Vorlesungsskript. Elektrotechnik II. 3. Semester. gehalten an der. USST Shanghai. Herbst von Prof. Dr. Holger Kapels

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1 Vorlesngsskript Elektrotechnik II 3. Semester gehalten an der SST Shanghai Herbst von Prof. Dr. Holger Kapels iebe Stdierende, das Skript zr Vorlesng Elektrotechnik II beginnt mit einem Kapitel zr Wiederholng des Stoffes der Vorlesng Elektrotechnik I. Damit haben Sie die Möglichkeit, vorhandenes Wissen nochmal afzfrischen nd sich an die detschen Begriffe z gewöhnen. Mit dem Kapitel beginnt dann der nee Stoff der Vorlesng. Ich free mich af die Veranstaltng mit Ihnen nd wünsche Ihnen ein erfolgreiches Stdim, Holger Kapels

2 Inhaltsverzeichnis Wiederholng Einheitensystem Gleichngen Größengleichngen Einheitengleichngen Zgeschnittene Größengleichngen Elektrischer Widerstand Widerstand nd eitwert Spezifischer Widerstand Ohmsches Gesetz Differentieller Widerstand nd Gleichstromwiderstand Temperatrabhängigkeit des Widerstandes bei Metallen Beispiel Pt-Sensor Temperatrabhängigkeit des Widerstandes bei Halbleitern Kenngrößen verschiedener Materialien....4 Kenngrößen von elektrischen Schaltngen Kirchhoffsche Gesetze Kirchhoffsche Knotenregel (Kirchhoff s rrent aw, K) Kirchhoffsche Maschenregel (Kirchhoffs Voltage aw, KV) Strom- nd Spannngsteiler ineare Qellen lineare Spannngsqelle ( + i ), lineare Stromqelle (I i ) mwandlng von linearen Qellen ineare Qelle mit ast mwandlng linearer Zweipole in Ersatzqellen (Norton/Thévenin Theorem) eistngsanpassng Nichtlineare Qellen nd Verbracher Wheatstone-Brücke - Sensorbrücke... 9 Berechnng von Gleichstromschaltngen Überlagerngsprinzip Basisverfahren der Netzwerkanalyse Maschenstromverfahren Knotenpotentialverfahren Mittelwerte periodischer Fnktionen Arithmetischer Mittelwert Gleichanteil Effektivwert eff = TMS (tre rms) Schaltngsberechnng von Wechselstromkreisen Sinsförmige Spannngen/Ströme Zeigerdarstellng von sinsförmigen Signalen Sinsförmige Fnktionen in der komplexen Ebene Elektrische Impedanz (Wechselstromwiderstand) Admittanz (Wechselstromleitwert) eistng bei sinsförmigen Größen Momentanleistng Wirkleistng Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

3 5.3 Scheinleistng eistngsfaktor Blindleistng Komplexe eistng Freqenzverhalten von -Schaltngen Filter Tiefpass Hochpass Bandpass Schwingkreise Serienschwingkreis Parallelschwingkreis Nicht-sinsförmige Schaltvorgänge Schaltverhalten von Kapazitäten aden eines Kondensators Entladen eines Kondensators Schaltverhalten von Indktivitäten aden einer Sple... 8 Dreiphasennetz Idee Sternschaltng Dreieckschaltng Verbrachersystem Sternpnktverbracher Verbracher in Dreieckschaltng nbelastete Strang- nd eiterspannngen Sternpnktlast im Dreileitersystem Sternpnktverschiebng Sternpnktlast im Vierleitersystem Dreiecklast im Dreileitersystem Transformator Problemstellng Vorüberlegngen Gegenindktivität Kopplngs- nd Strefaktor Der Transformator als Bateil Wicklngssinn Vierpolersatzschaltng inearer Transformator Verlstloser nd strengsfreier Transformator Idealer Transformator eistngsanpassng Vollständige Anpassng Übertrageranpassng... 4 Prof. Dr. Holger Kapels /4

4 Wiederholng. Einheitensystem Es werden die international festgelegten Einheiten des MKSA-Systems verwendet: Basisgröße Basiseinheit Einheitenzeichen Formelzeichen änge Meter m l Masse Kilogramm kg m Zeit Seknde s t Stromstärke Ampere A Temperatr Kelvin K T Stoffmenge Mol mol n icht andela cd V Die Basis dieses Systems bilden die sieben sogenannten SI-Einheiten (SI steht für: système international d nités) nd die davon abgeleiteten Einheiten wie: Kraft: Drck: Arbeit: eistng: N = kgm/s² Pa = N/m² J = Nm = V A s W = V A Innerhalb des MKSA Systems tritt asschließlich der Faktor af! Die Bezeichnng MKSA-System bezieht sich af die ersten vier SI-Einheiten. Demgegenüber steht beispielsweise das im allgemeinen Sprachgebrach übliche cgs-system (cm, g, s), welches in der Wissenschaft (offiziell) keine Anwendng findet. Alle physikalischen Größen lassen sich darstellen als: physikalische Größe = Zahlenwert Einheit Beispiel: Spannng = 4,45V; Zeit t = 3,567ms. Prof. Dr. Holger Kapels /4

5 Da die in der Elektrotechnik aftretenden Zahlenwerte häfig sehr groß sind oder sehr nahe bei Nll liegen, hat sich die Verwendng von Skalierngsfaktoren drchgesetzt. Man verwendet die folgenden SI-Präfixe (Vorsilben): SI-Präfix gesprochen Faktor SI-Präfix gesprochen Faktor m Milli -3 k Kilo 3 µ Micro -6 M Mega 6 n Nano -9 G Giga 9 p Pico - T Tera Beispiel: statt V verwendet man kv statt,v verwendet man mv. Gleichngen... Größengleichngen Physikalische Gleichngen sind stets Größengleichngen, das heißt jede Größe ist als Prodkt as Zahlenwert nd Einheit anzgeben. Größengleichngen beschreiben physikalische Zsammenhänge nd sind somit nabhängig vom Einheitensystem, beispielsweise gilt folgende Gleichng ebenso im MKSA-System wie im cgs-system: Beispiel: F = m a... Einheitengleichngen Beim mformen von Gleichngen besteht immer eine gewisse Wahrscheinlichkeit für Fehler bei der mstellng der Gleichng. Betrachtet man asschließlich die Einheiten der physikalischen Größen af der linken nd rechten Seite der Gleichng, so lassen sich diese Fehler gt erkennen. Immer dann, wenn man asschließlich die Einheiten der Gleichng betrachtet nd nicht ach die Zahlenwerte, spricht man von einer Einheitengleichng. Der Operator [...] bedetet dabei Einheit von... Beispiel: [] = V Die Einheit der Spannng ist Volt Jede Größengleichng hat eine zgehörige Einheitengleichng. Beispiel: [F] = [m][a] ist die Einheitengleichng der Gleichng F = m a Ist die Einheitengleichng falsch, dann ist ach die zgehörige Größengleichng falsch. Der Satz gilt nicht in mgekehrter ichtng. Bentzen Sie die Einheitengleichng als Werkzeg, m Ihre Berechnngen af Plasibilität z überprüfen. Prof. Dr. Holger Kapels /4

6 ..3. Zgeschnittene Größengleichngen Bei Fastformeln oder Meßreihen besteht häfig der Wnsch, Gleichngen nr mit Zahlenwerten anzgeben. Damit solche Gleichngen physikalisch korrekt bleiben, müssen sie in den spezifischen Einheiten formliert werden. Beispiel: Spannng in Volt = Widerstand in Ohm Strom in Ampere man schreibt: /V = /Ω /A Solche Gleichngen heißen zgeschnittene Größengleichngen. Besondere Bedetng haben sie, wenn ein physikalischer Zsammenhang drch eine exponentielle Gleichng beschrieben werden kann: Beispielsweise könnte eine Spannngs-Strom-Kennlinie eines Baelementes drch die folgende Gleichng mit den dimensionslosen Größen nd β beschrieben werden: I Die Einheitengleichng zeigt sofort, daß diese Größengleichng keinen Sinn ergibt, denn "Ampere hoch beta" ist nicht definiert. Man könnte im Text genae Einheiten festlegen: in A ergibt in V. Stattdessen schreibt man die Gleichng mathematisch korrekt als zgeschnittene Größengleichng: V I A Nn kann in Ampere eingesetzt werden nd man erhält das Ergebnis in Volt. Wie bereits besprochen, kommt innerhalb des genormten MKSA Systems nr der Faktor vor. Häfig will man aber Meßwerte in andere alltagstaglichere Systeme mrechnen. Ach dafür verwendet man zgeschnittene Größengleichngen. Beispiel: Im wissenschaftlichen mfeld werden Geschwindigkeiten in m/s angegeben, im Alltag möchte man jedoch häfig eine Angabe in km/h haben. Wie mß die zgeschnittene Größengleichng assehen, die gemessene Werte in Meter nd Seknden direkt in km/h mwandelt? Zerst setzt man an, was gegeben ist: s v (Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit) t Prof. Dr. Holger Kapels /4

7 Dann erweitert man alle Größen mit den gegeben nd den geschten Einheiten: km m s v h m km s t h s Jetzt mß man nr noch nach der geschten zgeschnittenen Größengleichng aflösen: v km h m s m s t s km h l m m t km s s h l m m t m s s 36s l m t s 3,6 l m 3,6 t s Also: v km h l m 3,6 t s.3 Elektrischer Widerstand.3.. Widerstand nd eitwert Betrachtet man einen metallischen eiter, an den eine Spannng angelegt wird, so müßte man davon asgehen, daß das elektrische Feld nd die resltierende Kraftwirkng z einer permanenten Beschlenigng der Elektronen führen würden. Damit dürfte es keinen konstanten Stromflß geben, der Strom müßte im Gegenteil immer weiter ansteigen. Tatsächlich sind die freien Elektronen in einem eiter nicht beliebig beweglich, sondern es wirkt af sie eine Art eibngskraft. Das Zstandekommen dieser Kraft kann man sich bildlich nd vereinfacht drch ständige Kollisionen der beschlenigten Elektronen mit den in einem Kristallgitter angeordneten Metallatomen vorstellen. Drch diese Kollisionen werden die Elektronen immer wieder abgebremst nd es stellt sich eine mittlere Geschwindigkeit aller Elektronen ein. Den Widerstand, den der eiter der freien Bewegng der adngsträger entgegensetzt, bezeichnet man als elektrischen Widerstand oder esistanz. m elektrischen Strom drch einen eiter z treiben nd damit dessen Widerstand z überwinden, ist Energie erforderlich. Analog kann man sich einen (frei beweglichen) Körper vorstellen, af den eine Kraft wirkt. Befindet sich dieser Körper im Vakm des Weltrams, so wird er drch die wirkende Kraft permanent beschlenigt, befindet er sich hingegen in ft, so wird er nr so lange beschlenigt, bis sich die angelegte Kraft nd die Kraft drch den ftwiderstand gegenseitig afheben. Prof. Dr. Holger Kapels /4

8 Die Kraft, die den Strom drch den eiter treibt, resltiert as dem elektrischen Feld, das af die adngsträger wirkt. Daher gilt im Allgemeinen, daß ein größerer Strom nr dann erzielt werden kann, wenn eine höhere elektrische Spannng (nd damit eine höhere Feldstärke) an den eiter angelegt wird. Man definiert den elektrischen Widerstand als das Verhältnis von anzlegender Spannng nd dem resltierenden elektrischen Strom: [] = V/A = Ω (Ohm) nach Georg Simon Ohm I den Kehrwert des elektrischen Widerstands bezeichnet man als elektrischen eitwert oder Kondktanz G: G I [G] = A/V = S (Siemens) = mho (amerik.) nach Werner v. Siemens Man sagt: Fließt drch einen Widerstand (Verbracher) der Strom, dann fällt an ihm die Spannng = ab. Man spricht von einem Spannngsabfall..3.. Spezifischer Widerstand Der Widerstand eines elektrischen eiters hängt sowohl vom Material als ach von den geometrischen Eigenschaften des eiters ab. Je länger ein eiter wird, desto größer ist sein Widerstand nd je größer seine Qerschnittsfläche, desto geringer wird der Widerstand. Da man, völlig nabhängig von der tatsächlichen Geometrie, die elektrischen Eigenschaften eines bestimmten Materials beschreiben will, hat man die Begriffe des spezifischen Widerstandes (ach esistivität) nd des spezifischen eitwertes (ach Kondktivität) eingeführt, es handelt sich dabei m Materialkonstanten. Für einen homogenen eiter der änge l nd konstanter Qerschnittsfläche A gilt: l A = ; G = A l spezifischer Widerstand: spezifischer eitwert: [] = Ωm [] = / Ωm = S/m Prof. Dr. Holger Kapels /4

9 Beispiel Kpfer: =,7 Ωmm /m (Werte werden üblicherweise in Ωmm /m angegeben, m die Berechnng in der Praxis z erleichtern) Ohmsches Gesetz Georg Simon Ohm hat den Zsammenhang zwischen Strom nd Spannng nterscht nd dabei 86 das Ohmsche Gesetz formliert. Das Gesetz besagt, daß in einem metallischen eiter Spannng nd Strom stets zeinander proportional sind. = I; = const. Dieses Gesetzt gilt bei metallischen eitern im Allgemeinen bei konstanter Temperatr, weil nr dann ach der spezifische Widerstand konstant ist. Während der elektrische Widerstand allgemein als Qotient von Spannng nd Strom definiert wrde nd somit allgemein = gelten mß, beschreibt das Ohmsche Gesetz den Spezialfall, daß der elektrische Widerstand konstant nd damit nabhängig von der angelegten Spannng ist. Nr im Falle = const. f() spricht man von einem ohmschen Widerstand. Das Ohmsche Gesetz gilt (in weiten Bereichen) für metallische eiter, aber beispielsweise nicht für die Stromleitng im Vakm, bei Gasentladngen, in Glühlampen oder in Halbleitern Differentieller Widerstand nd Gleichstromwiderstand Ein ohmscher Widerstand hat eine lineare Strom- Spannngskennlinie. In jedem Pnkt der Kennlinie gilt das ohmsche Gesetz nd der Widerstand berechnet sich as der Steigng der Kennlinie: I I const Neben den ohmschen Widerständen existieren verschiedenste nichtlineare Baelemente, bei denen der Qotient as Spannng nd Strom nicht konstant ist. Beispiele für solche Baelemente sind spannngsabhängige Widerstände VD (voltage dependent resistor) oder Dioden. Bei diesen Baelementen ist der Widerstand eine Fnktion der Spannng oder des Stromes, er ändert sich somit beim Drchlafen der Kennlinie. Ein einzelner Widerstandswert reicht folglich zr Beschreibng solcher Baelemente nicht as. Prof. Dr. Holger Kapels /4

10 Zr Angabe eines Widerstandswerts mß ein Arbeitspnkt (AP: AP, I AP ) angegeben werden, in welchem der Widerstandswert gilt. Bei nichtlinearen Elementen wird der sogenannte Gleichstromwiderstand (englisch D resistance) im Arbeitspnkt AP, I AP angegeben: AP = I AP AP Werden nn die Betriebsbedingngen verändert, also z.b. die Spannng am Bateil erhöht, so gilt der angegebene Gleichstromwiderstand nicht mehr. Es wird eine zweite Angabe benötigt, die beschreibt, wie sich der Widerstand vom Gleichstromwiderstand asgehend verändert, wenn der Arbeitspnkt verlassen wird. Zsätzlich zm Gleichstromwiderstand beschreibt man daz die lokale Änderng der Spannng bei kleinen Stromänderngen m den Arbeitspnkt als differentiellen Widerstand (englisch incremental resistance). Der differentielle Widerstand ist die Steigng der Tangente der --Kennlinie in einem bestimmten Arbeitspnkt. Der differentielle Widerstand gilt nr in einer hinreichend kleinen mgebng m diesen Arbeitspnkt. d r = di AP Der differentielle Widerstand beschreibt die Änderng der Spannng bei Änderng des Stroms, also das Verhalten bei dynamischem Betrieb des Baelements. Der Gleichstromwiderstand wird ach als Großsignalwiderstand nd der differentielle Widerstand als Kleinsignalwiderstand bezeichnet Temperatrabhängigkeit des Widerstandes bei Metallen Der elektrische Widerstand erklärt sich drch Kollisionen der eitngselektronen mit den Atomen des Metalls (vereinfachtes Modell). Die Metallatome schwingen m Ihre heposition im Gitter, die Stärke dieser Schwingngen steigt mit znehmender Temperatr an. Damit steigt ach die Anzahl der Kollisionen pro Zeiteinheit nd die Elektronen werden stärker abgebremst. Als Folge erhöht sich der elektrische Widerstand von Metallen mit steigender Temperatr. Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

11 Nimmt der Widerstand mit der Temperatr z, so spricht man von Kaltleitern. Solche Widerstände haben einen positiven Temperatrkoeffizienten nd heißen daher ach PT (positive temperatre coefficient). Es gilt: : T Die Temperatrabhängigkeit des Widerstands läßt sich näherngsweise drch einen Polynomansatz beschreiben: ist die Bezgstemperatr in ; z.b. = heißt Temperatrkoeffizient; ist der Widerstandswert bei K In der Praxis reicht die Genaigkeit eines linearen Ansatzes häfig as. Wenn die Bezgstemperatr z gewählt wird, so vereinfacht sich obige Gleichng z: Der Temperatrkoeffizient beschreibt die Temperatrabhängigkeit des Widerstands eines bestimmten Materials, er ist damit eine Materialkonstante. Der Temperatrkoeffizient ist eine relative Größe, denn er bezieht sich immer af einen Widerstandswert bei der Bezgstemperatr. Häfig möchte man in der Praxis jedoch einen Wert für die absolte Widerstandsänderng eines Sensors bei Temperatränderng angeben. Daz führt man die Temperatrempfindlichkeit E ein. Die Temperatrempfindlichkeit berechnet sich direkt as der Steigng der Fnktion (). Sie gibt an, m wieviel Ohm sich der Widerstand des Sensors ändert, wenn sich die Temperatr m K ändert. d E d a Bei Sensoren mit stark nichtlinearer Kennlinie gilt die Angabe der Temperatrempfindlichkeit nr für einen bestimmten Temperatrbereich Beispiel Pt-Sensor Ein häfig verwendeter Temperatrsensor für Präzisionsmessngen ist der Platinsensor. Er wird standardmäßig als temperatrabhängiger Metall-Widerstand mit einem Bezgswiderstand von = bei einer Bezgstemperatr von = eingesetzt nd als Pt-Sensor bezeichnet (Es gibt ach Pt Sensoren mit anderen Bezgswiderständen). Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

12 Der Temperatrkoeffizient eines Pt beträgt = 3,85-3 /K. Die Vorteile dieses Sensors liegen in seiner gten Genaigkeit, seines großen Meßbereichs von nter - bis weit über 5. Sensoren dieses Typs sind genormt nd damit leicht ntereinander astaschbar Temperatrabhängigkeit des Widerstandes bei Halbleitern Im nterschied z Metallen dominiert bei Halbleitern ein anderer physikalischer Effekt die Änderng des Widerstandes. Mit znehmender Temperatr werden, drch das Afbrechen von Bindngen, mehr frei bewegliche adngsträger erzegt, dieser Effekt überkompensiert die Widerstandserhöhng drch die Gitterschwingngen. Die eitfähigkeit von Halbleiterbaelementen steigt daher mit der Temperatr, man spricht von NT Widerständen (negative temperatre coefficient) Kenngrößen verschiedener Materialien Material in mm²/m / Bemerkng Kpfer,7,43 Silber,6,36 Platin,,39 Wolfram,55,4 Glühfaden in Glühlampen Konstantan (55%, 44%Ni, % Mn),5,4 fast Kohle 65 -,4 Motoren: Kohlebürsten Silizim (rein),3 9 Isolator -,75 ca. mal größer als in Metallen technische NT -,3 ca. mal größer als Platin Beachte: Konstantan hat eine sehr geringe Temperatrabhängigkeit nd eignet sich daher gt zr Herstellng von präzisen Drahtwiderständen. eines Silizim ist ein sehr schlechter elektrischer eiter. Technische NT haben einen viel größeren Temperatrkoeffizienten als Platinsensoren. Ihre Kennlinie ist aber stark nichtlinear nd ihr Temperatrbereich ist viel kleiner als der von Pt Sensoren. Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

13 .4 Kenngrößen von elektrischen Schaltngen Eine elektrische Schaltng mit mehreren Verbindngsknoten der Baelemente wird ach als Netzwerk bezeichnet. Im Folgenden werden die Methoden vorgestellt, mit denen die Ströme nd Spannngen in solchen Schaltngen berechnet werden können. Diese Vorgehensweise bezeichnet man entsprechend als Netzwerkanalyse. Die eingeführten Methoden beschränken sich znächst af lineare Gleichstromnetzwerke. Die Einschränkng af Gleichstrom bedetet, daß sich in den nterschten Netzwerken die Ströme nd Spannngen im Zeitverlaf nicht ändern dürfen. Die Einschränkng af lineare Netzwerke bedetet, daß znächst nr ohmsche Widerstände als Verbracher zm Einsatz kommen nd keine nichtlinearen Baelemente, wie beispielsweise Dioden oder Transistoren. Zählpfeilsystem In einem elektrischen Stromkreis wird stets elektrische Energie von einer Qelle (dem Generator) zm Verbracher übertragen. Bei der Berechnng der Ströme nd Spannngen in diesem Stromkreis ist daher z berücksichtigen, in welche ichtng der Strom fließt oder wie ein Generator gepolt ist. m dies z erreichen, werden die sogenannten Zähl- oder Bezgspfeile eingeführt. Die Pfeile geben an, in welche ichtng eine Größe positiv z betrachten (z zählen) ist. Für jede Spannngs- nd Stromgröße wird ein Zählpfeil in der Schaltng definiert. Dabei ist die ichtng dieser Zählpfeile anfänglich einigermaßen willkürlich. Sämtliche Betrachtngen über die Vorzeichen der Größen beziehen sich anschließend immer af die anfangs gewählten ichtngen. Achtng: Ströme nd Spannngen sind skalare, also ngerichtete Größen. Ach wenn ihnen nn Pfeile zgeordnet werden, werden as diesen Größen keine Vektoren. Die Pfeile sind lediglich ein Werkzeg zr Festlegng der Vorzeichenkonvention. Ein positiver Zahlenwert einer Größe bedetet: bei Strömen: Zählpfeil nd ichtngssinn des Stromes stimmen überein bei Spannngen: Zählpfeil weist vom höheren zm niedrigeren Potential Dabei kommen die folgenden Konventionen zr Anwendng: As historischen Gründen bezeichnet man dabei als ichtngssinn des Stromes die ichtng positiv geladener adngsträger. Sie ist damit entgegengesetzt zr Bewegngsrichtng der Elektronen. Dieser mstand wird als technische Stromrichtng bezeichnet. Der Strom fließt also konventionsgemäß vom höheren zm niedrigeren Potential, obwohl sich die Elektronen tatsächlich in die entgegengesetzte ichtng bewegen. Prof. Dr. Holger Kapels /4

