Mathematik für MolekularbiologInnen. Vorlesung IX Ausgewählte Kapitel der Statistik

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1 Mathematik für MolekularbiologInnen Vorlesung I Ausgewählte Kapitel der Statistik

2 Übersicht Statistische Stichproben- und Schätztheorie Entscheidungstheorie (Signifikanztests) Theorie der kleinen Stichproben, t-test (und der Chi -Test) Literatur: Murray R. Spiegel, Statistik, Mc-Graw Hill-Book; Schaum s Outline

3 Stichproben- und Schätztheorie Eigenschaften großer und kleiner Stichproben Es werden sogenannte große Stichproben mit 30 unterschieden von den kleinen Stichproben. Große Stichproben, bzw Stichprobenverteilungen von hinreichend großem Umfang (üblicherweise 30) sind annähernd oder exakt normal(verteilt), selbst wenn die Grundgesamtheit nicht normalverteilt ist. ormalerweise müssen für kleine Stichproben andere Annahmen gemacht werden als für große, was zu einer eigenen Theorie der kleinen Stichproben (t- Verteilung) geführt hat.

4 Stichproben- und Schätztheorie Stichprobenverteilungen von Parametern Parameter der Grundgesamtheit wie μ oder σ finden ihre Entsprechung in den Stichproben und werden dort als Stichprobenfunktionen S bezeichnet. Wenn mehrere Stichproben gezogen werden, erhält man eine Verteilung der Stichprobenfunktionen (da die Werte von Probe zu Probe verschieden sind) Die Verteilung beliebiger Funktionen, genannt Stichprobenverteilung, hat ihrerseits einen Mittelwert μ S und eine Standardabweichung σ S. Letztere wird auch als Standardfehler der jeweiligen Stichprobenfunktion, so z.b. als Standardfehler des Mittelwerts ( ) bezeichnet. Die Stichproben werden mit einem Umfang aus einer Grundgesamtheit gezogen, wieder wird bei der Berechnung zwischen Ziehen mit oder ohne Zurücklegen unterschieden.

5 Stichproben- und Schätztheorie Stichprobenverteilungen von Parametern Stichprobenverteilung der Mittelwerte Unter der Voraussetzung, dass P > für mehrere (alle möglichen) ohne Zurücklegen erhaltenen Proben aus einer endlichen Grundgesamtheit, gilt für die Stichprobenverteilung: P P dagegen vereinfacht für unendliche Grundgesamtheiten bzw. Proben mit Zurücklegen:

6 Stichproben- und Schätztheorie Konfidenzintervalle In der Praxis werden oft Stichprobenfunktionen S anhand einer einzigen Stichprobe ermittelt. Die Frage ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Wert von S innerhalb eines bestimmten Abstandes vom theoretischen Stichproben-Verteilungsmittel (wenn mehrere bzw. möglichst viele Stichproben gemacht würden), und somit auch vom gesuchten Parameter der Grundgesamtheit entfernt ist. Da man Gruppen von Stichproben des Umfangs 30 bezüglich ihrer Funktionen S als normalverteilt annehmen kann, macht man sich die Eigenschaften der ormalverteilung (vgl VL 7, 8) zunutze: der Wert einer einzigen Stichprobe liegt mit 95,45%-iger Wahrscheinlichkeit innerhalb von S S das unbekannte Verteilungsmittel μ S liegt mit 95,45%-iger Wahrscheinlichkeit innerhalb von S S S Standardfehler der Verteilung der Stichprobenfunktion

7 Stichproben- und Schätztheorie Konfidenzintervalle Diese Wahrscheinlichkeit ist ein Ausmaß des Vertrauens auf einen Wert S als möglichst exaktes Schätzmaß für den Grundgesamtheits-Parameter. Das Vertrauen wird als Konfidenz bezeichnet, sein Ausmaß als Konfidenzniveau. Ein bestimmtes Konfidenzniveau entspricht also einem Konfidenzintervall, dessen Grenzen ein Vielfaches der Standardabweichung sind. Der Faktor z K für den z K σ einem gewünschten iveau entspricht ist für ormalverteilungen tabelliert und wird als Sicherheitskoeffizient bezeichnet 68,3% 95,45% 99,73% Tabelle der Konfidenzintervalle: Konfidenzniveau (%) 99,73 99,0 98,0 96,00 95,45 95,00 90,00 80,00 68,7 50,00 z K 3,00,58,33,05,00,96,645,8,00 0,6745

