Raumakustik im Schuhkarton

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1 Raumakustik im Schuhkarton von Daniela Poppinga und Jan Christoph Bernack Modul: Fortgeschrittenenpraktikum 2010/2011 Betreuer: Prof. Dr. Steven van de Par Versuchstage: 26. November und 2. Dezember 2010 Abgabetermin: 17. Dezember 2010

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Theorie Schallwellen Stehende Wellen - Raummoden Dreidimensionale Raummoden Dämmung Versuch Aufbau Messung der Schallgeschwindigkeit Vermessung der Raummoden in x-richtung Frequenzverteilung Druckverteilung - mit und ohne Dämmung Charakterisierung des Dämmmaterials Messung dreidimensionaler Raummoden Zwischenwand Gegenstand im Raum

3 1 Einleitung In diesem Fortgeschrittenen Praktikums Versuch geht es um die Grundlagen der Raumakustik. Durch einen 0,63m x 0,42m x 0,27m großen Quader wird ein Raum simuliert. In diesem können durch einen festen Lautsprecher und ein verschiebbares Mikrofon die vorherrschenden Schalldrücke bei verschiedenen Frequenzen und Positionen ausgemessen werden. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf den sog. Raummoden, sich einstellende stehende Wellen innerhalb des Raumes, die in der Realität als sehr unangenehm wahrgenommen werden. Die Eigenschaften dieser Raummoden zu verstehen und zu vermessen bildet also die Grundlage für die Raumakustik und kann an diesem Modell gut demonstriert werden. 2 Theorie In diesem Kapitel werden zunächst die theoretischen Grundlagen erläutert, die im späteren Versuchsteil zur Auswertung herangezogen werden. 2.1 Schallwellen Als Schall werden allgemein Geräusche und Töne bezeichnet, die Menschen mit ihrem Gehör wahrnehmen können. Physikalisch ist Schall eine Welle kleiner Druckschwankungen, die sich in einem Medium ausbreitet. In Luft sind diese Wellen grundsätzlich Longitudinalwellen. In Festkörpern existieren auch Transversalwellen, diese werden im Rahmen dieses Versuches aber nicht weiter behandelt. Die Geschwindigkeit mit der sich diese Wellen ausbreiten hängt vom Medium und der Temperatur ab. In Luft beträgt diese 343 m/s bei einer Temperatur von 20 C. Eine genauere Bestimmung der Schallgeschwindigkeit wurde während des Versuches durchgeführt (siehe Kapitel 3.2). Auch für Schallwellen gilt der Zusammenhang zwischen der Wellenlänge λ, der Frequenz f und der Ausbreitungsgeschwindigkeit c: 2.2 Stehende Wellen - Raummoden c = λf (1) Eine stehende Welle entsteht, wenn eine Welle an einer harten Wand reflektiert wird und die reflektierte Welle dann mit der eintreffenden interferiert. Die Wand muss hart sein, weil die reflektierte Welle um π phasenverschoben sein muss. Bei wiederholter Reflektion einer Welle zwischen zwei harten Wänden interferieren alle reflektierten Wellen miteinander. Dies führt in der Regel zu destruktiver Interferenz und verhindert somit stehende Wellen. Stehen der Abstand zwischen den Wänden und die Wellenlänge der Welle allerdings in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander, d.h. wenn die Wellenlänge einem Vielfachen der Raumlänge entspricht, kommt es zu konstruktiver Interferenz zwischen allen reflektierten Anteilen der Welle und es entsteht wieder eine stehende Welle. 3

