Fresnelsche- und Fraunhofersche Beugung am Spalt und an einer Kante.

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1 Fresnelsche- und Fraunhofersche Beugung am Spalt und an einer Kante. Köln, 2005 Zusammenfassung Interferenz oder Beugungserscheinungen treten bei allen Wellenformen auf und sind eine grundlegende Erscheinung in der Optik. Sie sind deshalb in vielen Gebieten der Physik und der Technik von Bedeutung. Bei Beugung unterscheidet man zwischen Fraunhoferscher und Fresnelscher Beugung. Fraunhofersche Beugung ist ein Spezialfall der Fresnelschen Beugung. Ist der Beobachtungsschirm weit von der beugenden Öffnung entfernt, können die sphärischen Elementarwellen auf dem Schirm durch ebene Wellen angenähert werden. Man spricht in diesem Fall von Beugung im Fernfeld bzw. von Fraunhoferscher Beugung. Ist der Beobachtungsschirm so nahe an der beugenden Öffnung, dass die Krümmung der Wellenfronten der Elementarwellen auf dem Schirm wenigstens näherungsweise berücksichtigt werden muss, kommt man in den Bereich der sogenannten Fresnel Beugung. Man beobachtet Fraunhofersche Beugung, wenn sowohl der Beobachtungspunkt als auch die Lichtquelle so weit vom Beobachtungshindernis (Spalt, Kante) entfernt sind, dass das Quadrat der Spaltbreite gegen die Abstände Lichtquelle Beugungshindernis und Beobachtungspunkt Beugungshindernis vernachlässigbar klein ist. Ist einer der beiden Abstände zu klein oder der Spalt zu breit für diese Näherung, beobachtet man Fresnelsche Beugung. Mit Fresnelscher Beugung lässt sich auch Beugung an der Kante (ein im Prinzip unendlich großer Spalt) beschreiben. Um gute Ergebnisse zu erhalten benötigt man eine ausgedehnte, kohärente Lichtquelle mit möglichst konstanter Intensität auf der Querschnittsfläche des Strahlenbündels. Dies wird realisiert durch den Einsatz des Lasers.

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3 INHALTSVERZEICHNIS i Inhaltsverzeichnis 1 Laser Aktives Medium Inversion Lasermoden Optischer Resonator Der Helium Neon Laser Allgemeine Grundlagen Das He-Ne Energieschema Schwellenbedingung für die Laseroszillation Resonatoren Resonatortypen Wellenlängen- und Modenselektion Das Etalon Versuchsaufbau Kohärenz Interferenz und Beugung Beugungsmuster an einen Einzelspalt Versuchsdurchführung Befehlsübersicht Literatur 17

4 1 LASER 1 1 Laser Das Wort LASER ist ein Akronym für Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation - zu deutsch Lichtverstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung. Das Wort Laser bezeichnet eigentlich ein Prinzip, es wird aber heute auch als Bezeichnung für die Laserstrahlquelle benutzt. Die Hauptkomponenten eines Lasers sind das laseraktive, lichtverstärkende Medium und in der Regel ein aus zwei Spiegeln bestehender Optischer Resonator. Spiegel Spiegel aktives Medium Laserstrahl Energieeinkopplung "Pumpen" Abbildung 1: Laser Der erste Laser wurde 1960 von Th. Maiman realisiert. Es handelte sich um einen Blitzlampen angeregten Rubinlaser. Heute gibt es mannigfaltige technische Ausführungsformen des Laserprinzips. Es gibt Laser mit Abmessungen im sub-mm-bereich ebenso wie Laser- Systeme, die eigene große Gebäude füllen. Die Ausgangsleistungen variieren von nw bis TW ( W). Maiman s Rubinlaser emittierte Licht im roten Spektralbereich bei 694 nm. Heute sind Lasermedien bekannt, die Licht mit Wellenlängen von einigen hundert µm bis in den weichen Röntgenbereich um einige nm Wellenlänge emittieren. Wellenlänge und Ausgangsleistung des jeweiligen Lasers werden durch die Anwendung vorgegeben. Laser werden in vielen Gebieten eingesetzt, als Beispiele seien genannt: Optoelektronik CD-Spieler und CD-ROM Laufwerke (Halbleiterlaser) Datenübertragung durch Glasfaserkabel Medizin Ophtalmologie Dermatologie Messtechnik Vermessungswesen im Berg - und Tunnelbau etc. Vermessen von Werkstückoberflächen Analytik (z.b. mobile Umweltanalyse) Fertigungstechnik Schneiden Schweißen Oberflächenbehandlung etc. Forschung Laserfusion Diagnostik Vermessung des Abstandes Erde Mond