8 Stichproben- und Schätztheorie Konfidenzintervalle des Stichproben-Mittelwerts Für die Berechnung von Konfidenzintervallen bräuchte man den Standardfehler der Stichprobenfunktion, S, welcher von der Varianz der Grundgesamtheit abhängt (Standardfehler des Mittelwerts, ). Konfidenzniveau (%) 99,73 99,0 98,0 96,00 95,45 95,00 90,00 80,00 68,7 50,00 z K 3,00,58,33,05,00,96,645,8,00 0,6745 Für den Mittelwert einer einzelnen Stichprobe mit 90%-Konfidenzintervall gilt: liegt innerhalb von zk,645, 645 Man kennt jedoch die Grundgesamtheit nicht und kann auch auf keine Stichprobenverteilung zurückgreifen um den Standardfehler zu bestimmen. Deswegen setzt man als Approximation die Varianz der Stichprobe in die jeweilige Formel ein. Für 30 führt das zu befriedigenden Lösungen, für <30 muß die Theorie der kleinen Stichproben verwendet werden.

9 Entscheidungstheorie Kontext der statistischen Entscheidungstheorie Die Stichprobentheorie leitet die Zusammenhänge zwischen den Parametern einer Grundgesamtheit und den korrespondierenden Stichprobenfunktionen her, basierend auf dem Vergleich der bekannten Grundgesamtheit mit den Funktionsverteilungen möglichst vieler Stichproben. Die statistische Schätztheorie verwendet die Ergebnisse der Stichprobentheorie, um Parameter unbekannter Grundgesamtheiten anhand einzelner Stichproben mit einer bestimmten Konfidenz abschätzen zu können. Die statistische Entscheidungstheorie testet Hypothesen für Parameter der Grundgesamtheit anhand der Abweichung entsprechender Funktionen von einzelnen Stichproben. Sie macht Aussagen über die Signifikanz solcher Abweichungen bei gegebenen Irrtumswahrscheinlichkeiten.

10 Entscheidungstheorie Statistische Hypothesen Statistische Hypothese: Annahme oder Vermutung über die Eigenschaften der interessierenden Grundgesamtheit, oder über Differenzen zwischen zwei oder mehreren Grundgesamtheiten. Oft wird die Hypothese nur aufgestellt, um sie widerlegen zu können (z.b. Wirksamkeit Medikament A = B) Die Grundannahme wird auch als ullhypothese H 0 bezeichnet; eine sich davon unterscheidende Vermutung als alternative Hypothese H. Beispiel: statistische Hypothese: Behauptung, eine Münze sei echt => die Wahrscheinlichkeit für Kopf betrage p = 0,5 (H 0 : p= 0,5) bzw. Der Erwartungswert E () = E (Kopf) = Σ p i i = 0,5 (Binomialverteilung mit = ). Das entspricht dem Mittelwert μ = 0,5 für die unendliche Grundgesamtheit von Münzwürfen. Eine Stichprobe mit = 50 Münzwürfen, die 40 mal Kopf ergibt, hat einen Mittelwert von ,8 50 Man würde intuitiv dazu neigen, die ullhypothese (die Münze sei echt, p=0,5) abzulehnen.

11 Statistische Hypothesen Entscheidungstheorie Statistische Hypothesen werden durch Zufallsstichproben überprüft, diesen Vorgang nennt man Hypothesentest oder Signifikanztest. Wenn sich das Ergebnis der Stichprobe deutlich von der Annahme unterscheidet, wird die Hypothese verworfen (bzw. durch eine alternative Hypothese ersetzt). Das irrtümliche Ablehnen von Hypothesen wird als Fehler. Art bezeichnet. Wird dagegen eine abzulehnende Hypothese fälschlicherweise angenommen, spricht man von einem Fehler. Art. Die maximal zulässige Irrtumswahrscheinlichkeit wird als Signifikanzniveau α (oder p-values) bezeichnet. Die ullhypothese wird verworfen (rejected), wenn die p-werte kleiner als 0,05, 0,0, oder 0,00 sind, was den Wahrscheinlichkeiten von 5%, % oder 0,% entspricht, einen Fehler.Art zu begehen. z.b: α = 0,05, die maximal zulässige Wahrscheinlichkeit für irrtümliches Ablehnen einer eigentlich richtigen ullhypothese beträgt 5 %.

