Veröffentlicht in RISIKO MANAGER 24/2012. S. 1 u Bank-Verlag GmbH, Köln

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1 !!!! Veröffentlicht in RISIKO MANAGER 24/2012 Neue Wege in der regulatorischen Messung des Marktrisikos: Expected Shortfall statt Value-at-Risk S. 1 u Bank-Verlag GmbH, Köln Quantil GmbH tallau@quantil-consulting.de Internet:

2 G Neue Wege in der regulatorischen Messung des Marktrisikos Expected Shortfall statt Value-at-Risk Inhalt 1, 6 Expected Shortfall statt Value-at-Risk 3 Standpunkt, Kurz & Bündig 12 Kommunen mit gleicher Risikostruktur könnten gemeinsame Anleihen begeben 16 Buchbesprechung 17 FIRM News 24 Staatsanleihen waren niemals völlig risikolos 26 Die Liquiditätsanforderungen und deren Auswirkungen 33 Komplexe Risiken für die Finanzsystemstabilität 36 Personalien 37 Impressum 38 Produkte & Unternehmen Das jüngste Konsultationspapier des Baseler Ausschusses bringt neben etlichen weiteren Neuerungen einen Paradigmenwechsel in der Risikoquantifizierung mit sich: Anstelle des bisher in der regulatorischen Risikomessung ausschließlich verwendeten Value-at-Risk sollen in Zukunft Marktrisiken über den Expected Shortfall quantifiziert werden. Der vorliegende Beitrag beleuchtet beide Konzepte und nimmt eine vergleichende Bewertung vor. Anfang Mai dieses Jahres hat der Baseler Ausschuss für Bankenaufsicht sein Konsultationspapier zur umfassenden Überarbeitung der Handelsbuchregelungen ( Fundamental review of the trading book ) veröffentlicht [Vgl. Basel Committee on Banking Supervision 2012]. Der dort geäußerte Anspruch des Ausschusses ist nicht geringer als eine vollständige Überarbeitung der Regelungen zum Handelsbuch vorzunehmen, um den bisherigen Schwächen des Designs im Allgemeinen sowie der Risikomessung im Speziellen zu begegnen. Insofern ergänzt das Papier die als erste Reaktion auf die globale Finanzkrise im Rahmen von Basel 2.5 bzw. der Eigenkapitalrichtlinie CRD III eingeführten Veränderungen zum Handelsbuch [Vgl. Basel Committee on Banking Supervision 2011]. Einen umfassenden Überblick zu den Neuerungen geben beispielsweise Keese Fortsetzung auf Seite 6 Anzeige Das Lift360 3-Länder-Eck Jetzt neu: 6,7 Mio. Unternehmen aus Deutschland, Österreich und der Schweiz abrufen Unternehmensberichte auch in englischer Sprache nutzen Weitere Informationen unter und Jetzt kostenlos testen unter Integrierte Bonitätsprüfung

3 6 Ausgabe 24/2012 Fortsetzung von Seite 1 t Formel 01 t Formel 02 und Quell [Vgl. Keese/Quell 2012] oder Tallau [Vgl. Tallau 2012]. Wesentliche Anpassungen beziehen sich auf eine neu definierte Abgrenzung des Handels- gegenüber dem Anlagebuch, die Berücksichtigung der Liquidität von Handelspositionen zur Berechnung der Kapitalunterlegung, neue Regeln zur Aggregation von Risiken über verschiedene Risikoklassen sowie wesentliche Änderungen der Standardmethoden wie auch der internen Marktrisikomodelle (so soll etwa die aufsichtsrechtliche Zulassung und Prüfung interner Modelle zukünftig auf der Basis einzelner Handelstische erfolgen). Darüber hinaus schlägt der Ausschuss völlig neue Wege in der Risikomessung ein: So ist vorgesehen, den bisher als Industriestandard Verwendung findenden Value-at-Risk durch den Expected Shortfall zu ersetzen. Begründet wird diese Änderung vorrangig mit der Tatsache, dass der Value-at-Risk nicht adäquat in der Lage ist, das Tail-Risiko abzubilden: Das Ausmaß extremer Verluste, die über dem betrachteten Konfidenzniveau liegen, findet keine Berücksichtigung in der Kennzahl. Der Ausschuss folgt damit