5 1 LASER Aktives Medium Die Laserlichterzeugung findet im aktiven Medium eines Lasers statt. Energie wird in geeigneter Form von außen in das aktive Medium gepumpt und zum Teil in Strahlungsenergie umgewandelt. Die in das aktive Medium gepumpte Energie besitzt in der Regel eine relativ hohe Entropie, das heißt geringe Ordnung, während die resultierende Laserstrahlung einen hohen Ordnungszustand aufweist und damit eine relativ geringe Entropie besitzt. In einem Laser wird also hochentropische Energie in niederentropische Energie umgewandelt. Es gibt aktive Lasermedien in allen Aggregatzuständen: fest (kristallin oder amorph) flüssig gasförmig bzw. Plasmazustand Energie Anregung Kontinuum Photoabsorption Strahlungsabregung Die Form der Energieeinkopplung wird wesentlich vom Aggregatzustand bestimmt. Viele gasförmige Lasermedien werden z.b. mit Hilfe einer Gasentladung angeregt. Hierbei wird elektrische Energie auf freie Elektronen übertragen, die ihre Energie durch Stöße mit Atomen bzw. Molekülen abgeben. Festkörper - und Flüssigkeitslaser können nur optisch gepumpt werden, Strahlung einer gewöhnlichen Lampe oder eines anderen Lasers wird im aktiven Medium absorbiert und die Energie bei einer längeren Wellenlänge wieder emittiert. Elektronenstoß Grundzustand Abbildung 2: aktives Medium Atome bzw. Moleküle liegen normalerweise im sogenannten Grundzustand vor. Der Grundzustand ist ein stabiler Zustand, Atome im Grundzustand können keine Energie abgeben. Atome besitzen weitere Zustände, deren Energie größer als die des Grundzustandes ist und in die die Atome durch Energiezufuhr übergehen können. Die Energie kann von anderen Teilchen, insbesondere freien Elektronen, oder von Lichtquanten, Photonen stammen. Aus einem angeregten Zustand können die Atome unter Energieabgabe wieder in energetisch tiefer liegende Zustände übergehen, z.b. in den stabilen Grundzustand. Die Überschußenergie kann an ein anderes Teilchen, z.b. ein Elektron oder ein anderes Atom, oder an ein

6 1 LASER 3 Photon abgegeben werden, das dann emittiert wird, wobei die Energie des Photons gleich der Energiedifferenz zwischen dem oberen und dem unteren Niveau ist. Die Strahlungsabregung kann spontan oder durch andere Photonen stimuliert erfolgen. Die stimulierte Emission ist eine Grundvoraussetzung für Lasertätigkeit. 1.2 Inversion Der Laserübergang findet zwischen zwei bestimmten Niveaus oder Niveaugruppen, dem oberen (E 2 ) und unteren (E 1 ) Laserniveau statt. Wesentlich für das Funktionieren eines Lasers ist, dass zwischen diesen beiden Energieniveaus ein sogenannter Inversionszustand erreicht wird, das energetisch höher gelegene Niveau muss stärker besetzt sein als das energetisch tieferliegende Niveau. Besetzungsdichte Besetzungsdichte E 2 E 2 E 1 E 1 thermische Besetzung Inversion Abbildung 3: Inversion In Systemen im thermodynamischen Gleichgewicht ist diese Bedingung nie erfüllt. Das thermische Gleichgewicht ist gerade dadurch ausgezeichnet, dass das untere Niveau immer stärker besetzt ist als das höhere. Laser müssen also fern ab vom thermodynamischen Gleichgewichtszustand betrieben werden. Zum Erreichen des Inversionszustandes sind immer mehr als die beiden eigentlichen Laserniveaus notwendig. So ist das untere Laserniveau in den wenigsten Fällen der Grundzustand und gepumpt wird in der Regel über sogenannte Pumpniveaus, die energetisch über dem oberen Laserniveau liegen. 1.3 Lasermoden Das Strahlungsfeld eines Lasers besitzt keine über den Querschnitt homogene Intensitätsverteilung. Die Intensität ist transversal zur Ausbreitungsrichtung moduliert und fällt nach außen hin nicht abrupt, sondern stetig ab. Dies wird durch Beugung verursacht, die bei der Lichtausbreitung immer auftritt und auf die Wellennatur des Lichtes zurückzuführen ist. Wenn man von einer homogenen Intensitätsverteilung auf einem der Laserspiegel ausgeht, wird bei der Ausbreitung von einem Laserspiegel zum anderen Spiegel bedingt durch Beugung die Intensitätsverteilung verändert. Nach vielen Umläufen stellt sich dann eine Intensitätsverteilung ein, die sich von Umlauf zu Umlauf reproduziert. Diese ausgezeichneten Intensitätsverteilungen sind die Eigenlösungen des Optischen Resonators. Es gibt im Prinzip sehr viele solcher Eigenlösungen. Einer dieser Eigenlösungen kommt aber eine besondere Bedeutung zu. Es handelt sich dabei um den sogenannten Grundmode des Optischen Resonators. In vielen Fällen kann der Grundmode in guter Näherung durch den

