Statistik - Übungen WS 2015

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1 Statistik - Übungen WS 2015 Blatt 3: Schließende Statistik 1. Für die Durchführung eines Entwicklungshilfeprojekts soll in einem Entwicklungsland zunächst der Anteil der Personen ermittelt werden, die unter dem Existenzminimum leben. In einer Pilotstudie mit n = 50 Personen wurden 30 als arm (d. h. als unter dem Existenzminimum lebend) eingestuft. a) Schätzen Sie aus obigen Angaben den Anteil der Armen in diesem Land. b) Berechnen Sie ein näherungsweises (zweiseitiges) 90 %-Konfidenzintervall für den Anteil der armen Bevölkerung in diesem Entwicklungsland. c) Berechnen Sie ein (zweiseitiges) 95 %-Konfidenzintervall für den Anteil der Armen, und vergleichen Sie es mit dem in (b) berechneten. d) In einer weiteren Zufallsstichprobe werden n = 200 Personen befragt. Bei dieser größeren Stichprobe wurden 120 Personen als unter dem Existenzminimum lebend eingestuft. Geben Sie ebenfalls ein (zweiseitiges) 95 %-Konfidenzintervall an, und vergleichen Sie es mit dem in (c) berechneten. Womit lässt sich der Unterschied erklären? e) Bestimmen Sie den notwendigen Stichprobenumfang, damit der geschätzte Anteil der Armen in der Bevölkerung mit 90 % Sicherheitswahrscheinlichkeit um weniger als 5 Prozentpunkte vom wahren Wert abweicht, wenn Sie über keine Vorabinformationen für den zu schätzenden Anteil verfügen. Statistik Übungen Blatt 3 1 WS 2015

2 2. In einem Seminar soll im Rahmen eines Projektes eine Studie über das Wahlverhalten der Steirer erarbeitet werden. 100 zufällig ausgewählte Steirer wurden unter anderem danach befragt, ob sie mit den landespolitischen Entscheidungen der Landesregierung zufrieden sind. 20 Befragte beantworteten diese Frage mit einem Ja. a) Berechnen Sie zu einem Konfidenzniveau von 0,9 ein Schätzintervall für den Anteil der Personen, die mit der Landespolitik zufrieden sind. P b) Welchen Stichprobenumfang würden Sie in der Vorbereitungsphase der Erhebung empfehlen, wenn noch keine Informationen über den Stichprobenanteil vorliegen und die Forderung gestellt ist, dass das Konfidenzintervall höchstens die Länge 0,1 bei einem Konfidenzniveau von 0,9 haben soll? P c) Welchen Stichprobenumfang empfehlen Sie, wenn Sie die von den Studenten bereits durchgeführte Erhebung als Vorabinformation nutzen? d) Sie verfügen über keine Vorabinformationen für den zu schätzenden Anteil. Wie groß kann die Länge des Konfidenzintervalls bei einem Konfidenzniveau von 0,99 und einem Stichprobenumfang von n = höchstens werden? 3. Im Auftrag eines Einzelhandelsunternehmens soll für die durchschnittliche Abfüllmenge einer Flaschenabfüllanlage, mit der 750 ml Weinflaschen gefüllt werden, ein 99%- Konfidenzintervall bestimmt werden. Die Abfüllmenge X wird dabei als normalverteilt mit einer Standardabweichung von 10 ml angesehen. Es werden zehn auf dieser Anlage abgefüllte Flaschen zufällig ausgewählt und die Füllmenge kontrolliert. Die Stichprobe lieferte die folgenden Werte (Angaben in ml): a) Schätzen Sie die zu erwartende mittlere Füllmenge. P b) Berechnen und interpretieren Sie das (zweiseitige) 99%-Konfidenzintervall für die mittlere Füllmenge. P c) Wie groß muss der Stichprobenumfang mindestens sein, damit die Länge des 0,99- Konfidenzintervalls höchstens 1 ml beträgt? d) Angenommen man möchte mit nur 40 Messungen erreichen, dass das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1 höchstens 1 ml breit ist. Welches Konfidenzniveau würde sich daraus ergeben? Würden Sie sich für dieses Konfidenzniveau bei einer statistischen Untersuchung entscheiden? Begründen Sie! e) Was ändert sich in Aufgabenteil b), wenn die Standardabweichung, mit der die Maschine arbeitet, nicht bekannt ist? Statistik Übungen Blatt 3 2 WS 2015