12 Hypothesen- und Signifikanztests Entscheidungstheorie Was genau bedeutet deutlich unterscheiden? Unter der Annahme, dass Stichprobenfunktionen normalverteilt sind, sollten die Werte der Funktionen S für einzelne Stichproben mit einer Wahrscheinlichkeit von (z.b.) 95% innerhalb von S. 96 S liegen. Wird S S S S,96 S S standardisiert (Z-Transformation), so dass z, 96 S S dann sollte mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit z innerhalb von ±,96 liegen. kritischer Bereich p = 0,05 p = 0,95 kritischer Bereich p = 0,05 Liegt der Wert der Stichprobe außerhalb des Intervalls, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein solches Ereignis vorkommt nur 5 % wenn die Hypothese richtig ist (und das ist eher unwahrscheinlich). die kritischen Bereiche werden auch als Ablehnungsbereiche des Tests bezeichnet. p = 5% (für die kritischen Bereiche) wird Irrtumswahrscheinlichkeit α des Tests genannt. z K = ±,96 sind die kritischen Werte für 5% Irrtumswahrscheinlichkeit (vgl. Konfidenz)

13 Hypothesen- und Signifikanztests Entscheidungstheorie Welche Schlussfolgerungen ergeben sich für die Hypothese, wenn der z- Wert einer Stichprobe außerhalb von ± z K (,96 in unserem Beispiel) liegt? man sagt, der z-wert sei signifikant (dies bedeutet, er weicht signifikant vom Wert der Hypothese H 0 ab). die ullhypothese wird folglich mit 5% Irrtumswahrscheinlichkeit abgelehnt. es besteht jedoch eine 5%-ige Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobenfunktion dem Parameter der Grundgesamtheit entspricht, dass also die Hypothese hätte angenommen werden sollen (Fehler. Art).

14 Signifikanztest für Mittelwerte Entscheidungstheorie Ist die Stichprobenfunktion S das arithmetische Mittel der Stichprobe, dann gilt nach der Stichprobentheorie: und Es ergibt sich für den z-wert des Stichprobenmittels /Hypothesentest: Z Transformation : z S S S z ( ) wobei anstelle σ der Grundgesamtheit der Wert s der einzelnen Stichprobe genommen werden kann

15 Entscheidungstheorie Beispiel Münzwurf: Signifikanztest für Mittelwerte Eine Münze wird 50 mal geworfen und ergibt 40 mal Kopf; Annahme bei einer echten Münze: μ = 0,5, Aufstellen der ullhypothese: H 0 : p=0,5; Eine Stichprobe mit = 50 Münzwürfen, die 40 mal Kopf ergibt, hat einen Mittelwert von ,8 Man würde intuitiv dazu neigen, die ullhypothese (die 50 Münze sei echt, p=0,5) abzulehnen. Berechnung: Ist die Abweichung signifikant? Die Stichprobe mit = 50 Münzwürfen ( 0(0 0,8) 40( 0,8) i ) s und dem Mittelwert 0,8 hat eine i s 49 Standardabweichung von 0,4 Damit ergibt sich als z-wert bei gegebener ( ) 50 (0,8 0,5) z z ullhypothese (Annahme, dass μ = 0,5) 0,4 0,4 5,3 Konfidenzniveau (%) 99,73 99,0 98,0 96,00 95,45 95,00 90,00 80,00 68,7 50,00 z K 3,00,58,33,05,00,96,645,8,00 0,6745 Dieser Wert ist deutlich größer als selbst der kritische Wert z K = 3,9 für α = 0, %. Lehnen wir die Hypothese ab, dass μ = 0,5, ist das Risiko für einen Fehler. Art <<

16 Entscheidungstheorie Einseitige und zweiseitige Signifikanztests Wenn man lediglich darauf testet, ob die Stichprobenfunktion größer als z K ist (z.b. beim Test, ob eine Methode besser ist als eine andere), dann muss man die Wahrscheinlichkeit lediglich auf der rechten Seite des Stichprobenmittels berechnen Es ergeben sich andere Beträge für den kritischen Wert z K kritischer Bereich p = 0,05 p = 0,95 kritischer Bereich p = 0,05 α z K einseitig z K zweiseitig 0,0,8,8,645,645 0,05,645,645,96,96 0,0,33.33,58,58 p = 0,95 kritischer Bereich p = 0,05 0,005,58,58,8,8 0,00,88,88 3,08 3,08

