Kapitel 27 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße

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1 Kapitel 7 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße 7.1 Einführung Sowohl Distanz- als auch Ähnlichkeitsmaße dienen dazu, die Ähnlichkeit verschiedener Fälle oder Variablen zu quantifizieren. Beide Maße untersuchen, wie nahe die Werte zweier Fälle oder Variablen beieinanderliegen. Eine starke Ähnlichkeit zweier Fälle oder Variablen kommt in großen Werten eines Ähnlichkeitsmaßes und in kleinen Werten eines Distanzmaßes zum Ausdruck. Distanzmaßen liegt damit im Vergleich zu Ähnlichkeitsmaßen die entgegengesetzte Perspektive zugrunde, da sie zunächst nicht versuchen, die Ähnlichkeit, sondern die Unähnlichkeit zweier Fälle oder Variablen zu quantifizieren. Aus diesem Grund werden Distanzmaße häufig auch als Unähnlichkeitsmaße bezeichnet. Es gibt mehrere statistische Prozeduren, in denen Distanz- und Ähnlichkeitsmaße verwendet werden, um eine größere Anzahl von Objekten (Fälle oder Variablen der Datendatei) derart in Gruppen zu unterteilen, daß innerhalb einer Gruppe Objekte mit besonders großer Ähnlichkeit zusammengefaßt werden, während sich die verschiedenen Gruppen möglichst deutlich voneinander unterscheiden. So wird zum Beispiel im folgenden Kapitel 8 eine Hierarchische Clusteranalyse durchgeführt, um die 15 Mitgliedsländer der Europäischen Union anhand der Kennzahlen, die im Vertrag von Maastricht als Kriterien für die Teilnahme an der Währungsunion formuliert wurden, derart in Gruppen aufzuteilen, daß innerhalb einer Gruppe Länder mit einer relativ hohen Konvergenz zusammengefaßt werden, während sich die Länder unterschiedlicher Gruppen in bezug auf die zugrunde gelegten Kriterien möglichst stark unterscheiden. Auch andere Verfahren wie die Faktorenanalyse oder die Multidimensionale Skalierung basieren wesentlich auf einem Vergleich von Objekten (Fällen oder Variablen) mit Hilfe von Distanz- und Ähnlichkeitsmaßen. Bei SPSS steht eine große Anzahl unterschiedlicher Distanz- und Ähnlichkeitsmaße zur Verfügung, von denen in konkreten Anwendungsfällen stets mehrere in Frage kommen. Viele der Maße sind also gegeneinander austauschbar, und häufig hängt es nur von den Vorlieben des Anwenders ab, für welches Maß er sich letztlich entscheidet. Allerdings ist zu beachten, daß nicht sämtliche Maße gegenein-

2 67 Kapitel 7 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße ander ausgetauscht werden können. Vielmehr kommt in Abhängigkeit von der Skala, auf der die zu vergleichenden Daten gemessen werden, stets eine bestimmte Gruppe von Distanz- und Ähnlichkeitsmaßen in Betracht. Bei SPSS stehen spezielle Maße für intervallskalierte Daten, für Variablen mit Häufigkeitswerten und für binäre Daten (0/1-Variablen) zur Verfügung. In Abschnitt 7.3, Verschiedene Maße für unterschiedliche Datentypen, S. 675 wird der grundsätzliche Unterschied zwischen diesen drei Gruppen von Distanz- und Ähnlichkeitsmaßen erläutert, in den drei darauffolgenden Abschnitten 7.4 bis 7.6 werden die für die drei Datentypen jeweils zur Verfügung stehenden Maße im einzelnen dargestellt. Zunächst soll jedoch im folgenden Abschnitt anhand eines Beispiels die Berechnung und Interpretation von Distanz- und Ähnlichkeitsmaßen beschrieben werden. 7. Beispiel: Strukturdaten für die 15 EU-Länder Die Datendatei EU-Strukturdaten.sav enthält für die 15 Mitgliedstaaten der EU sieben Kennzahlen zur Beschreibung wirtschaftlicher und sozialer Umstände. Die Tabelle in Abbildung 7.1 nennt die Bedeutung der einzelnen Variablen dieser Datei. Variable Bedeutung land Name des Landes energie Pro-Kopf-Verbrauch an Energie [Energiegehalt von 1 Kg Kohle] lebenerw Lebenserwartung der Männer bei der Geburt [Jahre] ksterbl Kindersterblichkeit (pro lebend geborenen) bip Bruttoinlandsprodukt pro Kopf der Bevölkerung [$] telefone Hauptanschlüsse von Telefonen pro 0 Einwohner analphab Anteil der Analphabeten an der Bevölkerung zeitung Gesamtauflage aller Tageszeitungen pro Einwohner Abbildung 7.1: Bedeutung der Variablen aus der Datendatei EU-Strukturdaten.sav Im folgenden sollen die 15 EU-Länder anhand dieser sieben Kennzahlen miteinander verglichen werden. Hierzu lassen sich für alle Paare, die aus den 15 Ländern gebildet werden können, mit den folgenden Einstellungen Distanzwerte berechnen: ¾ Prozedur aufrufen: Die Prozedur zum Berechnen der Distanz- und Ähnlichkeitswerte wird aufgerufen mit dem Befehl STATISTIK KORRELATION DISTANZEN... ¾ Variablen: In dem Dialogfeld Distanzen werden die Variable land in dem Feld Fallbeschriftung und alle übrigen Variablen in dem Feld Variablen angegeben.