3 4. Zur Beschreibung der wirtschaftlichen und sozialen Lage von BWL-Studierenden einer Universität wurden 201 Studenten zufällig ausgewählt und befragt. Die befragten Studenten gaben ihre zeitliche Gesamtbelastung durch Studium und Erwerbstätigkeit während der Vorlesungszeit mit durchschnittlich 42,8 Stunden pro Woche an; die Standardabweichung der erhobenen Daten betrug dabei 11,35 Stunden. a) Bestimmen Sie das zweiseitige 95 %-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Gesamtbelastung µ der BWL-Studierenden! b) Bestimmen Sie das nach unten begrenzte 95 %-Konfidenzintervall für µ. c) Bestimmen Sie das nach oben begrenzte 90 %-Konfidenzintervall für µ. P d) Zu welchem Konfidenzniveau gehört das mit 40 Stunden nach unten begrenzte Intervall für µ? 5. Man hat aus zweihundert Messungen von Mobilfunkstrahlung, die zu verschiedenen Zeiten an einer sehr belebten Stelle durchgeführt wurden, einen Mittelwert von 0, 93mW/m 2 und eine Stichprobenstandardabweichung von 0,22 errechnet. a) Ermitteln Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer zu Grunde gelegten Normalverteilung zum Niveau 95 Prozent! P b) Bestimmen Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für die Standardabweichung, welches eine Tre sicherheit von 90 Prozent aufweist! 6. Eine Zufallsgröße unterliege einer Normalverteilung N (µ; 6). Eine Stichprobe vom Umfang n = 49 ergab den Mittelwert 56,9. a) Testen Sie zum Niveau =0, 1 die Nullhypothese H 0 : µ =55gegenH 1 : µ = 55 b) Innerhalb welcher Grenzen muss der beobachtete Mittelwert liegen, damit die Nullhypothese akzeptiert wird? 7. Eine Zufallsgröße X sei N(µ; 3)-verteilt. a) Testen Sie zum Niveau =0, 01 die Hypothese H 0 : µ Æ 5 aufgrund einer Stichprobe vom Umfang n = 400, die einen Mittelwert von 5,19 ergab. b) Wie ist zu den Niveaus =0, 4 (bzw. =0, 00001) zu entscheiden? c) Zu welchem Signifikanzniveau gehört der realisierte Mittelwert von 5,19, d. h. für welches ist dieser die Grenze des kritischen Bereiches für den Mittelwert? d) Der wahre Erwartungswert µ wahr sei nun 5,2, die Nullhypothese ist also o ensichtlich falsch. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dann die H 0 abgelehnt, d. h. erkennt der Test die H 0 als falsch? Statistik Übungen Blatt 3 3 WS 2015

4 8. Die Dauer von Internetsessions (in Minuten) wird nun als normalverteilte Zufallsgröße mit einer Standardabweichung von 0 = 20 betrachtet. Bei 80 Sessions wurde eine mittlere Dauer von 62,3 Minuten ermittelt. a) Lässt sich damit eine der beiden Behauptungen signifikant (Niveau = 0, 05) bestätigen? i. Die Mittlere Dauer von Internetsessions beträgt über 60 Minuten, ii. Die Mittlere Dauer von Internetsessions beträgt unter 60 Minuten b) Ist die eine oder andere dieser Behauptungen aufgrund der vorliegenden Daten zu akzeptieren? 9. Ein Test zur Messung der sozialen Anpassungsfähigkeit von Schulkindern ist genormt auf Mittelwert µ = 50 und Varianz 2 0 = 36. Ein Soziologe glaubt, eine Möglichkeit zur Organisation des Unterrichts gefunden zu haben, die den Umgang der Schüler miteinander u. a. durch vermehrte Teamarbeit fördert und damit die soziale Anpassungsfähigkeit erhöht. Aus der Grundgesamtheit aller Schülerinnen und Schüler werden 60 zufällig ausgewählt und entsprechend dieses neuen Konzepts unterrichtet. Nach Ablauf eines zuvor festgelegten Zeitraums wird bei diesen Kindern ein mittlerer Testwert für die soziale Anpassungsfähigkeit von 52 beobachtet. a) Lässt sich damit die Beobachtung des Soziologen stützen? D.h. entscheiden Sie über die Behauptung des Soziologen anhand eines geeigneten statistischen Tests zum Niveau = 0, 05. Formulieren Sie zunächst die Fragestellung als statistisches Testproblem. P b) Was ändert sich in a), wenn i. der Stichprobenumfang n = 20, ii. der beobachtete Mittelwert x = 51, iii. die Standardabweichung = 10 beträgt? 10. Man hat aus zweihundert Messungen von Mobilfunkstrahlung, die zu verschiedenen Zeiten an einer sehr belebten Stelle durchgeführt wurden, einem Mittelwert von 0,95 mw/m 2 und eine Stichprobenstandardabweichung von 0,25 mw/m 2 errechnet. P a) Lässt sich auf Grund der gemessenen Zahlen von einer der angegebenen Gegenhypothesen schon ohne genaue Rechnung sagen, dass sie nicht signifikant sein kann? i. H 1 : µ = 0, 9 ii. H 1 : µ<1 iii. H 1 : µ<0, 9 b) Wie sind aus Sicht eines besorgten Bürgers Null- und Gegenhypothese zu wählen, wenn er nachweisen möchte, dass ein Grenzwert von 1,0 mw/m 2 eingehalten wird? c) Nun wird Normalverteilung unterstellt. Zu welchem Ergebnis führt dann ein Test der H 0 : µ Æ 0, 9 zu den beiden Testniveaus =0, 1 und =0, 01? Statistik Übungen Blatt 3 4 WS 2015