14 Bei Qellen (beispielsweise bei Batterien) zeichnet man eine Spannng als Pfeil vom positiven zm negativen Pol ein, da der positive Pol af einem höheren Potential liegt. Der Strompfeil zeigt in die entgegengesetzte ichtng (Erzegerzählpfeilsystem). Bei Verbrachern zeichnet man die an dem Verbracher anliegende Spannng mit gleichem ichtngssinn wie der hindrchfließende Strom (Verbracherzählpfeilsystem). Beispiel: Einfacher Stromkreis mit Qelle (Batterie) nd Verbracher (Widerstand), bei dem alle Größen ein positives Vorzeichen haben. Die Qelle wird im Erzegerzählpfeilsystem definiert, während der Widerstand dem Verbracherzählpfeilsystem genügt. Man kann in dieser Schaltng z.b. den Strompfeil ach mdrehen, bei der Analyse würde sich dann ein negatives Vorzeichen für den Strom ergeben. Das heißt, die Assagen "Der Strom + mit positivem Vorzeichen fließt in ein Baelement." nd "Der Strom - mit negativem Vorzeichen fließt as einem Baelement." sind gleichwertig. Prof. Dr. Holger Kapels /4

15 Grndlegende Begriffe Anhand der nachfolgenden Schaltng sollen die wichtigsten Kenngrößen erlätert werden, die für eine systematische Netzwerkanalyse erforderlich sind. Die kreisförmigen Schaltzeichen nd sind ideale Spannngsqellen, die nabhängig von dem abgegebenen Strom immer dieselbe Spannng liefern. Es sind die Zählpfeile zr Bestimmng der Stromrichtng eingezeichnet. Die ichtngen der Spannngspfeile über den einzelnen Verbrachern sind drch die Konvention des Verbracherzählpfeilsystems in ichtng der Ströme festgelegt, der Übersichtlichkeit wegen wrden sie nicht in die Abbildng afgenommen. Man erkennt, daß die ichtng von ebenfalls im Verbracherzählpfeilsystem definiert wrde, was gemäß früher gemachter Assagen drchas erlabt ist, solange das Vorzeichen korrekt beachtet wird. Es werden die folgenden Begriffe zr Beschreibng eines Netzwerkes eingeführt: Knoten (k): Zsammenschlß von 3 oder mehr Netzwerkelementen. k = Anzahl der Knoten eines Netzwerkes (hier k = 3, drchnmeriert) Es gilt: Von den k Knoten eines Netzwerkes sind stets gena r = k - voneinander nabhängig. Zweige (Z): Verbindngen zwischen den Knoten. Die Ströme entlang dieser Zweige werden als Zweigströme bezeichnet (hier Z = 5). Die Zweigströme tragen die Bezeichnngen I I 5. Maschen (m): geschlossene mläfe (manchmal ach Schleife genannt). Es gibt in einem Netzwerk mit Z Zweigen nd k Knoten gena m = Z (k) = Z r voneinander nabhängige Maschen (hier m = 3). In der egel bietet es sich an, jedes Fenster des Netzwerkes als Masche z wählen. Die Maschen sind in dem Netzwerk mit M M 3 bezeichnet. Prof. Dr. Holger Kapels /4

16 .5 Kirchhoffsche Gesetze Die grndlegenden zwei egeln, af denen die weiteren Methoden der Netzwerkanalyse afbaen, wrden von Gstav obert Kirchhoff bereits mit Jahren während seines Stdims im Jahre 844 afgestellt..5.. Kirchhoffsche Knotenregel (Kirchhoff s rrent aw, K) Die Smme aller in einen Knoten z- nd abfließenden Ströme verschwindet. Nach Konvention werden die af einen Knoten zfließenden Ströme positiv gezählt nd die abgehenden Pfeile negativ. Nach dem Grndsatz, was in den Knoten herein fließt, mss ach wieder heraskommen, lässt sich dies als Gleichng wie folgt darstellen: Beispiel: I n Kirchhoffsche Knotenregel n Für den Knoten gilt: Strom I fließt in ihn hinein, während I nd I 3 herasfließen. Also I I I 3 = An diesem Beispiel wird sofort klar, dass die ichtng der Pfeile willkürlich festgelegt werden kann: Dreht man die ichtng der Pfeile m, so ändern sich die entsprechenden Vorzeichen in der Gleichng. Gleichzeitig müssen die Ströme aber mit gedrehtem Vorzeichen eingesetzt werden, so dass sich wieder die Asgangsgleichng ergibt. Prof. Dr. Holger Kapels /4

17 .5.. Kirchhoffsche Maschenregel (Kirchhoffs Voltage aw, KV) Die Smme aller Teilspannngen in einer Masche verschwindet. Man definiert daz in der jeweiligen Masche einen mlafsinn mit dem hrzeigersinn. Diese Konvention hilft bei der systematischen Berechnng von Netzwerken, ansonsten könnte genaso gt der entgegengesetzte mlafsinn gewählt werden. Es werden alle Spannngspfeile in der Masche, die in ichtng dieses mlafssinns zeigen positiv gezählt, die anderen negativ. Als Gleichng dargestellt: n Kirchhoffsche Maschenregel n Beispiel: Die Maschengleichng für Masche latet: M: = Die Kirchhoffsche Maschengleichng findet ihre Entsprechng in der Betrachtng eines Gravitationsfeldes: Bewegt man eine Masse in einem Gravitationsfeld entlang eines geschlossenen Weges, so resltiert eine z überwindende Potentialdifferenz von Nll nd es wrde keine Arbeit verrichtet. Bildlich asgedrückt: Entlang eines geschlossenen Weges wird jeder Höhennterschied (Potentialdifferenz entspricht Spannng), der positiv drchschritten wird, an anderer Stelle negativ drchschritten. Die investierte Arbeit beim Afstieg wird beim Abstieg wiedergewonnen. Das gilt im Übrigen völlig nabhängig vom gewählten Weg, solange dieser in sich geschlossen ist. Prof. Dr. Holger Kapels /4

18 .5.3. Strom- nd Spannngsteiler Sollen in einem Netzwerk ein Zweigstrom einer Parallelschaltng oder eine Teilspannng einer Serienschaltng ermittelt werden, so kann man nter Ntzng der echenregeln für Parallel- nd Serienschaltng eine einfache Methode zr Ermittlng dieser Größen ableiten. Stromteilerregel Wenn der Strom drch einen Zweig i einer Parallelschaltng bestimmt werden soll nd der Gesamtstrom bekannt ist, so kann man die Stromteilerregel anwenden. Zr Ableitng dieser egel ermittelt man die Zweigspannng über den Ersatzwiderstand der Parallelschaltng nd berechnet dann den Strom drch den betreffenden Zweig über das ohmsche Gesetz: Gi I i= G ges I Merksatz: "Die Ströme drch die einzelnen Zweige einer Parallelschaltng verhalten sich proportional z den eitwerten der Zweige." Spannngsteilerregel Wenn die Spannng an einem Widerstand i einer eihenschaltng bestimmt werden soll nd die Gesamtspannng über der eihenschaltng bekannt ist, kann die Spannngsteilerregel angewandt werden. Zr Ableitng dieser egel ermittelt man den Gesamtstrom über den Ersatzwiderstand der eihenschaltng nd berechnet dann die Spannng an dem betreffenden Widerstand über das ohmsche Gesetz: = i i ges Merksatz: "Die Spannngen an den einzelnen Elementen einer eihenschaltng verhalten sich proportional z den Widerständen der Elemente." Prof. Dr. Holger Kapels /4

19 Anwendng: In der Schaltngstechnik mss häfig eine definierte Spannng als eferenz zr Verfügng stehen, die geringer ist als die Betriebsspannng der Schaltng. Daz kann man einen Spannngsteiler einsetzen. Soll diese Spannng einstellbar sein, verwendet man daz einen einstellbaren Widerstand mit einem Abgriff in der Mitte. Diesen veränderbaren Widerstand bezeichnet man als Potentiometer. Potentiometer Die Spannngsteiler egel gilt nr für den nbelasteten Spannngsteiler. Die Spannng darf also nr so abgegriffen werden, daß kein zsätzlicher Strom über die Klemmen A nd B fließt. Wir sagen ach, die Spannng mß hochohmig abgegriffen werden. Afgabe: Vergleichen Sie die Spannng des nbelasteten nd des belasteten Spannngsteilers der beiden nachfolgenden Schaltngen. a) nbelasteter Spannngsteiler b) belasteter Spannngsteiler Prof. Dr. Holger Kapels /4

20 .6 ineare Qellen.6.. lineare Spannngsqelle ( + i ), lineare Stromqelle (I i ) Eine lineare Qelle entsteht as der Kombination einer idealen Qelle mit einem Widerstand, dem sogenannten Innenwiderstand. Dabei gibt es die Möglichkeit, diese lineare Qelle entweder mit idealer Stromqelle oder mit idealer Spannngsqelle afzbaen. In ihrem Verhalten nach aßen nterscheiden sich diese beiden Varianten nicht. Asgangskennlinie = i I Asgangskennlinie = i (I - I ) Vergleicht man die Gleichngen für die Kennlinien, so erkennt man, daß die Spannngsqelle mit Innenwiderstand äqivalent z der Stromqelle mit Innenwiderstand ist. a) Spannngsqelle mit Innenwiderstand = i I Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

21 b) Stromqelle mit Innenwiderstand = i (I - I ) = i I i I Ein Parametervergleich zeigt, daß beide Asgangskennlinien identisch sind, wenn die im folgenden Abschnitt afgestellten Bedingngen erfüllt sind..6.. mwandlng von linearen Qellen Eine lineare Spannngsqelle mit der eerlafspannng läßt sich in eine lineare Stromqelle mit dem Krzschlßstrom I überführen, wenn sie den gleichen Innenwiderstand i besitzen nd = i I gilt. Man bezeichnet als die eerlafspannng der linearen Qelle, da diese Spannng anliegt, wenn keine ast anliegt ( ). Man bezeichnet I als Krzschlßstrom, da dieser Strom fließt, wenn die Asgänge der linearen Qelle krzgeschlossen sind ( =) ineare Qelle mit ast Trägt man in die Asgangskennlinie der linearen Qelle die Strom-Spannngskennlinie des astwiderstandes ein, so kann man den Arbeitspnkt der Schaltng graphisch bestimmen. Der Arbeitspnkt beschreibt den Strom nd die Spannng, die sich beim Betrieb dieses astwiderstandes mit dieser linearen Qelle einstellen. Afgabe: Ermitteln Sie, I, i nd as den hier dargestellten Kennlinien nd berechnen Sie den Arbeitspnkt ( AP, I AP ) Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

22 .6.4. mwandlng linearer Zweipole in Ersatzqellen (Norton/Thévenin Theorem) Häfig interessieren nicht die einzelnen Spannngen nd Ströme innerhalb einer Schaltng, sondern nr das Verhalten der Schaltng insgesamt, wenn man einen astwiderstand an die Asgangsklemmen anschließt. Hierbei macht man sich den folgenden Satz zntze: Jeder aktive lineare Zweipol läßt sich in eine Ersatzspannngsqelle oder Ersatzstromqelle mwandeln. Erläterngen: Ein Zweipol ist dabei ein Netzwerk mit zwei nach aßen geführten Anschlüssen (Klemmen). Aktiv bedetet, daß mindestens eine Qelle vorhanden sein mß. inear bedetet, daß im Netzwerk nr lineare Baelemente vorkommen. Die mwandelbarkeit in eine Ersatzspannngsqelle wird im englischen als Helmholz-Thévenin- Theorem, die mwandelbarkeit in eine Ersatzstromqelle als Norton-(Mayer)-Theorem bezeichnet. Aktiver linearer Zweipol Helmholz-Thévenin-Theorem Ersatzqelle Norton-Theorem Originalschaltng nd Ersatzschaltng sind äqivalent bezüglich ihres Verhaltens an den Klemmen, das heißt die Arbeitspnkte sind identisch. Damit ist ach die eistngsafnahme eines Verbrachers an den Klemmen identisch. Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

23 Vorgehen zr mwandlng eines Zweipols in eine Ersatzqelle. Bestimmng der Qellspannng Die Qellspannng der Ersatzqelle ist gleich der eerlafspannng des linearen Zweipols. Man entfernt den astwiderstand nd berechnet mittels der Verfahren der Netzwerkanalyse die Spannng an den Asgangsklemmen.. Bestimmng des Innenwiderstandes i Man berechnet den Innenwiderstand zwischen den beiden Polen des linearen Zweipols ohne den astwiderstand. Hier werden: - ideale Spannngsqellen im Netzwerk drch einen Krzschlß ersetzt - ideale Stromqellen as dem Netzwerk entfernt 3. Berechnng des Krzschlßstromes I Soll die Ersatzstromqelle bestimmt werden, so berechnet man den Krzschlßstrom über I = / i Alternativ kann man ach statt Schritt den Krzschlßstrom des linearen Zweipols berechnen. Dieser ist gleich dem Krzschlßstrom der Ersatzqelle. Den Innenwiderstand ermittelt man über i = / I Beachte: Dieses Verfahren läßt sich ach dann anwenden, wenn an den Zweipol ein nd nr ein nichtlineares Baelement angeschlossen wird. Beispiel: Bestimmen Sie die Ersatzqelle der folgenden Schaltng bezüglich der Klemmen nd.. Schritt: Bestimmng der eerlafspannng Drch fließt im eerlaf kein Strom nd damit fällt an ach keine Spannng ab. Die eerlafspannng ergibt sich as der Spannngsteilerregel z: = Prof. Dr. Holger Kapels /4

24 . Schritt: Bestimmng des Innenwiderstandes Ersetzen von Spannngsqellen drch Krzschlß nd Stromqellen entfernen. 3 i= + 3= = Schritt: Bestimmng des Krzschlßstromes I Der Krzschlßstrom ergibt sich z: I = = = i Ergebnis: Wählt man, I, i wie berechnet, so verhalten sich diese drei Schaltngen bezüglich der ast völlig identisch: Prof. Dr. Holger Kapels /4

25 .6.5. eistngsanpassng Die eistng, die in einem astwiderstand mgesetzt wird, der von einer linearen Spannngsqelle (oder von einem beliebigen linearen Netzwerk, daß in eine solche lineare Spannngsqelle konvertiert werden kann) gespeist wird, berechnet sich z: P ( i ) Die mgesetzte eistng ist also vom Widerstandswert des Innenwidertands sowie des astwiderstands abhängig. m z berechnen, bei welchem astwiderstand die größte eistng mgesetzt wird, wird die obige Formel nach abgeleitet, gleich Nll gesetzt nd nach afgelöst. Führen Sie dies zr Übng selbstständig drch nd vergleichen Sie Ihre Ergebnis mit dem Folgenden. eistngsanpassng In einem astwiderstand, der von einer linearen Spannngsqelle versorgt wird, wird gena dann die größte eistng mgesetzt, wenn der astwiderstand gleich dem Innenwiderstand der Qelle ist = i. Paßt man den astwiderstand nd Innenwiderstand der Qelle aneinander an, so spricht man von eistngsanpassng (power matching). Für den Fall der eistngsanpassng gilt: P, max 4 i Dabei wird jedoch nr die Hälfte der von der Qelle abgegebenen eistng im astwiderstand, die andere Hälfte im Innenwiderstand der Qelle mgesetzt. Der Wirkngsgrad der Schaltng beträgt für diesen Betriebsfall η =,5. Prof. Dr. Holger Kapels /4

26 Wird der astwiderstand als Vielfaches des Innenwiderstands angegeben (normiert), so ergibt sich der gezeigte Verlaf (grün) der af die maximale eistng normierten eistng am astwiderstand. In dem folgenden Diagramm ist ach der Verlaf des Wirkngsgrads eingezeichnet (rot). Bei der Übertragng von Nachrichten spielt der Wirkngsgrad keine olle, es mß aber sichergestellt werden, daß die maximale Energie des Signals den Empfänger erreicht, nachrichtentechnische Systeme arbeiten daher stets in eistngsanpassng. Bei der Energieversorgng möchte man dagegen einen möglichst hohen Wirkngsgrad erreichen, der astwiderstand mß also m ein vielfaches größer sein, als der Innenwiderstand der Qelle. Daß dabei nicht die maximal mögliche Energie an den Verbracher abgegeben wird spielt keine olle. Würde man Energieversorgng in eistngsanpassng betreiben, so würde die Hälfte der eistng im Kraftwerk verbracht werden. Abhängig von Verhältnis astwiderstand z Innenwiderstand nterscheidet man folgende Anpassngsarten: Stromanpassng << i aden von Akkmlatoren nteranpassng < i η eistngsanpassng = i Nachrichtentechnik η =,5 Überanpassng > i Strom ist (fast) nabhängig von Spannngsanpassng >> i Energieübertragng η Spannng ist (fast) nabhängig von Identifizieren Sie die nterschiedlichen Anpassngsarten in dem oben gezeigten Diagramm. Prof. Dr. Holger Kapels /4

27 .7 Nichtlineare Qellen nd Verbracher Der Arbeitspnkt von einem an eine Qelle angeschlossenen Verbracher ergibt sich as dem Schnittpnkt der Kennlinie der Qelle nd der Kennlinie des Verbrachers. Im Falle von linearen Qellen nd Verbrachern kann dieser Arbeitspnkt einfach anhand des Diagramms oder drch echnng ermittelt werden. Nichtlineare Qelle mit linearer ast Besitzt die Qelle eine nichtlineare Kennlinie - die Klemmenspannng ist also keine lineare Fnktion des entnommenen Stroms - wie das zm Beispiel bei Solarzellen der Fall ist, kann der Arbeitspnkt nicht mehr so einfach rechnerisch bestimmt werden. Bei solchen Solarzelle mit linearer ast Qellen bietet es sich an, den I/A 3 Arbeitspnkt graphisch z ermitteln..5 Daz wird die Kennlinie der linearen ast in die Kennlinie der Qelle eingezeichnet. Am Schnittpnkt der beiden Kennlinien kann der sich.5 einstellende Arbeitspnkt abgelesen werden /V Nichtlineare ast an linearer Qelle Analog daz kann der Arbeitspnkt von einer nichtlinearen ast an einer linearen Qelle graphisch bestimmt werden. Daz ist der Schnittpnkt einer gegebenen astkennlinie mit der Kennlinie der Spannngsqelle z ermitteln (Gerade drch eerlafspannng nd Krzschlßstrom). Übng: Bestimmen Sie einzeln den Arbeitspnkt für jede der Dioden, wenn sie mit einer linearen Spannngsqelle mit einer eerlafspannng =,5V nd einem Innenwiderstand von i = verbnden werden. ösng: AP Ge: 5 ma;,45 V, AP Si: 8 ma;,94 V Prof. Dr. Holger Kapels /4

28 / V Elektrotechnik II Wird eine nichtlineare ast drch ein lineares Netzwerk versorgt, so kann das Thévenin-Theorem angewandt werden nd das Netzwerk in eine lineare Spannngsqelle überführt werden. Diese mwandlng ist nr für gena eine nichtlineare ast anwendbar. Übng: Es sei das gezeigte Netzwerk mit den folgenden Parametern gegeben: =.4 V = 8 =.6 k a) Bestimmen Sie die Parameter der Ersatzspannngsqelle. b) Nn soll ein Varistor (VD) mit nebenstehender Kennlinie an dieser linearen Qelle betrieben werden. Bestimmen Sie den Arbeitspnkt der sich einstellt graphisch haracteristic diagram of VD I / ma ösng: a) eerlafspannng = 6,4 V, i = 8, Krzschlßstrom I k = 7,7mA b) Arbeitspnkt 3 V bei 4 m Prof. Dr. Holger Kapels /4

29 .8 Wheatstone-Brücke - Sensorbrücke Zwischen zwei Knoten, die af gleichem elektrischem Potential liegen, fällt gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel keine Spannng ab, zwischen diesen Knoten fließt daher ach kein Strom. Gilt in nebenstehender Schaltng =, so folgt I =. Dieses Verfahren lässt sich z einer Methode zr Widerstandsbestimmng erweitern. Daz verwendet man eine sogenannte Wheatstone Brücke (benannt nach Sir harles Wheatstone, erfnden von Samel Hnter hristie). Die Brücke besteht as einer Spannngsqelle nd zwei parallel geschalteten Spannngsteilern as je zwei Widerständen. Der erste Spannngsteiler enthält neben einem Festwert-Widerstand den z messenden Widerstand X. Der zweite Spannngsteiler wird as dem Widerstand 3 nd dem einstellbaren Widerstand M gebildet. Die Abgriffe der beiden Spannngsteiler werden über ein Strommessgerät verbnden. Die Spannngen an den Spannngsteilern berechnen sich z: X M = bzw. = 3 Stellt man nn M so ein, dass an beiden Spannngsteilern die gleiche Spannng anliegt, dann wird der Strom zwischen den Spannngsteilern z nll nd es gilt: X M X = M 3 3 Diesen Zstand nennt man Abgleichbedingng. Bei bekanntem Verhältnis von z 3 kann man den einstellbaren Widerstand M mit einer Skala versehen, an der bei abgeglichener Brücke ( = ) der z bestimmende Widerstand X direkt abgelesen werden kann. Der Vorteil der Meßbrücke liegt in der nabhängigkeit der Meßgenaigkeit von der Qellenspannng. Innenwiderstand nd Genaigkeit des Strommeßgerätes spielen ach hier keine olle. Für die Brückenempfindlichkeit E (am Abgleichpnkt) gilt: E d d ab M Abgl! ab Prof. Dr. Holger Kapels /4