7 1 LASER n 2a... L Abbildung 4: Beugungsbilder sogenannten Gauß schen Strahl beschrieben werden. Beim Gauß schen Strahl hat die radiale Intensitätsverteilung ein Gauß förmiges Profil. 1.4 Optischer Resonator Im einfachsten Fall kann man sich einen Resonator als allseits geschlossenen Kasten mit hoch reflektierenden Wänden vorstellen. Da die Laserwellenlängen viel kleiner sind als ein solcher Kasten realistischerweise sein könnte, würden viele verschiedene Moden oder Eigenschwingungen angeregt (hier spielen technische Begrenzungen eine Rolle, aber insbesondere die Tatsache, dass für eine hinreichende Verstärkung das Lasermedium ein Mindestvolumen haben muss). Die Laserstrahlung wäre dann nicht mehr gebündelt. Um eine Vorzugsrichtung auszusondern, werden sogenannte offene Optische Resonatoren eingesetzt. Dabei werden zwei Spiegel parallel und auf eine gemeinsame optische Achse zentriert in einem Abstand angeordnet, der sehr viel größer ist als der Spiegeldurchmesser. Der Teil der Strahlung, der nicht nahezu parallel zur optischen Achse emittiert wird, verlässt den Optischen Resonator sehr schnell und wird nicht weiter verstärkt. Offene Optische Resonatoren wirken somit nur für die Strahlung als rückkoppelndes Element, die nahezu parallel zur optischen Achse verläuft, es wird ein bestimmter Strahlungsmode diskriminiert, alle anderen Moden werden unterdrückt (oder die meisten anderen). Das Strahlungsfeld eines Lasers besitzt keine über den Querschnitt homogene Intensitätsverteilung. Die Intensität ist transversal zur Ausbreitungsrichtung moduliert und fällt nach außen hin nicht abrupt, sondern stetig ab. Dies ist durch Beugung bedingt, ein Phänomen, dass auf die Wellennatur des Lichtes zurückzuführen ist. Intensitätsverteilungen, die sich nach einem Umlauf durch den Resonator reproduzieren, nennt man Eigenlösungen oder Eigenmoden des Optischen Resonators. Näherungsweise können diese Eigenmoden in kartesischen Koordinaten durch die Gauß-Hermite schen Funktionen bzw. in Zylinderkoordinaten durch Gauß-Laguerre sche Funktionen beschrieben werden. Im allgemeinen müssen zur Berechnung von Laserstrahlungsmoden aber numerische Methoden eingesetzt werden. Die Strahlung eines Lasers wird innerhalb des optischen Resonators hin - und her reflektiert. Dabei überlagern sich Teilwellen vieler Umläufe. Wenn die Wellenlänge des Strahlungsfeldes ein Vielfaches des doppelten Spiegelabstandes beträgt, überlagern sich die Teilwellen konstruktiv, andernfalls destruktiv. Dies führt zu einer Wellenlängenselektion, der Laserresonator schränkt somit nicht nur die mögliche Ausbreitungsrichtung, sondern auch

8 1 LASER 5 die Frequenz des Laserlichtes ein. Zusätzlich zu diesem frequenzbegrenzenden Effekt des Resonators sorgt die nichtlineare Wechselwirkung des Laserstrahlungsfeldes mit dem aktiven Medium für eine weitere Verringerung der Bandbreite. In hochstabilen Lasern können Bandbreiten von unter 1 Hz erreicht werden (bei einer Mittenfrequenz von etwa Hz).