5 11. Eine Verbraucherzentrale möchte überprüfen, ob ein bestimmtes Medikament Übelkeit bei den Konsumenten auslöst. In einer Studie mit zehn Personen wird bei sieben Personen nach dem Genuss dieses Medikaments eine auftretende Übelkeit registriert. a) Überprüfen Sie zum Signifikanzniveau =0, 05 die statistische Nullhypothese, dass der Anteil der Personen mit Übelkeitssymptomen nach dem Genuss dieses Produkts in der Grundgesamtheit höchstens 50 % beträgt. Geben Sie zunächst das zugehörige statistische Testproblem an. P b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die ungerechtfertigte Akzeptanz (Beibehalten) der H 0, d. h. die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn der tatsächliche Anteil siebzig Prozent beträgt? 12. Bestimmen Sie den kritischen Bereich für die Anzahl der Fünfer bei 12 Würfen für folgende Behauptungen über den Anteilswert (der Fünfer): H 0 : p Æ 1, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem fairen Würfel in diesen kritischen Bereich zu kommen, höchstens 12 6 % betragen darf. Hinweis: Test für den Anteilswert zum Niveau =0, 12. P 13. Der Gourmethändler Exquisit möchte sichergehen, keine Trü elkarto el zu kaufen, bei denen der Ausschussanteil über 10 % liegt und er möchte mittels Binomialtest an Hand von 40 zufällig ausgewählten Karto eln seine Entscheidung über Kaufen oder Nicht kaufen tre en. Da er aber weiß, dass in der Statistik nichts sicher ist, gibt er sich mit einer Sicherheit von 90 Prozent zufrieden. a) Wie muss er bei Anwendung des Tests dazu Null- und Gegenhypothese wählen? b) Bis zu welcher Anzahl schlechter Karto el ist er bereit, zu kaufen? c) In der Stichprobe waren zwei schlechte Karto el. Wird der Händler kaufen? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Verkäufer, dessen Schlechtanteil seiner Karto el 15 % beträgt, diese dennoch an Exquisit verkaufen können? 14. Physiologen gehen davon aus, dass weniger als ein Fünftel aller Menschen Linkshänder sind. a) Wie ist vorzugehen, wenn man, unter Verwendung einer einfachen Stichprobe vom Umfang n = 300 nachweisen möchte, dass die Vermutung der Physiologen zutri t? Welcher Test ist durchzuführen? Wie sind Null- und Gegenhypothese zu formulieren? P b) Prüfen Sie auf einem Signifikanzniveau von 0,05 mit Hilfe eines geeigneten Verfahrens die unter a) formulierte Hypothese. Legen Sie dabei den folgenden Stichprobenbefund zugrunde: Von den 300 zufällig und unabhängig voneinander ausgewählten Personen waren 76 Personen Linkshänder. Welches Verfahren ist zur Überprüfung geeignet? An welche Bedingungen ist eine sinnvolle Anwendung des Prüfverfahrens gebunden? Zu welcher Entscheidung gelangen Sie? Warum? Deuten Sie Ihre Entscheidung sachlogisch. c) Bis zu welcher Anzahl von Personen in der Stichprobe, die angeben, Linkshänder zu sein, kann der Nachweis als erbracht gelten? Statistik Übungen Blatt 3 5 WS 2015

6 15. Eine Serie von 72 Würfen mit einem (fairen?) Würfel ergab die Augenzahlen 1 bis 6 mit den angegebenen Häufigkeiten: a) Formulieren Sie in Form einer Verteilung die Nullhypothese für: Der Würfel ist fair. b) Berechnen Sie die Testgröße für den 2 -Test aus den beobachteten Häufigkeiten. c) Geben Sie den Kritischen Bereich für die Testgröße zu den Testniveaus =0, 1 und =0, 01 an und tre en Sie die Entscheidung über die Fairness des Würfels! 16. Man prüfe, ob die Zufallsgröße X = Anzahl der täglichen Übertragungsfehler in einem firmeninternen Kommunikationsnetz einer Poissonverteilung mit Erwartungswert 2 unterliegen kann! (D. h. man erwartet im Durchschnitt zwei Fehler pro Tag.) An den 254 Arbeitstagen des Jahres 2014 wurden dabei folgende Anzahlen von Fehlern festgestellt: Fehleranzahl x vier oder mehr Tage mit x Fehlern a) Welcher Test ist durchzuführen? Formulieren Sie Null und Gegenhypothese. b) Testen Sie zum Niveau =0, 1 und interpretieren Sie Ihr Ergebnis genau! 17. Bei der Klausur Statistik 1 werden von zwei Lehrenden immer je eine Gruppe von Aufgaben gegeben. Die Ergebnisse eines Prüfungstermins bilden die vorliegende Stichprobe: Note Gruppe A Gruppe B Lässt sich daraus auf unterschiedliche Beurteilung durch die beiden Lehrenden schließen? Führen Sie einen Unabhängigkeitstest zu den Niveaus 0,1 und 0,01 durch! P 18. Prüfen Sie, ob die Zufallsgröße, (Anzahl von Lackfehlern pro Flächeneinheit) die den folgenden Daten zu Grunde liegt, einer Poissonverteilung unterliegen kann: Fehleranzahl x mehr als 5 Häufigkeit des Auftretens Schätzen Sie dazu vorerst den Erwartungswert - hier zugleich der Parameter - der Verteilung und führen Sie den modifizierten Chiquadrat-Anpassungstest durch! Testniveau =0, 1. Fassen Sie, wenn das nötig ist, Klassen zusammen! Statistik Übungen Blatt 3 6 WS 2015

7 19. An einem viel befahrenen Straßenstück wurde die Lärmbelastung an 20 Tagen gemessen und man erhielt folgende Daten: Nun wurden an derselben Stelle auch nach Montage einer Lärmschutzeinrichtung an 12 Tagen Messungen durchgeführt: Rechnen Sie unter Annahme normalverteilter Werte und Varianzhomogenität! a) Lässt sich aus diesen Daten mit einer Signifikanz von 10 (bzw. 1) Prozent, d. h. zum Testniveau =0, 1 (bzw. =0, 01) zeigen, dass die Lärmbelastung nun geringer ist? b) Lässt sich zeigen, dass die Maßnahme die Belastung um mehr als 2 db verringern konnte? 20. In fünf bzw. sieben Gemeinden im Burgenland bzw. in der Steiermark wurden die Pro- Kopf-Ausgaben der Gemeinde für Straßenreinigung/Streudienst ermittelt. Folgende Datenzeilen liegen vor: (Angaben in Ä) Burgenland (X) Steiermark (Y) Es soll getestet werden, ob, und wenn ja, welcher Unterschied in den Erwartungswerten der zugrundeliegenden Normalverteilungen vorliegt. a) Ist die Voraussetzung für den t-test gegeben? D. h.: Kann man Gleichheit der Varianzen akzeptieren? P b) Lässt sich die Behauptung Der Erwartungswert von X ist kleiner signifikant nachweisen? P c) Lässt sich die Behauptung: Im Burgenland sind diese Ausgaben um mehr als 20 Ä geringer als in der Steiermark signifikant nachweisen? d) Lässt sich die Behauptung: Im Burgenland sind diese Ausgaben um mehr als 40 Ä geringer als in der Steiermark signifikant nachweisen? Beachten Sie immer die Wahl von H 0 und H 1 und testen Sie unter Annahme normalverteilter Grundgesamtheiten zum Niveau = 0, 1. Statistik Übungen Blatt 3 7 WS 2015

8 21. Nun wurden - anstelle der 5 burgenländischen - 5 Vorarlberger Gemeindedaten zum selben Problem erhoben und mit den steirischen Daten verglichen. Vorarlberg (X) Steiermark (Y) a) Ist nun die Voraussetzung für den t-test gegeben? P b) Lässt sich mit einem geeigneten Test die Behauptung Die Ausgaben sind in den beiden Ländern unterschiedlich signifikant nachweisen? P Beachten Sie immer die Wahl von H 0 und H 1 und testen Sie unter Annahme normalverteilter Grundgesamtheiten zum Niveau = 0, In den Trinkwassersystemen zweier Städte (A) und (B) wurde der Nitratgehalt an 50 Tagen (A) bzw. an 60 Tagen (B) gemessen. A hatte im Durchschnitt 46 mg/liter, bei einer Stichprobenstandardabweichung von 12 mg B hatte im Durchschnitt 56 mg /l, Stichprobenstandardabweichung 16. a) Kann aus den Daten geschlossen werden, dass i. in A der Grenzwert von 50 mg/l mit einer Sicherheit von 90 % eingehalten wird? P ii. in B der Grenzwert von 50 mg/l signifikant ( = 0, 1) überschritten wird? P b) Lässt sich mit 90%iger Sicherheit schließen, dass B einen signifikant höheren Nitratgehalt aufweist als A? Formulieren Sie immer genau die Null- und Alternativhypothese! Setzen Sie Normalverteilung und, falls nötig, Varianzhomogenität voraus! 23. Innerhalb einer Woche wurden im LKH Feldbach sechs männliche Kinder geboren, deren Gewicht bei der Geburt und genau 12 Tage danach gemessen wurde: Geburtsgeweicht Gewicht nach 12 Tagen a) Lässt sich mit einer Sicherheit von 90 % und unter Annahme normalverteilter Grundgesamtheiten zeigen, dass innerhalb der ersten zwölf Lebenstage eine Gewichtszunahme vorliegt? b) Kann man zeigen, dass die Säuglinge nach zwölf Tagen um mindestens 20 g schwerer sind als bei der Geburt? 24. In Deutschland wird das Abitur zentral gestellt und mit Punkten von 0 bis 15 bewertet. Sieben Abiturienten erreichten in den Fächern Deutsch und Mathematik die folgenden Punktezahlen: Deutsch Mathematik Lässt sich mit diesen Daten folgende Behauptung bestätigen : Eine hohe Punktezahl in Deutsch entspricht auch einer hohen Punktezahl in Mathematik? Testen Sie parametrisch zum Testniveau =0, 05! Statistik Übungen Blatt 3 8 WS 2015

9 Hinweis: Benützen Sie für die nächsten Aufgaben, obwohl nicht immer korrekt, die Methode, die erst bei größeren Probenumfängen angewandt werden sollte! Somit ist die Benützung der Tabelle zur Normalverteilung möglich! 25. Da viele Parkflächen für Autos privatisiert werden sollen, muss der Geschäftsführer der Parkfrei GmbH, die bisher die Parkplätze auf Falschparker kontrolliert hat, einen der beiden Parkwächter A oder B entlassen. Keinesfalls darf jener Parkwächter entlassen werden, der mehr Falschparker abstraft. Er möchte zeigen, dass B entlassen werden soll. Dazu analysiert der Geschäftsführer die Anzahl der von A bzw. B verteilten Parkstrafen in einer bestimmten Parkzone an jeweils 10 verschiedenen Tagen des vergangenen Jahres. Die Stichprobe liefert untenstehendes Resultat. l A: B: a) Welcher Test ist anzuwenden? Begründen Sie ausführlich! b) Formulieren Sie Null- und Alternativhypothese des Geschäftsführers! c) Führen Sie einen geeigneten Test zum Niveau =0, 05 durch! d) Wie lautet die Testentscheidung? Interpretieren Sie das Resultat! e) Lässt sich die Behauptung: B findet um mehr als 3 Falschparker weniger als A signifikant nachweisen? 26. Im Rahmen der Weiterentwicklung von elektronischen ABS-Systemen wurde die Geschwindigkeit von PKWs sowohl an den Vorderreifen als auch an den Hinterreifen derselben acht PKWs gemessen: Fahrzeugnummer Messwert hinten Messwert vorne a) Testen Sie zum Niveau =0, 1, ohne Annahme von Normalverteilungen, die Nullhypothese Die beiden Messungen liefern dieselben Ergebnisse. b) Ist die am Hinterreifen gemessene Geschwindigkeit signifikant niedriger? ( = 0, 1) Statistik Übungen Blatt 3 9 WS 2015

10 27. In Deutschland wird das Abitur zentral gestellt und mit Punkten von 0 bis 15 bewertet. Sieben Abiturienten erreichten in den Fächern Deutsch und Mathematik die folgenden Punktezahlen: Deutsch Mathematik Lässt sich mit diesen Daten folgende Behauptung bestätigen : Eine hohe Punktezahl in Deutsch entspricht auch einer hohen Punktezahl in Mathematik? Testen Sie unter Verwendung der Rangkorrelation zum Testniveau = 0, 05! Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach Aufruf durch den/die Lehrveranstaltungsleiter/in an der Tafel zu präsentieren! Statistik Übungen Blatt 3 10 WS 2015