der in der Literatur seit Jahren vertretenen Ansicht, dass der Expected Shortfall dem Value-at-Risk als Risikomaß methodisch überlegen ist. Ferner soll die Kalibrierung des Expected-Shortfall-Modells generell anhand von Daten einer Stressperiode erfolgen. Damit würde die mit Basel 2.5 gewählte Vorgehensweise ersetzt, den auf der Basis der vergangenen gewöhnlichen Marktphase bestimmten Value-at-Risk additiv mit einem zusätzlich zu berechnenden Stress-Value-at-Risk zu ergänzen. Die neue Risikomessung und Kalibrierung ist sowohl für interne Marktrisikomodelle wie auch für die Standardmethoden anzuwenden. Value-at-Risk: Definition und Anwendung Der Value-at-Risk lässt sich verbal beschreiben als maximaler Verlust einer Position oder eines Portfolios, der mit einer vorgegeben Wahrscheinlichkeit innerhalb einer definierten Halteperiode nicht übertroffen wird [vgl. beispielsweise Jorion 1997 zum Konzept des Value-at-Risk]. Bezeichne L den Verlust einer Position bzw. Value-at-Risk als Quantil der Verlustverteilung eines Portfolios, so ist der Value-at-Risk VaR zum Konfidenzniveau (1 - ) über die betrachtete Haltedauer formal definiert durch t Formel 01 Damit entspricht der Value-at-Risk dem (1 - )-Quantil der Verlustverteilung. Bezeichne F die Verteilungsfunktion von L, so gilt für den Value-at-Risk t Formel 02. Der Zusammenhang zwischen Quantil der Verteilung und Value-at-Risk ist anhand der Dichtefunktion in t Abb 01 dargestellt. Es wird deutlich, dass der Value-at-Risk als Quantilsmaß lediglich einen Punkt der Verlustverteilung betrachtet, nämlich jenen, für den die Verluste mit Wahrscheinlichkeit (1 - ) nicht größer ausfallen. Alle potenziellen Verluste, die jenseits des Konfidenzniveaus liegen, finden in der Kennzahl keine Beachtung. Bei der Interpretation ist somit (neben der Tatsache, dass Verluste größer als der Value-at-Risk immer noch mit einer Wahrscheinlichkeit von auftreten können) zu berücksichtigen, dass der Value-at-Risk keine Aussage über das Ausmaß dieser Verluste trifft. Problematisch wird diese Eigenschaft des Value-at-Risk insbesondere für solche Fälle, bei denen Marktwertverteilungen so genannte Fat Tails besitzen. Damit sind Risikosituationen möglich, die sich mittels Value-at-Risk nicht adäquat beschreiben lassen. t Abb 02 illustriert mehrere exemplarische Verlustverteilungen bzw. -dichten. Gegenüber der Normalverteilung A stellt sich die t Abb. 01 ebenfalls symmetrische Verteilung B bei identischer Standardabweichung als leptokurtisch mit ausgeprägteren Rändern dar. Der rechte Rand der asymmetrischen Verteilung C schließlich ist nochmals deutlich stärker ausgeprägt. Obwohl sich für alle drei Verteilungen ein identischer Value-at-Risk ergibt, unterscheiden sich deren Tail-Risiken deutlich. Die Wahrscheinlichkeit für Verluste jenseits des gemessenen Value-at-Risk ist zwar in allen Fällen gleich (nämlich ), jedoch ist für die Verteilung B bzw. besonders für Verteilung C das Ausmaß der möglichen Verluste jenseits des Konfidenzniveaus erheblich größer. Damit besteht besonders in Stressphasen die Gefahr, dass sich eine aufsichtsrechtliche Kapitalunterlegung auf der Basis des Value-at-Risk als nicht ausreichend erweist zumal, wenn das Modell mit Daten normaler Marktphasen kalibriert wurde. Zudem kann ein regulatorischer Anreiz entstehen, entsprechende Tail-Risiken einzugehen, wenn diese (wie oben gezeigt) nicht zusätzlich mit Kapital zu hinterlegen sind. Nach den derzeit gültigen Bestimmungen basiert die Kapitalunterlegung für Marktrisiken im Handelsbuch auf dem Value-at-Risk für ein Konfidenzniveau von 99 Prozent und einer Haltedauer von zehn Tagen. Seit den Änderungen nach Basel 2.5 ist der auf der Basis der vergangenen Periode berechnete gewöhnliche Value-at-Risk additiv durch einen gestressten Value-at-