9 2 DER HELIUM NEON LASER 6 2 Der Helium Neon Laser Der im Versuch verwendete Helium-Neon-Laser ist ein Gaslaser. In Gaslasern wird die optische Verstärkung durch eine Gasentladung in Gasen bzw. Gasgemischen erzeugt. 2.1 Allgemeine Grundlagen Abbildung 5: Laser Wie oben erwähnt besteht ein Laser aus einem geeignetem Medium (z.b.rubinkristall, CO 2, He-Ne Gemisch). Dieses Medium wird zwischen zwei sich gegenüberstehenden Spiegeln platziert. Durch spontane Emission wird ein Photon in Richtung auf einen Spiegel entsandt. Von dort wird es zurückreflektiert und löst durch induzierte Emission weitere Photonen aus, die nach Reflexion an den Spiegeln, in das Medium zurückkehren und weitere Photonen induzieren. Dieser Prozess schaukelt sich lawinenartig auf. Die Reflektivität eines der Spiegel (Auskoppelspiegel) ist etwas verringert, dort tritt ein Bruchteil des Lichts aus und bildet den externen Laserstrahl. 2.2 Das He-Ne Energieschema Der He-Ne Laser war der erste kontinuierlich arbeitende Laser. Einer der Gründe dafür war, dass das He-Ne Energieschema durch spektroskopische Untersuchungen gut bekannt war. Im Bild 6 sind nur die Niveaus eingezeichnet die für die Anregungs- und Laserprozesse bei der Wellenlänge von 632 nm von Bedeutung sind. Die Zustände 2 1 S 1 und 2 1 S 0 des Heliums sind metastabil, optische Übergänge in den Grundzustand sind also nicht möglich. Die s Zustände des Heliums werden durch Elektronenstöße erreicht. Der 2 1 S 0 Zustand liegt etwas unter dem Niveau des 3s Neonniveau, die thermische Energie reicht allerdings aus, um die Lücke zu überwinden. Neben den Elektronenstößen gibt es noch die Atomstöße: Ein angeregtes Heliumatom gelangt in den Grundzustand, weil es seine Energie zur Anregung eines Neonatoms abgibt. Beide Prozesse bilden die Grundlage für die Erzeugung der Besetzungsinversion im Ne-System. Die Lebensdauer der s Zustände des Neons ist etwa 10 mal höher als die der p Zustände. Das 2s Niveau entleert sich durch spontane Emission in den 1s Zustand. Da der optische Übergang in den tieferen Zustand verboten ist, erfolgt die Abregung der Neonatome durch Stöße mit der Kapillarwand. Neon besitzt eine Vielzahl derartiger Übergänge, optische Übergänge erfolgen allerdings nur von dem 3s 2 2p i. Übergänge im Infrarotbereich erfolgen von 2s i 2p i. 2.3 Schwellenbedingung für die Laseroszillation Der Laser schwingt, wenn die Verstärkung des Lichtfeldes durch induzierte Emission stärker ist als die Verluste im Resonator. Durchläuft eine Lichtwelle das Lasermedium, so

10 2 DER HELIUM NEON LASER 7 He Ne + 17 ¾ ½ Ë Ë ¾Ô infrared laser Ñ Energy, in cm -1 units ¾ Ë collision ¾Ë ¾Ô infrared laser ½Ë ½ ½ Ñ red laser ¾Ô ¾Ô Ô ¼ ¾ Ñ 13 ¾Ô diffussion to walls ÑÔ Ø ½ ½ Ë Helium Neon ¾Ô Abbildung 6: He Ne Energieschema ändert sich ihre Intensität I auf der Strecke dz um Also ist di = α I dz (1) I(z) = I 0 e αz Die Proportionalitätskonstante α bezeichnet man als Absorptionskoeffizient des Mediums. Die Absorption sei bedingt durch optische Übergänge zwischen zwei Niveaus 1 und 2. Es gilt I = u(ν) c Daraus folgt di dz = di dt dt dz = 1 di c dt = 1 du(ν) c c dt Andererseits gilt aber: du dt = hν dn 1 hν dn 2 dt dt Da nun dn 1 /dt = B 12 N 1 n(ν) und dn 2 /dt = B 21 N 2 n(ν) gilt, folgt: du dt = hνb 21 (N 2 N 1 ) u(ν) Setzt man dies in Gleichung (2) ein und ersetzt u(ν) durch I/c ergibt dies di dz = hν c B 21 (N 2 N 1 ) I(z) (2)

11 2 DER HELIUM NEON LASER 8 Ein Vergleich mit (1) zeigt: α = hν c B 21 (N 2 N 1 ) Setzt man g(ν) als die normierte Intensitätsverteilung, erhält man: α(ν) = h(ν) c B 21 (N 2 N 1 )g(ν) Die Lichtintensität im Resonator nimmt durch Beugung und Durchtritt durch die Spiegel um den Faktor δ = R 1 R 2 βlm 4 ab. Dabei ist β der Faktor mit dem sich die Amplitude des Lichts beim einmaligen Durchgang durch den Resonator ändert und R i bezeichnet das Reflexionsvermögens des Spiegels. Damit der Laser schwingt, müssen die Verluste kleiner sein als die Verstärkung durch das Lasermedium. Die Laserwirkung setzt ein, wenn die Größe der Inversion N 2 N 1 einen kritischen Wert, den Schwellwert überschreitet (d : Länge der Kapillare). (N 2 N 1 ) = In (R 1 R 2 β 4 lm ) 2hν c B 21 g(ν) d 2.4 Resonatoren Resonatoren haben den Zweck, das Licht in einem oder wenigen Moden zu konzentrieren, damit die Strahlungsdichte darin so groß wird, dass die induzierte Emission gegenüber der spontanen Emission überwiegt Resonatortypen Man unterteilt die am häufigsten verwendeten Resonatortypen in fünf Klassen: 1. Resonatoren mit planparallelen Spiegeln Dieser Resonator besteht aus zwei parallelen geraden Spiegeln, die sich gegenüber stehen. Die Distanz L zwischen den Spiegeln sollte ein Vielfaches k der halben Wellenlänge betragen, damit sich stehende Wellenzüge bilden. Die Resonanzfrequenzen ergeben sich zu ν = kc c 2L. Der Abstand 2L zwischen zwei Resonanzfrequenzen wird Frequenzabstand genannt. Unterschiedliche Resonanzfrequenzen bezeichnet man als longitudinale Moden. 2. Resonatoren mit konzentrischen sphärischen Spiegeln bestehen aus zwei sphärischen Spiegeln mit identischem Krümmungsradius R im Abstand 2R. Abbildung 7: Konzentrische Spiegel Die Krümmungsmittelpunkte stimmen also überein. Die Resonanzfrequenzen entsprechen denen im Fall der planparallelen Spiegel.