17 Entscheidungstheorie Beispiel I: Aufstellen einer Entscheidungsregel Aufgabe: Ein etabliertes PCR-Verfahren hat eine mittlere Effizienz von 84,5% mit einer Standardabweichung von,0%. Eine Firma behauptet, durch ein verbessertes Verfahren die Effizienz bei gleicher Standardabweichung signifikant zu. a) Stellen Sie eine Entscheidungsregel für die negative ullhypothese auf, wobei für Stichproben des Umfangs = 64 die Irrtumswahrscheinlichkeit 0,0 betragen soll. Lösung: a) Die negative ullhypothese H 0 besagt, dass neue Verfahren sei nicht signifikant besser, also gleich effizient, d.h 84.5% Der Hypothesentest (= Entscheidungsregel) soll diese Hypothese verwerfen, wenn für das Stichprobenmittel gilt: ( ) z z K Auflösen nach ergibt: zk 84,5,33 88,0 64 Die Entscheidungsregel lautet:. Ein Mittelwert der Stichprobe bis 88,0% bestätigt die ullhypothese. Dies bedeutet, dass das neue Verfahren nicht signifikant besser ist.. Liegt der Stichproben-Mittelwert über 88,0%, ist die Hypothese zu verwerfen. Das neue Verfahren ist signifikant besser mit z K =,33 für α = 0,0 im einseitigen Test

18 Entscheidungstheorie Beispiel I: Aufstellen einer Entscheidungsregel Aufgabe: Ein etabliertes PCR-Verfahren hat eine mittlere Effizienz von 84,5% mit einer Standardabweichung von,0%. Eine Firma behauptet, durch ein verbessertes Verfahren die Effizienz bei gleicher Standardabweichung signifikant zu. b) Die tatsächliche Effizienz des neuen PCR-Verfahrens beträgt 90,0% (s =,0%). Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird nach der in a) aufgestellten Regel das neue Verfahren abgelehnt? b) Tatsächlich ist das neue PCR-Verfahren mit 90,0% Effizienz signifikant besser. Es ist nun die Frage zu klären, welcher Anteil von Stichproben unter dem Ablehnungswert von 88,0% liegen würde. Zur Veranschaulichung ist eine Kurven-Überlagerung hilfreich. Rechnerisch ergibt sich der z-wert für die Verteilung des neuen Verfahrens aus der Abweichung zwischen dessen Mittelwert (90,0) und dem kritischen Wert des Hypothesentests: α' = 9% z ( ) 64(88 90),33 z K = -,33 entspricht α = 0,09 (Entnahme aus Tabelle: z-,33 =0,09) Mit 9% Wahrscheinlichkeit würde eine Stichprobe des neuen Verfahrens abgelehnt werden.

19 Entscheidungstheorie Signifikanz der Differenz von Mittelwerten Von Bedeutung ist häufig die Fragestellung, ob sich zwei Ergebnisse oder Methoden signifikant unterscheiden. Die Theorie geht hierbei von zwei Grundgesamtheiten aus, für die separat Stichproben genommen werden. Die Stichprobentheorie liefert dann für S = folgende Ergebnisse hinsichtlich der Verteilungen der Differenzen zwischen zwei (Gruppen von) Stichproben: und Lautet die ullhypothese, zwei Grundgesamtheiten unterschieden sich nicht signifikant bezüglich ihrer Mittelwerte, so behauptet man: ) ( ) ( ) ( z 0 und es ergibt sich: z