3 7. Beispiel: Strukturdaten für die 15 EU-Länder 673 ¾ Weitere Einstellungen: Bei den weiteren Optionen werden größtenteils die Voreinstellungen übernommen. Die einzige Änderung gegenüber den Voreinstellungen besteht darin, daß in dem Dialogfeld der Schaltfläche Maße in der Dropdown-Liste Standardisieren der Eintrag Z-Werte gewählt wird. Die unverändert übernommenen Voreinstellungen legen fest, daß Distanzen Zwischen den Fällen berechnet werden. Hierzu werden die Unähnlichkeiten nach dem Maß der Euklidischen Distanz berechnet. Die Dialogfelder in Abschnitt 7.7, Einstellungen zur Berechnung von Distanz- und Ähnlichkeitsmaßen, S. 687 zeigen die hier verwendeten Einstellungen. Abbildung 7. zeigt die Distanzmatrix, die mit diesen Angaben erstellt wurde. Die Matrix weist für jedes Länderpaar einen Distanzwert aus. So wird etwa die Distanz zwischen Deutschland (D) und Belgien (B) mit 0,9 beziffert, während für Deutschland und Portugal (P) ein Distanzwert von 6,1 ausgewiesen wird. Da die Tabelle Distanzwerte und nicht Ähnlichkeitswerte enthält (hierauf wird in der Fußnote unter der Tabelle noch einmal ausdrücklich hingewiesen), weisen hohe Werte auf eine relativ geringe Ähnlichkeit hin. Deutschland scheint somit, gemessen an den sieben zugrunde gelegten Kriterien, eine stärkere Ähnlichkeit zu Belgien als zu Portugal aufzuweisen. Anhand der Distanzmatrix lassen sich auf diese Weise unmittelbar Paare von Objekten (in diesem Fall von Ländern) identifizieren, zwischen denen, gemessen an den jeweils zugrundeliegenden Kriterien, eine relativ hohe Ähnlichkeit oder auch eine relativ hohe Unähnlichkeit besteht. 1:B :DK 3:D 4:FIN 5:F 6:EL 7:UK 8:IRL 9:I :L 11:NL 1:A 13:P 14:S 15:E Näherungsmatrix Euklidisches Distanzmaß 1:B :DK 3:D 4:FIN 5:F 6:EL 7:UK 8:IRL 9:I :L 11:NL 1:A 13:P 14:S 15:E,0,90, 1,65 4,39 1,39,14,59 3,03 1,48 1,49 5,99 3,51 3,,0 1,57,65 1,7 4,83,7 3,58 3,35 3,08,6 1,7 6,4 3,7 4,3,90 1,57,19 1,31 4,67 1,6,50,8 3,17 1,78 1,07 6,1 3,43 3,47,,65,19 3,00 5,74,48 3,74 4,48 3,0,99,6 7,03 3,31 4,84 1,65 1,7 1,31 3,00 3,97 1,8,64,3 3,36 1,66 1,63 5,80 3,56 3, 4,39 4,83 4,67 5,74 3,97 3,48 3,46,3 6,0 3,74 4,4 4,61 5,64,5 1,39,7 1,6,48 1,8 3,48,4,9 3,67 1,31 1,34 5,77 3,16,78,14 3,58,50 3,74,64 3,46,4 1,90 4,71,83,49 4,73 5,19 1,9,59 3,35,8 4,48,3,3,9 1,90 4,89,33,63 4,70 4,75 1,38 3,03 3,08 3,17 3,0 3,36 6,0 3,67 4,71 4,89 3,19 3,67 7,50 4,8 5,76 1,48,6 1,78,99 1,66 3,74 1,31,83,33 3,19 1,89 6,37,85 3,07 1,49 1,7 1,07,6 1,63 4,4 1,34,49,63 3,67 1,89 5,90 3,57 3,33 5,99 6,4 6,1 7,03 5,80 4,61 5,77 4,73 4,70 7,50 6,37 5,90 8,36 4,75 3,51 3,7 3,43 3,31 3,56 5,64 3,16 5,19 4,75 4,8,85 3,57 8,36 5,16 3, 4,3 3,47 4,84 3,,5,78 1,9 1,38 5,76 3,07 3,33 4,75 5,16 Dies ist eine Unähnlichkeitsmatrix. Abbildung 7.: Distanzmatrix für die 15 EU-Länder auf der Grundlage der Strukturdaten Die in der Distanzmatrix angegebenen Unähnlichkeitswerte wurden nach dem Maß Euklidische Distanz berechnet. Nach diesem Maß ergibt sich die Distanz zwischen den beiden Objekten X und Y nach der allgemeinen Formel Distanz X, Y = ( i Y i ) v i= 1 X.

4 674 Kapitel 7 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße Dabei gibt v die Anzahl der zur Bewertung der Ähnlichkeit berücksichtigten Variablen an. X i bezeichnet den Wert des Objekts (also des Falles) X in der Variablen i. Die Strukturdaten für die Länder (Objekte) Belgien und Deutschland werden in Abbildung 7.3 wiedergegeben. Für diese Daten müßte sich nach der angegebenen Formel folgende Euklidische Distanz ergeben: Distanz = ( ) + ( 73 7,7) + ( 6 6) ( ) + ( 44,9 48,3) + ( 1 0) + ( 3 33) = , , = 3685,017 Es fällt unmittelbar auf, daß der gesamte Distanzwert maßgeblich durch die Distanzen zwischen den beiden Energieverbrauchswerten und den beiden Werten des Pro-Kopf-BIP geprägt ist. Die übrigen fünf Variablen haben nur einen verschwindend geringen Einfluß. Würden sie nicht in die Analyse einbezogen, würde sich das Ergebnis kaum verändern. Dieser ungleich starke Einfluß einzelner Variablen hat seine Ursache darin, daß die sieben Variablen auf unterschiedlichen Skalen gemessen werden. Während beim Energieverbrauch (gemessen in dem Energiegehalt eines Kilogramms Kohle) üblicherweise Werte im vierstelligen Bereich auftreten, kann der Wert für den Anteil der Analphabeten an der Bevölkerung nur zwischen 0% und 0% (also zwischen 0 und 1) liegen. Damit können in der Analphabetenquote unter keinen Umständen derart große Distanzen auftreten, wie sie hier für den Energieverbrauch oder auch für das Pro-Kopf-BIP regelmäßig beobachtet wurden. Um solche unterschiedlich starken Gewichte der Variablen zu vermeiden, ist es üblich, die Werte vor der Berechnung der Distanzen zu standardisieren. Durch eine Standardisierung werden die Werte der einzelnen Variablen derart transformiert, daß sie sich anschließend auf einem einheitlichen Niveau bewegen. Zur Berechnung der Distanzmatrix aus Abbildung 7. wurden die Originalwerte in sogenannte Z-Werte umgewandelt. 98 Zur Berechnung von Z-Werten wird zunächst von jedem Originalwert der Mittelwert der jeweiligen Variablen abgezogen. Anschließend wird der Wert durch die Standardabweichung der Variablen dividiert. Dies bewirkt, daß jede Variable einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1 erhält, so daß die einzelnen Variablen einen gleich starken Einfluß auf die Distanzwerte ausüben. Aus diesem Grund stimmt auch der in der Distanzmatrix für Belgien und Deutschland ausgewiesene Distanzwert nicht mit dem oben berechneten Wert von 3685,017 überein. Wäre dagegen keine Standardisierung der Originalwerte durchgeführt worden, hätte die Distanzmatrix genau diesen Wert ausgewiesen. 98 Dies wurde in dem Dialogfeld der Schaltfläche Maße durch die Wahl des entsprechenden Eintrags in der Dropdown-Liste Standardisierung erreicht.