12 2 DER HELIUM NEON LASER 9 Abbildung 8: Konfokale Spiegel 3. Resonatoren mit konfokalen Spiegeln In diesem Fall werden zwei sphärische Spiegel mit Radius R so angeordnet, dass ihre Brennpunkte zusammenfallen. Die Resonanzfrequenzen sind durch geometrischoptische Betrachtungen nicht zu berechnen. Praktisch ist dieser Resonator allerdings leichter einzustellen als der planparallele, da auch nicht zur optischen Achse parallele Strahlen verstärkt werden. 4. Allgemeiner Hohlspiegel-Resonator Abbildung 9: Allgemeine Hohlspiegel-Anordnung Hier befinden sich zwei Spiegel identischen Krümmungsradius in einem Abstand zueinander, der zwischen Fällen zwei und drei liegt. 5. Kreislaufresonatoren Abbildung 10: Spiegel in Kreislauf-Anordnung Mehrere nicht-parallel angeordnete Spiegel leiten den Lichtstrahl entlang eines geschlossenen Weges der Länge L. Die Resonanzbedingung ist dann ν = kc L. Der Vorteil ist die größere räumliche Ausdehnung der Cavity. Für Laser mit hoher Leistung (mehr als 2 kw) möchte man zu häufige Oszillationen zwischen den Spiegeln vermeiden, um diese nicht zu beschädigen. Zu diesem Zweck baut man instabile Resonatoren. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass der oszillierende Strahl schräg zur optischen Achse aus der Cavity geführt wird. Die Intensitätsverteilung im Laser- Querschnitt ist dann ein Ring. Dieser ist schwierig zu fokussieren.

13 2 DER HELIUM NEON LASER 10 Abbildung 11: Schema des instabilen Resonators Wellenlängen- und Modenselektion In der Praxis ist es von Bedeutung, bestimmte Moden des Lasers zu selektieren. Man unterscheidet zwischen longitudinalen und transversalen Moden: Eine ebene Welle läuft zwischen zwei Spiegeln hin und her. Die Wellenzüge überlagern sich zu stehenden Wellen: L = q λ 2 Die verschiedenen q zugeordneten stehenden Wellen bezeichnet man als longitudinale Grundmoden TEM 00q der dritte Index wird meist ignoriert und dementsprechend q als longitudinale Modenzahl. der Frequenzabstand zwischen zwei Moden ist ν q = c /2L. Transversale Moden TEM plq zeichnen sich neben einer hohen Frequenz auch durch einen hohen Feldquerschnitt aus. Die macht es einfach, transversale Mode zu selektieren. Dies kann z.b. durch den Einsatz einer Lochblende an geeigneter Stelle geschehen. Longitudinale Modenselektion ist etwas aufwendiger. Wenn man Lasertätigkeit in einer transversalen Mode erreicht hat, kann der Laser immer noch auf verschiedenen longitudinalen Moden oszillieren. Zur long. Modenselektion gibt es zwei Möglichkeiten: entweder erreicht man, dass der Modenabstand größer wird als die Halbwertsbreite der Verstärkungsfunktion, oder die Verluste der anderen Moden müssen so weit erhöht werden, dass nur noch eine Mode oszilliert. In der Praxis gibt es verschiedene Möglichkeiten, longitudinale Moden zu selektieren, häufig benutzt man das Etalon Das Etalon Ein Etalon ist eine planparallele Platte aus durchsichtigem Material, z.b. Quarzglas, mit einer verspiegelten Oberfläche. Ein solches Etalon weist frequenzabhängige, periodische Transmissionsmaxima, bzw. Verlustminima auf. Etalon Lasermedium Abbildung 12: Etalon

14 2 DER HELIUM NEON LASER 11 Der Frequenzabstand ν max benachbarter Transmissionsmaxima ist gegeben durch: c ν max = 2d(n 2 sin 2 Θ) 1/2 c : Lichtgeschwindigkeit, d : Dicke, n : Brechungsindex, Θ Neigungswinkel der Normalen gegenüber der Resonatorachse Durch den Winkel Θ erreicht man nun, dass die Frequenz ν max bzw. die Wellenlänge λ max eines Transmissionsmaximums mit der der Resonatormode zusammenfällt: λ max = 2d m (n2 sin 2 Θ) 1/2 = 2L q Dadurch ist es möglich, Moden, die eigentlich aufgrund der Schwellwertbedingung oszillieren könnten, höhere Verluste entgegenzubringen und sie damit zu unterdrücken.