20 Entscheidungstheorie Beispiel II: Signifikanztest bezüglich eines Unterschieds Aufgabe: Zwei Gruppen von Studierenden absolvieren eine Prüfung; Gruppe, = 40, mit einer mittleren Punktezahl von 74 und einer Standardabweichung von 8; Gruppe, = 50, mit einer mittleren Punktezahl von 78 und einer Standardabweichung von 7. Besteht ein signifikanter Unterschied zwischen den Ergebnissen der beiden Gruppen? (Der Signifikanztest soll 5% Irrtumswahrscheinlichkeit haben.) Lösung: Die ullhypothese lautet: H 0 : d.h. es existiere kein signifikanter Unterschied. Die Abweichung wäre demnach rein zufällig (und die beiden Gruppen repräsentieren Stichproben der selben Grundgesamtheit). Zur Überprüfung ermitteln wir den z-wert für Mittelwert-Differenzen von Stichproben z ( ) ( ) 8 / 40 7 / 50 Bei α = 0,05 (zweiseitig) ist z K =,96 und +,96. Für die vorliegenden Stichproben liegt z außerhalb dieses Intervalls, also im Ablehnungsbereich. Wir müssen die ullhypothese verwerfen und feststellen, dass Gruppe signifikant besser abgeschnitten hat.,49

21 Theorie der kleinen Stichproben Eigenschaften kleiner Stichproben Als kleine Stichproben bezeichnet man solche mit < 30. Funktionen kleiner Stichproben sind für gewöhnlich nicht normalverteilt, und die Abweichung von der ormalverteilung wird größer, je kleiner ist. Die Ergebnisse der allgemeinen Stichprobentheorie treffen daher für kleine Stichproben nicht oder nur unzureichend zu. Es besteht die otwendigkeit einer Theorie der kleinen Stichproben Diese modifizierte Theorie definiert (standardisierte) Stichprobenfunktionen, deren Verteilungen im Falle < 30 der Realität besser entsprechen. Da diese Funktionen jedoch gleichzeitig für große gültig sind, d.h. die Annäherung an die ormalverteilung korrekt wiedergeben, sollte man die Theorie kleiner Stichproben passenderer weise exakte Stichprobentheorie nennen.

22 Theorie der kleinen Stichproben Der Begriff der Freiheitsgrade Funktionen bzw. Verteilungen innerhalb der Theorie kleiner Stichproben berechnen sich über den Parameter ν, der die Anzahl der Freiheitsgrade der Stichprobenfunktion spezifiziert. Ist der Umfang einer Stichprobe, d.h. die Anzahl unabhängiger Beobachtungen, und entspricht k der Anzahl von Parametern der Grundgesamtheit, die aus den Stichproben-Beobachtungen geschätzt werden müssen, dann gilt: v k Wird beispielsweise nur der Mittelwert der Grundgesamtheit anhand einer oder mehrerer Stichproben geschätzt, dann ist k =, und für die Freiheitsgrade der Stichprobe(n) gilt: v

23 Theorie der kleinen Stichproben Student s t-verteilung (nach W. Gossett) Das Verhältnis t zwischen der Differenz des Stichprobenmittelwerts und des Populationsmittelwerts und dem Standardfehler des Mittelwerts nicht normal verteilt ist, wenn die Populationsparameter unbekannt sind Berechnung des t-wertes: s i i ( ) ( ) t t mit s bzw. sˆ sˆ s ( ) Hierbei ist die Verwendung der Stichproben-Standardabweichung s, im Ggs. zu den Formeln für normalverteilte große Stichproben, keine Approximation, sondern exakt. Die Formel impliziert nämlich bereits die korrigierte Standardabweichung ŝ für kleine (Formel STABW in Excel). sˆ i ( ) ( i )

24 Theorie der kleinen Stichproben Student s t-verteilung Diese Verteilung ergibt sich für die Mittelwerte von Stichproben, wenn die standardisierte Mittelwertfunktion definiert wird als: s t ) ( Wird die Funktion t für jede mögliche Stichprobe berechnet, ergibt sich die t- Verteilung, die gegeben ist durch 0 ) ( 0 t Y t Y Y Hierbei ist Y 0 eine Konstante, die für eine gegebene Verteilung von abhängt sodass die Fläche unter der Kurve, wie für Verteilungen gefordert, beträgt. (nach W. Gossett) bzw. s t ˆ ( ) mit ) ( ˆ s i