5 7.3 Verschiedene Maße für unterschiedliche Datentypen 675 Abbildung 7.3: Originaldaten für Belgien und Deutschland 7.3 Verschiedene Maße für unterschiedliche Datentypen Nicht alle bei SPSS zur Verfügung stehenden Distanz- und Ähnlichkeitsmaße lassen sich in gleicher Weise auf sämtliche Datentypen anwenden. Vielmehr gibt es drei Gruppen von Maßen, von denen eine speziell für intervallskalierte Variablen, eine zweite für Variablen mit Häufigkeitswerten und die dritte für binäre Variablen geeignet ist. Dabei mag die Unterscheidung zwischen intervallskalierten Daten und Häufigkeitswerten zunächst sonderbar erscheinen, da auch Häufigkeiten die Anforderungen eines Intervallskalenniveaus erfüllen. Allerdings lassen Häufigkeitswerte eine besondere Interpretation der Daten zu, so daß spezielle Maße auf der Basis der χ -Statistik berechnet werden können. Zusätzlich können Häufigkeitswerte auch mit den Maßen für intervallskalierte Variablen untersucht werden Intervallskalierte Daten Den Ausgangspunkt aller Maße für intervallskalierte Daten bilden stets die Differenzen zwischen den Werten der zu vergleichenden Fälle oder Variablen. Abbildung 7.4 zeigt standardisierte Werte (Z-Werte) der Strukturdaten für Belgien und Deutschland aus der Datendatei EU-Strukturdaten.sav. 99 Zusätzlich werden dort auch die Differenzen mitgeteilt, die sich für die Wertepaare der beiden Fälle in den einzelnen Variablen ergeben und die den Ausgangspunkt für die Berechnung der Distanzwerte bilden. energie lebener ksterbl bip telefon analpha zeitung Belgien 0,50-0,196-0,74 0,335-0,419-0,334 0,194 Deutschland -0,01-0,593-0,74 0,861-0,056-0,51 0,83 Differenz 0,541 0,397 0,000-0,56-0,363 0,187-0,089 Abbildung 7.4: Strukturdaten für Belgien und Deutschland mit den Differenzen für die Wertepaare der einzelnen Variablen Eines der gebräuchlichsten Distanzmaße für intervallskalierte Variablen ist die Euklidische Distanz, die sich als Quadratwurzel aus der Summe der quadrierten 99 Um Z-Werte für eine Variable zu berechnen, können Sie den Befehl STATISTIK, DE- SKRIPTIVE STATISTIK, UNIVARIATE STATISTIKEN verwenden. Dabei wird für jede Ursprungsvariable eine neue Variable mit den Z-Werten in die Datendatei eingefügt.

6 676 Kapitel 7 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße Differenzen ergibt. Auf der Grundlage der standardisierten Werte ergibt sich für Belgien und Deutschland damit eine Euklidische Distanz von: Distanz = 0, ,397 + ( 0,56) + ( 0,363) + 0,187 + ( 0, 089 ) = 0,90 Dieser Wert wird auch in der Distanzmatrix aus Abbildung 7. ausgewiesen, die ebenfalls auf der Grundlage von Z-Werten berechnet wurde. Ein anderes, sehr einfaches Distanzmaß für intervallskalierte Variablen ist die Block-Distanz. Danach berechnet sich der Distanzwert aus der Summe der absoluten Differenzen. Für Belgien und Deutschland beträgt die Block-Distanz somit: Distanz = 0, , ,56 + 0, , ,089 =,3 Weder die Euklidische Distanz noch die Block-Distanz ist dem jeweils anderen Maß eindeutig überlegen. Der Umgang mit Betragswerten gestaltet sich häufig schwieriger als das Rechnen mit quadrierten Werten, so daß viele Statistiker eher die Euklidische Distanz vorziehen. Davon abgesehen hängt es jedoch eher vom Geschmack des Anwenders ab, welchem Distanzmaß er dem Vorzug gibt. Dies gilt nicht nur für die Wahl zwischen der Euklidischen Distanz und der Block- Distanz, sondern auch für einen Großteil der übrigen Distanzmaße für intervallskalierte Daten. Eine Sonderrolle nimmt dagegen die Distanz nach Tschebyscheff ein, bei der die größte absolute Differenz der Wertepaare den Distanzwert bildet. Für Belgien und Deutschland ist der Distanzwert damit gleich 0,541. Die Tschebyscheff-Distanz unterscheidet sich von allen übrigen bei SPSS zur Verfügung stehenden Distanzmaßen für intervallskalierte Daten vor allem dadurch, daß der Distanzwert letztlich nur durch das Ausmaß einer einzigen Differenz bestimmt wird, während bei allen übrigen Maßen sämtliche Differenzen auf unterschiedliche Weise zu einer Maßzahl zusammengefaßt werden. Daher ist die Tschebyscheff-Distanz nur für solche Anwendungsfälle geeignet, bei denen die Unähnlichkeit zweier Objekte tatsächlich sinnvoll an dem Ausmaß der größten Differenz eines Wertepaares gemessen werden kann Häufigkeitswerte Für den Fall, daß zur Bewertung der Ähnlichkeit zweier Objekte ausschließlich Variablen verwendet werden, deren Werte absolute Häufigkeiten darstellen, stehen zwei spezielle Distanzmaße zu Verfügung, die beide auf der Chi-Quadrat- Statistik basieren. Das eine Maß ist das Chi-Quadrat-Maß selbst, das sich als Wurzel aus dem χ -Wert ergibt. Das andere Maß, das als Phi-Quadrat-Maß bezeichnet wird, versucht, das Chi-Quadrat-Maß zu korrigieren, indem es zusätzlich den Stichprobenumfang berücksichtigt. Zur Berechnung des χ -Wertes werden die quadrierten Differenzen aus den beobachteten und den erwarteten Häufigkeiten berechnet und anschließend durch die