4 7 Risk zu ergänzen, der auf der Basis einer Periode mit signifikantem Stress zu berechnen ist. Damit wurde auf die Tatsache reagiert, dass sich das regulatorische Risikokapital im Zuge der Finanzkrise für viele Positionen als nicht ausreichend erwiesen hat. Die Stress-Regelung ist im Licht einer aus Sicht des Baseler Ausschusses schnell notwendigen ersten Reaktion auf die Finanzkrise zu sehen, methodisch ist die Vorgehensweise nicht konsistent und kann durch die vorgenommenen Additionen zu Doppelerfassungen von Risiken führen. Value-at-Risk für Verteilungen mit unterschiedlichem Tail-Risiko t Abb. 02 Expected Shortfall: Definition und Anwendung Das vom Baseler Ausschuss im aktuellen Konsultationspapier diskutierte Risikomaß des Expected Shortfall wurde bereits von Artzner, Delbaen, Eber und Heath [vgl. Artzner at al. 1997] vorgeschlagen. Verbal lässt sich der Expected Shortfall umschreiben als der bedingte erwartete Verlust für den Fall, dass der Value-at-Risk überschritten wird. Für den Expected Shortfall ES (L) der Verlustverteilung L zum Konfidenzniveau (1 - ) gilt t Formel 03, mit der (stetigen) Verlustverteilungsfunktion F erhält man t Formel 04. Der Expected Shortfall gibt den wahrscheinlichkeitsgewichteten Durchschnitt aller Verluste an, die den Value-at-Risk übertreffen, wobei allen Quantilen gleiches Gewicht eingeräumt wird. Demgegenüber ordnet der Value-at-Risk nur dem (1 - )-Quantil ein Gewicht in Höhe von 100 Prozent zu. Während der Valueat-Risk also lediglich auf den Verlust abstellt, der mit einer Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird, gibt der Expected Shortfall den erwarteten Verlust für jene Fälle einer Überschreitung an. Aufgrund seiner Definition als bedingt erwarteter Verlust wird der Expected Shortfall mitunter auch als Conditional Value-at-Risk bezeichnet. Es sei angemerkt, dass sich der Expected Shortfall im Fall nicht stetiger Verlustverteilungsfunktionen auch über den so genannten Tail Mean definieren lässt und dann allgemein den erwarteten Verlust innerhalb der 100 Prozent schlechtesten Fälle angibt [vgl. Acerbi/Tasche 2002 zur Definition des Tail Mean]. Demgegenü ber misst der Value-at-Risk den kleinsten Verlust innerhalb der 100 Prozent schlechtesten Szenarien. t Formel 03 t Formel 04

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6 9 Der Ausschuss schlägt zudem vor, die Modellkalibrierung generell anhand von Daten einer Stressperiode vorzunehmen und damit die mit Basel 2.5 gewählte Vorgehensweise zu ersetzen, den auf Basis der vergangenen gewöhnlichen Marktphase berechneten Value-at-Risk additiv mit einem zusätzlich zu berechnenden Stress-Value-at-Risk zu ergänzen. Diese Änderung ist aus methodischer Sicht zu befürworten, da die durch einfache Addition möglichen Doppelerfassungen von Risiken vermieden werden. Die Vorgehensweise würde zudem unabhängig vom verwendeten Risikomaß zu deutlich stabileren Kapitalanforderungen führen, da die Kalibrierung nicht an sich kontinuierlich ändernde Daten angepasst würde. Damit wäre dem bisher bestehenden Problem der Prozyklizität der Risikokapitalunterlegung Rechnung getragen. Zu beachten sind schließlich Auswirkungen auf die Banksteuerung, da die Risikokapitalunterlegung vom aktuellen tatsächlichen (wahrgenommenen) Risiko entkoppelt und stets