15 3 VERSUCHSAUFBAU 12 3 Versuchsaufbau LASER Detektor Raumfilter Optik Kante oder Spalt Bewegung des Detektors Abbildung 13: Fernrohr Der Laserstrahl wird mit Hilfe einer Optik aufgeweitet. Diese besteht aus einem Raumfilter und einer Konvexlinse, in deren einem Brennpunkt sich der Raumfilter befindet. Abbildung 14: Fernrohr Die Optik des Fernrohrs mit Raumfilter ist vorjustiert und sollte daher nicht verändert werden. Somit ist der aufgeweitete Laserstrahl nach dem Passieren der Konvexlinse wieder parallel und kann nun auf die Kante oder den Spalt treffen. Die dahinter entstandene Beugungserscheinung wird mit Hilfe des Detektors, entlang einer Geraden, abgefahren. Der Detektor, bestehend aus einer Fotodiode und einem Vorverstärker, kann innerhalb einer gewissen Messstrecke, mit einem Schrittmotor, hin und her bewegt werden. Die vom Detektor gemessenen Intensitäten werden, nachdem sie verstärkt worden sind, mit Hilfe einer AD-Karte in Binärwerte umgewandelt und mit dem PC aufgenommen. 3.1 Kohärenz Beleuchtet man eine Tischplatte nacheinander mit zwei Glühlampen, so erzeugen sie an einer beliebigen Stelle der Tischplatte die Strahlungs-Intensität I 1 und I 2. Wird nun die Tischplatte gleichzeitig beleuchtet, so addieren sich die Intensitäten I 1+2 = I 1 + I 2. Die Addition der Intensitäten ist charakteristisch für Inkohärenz. Anders ist es bei monochromatischem Licht.

16 3 VERSUCHSAUFBAU 13 Überlagern sich zwei eben Wellen, die in die gleiche Richtung laufen, die gleiche Schwingungsrichtung und Frequenz haben, so ist die resultierende Feldstärke gleich der Summe der Einzelfeldstärken: E res = E 1m cos(ω t k z 1 ) + E 2m cos(ω t k z 2 ) E 1m, E 2m sind die Amplituden der beiden Teilwellen. Es gilt ω = 2π f und k = 2π/λ. Zur Berechnung der Intensität wird zunächst quadriert und Additionstheoreme angewandt. Ziel ist, die Summationen in den Argumenten zu entfernen, um zeitliche Mittelung zu ermöglichen. E 2 res = E 2 1m(cos 2 kz 1 cos 2 ωt + sin 2 kz 1 sin 2 ωt + 2 cos kz 1 sin kz 1 cos ωt sin ωt) +E 2 2m(cos 2 kz 2 cos 2 ωt + sin 2 kz 2 sin 2 ωt + 2 cos kz 2 sin kz 1 cos ωt sin ωt) +E 1m E 2m cos ωt sin ωt (cos kz 1 sin kz 2 + cos kz 2 sin kz 1 ) +E 1m E 2m ( cos 2 ωt sin kz 1 sin kz 2 + sin 2 ωt cos kz 1 cos kz 2 ) T 0 Es gilt bekanntermaßen cos 2 = 1 T cos2 tdt = 1 2, und genauso für den Sinus. Außerdem verschwindet der zeitliche Mittelwert von cos sin wegen Symmetrie. Mit Hilfe eines weiteren Additionstheorems ergibt sich dann: I res = 1 2 (I 1 + I 2 ) + I 1 I 2 cos(k(z 1 z 2 )) Dabei wird noch benutzt, dass hcos 2 (ω t k z) = 1/2 ist. I 1, I 2 sind die Intensitäten der beiden Teilwellen. Die resultierende Intensität beider Wellen hängt empfindlich von dem Gangunterschied = z 2 z 1 bzw. der Phasendifferenz der beiden Wellen ab. δφ = 2 π λ (z 2 z 1 ) Beträgt in einem Raumpunkt der Gangunterschied zwischen zwei Wellen ein ganzzahliges Vielfaches ihrer Wellenlänge, tritt konstruktive Interferenz auf und die Intensitäten der resultierenden Welle wird maximal. Ist der Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge, interferieren sie destruktiv und schwächen bzw. löschen sich aus. Diese Interferenzfähigkeit des Lichtes bezeichnet man als Kohärenz. Die Interferenzfähigkeit hängt von den spektralen Eigenschaften (schmales oder breites Spektrum) und der räumlichen Ausdehnung der Lichtquelle ab. Die spektralen Eigenschaften kann man der sogenannten zeitlichen Kohärenz, die Ausdehnung der Lichtquelle der räumlichen Kohärenz zuordnen. Die zeitliche Kohärenz kann man z.b. durch ein Michelson Interferometer bestimmen. Ein Maß für die zeitliche Kohärenz elektromagnetischer Wellen ist die Kohärenzlänge l c, definiert als maximaler Gangunterschied. Daraus ergibt sich die Kohärenzzeit τ c = l c c c = Lichtgeschwindigkeit. Die Kohärenzlänge ist der maximale Abstand längs der Ausbreitungsrichtung eines Lichtstrahls, bei dem die Phasen der Wellen des Lichtbündels noch korreliert sind. Die Kohärenzzeit hängt mit einer wichtigen Eigenschaft des Lichtes nämlich seiner spektralen Bandbreite zusammen. Je größer die Frequenz- bzw. die Wellenlängenbreite (Bandbreite) des Spektrums einer Lichtquelle ist, desto kleiner ist die Kohärenzzeit (mittlere Dauer der emittierten Wellenzüge).