7 7.3 Verschiedene Maße für unterschiedliche Datentypen 677 erwarteten Häufigkeiten dividiert. Die Summe dieser Quotienten ergibt den χ - Wert. Werden zwei Fälle anhand von m Variablen verglichen, ergibt sich somit: χ = m ( x ij xˆ ij ) i= 1 j= 1 Dabei bezeichnet x ij die beobachtete Häufigkeit des i-ten Falles und der j-ten Variablen und xˆ die entsprechende erwartete Häufigkeit. ij Abbildung 7.5 zeigt zwei Fälle mit drei Variablen, in denen Häufigkeitswerte enthalten sind. Die Werte können so interpretiert werden, daß zwei Personen angegeben haben, mit welcher Häufigkeit sie im vergangenen Monaten die drei aufgeführten Kultureinrichtungen besucht haben. Kino Theater Museum Gesamt Gesamt Abbildung 7.5: Beispieldaten: Häufigkeiten für zwei Fälle und drei Variablen mit Gesamthäufigkeiten Person 1 hat im vergangenen Monat insgesamt sechs Kulturveranstaltungen besucht, zu denen drei Kinovorstellungen gehörten. Beide Personen zusammen waren insgesamt bei zehn Kulturveranstaltungen, davon waren sie viermal im Kino. Würden sich die vier Kinobesuche in dem Verhältnis auf Person 1 und Person verteilen, das für die Gesamtheit der besuchten Kulturveranstaltungen gilt (also im Verhältnis 6:4), hätte Person 1 6 / der Kinobesuche absolvieren und damit 6 / 4 =,4 Filme anschauen müssen. Dieser Wert von,4 wird als erwartete Häufigkeit für die Variable Kino im Fall 1 bezeichnet. 300 Jede Abweichung der beobachteten von der erwarteten Häufigkeiten deutet auf ein unterschiedliches Konsumverhalten der beiden Personen in bezug auf Kulturveranstaltungen hin. Das Chi-Quadrat- Maß faßt nun die Differenzen zwischen den erwarteten und beobachteten Häufigkeiten aller sechs Felder der Tabelle zu einem Distanzmaß zusammen: ( 6 4 ) ( 6 5 ) ( 61 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 1 ) χ = xˆ ij 1,37 Je stärker die beobachteten von den erwarteten Häufigkeiten abweichen, desto größer fällt das Chi-Quadrat-Maß aus. Der Distanzwert wird jedoch auch mit zunehmender Variablenzahl ansteigen, da bei einer größeren Anzahl von Variablen auch mehr Differenzen in die Summe zur Berechnung des χ -Wertes eingehen. Auch das Niveau, auf dem sich die Häufigkeitswerte üblicherweise bewegen, hat 300 Diese Häufigkeit ist zu erwarten, wenn die Gesamthäufigkeiten vorgegeben sind und beide Personen im gleichen Verhältnis die verschiedenen Kulturveranstaltungen besuchen. Siehe hierzu auch ausführlicher Kapitel 13, Häufigkeitstabellen.

8 678 Kapitel 7 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße Auswirkungen auf die Größe des Distanzwertes. Werden - wie im obigen Beispiel - Personen nach der Anzahl der Kinobesuche im vergangenen Monat befragt, werden die Häufigkeitswerte selten größer als zehn sein. Dies gilt dann auch für die Differenzen zwischen den Werten zweier Personen. Wird dagegen gefragt, wie häufig die Personen im vergangenen Monat öffentliche Verkehrsmittel benutzt haben, werden Differenzen von mehr als 0 nicht ungewöhnlich sein. Um diesen Einfluß von Variablenzahl und -dimension zu korrigieren, wird zur Berechnung des Phi-Quadrat-Maßes das Chi-Quadrat-Maß durch die Quadratwurzel der Gesamthäufigkeiten dividiert. Für das obige Beispiel ergibt sich damit ein Wert von: φ 1,37 = = 0, Binäre Daten Binäre Variablen weisen nur zwei unterschiedliche Werte auf. Diese Werte geben an, ob ein Merkmal erfüllt ist oder nicht. Beispielsweise könnten die Antworten zweier Personen auf die Frage, welche von fünf Sportarten sie ausüben, in der in Abbildung 7.6 dargestellten Weise mit Hilfe binärer Variablen codiert werden, wobei die Codierung 1 der Antwort Ja (Sportart wird ausgeübt) und die Codierung der Antwort Nein entspricht. Segeln Inline-Skaten Surfen Aerobic Jogging Abbildung 7.6: Beispieldaten für binäre Variablen Werden auch hier die Wertepaare in den einzelnen Variablen betrachtet, können sich lediglich vier unterschiedliche Kombinationen ergeben: 1/1, 1/0, 0/1 und 0/0. Auf dieser Besonderheit binärer Variablen basieren alle bei SPSS für solche Daten zur Verfügung stehenden Distanz- und Ähnlichkeitsmaße. Alle Maße vergleichen lediglich die Häufigkeiten, mit denen die vier unterschiedlichen Wertekombinationen bei der Betrachtung zweier Fälle auftreten. Der Unterschied zwischen den einzelnen Distanz- und Ähnlichkeitsmaßen besteht ausschließlich in der Art, in der sie die Häufigkeiten der Wertekombinationen miteinander vergleichen. Grundsätzlich gilt, daß Distanzmaße die Anzahl der Wertekombinationen mit unterschiedlichen Ausprägungen (0/1 und 1/0) in Relation zur Gesamtzahl der Wertepaare setzen. Entsprechend vergleichen Ähnlichkeitsmaße die Häufigkeit, mit der zwei gleiche Werte auftreten (1/1 und 0/0), mit der Anzahl aller Wertepaare. Diese allgemeine Regel wird in zahlreichen Variationen (und natürlich z.t. mit leichten Abweichungen von der allgemeinen Regel) durch unterschiedliche Maße konkretisiert. Ein übliches Distanzmaß ist zum Beispiel die Varianz, bei der die Anzahl der ungleichen Wertepaare durch die mit vier multiplizierte Anzahl aller Wertepaare dividiert wird. Für die beiden Fälle aus Abbildung 7.6 ergibt sich danach folgende Distanz:

9 7.4 Maße für intervallskalierte Daten 679 Größendifferenz = = 0,1 4 5 Die Euklidische Distanz für binäre Variablen betrachtet dagegen ausschließlich die Anzahl der ungleichen Wertepaare und ist gleich der Quadratwurzel dieser Anzahl. Für die beiden Fälle aus Abbildung 7.6 ergibt sich somit: Euklidische Distanz = 1, Maße für intervallskalierte Daten Für intervallskalierte Daten stehen sowohl Distanz- als auch Ähnlichkeitsmaße zur Verfügung, für die im folgenden lediglich die Berechnungsweise - ohne weitere Erläuterungen - angegeben wird. Dabei bezeichnen X und Y die beiden miteinander zu vergleichenden Fälle. X i kennzeichnet den Wert des Falles X in der i-ten Variablen. X i gibt an, daß die Werte des Falles X über alle relevanten Variablen addiert werden. Dabei wird auf die Angabe der Indizes beim Summationszeichen verzichtet. Werden nicht die Distanzen oder Ähnlichkeiten von Fällen, sondern die von Variablen berechnet, bezeichnen X und Y entsprechend die zu vergleichenden Variablen und X i den Wert der Variablen X im Fall i Distanzmaße Euklidische Distanz Die Euklidische Distanz für intervallskalierte Variablen ergibt sich als Quadratwurzel aus der Summe der quadrierten Differenzen: Euklidische Distanz = ( X i Y i ) Quadrierte Euklidische Distanz Die Quadrierte Euklidische Distanz ist die Summe der quadrierten Differenzen: Quadrierte Euklidische Distanz = ( X i Y i ) Tschebyscheff Die Distanz wird an der größten absoluten Differenz eines Wertepaares gemessen: Tschebyscheff -Distanz = Max X Y i i i

10 680 Kapitel 7 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße Block Die Block-Distanz (auch City-Block oder Manhattan-Distanz) ist gleich der Summe der absoluten Differenzen: Block-Distanz = X i Y i Minkowski Die Distanz ist gleich der p-ten Wurzel aus der Summe der p-ten Potenzen der Wertepaardifferenzen. Für p können Sie in der Dropdown-Liste Exponent einen Wert zwischen 1 und 4 auswählen. p Minkowski-Distanz = ( X i Y i ) p Benutzerdefiniert Dieses Maß berechnet sich wie die Minkowski-Distanz, wobei Sie jedoch den Exponenten p und den Grad der Wurzel w unabhängig voneinander wählen können: Benutzerdefinierte Distanz = w ( X i Y i ) p 7.4. Ähnlichkeitsmaße Pearson-Korrelation Die standardisierten Werte der beiden Fälle werden jeweils paarweise miteinander multipliziert. Die Summe der Produkte wird durch die Anzahl der Wertepaare, verringert um 1, dividiert: Pearson-Korrelation = ( Z Z ) X i Y i N 1 Dabei sind Z X und Z Y die standardisierten Werte der beiden Fälle 301, N bezeichnet die Anzahl der Variablen. 301 Beachten Sie, daß die eingehenden Werte hier zuvor fallweise standardisiert werden, und zwar unabhängig davon, ob Sie in dem Dialogfeld der Schaltfläche Maß zusätzlich die Standardisierung der Variablen angefordert haben. (Diese Aussage bezieht sich auf den Fall einer Berechnung von Distanzen zwischen Fällen und ist auf die Berechnung von Distanzen zwischen Variablen analog zu übertragen.)

