Statistik Übungen SS 2017

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1 Statistik Übungen SS 2017 Blatt 3: Schließende Statistik 1. Für die Durchführung eines Entwicklungshilfeprojekts soll in einem Entwicklungsland zunächst der Anteil der Personen ermittelt werden, die unter dem Existenzminimum leben. In einer Pilotstudie mit n = 50 Personen wurden 30 als arm (d. h. als unter dem Existenzminimum lebend) eingestuft. a) Schätzen Sie aus obigen Angaben den Anteil der Armen in diesem Land. b) Berechnen Sie ein näherungsweises (zweiseitiges) 90-%-Konfidenzintervall für den Anteil der armen Bevölkerung in diesem Entwicklungsland. c) Berechnen Sie ein (zweiseitiges) 95-%-Konfidenzintervall für den Anteil der Armen, und vergleichen Sie es mit dem in b) berechneten. d) In einer weiteren Zufallsstichprobe werden n = 200 Personen befragt. Bei dieser größeren Stichprobe wurden 120 Personen als unter dem Existenzminimum lebend eingestuft. Geben Sie ebenfalls ein (zweiseitiges) 95-%-Konfidenzintervall an, und vergleichen Sie es mit dem in c) berechneten. Womit lässt sich der Unterschied erklären? e) Bestimmen Sie den notwendigen Stichprobenumfang, damit der geschätzte Anteil der Armen in der Bevölkerung mit 90 % Sicherheitswahrscheinlichkeit um weniger als 5 Prozentpunkte vom wahren Wert abweicht, wenn Sie über keine Vorabinformationen für den zu schätzenden Anteil verfügen. 2. P In einem Seminar soll im Rahmen eines Projektes eine Studie über das Wahlverhalten der Steirer erarbeitet werden. 350 zufällig ausgewählte Steirer wurden unter anderem danach befragt, ob sie mit den landespolitischen Entscheidungen der Landesregierung zufrieden seien. 84 Befragte beantworteten diese Frage mit einem: Ja. a) Berechnen Sie zu einem Konfidenzniveau von 0,90 ein Schätzintervall für den Anteil der Personen, die mit der Landespolitik zufrieden sind. b) Wie groß kann die Länge des Konfidenzintervalls bei einem Konfidenzniveau von 0,99 und einem Stichprobenumfang von n = 550 höchstens werden, wenn noch keine Informationen über den Stichprobenanteil vorliegen? c) Welchen Stichprobenumfang würden Sie in der Vorbereitungsphase der Erhebung empfehlen, wenn noch keine Informationen über den Stichprobenanteil vorliegen und die Forderung gestellt ist, dass das Konfidenzintervall höchstens die Länge 0,08 bei einem Konfidenzniveau von 0,99 haben soll? d) Welchen Mindeststichprobenumfang empfehlen Sie, wenn Sie die von den Studenten bereits durchgeführte Erhebung als Vorabinformation nutzen? Statistik Übungen Blatt 3 1 SS 2017

2 3. P Im Auftrag eines Einzelhandelsunternehmens soll für die durchschnittliche Abfüllmenge einer Flaschenabfüllanlage, mit der 750 ml Weinflaschen gefüllt werden, Konfidenzintervalle bestimmt werden. Die Abfüllmenge X wird dabei als normalverteilt mit einer Standardabweichung von 10 ml angesehen. Es werden zehn auf dieser Anlage abgefüllte Flaschen zufällig ausgewählt und die Füllmenge kontrolliert. Die Stichprobe lieferte die folgenden Werte (Angaben in ml): a) Schätzen Sie die zu erwartende mittlere Füllmenge. b) Berechnen und interpretieren Sie das (zweiseitige) 90-%-Konfidenzintervall für die mittlere Füllmenge. c) Wie groß muss der Stichprobenumfang mindestens sein, damit die Länge des 0,9- Konfidenzintervalls höchstens 2 ml beträgt? d) Angenommen man möchte mit nur 80 Messungen erreichen, dass das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1 α höchstens 2 ml breit ist. Welches Konfidenzniveau würde sich daraus ergeben? Würden Sie sich für dieses Konfidenzniveau bei einer statistischen Untersuchung entscheiden? Begründen Sie! e) Was ändert