30 Berechnng von Gleichstromschaltngen. Überlagerngsprinzip Hat ein lineares Netzwerk mehrere Spannngs- oder Stromqellen, so kann es nter Asntzng des Überlagerngsprinzips analysiert werden. Das Überlagerngsprinzip wird ach als Sperpositionsprinzip oder Helmholtz-Prinzip bezeichnet. Dabei wird znächst die Wirkng jeder einzelnen Qelle nterscht, wodrch man häfig das Problem af eine einfache Bestimmng eines Ersatzwiderstandes oder die Anwendng Spannngsteiler- oder Stromteilerregel redzieren kann. Anschließend werden die einzelnen Effekte afaddiert. In einem linearen Netzwerk kann die von allen Qellen hervorgerfene Wirkng an einer beliebigen Stelle des Netzwerkes als Smme der Wirkngen jeder einzelnen Qelle bestimmt werden. Dabei sind die nichtbetrachteten idealen Qellen drch ihre idealen Innenwiderstände z ersetzen (ideale Spannngsqelle i =, Stromqelle mit i ). Vorgehen:. Für jede Qelle zeichnet man ein Schaltbild, bei dem alle anderen idealen Spannngsqellen drch einen Krzschlß ersetzt werden nd alle anderen idealen Stromqellen ersatzlos entfernt werden.. Für jede Teilschaltng berechnet man den geschten Teilstrom (oder die geschte Teilspannng) der drch die jeweilige Qelle hervorgerfen wird. 3. Man addiert die Teilströme oder Teilspannngen af nd erhält den Gesamtstrom oder die Gesamtspannng. Beispiel: Bestimmng des Stroms I 4 drch den Widerstand 4 drch Anwendng des Überlagerngsprinzips. Prof. Dr. Holger Kapels /4

31 a) Wirkng von 6.6V I 4 a, A b) Wirkng von I G4 3 I 4 b I I, 4A G G Überlagerng von I 4a and I 4b : I I 4a I 4b, 6A 4 Prof. Dr. Holger Kapels /4

32 Drei Methoden zr Netzwerkanalyse m alle Größen in einem linearem Netzwerk mit z Zweigen nd k Knoten z berechnen, müssen z Zweigströme nd z Zweigspannngen bestimmt werden, also z lineare voneinander nabhängige Gleichngen gelöst werden. m mfangreiche Schaltngen analysieren z können, ist dabei ein systematisches Vorgehen nerläßlich. Vor der Anwendng eines Verfahrens zr systematischen Netzwerkanalyse sollte das Netzwerk drch Zsammenfassen von reinen eihen- nd Parallelschaltngen so weit als möglich vereinfacht werden. Zr systematischen Analyse von Netzwerken wrden drei Methoden entwickelt. Im Folgenden wird insbesondere af die Anwendng der Knotenpotential- nd der Maschenanalyse näher eingegangen. Je nach Typ des z analysierenden Netzwerks wird eines dieser Verfahren asgewählt.. Basisverfahren der Netzwerkanalyse Bei diesem Verfahren werden die Kirchhoffschen egeln direkt angewendet. Das Verfahren dient zr Vermittlng der Vorgehensweise nd macht die Vorteile der systematischen Verfahren detlich. Afgrnd der großen Anzahl der z lösenden Gleichngen eignet es sich nr bedingt zr nterschng realer Netzwerke.. Maschenstromverfahren Bei diesem Verfahren wird die Komplexität drch die Definition von Maschenströmen redziert. Die Anzahl der z lösenden Gleichngen redziert sich af die Anzahl der nabhängigen Maschen. Es eignet sich besonders für den häfig anztreffenden Fall von Netzwerken mit mehr Spannngsqellen als Stromqellen. 3. Knotenverfahren / Knotenpotentialanalyse (KPA) Bei diesem Verfahren wird für jeden Knoten die Spannng gegenüber einem willkürlich gewählten eferenzknoten bestimmt. Als eferenzknoten wird in der egel der Massepnkt der Schaltng gewählt. Jedem Knoten ist damit eine sogenannte Knotenspannng zgeordnet. Die Komplexität der Analyse redziert sich von rsprünglich z Gleichngen af (k-) Gleichngen. As den Knotenspannngen lassen sich anschließend die geschten Zweigspannngen nd Zweigströme berechnen. Die meisten Schaltngs-Simlationsprogramme (z.b. PSpice) basieren af diesem Verfahren. Beispielnetzwerk zr Erläterng des Basisverfahrens nd der Maschenstromanalyse: Die Stromqelle I q6 nd der Widerstand 6 werden im Folgenden als ein Zweig betrachtet. Dies ist zlässig, wenn der Gesamtstrom drch 6 nd I q6 gefragt ist, aber nicht zwingend erforderlich. Dieses Netzwerk somit z = 6 Zweige nd k = 4 Knoten. Prof. Dr. Holger Kapels /4

33 . Basisverfahren der Netzwerkanalyse. Zweigströme festlegen. Zweigspannng gleichsinnig z Zweigströmen festlegen 3. Knoten nmerieren (typischerweise für das gemeinsame Massepotential) 4. Maschen nmerieren (jede "einfache Masche" erhält eine Nmmer) 5. Kirchhoffs Maschenregel für jede Masche anwenden 6. Kirchhoffs Knotenregel für k- Knoten anwenden (Masseknoten aslassen). Zweigströme. Zweigspannngen 3. Knoten 4. Maschen 5. Maschenregel M: = M: = M3: = 6. Knotenregel für k- linear nabhängige Knoten N: + I I I 4 = N: + I I 3 I 5 = N3: + I 4 + I 5 I 6 = Die Beziehngen zwischen Zweigströmen nd Zweigspannngen ergeben sich as dem ohmschen Gesetz: = - I + q, = I, 3 = 3 I 3, 4 = 4 I 4, 5 = 5 I 5, 6 = 6 (I 6 -I q6 ) Prof. Dr. Holger Kapels /4

34 In Smme ergeben sich somit Gleichngen für nbekannte ( 6, I I 6 ) die mittels der Standardmethoden der linearen Algebra gelöst werden können..3 Maschenstromverfahren Das Maschenstromverfahren redziert die Komplexität af nr eine Gleichng je Masche (m=z-k+), im Beispielnetzwerk also von Gleichngen af 3:. Zweigströme definieren. Maschenstrom für jede Masche in ichtng des hrzeigersinnes definieren 3. ineare Stromqellen in ineare Spannngsqellen überführen 4. Zweigströme als Fnktion der Maschenströme asdrücken 5. Kirchhoffsche Maschenregel af jeden Zweigstrom anwenden. Zweigströme. Maschenströme IM3 IM IM 3. Qellen mwandeln q6 = 6 I q6 4. Zweigstrom = f(maschenstrom) I = I M I = I M I M I 3 = I M I M3 I 4 = I M I 5 = I M -I M3 I 6 = I M3 5. Kirchhoffsche Maschenregel M: - q + I + I + 3 I 3 = I M + (I M I M ) + 3 (I M -I M3 ) = q M: - I + 4 I 4 5 I 5 = - (I M -I M ) + 4 I M 5 (-I M +I M3 ) = M3: - 3 I I I 6 q6 = - 3 (I M - I M3 ) + 5 (-I M +I M3 ) + 6 I M3 = q6 Beachten Sie, daß diese Grndform des Maschenstromverfahrens nr für Netzwerke angewandt werden kann, die asschließlich Spannngsqellen enthalten. Wir werden das Verfahren später so erweitern, daß ach ideale Stromqellen behandelt werden können. Prof. Dr. Holger Kapels /4

35 Drch Anwendng des Maschenstromverfahrens ergibt sich für das gleiche Netzwerk ein lineares Gleichngssystem von nr 3 Gleichngen für 3 nbekannte Maschenströme. Das resltierende lineare Gleichngssystem kann als Matrixgleichng dargestellt werden. Die Matrix bezeichnet man als Maschen-Impedanzmatrix Z, die Vektoren heißen Maschenstromvektor I nd Qellenspannngsvektor : I I I M M M3 q q 6 Man beachte die Ähnlichkeit der Gleichng Z r I= r mit dem ohmschen Gesetz. As den Maschenströmen lassen sich nmittelbar die Zweigströme nd damit ach alle Spannngen berechnen. öst man die Gleichng, so ergibt sich: I M = 5,77 ma; I M =,96 ma; I M3 = 5,74 ma. Das Maschenstromverfahren bietet zwei Vorteile:. Die Anzahl der Gleichngen wird af die Anzahl der Maschen redziert.. Die Maschen-Impedanzmatrix Z kann direkt ohne mformngen as der Schaltng afgestellt werden, indem man nachfolgendes Schema anwendet. Afstellen der Maschen-Impedanz-Matrix. Jedes Element n i,i af der Haptdiagonalen ist die Smme der Widerstände in Masche i. Jedes andere Element n i,k ist die negative Smme der Widerstände, drch die sowohl der Maschenstrom i als ach k hindrchfließen. Fließen die Ströme drch keine gemeinsamen Widerstände, so wird eine Nll eingetragen. 3. Jedes Element i des ösngsvektors ist die Smme der Spannngsqellen in Masche i (positiv, wenn der Zählpfeil von i entgegengesetzt zr ichtng von I Mi ist, andernfalls negativ) Mit diesem Verfahren können beliebig komplizierte lineare Netzwerke analysiert werden. Die ösng des Gleichngssystems erfolgt in der Praxis nmerisch oder mit dem Gaßschen Eliminationsverfahren. Übng: Wenden Sie das Verfahren zr Afstellng der Maschen-Impedanz-Matrix nd des ösngsvektors für das Beispielnetzwerk an nd vergleichen Sie dies mit obigem Ergebnis. Prof. Dr. Holger Kapels /4

36 Die folgenden Eigenschaften der Maschen-Impedanz-Matrix können gentzt werden, m die afgestellte Matrix af Korrektheit z prüfen: a) Die Matrix ist stets symmetrisch zr Haptdiagonalen. b) Jedes Element af der Haptdiagonalen ist positiv. Maschenstromverfahren mit idealen Stromqellen Soll ein Netzwerk mit dem Maschenstromverfahren analysiert werden, so darf es nr Spannngsqellen enthalten. Da ideale Stromqellen nicht in Spannngsqellen mgewandelt werden können, müssen diese gesondert betrachtet werden. Befindet sich eine ideale Stromqelle in einem Zweig, der nr z einer Masche gehört, so vereinfacht sich die Sitation, da die Qelle den Maschenstrom in dieser Masche bereits festlegt. Bei der Definition der Maschen ist also daraf z achten, daß alle idealen Stromqellen jeweils nr Bestandteil einer einzelnen Masche sind. In der nebenstehenden Abbildng legt die Stromqelle den Maschenstrom fest, der Strom entspricht dem Maschenstrom. Die Maschen, die eine ideale Stromqelle enthalten, werden nicht in die Maschenimpedanzmatrix afgenommen, die zgehörigen Zeilen entfallen. Die Ströme der idealen Stromqellen werden direkt in den Maschentromvektor eingetragen. Die Vorgehensweise wird an einem krzen Beispiel verdetlicht. Das gezeigte Netzwerk soll mittels der Maschenstromanalyse nterscht werden. Die Maschen müssen so gelegt werden, daß die beiden idealen Stromqellen jeweils nr in einer Masche liegen. Wir definieren die Masche M über: I q, nd 5. M4 über: I q4, nd 3. nd schließlich M6 über: 5,, 3 nd 6. Die beiden Maschen M nd M4 erhalten keine Einträge in der Maschenimpedanzmatrix nd die Zeile für die Masche M6 wird ganz normal nach den egeln für die Maschenstromanalyse afgestellt. Die idealen Stromqellen werden als Maschenströme direkt in den Maschenstromvektor eingetragen. Prof. Dr. Holger Kapels /4

37 Es ergibt sich damit das folgende vereinfachte Gleichngssystem: Iq I q4 I 6 Die einzige nbekannte Größe ist somit der Maschenstrom 6. Das Gleichngssystem kann jedoch leicht nach 6 afgelöst werden: I 6 I I q 5 q Knotenpotentialverfahren Ähnlich wie das Maschenstromverfahren redziert das Knotenpotentialverfahren die Anzahl der z lösenden Gleichngen. Basis dieses Verfahrens sind die Knotenpotentiale, sie sind definiert als die Spannng (Potentialnterschied) zwischen dem betrachteten Knoten nd dem Bezgsknoten. Das Ziel des Verfahrens ist ebenfalls die Bestimmng sämtlicher nbekannter Spannngen nd Ströme im Netzwerk. Dieses Verfahren eignet sich besonders für Netzwerke mit vielen Stromqellen. Es soll am folgenden Beispielnetzwerk eingeführt werden: Soll ein Netzwerk dem Knotenpotentialverfahren nterzogen werden, so darf es nr noch Stromqellen nd eitwerte enthalten. Die Spannngsqelle mß also zsammen mit ihrem Innenwiderstand znächst in eine Stromqelle überführt werden. Dabei gilt: G ; I Die ichtng des Stromes mß dabei so gewählt werden, daß der Spannngsabfall an G der rsprünglichen Spannng entspricht. Prof. Dr. Holger Kapels /4

38 Alle Widerstände im Netzwerk werden anschließend in ihre eitwerte überführt. Das Knotenpotentialverfahren redziert die Komplexität af nr eine Gleichng je nabhängigem Knoten (k-), im Beispielnetzwerk also von wiederm Gleichngen (3 Maschen nd 3 Knoten) af 3. Nach der Vorbereitng des Netzwerks (eitwerte, Stromqellen) werden folgende Schritte drchgeführt:. Zweigströme definieren nd Qellenströme markieren. Bezgsknoten definieren (üblicherweise Massepotential) nd Knotenpotential für jeden nabhängigen Knoten definieren 3. Afstellen der Kirchhoffgleichng für jeden Knoten. 4. Asdrücken der Kirchhoffgleichngen als Fnktion der Knotenpotentialdifferenzen nd der eitwerte mit: I G ( ) ab ab a b Schritte des Knotenpotentialverfahrens:. Zweiströme nd Qellenströme. Knotenpotentiale 3. Kirchhoffsches Knotengesetz K: = = K: = K = = Aflösen nd Einsetzen der Knotenpotentiale G ( - 3 ) + G ( - ) + G 5 = I G ( - ) + G 3 ( - 3 ) + G 4 = G ( 3 - ) + G 3 ( 3 - ) = -I + I 6 Nach Anwendng des Verfahrens entsteht ein lineares Gleichngssystem mit drei Gleichngen für drei nbekannte Knotenpotentiale. Dieses System läßt sich mit den bekannten ösngsverfahren für lineare Gleichngssysteme lösen. Prof. Dr. Holger Kapels /4

39 Das resltierende Gleichngssystem läßt sich in Matrixschreibweise mit der Knoten-Admittanz- Matrix Y darstellen, die beiden Vektoren nennt man Knotenpotentialvektor nd Qellenstromvektor I: G G G5 G G I G G G G G G G3 G G 3 3 I I 6 G I As den Knotenpotentialen lassen sich nmittelbar alle Zweigspannngen nd damit ach die Zweigströme berechnen. Das Knotenpotentialverfahren bietet zwei Vorteile:. Die Anzahl der Gleichngen wird af die Anzahl der nabhängigen Knoten redziert.. Die Knoten-Admittanz-Matrix Y kann direkt ohne mformngen as der Schaltng afgestellt werden, indem man nachfolgendes Schema anwendet. Afstellen der Knoten-Admittanz-Matrix. Jedes Element n i,i af der Haptdiagonalen ist die Smme der eitwerte, die mit Knoten i verbnden sind.. Jedes andere Element n i,k ist die negative Smme der eitwerte, die zwischen Knoten i nd Knoten k liegen. iegt zwischen den Knoten kein eitwert, so wird eine Nll eingetragen. 3. Jedes Element i i des ösngsvektors ist die Smme der Stromqellen am Knoten i (positiv, wenn der Strom in den Knoten fließt, andernfalls negativ) Mit diesem Verfahren können beliebig komplizierte lineare Netzwerke analysiert werden. Die ösng des Gleichngssystems erfolgt in der Praxis nmerisch oder mit dem Gaßschen Eliminationsverfahren. Die folgenden Eigenschaften der Knoten-Admittanz-Matrix können gentzt werden, m die afgestellte Matrix af Korrektheit z prüfen: a) Die Matrix ist stets symmetrisch zr Haptdiagonalen. b) Jedes Element af der Haptdiagonalen ist positiv, die übrigen Elemente sind negativ oder gleich Nll. Übng: Wenden Sie das Verfahren zr Afstellng der Knoten-Admittanz-Matrix nd des ösngsvektors für das Beispielnetzwerk an nd vergleichen Sie dies mit obigem Ergebnis. Prof. Dr. Holger Kapels /4

40 Knotenpotentialverfahren mit idealen Spannngsqellen Soll ein Netzwerk dem Knotenpotentialverfahren nterzogen werden, so darf es nr noch Stromqellen enthalten. Da ideale Spannngsqellen nicht in Stromqellen mgewandelt werden können, mß mit diesen gesondert verfahren werden. Befindet sich eine ideale Spannngsqelle zwischen zwei Knoten, so vereinfach sich die Sitation eigentlich noch, denn eine ideale Spannngsqelle zwischen zwei Knoten a nd b sorgt für eine feste Potentialdifferenz zwischen diesen Knoten. Somit ist nr noch eines der Knotenpotentiale nbekannt, das zweite hat z diesem die Differenz. Die beiden Knoten können z einem Knoten zsammengefaßt werden, die Strombilanz (K) gilt natürlich ach für die Smme der beiden Knoten. Das Zsammenfassen der Knoten wird im Gleichngssystem dadrch asgedrückt, daß Zeile a af b addiert nd dann Zeile a gestrichen wird. Der nee zsammengefaßte Knoten heißt in diesem Fall dann b: Ga Gb Gc a Iq a Ga Gb Gc b Iq Ga Ga Gb Gb Gc Gc b Iq Iq G3a G3b G3c c Iq3 G3a G3b G3c c Iq3 Jetzt mß nr noch die ideale Spannngsqelle in das Gleichngssystem "eingebat", also das Potential des Knotens a asgedrückt werden. Es gilt: a b also a b. Eingesetzt in das obige Gleichngssystem folgt: a Ga Ga Gb Gb Gc Gc b Iq Iq G3a G3b G3c c Iq3 Befindet sich im z nterschenden Netzwerk eine ideale Spannngsqelle, so wird das Knotenpotentialverfahren znächst so drchgeführt, als wäre die Qelle nicht vorhanden. In das entstandene Gleichngssystem wird die Qelle dann nach folgendem Schema eingefügt:. Addition der zwei beteiligten Knotenzeilen nd Streichen einer Zeile.. Einfügen der Spannngsqelle als Differenz der Knotenpotentiale, drch Eintragen von "" nd "-" in die gestrichene Zeile. Die ichtng des Spannngspfeils wird drch die Vorzeichen der neen Einträge berücksichtigt. 3. Die Spannngsqelle wird in die freigewordene Position des Qellenvektors eingetragen. Prof. Dr. Holger Kapels /4

41 [V] Elektrotechnik II 3 Mittelwerte periodischer Fnktionen Wechselgrößen Eine wichtige Klasse zeitlich veränderlicher Signale hat die Eigenschaft der Periodizität, d.h., dass sich der Signalverlaf in immer gleichen Zeitabständen wiederholt. Beispiel einer periodischen Wechselspannng: S û 4 T t [ms] Eine periodische Fnktion beginnt im negativen nendlichen (t -) nd endet im positiven nendlichen (t ). Periodische Wechselsignale werden mit folgenden Größen beschrieben: Periodendaer T; [ T ] = s Die Periodendaer (oder krz Periode) eines Wechselsignals ist das Grndintervall, nach dessen Ablaf sich die Werte des Signals wiederholen. Dieses Grndintervall eines Signals wird als Schwingng bezeichnet, die Periode gibt damit die änge einer Schwingng an. Freqenz f; [ f ] = Hz Die Freqenz f gibt an, wie viele vollständige Schwingngen eines Signals in einer Seknde stattfinden. Die Freqenz ist damit der Kehrwert der Periodendaer. Kreisfreqenz rad/s Die Schwingng eines Sinssignals lässt sich als rotierender Zeiger in der komplexen Ebene interpretieren. Die Kreisfreqenz eines Signals gibt an, wie oft der zgehörige Zeiger in einer Seknde einen vollständigen Kreis (36 bzw. ) beschreibt. Da eine Schwingng einem Vollkreis entspricht, ergibt sich die Kreisfreqenz as dem Prodkt der Freqenz nd (Vollkreis). Die Einheit der Kreisfreqenz ist damit /s oder rad/s. Momentanwert (t): Der Momentanwert beschreibt den Wert des Signals z jedem Zeitpnkt t. Bei sinsförmigen Spannngen gilt z.b. (t) = û sin(t + ). Prof. Dr. Holger Kapels /4

42 [V] [V] Elektrotechnik II 5 Spitze-Tal-Wert: û t [ms] Scheitelwert S : Der Scheitelwert s beschreibt den größten Wert, den das Signal in einer Periode (nd damit für alle Zeitpnkte) annimmt. Amplitde û: Die Amplitde û ist die größte Aslenkng, die ein Signal in einer Periode as einer Mittellage erfährt. Diese Mittellage ist als arithmetischer Mittelwert definiert, sie stellt damit ach den Gleichanteil eines Signals dar. Mischgrößen Häfig liegen Spannngen nd Ströme vor, die sich as der Überlagerng einer Gleichspannng oder stroms i (Gleichanteil) mit einer Wechselspannng oder strom i (Wechselanteil) ergeben. Diese werden als Mischgrößen bezeichnet. Z.B. für die Mischspannng t sin t ˆ : 5 5 û t [ms] Prof. Dr. Holger Kapels /4