auf ein Worst-Case-Szenario abstellen würde. Fiktives Beispiel Die theoretischen Vorzüge des Expected Shortfall gegenüber dem Value-at-Risk sollen im Folgenden anhand eines fiktiven Beispiels demonstriert werden. Betrachtet wird dazu ein Portfolio eines Händlers aus Short-Positionen in (Out-of-the-money-)Put-Optionen auf eine Aktie (siehe t Abb 04). Die Aktie notiert bei einem aktuellen Kurs von 100 Euro. Der Händler halte jeweils Short-Positionen in Put- Optionen mit Basispreisen im Bereich von 75 bis 95 Euro in Basispreisabständen von einem Euro. Das Portfolio besteht somit aus insgesamt Short-Put-Optionen. Alle Optionen sind in zehn Handelstagen fällig. Mit diesen Angaben sollen der Value-at- Risk sowie der Expected Shortfall zu einem Konfidenzniveau von 95 Prozent und einer Haltedauer von zehn Handelstagen berechnet werden. Dazu wird unterstellt, dass der Aktienkurs für den Zeitpunkt in zehn Handelstagen einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert von 100 Euro (aktueller Kurs) und Standardabweichung von acht Euro (dies entspricht einer annualisierten Standardabweichung von 40 Prozent) folgt. Mit der unterstellten Verteilung erhält man für den Value-at-Risk des Optionsportfolios einen Wert von Euro, das heißt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 Prozent wird ein Verlust in dieser Höhe nicht überschritten (siehe t Abb 05). Der Expected Shortfall als erwarteter Verlust in den fünf Prozent der schlechtesten Fälle beträgt für das Optionsportfolio Euro und ist damit erheblich größer als der Value-at-Risk. Beispiel-Optionsportfolio Jeweils Short-Positionen in 21 Put-Optionen der Serie: Basispreise 75 bis 95 Euro Basispreisabstand 1 Euro Restlaufzeit: Zehn Handelstage Basiswert: Aktie mit Kurs 100 Euro Standardabweichung (zehn Handelstage): 8 Euro Value-at-Risk und Expected Shortfall für ein Options- und Aktienportfolio Optionsportfolio ( Short-Put-Optionen) Aktienportfolio (2.844 Aktien) Value-at-Risk ( = 5%) Das Risiko des Optionsportfolios soll nun mit einem Portfolio aus den der Option zugrunde liegenden Aktien verglichen werden. Das Aktienportfolio wird dabei so konstruiert, dass es einen mit dem Optionsportfolio identischen Value-at-Risk aufweist. Dazu sind gemäß t Formel 07 insgesamt Aktien erforderlich. Berechnet man für dieses Aktienportfolio den Expected Shortfall, erhält man gemäß t Formel 08 einen Wert von Euro [zum Erwartungswert einer trunkierten Normalverteilung vgl. beispielsweise Abramowitz/Stegun 1964]. Verglichen mit dem Expected Shortfall für das Optionsportfolio ist dieser für das Aktienportfolio (trotz des identischen Value-at-Risk) deutlich geringer. Die Situation ist in t Abb. 04 t Abb. 05 Expected Shortfall ( = 5%) Euro Euro Euro Euro t Formel 07 t Formel 08

7 10 Ausgabe 24/2012 Value-at-Risk und Expected Shortfall für das Optionsund Aktienportfolio (in TEUR) t Abb 06 illustriert, in der die Dichtefunktionen der Verluste für das Optionsund das Aktienportfolio dargestellt sind. Für beide Verteilungen beträgt der Verlust, der in 95 Prozent der Fälle nicht überschritten wird, Euro. Dennoch ist das Risikoprofil der Extremrisiken (nämlich in jenen fünf Prozent der Fälle, in denen der Value-at-Risk überschritten wird) für die beiden Portfolios deutlich verschieden: Das Potenzial hoher Verlust ist für das Optionsportfolio erheblich größer, während sich die Verluste für das Aktienportfolio in einem geringeren Bereich konzentrieren. Der Value-at-Risk ist als Quantilsmaß hier nicht in der Lage, die unterschiedlichen Tail-Risiken