sich in Aufgabenteil b), wenn die Standardabweichung, mit der die Maschine arbeitet, nicht bekannt ist? 4. Zur Beschreibung der wirtschaftlichen und sozialen Lage von BWL-Studierenden einer Universität wurden 201 Studenten zufällig ausgewählt und befragt. Die befragten Studenten gaben ihre zeitliche Gesamtbelastung durch Studium und Erwerbstätigkeit während der Vorlesungszeit mit durchschnittlich 42,8 Stunden pro Woche an; die Standardabweichung der erhobenen Daten betrug dabei 11,35 Stunden. Die zeitliche Belastung wird als normalverteilt angenommen. a) Bestimmen Sie das zweiseitige 95-%-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Gesamtbelastung µ der BWL-Studierenden! b) Bestimmen Sie das nach unten begrenzte 95-%-Konfidenzintervall für µ. c) Bestimmen Sie das nach oben begrenzte 90-%-Konfidenzintervall für µ. d) Zu welchem Konfidenzniveau gehört das mit 40 Stunden und 43 Minuten nach unten begrenzte Intervall für µ? 5. Man hat aus 201 Messungen von Mobilfunkstrahlung, die zu verschiedenen Zeiten an einer sehr belebten Stelle durchgeführt wurden, einen Mittelwert von 0,93 mw/m 2 und eine Stichprobenstandardabweichung von 0,22 errechnet. a) Ermitteln Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer zu Grunde gelegten Normalverteilung zum Niveau 90 Prozent! b) Bestimmen Sie ein zweiseitiges Konfidenzintervall für die Standardabweichung, welches eine Treffsicherheit von 90 Prozent aufweist! Statistik Übungen Blatt 3 2 SS 2017

3 6. Um ein Steak medium zu braten, braucht es drei bis vier Minuten. Die Bratdauer sei eine Zufallsgröße und unterliege einer Normalverteilung N (µ; 15) in Sekunden. Eine Stichprobe vom Umfang n = 25 ergab den Mittelwert 214,8 Sekunden. a) Testen Sie zum Niveau α = 0, 1 die Nullhypothese H 0 : µ = 210 gegen H 1 : µ 210 b) Innerhalb welcher Grenzen muss der beobachtete Mittelwert liegen, damit die Nullhypothese akzeptiert wird? 7. Die Schrittlänge bei der Hosenproduktion sei in Zentimeter N(µ; 0, 2)-verteilt. a) Testen Sie zum Niveau α = 0, 01 die Hypothese H 0 : µ 85 cm aufgrund einer Stichprobe vom Umfang n = 49, die einen Mittelwert von 85,06 cm ergab. b) Wie ist zu den Niveaus α = 0, 4 (bzw. α = 0, 0001) zu entscheiden? c) Zu welchem Signifikanzniveau gehört der realisierte Mittelwert von 85,06, d. h. für welches α ist dieser die Grenze des kritischen Bereiches für den Mittelwert? d) Der wahre Erwartungswert µ wahr sei nun 85,1, die Nullhypothese ist also offensichtlich falsch. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dann die H 0 abgelehnt, d. h. erkennt der Test die H 0 als falsch? 8. P Die Dauer von Internetsessions (in Minuten) wird als normalverteilte Zufallsgröße mit einer Standardabweichung von σ 0 = 25 betrachtet. Bei 280 Sessions wurde eine mittlere Dauer von 134,2 Minuten ermittelt. a) Lässt sich damit eine der beiden Behauptungen signifikant (Niveau α = 0, 01) bestätigen? i. Die Mittlere Dauer von Internetsessions beträgt über 130 Minuten. ii. Die Mittlere Dauer von Internetsessions beträgt unter 130 Minuten. b) Ist die eine oder andere dieser Behauptungen aufgrund der vorliegenden Daten zu akzeptieren? 9. P Man hat aus vierhundert Messungen von Mobilfunkstrahlung, die zu verschiedenen Zeiten an einer sehr belebten Stelle durchgeführt wurden, einem Mittelwert von 0,94 mw/m 2 und eine Stichprobenstandardabweichung von 0,25 mw/m 2 errechnet. a) Lässt sich auf Grund der gemessenen Zahlen von einer der angegebenen Gegenhypothesen schon ohne genaue Rechnung sagen, dass sie nicht signifikant sein kann? i. H 1 : µ 0, 92 ii. H 1 : µ > 0, 93 iii. H 1 : µ > 0, 95 b) Wie sind aus Sicht eines besorgten Bürgers Null- und Gegenhypothese zu wählen, wenn er nachweisen möchte, dass ein Grenzwert von 1,0 mw/m 2 eingehalten wird? c) Nun wird Normalverteilung unterstellt. Zu welchem Ergebnis führt dann ein Test der H 0 : µ 0, 92 zu den beiden Testniveaus α = 0, 1 und α = 0, 01? Statistik Übungen Blatt 3 3 SS 2017