43 [V] Elektrotechnik II 3. Arithmetischer Mittelwert Gleichanteil Zr näheren harakterisierng von Wechselgrößen ist es häfig nötig, Mittelwerte der Signale z betrachten. Die zwei wichtigsten Mittelwerte werden im Folgenden mit ihren Eigenschaften vorgestellt. Allen diesen Größen ist gemeinsam, dass die Mittelwertbildng stets über eine Periode stattfindet. Es wird also immer ein bestimmter Wert über eine ganze Periode smmiert (integriert) nd anschließend drch die änge der Periode geteilt. Da sich die Signalwerte nach einer Periode wiederholen, gilt der berechnete Mittelwert für das ganze Signal. Zr Bildng des arithmetischen Mittelwerts wird der Momentanwert (t) eines Signals vorzeichenrichtig über die Daer einer Periode integriert nd dann drch die änge der Periode geteilt: T T t dt Da sich die Signalwerte nach einer Periode wiederholen, müssen die Integrationsgrenzen nicht mit den Periodengrenzen übereinstimmen, es mss lediglich über die änge einer Periode integriert werden: T T t t t dt Anschalich gesprochen werden bei der Bildng des arithmetischen Mittelwerts die Flächen, die das Signal mit der Abszisse einschließt, afsmmiert. Flächen, die über der Achse liegen werden dabei positiv gezählt, die nter der Achse werden negativ gezählt. Schwingt ein Signal gena symmetrisch m die Nllachse, wie das bei einem reinen Sins der Fall ist, dann heben sich die positiven nd die negativen Flächenanteile af nd der Mittelwert verschwindet (Abbildng) û t [ms] Der arithmetische Mittelwert wird ach als Gleichanteil eines Signals bezeichnet. Die folgenden Überlegngen verdetlichen den Begriff. Prof. Dr. Holger Kapels /4

44 [V] Elektrotechnik II Betrachtet wird eine sinsförmige Wechselspannng, z der eine Gleichspannng addiert wrde: t sin t Die Mittelwertbildng dieses Signals ergibt: T T T T tdt sin t dt dt sin t dt T T T T Nach der Mittelwertbildng bleibt also nr der Anteil der Gleichspannng übrig. As dieser Tatsache folgt die Bezeichnng Gleichanteil für den arithmetischen Mittelwert. Die ntenstehende Abbildng zeigt dasselbe Sinssignal mit überlagerter Gleichspannng = 5V.Die Flächenanteile des Signals liegen nn symmetrisch m den Gleichanteil. Bei der Bildng des arithmetischen Mittelwerts bleibt nr der Gleichanteil übrig û t [ms] Die Amplitde eines Signals wrde definiert als maximale Aslenkng as einer Mittelwertlage. Der Gleichanteil eines Signals ist das Bezgsnivea für die Amplitde. Die Amplitde û eines Signals ist also seine maximale Aslenkng as seinem Gleichanteil. Normgemäß (DIN 4) ist ein Wechselsignal dadrch gekennzeichnet, dass es keinen Gleichanteil besitzt. Signale, die as Gleich- nd Wechselanteil bestehen, werden nach Norm als Mischsignale bezeichnet. Prof. Dr. Holger Kapels /4

45 3. Effektivwert eff = TMS (tre rms) Insbesondere in der Energietechnik interessiert häfig nr die eistng, die eine Wechselspannng in einem Verbracher msetzen kann. m Signale hinsichtlich dieser Eigenschaft vergleichen z können wrde der Effektivwert eff eingeführt. Für Spannngen kann der Effektivwert so definiert werden: Eine Wechselspannng, die in einem Verbracher die gleiche eistng msetzt wie eine Gleichspannng von x Volt, hat einen Effektivwert von x Volt. As dieser Definition kann ach die mathematische Beschreibng des Effektivwerts hergeleitet werden: Die Momentanleistng, die eine Wechselspannng in einem Verbracher mit dem Widerstand msetzt ergibt sich z: p t i Die mittlere eistng kann nn über den arithmetischen Mittelwert berechnet werden: PA p dt dt T T T T Für eine Gleichspannng entspricht die mgesetzte Momentanleistng ach der mittleren eitng: P D p Gemäß obiger Definition soll die Wechselspannng im Mittel dieselbe eistng msetzten wie die Gleichspannng, die beiden Asdrücke für die mittleren eistngen können also gleichgesetzt werden: PD PA dt dt T T T T öst man diesen Asdrck nach af, so erhält man den Effektivwert der Wechselspannng: eff dt T T Prof. Dr. Holger Kapels /4

46 Der Effektivwert einer Wechselgröße entspricht somit dem qadratischen Mittelwert. Die englische Bezeichnng MS Vale spiegelt dies nmittelbar wieder, sie steht für oot Mean Sqare also: Qadratwrzel Mittelwert Qadrat. Die Effektivwerte für andere Wechselgrößen (z.b. Ströme) berechnen sich analog. Für sinsförmige Größen, hier am Beispiel einer Spannng t sin t folgende Zsammenhang zwischen Amplitde nd Effektivwert : gezeigt, ergibt sich der. Qadrieren: sin t cos t. Mittelwert bilden: T T T cos tdt dt cos tdt T T 3. Wrzel ziehen Achtng: Dieser Zsammenhang gilt nr für sinsförmige Größen. Der Effektivwert ist mit Abstand die wichtigste Größe für technische Wechselsignale. Afgrnd dieser Bedetng wird häfig nr der Effektivwert angegeben, ohne extra z kennzeichnen, dass es sich m einen Effektivwert handelt. So bedetet die Angabe = 3V für die Netzspannng in Detschland, dass es sich m einen Effektivwert von 3V handelt. Die Amplitde nserer Netzspannng beträgt also mit über 35V. Prof. Dr. Holger Kapels /4

47 Prof. Dr. Holger Kapels /4 Effektivwert einer Mischgröße Häfig treten Mischgrößen als Überlagerng einer Gleichspannng nd einer Wechselspannng af [V] t [ms] û Der Effektivwert wird analog drch Einsetzen in die Effektivwertformel bestimmt: T dt t T sin ˆ Mit Hilfe der binomischen Formel b ab a b a vereinfacht sich die Berechnng z sin ˆ sin ˆ dt t dt t dt Wird nr der mittlere Term berechnet, so folgt: sin ˆ sin ˆ ˆ sin ˆ cos ˆ dt t dt dt t dt dt t t dt Der Effektivwert der Mischgröße lässt sich damit as der Wrzel der Smme der Effektivwerte der Einzelgrößen zm Qadrat bestimmen:,, eff eff t t sin ˆ

48 4 Schaltngsberechnng von Wechselstromkreisen Zahlreiche Berechnngen im Bereich der sinsförmigen Wechselgrößen lassen sich vereinfachen, wenn sie in der komplexen Ebene drchgeführt werden. 4. Sinsförmige Spannngen/Ströme 4... Zeigerdarstellng von sinsförmigen Signalen Projiziert man eine sinsförmige Größe af einen Kreis, so kann ihr zeitlicher Verlaf drch einen rotierenden Zeiger beschrieben werden. Der Winkel des Zeigers z einem bestimmten Zeitpnkt beschreibt die Phasenlage nd die änge des Zeigers die Amplitde des sinsförmigen Signals. Eine Periodendaer T entspricht einem vollständigen mlaf des Zeigers nd damit. Phasendifferenz zwischen sinsförmigen Spannngen In der nachfolgenden Abbildng hat (t) = û sin(t + ) eine positive Phase, der Phasenwinkel von (t) = û sin(t + ) ist negativ. Man sagt, eilt vor. Übng: Prof. Dr. Holger Kapels /4

49 Bestimmen Sie die Phasendifferenz = zwischen den Spannngen nd. = (t/t) 36 = 4... Sinsförmige Fnktionen in der komplexen Ebene Wenn eine sinsförmige Fnktion als Zeiger dargestellt werden kann, dann ist es ach möglich, diesen Zeiger als einen Pnkt in der komplexen Ebene z beschreiben. Wir können damit eine Abbildng einer Fnktion im Zeitbereich in die komplexe Ebene beschreiben: Zeitbereich j + û cos(t + ) Komplexe Ebene (t) = ûsin(t + ) (t) = ûcos(t + ) + jûsin(t + ) Im{(t)} Mathematisch wird die zeitabhängige Fnktion mit j mltipliziert nd z ihr der Term ûcos(t + ) hinzgefügt. mgekehrt wird bei der ücktransformation as der komplexen Fnktion wieder die rsprüngliche Fnktion im Zeitbereich, indem nr der Imaginärteil berücksichtigt wird: (t) Im (t) Wendet man die Elersche Formel an, so kann die komplexe Fnktion sehr kompakt als Exponentialfnktion dargestellt werden: (t) ûcos( t ) jûsin( t ) ûe j e jt Hierbei bezeichnet man: û = ûe j û = û arg(û) = e jt komplexe Amplitde nd Betrag der komplexen Amplitde Phasenwinkel der komplexen Amplitde Winkelfaktor Anschalich kann man sich die Exponentialdarstellng so erklären: Der erste Exponentialterm legt den anfänglichen Phasenwinkel bei t = fest, da er keine Zeitabhängigkeit besitzt ändert er sich ach nicht im Zeitverlaf. Der zweite Exponentialterm (Winkelfaktor) sorgt für die Drehng des Zeigers mit der Kreisfreqenz. Die Amplitde û legt die änge des Zeigers fest. Man erhält nter Ntzng der komplexen Amplitde die Zeitfnktion in der komplexen Ebene: Prof. Dr. Holger Kapels /4

50 (t) û e jt Die komplexe Amplitde enthält also, anders als die reelle Amplitde, bereits die Information über den anfänglichen Phasenwinkel. Meist interessiert nicht die Zeitfnktion (t) selbst sondern nr deren Amplitde nd deren Phasenlage im Bezg z anderen Signalen. Die komplexe Amplitde ist ein wichtiges Werkzeg der Elektrotechnik. Eine sinsförmige Wechselgröße wird drch die komplexe Amplitde zr Zeit t = beschrieben. Dies bezeichnet man als Zeigerdarstellng. Der Zeiger entspricht (). Anstelle von ûe j wird ach geschrieben: û, das bezeichnet man als Darstellng in Betrag nd Phase. Häfig verwendet man ach den Effektivwert nd schreibt =. Der Ntzen der znächst afwendig erscheinenden Transformation der Fnktion (t) in die komplexe Ebene ist die Vereinfachng der Berechnng von Spannngen nd Strömen. Die folgenden mathematischen Operationen für sinsförmige Größen können detlich einfacher mit komplexen Zahlen als im Zeitbereich mit Sinsfnktionen drchgeführt werden: Addition nd Sbtraktion (Sperposition) (häfig benötigt für Kirchhoffsche Gesetze) Ableitng nd Integration (wichtig für Kondensator nd Indktivität) (t) Zeitbereich res (t) Zeitbereich Transformation (t) Komplexe Ebene ücktransformation algebraische Operationen Da die komplexe Amplitde keine Information über den zeitlichen Verlaf enthält, wird die Zeitfnktion wiedergewonnen, indem die komplexe Amplitde mit dem Winkelfaktor e jt mltipliziert wird. Drch die Transformation in den komplexen Bereich kann nicht nr das echnen mit trigonometrischen Fnktionen vermieden werden, sondern sie ermöglicht ach, die Differentiation af eine einfache Division nd die Integration af eine einfache Mltiplikation z redzieren (wird später noch gezeigt werden). Beispiel: nd seien die sinsförmigen Spannngen an den Baelementen nd. Gescht ist die Gesamtspannng s (t). (t) = û sin(t + ) nd (t) = û sin(t + ). Anstelle die Sinsfnktionen z addieren nd deren Additionsregeln z berücksichtigen, werden die Spannngen in die komplexe Ebene Prof. Dr. Holger Kapels /4 s (t) (t) (t)

51 Voltage [V] Elektrotechnik II transformiert nd dort (als Zeiger) einfach addiert. Die mathematische Operation dann entspricht einer einfachen Vektoraddition: û =û e j = a + jb nd û =û e j = a + jb Damit folgt: û s û û û s e j Übng A Es sei: (t) = µvsin(t /6) (t) = 3µVsin(t + /3) s (t)/µv = sin(t /6) + 3sin(t + /3) û = = V - j V û = = V+ j V û s = V+ j V = Die Smme der Spannngen ist eine sinsförmige Spannng mit der Amplitde nd der Phase 4 x -5 Sperposition of and t/ Abb.: Überlagerng der Spannngen nd im Zeitbereich nd als Zeigerdarstellng Prof. Dr. Holger Kapels /4

52 Voltage [mv] Elektrotechnik II Übng A Bestimmen Sie den Effektivwert der Spannngen 6 Sperposition of and t [ms] Periode T = = = 3 = Prof. Dr. Holger Kapels /4

53 4. Elektrische Impedanz (Wechselstromwiderstand) Es sei (t) eine sinsförmige Wechselspannng mit = û sin(t + ). Drch die Transformation in die komplexe Ebene ergibt sich die komplexe Spannng: (t) = ûe jt mit û = û oder als Effektivwert = mit û Es sei i(t) ein Wechselstrom mit i(t) = îsin(t + i ). Die Transformation in die komplexe Ebene ergibt: i(t) = îe jt mit î = î i oder als Effektivwert = i mit I î Definition: Die elektrische Impedanz Z eines Bateils ist das Verhältnis von komplexer Spannng, die an dem Baelement abfällt, zm komplexen Strom drch dieses Baelement. Es handelt sich also m eine Verallgemeinerng des elektrischen Widerstandes af Wechselstromschaltngen. û Z mit [Z] = I î As der komplexen echng ergibt sich die Darstellng von Z in Polar-Form: û Z î I I iι I Z. i Dabei bezeichnet man: Z = / Betrag der Impedanz = i Phasenwinkel der Impedanz Stellt man Z in kartesicher Form dar, so gilt: Z jx mit: = e(z): X = Im(Z): Widerstand / esistanz Blindwiderstand / eaktanz Prof. Dr. Holger Kapels /4

54 Es gilt also = Zcos nd X = Zsin, wobei die eaktanz positiv oder negativ sein kann: Definition: bei X < nd damit < ist die Impedanz kapazitiv, bei X > nd damit > ist die Impedanz indktiv. Kondensator egt man an einen Kondensator eine Spannng an, so bat sich zwischen seinen Platten ein elektrisches Feld af nd die Platten werden mit einer adngsmenge Q afgeladen. Bei Gleichstromanregng findet znächst ein krzer adngstransport statt. Nachdem die Kondensatorplatten bis zr maximalen Kapazität geladen sind, fließt keine adng mehr nach nd der Kondensator wirkt wie eine nterbrechng des Stromkreises. As der Definition der Kapazität ergibt sich wegen Q = nd der Definition der adng die Kondensatorgleichng: i(t) d dt As der Gleichng folgt, daß nr dann Strom drch den Kondensator fließt, wenn sich die Spannng über dem Kondensator verändert. egt man nn eine Wechselspannng (nicht notwendigerweise sinsförmig) an einen Kondensator, so verändert sich die Spannng fortlafend nd es fließt damit kontinierlich Strom. Beispiel: Es liege am Kondensator die Spannng (t) = ûsin(t) mit =f =/T: d (t) = ûsin(t) c i(t) û cos( t) îcos( t) dt (t) i(t) Der Strom eilt der Spannng m /, also 9 voras. Prof. Dr. Holger Kapels /4

55 Der etwas seltsam anmtende mstand, daß znächst nr Strom fließt nd dann erst später eine Spannng anliegt, läßt sich leicht erklären, wenn man den adngstransport betrachtet: Es mß znächst adng transportiert werden, also Strom fließen, damit sich die Platten afladen können nd sich damit das elektrische Feld, also die Spannng, afbaen kann. Für einen Kondensator mit der Kapazität gilt mit: jt ( t) e nd I( t) d( t) dt j e jt Daras folgt die Impedanz eines Kondensators: Z I j Der Betrag der Impedanz eines Kondensators verringert sich mit znehmender Freqenz. Der Phasenwinkel beträgt stets = -9, der Strom eilt somit der Spannng voras. Merksprch: "Kondensator Strom eilt vor." Damit läßt sich das ohmsche Gesetzt in komplexer Form formlieren: I j Indktivität Verbindet man eine Sple mit einer Stromqelle, so bat sich im Inneren der Sple ein Magnetfeld af. Im Fall von Gleichstrom ändert sich die Stärke des Magnetfeldes nr im Einschaltmoment während es sich afbat, danach bleibt sie konstant. Da nr ein veränderliches Magnetfeld eine Spannng indziert, liegt in diesem Fall nr ganz krz eine Spannng an der Sple an. Sobald das Magnetfeld vollständig afgebat ist, verhält sich die Sple wie ein Krzschlß nd es fällt keine Spannng mehr an ihr ab. Bei zeitlich veränderlichen Strömen entsteht jedoch drch die Selbstindktion permanent Spannng an den Klemmen, die drch die Splengleichng beschrieben werden kann: (t) di dt Prof. Dr. Holger Kapels /4

56 Beispiel: Der Strom i = î sin(t) fließe drch eine Indktivität mit = f. i = î sin(t) = î cos (t) = û cos(t) i(t) (t) Die Spannng (t) eilt dem Strom i(t) m / voras. Für eine Sple mit der Indktivität gilt mit: jt I(t) I e nd (t) di(t) dt I j e jt Daras folgt die Impedanz einer Sple: Z I j Der Betrag der Impedanz der Indktivität steigt mit znehmender Freqenz. Der Phasenwinkel beträgt stets = 9, die Spannng eilt dem Strom voras. Merksprch: "An Indktivitäten, die Ströme sich verspäten." Damit läßt sich das ohmsche Gesetzt in komplexer Form formlieren: j I Prof. Dr. Holger Kapels /4

57 Widerstand Die Impedanz eine Widerstandes berechnet sich entsprechend: Z I Der Betrag der Impedanz ist gleich der Impedanz nd nabhängig von der Freqenz. Der Phasenwinkel beträgt =, so daß Strom nd Spannng gleichphasig sind. Die Impedanz eines Widerstandes besteht nr as esistanz, die eaktanz ist Nll. Motivation für die Transformation in die komplexe Ebene: egt man ein lineares Netzwerk mit einer sinsförmigen Wechselspannng oder einem Wechselstrom an, so ist im Zeitbereich afgrnd der Kondensator- nd Splengleichng eine Differentiation oder Integration notwendig. Die Addition der Ströme nd Spannngen erfordert die Anwendng der echenregeln für trigonometrische Fnktionen. Schon die Analyse kleiner Netzwerke wird dadrch sehr rechenafwendig nd schnell nübersichtlich. Stattdessen kann man alle Größen in die komplexe Ebene transformieren nd ersetzt dort die Differentiation nd Integration drch eine Division oder Mltiplikation mit j. Additionen erfolgen nach den egeln der Vektoraddition. Die Einführng des Begriffes der Impedanz erlabt ns, mit Kondensatoren nd Indktivitäten ganz analog wie mit Widerständen z rechnen. Die echenregeln für lineare Gleichstromnetzwerke können in der komplexen Ebene ach af lineare Netzwerke mit Widerständen, Kondensatoren nd Indktivitäten (reaktive Baelemente) angewandt werden, wenn diese mit einer sinsförmigen Wechselspannng nr einer Freqenz angeregt werden nd sich im eingeschwngenen Zstand befinden. Prof. Dr. Holger Kapels /4

58 4.3 Admittanz (Wechselstromleitwert) In Analogie zm eitwert G = / bei Gleichstromnetzwerken definieren wir einen komplexen eitwert: die Admittanz Y für Netwerke mit Wechselstrom: Y Z I I nd Y = mit Y i Y Y Stellt man die Admittanz in der -Form dar, so gilt: Y G jb mit G = e(y) Wirkleitwert (Kondktanz) nd B = Im(Y) Blindleitwert (Sszeptanz) Man kann Y in kartesischer Form als Parallelschaltng von G nd jb affassen. Prof. Dr. Holger Kapels /4

59 5 eistng bei sinsförmigen Größen Im Fall von Gleichspannngen oder Gleichströmen ergibt sich für die eistng, die in Widerständen mgesetzt wird, immer eine Wirkleistng P [W]. Im Fall des Wechselstromkreises tritt an diese Stelle znächst die Scheinleistng S [VA]. 5. Momentanleistng Sind Strom nd Spannng an einer ast gegeben, so kann daras die momentan afgenommene elektrische eistng p berechnet werden. Sind Strom nd Spannng sinsförmige Wechselgrößen mit Amplitde nd Phasenlage, so ist die Momentanleistng p(t) ebenfalls sinsförmig. Sie berechnet sich z: p t t it ˆ sint iˆ sint mit sin x sin y p ˆ iˆ x y cosx y t cos cost cos i Bei Verwendng der Effektivwert lässt sich die Gleichng mformen z: p t I cos I cost i zeitlichkons tant ( Gleichante il) ( Wirkleist ng) i mitdoppelterfreqenz schwankend ( Wechselant eil) ( Blindleist ng) i i Die Momentanleistng besteht also as einem zeitnabhängigen Anteil, der lediglich von der Phasendifferenz zwischen Strom nd Spannng abhängig ist, sowie einem zeitabhängigen Anteil, der sich im afe einer Periode stetig ändert. Die Phasendifferenz zwischen Strom nd Spannng wird im Folgenden mit = - i bezeichnet. 5. Wirkleistng Will man wissen, welche eistng ein Bateil drchschnittlich afnimmt, so mss man den Mittelwert der Momentanleistng berechnen. Da sich bei den sinsförmigen Größen die Werte nach dem Ablaf einer Periode zyklisch wiederholen, ist es asreichend, den Mittelwert über eine Periode z betrachten. Dieser Mittelwert heißt Wirkleistng P nd berechnet sich wie folgt: P T T p T T t dt I cos i I cos t i dt Prof. Dr. Holger Kapels /4

60 Der zeitvariante Anteil ist eine reinere Kosinsfnktion, die über zwei volle Perioden integriert wird. Da das Integral über eine Periode des Kosins den Wert Nll liefert, verschwindet der zeitvariante Anteil bei der Mittelwertbildng nd der Gleichanteil stellt die Wirkleistng P dar: ˆ iˆ P cos i ] I cos [ P W Die afgenommene Wirkleistng ist also eine Fnktion des Kosins as der Phasendifferenz zwischen Strom nd Spannng an der betrachteten ast. 5.3 Scheinleistng Die Scheinleistng ist definiert als Prodkt der Effektivwerte von Strom nd Spannng: S ˆ iˆ I [ S] VA Damit kann die Gleichng der Momentanleistng p(t) vereinfacht werden z: p t S cos S cos t P S cos t i i Es ergibt sich somit eine m den Gleichanteil P herm schwingende Kosinsfnktion mit der Amplitde S: Darstellng des Wirk- nd Scheinleistngsverlafs für einen Wechselspannngs- nd Wechselstromverlaf [Qelle: Prof. Dr. Holger Kapels /4