17 3 VERSUCHSAUFBAU 14 Ist f die Frequenzbreite des Spektrums, so gilt: f 1 τ c = c l c Die zeitliche Kohärenz ist also ein Maß für die spektrale Reinheit der elektromagnetischen Strahlung. Aus der letzten Gleichung wird deutlich, dass ideal monochromatisches Licht ( f = 0) aus unendlich langen Wellenzügen bestehen muss. Überblick über verschiedene Spektrallampen im Vergleich zum He-Ne-Laser. Niederdruck λ = c/f l c τ c f/f Spektrallampen [ nm ] [ m ] [ s ] Ne , Cd , Kr , He-Ne-Laser , , Die angegebenen Werte sind statistische Mittelwerte. Praktisch verkürzen sich diese Längen auf ein Bruchteil der angegebenen Werte. Auftreten von stimulierter Emission erklärt die hohe Kohärenzlänge des Lasers. Das Beugungsbild eines Spalts der Breite d hat sein erstes Intensitätsminimum bei einem Winkel α, der gegeben ist durch d sin α = λ (Vergleiche 3.2.1). Eine ausgedehnte Lichtquelle erzeugt bei entsprechender Form das gleiche Beugungsbild wie ein Spalt. Zur Beobachtung von Interferenzeffekten müssen wir uns auf das Innere des Hauptmaximums des Beugungsbildes der Lichtquelle beschränken. Dies gelingt bestimmt, wenn unser Versuchsaufbau d sin α < λ 2 erfüllt. Diese Bedingung heißt räumliche Kohärenzbedingung. Für kreisförmige Lichtquellen gilt prinzipiell die gleiche Argumentation. Der veränderten Geometrie wird Rechnung getragen, indem ein Faktor 1.22 in die Formel für das erste Interferenzminimum eingefügt wird: d sin α = 1.22λ. Für die räumliche Kohärenzbedingung spielt das aber keine Rolle. 3.2 Interferenz und Beugung Anders als bei Teilchenstrahlen treten bei Wellen Interferenz und Beugung auf. Die Interferenz ist die Überlagerung zweier oder mehrerer kohärenter Wellen, die an einem Raumpunkt zusammentreffen. Unter Beugung versteht man die Abweichung der Wellenausbreitung von der geometrischen Strahlrichtung an einem Hindernis oder einer Öffnung im Strahlengang. Der Beobachter misst an einem bestimmten Ort das Feld der Welle, das durch die Superposition der einfallenden Welle mit anderen Feldern entsteht. Wobei diese Überlagerung den Maxwellschen Gleichungen mit den für das Hindernis entsprechenden Randbedingungen genügen muss (Mie Streuung). Unglücklicherweise ist die Klasse der analytisch auf diese weise lösbaren Probleme zu klein. Leichter läßt sich das resultierende Beugungsmuster aus den Huygensschen Prinzip berechnen, womit die meisten Beugungsphänomene ausreichend beschrieben werden können. Beugung und Interferenz lassen sich manchmal nicht klar unterscheiden, sie können nicht klar voneinander getrennt werden. Interferenz kann mit Hilfe einer Fourierreihe beschrieben werden, Beugung durch eine Fouriertransformation. Nun ist aber die Fourierreihe ein Spezialfall der Fouriertransformierten, in gleicher Weise können Interferenzerscheinungen mit Hilfe der Beugungungstheorie erklärt werden.

