Hausarbeit Mathematik:

Transkript

1 Hausarbeit Mathematik: von Yang Guo, 9d

2 EINLEITUNG 3 I. THEORIE 4. Definition 4. Berechnung des Goldenen Schnitts 4 3. Kehrbruch und Quadrat des Goldenen Schnitts 4. Konstruktion des Goldenen Schnitts 6 a) A und B sind gegeben 6 b) A und P sind gegeben 7 c) P und B sind gegeben 7 II. DER GOLDENE SCHNITT IN DER MATHEMATIK 8. Die Fibonacci-Zahlen 8. Das Goldene Dreieck 9 3. Das Pentagon und das Pentagramm 0 III. SONSTIGE ANWENDUNGEN DES GOLDENEN SCHNITTS. Architektur a) Die Pyramiden b) Das Parthenon c) Dom von Florenz d) Das Leipziger Rathaus e) Unité d Habitation. Kunst und Musik 3 a) Die Mona Lisa 3 b) Albrecht Dürers und Rembrandts Selbstbildnis 3 c) Seurat: La Parade und Badende 3 d) Die kleine Sexte. 4 e) Béla Bartók: Sonate für zwei Klaviere und Schlagzeug 4 3. Mensch und Natur a) Der Mensch b) Die Sonnenblume c) Eichenblätter SCHLUSS 6 QUELLEN 6

3 Einleitung Der Goldene Schnitt, auch göttliches Verhältnis genannt, war schon seit der Antike bekannt. Zum ersten Mal wurde er in Euklids Elemente erwähnt und wird häufig in der Architektur, Kunst und Musik der Antike, des späten Mittelalters und der Renaissance zur Teilung eingesetzt, da diese Proportion als besonders harmonisch gilt. Auch heutzutage trifft man oft auf Proportionen, die dem Goldenen Schnitt entsprechen. Da das Wissen der 9.Jahrgangsstufe nicht ausreicht und sonst den Umfang sprengen würde, ist dies leider nur ein kurzer Einblick, der oft lückenhaft ist. 3

4 I. Theorie. Definition Der goldene Schnitt, bezeichnet die Teilung einer gegebenen Strecke [AB] durch den Punkt P, so dass sich die ganze Strecke zur größeren Teilstrecke genauso verhält wie die größere Teilstrecke zur kleineren. D.h.: AB AP vorausgesetzt, AP PB AP > PB Euklid schrieb dazu in seinem Abb.. nicht-maßstabsgetreue Skizze zweiten Buch der Elemente : Eine gegebene Strecke ist so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist.. Berechnung des Goldenen Schnitts Um den goldenen Schnitt zu berechnen, benennen wir zunächst [AP] M (Major) und [PB] m (Minor). Folglich ist [AB] also M m. M m M M m Auf beiden Seiten M und m multiplizieren: m ( M m) M (Euklids Formulierung) Mm m M Auf beiden Seiten m² dividieren (m² > 0): M m M m M M 0 m m Diese quadratische Gleichung hat als Lösung: M m ( ± ) M Da ( ) < 0 aber positiv sein muss, ist nur die positive Lösung m ( ) > 0 sinnvoll. Zu Ehren des griechischen Bildhauers Phidias (ca. 40v.Chr), der oft die Proportionen des Goldenen Schnitts in seinen Werken verwendete, wählte man den griechischen Buchstabe F(Phi) dafür. M m F ist irrational. ( ), 68 4

5 3. Kehrbruch und Quadrat des Goldenen Schnitts Der Kehrbruch lässt sich folgendermaßen berechnen: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0,68 Das Quadrat des Goldenen Schnitts: Aus den obigen Rechnungen ergibt: und Daraus leitet sich auch folgender unendlicher Kettenbruch und folgende unendlich verschachtelte Wurzel für die Berechnung für F ab, die ich jetzt nicht beweisen werde.... und...

6 4. Konstruktion des Goldenen Schnitts a) A und B sind gegeben Konstruktionsplan:.C: C liegt auf der Senkrechten zu AB durch B; C liegt auf k(b; AB ).D: 3.P: D liegt auf [AC]; D liegt auf k(c; BC ) P liegt auf [AB]; P liegt auf k(a; AD ) Abb.. Begründung: x : AB AC x x (Satz des Pythagoras) Da AC AC x 4 DC BC : x AD AC DC AC BC Wegen AP AD gilt: AP x x x ( ) x x Auf beiden Seiten durch AB ( x 0) dividieren. AP AB AP AB AB AP AP PB 6

7 b) A und P sind gegeben Konstruktionsplan: C: C halbiert [AP] D: D liegt auf der Senkrechten zu AP durch P; D liegt auf k(p; AP ) (man nehme eine der beiden möglichen D) B: B liegt auf [AP; B liegt auf k(c; CD ) Abb..3 Begründung: CD CP PD AP AP CD AP AP 4 ( ) AP AP AB AC CB AP CD AP AP AB AP c) P und B sind gegeben Konstruktionsplan: Q: Q PB und ist willkürlich gewählt T: T teilt [QB] im Goldenen Schnitt nach Verfahren a), wobei QT > TB A: A liegt auf der Parallelen zu PT durch Q Abb..4 Begründung: Nach dem Strahlensatz gilt: QT TB AP PB, da AQ PT 7

8 II. Der Goldene Schnitt in der Mathematik. Die Fibonacci-Zahlen Die Fibonacci-Zahlen sind eine Zahlenfolge, in der eine Zahl immer die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist, angefangen mit den beiden Zahlen und. ; ; ; 3; ; 8; 3;... Für das Element a n der Folge gilt also: a n a n- a n- ; n > Betrachtet nun den Quotienten zweier aufeinander folgender Zahlen, immer die Größere dividiert durch die Kleinere, so stellt man fest, dass der Quotient sich stetig F nähert, je größer der Divisor und der Dividend sind (Grenzwert F). Noch erstaunlicher jedoch ist, dass die ersten zwei Zahlen nicht so sehr von Bedeutung sind. Sie können beliebig gewählt werden (Lucas-Folge genannt), solange sie die gleichen Vorzeichen haben. Das kann man in der Tabelle unten sehen. Für die Lucas-Folge werden in diesem Beispiel die Startwerte 0 und 7 verwendet. Fibonacci-Folge Lucas-Folge Zahlenfolge Quotient Zahlenfolge Quotient 0, ,300000, ,8749 3, ,993, , , , , ,6403,63846, , ,639, , , , , , , , ,6808 4, , , , , , , , , , , , , , ,

9 . Das Goldene Dreieck Ein gleichschenkliges Dreieck ist dann golden, wenn für die Schenkellänge s und Basislänge b s gilt:. b Jedes Goldene Dreieck hat ein 36 Winkel an der Spitze. Beweis: ABD sei ein Goldenes Dreieck BC : BD BC AC DB AC Es gilt: AB BC AB AD Es folgt daraus: ADB ~ ACD (ähnlich wegen des gleichen Längenverhältnisses im gleichschenkligen Dreieck) α β (gleichschenkliges Dreieck) δ γ (gleichschenkliges Dreieck) α β δ γ γ (Außenwinkel im Dreieck) γ α δ γ α (Ähnlichkeit der Dreiecke ABD und ACD) 80 δ α β α (Winkelsumme im Dreieck) α 7 δ 36 Abb.. 9

10 3. Das Pentagon und das Pentagramm (das reguläre Fünfeck und dessen Diagonalen) Die enge Beziehung zwischen dem Pentagon, dem Pentagramm, die Diagonalen des ersteren, auch Drudenfuß genannt (Goethes Faust ) und Symbol für Gesundheit bei den Pythagoreern, eine Gruppe von Anhängern des griechischen Mathematikers und Philosoph Pythagoras, wurde schon vor 000 Jahren von dieser Gruppe entdeckt. Ich kann hier leider nicht beweisen oder nachweisen, welche Rolle die Zahl hier spielt. Konstruktionsplan des regulären Fünfecks: A und B seien gegeben P: AP P liegt auf [AB; AB D: D k(a; AP ) k(b; AP ) E: E k(a; AB ) k(b; AP ) C: E k(b; AB ) k(a; AP ) ABD ist ein Goldenes Dreieck Abb.. Die Diagonalen, deren Schnittpunkt keine Ecke ist, teilen sich im Goldenen Schnitt. Das Verhältnis von der Länge einer Diagonale zu der einer Seite entspricht dem des Goldenen Schnitts. Beweis: EB DC wegen Symmetrie DEBS ist kongruent zu DECD wegen: Folgt: - EB EC( DB) - Winkel SEB Winkel BDC wegen Wechselwinkel an Parallelen - DEBS und DECD sind gleichschenklig wegen Symmetrie im regulären Fünfeck BS DC Wegen dem Strahlensatz gilt: BS SD BS SD EB DC Abb..3 DB und das ist die Definition des Goldenen Schnitts der von S geteilten Strecke [DB]. BS 0

11 III. Sonstige Anwendungen des Goldenen Schnitts Dass der Goldene Schnitt in der Mathematik vorkommt, ist ja eigentlich selbstverständlich, nachdem er durch Beweise nachgewiesen wurde. Aber dass der Goldene Schnitt in der Architektur und Kunst, vorkommt, macht schon stutzig. Dass er aber sogar in der Natur vorkommt, ist schon höchst erstaunlich.. Architektur Da der Goldene Schnitt seine Blütezeit in der Renaissance hatte, gibt es unzählige Beispiele in der Architektur. Alle hier aufzuzählen wäre schier unmöglich. Deshalb beschränke ich mich auf ein Beispiel pro Epoche (antikes Ägypten, antikes Griechenland, das späte Mittelalter, die Renaissance und die Moderne). a) Die Pyramiden Zu den ältesten Bauwerken der Welt zählen ohne Zweifel die ägyptischen Pyramiden. Die größte davon, die Cheopspyramide, wurde schon vor mehr als 6000 Jahren erbaut. Die nahezu exakte Ausrichtung nach den vier Himmelsrichtungen und die Wiederholung bestimmter Proportionen lassen schlussfolgern, dass sie nicht zufällig so erbaut worden sind, die Maßen also vorberechnet wurden. Einer der Theorien über die Pyramiden und F beruht auf einer der Schriften des römischen Schriftstellers Herodot. Er schreibt, dass ihm die ägyptischen Priester über die Form der Cheopspyramide die Angabe gemacht hätte, das Quadrat über ihrer Höhe sei einem Seitendreieck flächengleich Nach der Abb. 3. würde das heißen: h ab Und dem Satz von Pythagoras nach: h b a h Daraus folgt: ab a b a b ab ab a b 0 b a a b Auf beiden Seiten mit b a multipliziert: Abb. 3. a b a 0 b Die positive Lösung für b a wäre genau F. Doch Kritiker zweifeln daran, da es kaum Belege dafür gibt, dass den Ägyptern der Goldene Schnitt bekannt war.

12 b) Das Parthenon Ca. 300 Jahren nach den Pyramiden, in der Blütezeit der griechischen Kultur, ließ Perikles noch 0 Jahren vor den schriftlichen Überlieferungen von Euklid in den Jahren v. Chr. das Parthenon erbauen. Es ist eines der Paradebeispiele für den Goldenen Schnitt in der Architektur. Aus der Abb. 3. ist ersichtlich, dass das Abb. 3. Parthenon nach den Prinzipien des Goldenen Schnitts gebaut wurde. Die Vorderfront zum Beispiel passt fast exakt in ein Goldenes Rechteck, d.h. das Verhältnis von Höhe und Breite entsprechen F. Auch an anderen klassischen Monumenten in Athen findet man dieses Verhältnis. c) Dom von Florenz Der Baumeister des Doms von Florenz (Abb.3.3), Brunelleschi, gestaltete dessen Kuppel so, dass ihre Gesamthöhe zur Höhe des Ansatzes der Kuppelgewölbe sich wie 44 zu 89 verhält, die zwölfte und die elfte Element aus der Fibonacci- Zahlenfolge. Deren Quotient entspricht etwa F. d) Das Leipziger Rathaus Ein weiteres Beispiel ist das alte Leipziger Rathaus (Abb.3.4), das 6 von Hieronymus Lotter in nur neunmonatiger Bauzeit errichtet wurde und heute zu den bedeutendsten Baudenkmalen der Renaissance in Deutschland gehört. Man erkennt hierbei deutlich, dass der Turm das gesamte Gebäude im goldenen Schnitt teilt. Abb. 3.3 e) Unité d Habitation Selbst in neuerer Zeit wird der Goldene Schnitt gerne in der Baukunst verwendet. So verwendete Le Cobusier seit 948 dieses Maß in seinen Bauten und beschrieb es in seinem Buch "Der Modulor", welches von zahlreichen Praktikern heute noch verwendet wird. Als Beispiel sei hier sein Unité d' Habitation (Abb.3.) in Marseille gezeigt, an dem man deutlich erkennt, dass der Turm das gesamte Gebäude im goldenen Schnitt teilt. Abb.3.4 Abb. 3.

13 . Kunst und Musik Die richtige Proportion ist selbstverständlich sehr wichtig in der Kunst, sowohl bei der Bildeinteilung als auch für die Lage der einzelnen Objekte im Bild. Der Goldene Schnitt gilt in der Kunst wahrscheinlich deshalb als besonders schön, weil bei einer solchen Bildeinteilung die Spannung zwischen Gleichheit und Verschiedenheit das richtige Maß hat. Doch auch in der Musik und der Literatur kann man das göttliche Verhältnis finden. In dem kleinen Bild (Abb.3.6) ist dieses Ideal deutlich zu sehen. Es folgen weitere Beispiele. Abb.3.6 a) Die Mona Lisa Leonardo da Vinci, einer der berühmtesten Künstler und Erfinder der Renaissance, war auch mit dem Goldenen Schnitt sehr vertraut, da er das Buch De divina proportione seines Freundes Luca Pacioli illustrierte. In seinem wohl berühmtesten Gemälde, der Mona Lisa (siehe Abb.3.7) tritt der Goldene Schnitt ebenfalls zu Tage. Z.B bildet der Mittelpunkt des oberen Bildrandes mit dem unteren Bildrand ein Goldenes Dreieck, in dem die Mona Lisa eingebettet ist. b) Albrecht Dürers und Rembrandts Selbstbildnis Auch der Nürnberger Künstler Albrecht Dürer stellte zahlreiche theoretische Untersuchungen an. In seinem Münchner Selbstbildnis (Abb.3.8) von 00 ist deutlich zu sehen, dass der Kopf mit den Haaren ein gleichseitiges Dreieck bildet, dessen Spitze die Seitenmitte des oberen Bildrands ist und dessen Basis das Bild im Goldenen Schnitt teilt. Ähnlich ist es bei Rembrandt, dessen Oberkörper sich in ein Dreieck einbeschreiben lässt, dessen Höhe die Grundseite des Dreiecks im Goldenen Schnitt teilt (Abb.3.9). Abb.3.9 Abb. 3.7 Abb.3.8 3

14 c) Seurat: La Parade und Badende Auch in den Bildern des neo-impressionistischen französischen Malers finden sich zahlreiche Goldene Verhältnisse. (Abb.3.0 Abb.3.) Abb.3.0 d) Die kleine Sexte. Stehen die Frequenzen zweier Töne im Verhältnis der Fibonacci-Zahlen 8:, bildet sich eine kleine Sexte (ein Akkord). Es wird behauptet, dass der Unterschied zwischen,6 und F so gering sei, dass ein Akkord im Goldenen Verhältnis auch in den Bereich der kleinen Sexte fällt. Man geht noch weiter, nämlich dass das Verhältnis 8: nur eine Annäherung zur kleinen Sexte ist, bei welcher die Frequenzen der Sinustönen in Wirklichkeit im Goldenen Verhältnis stehen. Abb.3. Abb.3. e) Béla Bartók: Sonate für zwei Klaviere und Schlagzeug Allem Anschein nach hat auch der ungarische Komponist in seinem Werk Sonate für zwei Klaviere und Schlagzeug den Goldenen Schnitt verwendet. Die vier Sätze dauern genau 643 Achtelnoten lang und nach 397 Achtelnoten beginnt der zweite, langsame Satz. Das entspricht fast genau dem Goldenen Schnitt ( 643, 68,, 6803 ). Von Zufall kann man hier 397 wahrlich nicht sprechen. 4

15 3. Mensch und Natur a) Der Mensch Ende 9. Jahrhundert waren viele Autoren der Ansicht, der Mensch als Schöpfung Gottes müsste auch dem Göttlichen Verhältnis entsprechen. Tatsächlich ergab die Messung des Amerikaners Lonc an 6 Frauen, dass die Höhe des Bauchnabels die Körpergröße im Verhältnis von durchschnittlich,68 teilt. Ein erstaunliches Ergebnis. Die Abb.3.3 zeigt ebenfalls die Teilung des menschlichen Körpers durch vielfältige Weise. Aber je kleiner die betreffenden Teile sind, desto zweifelhafter werden die Ergebnisse. Es gibt Aussagen wie die Brauen teilen die Strecke vom Haaransatz und Kinn im Goldenen Schnitt, was man aber wahrscheinlich nicht von jedem behaupten kann. Abb. 3.3 b) Die Sonnenblume Wenn man den Fruchtstand einer Sonnenblume genauer unter die Lupe nimmt, so erkennt man, dass jeder Kern genau einer linksdrehenden und genau einer rechtsdrehenden Spirallinie zugehört. Und wenn man Abb. 3.4 die Anzahl der Spirallinien nachzählt, so kommt man Jede 0. Spirallinie ist weiß gekennzeichnet darauf, dass die Anzahl der linksdrehenden und rechtsdrehenden Spirallinien Fibonacci-Zahlen sind. Es sind zum Beispiel, 34,, 89, 44 oder gar 33 Spirallinien, wobei die Anzahl der linksdrehenden und rechtsdrehenden Spirallinien immer benachbarte Fibonacci-Zahlen sind. Und diese haben ein Verhältnis von annähernd F. c) Eichenblätter Um mehr oder weniger den Gesetzen der Natur auf die Schliche zu kommen, wurden Messungen an viele Pflanzen vorgenommen. 99 vermaß Rudolf Engelhard die Breite und Höhe von 00 Eichenblättern, und die Ergebnisse sind durchaus verblüffend: Bei 3 Blättern entsprach das Verhältnis Höhe Breite genau F. Bei 93 Blättern gab es eine Abweichung* von mm. Bei 9 Blättern gab es eine Abweichung* von mm. Bei 80 Blättern gab es eine Abweichung* von mind. 3 mm. * Aus der Quelle war nicht ersichtlich, worauf sich diese Maße beziehen. Es ist also auf dem ersten Blick zu sehen, dass über die Hälfte aller Eichenblätter nach dem Idealmaß gestaltet sind. Da lässt sich schwer ausreden, es sei wieder Zufall.

16 Schluss Trotz der überraschend weiten Verbreitung des Goldenen Schnitts muss ich hier aber sagen, dass eine etwaige Proportion von zu,6 im Alltag, Kunst und Architektur ziemlich oft vorkommen kann. Im Gegensatz zu den Beispielen in der Mathematik werden sie dann oft trotz mehr oder weniger geringer Abweichungen zu den Beispielen des Goldenen Schnitts gezählt. Ich bin mir zum Beispiel immer noch nicht sicher, ob das Format der Chipkarte ein Goldenes Rechteck ist, denn mit 4mm 8,6mm hat es eine Proportion von zu,9, also einen Abweichung von ca. %. So verhält sich auch mit einigen anderen Beispielen, denn sie sind sicherlich nicht immer exakt. Ist dann der Goldene Schnitt eine Einbildung? Viele Buchautoren gehen davon aus, dass der Goldene Schnitt so harmonisch, natürlich und gottgeschaffen ist, dass der Mensch ihn auch unbewusst in seinen Werken einsetzt. Ob der Goldene Schnitt aber wirklich so schön ist, darüber lässt sich streiten. Quellen Das World Wide Web Der Goldene Schnitt, A. Beutelspacher / B. Petri Die Top Ten der schönsten mathematischen Sätze, Pierre Basieux Die Badewanne des Archimedes, Sven Ortoli / Nicolas Witkowski Lambacher Schweizer, Geometrie Bayern, 9.Jahrgangsstufe Der Goldene Schnitt, Dirk Stegmann, Universität Hildesheim 6