Folien zur Vorlesung. Statistik I (Deskriptive Statistik)

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1 Folien zur Vorlesung Statistik I (Deskriptive Statistik) Wintersemester 2010/2011 Donnerstag, Uhr Hörsaal: Aula am Aasee Prof. Dr. Bernd Wilfling Westfälische Wilhelms-Universität Münster

2 Inhalt 1 Einleitung 1.1 Was ist Statistik und warum ist Statistik wichtig? 1.2 Beispiele für statistische Fragestellungen in der Ökonomik 1.3 Deskriptive und schließende Statistik 2 Mathematische Grundlagen 2.1 Endliche Summen und Produkte 2.2 Exponentialfunktion und Logarithmus 3 Merkmale und Daten 3.1 Grundgesamtheiten 3.2 Merkmale 3.3 Daten und ihre Erhebung 3.4 Amtliche und nichtamtliche Statistik 4 Auswertung eindimensionaler Daten 4.1 Beliebig skalierte Daten 4.2 Mindestens ordinal skalierte Daten 4.3 Metrisch skalierte Daten Lagemessung Weitere Mittelwerte Streuungsmaße Additionssätze für arithmetische Mittel und Varianzen Stetig klassierte Daten Schiefemessung 5 Verhältniszahlen, Messzahlen und Indexzahlen 5.1 Verhältniszahlen 5.2 Messzahlen des zeitlichen Vergleichs Umbasierung und Verkettung von Messzahlen Zuwachsraten und Zuwachsfaktoren Logarithmische Zuwachsraten 5.3 Indexzahlen Preisindizes Mengenindizes i

3 5.3.3 Wertindizes Umbasierung und Verkettung von Indizes Formale Indexkriterien (Fisher-Proben) 6 Auswertung mehrdimensionaler Daten 6.1 Grundbegriffe Kontingenztafel und Häufigkeiten Bedingte Verteilungen Deskriptive Unabhängigkeit Arithmetische Mittel und Varianzen 6.2 Zusammenhangsmaße Metrische Daten: Korrelationskoeffizient Ordinale Daten: Rangkorrelationskoeffizient Nominale Daten: Kontingenzkoeffizient 6.3 Deskriptive Regression Regression 1. Art Regression 2. Art: Die lineare Einfachregression 6.4 Lineare Mehrfachregression 7 Konzentrations- und Disparitätsmessung 7.1 Disparität und Konzentration 7.2 Konzentrationsmessung Konzentrationsraten und Konzentrationskurve Konzentrationsindizes 7.3 Disparitätsmessung Lorenzkurve Der Gini-Koeffizient ii

4 Literatur EViews: EViews 7 User Guide (2009). Estimation, Forecasting, Statistical Analysis, Graphs, Data Management, Simulation. QMS Quantitative Micro Software, Irvine, California. Statistik: Hartung, J. (2005). Statistik Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik (14. Auflage). Oldenbourg Verlag, München. Mosler, K. und F. Schmid (2009). Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik (4. Auflage). Springer Verlag, Heidelberg. iii

5 1. Einleitung Ziel der Vorlesung: Einführung in deskriptive Statistik + Wirtschaftsstatistik Internet-Seite der Vorlesung: Studium Veranstaltungen im Wintersemester 2010/2011 Bachelor Statistik I 1

6 Vorlesungsstil: Freier Vortrag anhand von Projektor-Folien Folien stehen als PDF-Dateien auf Internetseite zur Verfügung (Beschaffung der Folien wird unbedingt empfohlen) Literatur: K. Mosler und F. Schmid (2009). Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik (4. Auflage), Springer-Verlag Formelsammlung Definitionen, Formeln und Tabellen zur Statistik (6. Auflage) von Bomsdorf/Gröhn/Mosler/Schmid (notwendiges Hilfsmittel, in der Klausur zugelassen) 2

7 Klausurvorbereitung: Stoff der Vorlesung Aufgaben des Tutoriums Ansprechpartner: Herr Sascha Leweling Klausurtraining durch Ferienarbeitsgruppen 3

8 Zugelassene Hilfsmittel in der Klausur: Taschenrechner (nicht programmierbar) Formelsammlung Definitionen, Formeln und Tabellen zur Statistik von Bomsdorf/Gröhn/Mosler/Schmid, 6. (aktuelle und frühere) Auflage(n) Akzeptierte äußere Form für die Klausur: Zulässig sind nur Unter- bzw. Überstreichungen, Verweise auf Seiten bzw. Nummern Nicht zulässig sind somit z.b. verbale Erläuterungen, mathematische Umformungen, grafische Darstellungen u.ä., die als Lösungshilfen für Klausuraufgaben angesehen werden können 4

9 Ansprechpartner: Herr Sascha Leweling (Koordinator der Tutorien) Tutorinnen und Tutoren (Adressen und Nummern: siehe Tutorien) 5

10 1.1 Was ist Statistik und warum ist Statistik wichtig? Typischer Lexikon-Eintrag für den Begriff Statistik : Methode zur Untersuchung von Massenerscheinungen Versuch, den Umfang, die Gliederung oder Struktur einer Masse, die zeitliche Entwicklung einer oder das Verhältnis mehrerer Massenerscheinungen zueinander zu erkennen Aufgabe der Statistik besteht in der Darstellung, Analyse und Deutung von Daten 6

11 Anwendungsbereiche für statistische Methoden: heutzutage in allen Wissenschaftsbereichen, z.b. in der Biologie / Medizin (Biometrie) den Ingenieurswissenschaften (Technometrie) den Verhaltenswissenschaften (Psychometrie) Besonders wichtig für WiWis: Empirische Wirtschaftsforschung Ökonometrie 7

12 Ziele der Statistik: [I] Aufdeckung von Zusammenhängen, z.b. Zusammenhang Arbeitslosigkeit Inflation Zusammenhang Arbeitslosigkeit Wachstum Auswirkungen von Geldpolitik auf wirtschaftliche Aktivität Überwachung ökonomischer Aktivität, z.b. Arbeitslosenquote Wachstumsraten (BIP, Konsum) Aktienkurse, Wechselkurse, Zinssätze, Rohstoff- und Immobilienpreise 8

13 Ziele der Statistik: [II] Überprüfung von WiWi-Theorien anhand von Daten, z.b. Zusammenhang zwischen verfügbarem Einkommen und Konsumausgaben Einfluss demokratischer Strukturen auf wirtschaftliche Aktivität Bedeutung des Währungssystems für den wirtschaftlichen Erfolg 9

14 1.2 Beispiele für statistische Fragestellungen in der Ökonomik (a) Preis eines Gutes: Preis einer Feinunze Gold auf verschiedenen Märkten Kurse (in US-$) vom Marktplatz Kurs Frankfurt Luxemburg London Zürich Paris

15 Aufgaben der Statistik: Charakterisierung der Datenreihe durch Kennzahlen Grafische Darstellung der Daten Eventuell Bereinigung der Daten (Ausreißer etc.) 11

16 (b) Kursverläufe von Aktien, Währungen, Immobilien: Wechselkurs der griechischen Drachme zum Euro 102 Greek Drachme (GRD / EURO) ERM parity (100): /09/ /09/ Greek Drachme (daily changes in %) 24/09/ /09/ /12/98 3/07/99 19/01/00 6/08/ /12/98 3/07/99 19/01/00 6/08/00 Aufgabe der Statistik: Messung der unterschiedlichen Schwankungen 12

17 (c) Anstieg des allgemeinen Preisniveaus Wichtige Frage für die Wirtschaftspolitik: Um wieviel Prozent ist das Preisniveau in der BRD im Monat Oktober 2010 gegenüber dem Vorjahresmonat gestiegen? Aufgaben der Statistik: Welche Preise sind gemeint? Bestimmung eines geeigneten Preisindexes 13