11 7.5 Maße für Häufigkeitswerte 681 Kosinus Die Werte dieses Ähnlichkeitsmaßes liegen zwischen -1 und +1. Die Maßzahl errechnet sich als: Kosinus = ( X i Yi ) X i Yi 7.5 Maße für Häufigkeitswerte Werden ausschließlich Häufigkeitswerte als Kriterium für die Ähnlichkeit zweier Fälle oder Variablen betrachtet, können zwei spezielle Distanzmaße berechnet werden (siehe auch Abschnitt 7.3., Häufigkeitswerte, S. 676). Im folgenden bezeichnet X i den Wert des Falles X in der Variablen i und E(X i ) den entsprechenden erwarteten Wert. Chi-Quadrat-Maß Der Distanzwert ergibt sich als Wurzel der χ -Statistik: Chi-Quadrat-Maß = ( X i E( X i )) E( X ) i + ( Yi E( Yi )) E( Y ) i Phi-Quadrat-Maß Das Phi-Quadrat-Maß korrigiert das Chi-Quadrat-Maß um den Einfluß der Stichprobengröße N: Phi-Quadrat-Maß = ( Xi E( X i )) E( X ) i + N ( Yi E( Yi )) E( Y ) i 7.6 Maße für binäre Daten Bei binären Daten werden zur Messung der Distanz zwischen zwei Objekten stets die Wertepaare der beiden Objekte betrachtet. Dabei sind nur vier unterschiedliche Wertekombinationen möglich, die im folgenden - wie in der Abbildung skizziert - mit den Werten a, b, c und d bezeichnet werden. Objekt Objekt 1 Erfüllt Nicht erfüllt Erfüllt a b Nicht erfüllt c d

12 68 Kapitel 7 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße Distanzmaße Euklidische Distanz Die Distanz ist gleich der Quadratwurzel aus der Anzahl ungleicher Wertepaare: Euklidische Distanz = b + c Quadrierte Euklidische Distanz Die Distanz ist gleich der Anzahl ungleicher Wertepaare: Quadrierte Euklidische Distanz = b + c Größendifferenz Zunächst wird die Differenz zwischen den beiden Häufigkeiten der möglichen Kombinationen mit ungleichen Werten berechnet. Das Quadrat dieser Differenz wird anschließend durch die quadrierte Anzahl aller Wertepaare dividiert: Größendifferenz = ( b c) ( a + b + c + d) Musterdifferenz Die Musterdifferenz liefert Distanzwerte, die zwischen 0 und 1 liegen. b c Musterdifferenz = ( ) a + b + c + d Varianz Die Anzahl der ungleichen Wertepaare wird durch die mit vier multiplizierte Anzahl aller Wertepaare dividiert: Varianz = 4 b + c ( a + b + c + d) Form Distanz berechnet sich nach folgender Formel: ( a + b + c + d ) ( b + c ) ( b c ) Form = ( a + b + c + d)

13 7.6 Maße für binäre Daten 683 Lance and Williams Dieses Maß, das auch als nichtmetrischer Bray-Kurtis-Koeffizient bezeichnet wird, liefert Distanzwerte zwischen 0 und 1. Lance and Williams = b + c a + b + c 7.6. Ähnlichkeitsmaße Russel und Rao Die Anzahl der Wertepaare, bei denen der Tatbestand zweimal erfüllt ist, wird durch die Anzahl aller Wertepaare dividiert. In dem Dialogfeld (Abbildung 7.8, S. 688) geben Sie an, welcher Wert einen erfüllten und welcher einen nicht erfüllten Tatbestand kennzeichnet. Russel und Rao = a a + b + c + d Einfache Übereinstimmung Die Anzahl gleicher Wertepaare wird durch die Anzahl aller Wertepaare dividiert: Einfache Übereinstimmung = a + d a + b + c + d Jaccard Die Anzahl der Wertepaare, bei denen der Tatbestand zweimal erfüllt ist, wird durch die Anzahl der Wertepaare dividiert, bei denen der Tatbestand mindestens einmal erfüllt ist: Jaccard = a a + b + c Würfel Auch Czekanowski- oder Sorensen-Maß. Dies ist dem Maß Jaccard ähnlich. Der Unterschied besteht darin, daß Wertepaare mit doppelt erfülltem Tatbestand mit dem Faktor gewichtet werden: Würfel = a a + b + c

14 684 Kapitel 7 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße Rogers und Tanimoto Dieses Maß ist der Einfachen Übereinstimmung ähnlich, allerdings werden hier die ungleichen Wertepaare doppelt gewichtet: Rogers und Tanimoto = a + d a + d + ( b + c) Sokal und Sneath 1 Ähnlich wie Rogers und Tanimoto, wobei hier nicht die ungleichen, sondern die gleichen Wertepaare doppeltes Gewicht erhalten: Sokal und Sneath 1 = ( a + d) ( a + d) + b + c Sokal und Sneath Ähnlich wie Jaccard, wobei hier die ungleichen Wertepaare doppelt gewichtet werden: a Sokal und Sneath = a + b + c ( ) Sokal und Sneath 3 Die Anzahl der gleichen Wertepaare wird durch die Anzahl der ungleichen Wertepaare dividiert: a + d Sokal und Sneath 3 = b + c Kulczynski 1 Die Anzahl der Wertepaare, bei denen der Tatbestand zweimal erfüllt ist, wird durch die Anzahl der ungleichen Wertepaaren dividiert: a Kulczynski 1 = b + c Kulczynski Wenn bekannt ist, daß der Tatbestand im ersten Fall erfüllt ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er auch im zweiten Fall erfüllt ist a / (a + c). Ist nur bekannt, daß der Tatbestand im zweiten Fall erfüllt ist, beträgt die entsprechende Wahrscheinlichkeit a / (a + b).

15 7.6 Maße für binäre Daten 685 Das arithmetische Mittel dieser beiden Wahrscheinlichkeiten ist der Ähnlichkeitswert nach Kulczynski : Kulczynski = a a a+ b + a+ c Sokal und Sneath 4 Dieses Maß ähnelt Kulczynski, jedoch werden hier auch die entsprechenden Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Nichteintreten des Tatbestandes einbezogen: Sokal und Sneath 4 = a a d d a+ b a+ c d+ b d+ c 4 Hamann Die Differenz aus der Anzahl der Wertepaare mit zwei gleichen Werten und der Anzahl der Paare mit unterschiedlichen Werten wird durch die Anzahl aller Wertepaare dividiert: Hamann = ( a + d ) ( b + c ) a + b + c + d Lambda Dies ist Goodman und Kruskals Lambda. Es mißt die proportionale Fehlerverringerung bei der Vorhersage des Wertes eines Falles, die dadurch erzielt wird, daß der Wert des anderen Falles bekannt ist. Die Werte von λ liegen zwischen 0 und 1: max Lambda = ( a,b) + max( a,c) + max( d,b) + max( d,c) max ( a+ b+ c+ d) - ( a+ c,d+ b) + max( a+ b,d+ c) ( a+ b+ c+ d) Anderbergs D Anderbergs D mißt die Vorhersagbarkeit eines Wertes bei Kenntnis des anderen Wertes aus dem Wertepaar. Die Ähnlichkeitswerte liegen zwischen 0 und 1: max Anderbergs D = ( a,b) + max( a,c) + max( d,b) + max( d,c) max ( a+ b+ c+ d) + ( a+ c,d+ b) + max( a+ b,d+ c) ( a+ b+ c+ d) Yules Y Die nach Yules Y berechneten Ähnlichkeitswerte liegen zwischen -1 und +1: Yules Y = a d a d + b c b c