18 3 VERSUCHSAUFBAU Beugungsmuster an einen Einzelspalt Der Einzelspalt läßt sich behandeln wie ein unendlich dichtes Gitter. Eine recht einfache Methode die Spaltbreite zu bestimmen zeigt die folgende Abbildung: d α x α α Α b Abbildung 15: Spalt 1 Abbildung 16: Spalt 2 Zunächst bestimmt man den Abstand b zwischen den ersten beiden Beugungsmaxima. Aus Abb. 16 wird ersichtlich, dass folgende Beziehung gilt: Aus Abb. 15 folgt tan(α) = b/2 A x = d sin(α). Nun verlangen wir, dass die Wellen konstruktiv interferieren. Das heißt sie haben einen Gangunterschied von n λ. Also sin(α) = n λ d. Da tan(α) = sin(α)/ cos(α) ist die Spaltbreite gegeben durch d = 2 A nλ b cos(α). Ist der Winkel α sehr klein, so gilt: cos(α) Versuchsdurchführung Vorsicht: NIEMALS direkt in den Laserstrahl blicken, da es ansonsten zu einer Verletzung der Netzhaut kommen kann!!! Zu Beginn des Versuches wird der Detektor und der Verstärker eingeschaltet, da diese eine gewisse Vorlaufzeit benötigen. Dann startet man das Messprogramm mit dem Befehl beugung. Mit dem Befehl mm_home wird der Detektor an die 0 Position gefahren. 1. Offset einstellen Hierzu verwendet man den Befehl mm_oszi(100). Das Messprogramm gibt nun permanent die gemessenen Werte auf dem Bildschirm aus. Mit Hilfe eines Blatt Papiers, welches vor den Detektor gehalten wird, dunkelt man diesen ab. Nun stellt man den Offset so ein, dass die gemessenen Werte bei ca. 100 Counts angezeigt werden.

19 3 VERSUCHSAUFBAU Verstärkungsfaktor einstellen Man sucht den Maximalwert, indem man den Detektor schrittweise durch den zu messenden Bereich fährt. Hat man diesen, justiert man die Verstärkung so, dass der Maximalwert bei ca Counts liegt. 3. Offset kontrollieren Nach dem einstellen des Verstärkungsfaktor verändert sich auch wieder der Offset und muss möglicherweise korrigiert werden. Bei einer solchen Korrektur verändert sich auch wieder der Verstärkungsfaktor, so dass Schritt 1. und 2. mehrmals wiederholt werden müssen, bis die Werte im gewünschten Bereich liegen. 4. Grundrauschen Zuerst wird die Messstrecke von Position 0 bis Position 20000, ohne Laser durchgemessen, um mögliche äußere Einflüsse (z.b.: Lampen, Sonnenlicht, etc.) später von den Spektren subtrahieren zu können. 5. Messung: Nun verwendet man den Befehl mm_home um den Detektor wieder an die Anfangsposition zurück zu setzen und startet die eigentliche Messung mit dem Befehl mm_mes(20000,5). Wenn der Vorgang beendet ist (was einige Minuten dauert) speichert man die gemessenen Werte mit dem Befehl mm_save("filename") ab. 6. Messung mit Spalt: Nun wird der Laser eingeschaltet. In den Strahlengang des aufgeweiteten Laserstrahls wird nun ein Spalt gestellt. Punkt und 3. werden wieder durchgeführt. Das durch den Spalt resultierende Beugungsbild wird wie unter 5. beschrieben gemessen. Dabei muss nur der Bereich gemessen werden, in dem sich die Beugungserscheinung befindet. Nun wird der Abstand zwischen Spalt und Detektor verändert und die Messung erneut durchgeführt. (Je größer die Entfernung zwischen Spalt und Detektor ist, um so mehr geht die Beugungsfigur von der Fresnelschen in die Fraunhofersche Beugung über.) Es werden nun noch zwei weitere Spalte so gemessen. 7. Messung mit Kante: Nun wird der Spalt durch eine Kante ersetzt. Punkt und 3. werden wieder durchgeführt. Das durch die Kante resultierende Beugungsbild wird wie unter 5. beschrieben gemessen. Dabei muss wieder nur der Bereich gemessen werden, in welchem sich die Beugungserscheinung befindet.

20 4 LITERATUR Befehlsübersicht mm_home mm_go(wert) mm_va_full mm_va_slow mm_va(wert) mm_oszi(schritt) mm_mes(distanz, schritt) mm_save("filename") Fährt den Detektor an die Anfangsposition und setzt diese auf Null. Fährt den Detektor mit der aktuellen Geschwindigkeit an die Position wert. Die aktuelle Geschwindigkeit ist nun maximal. Die aktuelle Geschwindigkeit ist nun minimal. Setzt die aktuelle Geschwindigkeit auf den Wert wert. Gibt den aktuell gemessenen Wert des Detektors permanent auf den Bildschirm aus. Dabei kann man mit den Tasten + und - die Position des Detektors um die Schrittgröße schritt nach vorn oder zurück verändern. Mit v kann die derzeitige Schrittgröße verändert werden. Mit q verlässt man die oszi Funktion. Beginnt an der aktuellen Stelle mit der Messung bis zur angegebene Distanz distanz mit der Schrittgröße schritt. Speichert die Messdaten unter dem angegebenen Namen filename ab. Der Name sollte nicht länger als 8 Buchstaben sein. 4 Literatur Eugene Hecht, Optik, Addison-Wesley Bergman & Schäfer, Optik Gerthsen, Physik, Springer Demtröder, Laserspektroskopie, Springer-Verlag Lauterborn, Kurz, Wiesenfeldt, Kohärente Optik, Springer Verlag E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, 1984 Amnon Yariv, Quantum Electronics, John Wiley & Sons, 1989