25 Theorie der kleinen Stichproben Student s t-verteilung Die t-verteilung ist glockenförmig, jedoch flacher als die ormalverteilung. Wie anhand der Verteilungs-Graphen ersichtlich, nähert sich die t-verteilung für steigende bzw. ν der ormalverteilung an (bei ν 30 wird die t-verteilung in der Praxis meist durch die ormalverteilung geschätzt): ormalverteilung ν = 30 Je kleiner (bzw. die Freiheitsgrade ν) umso flacher ist die Kurve, d.h. in kleinen Stichproben treten Extremwerte häufiger auf. ν = 3 ν = 00 ν = 0 /bio/gif/kap7/t.gif ν =

26 Theorie der kleinen Stichproben Der t-test für Hypothesen Signifikanztests unter Verwendung der t-verteilung nennt man t-tests. Hierbei wird die normierte Funktion t mit dem kritischen Wert für eine gegebene Irrtumswahrscheinlichkeit α (entsprechend Konfidenz) verglichen, um über die Ablehnung oder Annahme einer Hypothese zu entscheiden Anwendung bei <30 oder wenn die Standardabweichung der zugrundeliegenden ormalverteilung nicht bekannt ist und durch die Standardabweichung der Stichprobe ersetzt wird.

27 Theorie der kleinen Stichproben Signifikanztests für Mittelwerte Im Falle t-verteilter kleiner Stichproben verwendet man die kritischen Werte t K und erhält für die Konfidenzgrenzen des Mittelwerts einer Grundgesamtheit: t K s bzw. t K s s tk t K ŝ Die kritischen Werte hängen sowohl von der Konfidenz (α) als auch von der Zahl der Freiheitsgrade (ν) ab. Die kritischen Werte sie sind als einseitige oder zweiseitige Werte tabelliert (siehe Anhang)- richtige Auswahl trifft der/die ExperimentatorIn je nach Fragestellung.

28 Theorie der kleinen Stichproben Signifikanztests für Differenzen von Mittelwerten Zufallsstichproben und aus normalverteilten Grundgesamtheiten mit gleicher Standardabweichung σ werden gezogen, die MW und Standardabweichungen und bzw mit s und s gegeben sind. Hypothese: beide Proben sind aus der gleichen Grundgesamtheit H 0 : μ = μ und σ = σ t s s Berechnung: Die Verteilung von t ist die Student-Verteilung mit ν= + - Freiheitsgraden. Die kritischen Werte sie sind als einseitige oder zweiseitige Werte tabelliert (siehe Anhang).

29 Beispiel: =5; Parameter bestimmen: ν=4 Quelle: 49_ _ Anhang4.pdf

30 Quelle: Die Tabelle der einseitigen Abgrenzen kann leicht für zweiseitige Problemstellungen verwendet werden. z.b.: 99% Konfidenz (ν=4), statistische Sicherheit (-α)=0,99, dh % liegt nicht im Konfidenzintervall und kommt jeweils zur Hälfte vom rechten und linken Rand der symmetrischen Kurve kommen. Dementsprechend wird der t-wert bei (- 0,0/)=(- 0,005)=0,995 abgelesen. einseitig: t 0,995 (ν = 4) = 4,6 zweiseitig: t 0,99 (ν = 4) = 4,6

31 Theorie der kleinen Stichproben Beispiel I: Konfidenzintervall des Mittelwerts bei kleiner Stichprobe Aufgabe: Die Reaktionszeit einer Person wurde auf 0,8, 0,30, 0,7, 0,33 und 0,3 s gemessen. Schätzen Sie die tatsächliche Reaktionszeit mit 99% Konfidenz. Lösung: ) Ermittlung des Stichprobenmittelwertes und der Standardabweichung i i 0,98 ˆ s i ( ) 0,039 ) Da eine kleine Stichprobe ( = 5) vorliegt, muss man das Konfidenzintervall der Schätzung über die t-verteilung berechnen; Anzahl der Parameter = (Reaktionszeit) Zahl der Freiheitsgrade ν=-=5-=4 3) Wahl des Konfidenzintervalls: 99% Konfidenz, statistische Sicherheit (-α)=0,99; zweiseitige Abgrenzung (größer oder kleiner); t 0,99 (ν = 4) = 4,6 t K ŝ 0,039 0,98 4,6 0,98 0,049 5 Antwort: Die Reaktionszeit μ liegt mit 99% Konfidenz innerhalb von 0,98 ± 0,049 Sekunden