61 5.4 eistngsfaktor Zr Beschreibng des relativen eistngsverhältnisses von Wirk- z Scheinleistng an nicht rein ohmschen elektrischen Verbrachern (z.b. Elektromotoren) führt man den eistngsfaktor ein, er ist definiert als Qotient von Wirk- z Scheinleistng: P S S cos i S cos ein Ohmsche asten haben also einen eistngsfaktor =, während für Splen nd Kondensatoren = gilt. Da an einem rein Ohmschen Widerstand keine Phasenverschiebng zwischen Strom nd Spannng aftritt, gilt die bekannte Beziehng: P I cos I An einer rein kapazitiven oder indktiven ast beträgt dieser Phasennterschied im Betrag 9 bzw. ½, so dass der Asdrck für die Wirkleistng immer z Nll wird: P I cos Ideale Kondensatoren oder Splen nehmen also keine Wirkleistng af. Die momentane eistngsafnahme ist jedoch nicht immer gleich Nll, lediglich der Mittelwert verschwindet. eaktive Baelemente sind Energiespeicher, sie werden während der Hälfte einer Periode (positive Halbwelle) geladen nd nehmen dabei eistng af. Während der anderen Hälfte der Periode (negative Halbwelle) entladen sie sich wieder nd geben dabei eistng ab. Die eistng schwingt zwischen Qelle nd ast hin nd her, ihr Mittelwert verschwindet. Da ach dieser Anteil häfig von Interesse ist, definiert man dafür eine eigene Größe. 5.5 Blindleistng Drch eine weitere mathematische mformng des Ergebnisses für die Momentanleistng p(t) wird im Folgenden die dritte wichtige eistngskenngröße, die Blindleistng Q eingeführt: p t P S cost i P S cost i mit cost i cost i cos sint i sin P S cost i cos S sint i sin P P cost Q sint i Prof. Dr. Holger Kapels /4 i

62 mit Q S sin Blindleistng [var] nd sin Blindfaktor Damit spaltet sich der zeitliche Verlaf der eistng in die folgenden drei Teile af: p t P Pcos t Qsint Wirkleist ng i Wirkleist ngsschwingng i Blindleist ngsschwingng Die Blindleistng Q beschreibt den Anteil der eistng, der im Mittel von einer ast afgenommen nd wieder abgegeben wird: Q I sin Die Einheit var (Volt Ampere eaktiv) dient lediglich daz, eine Blindleistngsangabe eindetig z kennzeichnen. Bei einem Phasenwinkel von Nll verschwindet der Sinsterm, so dass rein Ohmsche Verbracher keine Blindleistng afnehmen. Obwohl die Blindleistng zwischen Qelle nd Verbracher hin nd her pendelt, im klassischen Sinn also nicht "verbracht" wird, mss sie bei technischen Anwendngen trotzdem berücksichtigt werden. Einerseits mss diese eistng in jeder Periode über die eitngen des Versorgngsnetzes transportiert werden, die Infrastrktr mss also für diese zsätzliche Belastng asgelegt sein. Zm anderen verrsacht die pendelnde Blindleistng bei jedem Drchgang drch die eitngen echte Verlste, da die eitngen einen voll Nll verschiedenen Ohmschen Widerstand afweisen, der beim Transport der zsätzlichen adngsmenge z einem Spannngsabfall af den eitngen nd damit zr Afnahme von Wirkleistng drch die eitngen führt. Man kann den Transport der Blindleistng vermeiden, indem man direkt am Verbracher eine sogenannte Blindleistngskompensation betreibt. Dabei werden an indktive Verbracher Kondensatoren nd an kapazitive Verbracher Splen angeschlossen. Sind die Kompensationselemente richtig dimensioniert, so pendelt die Blindleistng nr noch zwischen den Verbrachern nd der Kompensation. Smmiert man das Qadrat der Wirkleistng nd das Qadrat der Blindleistng, so ergibt sich: P Q S cos S sin S Die Scheinleistng lässt sich damit über den Satz von Pythagoras direkt as der Wirk- nd Blindleistng berechnen: Prof. Dr. Holger Kapels /4

63 S P Q 5.6 Komplexe eistng Stellt man die eistng als Zeiger in der komplexen eistngsebene dar, so ist die Scheinleistng der Effektivwert des komplexen eistngszeigers. Die Wirkleistng entspricht dem ealteil des eistngszeigers. Der schwingende Anteil der eistng stellt den Imaginärteil, die Blindleistng Q dar. Wirkleistng nd Blindleistng stehen damit senkrecht afeinander. Somit kann die Scheinleistng in die folgende, komplexe Schreibweise überführt werden: S P eff j Q S cos I eff e j j j * i j S sin eff e I eff S e e i j I S * I Dem ealteil von S entspricht die Wirkleistng P: P e * S e I Dem Imaginärteil von S entspricht die Blindleistng Q: Q Im * S Im I j Im{S} S j Q P e{s} Zeigerdiagramm der Scheinleistng S in der Gaßschen Zahlenebene Prof. Dr. Holger Kapels /4

64 6 Freqenzverhalten von -Schaltngen 6. -Filter Wir hatten bisher nr rein sinsförmige Signale einer einzelnen Freqenz betrachtet, meist hat man es in der Praxis jedoch mit einer Mischng (Überlagerng) von vielen nterschiedlichen Freqenzen nd Amplitden z tn. So besteht z.b. das Adiosignal as einem D Player as einer Überlagerng von Sinssignalen mit Freqenzen zwischen Hz bis khz. In vielen Anwendngen möchte man nr einen Teilbereich der Freqenzen weiterverarbeiten, dieser Signalanteil mss daz as dem Gesamtsignal herasgefiltert werden. m die Eigenschaften der Filterschaltngen z analysieren, wird nicht die Filterschaltng selbst analysiert, sondern die Wirkng der Schaltng af Eingangssignale. Die Schaltng selbst wird dabei als System betrachtet, vereinfacht als eine Blackbox mit einem Eingangsklemmenpaar oder dem Eingangstor nd einem Asgangsklemmenpaar, dem Asgangstor (Zweitor): Eingang Asgang e System a Das Systemverhalten kann im Zeitbereich oder im Freqenzbereich beschrieben werden. Der Freqenzgang beschreibt das Verhalten abhängig von der Freqenz, er ist eine komplexe Fnktion der Freqenz. Verschiedene komplexe Kenngrößen von Wechselstromschaltngen können als Freqenzgang dargestellt werden, so zm Beispiel die Impedanz Z, die Admittanz Y oder aber die Übertragngsfnktion F. Ein solches Zweitor wird drch seine Übertragngsfnktion F() beschrieben. Die Übertragngsfnktion gibt an, wie sich das Verhältnis von komplexer Asgangsspannng a z komplexer Eingangsspannng e in Abhängigkeit der Freqenz verändert. Ein solches Filter ist also eine Form von freqenzabhängigem Spannngsteiler, die Übertragngsfnktion selbst ist ebenfalls komplex. F a e Eine Freqenzabhängigkeit weist eine Schaltng immer dann af, wenn sie neben Widerständen ach Kondensatoren oder Indktivitäten enthält, da deren Impedanz freqenzabhängig ist. Betrachten wir znächst das folgende elementare Zweitor: Prof. Dr. Holger Kapels /4

65 Z e Z a Seine Übertragngsfnktion lässt sich einfach drch die Anwendng der Spannngsteilerregel für a bestimmen: F a e Z Z Z In der Vorlesng Grndlagen der Elektrotechnik werden asschließlich passive lineare Filter behandelt. Solche Filter bestehen nr as den drei Grndbaelementen Widerstand, Kondensator nd Sple. Passiv bedetet, dass solche Filter keine verstärkenden Elemente beinhalten, die mittlere eistng des Asgangssignals kann also maximal so groß werden, wie die des Eingangssignals. Im Folgenden werden die Impedanzen Z drch verschiedenartige Verschaltngen von Widerständen, Kapazitäten oder Indktivitäten ersetzt. Die hier besprochenen elektrischen Filter dienen meist daz, nr einen bestimmten Freqenzbereich eines Signals z übertragen, oder aber einen bestimmten Freqenzbereich z nterdrücken. As den Anwendngen ergeben sich die Bezeichnngen der Filter, die im Folgenden vorgestellt werden: Hochpassfilter Signale mit Freqenzen oberhalb einer bestimmten Freqenz können das Filter fast ngedämpft passieren, während die Amplitden von Signalen tieferer Freqenzen gedämpft werden. Im Allgemeinen kann die Phasenlage des Signals verändert werden. Tiefpassfilter Signale mit Freqenzen nterhalb einer bestimmten Freqenz können das Filter fast ngedämpft passieren, während die Amplitden von Signalen höherer Freqenzen gedämpft werden. Im Allgemeinen kann die Phasenlage des Signals verändert werden. Bandpassfilter Fnktional ist das Filter eine Kombination as Hochpass- nd Tiefpassfilter. Signale mit Freqenzen zwischen einer bestimmter ntergrenze nd einer Obergrenze, dem Freqenzband, werden übertragen, die Anteile mit Freqenzen aßerhalb des Bandes werden nterdrückt. Im Allgemeinen kann die Phasenlage des Signals verändert werden. Bandsperre Prof. Dr. Holger Kapels /4

66 Diese Filter kann man sich als mkehrng des Bandpassfilters verdetlichen. Ein bestimmtes Freqenzband wird gedämpft, während die übrigen Signalanteile ngedämpft passieren können. Im Allgemeinen kann die Phasenlage des Signals verändert werden. Allpass(filter) Der Allpass lässt Signale sämtlicher Freqenzen ngedämpft passieren, lediglich die Phasenlage der Signale wird freqenzabhängig verändert. Drchlassbereich, Sperrbereich nd Grenzfreqenz Die Definitionen dieses Abschnitts gelten ganz allgemein für alle behandelten Filter. Betrachtet man die Übertragngsfnktion eines Filters im Bode-Diagramm, so lassen sich zwei Freqenzbereiche nterscheiden: Ein Freqenzbereich in dem die Signale fast nicht gedämpft werden nd ein Bereich, in dem die Signale mehr oder weniger stark gedämpft werden. Der erste Bereich wird Drchlassbereich, der zweite Sperrbereich genannt. Bei Bandfiltern heißen diese Bereiche Drchlassband nd Sperrband. Die Freqenz an der Grenze zwischen Drchlassbereich nd Sperrbereich heißt Grenzkreisfreqenz g. Die übliche (aber nicht einzige) Definition der Grenzfreqenz sagt as, dass die Grenzfreqenz gena dann erreicht ist, wenn die eistng die in einem am Asgang des Filters angeschlossenen Widerstand mgesetzt wird, af die Hälfte des Maximms abgesnken ist. Die Amplitde des Signals ist dann af den /fachen Wert Ihres Maximms abgesnken. Im Bode-Diagramm liegt die Grenzfreqenz bei der Freqenz, bei der die Amplitdenübertragngsfnktion m 3dB von Ihrem Maximalwert abgesnken ist, daher wird die Freqenz häfig als 3dB-Freqenz bezeichnet. Die Steigng, mit der sich die Dämpfng der Amplitde im Sperrbereich über der Freqenz ändert, wird als Filter- oder Flankensteilheit bezeichnet. Der Asdrck Flankensteilheit darf hierbei nicht mit der Flankensteilheit bei der zeitlichen Betrachtng von Signalen verwechselt werden. Die Abbildng zeigt eine Übertragngsfnktion mit gekennzeichnetem Sperr- (rot) nd Drchlassbereich (grün), die Grenzfreqenz liegt gena af der Grenze der Bereiche. Prof. Dr. Holger Kapels /4

67 6... Tiefpass Ein Tiefpass überträgt Gleichspannngen ngedämpft zm Asgang. Mit steigender Freqenz sinkt der Betrag der Asgangspannng ab; hohe Freqenzen werden nr gedämpft an den Asgang übertragen. Ein Tiefpassfilter kann in einfacher Form mittels einer - oder -Schaltng realisiert werden: e a e a Tiefpassfilter als -Schaltng oder -Schaltng Die grndsätzliche Fnktion dieses Filters kann man sich anhand des -Filters verdetlichen, indem man die Kreisfreqenz znächst gleich Nll setzt. Im Gleichspannngsfall kann man die Sple drch einen idealen Draht ersetzen. Die gesamte Eingangsspannng liegt also im Gleichspannngsfall am Asgangstor an. ässt man die Kreisfreqenz nn gegen nendlich gehen, so steigt die Impedanz der Sple immer weiter an, bis sie schließlich drch einen eerlaf ersetzt werden kann. Am Asgangstor liegt dann eine Amplitde von Nll an. Der Tiefpass dämpft also Signale hoher Freqenz, während er Signale tiefer Freqenz passieren lässt. Die grndsätzliche Fnktion dieses Filters kann man sich ebenfalls anhand des -Filters verdetlichen, indem man die Kreisfreqenz znächst gleich Nll setzt. Im Gleichspannngsfall leitet der Kondensator nicht nd kann drch einen eerlaf ersetzt werden. Die gesamte Eingangsspannng liegt im Gleichspannngsfall am Asgangstor an. ässt man die Kreisfreqenz nn gegen nendlich gehen, so leitet der ideale Kondensator nendlich gt nd kann drch einen Krzschlss ersetzt werden. Am krzgeschlossenen Asgangstor liegt dann eine Amplitde von Nll an. Der Tiefpass dämpft also Signale hoher Freqenz, während er Signale tiefer Freqenz passieren lässt. Setzt man den Asdrck für die Impedanz des Kondensators in die Spannngsteilerformel ein, so erhält man die komplexe Übertragngsfnktion des -Tiefpassfilters: F a e j j j j g Die komplexe Übertragngsfnktion des -Tiefpassfilters ergibt sich z: Prof. Dr. Holger Kapels /4

68 Prof. Dr. Holger Kapels /4 g e a j j j F Für den -Tiefpassfilter gilt g. Für den -Tiefpassfilter gilt g. Die komplexe Übertragngsfnktion kann in Amplitdengang A() (ach Amplitdenantwort bezeichnet) als Betrag der komplexen Übertragngsfnktion nd Phasengang (ach Phasenantwort bezeichnet) () getrennt werden. So ergibt sich für den -Tiefpass der Amplitdengang g j F A, wie ach für den -Tiefpass g j F A die gleiche Freqenzabhängigkeit. Zr Berechnng des Phasengangs () wird die Übertragngsfnktion znächst in eal- nd Imaginärteil zerlegt. Für den -Tiefpass folgt j j j j F nd der Phasengang berechnet sich z g F F F arctan arctan e Im arctan arg. In gleicher Weise kann der Phasengang für den -Tiefpass ermittelt werden

69 F j j j j nd es ergibt sich analog für den -Tiefpass arg F Im arctan e F arctan arctan F g. Bei der Freqenz f = Hz bzw. der Kreisfreqenz = s - besitzt der Amplitdengang den Wert. Mit steigender Freqenz sinkt der Wert z Nll ab. Die Amplitde des Gesamtsignals am Eingangstor des -Tiefpass setzt sich folgendermaßen as den Spannngsamplitden an Widerstand nd Kondensator zsammen: Die Grenzfreqenz wird als die Freqenz definiert, bei der das Zweitor die Hälfte der maximalen eistng an eine ast abgibt. P g P max g max g max g max Bei Erreichen der Grenzfreqenz ist die Amplitde am Asgangstor, also an, gena / max, damit gilt für die Grenzfreqenz: nd damit = X. Mit X = / gilt im Falle der Grenzkreisfreqenz: Die Grenzfreqenz f g kann direkt as den Bateilwerten berechnet werden: g g f g Der Amplitdengang beträgt bei der Grenzkreisfreqenz somit für den -Tiefpass Prof. Dr. Holger Kapels /4

70 A g g Für den -Tiefpass ergibt sich analog der Amplitdengang bei der Grenzkreisfreqenz A g Bode-Diagramm Häfig interessiert das Freqenzverhalten einer Schaltng, die as verschiedenen freqenzbestimmenden Bagrppen besteht. Diese können explizit entwickelte Filter sein. Häfig entsteht eine Filtereigenschaft aber ach als nerwünschter (parasitärer) Effekt drch eitngsindktivitäten nd Kapazitäten zwischen Anschlüssen der elektronischen Baelemente. Wenn das Freqenzverhalten jeder einzelnen Bagrppe bekannt ist, ergibt sich das Gesamtverhalten drch Mltiplikation der Übertragngsfnktionen aller Bagrppen. Wenn der Amplitdengang einzelner Bagrppen in einer logarithmischen Skalierng afgetragen wird, so läßt sich diese Mltiplikation einfach drch eine Addition der logarithmisch skalierten Diagramme zrückführen. Vor diesem Hintergrnd werden Amplitdengänge in der egel logarithmisch als sogenanntes Bode- Diagramm dargestellt. Darüber hinas bietet diese Darstellng den Vorteil, dass ach Signale, die sich über verschiedene Größenordnngen erstrecken, in dem Diagramm dargestellt werden können. Dieser Fall tritt zm Beispiel häfig bei Schallmessngen af. Bei einem Bode-Diagramm wird der Amplitdengang in der Einheit Dezibel (db) angegeben nd die normierte Freqenz logarithmisch afgetragen. Drch die Verwendng der Dezibel-Skala entsteht ein doppelt-logarithmisches Diagramm. Häfig wird ach anstelle der normierten Freqenz die Freqenz direkt in logarithmischer Skalierng afgetragen. Die Verstärkng in db wird dabei als zehnfaches logarithmisches eistngsverhältnis definiert: A db As P As log db log db log P Ein Ein As Ein db log As Ein db log A db Einige charakteristische Werte am Beispiel des Tiefpass sollen die spätere Darstellng im Folgenden erlätern. Bei der Freqenz f = wird keine Dämpfng erwartet: Prof. Dr. Holger Kapels /4

71 : A db log log g db Bei der Grenzfreqenz ist der Amplitdengang af / gesnken. In Dezibel entspricht dieses einer Dämpfng von -3, db: g : A db log log 3, db Bei der Grenzfreqenz f g ist der Amplitdengang m 3 db abgefallen. Die Grenzfreqenz f g ( = g ) wird daher oft ach als 3 db-grenze bezeichnet (Hinweis vorab: Gilt nr für Filter. Ordnng). Z hohen Freqenzen hin steigt die Dämpfng stetig an: : A db log g log g Bei sehr hohen Freqenzen f >> f g kann die innerhalb der eckigen Klammern vernachlässigt werden nd man erhält A db - log(f/f g ). Daher ergibt sich in einem Bode-Diagramm charakteristischerweise für hohe Freqenzen eine Gerade mit einer Steigng von - db pro Dekade. Diese Gerade schneidet die db-horizontale bei der Grenzfreqenz des Filters. Man nennt die Steigng der Geraden die Filtersteilheit S. Alle Hoch- nd Tiefpässe erster Ordnng sind dadrch gekennzeichnet, dass sich im Sperrbereich bei Verzehnfachen (eine Freqenzdekade) der Freqenz die Dämpfng m db ändert. Filter erster Ordnng weisen im Sperrbereich somit eine Filtersteilheit von -db/dekade af. Die -3 db-grenze Schneidet den Amplitdengang bei f g Die Gerade gibt die Filtersteilheit an nd schneidet die db- Achse bei f g Grenzfreqenz f g Bode-Diagramm (Amplitdengang) eines Tiefpassfilters Prof. Dr. Holger Kapels /4

72 Da Filterschaltngen im Allgemeinen nicht nr die Amplitde eines Signals, sondern ach dessen Phase beeinflssen, kann die Phasenveränderng als Fnktion der Freqenz - die Phasenantwort - ebenfalls im Bode-Diagramm dargestellt werden. Hierfür werden znächst die charakteristischen Werte des Phasengangs bestimmt: : arctan arctan g g g : arctan arctan 45 g : arctan arctan 9 g Die folgende Abbildng zeigt den Verlaf des Amplitden- nd Phasengangs für die Bateilwerte = k nd = µf. Bode-Diagramm (Amplitdengang nd Phasengang) eines -Tiefpassfilters Man erkennt, dass der Phasengang bei der Grenzfreqenz gena -45 beträgt nd im Sperrbereich des Tiefpass -9 beträgt. Die folgende Abbildng zeigt den Verlaf der Amplitden- nd Phasenübertragngsfnktion für die Bateilwerte = nd = H. Prof. Dr. Holger Kapels /4

73 Bode-Diagramm (Amplitdengang nd Phasengang) eines -Tiefpassfilters Die folgende Abbildng zeigt ein Bode-Diagramm für ein anderes Tiefpassfilter. Amplitden- nd Phasenantwort (gestrichelt) sind dabei zsammen in einem Bode-Diagramm dargestellt. Bode-Diagramm (Amplitdengang nd Phasengang) eines Tiefpassfilters Grndsätzlich gilt für alle - nd -Filter: Eine gegebene Grenzfreqenz kann mit verschiedenen Kombinationen der Bateilwerte erreicht werden. Die Bateilwerte müssen je nach Anwendng nd den geforderten Eingangs- nd Asgangsimpedanzen gewählt werden. Prof. Dr. Holger Kapels /4

74 6... Hochpass Ein Hochpass überträgt hochfreqente Signale ngedämpft zm Asgang. Mit sinkender Freqenz sinkt der Betrag der Asgangsspannng ab. Gegenüber einem Tiefpass. Ordnng sind Widerstand nd Kapazität bzw. Widerstand nd Indktivität vertascht. e a e a Hochpassfilter als -Schaltng oder -Schaltng Die Grndsätzliche Fnktion dieses Filters kann man sich am Beispiel des -Hochpassfilters verdetlichen, in dem man die Kreisfreqenz znächst gleich Nll setzt. Im Gleichspannngsfall leitet der Kondensator nicht nd die gesamte Eingangsspannng fällt am Kondensator ab. Die Amplitde am Asgangstor ist dann Nll. ässt man die Kreisfreqenz nn gegen nendlich gehen, so leitet der ideale Kondensator nendlich gt nd kann drch einen Krzschlss ersetzt werden. Die Amplitde des Eingangssignals liegt dann vollständig am Asgangstor an. Der Hochpass dämpft also Signale tiefer Freqenz nd lässt Signale hoher Freqenz passieren. Die grndsätzliche Fnktion dieses Filters wird wiederm ebenfalls anhand des -Hochpassfilters detlich, wenn man die beiden Extreme der Kreisfreqenz betrachtet. Bei einer Kreisfreqenz von Nll, also bei Gleichspannng, verhält sich die Sple wie ein Stück idealer Draht nd schließt somit das Asgangstor krz. Die Amplitde am Asgangstor ist in diesem Fall also Nll. ässt man die Kreisfreqenz nn gegen nendlich gehen, so steigt die Impedanz der Sple immer weiter an, bis sie schließlich drch einen eerlaf ersetzt werden kann. Die Amplitde des Eingangssignals liegt dann vollständig am Asgangstor an. Der Hochpass dämpft also Signale tiefer Freqenz nd lässt Signale hoher Freqenz passieren. Setzt man den Asdrck für die Impedanz des Kondensators in die Spannngsteilerformel ein, so erhält man die komplexe Übertragngsfnktion des - Hochpassfilters: F a e j j g j Die komplexe Übertragngsfnktion des -Hochpassfilters ergibt sich z: Prof. Dr. Holger Kapels /4

75 Prof. Dr. Holger Kapels /4 g e a j j j j j F Für den -Tiefpassfilter gilt g. Für den -Tiefpassfilter gilt g. Die komplexe Übertragngsfnktion kann in Amplitdengang A() nd Phasengang () getrennt werden. So ergibt sich für den -Hochpass der Amplitdengang g j F A wie ach für den -Hochpass g j F A die gleiche Freqenzabhängigkeit. Zr Berechnng des Phasengangs () wird die Übertragngsfnktion znächst in eal- nd Imaginärteil zerlegt. Für den -Hochpass folgt j j j j F nd der Phasengang berechnet sich z g F F F arctan arctan e Im arctan arg In gleicher Weise kann der Phasengang für den -Hochpass ermittelt werden:

76 Prof. Dr. Holger Kapels /4 j j j j F nd es ergibt sich analog für den -Hochpass g F F F arctan arctan e Im arctan arg Der Amplitdengang beträgt bei der Grenzkreisfreqenz für den -Hochpass A g g, woras sich die Grenzfreqenz f g berechnen lässt: f g Für den -Hochpass ergibt sich analog der Amplitdengang bei der Grenzkreisfreqenz A g nd damit die Grenzfreqenz f g f g Der Asdrck für die Grenzfreqenz für einen -Tiefpass ist identisch zm Asdrck für den - Hochpass. Bei identischen Bateilwerten haben -Hochpass nd -Tiefpass die gleiche Grenzfreqenz. Der Drchlass- nd Sperrbereich sind natürlich vertascht. Bei der Grenzfreqenz beträgt der Phasengang für den -Hochpass bzw. den -Hochpass 45.