18 (d) Entwicklung der Arbeitslosigkeit Wichtige Frage für die Wirtschaftspolitik: Ist die Arbeitslosenquote innerhalb des letzten Monats gesunken? Aufgaben der Statistik: Beschäftigungssituation ist jahreszeitlichen Fluktuationen ausgesetzt Bestimmung der Saisonfigur Bereinigung der AL-Quote um die Saisonfigur 14

19 1.3 Deskriptive und schließende Statistik Unterteilung der Statistik in 2 Säulen: Deskriptive Statistik (Statistik I) (Wie bringe ich die Daten zum Sprechen?) Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik (Was können mir die Daten wirklich sagen?) Weitere gebräuchliche Ausdrücke für induktive Statistik : schließende Statistik statistische Inferenz 15

20 Ziele der induktiven Statistik: Datenanalyse auf der Basis von Wahrscheinlichkeitsmodellen Verifikation theoretischer Modelle anhand von Daten Methoden der induktiven Statistik: Schätzen von unbekannten Parametern Testen von Hypothesen über unbekannte Parameter 16

21 Beispiel: Die Wirkung von Werbemaßnahmen auf den Absatz von Unternehmen Stichprobe: 84 Unternehmen eines bestimmten Sektors in den USA im Jahre

22 Stichprobenergebnisse der 84 Unternehmen Schätzung: Absatz = * Werbeausgaben 560 Absatz in Mill. US-$ Werbeausgaben in Mill. US-$ 18

23 Offensichtlich: Höhere Werbeausgaben bewirken höhere Absätze (möglicherweise auch umgekehrte Beziehung) Zusammenhang ist nicht exakt (vgl. eingezeichnete Regressionslinie) Theoretisches Modell: mit Y = β 0 + β 1 X + Fehler Y = Absatz, X = Ausgaben für Werbung β 0, β 1 unbekannte Parameter 19

24 Aufgaben der induktiven Statistik: Gute Schätzungen für die Parameter β 0 und β 1 Testen der Hypothese β 1 = 0 gegen β 1 = 0 (Variable X hat keinerlei Einfluss auf Y gegen X hat einen signifikanten Einfluss auf Y ) 20

25 2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel: Summen und Produkte Exponential- und Logarithmusfunktionen 21

26 2.1 Endliche Summen und Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,..., a n R. Zahlen notiert man wie folgt: Die Summe der a 1 + a a n = n i=1 a i = i I a i Bezeichnungen: i heißt Summationsindex I = {1,..., n} heißt Indexmenge 22

27 Bemerkungen: Die Indexmenge I darf eine beliebige Menge ganzer Zahlen sein (I Z), z.b. I = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}. Für die Summe gilt dann: i I a i = 3 i= 4 a i = a 4 + a 3 + a 2 + a 1 + a 0 + a 1 + a 2 + a 3 Die Indexmenge I kann auch leer sein, d.h. I = {}. Für die Summe definiert man dann i I a i = 0. 23

28 Fragen: Warum ist das Summenzeichen wichtig? Wie kann man formal mit Summen rechnen? Antworten: Das Summenzeichen vereinfacht die Schreibweise in der gesamten Statistik Es gibt Rechenregeln für Summen, die allesamt formal bewiesen werden müssen (Aufgabe der Mathematik) 24

29 Rechenregeln für endliche Summen: [I] Dazu seien a 1,..., a n sowie b 1,..., b n reelle Zahlen Mit den beliebigen reellen Zahlen α, β gilt: n i=1 (α a i + β b i ) = = α n n α a i + β b i i=1 i=1 n n a i + β b i i=1 i=1 Falls a 1 = a 2 =... = a n a, so folgt: n i=1 a i = n i=1 a = n a 25

30 Rechenregeln für endliche Summen: [II] Für jedes (ganzzahlige) m mit 0 m n gilt: n i=1 a i = m i=1 a i + n a i i=m+1 Für jedes ganzzahlige m gilt: n i=1 a i = n+m a i m i=1+m 26

31 Spezielle endliche Summen: [I] n i = n = i=1 n (n + 1) 2 n i 2 = i=1 n (n + 1) (2n + 1) 6 n i=1 i 3 = n2 (n + 1)

32 Spezielle endliche Summen: [II] Es seien a 1, b R, a i = a 1 + (i 1) b für i = 2,..., n. Dann heißt a 1, a 2,..., a n endliche arithmetische Folge 1. Ordnung und es gilt: n i=1 a i = n 2 (2a 1 + (n 1) b) Es seien a 1, q R, a i = a 1 q i 1 für i = 2,..., n. Dann heißt a 1, a 2,..., a n endliche geometrische Folge und es gilt für q 1: n i=1 a i = a 1 qn 1 q 1 28

33 Doppelsummen: [I] Es sei a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm eine Matrix (Tabelle) reeller Zahlen 29

34 Doppelsummen: [II] Die Summe über alle diese Zahlen notiert man als Doppelsumme: n m i=1 j=1 a ij = a 11 + a a 1m + a 21 + a a 2m. + a n1 + a n a nm Es gilt: n m i=1 j=1 a ij = m n a ij j=1 i=1 30

35 Weiteres Beispiel für eine Doppelsumme: n n i=1 j=i a ij = a a 1n + a a 2n + a a 3n. + a nn (Der Laufbereich des 2. Index hängt vom 1. Index ab) 31

36 Endliche Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,..., a n R. Mit der Indexmenge I = {1, 2,..., n} notiert man das Produkt der Zahlen wie folgt: a 1 a 2... a n = n i=1 a i = i I a i Bemerkung: Die Indexmenge I kann wiederum leer sein, d.h. I = {}. Für das Produkt definiert man dann i I a i = 1 32

37 Rechenregeln für endliche Produkte: Es seien a 1,..., a n sowie b 1,..., b n reelle Zahlen Mit den beliebigen reellen Zahlen α, β gilt: n i=1 α a i β b i = α n β n n i=1 a i n b i i=1 Falls a 1 = a 2 =... = a n a, so folgt: n i=1 a i = n i=1 a = a n 33

38 2.2 Exponentialfunktion und Logarithmus Zwei wichtige mathematische Funktionen: Natürliche Exponentialfunktion Natürlicher Logarithmus Hier: Mathematische Definition und Eigenschaften 34

39 Anwendung in der gesamten Wirtschaftstheorie, z.b. in der Wachstumstheorie (VWL) in Mikro- und Makromodellen (VWL) im gesamten Finance-Bereich (BWL) im Operations-Research (BWL) in der Statistik / Ökonometrie 35

40 Definition der Exponentialfunktion: [I] Betrachte die unendliche Reihe k=0 x k k! = 1 + x + x2 2 + x3 6 + x (k! bezeichnet das Produkt der ersten k ganzen Zahlen, also k! = k) Man kann zeigen, dass die Summe für jedes x R gegen eine endliche Zahl konvergiert 36

41 Definition der Exponentialfunktion: [II] Für jedes x R definiert man exp(x) = k=0 x k k! Die Funktion exp : R R heißt natürliche Exponentialfunktion 37

42 Graph der natürlichen Exponentialfunktion exp(x) x 38

43 Eigenschaften der Exponentialfunktion: [I] Es gilt: exp(0) = 1 exp(1) = e (Eulersche Zahl) Für alle x R gilt: exp(x) > 0 Für alle x R gilt: exp (x) d exp(x) = exp(x) d x (Ableitung ist gleich der Funktion selbst) 39

44 Eigenschaften der Exponentialfunktion: [II] Die Funktion exp ist streng monoton wachsend Für beliebige x, y R gilt die Beziehung: (Funktionalgleichung) exp(x + y) = exp(x) exp(y) Für alle x R gilt ( exp(x) = lim 1 + x ) n n n (Äquivalente Darstellung zur Summendefinition) 40