adäquat abzubilden. Der Expected Shortfall (als mittlerer Verlust in den fünf Prozent der schlechtesten Fälle) erfasst dagegen auch Extremrisiken jenseits des Konfidenzniveaus. An dem Beispiel lässt sich noch eine weitere Schwäche des Value-at-Risk demonstrieren: durch gezielte Portfoliokonstruktion lässt sich der Value-at-Risk manipulieren und bis auf Null reduzieren. Dazu ist das Portfolio so zu wählen, dass die Wahrscheinlichkeit für Verluste unter der Toleranzwahrscheinlichkeit des Valueat-Risk liegt. Für die Daten des Beispiels beträgt der Aktienkurs, der mit einer Wahrscheinlichkeit von fünf Prozent nicht unterschritten wird, 86,84 Euro (N-1 x (0,05) t Abb. 06 x 8 Euro Euro). Konstruiert ein Händler ein Optionsportfolio aus Short- Put-Optionen mit Basispreisen unter 86,84 Euro, so beträgt der Value-at-Risk Null, da Verluste nun mit einer Wahrscheinlichkeit unter der Irrtumswahrscheinlichkeit eintreten. Demgegenüber zeigt der Expected Shortfall immer noch einen mittleren Verlust von größer als Null an. Für das obige Beispiel des Optionsportfolios mit einer Beschränkung der Basispreise auf 75 bis 86 Euro ergibt sich ein Expected Shortfall von Euro. Diese Manipulationsmöglichkeit führt zu einem weiteren Problem des Value-at- Risk, das letztlich auf die fehlende Subadditivität zurückzuführen ist. Wird der Value-at-Risk zu internen Steuerungszwecken eingesetzt, indem einzelnen Händlern oder Handelstischen Risikolimite in Form von maximalen Value-at-Risk- Werten vorgegeben werden, so ist nicht gewährleistet, dass dadurch das Gesamtrisiko unter Kontrolle bleibt. Als einfaches Beispiel werde ein spiegelbildliches Portfolio eines zweiten Händlers betrachtet, der Short-Positionen in Call-Optionen mit Basispreisen von 114 bis 125 Euro auf den gleichen Basiswert hält. Auch dieses Portfolio hat isoliert gesehen einen Valueat-Risk von Null (Aktienkurse größer als 114 Euro treten mit einer Wahrscheinlichkeit von unter fünf Prozent auf). Beide Händler haben also ihr Value-at-Risk- Limit vorbildlich eingehalten, indem ihr Portfolio jeweils einen Value-at-Risk von Null und damit scheinbar kein Risiko aufweist. Bei der Betrachtung des Gesamtportfolios wird jedoch klar, dass die Kombination der Positionen beider Händler einen von Null verschiedenen Value-at-Risk hat (die Verlustwahrscheinlichkeit ist nun größer als fünf Prozent). Der Value-at-Risk ist somit nicht subadditiv, das heißt die Summe der Value-at-Risk-Werte für die einzelnen Portfolios ist geringer als der Value-at-Risk des Gesamtportfolios. Damit sind Situationen möglich, bei denen die Risikokapitalallokation auf der Basis des Value-at-Risk zwar auf der Ebene einzelner Portfolios ausreichend erscheint, jedoch auf Gesamtbankebene zu einer nicht hinreichenden Kapitalausstattung führt. Demgegenüber erfüllt der Expected Shortfall die Eigenschaft der Subadditivität: Er beträgt für die beiden im Beispiel betrachten Händler jeweils Euro, auf Gesamtportfolioebene hingegen Euro und damit weniger als die Summe der beiden Einzelwerte. q Fazit Mit den vorgelegten Änderungsvorschlägen zur Behandlung von Marktrisiken im Handelsbuch ist (neben anderen weitreichenden Anpassungen) ein Wechsel des Risikomaßes vom Value-at-Risk zum Expected Shortfall vorgesehen. Grundsätzlich ist der Expected Shortfall gegenüber dem Value-at-Risk besser zur Abbildung von Tail-Risiken geeignet. Während der Value-at-Risk nur einen Punkt der Verlustverteilungsfunktion betrachtet und den kleinsten Verlust innerhalb der 100 % schlechtesten Szenarien angibt, stellt