77 g arctan arctan 45 g g arctan arctan 45 bzw. g Einige charakteristische Werte des Amplitdengangs sollen die spätere Darstellng in Abhängigkeit von der Freqenz im Folgenden erlätern: : AdB log g g log g : A db log log 3, db : A log log db db g Die charakteristischen Werte des Phasengangs in Abhängigkeit von der Freqenz sind: g : arctan arctan 9 g : g arctan arctan 45 g : g arctan arctan Die folgende Abbildng zeigt den Verlaf der Amplitden- nd Phasenübertragngsfnktion für die Bateilwerte = k nd = µf. Prof. Dr. Holger Kapels /4

78 Man erkennt, dass die Phasenlage bei der Grenzfreqenz gena 45 nd im Sperrbereich 9 beträgt. Die folgende Abbildng zeigt den Verlaf der Amplitden- nd Phasenübertragngsfnktion für die Bateilwerte = nd = H. Man erkennt ebenfalls, dass die Phasenlage bei der Grenzfreqenz gena 45 nd im Sperrbereich 9 beträgt. Es kann also festgehalten werden, dass sich -Hochpässe prinzipiell gena wie -Hochpässe verhalten. Ob nn für einen bestimmten Zweck eine - oder eine -Schaltng die bessere Wahl ist, hängt von einer ganzen eihe weiterer ahmenbedingngen ab nd kann paschal nicht beantwortet werden. Als grndsätzliche ichtlinie kann gesagt werden, dass -Filter eher für Anwendngen bei niedriger Freqenz zm Einsatz kommen, während man im Hochfreqenzbereich überwiegend -Filter findet. Prof. Dr. Holger Kapels /4

79 6..3. Bandpass Bandpass-Filter oder einfach krz Bandpässe dienen daz, einen bestimmten Freqenzbereich, das Freqenzband, as einem Signal z gewinnen, alle Freqenzanteile aßerhalb des Freqenzbands werden (mehr oder weniger stark) gedämpft. Im Allgemeinen beeinflsst ein Bandpass-Filter ach die Phasenlage eines Signals. Wie ach die anderen bisher besprochenen Filter, wird der Bandpass drch eine komplexe Übertragngsfnktion beschrieben, die in Amplitden- nd Phasenanteil zerlegt werden kann. Es gibt eine Vielzahl nterschiedlicher Möglichkeiten, Bandpässe z realisieren, von denen hier nr einige exemplarisch vorgestellt werden. Im Wesentlichen sollen die Parameter erörtert werden, die zr Beschreibng eines Bandpass-Filters notwendig sind. -Bandpass Ein einfacher nd naheliegender Ansatz zr ealisierng eines Bandpasses ist die Serienschaltng eines Hoch- nd eines Tiefpassfilters. Das Tiefpass-Filter begrenzt dabei das Drchlassband z hohen Freqenzen hin, während das Hochpass-Filter die ntere Grenze des Bandes darstellt. Dieser Ansatz soll an einem Beispiel nterscht werden. Das Bandpass-Filter wird as einem - Hochpass nd einem -Tiefpass afgebat (Die Betrachtngen gelten analog für -Filter nd Kombinationen as - nd - Filtern). nd bilden das Hochpassfilter, während der Tiefpass as nd besteht: k H e H k a Vor der Berechnng der eigentlichen Übertragngsfnktion folgt znächst eine Vorüberlegng zr maximalen Asgangsamplitde dieses Bandpasses. Die bisher betrachteten Filter erster Ordnng weisen im Drchlassbereich eine minimale Dämpfng von db af, die Amplitde des Asgangssignals kann also maximal den Wert der Amplitde des Eingangssignals annehmen. Beim vorliegenden Filter kann man die minimal aftretende Dämpfng abschätzen, indem man den Einflss der beiden Splen nberücksichtigt lässt. Die Sple wird daz gedanklich drch einen eerlaf, die Sple drch einen Krzschlss ersetzt. Es verbleibt also ein Spannngsteiler as den beiden Widerständen nd, wobei die Asgangsspannng am Widerstand abfällt: a e Prof. Dr. Holger Kapels /4

80 Da jeder Einflss der Splen, also eine Impedanz von < nd/oder eine Impedanz von >, immer z einer Verkleinerng der Asgangsamplitde führt, ist mit dem ohmschen Spannngsteiler eine ntere Schranke für die Dämpfng gefnden. Die minimale Dämpfng nd damit das Maximm der Amplitdenübertragngsfnktion beträgt für das obige Beispiel also: kω Amax log log log 6dB kω kω Da die zweite Filterstfe eine ast für das erste Filter darstellt, kann die Übertragngsfnktion des Bandpassfilters nicht einfach mittels der Addition der Bode-Diagramme der beiden Übertragngsfnktionen konstriert werden. Hochpaß Tiefpaß Die Addition der beiden obenstehenden Bode-Diagramme würde z einer Übertragngsfnktion führen, die in einem Bereich m Hz eine Dämpfng von nahez db afweisen würde, was gemäß der Vorüberlegng aber nicht der Fall sein kann. Bei Betrachtng der beiden Bode- Diagramme wird detlich, dass abhängig von der age der Grenzfreqenzen der beiden Filter, die minimale Dämpfng detlich nter der oben hergeleiteten nteren Schranke liegen kann - lassen Sie daz gedanklich die Grenzfreqenz des Hochpasses ansteigen nd die des Tiefpasses absinken nd überlegen Sie sich, wie sich die minimal erreichbare Dämpfng entwickelt. Die Angabe einer einzelnen Grenzfreqenz ist zr harakterisierng eines Bandpasses nicht asreichend. Bandpässe besitzen daher eine ntere nd eine obere Grenzfreqenz (f nd f o ). Gemäß der allgemein gültigen Definition ist die Grenzfreqenz dann erreicht, wenn die Asgangsamplitde m 3dB von ihrem Maximalwert abgefallen ist. Wie gleich gezeigt werden wird, können die beiden Grenzfreqenzen des Bandpass-Filters nicht direkt as den Grenzfreqenzen der beiden Einzelfilter abgeleitet werden. Prof. Dr. Holger Kapels /4

81 Die Grenzfreqenzen der beiden Filter berechnen sich nach f g,hp = 6Hz nd f g,tp = 6Hz. f g z: Die folgende Abbildng zeigt das Bode-Diagramm für das Bandpass-Filter as dem Beispiel. Das drch f nd f o begrenzte Drchlassband ist grün, die Sperrbereiche sind rot markiert. Das Maximm der Amplitdenantwort liegt bei etwa -6dB, so dass die Grenzfreqenzen an den Stellen liegen, an denen die Amplitdenantwort af jeweils -9dB abgefallen ist. Es ergibt sich: f 7Hz nd f o 33Hz. Der Abstand zwischen den beiden Grenzfreqenzen (in der Abbildng grün markiert) wird als Bandbreite B bezeichnet: B = f - f o Für das Beispiel beträgt die Bandbreite B etwa 33Hz. Zsätzlich zr Bandbreite wird der geometrische Mittelwert der Grenzfreqenzen als (Band)Mittenfreqenz f definiert: f f o f Die Mittenfreqenz f des Filters as dem Beispiel beträgt etwa 48Hz. In den Sperrbereichen dominiert jeweils das Verhalten eines Filtertyps, die andere Stfe liefert dann keine freqenzabhängige Dämpfng mehr, sondern steert nr noch den ohmschen Anteil as dem Widerstand bei. Die Steilheit S der Dämpfng in den Sperrbereichen beträgt also wie bei allen anderen Filtern erster Ordnng db/dec. Die Phasenantwort des Bandpass-Filters in den Sperrbereichen ergibt sich ebenfalls as der Phasenantwort des jeweils dominierenden Filtertyps. Im nteren Sperrbereich dominiert das Verhalten des Hochpass-Filters, so dass sich dort eine Phasenlage von +9 ergibt, während sich im oberen Sperrbereich die Eigenschaft des Tiefpass-Filters mit -9 Phasenlage drchsetzt. Bei Erreichen der Mittenfreqenz heben sich die beiden reaktiven Anteile gegenseitig af, so dass dort nr ohmsches Verhalten sichtbar wird, die Phasenlage beträgt. Die ntere nd obere Grenzfreqenz sind in der Phasenantwort drch +45 bzw. -45 Phasenwinkel gekennzeichnet. Die nachfolgende Abbildng zeigt die Phasenantwort des Beispiel Bandpasses. Prof. Dr. Holger Kapels /4

82 Zeichnen Sie die Pnkte f, f o nd f in das Diagramm nd überprüfen Sie die jeweiligen Phasenwinkel. Im Allgemeinen lassen sich die Kennwerte eines Bandpass-Filters also nicht so einfach as den Bateilwerten berechnen, sondern müssen as der Übertragngsfnktion des Bandpasses bestimmt werden. Für Sonderfälle ist dies jedoch möglich, daz folgt im nächsten Abschnitt ein weiteres Beispiel. -Bandpass Im folgenden Beispiel wird ein Bandpass-Filter betrachtet, das as zwei -Filtern afgebat ist. e a nd bilden ein Tiefpassfilter, nd ein Hochpassfilter. Znächst soll die komplexe Übertragngsfnktion bestimmt werden. Hierz wird die Asgangsspannng a () bestimmt, welche drch folgende Gleichng beschrieben wird: a j Die Spannng () wird nter Berücksichtigng des Hochpassfilters als ast von bestimmt: Prof. Dr. Holger Kapels /4

83 Prof. Dr. Holger Kapels /4 j j j j j j j j mit e Drch Einsetzen lässt sich jetzt die Asgangsspannng a () berechnen: j j j j j j j j j e a Bevor die komplexe Übertragngsfnktion ermittelt wird, wird als Vereinfachng folgende Annahme getroffen: = = nd = = Damit vereinfacht sich die Berechnng der Asgangsspannng a () j j j j j j j j j e e e a 3 3 nd es folgt für die komplexe Übertragngsfnktion j F e a 3 Der Amplitdengang ergibt sich damit z

84 A a e 9 Anders als bei einem Hochpass oder einem Tiefpass ergibt sich das Maximm des Amplitdengangs bei = z A max 3, Z sehr kleinen nd sehr großen Freqenzen hin steigt die Dämpfng stetig an, so dass der Amplitdengang z Nll strebt. A A Gemäß Definition ist die Grenzfreqenz erreicht, wenn der Amplitdengang af / seines Maximalwertes abgefallen ist. Bei diesem Bandpass ergeben sich somit Grenzfreqenzen f nd f o. f, o : A, o Amax Die qadratische Gleichng wird für die Werte as folgendem Beispiel gelöst: k µf e µf k a Die Grenzfreqenzen betragen: f 4,8Hz & fo 5, 57Hz Prof. Dr. Holger Kapels /4

85 Die Bandbreite B beträgt: B fo f 47, 75Hz Die Freqenz bei maximaler Amplitde beträgt: f ( ) 5, 9Hz Bei den Grenzfreqenzen beträgt die Phasenantwort ±45. Die folgende Grafik zeigt die Darstellng des Amplitdengangs nd des Phasengangs im Bode- Diagramm: f( = ) = 5,9 f = 4,8Hz f o = 5,5Hz B = 47,7Hz = = 45 = -45 Prof. Dr. Holger Kapels /4

86 6. Schwingkreise Schaltngen mit zwei nterschiedlichen Energiespeichern (Sple nd Kondensator) bilden einen Schwingkreis. In der Elektrotechnik sind sie von großer Bedetng, da ihr esonanzverhalten zm Afba von Filtern oder Oszillatoren gentzt werden kann. Der Name Schwingkreis leitet sich as der Tatsache her, dass die Energie in einer solchen Schaltng nter bestimmten Bedingngen zwischen den beiden Energiespeichern hin nd her schwingt. Während jeder Schwingng wird die Energie dabei mgewandelt nd ist z einem Zeitpnkt vollständig als elektrische Feldenergie im Kondensator nd z einem anderen Zeitpnkt als magnetische Feldenergie in der Sple gespeichert. Als Analogon hierz kann man sich einen mechanischen Federschwinger vorstellen. Während einer Schwingng wird die Energie kontinierlich von Federenergie in kinetische Energie nd zrück gewandelt. Ein verlstloser Federschwinger schwingt, einmal angeregt, endlos weiter. Genaso verhält es sich bei elektrischen Schwingkreisen. Eine Schaltng as einem idealen Kondensator nd einer idealen Sple nd later völlig widerstandslosen Verbindngen würde nach Anregng ebenfalls endlos weiterschwingen. Wird die Masse des Federschwingers as ihrer helage asgelenkt nd dann losgelassen, so schwingt sie immer af der für diesen einen Federschwinger charakteristischen Freqenz, seiner esonanzfreqenz. Die esonanzfreqenz ist abhängig von den mechanischen Eigenschaften des Systems: Federkonstante nd schwingende Masse. Analog daz ist die charakteristische Freqenz, af der ein elektrischer Schwingkreis schwingt, drch die Werte seiner Baelemente eindetig festgelegt. Die folgende Abbildng verdetlicht die Analogie: Qelle: schlen.edhi.at Die folgende Abbildng zeigt die esonanzschwingngen des obigen -Schwingkreises ( = nf, = mh) nach Anregng drch einen Spannngssprng. Z Beginn der Betrachtng ist die gesamte Energie also im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert. Gezeigt sind: Anregng (rot), Spannng am Kondensator (bla) nd Strom drch die Sple (grün): Prof. Dr. Holger Kapels /4

87 Werden schwingfähige Systeme gena mit ihrer esonanzfreqenz angeregt, so erhöht sich die im System gespeicherte Energie kontinierlich nd die Schwingngsamplitde steigt immer weiter an. Bei einem Federschwinger kann man sich diese Anregng so vorstellen, dass die Schwngmasse immer im Pnkt der maximalen kinetischen Energie (entspannte Feder) von aßen einen zsätzlichen Impls erhält. Bei mechanischen Systemen ist diese Erhöhng der Schwingngsamplitde bei esonanz nter dem Begriff esonanzkatastrophe bekannt. Bei schwach gedämpften Systemen kann die Überhöhng bis zr Zerstörng des Systems führen. Ein bekanntes Beispiel dafür ist die Anregng von esonanzschwingngen bei Brücken. Im Folgenden werden die grndsätzlichen elektrischen Eigenschaften eines Serien- nd Parallelschwingkreises zsammengefasst Die Freqenz, bei der ein Schwingkreis schwingt, ergibt sich as der esonanzbedingng: esonanz tritt bei einer esonanzfreqenz af, wenn die drch den Generator gelieferte Spannng nd Strom in Phase sind. In diesem Fall heben sich die Blindanteile der Impedanzen von Sple nd Kondensator af nd es gilt: Im {Z( )} = nd entsprechend Im {Y( )} = Die folgende Abbildng zeigt sie Spannngsverläfe an Sple nd Kondensator bei Anregng der obigen -Schaltng mit der esonanzfreqenz. Man erkennt detlich die, sich anbahnende, esonanzkatastrophe. Prof. Dr. Holger Kapels /4

88 6.3 Serienschwingkreis Eine eihenschaltng einer Sple nd eines Kondensators sowie eines Widerstandes bildet einen Serienschwingkreis oder eihenschwingkreis. Die Schaltng werde drch eine sinsförmige Spannng mit der Kreisfreqenz versorgt. Selbst ohne einen expliziten Widerstand in der Schaltng wird afgrnd des Innenwiderstands der Qelle nd der Verlste in der Sple stets ein estwiderstand in der Schaltng vorhanden sein. Die Gesamtimpedanz Z des Serienschwingkreises bestimmt sich as der Addition der Einzelimpedanzen. Z j Afgrnd der Serienschaltng von Indktivität nd Kondensator zeigt die Ortskrve der Schaltng kapazitive nd indktive Anteile: j Im {Z} Z j Im {Y} Y e {Z} = e{y} Ortskrve des Impedanz- nd Admittanz-Verlafs des Serienschwingkreises As der Ortskrve ist z erkennen, dass die Impedanz bei einer bestimmten Freqenz, der esonanzfreqenz, rein reell wird, d.h., dass der Imaginärteil von Z verschwindet. Die Impedanz von Indktivität nd Kondensator müssen sich bei dieser Freqenz afheben: Die esonanzfreqenz f des Schwingkreises ergibt sich somit z: Prof. Dr. Holger Kapels /4

89 f Bei esonanz ist die Impedanz des Serienschwingkreises also minimal nd rein reell nd nimmt den Wert des Widerstandes an. Z Für die weiteren Betrachtngen wird znächst die Impedanz nach Betrag nd Phase ermittelt: Z j e jarctan Somit ergibt sich: Z arctan nd Wird der Schwingkreis mit einer Wechselspannngsqelle mit konstanter Amplitde, aber variierender Freqenz betrieben, so ändert sich ach die Amplitde des Stromes I mit der Freqenz. Der Betrag des drch den Serienkreis fließenden Stromes ergibt sich dabei z I Z Betrachten wir znächst den Betrag des Stromes bei den drei Extremwerten esonanz =, nd. : Z I : : Z Z I I Prof. Dr. Holger Kapels /4

90 Der Betrag des Stromes wird maximal bei der esonanzfreqenz nd fällt dann z niedrigen nd hohen Freqenzen asymptotisch z Nll hin ab. Die folgende Grafik verdetlicht hierz den Amplitdengang des Stromes. I I o Amplitdengang des Stromes des Serienschwingkreises Von charakteristischer Bedetng sind die beiden Grenzfreqenzen nd o, bei denen die Amplitde af / ihres Maximalwertes abgefallen ist. Diese werden später genaer erlätert. Für den Phasengang werden ebenfalls die gleichen Grenzwertbetrachtngen drchgeführt o Phasengang des Serienschwingkreises Z sehr niedrigen nd sehr großen Freqenzen hin nähert sich der Phasengang den Werten -9 nd +9 an. Bei der esonanzfreqenz beträgt der Phasengang. Bei den beiden Grenzfreqenzen nd o werden -45 bzw. +45 erreicht. Prof. Dr. Holger Kapels /4

91 Prof. Dr. Holger Kapels /4 : : : Bandbreite Die Bandbreite eines Schwingkreises ist für die beiden Freqenzen oberhalb nd nterhalb der esonanzfreqenz f definiert, bei denen der ealteil der Impedanz gleich dem Imaginärteil der Impedanz wird. Diese beiden Freqenzen werden als obere f o nd ntere Grenzfreqenz f bezeichnet. f o f f B Der Betrag des Stromes ist bei der oberen nd nteren Grenzfreqenz af den /-Teil bzw. af 7,7% seines Maximalwertes abgefallen.,, Z I o o As dem Wert des Betrages der Impedanz an dieser Stelle lässt sich die Grenzbedingng für die beiden Grenzkreisfreqenzen bestimmen: o o Afgrnd der qadratischen Fnktion kann das Ergebnis der Formel in den Klammern positive nd negative Werte annehmen. Für ein positives Ergebnis ist die ösng für folgende Gleichng z schen o o Die sich hieras ergebene qadratische Gleichng führt nr z einem Ergebnis, der oberen Grenzkreisfreqenz