45 Jetzt: Die exp-funktion besitzt eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion Diese Umkehrfunktion ist definiert auf (0, ) Definition des natürlichen Logarithmus Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion exp : R (0, ) heißt natürlicher Logarithmus und wird bezeichnet mit ln : (0, ) R 41

46 Graph des natürlichen Logarithmus ln(x) x 42

47 Eigenschaften des natürlichen Logarithmus: Die Funktion ln ist streng monoton wachsend Für x > 0 gilt: ln (x) = d ln(x) d x = 1 x Für beliebige x, y > 0 gilt die Beziehung (Funktionalgleichung) ln(x y) = ln(x) + ln(y) 43

48 Weitere Definitionen und Eigenschaften: [I] Die allgemeine Potenz ist für alle x > 0, y R definiert durch x y = exp(y ln(x)) Insbesondere ist für x R e x = exp(x) Es sei a > 0 und a 1. Der allgemeine Logarithmus von x > 0 zur Basis a ist definiert durch y = log a (x) x = a y 44

49 Weitere Definitionen und Eigenschaften: [II] Es gelten die folgenden Beziehungen: ln(x) = loge(x) ln(x) = log a (x) ln(a) log a (x) = ln(x) ln(a) Es sei f : R (0, ) eine differenzierbare Funktion. jedes x R heißt die Ableitung (ln(f(x)) = d ln(f(x)) = f (x) d x f(x) die logarithmische Ableitung von f an der Stelle x (auch: stetige Wachstumsrate) Für 45

50 3. Merkmale und Daten Ziel dieses Kapitels: Vermittlung des statistischen Grundvokabulars Zu klärende Begriffe: Grundgesamtheit Merkmale (Skalenniveau etc.) Stichprobe 46

51 3.1 Grundgesamtheiten Definition 3.1: (Grundgesamtheit, Merkmalsträger) Die Grundgesamtheit ist die Gesamtheit aller Einheiten, die statistisch untersucht werden sollen. Die Grundgesamtheit ist eine Menge und wird mit G bezeichnet. Ihre Elemente heißen Untersuchungseinheiten oder Merkmalsträger. Wir schreiben G = {e 1, e 2,..., e n }. Die Anzahl n der Elemente von G bezeichnet den Umfang der Grundgesamtheit. Wir notieren die Anzahl der Elemente von G mit G = n. 47

52 Weitere Begriffe: Bestandsmasse: GG, die durch einen Zeitpunkt abgegrenzt wird Bewegungsmasse: GG, die durch einen Zeitraum abgegrenzt wird Beispiele für Bestandsmassen: Lagerbestand eines Unternehmens am Handwerksbetriebe im Münsterland am

53 Beispiele für Bewegungsmassen: Neugegründete Betriebe in Münster im Jahr 2010 Studierende an der Uni Münster im WS 2010/2011 Offensichtlich: Bestands- und Bewegungsmassen hängen zusammen, und zwar über die sogenannte Bestandsveränderung 49

54 3.2 Merkmale Definition 3.2: (Merkmal, Merkmalsausprägung) Unter einem Merkmal versteht man eine Eigenschaft der Merkmalsträger, die statistisch untersucht werden soll. Ein Merkmal hat gewöhnlich verschiedene Merkmalsausprägungen. Merkmale notieren wir meist mit Großbuchstaben (X, Y etc.). Merkmalsausprägungen notieren wir meist mit indizierten griechischen Buchstaben (z.b. ξ 1, ξ 2 etc.). 50

55 Bisherige Notationszusammenfassung: Merkmalsträger: e 1, e 2,..., e n Grundgesamtheit: G = {e 1,..., e n } Merkmal (interessierende Eigenschaft): X, Y etc. Merkmalsausprägungen (Merkmalswerte): ξ 1, ξ 2,... 51

56 Beispiele: Grundgesamtheit Merkmal Ausprägungen Haushalte in der verfügbares [0, ) Euro BRD am Monatseinkommen Studierende der Geschlecht weibl., männl. WWU am

57 Typisierungen von Merkmalen: [I] Diskrete vs. stetige Merkmale Ein Merkmal heißt diskret, falls es nur eine abzählbare Menge von Ausprägungen annehmen kann (Vorsicht: abzählbar bedeutet nicht endlich!) Beispiele: Typischerweise Zählmerkmale wie Anzahl von Kindern, Anzahl von Fachsemestern etc. Ein Merkmal heißt stetig, falls es theoretisch alle reellen Zahlen (eines Intervalls) annehmen kann Beispiele: Gewichte, Temperaturen, Preise, Einkommen 53

58 Typisierungen von Merkmalen: [II] Qualitative vs. quantitative Merkmale Ein Merkmal heißt qualitativ, wenn seine Ausprägungen durch verbale Ausdrücke gegeben sind Beispiele: Beruf, Geschlecht, Farbe, Status Ein Merkmal heißt quantitativ, wenn seine Ausprägungen Zahlen sind Beispiele: Alter, Einkommen, Noten (falls Note durch Zahl ausgedrückt wird) 54

59 Wichtige Frage für den Statistiker: Welche Rechenoperationen sind mit den erhobenen Werten möglich? Antwort über Skalenniveaus der Daten: [I] Nominalskala Merkmalswerte haben nur Bezeichnungsfunktion (Codes) Rechenoperationen (Addition, Multiplikation etc.) sinnlos sind Beispiele: Geschlecht, Religionszugehörigkeit 55

60 Skalenniveaus: [II] Ordinalskala Es existiert eine natürliche Ordnung der Merkmalswerte Größe der Abstände zwischen den Merkmalswerten ist irrelevant Rechenoperationen sind sinnlos Beispiele: Klausurnoten, Windstärken Intervallskala Differenzen von je zwei Merkmalswerten können sinnvoll verglichen werden Frei wählbarer Maßstab Beispiel: Temperaturen (in Grad Celsius oder Fahrenheit) 56

61 Skalenniveaus: [III] Verhältnisskala Besitzt natürlichen Nullpunkt, aber keine natürliche Messeinheit Beispiele: Einkommen, Geldmenge (wenn keine Messeinheit vorgegeben ist) Absolute Skala Ist eindeutig bestimmt (natürlicher Nullpunkt und natürliche Messeinheit) Beipiele: Einkommen in Euro, Alter in Jahren etc. Ausdrucksweise: Intervall-, Verhältnis- und absolute Skala werden auch metrische Skalen genannt 57

62 3.3 Daten und ihre Erhebung Begriffserklärung: Unter dem Begriff Daten versteht man die beobachteten Werte eines oder mehrerer Merkmale Schreibweisen für Daten: Bei einem Merkmal X: x 1,..., x n Bei 2 Merkmalen X und Y : (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) 58

63 Weitere Begriffe: [I] Urliste: Die Gesamtheit aller erhobenen Daten nennt man Urliste Häufigkeitsverteilung: Die Häufigkeitsverteilung gibt für jeden Merkmalswert die Häufigkeit an, mit der dieser in den erhobenen Daten vorkommt Häufigkeitsverteilung (inklusive grafischer Darstellung) ausführlich in Kapitel 4 59

64 Weitere Begriffe: [II] Vollerhebung / Teilerhebung Vollerhebung: Ermittlung der Merkmalswerte aller Untersuchungseinheiten der Grundgesamtheit (z.b. Volkszählung) Auswertung nur eines Teils der Grundge- Teilerhebung: samtheit Mögliche Gründe: GG ist zu groß (Vollerhebung zu teuer) Beobachtung des Merkmals zerstört den Merkmalsträger (Qualitätskontrolle) 60