16 686 Kapitel 7 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße Yules Q Auch bei Yules Q liegen die Ähnlichkeitswerte zwischen -1 und +1: a d b c Yules Q = a d + b c Ochiai Unter der Bedingung, daß der Tatbestand im ersten Fall erfüllt ist, gilt dies mit einer Wahrscheinlichkeit von a / (a + c) auch für den zweiten Fall. Ist dagegen bekannt, daß der Tatbestand im zweiten Fall erfüllt ist, beträgt die entsprechende Wahrscheinlichkeit a / (a + b). Die Quadratwurzel aus dem Produkt dieser beiden Wahrscheinlichkeiten liefert das Ochiai-Ähnlichkeitsmaß, das stets Werte zwischen 0 und 1 annimmt: Ochiai = a a a + b a + c Sokal und Sneath 5 Die nach Sokal und Sneath 5 berechneten Ähnlichkeitswerte liegen zwischen 0 und 1: Sokal und Sneath 5 = a d ( a + b) ( a + c) ( d + c) ( d + b) Phi-4-Punkt-Korrelation Dies ist die binäre Form von Pearsons Korrelationskoeffizient. Die Werte liegen zwischen 0 und 1: Phi-4-Punkt-Korrelation = ad bc ( a + b) ( a + c) ( d + c) ( d + b) Streuung Die Ähnlichkeitswerte liegen hier zwischen -1 und +1: a d b c Streuung = ( ) a + b + c + d

17 7.7 Einstellungen zur Berechnung von Distanz- und Ähnlichkeitsmaßen Einstellungen zur Berechnung von Distanz- und Ähnlichkeitsmaßen Allgemeine Vorgehensweise Um Distanz- oder Ähnlichkeitswerte zum Vergleich von Fällen oder Variablen zu berechnen, öffnen Sie das in Abbildung 7.7 dargestellte Dialogfeld. Wählen Sie hierzu den Befehl STATISTIK KORRELATION DISTANZEN... Abbildung 7.7: Dialogfeld des Befehls STATISTIK, KORRELATION, DISTANZEN Nehmen Sie in diesem Dialogfeld folgende Einstellungen vor: ¾ Fälle oder Variablen: Geben Sie in der Gruppe Distanzen berechnen an, ob die Distanz- bzw. Ähnlichkeitswerte für Fälle oder für Variablen berechnet werden sollen. ¾ Variablen: Verschieben Sie die bei der Berechnung der Distanz- bzw. Ähnlichkeitswerte zu berücksichtigenden Variablen in das Feld Variablen. Dies dürfen ausschließlich numerische Variablen sein. Wenn Sie die (Un-)Ähnlichkeiten von Variablen bestimmen möchten, geben Sie hier die Variablen an, die jeweils paarweise miteinander verglichen werden sollen. Der Vergleich erfolgt anhand der Werte, die die Variablen in den unterschiedlichen Fällen der Datendatei aufweisen. ¾ Fallbeschriftung: Wenn Sie die Distanzen oder Ähnlichkeiten von Fällen berechnen, können Sie in dem Feld Fallbeschriftung eine Textvariable angeben, deren Werte zur Kennzeichnung der Fälle in der Distanzmatrix verwendet

18 688 Kapitel 7 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße werden. Geben Sie eine solche Variable nicht an, werden die Fälle lediglich durch ihre Fallnummern gekennzeichnet. ¾ Maß: (Siehe hierzu auch den folgenden Abschnitt 7.7.). Geben Sie in der Gruppe Maß zunächst an, ob Sie Distanzwerte oder Ähnlichkeitsmaße berechnen möchten, und wählen Sie anschließend in dem Dialogfeld der Schaltfläche Maße ein entsprechendes Maß aus. Zusätzlich können Sie dort sowohl für die Originaldaten als auch für die Maßzahlen Verfahren zur Standardisierung der Werte anfordern Maße auswählen Die in dem Dialogfeld der Schaltfläche Maße angebotenen Optionen variieren in Abhängigkeit davon, ob Sie in der Gruppe Maß (im Hauptdialogfeld) Werte zur Berechnung der Unähnlichkeiten oder zur Berechnung der Ähnlichkeiten ausgewählt haben. Abbildung 7.8 zeigt das Dialogfeld für Unähnlichkeitsmaße. Das Dialogfeld für Ähnlichkeitsmaße unterscheidet sich von diesem nur dadurch, daß es andere Maßzahlen zur Auswahl anbietet. Abbildung 7.8: Dialogfeld der Schaltfläche Maße für Unähnlichkeiten Maß Wählen Sie zunächst je nach Art der zugrundeliegenden Daten eine der Optionen Intervall, Häufigkeiten oder Binär. Anschließend können Sie in der entsprechenden Dropdown-Liste das zu berechnende Distanz- oder Ähnlichkeitsmaß bestimmen. Beachten Sie, daß spezielle Maße für Häufigkeitswerte nur in der Form von Distanzwerten und nicht in Form von Ähnlichkeitswerten vorliegen. Aus diesem Grund steht die Option Häufigkeiten nicht zur Verfügung, wenn Sie im Hauptdialogfeld die Option Ähnlichkeiten ausgewählt haben.