32 Theorie der kleinen Stichproben Beispiel II: t-tests: Vergleich eines Mittelwertes mit einem theoretischen Wert Aufgabe: Die mittlere Lebensdauer einer Spezies wurde bislang mit μ = 0 d angenommen. Eine Stichprobe von 8 Individuen ergab eine mittlere Lebensdauer 070 d mit s = 5 d. Überprüfen Sie bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,05 die Hypothese, dass die bisherige Annahme richtig war. Lösung: ) ullhypothese: H 0 : μ = 0 d; H : μ ist größer oder kleiner als 0 ) Testen der Hypothese durch Berechnung des t-wertes der Stichprobe (=8), t ( s ) 7(070 0) 5,06 3) Vergleich mit kritischen t-werten: =8, Parameter wird untersucht, ν = 7 zweiseitige Tabelle: α = 0,05, - α = 0,95, t 0,95 (7)= ±,365 einseitige Tabelle: α/ = 0,05; - α = 0,9575, t 0,975 (7)= ±,365 Antwort: Da t im Konfidenzintervall liegt und nicht im Ablehnungsbereich, können wir die Hypothese mit einer 95%-igen Konfidenz (oder mit 5% Irrtumswahrscheinlichkeit) annehmen.

33 Theorie der kleinen Stichproben Einfacher t-test mit Excel: Funktion TTEST gibt dem P-Wert zurück (üblicherweise wird ein P-Wert unter 0,05 als signifikant angesehen (α=95%)) Bsp: Besteht ein signifikanter Unterschied im Kaffeekonsum (Anzahl an Tassen Kaffee pro Tag) zwischen Studierenden der Chemie bzw. Molekularbiologie? Meßwerte (Chemie, bzw. Molbio) Typ : gepaart (abhängig) z.b: vor und nach einer Behandlung Typ : ungepaart (unabhängig) mit angenommener gleicher Varianz Typ 3: ungepaart (unabhängig) mit angenommener ungleicher Varianz einseitig oder zweiseitig (one-tailed, two-tailed)?

34 Theorie der kleinen Stichproben Einfacher t-test mit Excel: Funktion TTEST gibt dem P-Wert zurück (üblicherweise wird ein P-Wert unter 0,05 als signifikant angesehen (α=95%)) Bsp: Besteht ein signifikanter Unterschied im Kaffeekonsum (Anzahl an Tassen Kaffee pro Tag) zwischen Studierenden der Chemie bzw. Molekularbiologie? Meßwerte (Chemie, bzw. Molbio) Typ : gepaart (abhängig) z.b: vor und nach einer Behandlung Typ : ungepaart (unabhängig) mit angenommener gleicher Varianz Typ 3: ungepaart (unabhängig) mit angenommener ungleicher Varianz einseitig oder zweiseitig (one-tailed, two-tailed)?

35 Theorie der kleinen Stichproben Einfacher t-test mit Excel: Funktion TTEST gibt dem P-Wert zurück (üblicherweise wird ein P-Wert unter 0,05 als signifikant angesehen (α=95%)) Bsp: Besteht ein signifikanter Unterschied im Kaffeekonsum (Anzahl an Tassen Kaffee pro Tag) zwischen Studierenden der Chemie bzw. Molekularbiologie? Antwort: P=0,65; es besteht kein signifikanter Unterschied im Kaffeekonsum der beiden Gruppen.

36 Beispiel Hypothesen- und Signifikanztests Radner F P W et al. J. Biol. Chem. 00;85: by American Society for Biochemistry and Molecular Biology Dermis and epidermis of Cgi-58 / mice accumulate TG and exhibit impaired TG hydrolase activity. Dermis and epidermis of Cgi-58 / mice accumulate TG and exhibit impaired TG hydrolase activity. A, skins of newborn wildtype, Cgi-58 /, and Atgl / mice were surgically removed. Epidermis was separated from dermis and epidermal and dermal lipids were extracted for determination of TG content. B, TG hydrolase activities of epidermal and dermal lysates from newborn wild-type, Cgi-58 /, and Atgl / mice were determined using phospholipid-emulsified triolein substrate, containing [9,0-3H]triolein as tracer. Release of radiolabeled FA was determined by liquid scintillation counting. Data are means ± S.D. (n = 6 8) and representative for three independent experiments. Statistical significance was determined by the two-tailed Student's t test (*, p < 0.05; ***, p < 0.00).