92 Prof. Dr. Holger Kapels /4 o o o o o o o 4 4, As dem negativen Ergebnis der Formel in der Klammer kann die ntere Grenzfreqenz bestimmt werden 4 4, As der Differenz der beiden Grenzkreisfreqenzen bestimmt sich die Bandbreite B des Schwingkreises z 4 4 B o f B bestimmen. Anmerkng: Die Bandbreite B ist der Freqenzbereich m die esonanz, in dem die Wirkleistng bis af die Hälfte der Maximalleistng abfällt Güte Beim Betrieb des Schwingkreises pendelt drch den ohmschen Anteil nicht nr Blindleistng Q blind. Bei jedem mlaf wird ach Wirkleistng P wirk mgesetzt. Das Verhältnis von Blindleistng (in der Sple oder im Kondensator) z der drchschnittlich mgesetzten eistng wird als Güte Q des Schwingkreises bezeichnet. Sie gibt an, wie groß die gespeicherte Energie im Verhältnis z der im Widerstand mgesetzten ("verbrachten") Energie ist. eine, ideale Schwingkreise haben eine nendlich große Güte. Die Güte des Serienschwingkreises wird über

93 Q Q P Q blind wirk mit P wirk I I mit I nd Q blind I I berechnet z Q Die Güte Q ist also eine relative Größe, die die Bandbreite B in Beziehng zr esonanzfreqenz darstellt. Es gilt: Q f B Große Widerstände führen z kleinen Güten nd einer starken Schwingngsdämpfng. Daher wird häfig ach der Kehrwert der Güte, die Dämpfng d als Parameter verwendet d Q B f Je größer die Güte Q ist, desto schmaler ist die Bandbreite des Schwingkreises. Je kleiner die Güte des Schwingkreises, desto kleiner ist ach die esonanzüberhöhng Q = Q = Q = esonanzüberhöhng eines Schwingkreises in Abhängigkeit von seiner Güte Der Wert der Spannngsüberhöhng kann mit einer Fastformel abgeschätzt werden: Prof. Dr. Holger Kapels /4

94 Für Güten Q > entspricht der Faktor der Spannngsüberhöhng in etwa der Güte Für Güten < tritt praktisch keine Überhöhng mehr af Beispiel: Gegeben ist die nebenstehende Schaltng, die an eine Spannngsqelle mit der effektiven Eingangsspannng von mv angeschlossen ist. Das Spannngsmaximm tritt an der Stelle der esonanzfreqenz mit f = / () = 7, MHz af. Die Spannngsüberhöhng lässt sich abschätzen z ˆ ˆ Q ˆ max 4, 47V Dieses Ergebnis kann per Simlation verifiziert werden: Spannngsüberhöhng des Beispiels eines Serienschwingkreises Bei genaer Betrachtng nterscheiden sich die Freqenzen der Spannngsüberhöhngen an Indktivität nd Kondensator. Die Spannngsüberhöhng am Kondensator tritt bei der Freqenz Q af. Die Spannngsüberhöhng an der Indktivität tritt bei der Freqenz Q af. Je kleiner die Güte, desto größer ist der Abstand. Prof. Dr. Holger Kapels /4

95 Freqenzen der Spannngsüberhöhng an Indktivität nd Kondensator 6.4 Parallelschwingkreis Ein Parallelschwingkreis bestehend as einer Parallelschaltng as, nd zeigt in Bezg af die Impedanz ein zm Serienschwingkreis entgegengesetztes Verhalten. Speist man einen Parallelschwingkreis mit einer Stromqelle, so ergibt sich bei esonanz die maximale Amplitde der Spannng. Zr vereinfachten echnng wird die lineare Spannngsqelle des Serienschwingkreises in eine lineare Stromqelle überführt. Die Berechnng erfolgt zweckmäßigerweise über die Admittanz. Die Gesamtadmittanz Y des Parallelschwingkreises bestimmt sich as der Addition der Einzel- Admittanzen. Y G j Afgrnd der Parallelschaltng von Indktivität nd Kondensator zeigt die Ortskrve der Schaltng kapazitive nd indktive Anteile: Prof. Dr. Holger Kapels /4

96 j Im {Y} Y j Im {Z} Z G e {Y} = e{z} Ortskrve des Admittanz- nd Impedanz-Verlafs des Parallelschwingkreises Für die esonanzkreisfreqenz ergibt sich: ImY mit Y G j Die esonanzfreqenz f des Parallelschwingkreises ergibt sich somit z: f Bei esonanz ist die Admittanz des Parallelschwingkreises also minimal nd rein reell nd nimmt den Wert des Widerstandes an. Y G Für die weiteren Betrachtngen wird znächst die Admittanz nach Betrag nd Phase ermittelt: Y G j G e jarctan G Somit ergibt sich: Y G nd Prof. Dr. Holger Kapels /4

97 i arctan G Wird der Schwingkreis mit einer Wechselstromqelle mit konstanter Amplitde I, aber variierender Freqenz betrieben, so ändert sich ach die Amplitde der Spannng mit der Freqenz. Der Betrag der am Parallelschwingkreis anliegenden Spannng ergibt sich dabei z Y I G I Betrachten wir znächst den Betrag der Spannng bei den drei Extremwerten esonanz =, nd. : : : Y Y Y I G Der Betrag der Spannng wird maximal bei der esonanzfreqenz nd fällt dann z niedrigen nd hohen Freqenzen asymptotisch z Nll hin ab. Die folgende Grafik verdetlicht hierz den Amplitdengang der Spannng. I G I G Maximalwert o Amplitdengang der Spannng des Parallelschwingkreises Von charakteristischer Bedetng sind die beiden Grenzfreqenzen nd o, bei denen die Amplitde af / ihres Maximalwertes abgefallen ist. Diese werden später genaer erlätert. Prof. Dr. Holger Kapels /4

98 Für den Phasengang i der Admittanz werden ebenfalls die gleichen Grenzwertbetrachtngen drchgeführt. Z sehr niedrigen nd sehr großen Freqenzen hin nähert sich der Phasengang den Werten -9 nd +9 an. Bei der esonanzfreqenz beträgt der Phasengang. Bei den beiden Grenzfreqenzen nd o werden -45 bzw. +45 erreicht. : : : G G G G G G i i i Die folgende Grafik verdetlicht den Verlaf des Phasengangs der Admittanz. Z kleinen Freqenzen hin zeigt der Parallelschwingkreis ein indktives Verhalten, sowie z großen Freqenzen hin ein kapazitives Verhalten. i 9 indktives Verhalten kapazitives Verhalten o Phasengang der Admittanz des Parallelschwingkreises Bandbreite Die Bandbreite des Parallelschwingkreises wird analog zr Vorgehensweise beim Serienschwingkreis ermittelt. B f f o f Die Bandbreite B ist der Freqenzbereich m die esonanz, in dem die Wirkleistng bis af die Hälfte der Maximalleistng abfällt. Der Betrag der Spannng ist bei der oberen nd nteren Grenzfreqenz af den /-Teil bzw. af 7,7% seines Maximalwertes abgefallen. Prof. Dr. Holger Kapels /4

99 Prof. Dr. Holger Kapels /4,, G I G G I Y I o o As dem Wert des Betrages der Admittanz an dieser Stelle lässt sich die Grenzbedingng für die beiden Grenzkreisfreqenzen bestimmen: G G G G o o Afgrnd der qadratischen Fnktion kann das Ergebnis der Formel in den Klammern positive nd negative Werte annehmen. G o o As dem positiven nd dem negativen Wert der Klammer können die obere nd ntere Grenzkreisfreqenz bestimmt werden G G G G o o 4 4, G G G G 4 4, Somit ergibt sich die Bandbreite des Parallelschwingkreises z G f B o Güte Die Güte des Parallelschwingkreises wird über P Q nd P P mit P Q Q blind wirk wirk blind

100 Q mit berechnet z Q Die folgende Abbildng zeigt die Spannngsüberhöhng bei esonanz an einem Parallelschwingkreis hoher Güte. Für die Güte Q gilt allgemein das Verhältnis der esonanzfreqenz zr Bandbreite. Es gilt: Q f B Sowie für die Dämpfng d d Q B f Je größer die Güte Q ist, desto schmaler ist die Bandbreite des Schwingkreises. Je kleiner die Güte des Schwingkreises, desto kleiner ist ach die esonanzüberhöhng. Damit kann die Formel zr Berechnng der Grenzkreisfreqenzen ach als Fnktion der Güte nd der esonanzfreqenz asgedrückt werden. Der Faktor G/ kann ersetzt werden drch Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

101 Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4 Q Q f B G Damit ergibt sich für die Grenzkreisfreqenzen in Abhängigkeit der Güte nd der esonanzfreqenz: 4 Q Q o 4 Q Q Diese beiden Gleichngen zr Berechnng der nteren nd oberen Grenzkreisfreqenz gelten für den Parallelschwingkreis nd den Serienschwingkreis.

102 7 Nicht-sinsförmige Schaltvorgänge Bisher haben wir ns asschließlich mit sinsförmigen Signalverläfen beschäftigt, in der ealität treten jedoch häfig ach andere Signale af. Die nterschng des zeitlichen Verlafs solcher Vorgänge bezeichnet man ach als Transientenanalyse. Bisher wrden sinsförmige Vorgänge betrachtet. Die Schaltngsanalyse konnte daher mit Methoden der komplexen Wechselstromrechnng drchgeführt werden. Im Folgenden wird diese Betrachtng jetzt m transiente Vorgänge erweitert. Die nebenstehende Schaltng zeigt einen Kondensator der an einer Spannngsqelle angeschlossen ist. Der Spannngsverlaf der Qelle soll jetzt einer Sprngfnktion folgen, d.h., sie ändert ihren Zstand von af ohne Übergangszeit. Die eaktion des Systems af die Sprngfnktion ist eine Sprngantwort in Form einer adekrve des Kondensators. (t) i 7. Schaltverhalten von Kapazitäten Anhand des folgenden Beispiels as der Praxis wird die Vorgehensweise bei der nterschng nichtsinsförmiger Signalverläfe (Transientenanalyse) eingeführt. Häfig wird eine sinsförmige Spannng as der Versorgngsleitng (Steckdose) über einen Transformator af eine niedrige Spannng transformiert nd soll dann in eine Gleichspannng mgewandelt werden. Diese mwandlng wird drch einen Gleichrichter bewerkstelligt, der as mindestens einer Diode besteht. Eine Diode ist ein Halbleiterbaelement, das den Strom nr in einer ichtng von Anode zr Kathode fließen läßt. Man kann sich eine ideale Halbleiterdiode wie ein Ventil für elektrischen Strom vorstellen. Während der Strom in einer ichtng (Drchlaßrichtng) ngehindert fließen kann, wird er in der anderen ichtng (Sperrichtng) vollständig gesperrt. Die einfachste Gleichrichterschaltng, der Einwegegleichrichter, besteht as einer Diode in Serie mit der ast, die drch einen Widerstand dargestellt werden kann. Diese Gleichrichterschaltng erzegt as der Sinsspannng eine plsierende Gleichspannng. Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

103 Frage: Mit dieser Stromversorgngs-Schaltng soll ein adiogerät versorgt werden. Wenn das adio angeschaltet wird, wird es nicht einwandfrei fnktionieren, stattdessen hört man einen 5 Hz Brmmton as dem atsprecher. Wie kann man die Schaltng verbessern? Es gibt eine einfache Möglichkeit, die sogenannte Welligkeit des Signals z redzieren, indem man einen Kondensator parallel zr ast schaltet. Diesen Kondensator bezeichnet man ach als Glättngskondensator: Drch Hinzschalten des Kondensators werden die Spannngsschwankngen von vorher 9 V af 3 V redziert. Das resltierende Signal kommt einer Gleichspannng schon detlich näher. Prof. Dr. Holger Kapels /4

104 7... aden eines Kondensators Strom nd Spannng an einem Kondensator sind über die Kondensatorgleichng miteinander verknüpft. Es gilt i t d dt t Der Strom i c (t) kann also als Antwort einer Sprngfnktion springen. Die nebenstehende Schaltng zeigt einen Kondensator, der über einen Widerstand nd S einen Schalter S mit einer Gleichspannngsqelle verbnden ist. Es gilt die Anfangsbedingng (t) i (t) (t = ) = V. Es soll das Verhalten des Asgangs bei idealem Spannngssprng am Eingang analysiert werden. (t) Der Schalter S wird zm Zeitpnkt t = in die Stellng bewegt. Der Kondensator kann sich jetzt über den Widerstand afladen. Zr Berechnng des Spannngsverlafs am Kondensator für t wird znächst das Gleichngssystem anhand der Maschengleichng afgestellt mit t t t i t nd i t d dt t Es ergibt sich eine lineare, inhomogene Differentialgleichng. Ordnng d dt t t mit der Zeitkonstante = nd dem Störglied. Die Gesamtlösng der Differentialgleichng für die Spannng c (t) setzt sich as der allgemeinem, homogenen ösng nd dem speziellen, partiklären Anteil zsammen: t t hom t spez Die ösng der homogenen Differentialgleichng d dt t t latet Prof. Dr. Holger Kapels /4

105 Prof. Dr. Holger Kapels /4 mit e t t hom Für die Bestimmng der Konstante ist znächst die ösng der Gleichng für (t) Spez erforderlich. Die spezielle, partikläre ösng (t) Spez im eingeschwngenen Zstand ist t t spez spez Für die Gesamtlösng für (t) folgt damit mit e t t Die Konstante wird as der Anfangsbedingng zm Zeitpnkt t = bestimmt hom spez, womit für die Konstante = - folgt. Das Ergebnis für den Spannngsverlaf am Kondensator ist somit Der Stromverlaf drch den Kondensator während des adevorgangs wird über die Kondensatorgleichng dt t d t i bestimmt. Folgende mformngen sind drchzführen x a x a t e a dx de e dt d t i mit e t i t mit e t t

106 t i t e e t nd es ergibt sich für den Stromverlaf drch den Kondensator i t e t mit In der folgenden Grafik sind der Spannngs- nd Stromverlaf am Kondensator grafisch dargestellt. Nach der Zeit ist die Kondensatorspannng bereits af 63,% der treibenden Spannng angestiegen. Nach 5 kann der Kondensator als geladen angesehen werden: i / 95,% 86,5% 63,% 36,8% läßt sich grafisch as Tangente ermitteln (t) i (t) Zeitkonstanten beim aden eines Kondensators über einen Widerstand: = 63,% = 86,5% 3 = 95,% 4 = 98,% 5 = 99,3% der treibenden Spannng t Prof. Dr. Holger Kapels /4

107 c (t) / V Elektrotechnik II Fragen zr Vertiefng F: Finden Sie einen Weg, m die Zeitkonstante eines adevorgangs as einer linear skalierten adekrve z ermitteln. harging a capacitor t / ms F: Bestimmen Sie den adestrom i (t) für die eingangs dargestellte Schaltng zr adng eines Kondensators nd fügen Sie den Krvenverlaf mit sinnvoll gewählter Skalierng in obiges Diagramm ein. Es sei: = V, = k, = 47 µf Entladen eines Kondensators Die nebenstehende Schaltng zeigt einen Kondensator, der über einen Widerstand nd S einen Schalter S mit einer Gleichspannngsqelle i verbnden ist. Es gilt die Anfangsbedingng (t) (t) (t = ) = V. Es soll das Verhalten des Asgangs (t) bei idealem Spannngsabfall am Eingang analysiert werden. Der Schalter S wird zm Zeitpnkt t = in die Stellng bewegt. Der Kondensator kann sich jetzt über den Widerstand entladen. Zr Berechnng des Spannngsverlafs am Kondensator für t wird znächst das Gleichngssystem anhand der Maschengleichng afgestellt t t i t t Nach Einsetzen der Kondensatorgleichng erhält man die homogene Differentialgleichng Prof. Dr. Holger Kapels /4

108 d dt t t Diese bracht nr gelöst werden, d.h., man erhält die ösng allein as der homogenen ösng (t) hom. Die ösng der homogenen Differentialgleichng ist t t t e mit hom Die Bestimmng der Konstante erfolgt wieder as der Anfangsbedingng hom e Womit für die Konstante folgt: = Die Gesamtlösng für den Verlaf der Kondensatorspannng beim Entladen beträgt somit t e t mit Der Stromverlaf i (t) drch den Kondensator während des Entladevorgangs wird über die Kondensatorgleichng i t d dt t bestimmt. Einsetzen nd ableiten des Kondensator-Spannngsverlafs ergibt d dt t t i t e e i t e t nd es folgt für den Stromverlaf i (t) i t e t mit Dass der Entladestrom des Kondensators in mgekehrter ichtng als zr eingezeichneten Pfeilrichtng des Stromes in der Schaltng i (t) fließt, verdetlicht das negative Vorzeichen. Prof. Dr. Holger Kapels /4

109 In der folgenden Grafik sind der Spannngs- nd Stromverlaf am Kondensator grafisch dargestellt. Nach der Zeit ist die Kondensatorspannng bereits af 36,8% der Startspannng abgefallen. Nach 5 kann der Kondensator als entladen angesehen werden: 36,8% (t) Zeitkonstanten beim Entladen eines Kondensators über einen Widerstand: läßt sich grafisch as Tangente ermitteln i (t) t = 36,8% = 3,5% 3 = 4,98% 4 =,83% 5 =,674% der Kondensatorspannng i - / Prof. Dr. Holger Kapels /4

110 c (t) / V c (t) / V Elektrotechnik II Fragen zr Vertiefng F: Bestimmen Sie die Zeitkonstante in folgendem Diagramm dargestellten Entladevorganges anhand von 3 verschiedenen Datenpnkten nd vergleichen Sie das Ergebnis mit der rechnerisch ermittelten Zeitkonstante = für =k, =47µF. Discharge of apacitor in esistance t / ms F: Ermitteln Sie die Zeitkonstante as der folgenden halblogarithmischen Darstellng der Entladekrve. Discharge of apacitor in esistance t / ms Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

111 7. Schaltverhalten von Indktivitäten Analog z den Schaltvorgängen mit einem Kondensator werden im Folgenden die Schaltvorgänge in einem Stromkreis mit einer Sple behandelt. Dieser Fall hat für die Praxis eine besondere Bedetng, da jede eiteranordnng ach eine Indktivität afweist. Als Fastformel kann man bei mm eitngslänge von nh Indktivität asgehen. Diese störenden Indktivitäten werden ach als parasitäre Indktivitäten bezeichnet nd haben eine hohe Bedetng bei schnellen Schaltvorgängen aden einer Sple Strom nd Spannng an einer Sple sind über das Indktionsgesetz miteinander verknüpft. Es gilt t di dt t Die Spannng (t) kann also als Antwort einer Sprngfnktion springen. Die Energie in einer Sple wird im magnetischen Feld im Inneren der Sple gespeichert. Die nebenstehende Schaltng zeigt eine Indktivität, die über einen Widerstand nd einen Schalter S mit S einer Gleichspannngsqelle verbnden ist. Znächst hat sich der Schalter S hinreichend lange in (t) i (t) der Schalterstellng befnden. Es gilt die somit die Anfangsbedingng i (t = ) = A. Es soll das Verhalten des Splenstroms bei idealem Spannngssprng am Eingang analysiert werden. (t) Der Schalter S wird zm Zeitpnkt t = in die Stellng bewegt. Das Magnetfeld der Sple kann sich jetzt über den Splenstrom afbaen, der über den Widerstand begrenzt wird. Zr Berechnng des Stromverlafs in der Sple für t wird znächst ein Gleichngssystem anhand der Maschengleichng afgestellt mit t t t i t nd t t di i t dt di dt t Es ergibt sich eine lineare, inhomogene Differentialgleichng. Ordnng di dt t i t Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

112 mit der Zeitkonstante = nd dem Störglied /. Die Gesamtlösng der Differentialgleichng für den Stromverlaf i (t) setzt sich as der allgemeinem, homogenen ösng nd dem speziellen, partiklären Anteil zsammen: i t i t hom i t spez Die ösng der homogenen Differentialgleichng di dt latet t i t i t hom e t mit Für die Bestimmng der Konstante ist znächst die ösng der Gleichng für i (t) Spez erforderlich. Zm Zeitpnkt t fließt drch die Sple der maximale Strom /. Die spezielle, partikläre ösng i (t) Spez im eingeschwngenen Zstand ist somit i t i t i spez spez Für die Gesamtlösng für i (t) folgt damit i t e t mit Die Konstante wird as der Anfangsbedingng zm Zeitpnkt t = bestimmt. Der Splenstrom zm Zeitpnkt t = ist Nll: i i hom i spez e, womit für die Konstante = - / folgt. Das Ergebnis für den Stromverlaf drch die Sple ist somit Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

113 i t e t mit Fragen zr Vertiefng F: Bestimmen Sie die Zeitkonstante graphisch im folgenden linearen Diagram nd vergleichen Sie es mit der rechnerisch ermittelten Zeitkonstante der oben dargestellten Schaltng..A.5A A s ms ms 3ms 4ms 5ms 6ms 7ms 8ms 9ms () Time F: Angenommen, Sie schließen die Spannngsqelle in der oben dargestellten Schaltng gena dann krz, wenn die Schaltng Ihren eingeschwngenen Zstand erreicht hat. Diesen Zeitpnkt bezeichnen wir als t =. eiten Sie die Gleichng zr Bestimmng des zeitlichen Verlafs des Stromes i (t) ab. Prof. Dr. Holger Kapels /4