65 Weitere Begriffe: [III] Querschnitte / Zeitreihen / Panels Querschnitt: Erhebung der Werte eines Merkmals zur selben Zeit an verschiedenen Untersuchungseinheiten (z.b. Umsätze von Unternehmen im Jahre 2002) Zeitreihen: Erhebung der Werte eines Merkmals an derselben Untersuchungseinheit zu verschiedenen Zeitpunkten (z.b. BSP eines Landes über verschiedene Jahre) Panel: Kombination von Querschnitten und Zeitreihen (z.b. Jährliche Befragung von Haushalten nach ihrem Einkommen) 61

66 3.4 Amtliche und nichtamtliche Statistik Träger der Wirtschafts- und Sozialstatistik in der BRD: Amtliche Statistik Nichtamtliche Statistik Institutionen der amtlichen Statistik: Statistisches Bundesamt Bundesministerien Deutsche Bundesbank Bundesanstalten 62

67 Träger der nichtamtlichen Statistik: Unabhängige Wirtschaftswissenschaftliche Institute IFO (Institut für Wirtschaftsforschung, München) DIW (Deutsches Institut für Wirtschaftsforschung, Berlin) IfW (Institut für Weltwirtschaft, Kiel) RWI (Rheinisch-Westfälisches Institut für Wirtschaftsforschung, Essen) Wirtschaftsforschungsinstitute von Interessenverbänden Unabhängige, quasi halbamtliche Institutionen (z.b. Sachverständigenrat, Monopolkommission) Markt-, Meinungs- und Umfrageinstitute 63

68 4. Auswertung eindimensionaler Daten Ziel dieses Kapitels: Präsentation von Methoden zur statistischen Auswertung eines einzelnen Merkmals 64

69 Bezeichnungen (Wiederholung): Merkmalsträger: e 1,..., e n Grundgesamtheit: G = {e 1,..., e n } Zu untersuchendes Merkmal: X Mögliche Merkmalswerte: ξ 1,..., ξ J Daten in Urliste: x 1,..., x n 65

70 Fragestellungen: Formale und grafische Darstellung der Daten Berechnung aussagekräftiger Kenngrößen der Daten Vorgehensweise: Vorstellung der statistischen Methoden anhand des Skalenniveaus des Merkmals X 66

71 4.1 Beliebig skalierte Daten Skalenniveau des zu untersuchenden Merkmals X: Nominalskala (oder höher) Häufigkeiten des Merkmals X mit Ausprägungen ξ 1,..., ξ J : Absolute Häufigkeit der Ausprägung ξ j (j = 1,... J): n j = Anzahl von Daten mit Merkmalswert ξ j Relative Häufigkeit der Ausprägung ξ j (j = 1,... J): f j = n j n = Anteil von Daten mit Merkmalswert ξ j 67

72 Offensichtlich gilt: 0 n j n sowie J j=1 n j = n (warum?) 0 f j 1 sowie J j=1 f j = 1 (warum?) Jetzt: Mit den Begriffen der absoluten und relativen Häufigkeiten gelangt man zur 1. Darstellungsform des Merkmals X, nämlich zur Häufigkeitstabelle 68

73 Definition 4.1: (Häufigkeitstabelle) Unter der Häufigkeitstabelle des Merkmals X versteht man die folgende tabellarische Darstellung: j ξ j n j f j = n j /n 1 ξ 1 n 1 f 1 2. ξ 2. n 2. f 2. J ξ J n J f J Summe: n 1 69

74 Beispiel (Verkehrsmittelbenutzung): Grundgesamtheit bestehe aus 20 Beschäftigten eines Betriebes, d.h. G = {e 1,..., e 20 } Zu untersuchendes Merkmal X: Benutztes Verkehrsmittel zum Arbeitsplatz Merkmalsausprägungen: ξ 1 = Bus ξ 2 = PKW ξ 3 = Motorrad ξ 4 = Fahrrad ξ 5 = zu Fuß 70

75 Erhobene Urliste: 1, 1, 2, 2, 2, 4, 3, 5, 2, 2, 5, 2, 4, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1 Häufigkeitstabelle: j ξ j n j f j = n j /n 1 Bus 6 6/20 = PKW 9 9/20 = Motorrad 1 1/20 = Fahrrad 2 2/20 = zu Fuß 2 2/20 = 0.10 Summe:

76 Man beachte den folgenden Trade-Off : Übergang von Urliste zur Häufigkeitstabelle erhöht die Übersichtlichkeit führt zu einem Informationsverlust Grafische Darstellungen von Häufigkeitstabellen durch Säulendiagramme Balkendiagramme 72

77 Balken- oder Stabdiagramm (absolute Häufigkeiten) Bus PKW Motorrad Fahrrad zu Fuß Kuchen- oder Kreisdiagramm (relative Häufigkeiten) Motorrad 5% Fahrrad 10% zu Fuß 10% PKW 45% Bus 30%

78 Vorsicht bei der Interpretation von Grafiken: Grafiken können auf viele Weisen manipuliert werden Manipulation muss nicht immer schlecht sein Verzerren der Achsen Bestimmte Bereiche werden hervorgehoben Bestimmte Bereiche werden unterdrückt Skalierungen der Y -Achsen Bestimmte Entwicklungen werden dramatisiert Bestimmte Entwicklungen werden verschwiegen 74

79 Wichtige Kennzahl einer Datenreihe ist der Modus: Definition 4.2: (Modus) Ein Merkmalswert ξ j heißt Modus, wenn seine (absolute oder relative) Häufigkeit mindestens so groß ist wie die aller anderen Merkmalswerte, d.h. wenn n j n k für alle k {1,..., J} gilt. Offensichtlich: Eine Datenreihe kann mehrere Modi aufweisen 75

80 4.2 Mindestens ordinal skalierte Daten Jetzt: Daten seien mindestens ordinal skaliert, d.h. erhobene Daten können sinnvoll geordnet werden Wichtige Darstellungsform der Daten: Empirische Verteilungsfunktion 76

81 Definition 4.3: (Empirische Verteilungsfunktion) Gegeben seien die Daten x 1,..., x n einer Urliste. Für jede reelle Zahl x R definiert man die empirische Verteilungsfunktion an der Stelle x (in Zeichen: F (x)) als den Anteil der Daten x 1,..., x n, die kleiner oder gleich x sind: Bemerkung: F (x) = Anzahl aller x i x. n Es gibt alternative Möglichkeiten, die empirische Verteilungsfunktion auszudrücken. Z.B. kann man alle Merkmalsausprägungen ξ j (j = 1,..., J) betrachten, die kleiner oder gleich x sind und deren relative Häufigkeiten f j = n j /n aufsummieren: F (x) = f j ξ j x 77

82 Beispiel (Klausurnoten): [I] 16 Studierende erzielten in einer Klausur die folgenden ganzzahligen Noten: 3, 4, 2, 1, 2, 4, 5, 5, 2, 1, 4, 5, 3, 3, 2, 4 Zur Berechnung der emp. VF sortieren wir die Urliste von der kleinsten zur größten Beobachtung 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 78

83 Beispiel (Klausurnoten): [II] Die emp. VF ergibt sich wie folgt: F (x) = = für x < 1 = für 1 x < 2 = für 2 x < 3 = für 3 x < = für 4 x < = für x 5 79

84 1 0,8 0,6 0,4 0, Bemerkung: Wir notieren die vom kleinsten Datenwert (Minimum) zum größten Datenwert (Maximum) geordnete Urliste als x (1) x (2)... x (n). (x (1) = Minimum der Urliste, x (n) = Maximum) 80

85 Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion: [I] F (x) = 0 für alle x < x (1) F (x) = 1 für alle x x (n) F (x) ist eine Treppenfunktion. Sprünge erfolgen an den Stellen, die als Daten in der Urliste vorkommen. Die Sprunghöhe an der Stelle x = ξ j beträgt f j = n j /n. F (x) ist rechtsseitig stetig Ist die Urliste sehr lang (d.h. n sehr groß), so wird F (x) immer glatter 81

86 Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion: [II] Aus F (x) lassen sich die beobachteten Merkmalswerte und deren relativen Häufigkeiten rekonstruieren. Kennt man zusätzlich noch n, so folgen aus F (x) auch die absoluten Häufigkeiten Wichtige Kennzahlen einer Datenreihe: Quantile Definition der Quantile über emp. Verteilungsfkt. F (x) 82

87 Definition 4.4: (p-quantil) Gegeben seien die Daten x 1,..., x n einer Urliste. Man betrachte eine beliebige reelle Zahl p mit 0 < p < 1. Das p-quantil (oder der p 100%-Punkt) der Daten (in Zeichen: x p ) ist definiert als x p = min {x R F (x) p} = kleinstes x R für das gilt F (x) p. Bemerkung: Das p-quantil x p ist also der kleinste Wert x R mit der Eigenschaft, dass mindestens p 100% der Daten kleiner oder gleich x p sind 83

88 Bisher: Bestimmung von Quantilen über emp. Verteilungsfunktion F (x) Jetzt: Technische Vorschrift (Algorithmus) zur Bestimmung von Quantilen aus der Urliste x 1,... x n (ohne Berechnung der emp. VF F (x)) Betrachte dazu: Geordnete Urliste der Daten x (1) x (2)... x (n) 84

89 Das p-quantil ist dann gegeben durch: x p = { x(n p), falls n p ganzzahlig ist x ( n p +1) sonst ( n p bezeichnet den ganzzahligen Anteil von n p) Definition 4.5: (Spezielle Quantile) Einige p-quantile haben besondere Namen: Median (p = 0.5): x 0.5 Quartile (p = 0.25, 0.5, 0.75): x 0.25, x 0.5, x 0.75 Quintile (p = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8): x 0.2, x 0.4, x 0.6, x

90 Beispiel (Klausurnoten): [I] Urliste (ungeordnet) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x Geordnete Urliste x (1) x (2) x (3) x (4) x (5) x (6) x (7) x (8) x (9) x (10) x (11) x (12) x (13) x (14) x (15) x (16)

91 Beispiel (Klausurnoten): [II] Berechnung des 0.25-Quantils: n = 16, p = 0.25 n p = = 4 (ganzzahlig) x 0.25 = x (n p) = x (4) = 2 Berechnung des Medians: n = 16, p = 0.5 n p = = 8 (ganzzahlig) x 0.5 = x (n p) = x (8) = 3 Berechnung des 0.8-Quantils: n = 16, p = 0.8 n p = = 12.8 (nicht ganzzahlig) x 0.8 = x ( n p +1) = x ( ) = x (12+1) = x (13) = 4 87

92 4.3 Metrisch skalierte Daten Jetzt: Metrisch skaliertes Merkmal X (vgl. Folie 29) Rechenoperationen mit Daten x 1,..., x n sinnvoll Unter dieser Voraussetzung: Einführung von Kennzahlen zur Beschreibung der Lage (Abschnitte 4.3.1, 4.3.2) der Streuung (Abschnitt 4.3.3) der Symmetrie (Abschnitt 4.3.6) der metrisch skalierten Daten x 1,..., x n 88

93 4.3.1 Lagemessung Wichtige Frage der deskriptiven Statistik: Beschreibung des Lagezentrums der erhobenen Daten x 1,..., x n durch geeignete Kennzahlen (Lagekennziffern, Lagemaße) Man beachte: Je nach Skalenniveau der Daten kommen unterschiedliche Lagemaße in Betracht 89

94 Beispiele: Für ordinal skalierte Daten kennen wir bereits den Modus (häufigster Wert einer Datenreihe) den Median (0.5-Quantil, 50%-Wert) Wichtigstes Lagemaß für metrisch skalierte Daten: Definition 4.6: (Arithmetisches Mittel) Für die metrisch skalierten Daten x 1,..., x n ist das arithmetische Mittel (auch: Mittelwert oder Durchschnitt) definiert durch x = 1 n (x 1 + x x n ) = 1 n n i=1 x i. 90

95 Eigenschaften des arithmetischen Mittels: [I] Arithm. Mittel und Merkmalssumme n i=1 x i = n x = x + x x }{{} n mal x liegt zwischen Minimum und Maximum: x (1) = min{x 1,..., x n } x max{x 1,..., x n } = x (n) Schwerpunkteigenschaft: n i=1 (x i x) = n i=1 x i n x = n x n x = 0 91

96 Eigenschaften des arithmetischen Mittels: [II] Minimumeigenschaft: Für x gilt: n i=1 (x i x) 2 = min c R n i=1 (x i c) 2 Weitere Berechnungsmöglichkeiten für x: Anhand von relativen bzw. absoluten Häufigkeiten (vgl. Folie 67) x = 1 n n i=1 x i = 1 n J j=1 ξ j n j = J j=1 ξ j f j 92

97 Beispiel: Grundgesamtheit: n = 520 Haushalte eines Vorortes Merkmal: Anzahl der Haushaltsmitglieder ξ j n j Summe: 520 Durchschnittliche Haushaltsgröße: x = ( ) =

98 Verallgemeinerung des arithmetischen Mittels: Das gewogene arithmetische Mittel: x w = n i=1 w i x i mit den Gewichten w 1,..., w n, wobei 0 w i 1 n i=1 w i = 1 94

99 Bemerkungen: Mit w 1 = w 2 =... = w n = 1/n ergibt sich das arithmetische Mittel als Spezialfall Das gewogene Mittel ist zu verwenden, falls das relative Gewicht einzelner Untersuchungseinheiten an der Grundgesamtheit von Bedeutung ist. Soll z.b. der durchschnittliche Strukturwandel in der BRD statistisch erfasst werden, so sind bei der Durchschnittsbildung über die einzelnen Bundesländer deren wirtschaftliche Kapazitäten zu berücksichtigen. Z.B. erhält in der Strukturberichterstattung der gemessene Strukturwandel in NRW ein höheres Gewicht als der des Saarlandes. 95

100 Arithmetisches Mittel vs. Median Wiederholung (vgl. Folie 85): Median ist 0.5-Quantil x 0.5 = { x (n/2), x ( n/2 +1), falls n gerade falls n ungerade Man beachte: Sowohl das arithmetische Mittel x als auch der Median x 0.5 sind populäre Lagemaße 96

101 Vergleich Mittelwert / Median: In die Berechnung von x fließen alle Beobacht. ein Vorteil: Es wird keinerlei Information verschenkt Nachteil: x reagiert empfindlich auf extreme Ausreißer in den Daten x 0.5 wird durch Ermittlung der mittleren Position der geordneten Urliste bestimmt ist robust gegenüber extremen Datenaus- Vorteil: x 0.5 reißern Nachteil: Es wird Information verschenkt, da nur die Position der Beobachtungen eine Rolle spielt 97

102 4.3.2 Weitere Mittelwerte Neben dem (gewogenen) arithmetischen Mittel gibt es eine Reihe weiterer Mittelwerte: Definition 4.7: (Harmonisches, geometrisches Mittel) Es seien x 1,..., x n metrisch skalierte Daten mit x i > 0 für i = 1,..., n. Das harmonische Mittel x H sowie das geometrische Mittel x G sind definiert als x H = 1 1 n n i=1 1 x i = 1 n n i=1 x 1 i 1 98

103 bzw. x G = n x 1 x 2... x n = n x i i=1 1 n. Spezielle Anwendungsgebiete: Harmonisches Mittel: Indizes vom Typ Paasche (Kapitel 5) Geometrisches Mittel: Wachstumsfaktoren und Wachstumsraten (Kapitel 5) 99

104 4.3.3 Streuungsmaße Weitere Frage der dekriptiven Statistik: Wie stark streuen die Daten x 1,..., x n um ein geeignet definiertes Zentrum? (Kennzahlen: Streuungs- oder Dispersionsmaße) Man beachte: Mit alternativen Lagemaßen für das Zentrum ergeben sich unterschiedliche Streuungsmaße Wichtigste Streuungsmaße für metrische Daten: Varianz und Standardabweichung 100

105 Definition 4.8: (Varianz, Standardabweichung) Für die metrisch skalierten Daten x 1,..., x n ist die Varianz (in Zeichen: s 2 ) definiert durch s 2 = 1 n n i=1 (x i x) 2. Die Standardabweichung (in Zeichen: s) ist definiert als die Wurzel aus der Varianz, d.h. s = s 2 = 1 n n (x i x) 2. Bemerkung: i=1 Meist wird bei der Berechnung von s 2 bzw. s nicht durch n, sondern durch n 1 dividiert (Begründung: in Statistik II) 101

106 Eigenschaften von s 2 und s: [I] s 2 hat quadratische Dimension, s hat gleiche Dimension wie die Daten x 1,..., x n Es gilt stets: s 2 0 und s 0 Ferner: s = 0 s 2 = 0 x 1 = x 2 =... = x n, d.h. Varianz und Std.Abwch. sind genau dann gleich 0, wenn alle Daten gleich sind (keine Streuung) 102

107 Eigenschaften von s 2 und s: [II] Alternative Darstellungen: s 2 = 1 n n i=1 x 2 i x2 (Proseminar) s 2 = 1 2n 2 n n i=1 j=1 ( xi x j ) 2 103

108 Zwei weitere zentrale Eigenschaften: [I] Es seien a, b R und x 1,..., x n erhobene Daten eines Merkmals X. Das Merkmal Y sei eine lineare Transformation von X, d.h. Y = a X + b, so dass für die Daten des Merkmals Y gilt y i = a x i + b für alle i = 1,..., n. Dann folgt für die Varianz s 2 Y s Y des Merkmals Y : bzw. die Standardabweichung s 2 Y = a2 s 2 X bzw. s Y = a s X 104

109 Zwei weitere zentrale Eigenschaften: [II] Für jede reelle Zahl c R gilt der Verschiebungssatz: 1 n n i=1 (x i c) 2 = s 2 + (x c) 2 Hieraus folgt die Minimumeigenschaft des arithmetischen Mittels (vgl. Folie 92): Die durchschnittliche quadratische Abweichung der Daten von einem Bezugspunkt c wird minimal, wenn man c = x wählt 105

110 Alternative Streuungsmaße: [I] Mittlere absolute Abweichung vom Median: d = 1 n n i=1 x i x 0.5 Es gilt die Minimierungseigenschaft: d = min c R 1 n n i=1 x i c Quartilsabstand Q Q = x 0.75 x 0.25 (Länge des Bereichs mit mittleren 50% der Daten) 106

111 Alternative Streuungsmaße: [II] Spannweite R R = max {x i} i=1,...,n (Länge des gesamten Datenbereichs) min i=1,...,n {x i} = x (n) x (1) Jetzt: Berechnung von Streuungsmaßen anhand von Häufigkeiten Zur Erinnerung (vgl. Folie 67): Merkmal X hat die J Ausprägungen ξ 1,..., ξ J mit den jeweiligen absoluten Häufigkeiten n 1,..., n J 107

112 Damit folgende Formeln für die Streuungsmaße: s 2 = 1 n s = J j=1 1 J n j=1 ( ξj x ) 2 nj ( ξj x ) 2 nj d = 1 n J j=1 ξ j x 0.5 nj R = max j=1,...,j {ξ j n j > 0} min {ξ j n j > 0} j=1,...,j 108

113 4.3.4 Additionssätze für arithmetische Mittel und Varianzen Ausgangssituation: Grundgesamtheit G gliedert sich in K Teilgesamtheiten G 1,..., G K Mittelwerte bzw. Varianzen in den K Teilgesamtheiten sind x 1,..., x K bzw. s 2 1,..., s2 K Umfänge der Teilgesamtheiten seien n 1,..., n K Damit ist der Umfang der Grundgesamtheit n = K n k k=1 109

114 Frage: Zusammenhänge zwischen dem Mittelwert x bzw. der Varianz s 2 der Grundgesamtheit und den Mittelwerten bzw. Varianzen der Teilgesamtheiten? Additionssatz für Mittelwerte: x = K k=1 x k nk n (Mittelwert der Grundgesamtheit ist gewichtetes Mittel der Mittelwerte der Teilgesamtheiten) 110

115 Additionssatz für Varianzen: s 2 = K s 2 k nk n k=1 }{{} =s 2 int + K (x k x) 2 nk n k=1 } {{ } =sext 2 Bedeutung der internen bzw. externen Varianzen s 2 int, s2 ext : Interne Varianz ist gewichtetes Mittel aus den Varianzen der Teilgesamtheiten Externe Varianz ist gewichtete quadratische Abweichung der Mittelwerte x k der K Teilgesamtheiten vom Mittelwert x der Grundgesamtheit 111

116 Offensichtlich: Gesamtvarianz lässt sich exakt in Summe aus interner und externer Varianz zerlegen: s 2 = s 2 int + s2 ext Beispiel: 100 (Wieder-)Erwerbstätige wurden nach der Dauer X der früheren Arbeitslosigkeit befragt (in Monaten) Frauen Männer Anzahl Mittlere Arbeitslosigkeitsdauer Std.-Abwchg. der Arbeitslosigkeitsdauer

117 Berechnungen: x = 9.2 s 2 int = = s 2 ext = ( ) = ( ) = s 2 = s 2 int + s2 ext = = s =

118 4.3.5 Stetig klassierte Daten Häufiges praktisches Problem: Daten liegen nicht als Urliste x 1,..., x n vor (Einzeldaten), sondern zusammengefasst nach Klassen (stetig klassierte oder Gruppendaten) Beispiel: Verfügbares Monatseinkommen (in Euro) von 5000 Studierenden 114

119 f j EK-Klasse K j Studierende n j f j j x o j xu j 1 0 bis mehr als 250 bis mehr als 500 bis mehr als 750 bis mehr als Summe: Grund für stetige Klassierung: Bei sehr langen Datenreihen ist die Angabe von Häufigkeiten jedes einzelnen Datenpunktes oft sinnlos 115

120 Notationen zur Auswertung stetig klassierter Daten: Betrachte die J Klassen (Intervalle) K 1 = [x u 1, xo 1 ], K j = (x u j, xo j ], j = 2,..., J, wobei für die Intervallgrenzen gelten soll x u 1 < xo 1 = xu 2 < xo 2 = xu 3 < xo 3 <... < xo J 1 = xu J < xo J Bemerkungen: Die untere Grenze x1 u der 1. Klasse kann sein Die obere Grenze x o J der J. Klasse kann sein n j ist die Anzahl der Daten in Klasse K j f j = n j n ist der Anteil der Daten in Klasse K j 116

121 Damit: Die Häufigkeitsverteilung der stetig klassierten Daten ist gegeben durch bzw. durch (K 1, n 1 ), (K 2, n 2 ),..., (K J, n J ) (K 1, f 1 ), (K 2, f 2 ),..., (K J, f J ) Bemerkung: Es wird nichts über die Datenverteilung innerhalb der Klassen ausgesagt Informationsverlust 117

122 Probleme bei der stetigen Klassierung: Wieviele Klassen J soll man wählen? Faustregel: Wähle bei n Daten J 10 log 10 n Soll man die J Klassen alle gleich breit wählen? Ist es möglich, die oberste Klasse durch eine endliche Obergrenze sinnvoll abzuschließen? 118

123 Definition 4.9: (Empirische Dichte, Histogramm) Den Quotienten n j n (x o j xu j ) = f j x o j xu j bezeichnet man als empirische Dichte der Daten in der Klasse K j, j = 1, 2,..., J. Trägt man die empirischen Dichten als waagerechte Linien über den Klassen ab und zeichnet an den Klassengrenzen senkrechte Linien in Höhe der jeweiligen emprischen Dichten ein, so entsteht ein Histogramm der Daten. 119

124 Empirische Dichten und Histogramm zum Beispiel Studierende 0,002 0,0016 0,0012 0,0008 0,

125 Bemerkungen zum Histogramm: Das Rechteck über der Klasse j hat die Fläche (x o j xu j ) f j x o j xu j = f j Die Gesamtfläche unter dem Histogramm beträgt 1, denn Gesamtfläche = Summe der Rechteckflächen = J j=1 (xj o xu j ) f j x o j xu j = J j=1 f j = 1 121

126 Jetzt: Berechnung statistischer Kenngrößen bei stetig klassierten Daten Zunächst: Empirische Verteilungsfunktion und Quantile Erinnerung: (vgl. Folie 77, Definition 4.3) Der Wert der emp. Verteilungsfunktion F (x) ist definiert als Anteil der Daten, die kleiner oder gleich x sind 122

127 Problem bei stetiger Klassierung: Verteilung der Daten in Klasse K j ist unbekannt Für ein x K j (x nicht auf der Ober- oder Untergrenze) ist der Anteil nicht bestimmbar Vorgehensweise: Betrachte zunächst die x R, für die die emp. Verteilungsfunktion F (x) exakt berechenbar ist 123

128 Zunächst gilt: F (x) = 0 für x < x u 1 1 für x x o J Weiterhin gilt an den Obergrenzen aller Klassen: F (x o j ) = j f r r=1 für alle j = 1, 2,..., J Übrig bleibt: Berechnung von F (x) für x (x u j, xo j ] 124

129 Vorgehensweise: Lineare Interpolation von F (x) für x (x u j, xo j ]: F (x) F (x u j ) + f j x o j xu j = F (x o j 1 ) + f j x o j xu j (x x u j ) (x x u j ) = j 1 r=1 f r + f j x o j xu j (x x u j ) 125

130 Beispiel: (vgl. Folien 114, 115) [I] Monatseinkommen von 5000 Studierenden Obergrenze der letzten Klasse wurde willkürlich auf 1500 Euro gesetzt j EK-Klasse K j f j F (x o j ) 1 0 bis mehr als 250 bis mehr als 500 bis mehr als 750 bis mehr als 1000 bis

131 Beispiel: [I] Zwischen Klassengrenzen wird linear interpoliert, z.b. F (650) f 1 + f 2 + f 3 x o 3 (x x u xu 3 ) 3 = Empirische Verteilungsfunktion zum Beispiel Studierende 0.4 ( ) = ,8 0,86 F(x) 0,6 0,4 0,66 0,2 0 0,26 0, x 127

132 Jetzt: Berechnung von Quantilen bei stetiger Klassierung über empirische Verteilungsfunktion F (x) (vgl. Folie 83, Definition 4.4) Zusatzannahme: Keine der Klassen K j besitzt die Häufigkeit 0 = Emp. VF F (x) ist streng monoton wachsend = Für jedes p (0, 1) hat die Gleichung F (x) = p eine eindeutige Lösung, nämlich das p-quantil x p 128

133 Explizite Berechnung von x p : [I] 1. Bestimme die Klasse K j in der x p liegt, d.h. bestimme das j für das gilt F (x u j ) < p F (xo j ) 2. Löse die Gleichung p = F (x u j ) + f j x o j (x x xu j u ) j nach x auf. Die Lösung approximiert das Quantil x p. 129

134 Explizite Berechnung von x p : [II] p = F (x u j ) + f j x o j xu j (x x u j ) x x u j = p F (xu j ) f j (x o j xu j ) x = x u j + p F (xu j ) f j (x o j xu j ) x = x u j + p F (xu j ) F (x o j ) F (xu j )(xo j xu j ) }{{} x p 130

135 Beispiel: (vgl. Folie 126, Einkommen Studierende ) Gesucht: unteres Quartil x 0.25 Berechnung von x 0.25 : = F (x u 2 ) < = F (xo 2 ), d.h. x 0.25 K 2 = (250, 500] 2. Damit folgt: x ( ) =

136 Es verbleibt: Berechnung weiterer statistischer Kennzahlen, z.b. Arithmetisches Mittel Varianz bzw. Standardabweichung (Nicht in der VL) 132

137 4.3.6 Schiefemessung Situation: Betrachte Urliste x 1,..., x n (keine stetige Klassierung) Wichtige praktische Feststellung: In der empirischen Wirtschaftsforschung werden Kennzahlen wie arithmetisches Mittel, Varianz, Standardabweichung etc. in der Praxis nicht per Hand ausgerechnet, sondern mit spezieller Auswertungssoftware (z.b. EViews) 133

138 Beispiel: (vgl. Folie 12) Tägliche Wechselkursveränderungsraten der griechischen Drachme zum Euro Stabdiagramm und statistische Kennzahlen für GRD-Veränderungsraten Series: GRD_RET Sample 16/12/1998 1/01/2001 Observations 748 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability

139 Sy mmetris c he Verteilung Series: SYMMETRIE Sample Observations Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Rechtsschiefe Verteilung Series: RECHTS Sample Observations Mean Median Max imum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Linksschiefe Verteilung Series: LINKS Sample Observations 5000 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability

140 Fazit: Datenreihen zeigen unterschiedliches Symmetrieverhalten Jetzt: Kennzahl für Symmetrieverhalten 136

141 Definition 4.10: (Schiefe) Die Schiefe einer Urliste x 1,..., x n ist definiert durch n ( xi x ) 3, wobei wie üblich und g = 1 n s = i=1 x = 1 n 1 n n i=1 s n x i i=1 (x i x) 2 das arithmetische Mittel sowie die Standardabweichung der Daten bezeichnen. 137

142 Bemerkungen: Der zentrale Term in Definition 4.10 ist n i=1 (x i x) 3 Liegen viele Daten x i rechts von x, so ist g tendenziell positiv Liegen viele Daten x i links von x, so ist g tendenziell negativ Insgesamt gelten die folgenden Relationen: g < 0 g 0 g > 0 = Verteilung ist linksschief = Verteilung ist symmetrisch = Verteilung ist rechtsschief 138

143 5. Verhältniszahlen, Messzahlen und Indexzahlen Ziel dieses Kapitels: Grundlegende Maßzahlen der praktischen Wirtschaftsstatistik 5.1 Verhältniszahlen Definition 5.1: (Verhältniszahl) Eine Verhältniszahl ist allgemein der Quotient zweier statistischer Größen. Die den beiden Größen zugrunde liegenden Grundgesamtheiten können identisch oder verschieden sein. Als spezielle Verhältniszahlen unterscheidet man Gliederungszahlen, Beziehungszahlen und Messzahlen. 139

144 Gliederungszahl: Aussage über die Struktur der Grundgesamtheit G eines (metrisch skalierten) Merkmals U Annahme: G zerfällt in J Teilgesamtheiten, d.h. G = G 1 G 2... G J Es bezeichne u j die Merkmalssumme von U in der Teilgesamtheit G j (j = 1,..., J), so dass gilt u = J r=1 u r = Merkmalssumme von U auf ganz G Definiere nun für j = 1,..., J die Gliederungszahlen g j = u j u 140

145 Bemerkungen: Die Gliederungszahlen g j sind Anteile, d.h. es gilt g j 0 Jr=1 g r = 1 Beispiele: Anteile der Studierenden der unterschiedlichen Disziplinen am Fachbereich WiWi der WWU (Betriebs-, Volkswirte, Wirtschaftsinformatiker) Anteile von Bund, Ländern und Kommunen an der Gesamtverschuldung der BRD 141