19 7.7 Einstellungen zur Berechnung von Distanz- und Ähnlichkeitsmaßen 689 Für die intervallskalierten Distanzmaße Minkowski und Benutzerdefiniert können Sie in den Dropdown-Listen Exponent und Wurzel den Grad des Exponenten bzw. den der Wurzel bestimmen (siehe auch S. 680) Wenn Sie Maßzahlen für binäre Daten berechnen, müssen Sie in den Feldern Vorhanden und Nicht vorhanden die Codierungen angeben, die das Erfülltsein bzw. das Nichterfülltsein eines Tatbestandes kennzeichnen. Diese Werte müssen in allen einbezogenen Variablen einheitlich verwendet werden. Werte transformieren Für intervallskalierte Daten sowie für Häufigkeiten können Sie eine Standardisierung der Werte vornehmen. Dies ist vor allem dann sinnvoll, wenn Sie Variablen verwenden, die in unterschiedlichen Dimensionen gemessen werden. Nach Variablen oder Nach Fällen: Geben Sie an, ob die Werte variablenweise oder fallweise transformiert werden sollen. Wenn Sie die Ähnlichkeiten von Fällen untersuchen, sollten Sie grundsätzlich die Option Nach Variablen wählen. Berechnen Sie dagegen Distanz- oder Ähnlichkeitswerte für Variablen, empfiehlt sich die Option Nach Fällen. Standardisieren: Wählen Sie in der Dropdown-Liste eines der folgenden Standardisierungsverfahren: ¾ Keine: Diese Option ist voreingestellt, so daß keine Standardisierung durchgeführt wird. ¾ Z-Werte: Die Werte werden so transformiert, daß sie anschließend einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1 aufweisen. Hierzu wird von jedem Wert der Stichprobenmittelwert abgezogen. Das Ergebnis wird anschließend durch die Standardabweichung der Stichprobe dividiert. (Die Stichprobe besteht dabei jeweils aus den Werten der zu standardisierenden Variablen bzw. des zu standardisierenden Falles.) Dieses Standardisierungsverfahren wurde in dem Beispiel dieses Kapitels verwendet. ¾ Bereich -1 bis 1: Die Werte werden so transformiert, daß sie anschließend in dem Bereich zwischen -1 und +1 liegen. Hierzu wird jeder Wert durch die Spannweite der Stichprobe dividiert. Hat die Stichprobe eine Spannweite von 0 (sind die Werte also alle identisch), bleiben die Werte unverändert. ¾ Bereich 0 bis 1: Nach der Standardisierung liegen die Werte alle zwischen 0 und 1. Zunächst wird von jedem Wert der kleinste Wert der Stichprobe abgezogen. Das Ergebnis wird anschließend durch die Spannweite der Stichprobe dividiert. Hat die Stichprobe eine Spannweite von 0 (so daß alle Werte identisch sind), wird jeder Wert in 0,5 transformiert. ¾ Maximale Größe von 1: Jeder Wert wird durch den größten Wert der Stichprobe dividiert. Damit beträgt der größte Wert anschließend genau 1. Ist der größte Wert in der Stichprobe 0, wird jeder Wert durch den Betrag des kleinsten Wertes dividiert und anschließend mit 1 addiert.

20 690 Kapitel 7 Distanz- und Ähnlichkeitsmaße ¾ Mittelwert 1: Jeder Wert wird durch den Stichprobenmittelwert dividiert. Damit ergibt sich ein neuer Mittelwert von 1. Beträgt der Stichprobenmittelwert vor der Standardisierung 0, wird lediglich jeder Wert um 1 erhöht. ¾ Standardabweichung 1: Jeder Wert wird durch die Standardabweichung der Stichprobe dividiert. Damit weisen die transformierten Werte eine Standardabweichung von 1 auf. Beträgt die Standardabweichung der Stichprobe 0, bleiben die Werte unverändert. Maße transformieren Nicht nur die der Prozedur zugrundeliegenden Ausgangswerte können standardisiert werden, sondern auch die daraus berechneten Distanz- bzw. Ähnlichkeitsmaße. Dabei werden die Maßzahlen zunächst in der üblichen Weise berechnet und anschließend einer der folgenden Transformationen unterworfen: 30 ¾ Absolutwerte: Alle Distanz- bzw. Ähnlichkeitswerte werden in ihre Beträge umgewandelt. Einige Distanzmaße (z.b. die Euklidische Distanz) liefern ohnehin ausschließlich positive Werte, andere Maße können dagegen auch negative Werte ergeben. Beachten Sie aber, daß das Vorzeichen bei diesen Maßen häufig so etwas wie die Richtung eines Zusammenhangs anzeigt (so zum Beispiel bei Pearsons Korrelationskoeffizient). ¾ Vorzeichen ändern: Jede Maßzahl wird mit -1 multipliziert. Dies bewirkt, daß Ähnlichkeitswerte in Distanzwerte umgewandelt werte (und umgekehrt). ¾ Auf Bereich 0-1 umskalieren: Die Maßzahlen werden so transformiert, daß sie anschließend in dem Bereich zwischen 0 und 1 liegen. Hierzu wird von jedem Wert die kleinste errechnete Maßzahl abgezogen. Das Ergebnis wird anschließend durch die Spannweite der Maßzahlen dividiert. Beachten Sie jedoch, daß einige Maße bereits von sich aus standardisierte Werte berechnen (z.b. die Musterdifferenz oder Lance und Williams). Bei diesen Maßen ist eine zusätzliche Transformation im allgemeinen nicht sinnvoll. 30 Wenn Sie mehr als eine Transformationsart ankreuzen, werden die Werte allen ausgewählten Transformationen nacheinander unterworfen. Dabei kommen die Transformationsverfahren in der Reihenfolge zu Anwendung, in der sie im Dialogfeld aufgeführt werden.