4 10. Eine Verbraucherzentrale möchte überprüfen, ob ein bestimmtes Medikament Übelkeit bei den Konsumenten auslöst. In einer Studie mit zehn Personen wird bei sieben Personen nach dem Genuss dieses Medikaments eine auftretende Übelkeit registriert. a) Überprüfen Sie zum Signifikanzniveau α = 0, 05 die statistische Nullhypothese, dass der Anteil der Personen mit Übelkeitssymptomen nach dem Genuss dieses Produkts in der Grundgesamtheit höchstens 50 % beträgt. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die ungerechtfertigte Akzeptanz (Beibehalten) der H 0, d. h. die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn der tatsächliche Anteil siebzig Prozent beträgt? 11. P Bestimmen Sie den kritischen Bereich für die Anzahl der Sechser bei 18 Würfen für folgende Behauptung über den Anteilswert (der Sechser): H 0 : p = 1, wenn die 6 Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem fairen Würfel in diesen kritischen Bereich zu kommen, höchstens 10 % (5 %) betragen darf. 12. Der Gourmethändler Exquisit möchte sichergehen, keine Trüffelkartoffel zu kaufen, bei denen der Ausschussanteil über 10 % liegt und er möchte mittels Binomialtest an Hand von 40 zufällig ausgewählten Kartoffeln seine Entscheidung über Kaufen oder Nicht kaufen treffen. Da er aber weiß, dass in der Statistik nichts sicher ist, gibt er sich mit einer Sicherheit von 90 Prozent zufrieden. a) Wie muss er bei Anwendung des Tests dazu Null- und Gegenhypothese wählen? b) Bis zu welcher Anzahl schlechter Kartoffel ist er bereit, zu kaufen? c) In der Stichprobe waren zwei schlechte Kartoffel. Wird der Händler kaufen? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Verkäufer, dessen Schlechtanteil seiner Kartoffel 15 % beträgt, diese dennoch an Exquisit verkaufen können? e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Verkäufer, dessen Schlechtanteil seiner Kartoffel 8 % beträgt, diese dennoch an Exquisit nicht verkaufen können? f) Bis zu welcher Anzahl schlechter Kartoffel ist er bereit, zu kaufen, wenn er seine Entscheidung aufgrund einer Stichprobe von 400 (oder auch 4.000) Kartoffeln trifft? 13. P Eine Serie von 78 Würfen mit einem (fairen?) Würfel ergab die Augenzahlen 1 bis 6 mit den angegebenen Häufigkeiten: a) Formulieren Sie in Form einer Verteilung die Nullhypothese für: Der Würfel ist fair. b) Berechnen Sie die Testgröße für den χ 2 -Test aus den beobachteten Häufigkeiten. c) Geben Sie den Kritischen Bereich für die Testgröße zu den Testniveaus α = 0, 1 und α = 0, 01 an und treffen Sie die Entscheidung über die Fairness des Würfels! Statistik Übungen Blatt 3 4 SS 2017

5 14. Man prüfe, ob die Zufallsgröße X = Anzahl der täglichen Übertragungsfehler in einem firmeninternen Kommunikationsnetz einer Poissonverteilung mit Erwartungswert 2 unterliegen kann! (D. h. man erwartet im Durchschnitt zwei Fehler pro Tag.) An den 254 Arbeitstagen des Jahres 2014 wurden dabei folgende Anzahlen von Fehlern festgestellt: Fehleranzahl x vier oder mehr Tage mit x Fehlern a) Welcher Test ist durchzuführen? Formulieren Sie Null und Gegenhypothese. b) Testen Sie zum Niveau α = 0, 1 und interpretieren Sie Ihr Ergebnis genau! 