der Expected Shortfall auf Verluste jenseits des Konfidenzniveaus ab und gibt den erwarteten Verlust innerhalb der 100 % schlechtesten Fälle an. Zudem erfüllt der Expected Shortfall die Eigenschaft der Subadditivität und ist damit aus theoretischer Sicht als dem Value-at-Risk überlegenes Risikomaß anzusehen. Der besseren Abbildung von Extremrisiken stehen Probleme bei der Modellkalibrierung und dem Backtesting gegenüber, da eine Modellierung extremer Verluste jenseits des Konfidenzniveaus erforderlich ist. Im Konsultationspapier wird daher diskutiert, ein Konfidenzniveau von unter 99 Prozent

8 11 zu wählen, um den genannten Problemen der Modellkalibrierung und -überprüfung zu begegnen. Wie sich die neue Risikomessung in der Praxis auf die Kapitalunterlegung auswirken wird, ist zum aktuellen Stand noch nicht abzusehen. Die Kapitalanforderungen sollen erst im Rahmen der noch anstehenden quantitativen Auswirkungsstudien kalibriert werden; zudem ist die angedeutete Anpassung des Konfidenzniveaus abzuwarten. Kommentare der Marktteilnehmer zum vorliegenden Konsultationspapier konnten bis zum 7. September 2012 eingereicht werden. Nach anschließender Überarbeitung durch den Ausschuss sollen detaillierte Vorschläge veröffentlicht und einer Auswirkungsstudie unterzogen werden, wobei für die weiteren Schritte nach der Konsultationsphase noch kein konkreter Zeitplan genannt ist. Quellenverzeichnis: Abramowitz, M./Stegun, I. [1964]: Handbook of Mathematical Functions, New York Acerbi, C./Tasche, D. [2002]: On the coherence of Expected Shortfall, in: Journal of Banking & Finance 7/2002, S Albrecht, P./Maurer, R. [2008]: Investment- und Risikomanagement, 3. Aufl., Stuttgart Artzner, P./Delbaen, F./Eber, J. M./Heath, D. [1997]: Thinking Coherently, in: Risk 11/1997, S Artzner, P./Delbaen, F./Eber J. M./Heath, D. [1999]: Coherent Measures of Risk, in: Mathematical Finance 3/1999, S Basel Committee on Banking Supervision [2011]: Revisions to the Basel II market risk framework, updated as of 31 December 2010, Basel Basel Committee on Banking Supervision [2012]: Fundamental review of the trading book Consultative document, Basel Jorion, P. [1997]: Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk, Chicago u. a Keese, A./Quell, P. [2012]: Auf dem Weg zu neuen Eigenkapitalregeln für das Handelsbuch, in: RISIKO MANAGER 17 18/2012, S Tallau, C. [2012]: Regulatorische Änderungen zum Handelsbuch: Anforderungen an interne Markt risiko modellierung steigen, in: Zeitschrift für das gesamte Kreditwesen 17/2012, S Yamai, Y./Yoshiba, T. [2002]: Comparative Analyses of Expected Shortfall and Value-at-Risk: Their Estimation Error, Decomposition, and Optimization, in: Monetary and Economic Studies 01/2002, S Autoren: Prof. Dr. Rainer Baule, Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Bank- und Finanzwirtschaft, Fern- Universität Hagen. Prof. Dr. Christian Tallau, Professor für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Finanzwirtschaft, Fachhochschule Münster. Anzeige OPTIMAL VERBUNDEN: IHRE PROZESSE, UNSER KNOW-HOW D&B Connect für SAP die Prozessplattform für Ihr Risikomanagement Profitieren Sie von maßgeschneiderten Prozessen und Informationen zu mehr als 200 Mio. Unternehmen weltweit und das alles in Ihr SAP-System integriert. Mit D&B Connect für SAP können Sie: Ihre Geschäftspartner identifizieren, bewerten und überwachen Unternehmensverflechtungen erkennen Forderungsausfälle vermeiden gesetzeskonform Compliance Prüfungen vornehmen Ihre Prozesse automatisieren Jetzt mehr erfahren auf: