eine Hüllkurvendemodulation verwendet werden kann? Begründen Sie ihre Antwort! e) Zum Testen des Modulators wird nun ein uellsignal q(t) = cos(2πf q t) mit f q = f c /4 übertragen. Skizzieren Sie das Spektrum S HF (f) des Sendesignals s HF (t). Achten Sie auf eine vollständige Beschriftung der Ordinaten- und Abszissenwerte. f) Am Sender steht nur eine begrenzte Leistung zur Verfügung. Wie ist der Parameter a zu wählen, damit sich das Signal q(t) besonders leistungseffizient übertragen lässt? Begründen Sie ihre Antwort! Am Ausgang des Modulators liege nun das Sendesignal s HF (t) = q(t) cos(2πf c t) vor. Das uellensignal q(t) besitzt eine Bandbreite von B NF. Das HF-Signal s HF (t) soll nun mit folgender Anordnung demoduliert werden:

5 Seite 5 PSfrag s HF (t) f c y(t) H S (f) v(t) 2 cos(2πf e t) g) h) Bestimmen Sie zunächst allgemein das Signal y(t) vor dem Sinkenfilter H S (f). Unterscheiden Sie hierbei zwischen Nutzanteilen und Signalanteilen, welche vom Sinkenfilter unterdrückt werden müssen. Hinweis: Beachten Sie das Hilfsblatt! Um welche Art von Sinkenfilter handelt es sich bei H S (f) im Falle einer idealen synchronen Demodulation mit f e = f c? Begründen Sie ihre Antwort, indem Sie die Grenzfrequenzen des Filters so bestimmen, dass das uellensignal q(t) verzerrungsfrei am Ausgang des Demodulators wiedergewonnen wird. Leider lässt sich am empfangsseitigen Trägergenerator die Frequenz f c nicht exakt einstellen, sodass im Folgenden gelte: f e = f c + 1 Hz i) Wie macht sich dieser Fehler im demodulierten Signal v(t) am Empfängerausgang bemerkbar?

6 Seite 6 3. Aufgabe 17 Punkte Pulscodemodulation Gegeben seien die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen f qi (q i ) und die Leistungsdichtespektren Φ qi q i (f), i = 1,2,3, von drei zeit- und wertkontinuierlichen uellensignalen q 1 (t), q 2 (t) und q 3 (t). f q1 (q 1 ) Φ q1 q 1 (f) 1 1 q 1 12kHz 12kHz f f q2 (q 2 ) Φ q2 q 2 (f) 1 1 q 2 15kHz 15kHz f f q3 (q 3 ) Φ q3 q 3 (f) 1 1 q 3 8kHz 8kHz f Jedes dieser Signale soll mittels eines geeignet dimensionierten (d.h. an das jeweilige Signal angepassten) PCM-Übertragungssystems übertragen werden: a) Geben Sie für alle Signale die minimale Abtastfrequenz f A an, die nötig ist, um die Signale verzerrungsfrei rekonstruieren zu können. b) Skizzieren Sie für die drei Fälle die jeweilige Kompressorkennlinie für minimales uantisierungsgeräusch. Beurteilen Sie bei welchen Signalen eine Kompandierung

7 Seite 7 die Leistung des uantisierungsgeräusches im Vergleich zu gleichmäßiger uantisierung verringern kann. c) Beurteilen Sie bei welchen Signalen der Einsatz von differentieller Pulscodemodulation (DPCM) sinnvoll ist, wenn jeweils von kritischer Abtastung gemäß Teilaufgabe a) ausgegangen wird. Kurze Begründung! Im Folgenden wird eine Folge q 1 [k] = q 1 (kt) des ideal abgetasteten uellensignals q 1 (t) betrachtet. d) Geben Sie hierfür das optimale Rekonstruktionsfilter H v,opt (f) an. In der Praxis wird bei der Signalrekonstruktion oftmals eine sogenannte Sample&Hold- Schaltung eingesetzt, da die Verarbeitung von kurzen und hohen Impulsen sehr schwierig wäre. Das resultierende Signal lässt sich mittels q 1 (t) = k= q 1 [k] g(t kt) beschreiben, wobei g(t) die Grundimpulsform bezeichnet. Ein möglicher Verlauf des Signals q 1 (t) ist anhand folgender Skizze gegeben. q 1 (t) q 1 (t) 0 T 2T 3T 4T t e) Geben Sie die Grundimpulsform g(t) in Zeit- und Frequenzbereich an. Wie groß ist die Impulsdauer T? Die Rekonstruktion auf das Originalsignal wird nun mittels des Filters H v (f) durchgeführt. f) Geben Sie das Rekonstruktionsfilter H v (f) an. Skizzieren Sie den Betrag der Übertragungsfunktion dieses Filters. Hinweis: H v (f) besteht aus dem optimalen Rekonstruktionsfilter H v,opt (f) und einer Kompensation von g(t).

8 Seite 8 4. Aufgabe 37 Punkte Matched Filter Gegeben ist folgender Rechteckimpuls g(t) der Dauer t = 1 µs: g(t) 1 mv 0 1 t/ µs a) Bestimmen Sie die (normierte) Energie E g des Impulses. Der Impuls ist von weißem Rauschen mit der zweiseitigen Rauschleistungsdichte N 0 /2 überlagert. b) Geben Sie die Impulsantwort h E (t) des kausalen Filters H E (f) an, an dessen Ausgang der Impuls g(t) mit größtmöglichem Störabsstand detektiert werden kann! Nennen Sie auch den optimalen Detektionszeitpunkt! c) Zeichnen Sie den Verlauf des Nutzsignales am Ausgang des Empfangsfilters H E (f) nach Teilaufgabe b), wenn an dessen Eingang der Impuls g(t) anliegt. d) Geben Sie das Signalstörleistungsverhältnis an, das zum optimalen Detektionszeitpunkt am Filterausgang erreicht wird. Nun werden fortlaufend mit Amplitudenkoeffizienten a[k] gewichtete Impulse g(t) im Abstand T (PAM-Sendesignal) gesendet: s(t) = + k= a[k]g(t kt) e) Wie ist der Impulsabstand T zu wählen, damit bei Verwendung des optimalen Empfangsfilters nach Teilaufgabe b) eine impulsinterferenzfreie digitale PAM- Übertragung vorliegt? Anstelle des optimalen Empfangsfilters wird nun ein Tiefpass 1. Ordnung (RC-Tiefpass) mit der 3 db-grenzfrequenz f 0 = 1 mit τ = RC verwendet: 2πτ R u 1 (t) C u 2 (t) u 1 (t)`u 1 (f) u 2 (t)`u 2 (f)

9 Seite 9 f) Geben Sie die Übertragungsfunktion H RC (f) = U 2 (f)/u 1 (f) des RC-Tiefpasses an! Hinweis: Innenwiderstand der uelle unendlich klein; Lastwiderstand unendlich groß! g) Bestimmen Sie das Ausgangssignal u 2 (t) = d RC (t) für einen (einzelnen) Impuls u 1 (t) = g(t) am Eingang und skizzieren Sie dieses! Hinweis: Hilfsblatt beachten! Günstiger Rechenweg über die Sprungantwort des RC- Tiefpasses! h) Zu welchem Detektionszeitpunkt T d erfolgt die Detektion nun am günstigsten? Welcher Detektionsnutzwert d RC (T d ) ergibt sich abhängig von der Zeitkonstanten τ? i) Skizzieren Sie den prinzipiellen Verlauf des Signal-Störleistungsverhältnisses d RC(T d ) 2 σn 2 abhängig von der 3 db-grenzfrequenz des RC-Tiefpasses (σn: 2 Varianz des Rauschens am Ausgang des RC-Tiefpasses). Hinweis: Keine Rechnung! Grobe Skizze hinreichend! j) Berechnen Sie das Signalstörleistungsverhältnis zum optimalen Detektionszeitpunkt als Funktion der Zeitkonstante τ = RC, wenn der Impuls g(t) wiederum von weißem Rauschen (zweiseitige Rauschleistungsdichte N 0 /2) überlagert ist! k) Für welche Zeitkonstante τ bzw. 3 db-grenzfrequenz f 0 wird das größte Signalstörleistungsverhältnis zum Detektionszeitpunkt erreicht? Hinweis: Hilfsblatt beachten! l) Vergleichen Sie das best mögliche Signalstörleistungsverhältnis für den RC-Tiefpass H RC (t) mit dem Resultat für das optimale Empfangsfilter H E (f) gemäß Teilaufgabe b)! m) Wie müßte theoretisch bei einer fortlaufenden PAM-Übertragung der Impulsabstand T gewählt werden, damit bei optimaler Wahl der 3 db-grenzfrequenz des RC- Tiefpasses nach Teilaufgabe j) eine impulsinterferenzfreie digitale PAM-Übertragung entsteht?

10 Seite Aufgabe 24 Punkte Digitale Übertragung Für die Datenübertragung bei Wireless Local Area Networks (WLAN) stehen Frequenzbänder der Breite 20 MHz bei Trägerfrequenzen im Bereich um 5,2 GHz zur Verfügung. Wir analysieren eine stark vereinfachte WLAN-Übertragung über ein Frequenzband, hierbei insbesondere den Zusammenhang zwischen der übertragbaren (Nutz-) Datenrate R T und der Entfernung d zwischen Computer und Access Point. Wir gehen dabei (in sehr grober Vereinfachung!) von einer digitalen Einträger-PAM- Übertragung mit Nyquist-Impulsformung bei einem roll-off-faktor von 0,25 aus. a) Welche Symbolrate (auch Schrittgeschwindigkeit oder Baudrate) kann maximal verwendet werden? Hilfswert zum Weiterrechnen: 16 MSymbole/ s Die Sendeleistung beträgt 10 mw; es wird ein AWGN-Kanalmodell mit einer einseitigen Rauschleistungsdichte von W/ Hz, wirksam am Empfängereingang, vorausgesetzt. Die Ausbreitungsdämpfung (in Dezibel, einschließlich Antennengewinne) wird abhängig vom Abstand d (in Metern) zwischen Sender und Empfänger durch modelliert. 60 db + 20 log 10 ( d 10 m ) db Das aktuell zu verwendende digitale PAM-Übertragungsverfahren wird nach einer SNR- Messung in einer Start-Up-Routine zwischen Sender und Empfänger so vereinbart, dass eine möglichst hohe Datenrate erreicht wird. b) c) Stellen Sie eine allgemeine Beziehung für die überbrückbare Distanz d abhängig von der Datenrate R T und dem für ein digitales PAM-Übertragungsverfahren für eine hinreichende Zuverlässigkeit notwendigen Vergleichs-Signalstörleistungsverhältnis E b /N 0 auf. Wir betrachten zunächst die uncodierten Übertragungsverfahren 4PSK, 16AM und 256AM. Eine hinreichende Zuverlässigkeit wird bei einer Bitfehlerwahrscheinlichkeit 10 8 erreicht. Welche Datenraten werden mittels 4PSK, 16AM und 256AM übertragen? (Symbolrate gemäß Teilaufgabe a)!) d) Welche minimalen Vergleichs-Signalstörleistungsverhältnisse E b /N 0 sind für 4PSK, 16AM und 256AM jeweils für hinreichende Zuverlässigkeit (BER 10 8 ) erforderlich (Genauigkeit ±10% hinreichend)? Hinweis: Hilfsblatt beachten! Hilfswert zum Weiterrechnen: 16, 40 und 330

11 Seite 11 e) Leiten Sie aus Teilaufgaben c) und d) zusammen mit dem Ergebnis aus b) den Zusammenhang Überbrückbare Distanz abhängig von der übertragbaren Datenrate ab! Tragen Sie diesen Zusammenhang im Diagramm auf dem Ergebnisblatt ein! Nun betrachten wir codierte digitale PAM-Verfahren (M-PSK bzw. M-AM und Coderate jeweils günstig gewählt, nach wie vor Einträgerverfahren und roll-off-faktor 0,25), welche hinsichtlich der geforderten Datenzuverlässigkeit die informationstheoretische Grenze für den Austausch von (Gesamt-) Rate und Leistungseffizienz bis auf 3 db erreichen. f) Bestimmen Sie das minimal erforderliche Vergleichs-Signalstörleistungsverhältnis E b /N 0 abhängig von der übertragenen Datenrate R T. g) Leiten Sie hieraus zusammen mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe b) den Zusammenhang zwischen übertragbarer Datenrate und überbrückbarer Entfernung ab! Zeichnen Sie den zugehörigen Graphen mit in das Ergebnisblatt ein! Vergleichen Sie uncodierte und codierte digitale PAM-Übertragung! Abkürzungen: E b : (empfangsseitige) Energie je übertragenem bit Information (Nutzinformation!) N 0 : einseitige Rauschleistungsdichte von weißem Rauschen (physikalisches Signal)

12 Name: Aufgabe: Hilfsblatt Komplementäres Gauß sches Fehlerintegral (-Funktion): 10 0 (x) = + x e y2 /2 2π dy (x) log 10 (x)

13 Name: Aufgabe: Hilfsblatt zu Aufgabe 2 und 4 Nützliche Beziehungen: cos(a) cos(b) = 1 [cos(a b) + cos(a + b)] 2 + cos 2 (a) = 1 [1 + cos(2 a)] 2 cos 3 (a) = 1 [cos(3 a) + 3 cos(a)] 4 dx ( ) 2 = π x 0 x 1 + x 0 { 0 für t < 0 x(t) = ` X(f) = 1 τ e t/τ für t j2πτf Graph der Funktion (1 e x ) 2 x : 0.5 (1 e x ) 2 x x

14 Name: Aufgabe: Ergebnisblatt zu Aufgabe 5 Diagramm: überbrückbare Entfernung übertragene Datenrate