15. P Bei einer Klausur werden drei verschiedene Gruppen von Aufgaben gegeben. Die Ergebnisse eines Prüfungstermins bilden die vorliegende Stichprobe: Note Gruppe A Gruppe B Gruppe C Lässt sich daraus auf einen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrad der Gruppen schließen? Führen Sie einen Unabhängigkeitstest zum Niveau 0,1 durch! 16. Prüfen Sie, ob die Zufallsgröße, (Anzahl von Lackfehlern pro Flächeneinheit) die den folgenden Daten zu Grunde liegt, einer Poissonverteilung unterliegen kann: Fehleranzahl x mehr als 5 Häufigkeit des Auftretens Schätzen Sie dazu vorerst den Erwartungswert hier zugleich der Parameter der Verteilung und führen Sie den modifizierten Chiquadrat-Anpassungstest durch! Testniveau α = 0, 1. Fassen Sie, wenn das nötig ist, Klassen zusammen! 17. An einem viel befahrenen Straßenstück wurde die Lärmbelastung an 20 Tagen gemessen und man erhielt folgende Daten: Nun wurden an derselben Stelle auch nach Montage einer Lärmschutzeinrichtung an 12 Tagen Messungen durchgeführt: Rechnen Sie unter Annahme normalverteilter Werte und Varianzhomogenität! a) Lässt sich aus diesen Daten mit einer Signifikanz von 5 Prozent, d. h. zum Testniveau α = 0, 05 zeigen, dass die Lärmbelastung nun geringer ist? b) Lässt sich zeigen, dass die Maßnahme die Belastung um mehr als 2 db verringern konnte? Statistik Übungen Blatt 3 5 SS 2017

6 18. P In sechs bzw. sieben Gemeinden im Burgenland bzw. in der Steiermark wurden die Pro-Kopf-Ausgaben der Gemeinde für Straßenreinigung/Streudienst ermittelt. Folgende Datenzeilen liegen vor: (Angaben in ) Burgenland (X) Steiermark (Y) Es soll getestet werden, ob, und wenn ja, welcher Unterschied in den Erwartungswerten der zugrundeliegenden Normalverteilungen vorliegt. a) Ist die Voraussetzung für den t-test gegeben? D. h.: Kann man Gleichheit der Varianzen akzeptieren? b) Lässt sich die Behauptung Der Erwartungswert von X ist kleiner signifikant nachweisen? c) Lässt sich die Behauptung: Im Burgenland sind diese Ausgaben um mehr als 20 geringer als in der Steiermark signifikant nachweisen? Beachten Sie immer die Wahl von H 0 und H 1 und testen Sie unter Annahme normalverteilter Grundgesamtheiten zum Niveau α = 0, P Nun wurden anstelle der fünf burgenländischen sechs Vorarlberger Gemeindedaten zum selben Problem erhoben und mit den steirischen Daten verglichen. Vorarlberg (X) Steiermark (Y) a) Ist nun die Voraussetzung für den t-test gegeben? b) Lässt sich mit einem geeigneten Test die Behauptung Die Ausgaben sind in den beiden Ländern unterschiedlich signifikant nachweisen? Beachten Sie immer die Wahl von H 0 und H 1 und testen Sie unter Annahme normalverteilter Grundgesamtheiten zum Niveau α = 0, P In den Trinkwassersystemen zweier Städte (A) und (B) wurde der Nitratgehalt an 50 Tagen (A) bzw. an 80 Tagen (B) gemessen. A hatte im Durchschnitt 53,1 mg/liter, bei einer Stichprobenstandardabweichung von 14,6 mg/l. B hatte im Durchschnitt 45,4 mg/l, Stichprobenstandardabweichung 15,2 mg/l. a) Kann aus den Daten geschlossen werden, dass i. in A der Grenzwert von 50 mg/l signifikant (α = 0, 05) überschritten wird? ii. in B der Grenzwert von 50 mg/l mit einer Sicherheit von 99 % eingehalten wird? Bestimmen Sie jeweils den geeigneten Test. Formulieren Sie immer genau die Nullund die Alternativhypothese! Setzen Sie Normalverteilung voraus! Führen Sie die Tests durch! b) Lässt sich mit 90-%-iger Sicherheit schließen, dass B einen signifikant niedrigeren Nitratgehalt aufweist als A? Welcher Test ist unter welchen Voraussetzungen durchzuführen? Begründen Sie ausführlich. Formulieren Sie die Null- und die Alternativhypothese. (Hinweis: Die genaue Durchführung des Tests ist nicht nötig.) Statistik Übungen Blatt 3 6 SS 2017

7 21. Innerhalb einer Woche wurden im LKH Feldbach sechs männliche Kinder geboren, deren Gewicht bei der Geburt und genau 12 Tage danach gemessen wurde: Geburtsgeweicht Gewicht nach 12 Tagen a) Lässt sich mit einer Sicherheit von 90 % und unter Annahme normalverteilter Grundgesamtheiten zeigen, dass innerhalb der ersten zwölf Lebenstage eine Gewichtszunahme vorliegt? b) Kann man zeigen, dass die Säuglinge nach zwölf Tagen um mindestens 20 g schwerer sind als bei der Geburt? 22. In Deutschland wird das Abitur zentral gestellt und mit Punkten von 0 bis 15 bewertet. Acht Abiturienten erreichten in den Fächern Deutsch und Mathematik die folgenden Punktezahlen (Vgl. Blatt 1 Bsp 13): Deutsch Mathematik Lässt sich mit diesen Daten folgende Behauptung bestätigen : Eine hohe Punktezahl in Deutsch entspricht auch einer hohen Punktezahl in Mathematik? Testen Sie parametrisch zum Testniveau α = 0, 05! Hinweis: Benützen Sie für die nächsten Aufgaben, obwohl nicht immer korrekt, die Methode, die erst bei größeren Probenumfängen angewandt werden sollte! Somit ist die Benützung der Tabelle zur Normalverteilung möglich! 23. Aufgrund einer Fusion und des daraus resultierenden Rationalisierungsdrucks muss sich der Geschäftsführer der Parkfrei GmbH, die die Parkplätze auf Falschparker kontrolliert, von einem der beiden Parkwächter A oder B trennen. Er überlegt jenem Parkwächter zu kündigen, der weniger Falschparker abstraft. Keinesfalls möchte er aber einem Parkwächter aufgrund dieses Entscheidungskriteriums kündigen, wenn ein möglicher Unterschied in den Zahlen nur zufällig entstanden ist. Für diesen Fall möchte er sich ein anderes Entscheidungskriterium überlegen. Der Geschäftsführer analysiert die Anzahl der von A bzw. B verteilten Parkstrafen in einer bestimmten Parkzone an jeweils 10 verschiedenen Tagen des vergangenen Jahres. Die Stichprobe liefert untenstehendes Resultat. A: B: Der Geschäftsführer überlegt, B zu kündigen, da dieser augenscheinlich weniger Parkstrafen verteilt hat. a) Welcher Test ist anzuwenden? Begründen Sie ausführlich! b) Formulieren Sie Null- und Alternativhypothese des Geschäftsführers! c) Führen Sie einen geeigneten Test zum Niveau α = 0, 05 durch! d) Wie lautet die Testentscheidung? Interpretieren Sie das Resultat! e) Bestimmen Sie den p-value zu der vorliegenden Stichprobe. Statistik Übungen Blatt 3 7 SS 2017

8 24. Im Rahmen der Weiterentwicklung von elektronischen ABS-Systemen wurde die Geschwindigkeit von PKWs sowohl an den Vorderreifen als auch an den Hinterreifen derselben acht PKWs gemessen: Fahrzeugnummer Messwert hinten Messwert vorne a) Testen Sie zum Niveau α = 0, 1, ohne Annahme von Normalverteilungen, die Nullhypothese Die beiden Messungen liefern dieselben Ergebnisse. b) Ist die am Hinterreifen gemessene Geschwindigkeit signifikant niedriger (α = 0, 1)? 25. P In einem Betrieb wurden für sieben Lehrlinge jeweils der Notenschnitt des Abschlusszeugnisses aus der Schule und eine im Betrieb ermittelte Leistungskennzahl miteinander verglichen. Für die Leistungskennzahl wurden dabei Bewertungen zwischen 1 (= sehr schlecht ) und 6 (= ausgezeichnet ) vergeben. (Vgl. Blatt 1 Bsp 15) Lehrling Notenschnitt 1,5 2,7 2,1 1,8 2,5 3,2 1,3 L-Kennzahl Lässt sich mit diesen Daten folgende Behauptung bestätigen : Ein guter Notenschnitt in der Schule geht mit einer hohen Leistungskennzahl im Betrieb einher? Testen Sie unter Verwendung der Rangkorrelation zum Testniveau α = 0, 01! Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach Aufruf durch die Lehrveranstaltungsleiterin oder durch den Lehrveranstaltungsleiter an der Tafel zu präsentieren! Statistik Übungen Blatt 3 8 SS 2017