146 Beziehungszahl: [I] Aussage über die Struktur der Grundgesamtheit G in Bezug auf 2 (metrisch skalierte) Merkmale U und V Annahme: G zerfällt in J Teilgesamtheiten, d.h. G = G 1 G 2... G J Es bezeichnen u j und v j die Merkmalssummen von U und V in der Teilgesamtheit G j (j = 1,..., J), so dass gilt u = v = J r=1 J r=1 u r = Merkmalssumme von U auf ganz G v r = Merkmalssumme von V auf ganz G 142

147 Beziehungszahl: [II] Definiere nun die Beziehungszahlen b = u v bzw. für j = 1,..., J b j = u j v j Beispiel: (Bundesländerstatistik) Amtliche Statistik der BRD 143

148 Bundesland Einw. in 1000 BIP (Mrd. DM) Baden-Württemberg Bayern Berlin Brandenburg Bremen Hamburg Hessen Meck.-Vorpommern Niedersachsen NRW Rheinland-Pfalz Saarland Sachsen Sachsen-Anhalt Schleswig-Holstein Thringen Summe

149 Gliederungszahlen: (vgl. Folie 146) Bevölkerungsanteil Anteil am BIP Beziehungszahlen: (vgl. Folie 147) BIP pro Kopf 145

150 Bundesland Bev.-Anteil Anteil am BIP Baden-Württemberg Bayern Berlin Brandenburg Bremen Hamburg Hessen Meck.-Vorpommern Niedersachsen NRW Rheinland-Pfalz Saarland Sachsen Sachsen-Anhalt Schleswig-Holstein Thringen Summe

151 Bundesland BIP pro Kopf in DM Baden-Württemberg Bayern Berlin Brandenburg Bremen Hamburg Hessen Meck.-Vorpommern Niedersachsen NRW Rheinland-Pfalz Saarland Sachsen Sachsen-Anhalt Schleswig-Holstein Thringen Deutschland insgesamt

152 Einige Zusammenhänge: [I] Es gilt: b = u v = 1 v J j=1 u j = J j=1 u j v = J j=1 v j v uj v j = J j=1 h j uj v j Beziehungszahl b = u v ist gewogenes arithmetisches Mittel der Beziehungszahlen u j v mit den Gewichten h j j = v j v 148

153 Einige Zusammenhänge: [II] Ferner gilt: b = = ( ) v 1 Jj=1 1 v j = u J j=1 g j ( uj v j u ) 1 1 = = 1 J j=1 Jj=1 g j 1b j u j u vj u j 1 b = u v ist gewogenes harmonisches Mittel der b j = u j v j Gewichten g j = u j u mit den 149

154 Messzahl: Quotient zweier sachlich aufeinander bezogener Maßzahlen für zwei statistische Massen Beispiele: [I] Geschlechterverhältnis Männer in der BRD am Geschl.-Verhältn. = Frauen in der BRD am (Messzahl des sachlichen Vergleichs) 150

155 Beispiele: [II] Einwohnerrelation zwischen 2 Ländern Einwohner der BRD am Einwohnerel. = Einwohner Frankreichs am (Messzahl des räumlichen Vergleichs) Einwohnerrelation eines Landes an 2 Zeitpunkten Einwohner der BRD am Einwohnerel. = Einwohner der BRD am (Messzahl des zeitlichen Vergleichs) 151

156 5.2 Messzahlen des zeitlichen Vergleichs Ausgangssituation und Begriffe: [I] Betrachte eine zeitlich geordnete Folge von Zeitpunkten t 0 t 1... t T sowie die Ausprägungen eines (metrischen) Merkmals X zu diesen Zeitpunkten: x t0, x t1,..., x tt (alternative Schreibweise: x t, t = t 0,..., t T ) Der Index t steht für die Zeit (time). Deshalb nennt man die obige Urliste x t0,..., x tt eine Zeitreihe 152

157 Ausgangssituation und Begriffe: [II] Sind die Abstände zwischen den Zeitpunkten t 0, t 1,..., t T immer gleich, d.h. t 1 t 0 = t 2 t 1 =... = t T t T 1, so spricht man von äquidistanten Zeitpunkten. In diesem Fall benennt man die Zeitpunkte t 0, t 1,..., t T der Einfachheit halber um in 0, 1,..., T und notiert die obige Zeitreihe als x 0, x 1,..., x T Beispiele für Zeitreihen: Monatliche Arbeitslosenquoten Tägliche Wechselkurse zwischen Euro und US-$ 153

158 Häufiges Vorgehen in der Empirischen Wirtschaftsforschung: Wähle aus der Menge aller möglichen Zeitpunkte einen Basiszeitpunkt s {t 0,..., t T } und setze die gesamte Zeitreihe x t, t = t 0,..., t T, ins Verhältnis zur Beobachtung x s des Basiszeitpunktes. Für einen beliebigen Berichtszeitpunkt t betrachtet man also den Quotienten m s,t = x t x s für t = t 0,..., t T Begründung: Man interessiert sich für die Entwicklung der Zeitreihe relativ zur Ausprägung des Basiszeitpunktes s (in praxi wird oft s = t 0 gewählt) 154

159 Definition 5.2: (Messzahl mit fester Basiszeit) Für einen konkreten Basiszeitpunkt s {t 0,..., t T } nennt man den Quotienten m s,t = x t x s die Messzahl für die Berichtszeit t. Man beachte: Aus Definition 5.2 folgt unmittelbar: m t,t = 1 m s,t = x t x s = 1 x s /x t = 1 m t,s 155

160 Beispiel: Wechselkurszeitreihe Griechische Drachme zum Euro (Tagesdaten) Offensichtlich: Qualitativer Verlauf gleich Untere Grafik betont Kursverlauf relativ zum Startwert 156

161 Originale Zeitreihe /12/98 3/07/99 19/01/00 6/08/ Zeitreihe zum Basiszeitpunkt s=0 (Basiswert: ) /12/98 3/07/99 19/01/00 6/08/00

162 5.2.1 Umbasierung und Verkettung von Messzahlen Definition 5.3: (Umbasierung) Unter der Umbasierung einer Messzahl zum Basiszeitpunkt s versteht man den Übergang zu einer Messzahl mit anderer Basiszeit r {t 0,..., t T }. Rechenregel für Umbasierung: [I] Offensichtlich gilt für jedes t {t 0,..., t T } m r,t = x t x r = x t/x s x r /x s = m s,t m s,r 158

163 Rechenregel für Umbasierung: [II] Zirkularität von Messzahlen: m s,t = m s,r m r,t Verkettung von Messzahlen: Betrachtete äquidistante Zeitreihe x 0, x 1,..., x T von Messzahlen zu den Basiszeiten 0 bzw. s und Folgen m 0,t für t = 0, 1,..., s m s,t für t = s, s + 1,..., T Gesucht: durchgehende (vollständige) Folgen von Messzahlen zu den Basiszeiten 0 bzw. s 159

164 Lösung: Messzahlenfolge für die Basiszeit 0: m 0,t = { m 0,t m 0,s m s,t für t = 0, 1,..., s für t = s + 1, s + 2,..., T Messzahlenfolge für die Basiszeit s: m s,t = m 0,t m 0,s für t = 0, 1,..., s 1 m s,t für t = s, s + 1,..., T Zahlenbeispiel: In den Tutorien 160

165 5.2.2 Zuwachsraten und Zuwachsfaktoren Betrachte: Äquidistante Zeitreihe x t, t = 0, 1,..., T Messzahl mit fester Basiszeit m s,t = x t x s (vgl. Definition 5.2, Folie 155) 161