114 8 Dreiphasennetz 8. Idee Betreibt man einen Verbracher an einer sinsförmigen Wechselspannng, so schwingt die afgenommene eistng ebenfalls sinsförmig mit der doppelten Freqenz der Versorgngsspannng. Bei Elektromotoren kann dies z erheblicher mechanischer Belastng drch aftretende Schwingngen führen. m diese eistngsoszillation z verhindern, verwendet man mehrere sinsförmige Spannngen gleicher Freqenz, deren Phasen zeinander verschoben sind. Dabei ist die Phasendifferenz zwischen zwei beliebigen afeinanderfolgenden Signalen identisch. Derartige Energieversorgngssysteme bezeichnet man allgemein als Mehrphasensysteme. Das technische wichtigste Mehrphasensystem ist das symmetrische Dreiphasensystem, das ach als Drehstrom oder Kraftstrom bezeichnet wird. In diesem System wird die Energieversorgng über drei, betragsmäßig gleich große, Sinsspannngen realisiert, die zeinander eine Phasendifferenz von je afweisen. Die drei sogenannten Strangspannngen, nd 3 des Drehstromgenerators haben denselben Betrag,, die Phasen sind m = /3 zeinander versetzt: = ; = - ; 3 = + Die folgende Abbildng zeigt den zeitlichen Verlaf der Strangspannngen, sowie das zgehörige Zeigerdiagramm. Betreibt man einen symmetrischen Verbracher, z.b. einen Motor mit drei identischen Wicklngen (siehe Abbildng), an einem Drehstromnetz, so zeigen zwar die einzelnen Verbrachselemente wieder eine sinsförmige eistngsafnahme, die gesamte afgenommene eistng (als Smme der Einzelleistngen) ist jedoch z jedem Zeitpnkt konstant. Prof. Dr. Holger Kapels /4

115 P, P, P 3 Gesamtleistng: P x Damit ist sowohl die eistngsafnahme eines Verbrachers als ach die eistngsabgabe eines Generators zeitnabhängig konstant. Die beschriebenen mechanischen Schwingngen werden somit vermieden. Aßerdem lafen Drehstrommotoren drch das Drehfeld sicher an, während einige Wechselstrommotoren beim Anlafen nterstützng benötigen. Wie später noch gezeigt werden wird, kommt ein symmetrisches Dreiphasennetz drch Einsparng des ückleiters mit 75% des Materialafwandes as, m die gleiche eistng z übertragen wie ein herkömmliches Wechselstromnetz. Drehstrom lässt sich beispielsweise dadrch erzegen, dass ein Generator über drei über den mfang in gleichen Abständen verteilte Splen (, nd 3 ) verfügt. Diese Splen können entweder in der sogenannten Sternschaltng oder in der Dreieckschaltng miteinander verbnden werden. 3 Dreiphasen-Vierleitersystem in Sternschaltng Dreiphasen-Dreileitersystem in Dreieckschaltng Prof. Dr. Holger Kapels /4

116 8... Sternschaltng Die Sternschaltng findet beim üblichen Hashalts-Drehstromnetz (3/4V) Anwendng, die einzelnen Phasen werden mit, nd 3 bezeichnet. Der Nllpnkt N heißt Sternpnkt. Alle eiter bilden zsammen ein Vierleitersystem., nd 3 werden als Strangspannngen bezeichnet. Die Spannngen, 3 nd 3 heißen Aßenleiterspannngen oder krz eiterspannngen. Es gilt: = - ; 3 = - 3 ; 3 = 3 - Die komplexen Zeiger der Strangspannng können über eine einfache geometrische Betrachtng in die eiterspannng wie folgt mgerechnet werden. Für den Betrag dieser eiterspannngen gilt damit der folgende Zsammenhang z dem Betrag der Strangspannng : 3 Prof. Dr. Holger Kapels /4

117 Strangspannng (line-to-netral) = û/ = û/ - 3 = û/ + eiterspannng (line-to-line) Die hashaltsüblichen 3V liegen zwischen einer Phase nd dem Nlleiter an, während zwischen zwei Phasen die 4V (= 33V)des Kraftstroms gemessen werden können Dreieckschaltng Die oben dargestellte Dreieckschaltng ist ein Dreileitersystem, das insbesondere für Mittel- nd Hochspannng eingesetzt wird. Hierbei handelt es sich m eine eihenschaltng der Generatorstränge. Diese Schaltng wird nicht direkt am Generator des Kraftwerks eingesetzt, sondern nr bei der Spannngstransformation im Mittel- nd Hochspannngsbereich. Im Allgemeinen haben z.b. Freileitngen daher nr drei eiter. Die Abbildng zeigt einen Freileitngsmast mit zwei getrennten Drehstromsträngen in Dreieckschaltng, insgesamt sind also sechs eiter z erkennen. Die eitng an der Spitze des Mastes ist das sogenannte Erdseil, es ist leitend mit dem Mast verbnden nd dient lediglich dem Blitzschtz. Die Dreieckschaltng als Erzegersystem wird hier nicht weiter betrachtet. Im Folgenden wird stets ein Generator-Vierleitersystem, also eine Sternschaltng am Generator vorasgesetzt. 8. Verbrachersystem Entsprechend den Überlegngen zm Generatorsystem können ach Verbracher in Sternschaltng oder Dreieckschaltng angeschlossen werden. Sternpnktverbracher Verbracher in Dreieckschaltng Prof. Dr. Holger Kapels /4

118 Sind die jeweils drei Impedanzen identisch, so spricht man von einer symmetrischen ast. Im Falle des symmetrisch belasteten Netzes ist es asreichen einen Zweig z analysieren Sternpnktverbracher Ein Sternpnktverbracher lässt sich af zwei Arten anschließen: a) Anschlss mit ückleiter (Vierleiter-System) Dabei tritt im Allgemeinen ein Strom SN im ückleiter af, der als Sternpnktleiterstrom bezeichnet wird. b) Anschlss ohne ückleiter (Dreileiter-System) Dabei tritt im Allgemeinen eine Spannng SN zwischen dem Nllpnkt nd dem Verbrachersternpnkt S af, die als Sternpnktspannng SN bezeichnet wird. Die Ströme drch die Impedanzen, nd 3 sw. heißen (Aßen)-eiterströme, die Spannngen S, S nd 3S heißen astspannngen. Bei symmetrischer Belastng sind I SN nd SN gleich Nll, es spielt also keine olle, ob der ückleiter angeschlossen ist oder nicht. mgekehrt lässt sich as SN = nd SN = aber nicht af symmetrische Belastng schließen. Prof. Dr. Holger Kapels /4

119 8... Verbracher in Dreieckschaltng Bei der nebenstehend dargestellten Dreieckschaltng kann der ückleiter prinzipiell nicht angeschlossen werden. Die Ströme, 3, 3 heißen astströme oder Phasenströme. Für die nterschiedlichen Anschlssarten soll im Folgenden nterscht werden, wie sich die Spannngen nd Ströme verhalten. Znächst wird daz der nbelastete Fall als eferenz betrachtet. 8.3 nbelastete Strang- nd eiterspannngen Die Beträge der eiterspannng lassen sich drch die Strangspannng darstellen: = 3 Mit dem Drehfaktor a: = e j/3 = schreiben sich die Strangspannngen wie folgt: = = = = a² 3 = + = a Die eiterspannngen ergeben sich z: = - = +3 3 = - 3 = = 3 - = +5 Prof. Dr. Holger Kapels /4

120 8.4 Sternpnktlast im Dreileitersystem Im Dreileitersystem gibt es keinen ückleiter nd es ergibt sich die folgende Schaltng: Ach wenn der ückleiter nicht angeschlossen ist, stellt sein Potential das Bezgspotential (Masse) dar. Die astströme sind in diesem Fall gleich den eiterströmen. Es sind die eiterströme, nd 3, die astspannngen S, S, 3S nd die Sternpnktspannng SN z berechnen. Über die Kirchhoffsche Maschenregel erhält man drei Gleichngen der folgenden Form nter Berücksichtigng der Strangspannngen, nd 3 : S = SN S = SN 3S = 3 SN Über das Ohmsche Gesetz ergibt sich nter Ntzng der Admittanz Y i = /Z i entsprechend: = Y S = Y S 3 = Y 3 3S Da kein ückleiterstrom fließen kann, folgt as der Kirchhoffschen Knotenregel: = Afgabe: eiten Sie den folgenden Ansatz für die Sternpnktspannng her. SN Y Y Y Y Y Y Sternpnktspannng im Dreileitersystem Bei symmetrischer ast verschwindet die Sternpnktspannng im Dreileitersystem. Die astspannngen sind damit gleich den Strangspannngen. Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

121 Afgabe: Eine Sternpnktlast sei in einem Dreileitersystem angeschlossen. Es sei Z = 8; Z = 66 nd Z 3 = 83. Die eiterspannng betrage = 4V. a) Wie groß ist die Strangspannng? b) Bestimmen Sie die Sternpnktspannng. c) Bestimmen Sie die astspannngen. d) Bestimmen Sie die eiterströme. e) Bestimmen Sie die Gesamt-Wirkleistng. [ ösng: a) = 3,9V b) SN = 4,7V7,9 c) S = 344,9V,7, S = 6,V9,5, 3S = 83,8V9,6 d) = 43,A,7 ; I = 36,A5,5 ; I 3 = 3,A,6 e) P ges = e{ I * S + I * S + I 3 * 3S } =,4kW ] Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

122 8.4.. Sternpnktverschiebng Wie eben gezeigt, führt eine nsymmetrische Belastng im Dreileiter-Sternpnkt-System zm Aftreten einer Sternpnktspannng ngleich Nll. Der Wert der Impedanz an einem Strang beeinflsst also die astspannngen an den anderen Strängen. Dieser mstand kann in der Praxis z erheblichen Problemen führen. Die folgende Abbildng zeigt die astspannngen in einem symmetrisch belasteten Dreileiter-Netz, alle astspannngen entsprechen den Strangspannngen. Nn wird die Impedanz im roten Zweig af ein Zehntel ihres rsprünglichen Werts verkleinert. Obwohl die Impedanzen in den übrigen Zweigen nicht verändert wrden, steigen dort die astspannngen stark an, was zr Zerstörng dieser Verbracher führen kann. Die rsache für diesen Anstieg liegt in der aftretenden Sternpnktspannng. Da der Sternpnkt den Bezgspnkt für alle drei Verbracher bildet, führt eine Sternpnktspannng immer z einer Änderng der astspannngen, sowohl im Betrag als ach in der Phase. Prof. Dr. Holger Kapels -6-4 /4

123 Diesen Effekt bezeichnet man als Sternpnktverschiebng. Im Zeigerdiagramm wird diese Verschiebng nmittelbar detlich. Die folgende Abbildng zeigt die Zeiger der astspannngen vor nd nach der Impedanzänderng im roten Zweig. 8.5 Sternpnktlast im Vierleitersystem Im Vierleitersystem existiert ein ückleiter, wie in nachfolgender Schaltng dargestellt: In diesem Fall vereinfacht sich die echnng, da an den Verbrachern, ach bei nsymmetrischer Belastng, immer die jeweiligen Strangspannngen anliegen nd es gilt damit astspannng = Strangspannng. Die astströme lassen sich damit leicht über das Ohmsche Gesetz bestimmen. Im Vierleitersystem kann keine Sternpnktverschiebng aftreten. Eine Gefahr geht jedoch von einer nterbrechng im ückleiter as. In diesem Falle gelten die Betrachtngen für das Dreileiternetz nd eine potentiell gefährliche Sternpnktverschiebng kann bei nsymmetrischer ast aftreten. Prof. Dr. Holger Kapels /4

124 Afgabe: Es sei wie im obigen Beispiel Z = 8, Z = 66 nd Z 3 = 83 sowie = 4V gegeben. Zr Anwendng der neen Begriffe bestimmen Sie die folgenden Größen: a) Berechnen Sie den Betrag der Strangspannng. b) Bestimmen Sie die komplexen Strangspannngen. c) Berechnen Sie die eiterströme. d) Bestimmen Sie den ückleiterstrom. e) Bestimmen Sie die Gesamt-Wirkleistng. [ ösng: a) = 3,9 V b) =, = -, 3 = c) = 8,9A, = 38,5A8, 3 = 8,9A5 d) SN = = 37,5A57,4 e) P ges = 6,9 kw ] Man erkennt, dass die Gesamt-Wirkleistng in diesem Falle also detlich geringer ist als bei der Dreileiteranordnng ohne ückleiter. Dies wird offensichtlich, wenn man die detlich höheren astspannngen der Dreileiteranordnng mit der Strangspannng der Vierleiteranordnng vergleicht. 8.6 Dreiecklast im Dreileitersystem Bei einer Dreiecklast im Dreileitersystem liegen die eiterspannngen direkt an der ast. Zr Berechnng der astströme I, I 3, I 3 nd der eiterströme I, I, I 3 geht man folgendermaßen vor: Die astströme ergeben sich as den eiterspannngen as dem Ohmschen Gesetz: = Y 3 = Y = Y 3 3 Prof. Dr. Holger Kapels /4

125 Drch Anwendng der Kirchhoffschen Knotenregel erhält man: = 3 = 3 3 = 3 3 Drch Afsmmieren dieser drei Gleichngen ergibt sich: + + I 3 = Bei symmetrischer Belastng mit Y = Y 3 = Y 3 = Y müssen ach die astströme symmetrisch sein nd as den betragsmäßig gleichen eiterspannngen folgt damit, dass die eiterströme ebenfalls symmetrisch sind. Es ergibt sich daher hier der gleiche Zsammenhang wie zwischen der eiterspannng nd der Strangspannng: I = 3 p bei Dreieckslast im Dreileitersystem Der eiterstrom ist m den Faktor 3 größer als der Phasenstrom. Afgabe: Es sei wie im obigen Beispiel Z = 8, Z = 66 nd Z 3 = 83 sowie = 4V gegeben. Zr Anwendng der neen Begriffe bestimmen Sie die folgenden Größen. a) Bestimmen Sie die eiterspannngen. b) Berechnen Sie die astströme. c) Bestimmen Sie die eiterströme. d) Bestimmen Sie die Gesamt-Wirkleistng. [ ösng: a) = -5, 3 = 9, 3 = -3 b) = 5,A3 ; 3 =66,7A5 ; 3 = 5,A8 c) = 96,6A5 ; = 6,7A5 ; 3 = 34,A76,9 d) P ges = 5,7kW ] In diesem Falle ist die gesamte Wirkleistng m den Faktor 3 höher als bei einem Sternpnktverbracher im Vierleitersystem mit ückleiter. Dies liegt daran, dass die an der ast anliegende Spannng bei der Dreiecklast m den Faktor 3 höher ist, als bei dem Sternpnktverbracher im Vierleitersystem. Prof. Dr. Holger Kapels /4

126 9 Transformator 9. Problemstellng Eine Halogenlechte sei für V nd 5 W spezifiziert. Sie soll drch eine 3 V Netzspannng versorgt werden. Wie kann das echtmittel versorgt werden, ohne zerstört z werden? Afgabe Eine Möglichkeit wäre es, einen Widerstand in eihe z der Halogenlechte z schalten. a) Bestimmen Sie den erforderlichen Widerstand. b) Für welche eistng mss der Widerstand asgelegt werden? c) Welchen Haptnachteil hat diese ösng? [ösng: a) 44, b) W ] Eine effizientere ösng ist die edzierng der Wechselspannng über einen Transformator. Im Folgenden wird die Fnktionsweise eines solchen Transformators behandelt. 9. Vorüberlegngen Vor der Einführng des Transformators sollen znächst die Betrachtngen über elektrische Splen erweitert werden Gegenindktivität Ein elektrischer Strom i drch eine Indktivität erzegt ein magnetisches Feld nd damit einen magnetischen Flss Hat die Sple N Windngen, so ist des Gesamtflss N mal so groß, wie der Flss, den eine einzelne Windng erzegt. Die Indktivität beschreibt das Verhältnis zwischen dem fliesenden Strom i nd dem aftretenden magnetischen Flss. i Die Indktivität wird ach als Selbstindktivität oder Eigenindktivität bezeichnet, da sie nr das magnetische Feld berücksichtigt, das die Sple selbst erzegt hat. Befindet sich nn eine zweite Sple (oder allgemein eine eiterschleife) in der Nähe der ersten Sple, so kann ein Teil des von der ersten Sple erzegten magnetischen Flsses ach drch die zweite Sple treten, wie die nebenstehende Abbildng zeigt. Man bezeichnet diesen Anteil des Flsses als verketteten Flß. Prof. Dr. Holger Kapels /4

127 Zwei oder mehrere solcher Splen heißen magnetisch gekoppelt. Im Folgenden gehen wir stets vom Sonderfall zweier gekoppelter Splen as. Fließt drch eine Sple ein Strom i, so erzegt dieser in der gekoppelten Sple einen Flß. Das Verhältnis zwischen Strom nd verkettetem Flß wird als Gegenindktivität M bezeichnet. Es gilt: M i mgekehrt würde natürlich ach ein Strom i drch die zweite Sple einen verketten Flß in der der Sple erzegen nd es gilt: M i Es kann gezeigt werden, daß diese beiden Gegenindktivitäten stets gleich groß sind. Es ist also die Wirkng der ersten Sple af die zweite Sple genaso groß, wie die Wirkng der zweiten Sple af die erste. Dieser Zsammenhang heißt magnetische eziprozität, es gilt M = M = M. Im Folgenden werden wir die Gegenindktivität daher nr noch mit M bezeichnen. Der Gesamtflß F X in einer Sple X berechnet sich also as dem Anteil, den die Sple selbst erzegt nd einem Anteil, der über die zweite Sple eingekoppelt wird. Es gilt damit: i M i i M i 9... Kopplngs- nd Strefaktor Es ist nmittelbar verständlich, daß im Allgemeinen nicht der Gesamtflß einer Sple ach drch die andere Sple hindrchtritt. Das Verhältnis as dem Flß, der drch die zweite Sple tritt, nd dem Gesamtflß drch die erste Sple heißt Koppelfaktor k. k Es gilt wieder die magnetische eziprozität. Der Anteil am Gesamtflß, der nicht zm Koppelflß beiträgt heißt Streflß. Es gilt: = + nd = +. m die Streverlste z beschreiben wird der Strefaktor = - k² eingeführt. Prof. Dr. Holger Kapels /4

128 Für die Stärke der Kopplng werden folgende Begriffe verwendet: k = k < k <,8 k = ideale Kopplng feste Kopplng lose Kopplng Splen sind ngekoppelt. Eine nahez ideale Kopplng erreicht man, wenn man die beiden Splen direkt übereinander wickelt. Der Flß der einen Sple mß dann zwangsläfig fast vollständig ach drch die andere Sple treten. 9.3 Der Transformator als Bateil Transformatoren sind elektrisch betrachtet relativ komplexe Gebilde, die nicht so einfach analytisch beschrieben werden können. m Schaltngen mit Transformatoren in der Praxis berechnen z können, führt man Modelle mit verschiedenen Abstraktionsgraden ein. Für jede Anwendng dieser Modelle mß znächst geprüft werden, ob die Vorassetzngen für die jeweilige Vereinfachng gegeben sind. Bei steigendem Abstraktionsgrad kann man folgende Modelle erstellen: Zwei (oder mehrere) gt gekoppelte Splen bezeichnet man als Transformator (Energietechnik) oder Übertrager (Nachrichtentechnik). Der Transformator stellt ein elektrisches Zweitor mit Primär- nd Sekndärsple dar. Die folgende Abbildng zeigt einen Transformator mit beiden Splen af einem gemeinsamen Kern. Gesamt-, Koppel- nd Streflß sind eingezeichnet. Prof. Dr. Holger Kapels /4

129 Setzt man die Indktivitäten der Splen sowie die Gegenindktivität in das Indktionsgesetz ein, so ergibt sich ein Gleichngssystem mit allen Strömen nd Spannngen am Zweitor: di di () t M dt dt di di () t M dt dt Dieses Gleichngssystem heißt ach Transformatorgleichng. Für sinsförmige Signale kann man das Gleichngssystem in den komplexen Bereich überführen (Ableitng entspricht Mltiplikation mit j) nd man erhält folgendes Gleichngssystem für zwei gekoppelte Splen: j I jm I jm I j I Wicklngssinn Bei zwei gekoppelten Splen hängt es von der Definition der Stromrichtng nd von dem Wicklngssinn der Splen ab, ob sich der magnetische Flß der beiden Splen verstärkt oder teilweise kompensiert. Dies wird drch das Vorzeichen vor der Gegenindktivität M in den Gleichngen berücksichtigt. Bestimmng des Vorzeichens bei Kopplng zweier Splen:. Man bestimmt die ichtng des magnetischen Flsses über die echte-hand-egel entsprechend der Definition der Stromrichtng von i nd dem Wicklngssinn.. Man bestimmt die ichtng des magnetischen Flsses über die echte-hand-egel, Stromrichtng von i nd dem zgehörigen Wicklngssinn. 3. Wenn nd entgegengesetzt gerichtet sind, mß der Term mit M ein negatives Vorzeichen afweisen, sind die Flüsse gleich orientiert, so ist das Vorzeichen positiv. Prof. Dr. Holger Kapels /4

130 m den Wicklngssinn eines Transformators in einem Schaltplan z Kennzeinchen, werden die Enden jeder Wicklng mit einem Pnkt markiert. Dabei wird asgedrückt, welche Enden zm selben Zeitpnkt dieselbe Polarität des Stroms afweisen. Der linke Pnkt markiert den hineinfließenden Strom i, der den magnetischen Flß erzegt. Entsprechend der enz schen egel wird in der zweiten Sple ein Strom fließen, der einen magnetischen Flß erzegt, der dem ersten entgegengesetzt ist. Hieras resltiert die dargestellte Stromrichtng i. Af der rechten Seite wird entsprechend ein Pnkt an dem Ende der Sple gesetzt, an dem der Strom i die Sple verläßt. m as einem Schaltplan das Vorzeichen vor M z bestimmen, wenn die gekoppelten Splen drch einen Pnkt gekennzeichnet sind, geht man folgendermaßen vor:. Man definiert die Stromrichtng in jeder Masche.. a) Wenn bei den mit dem Pnkt markierten Anschlüssen entweder beide Ströme hereinfließen oder beide Ströme herasfließen, mß das Vorzeichen vor dem M-Term das gleiche Vorzeichen wie der -Term haben. oder b) Wenn an einem mit einem Pnkt markierten Anschlß der Strom hineinfließt nd an dem anderen mit einem Pnkt markierten Anschlß der Strom herasfließt, mß das Vorzeichen vor dem M-Term entgegengesetzt z dem Vorzeichen des -Terms sein. Beispiel: i fließt in den mit dem Pnkt markierten Anschlß in die Sple hinein, während i as dem anderen mit einem Pnkt markierten Anschlß herasfließt. Die M nd Terme in der Transformatorgleichng müssen also nterschiedliche Vorzeichen afweisen. Die oben dargestellte Konstellation ist die Standardform eines Transformators. Prof. Dr. Holger Kapels /4