4 Bei stehenden Wellen zwischen zwei Wänden geht im Idealfall keine Energie verloren. Wird eine Welle konstant durch Energiezufuhr angeregt, bei Schallwellen also z.b. durch einen Lautsprecher, wird die Welle im Raum also immer weiter an Intensität gewinnen. Eben eine solche Welle die in einem bestimmten Raum eine stehende Welle erzeugt bezeichnet man als Raummode. Die Frequenz dieser Welle stellt eine Eigenfrequenz des Raums dar und ergibt sich in Abhängigkeit von der Schallgeschwindigkeit und den Abmessungen des Raumes nach Gleichung 2. c f n = n (2) 2L x,y,z Im Falle der Raumakustik herrscht an den Wänden jeweils ein Druckmaximum, sodass die Welle am Rand ein Maximum bzw. Minimum einnehmen muss. Die bildliche Vorstellung einer Raummode entspricht also nicht der einer eingespannten Saite, die jeweils am Rand einen Knoten aufweist. In beiden Fällen ergeben sich jedoch stehende Wellen. 2.3 Dreidimensionale Raummoden Durch Anregung verschiedener Raumrichungen können dreidimensionale Raummoden erzeugt werden. Die Bedingung an die Wellenlänge ändert sich dadurch insofern, dass sie nicht mehr dem Vielfachen einer der Raumlängen entsprechen muss, sondern auch dem Vielfachen eines beliebigen, in sich geschlossenen, Weges durch den Raum entsprechen kann. Dann entstehen stehende Wellen entlang dieses Weges. Die eindimensionale Gleichung 2 lässt sich damit für den dreidimensionalen Fall wie folgt formulieren 1 : π ( ) n 2 x + L x ( ny L y ) 2 ( 2 nz + = L z) ω c Damit lässt sich auch die Druckverteilung im Raum angeben: p(x,t) = p 0 cos(k x x)cos(k y y)cos(k z z)e iωt (4) mit k x,y,z = nx,y,zπ L x,y,z und k = ω c. Geht man von einer Schallgeschwindigkeit von c = 355m/s aus ergeben sich dreidimensionale Raummoden gem. Tabelle 1. (3) 1 Versuchsanleitung: Room acoustics in ashoebox, StevenvandePar, , UniversitätOldenburg 4

5 n x n y n z f / Hz Tabelle 1: Dreidimensionale Raummoden mit c = 355m/s. 2.4 Dämmung An einer unendlich harten Wand wird die komplette Welle reflektiert, wird nun ein sog. Dämmmaterial vor die Wand angebracht, verringert sich der reflektierende Anteil der Welle. Dämmmaterialen werden durch den Reflektionskoeefzienten R charaktiersiert, der den reflektierenden Anteil der Welle angibt. Der Koeffizient ist zudem frequenzabhängig. Für eine Schallwelle, die an einer Wand mit R < 1 reflektiert wird, gilt 2 : S R (x,t) = R2 e 2ikL R 2 e 2ikL 1 (eikx +Re ikx )e iωt (5) Aus dem Term e ikx + Re ikx ergibt sich bei einem Maximum 1 + R und bei einem Minimum 1 R, sodass sich R wie folgt berechnen lässt: 1+R 1 R = U Maximum U Minimum = X R = X 1 X +1 (6) 3 Versuch In diesem Kapitel werden alle durchgeführten Messreihen dargestellt und diskutiert. 3.1 Aufbau Der Versuchsaufbau besteht aus einem quaderförmigen Raum der Maße 62cm x 42cm x 27cm. In einer Wand ist mittig ein Lautsprecher angebracht, auf der gegenüberliegenden Seite befindet sich mittig ein kleines Loch in der Wand, sodass ein Mikrofon entlängst der Raumachse verschoben werden kann (s. Abb. 1). 2 Versuchsanleitung: Room acoustics in ashoebox, StevenvandePar, , UniversitätOldenburg 5

6 Abbildung 1: Skizzierter Aufbau der Messung. Der Lautsprecher (grün) wird über einen Funktionsgenerator angesteuert. Das Mikrofon (lila) kann entlang der Achse verschoben werden und ist über einen Verstärker mit dem Oszilloskop verbunden. Der Lautsprecher ist mit einem Funktionsgenrator verbunden, an dem ein Sinussignal einer bestimmten Frequenz generiert werden kann. Das Mikrofon ist über einen Verstärker an das Oszilloskop angeschlossen, mit dem Oszilloskop wird wiederum der jeweilige Schalldruck p gemessen. 3.2 Messung der Schallgeschwindigkeit Die Raummodenfrequenz ist nach Gl. 1 von der Schallgeschwindigkeit abhängig. Es wird zunächst eine Schallgeschwindigkeit von c = 340m/s angenommen und mit dieser die entsprechende erste und zweite Raummode in x-richtung berechnet: f 1x = c λ = c = 340m/s = 270Hz 2L x 2 0,63m (7) f 2x = c λ = 2c = 340m/s = 540Hz 2L x 2 0,63m (8) Die erste Raummode ergibt laut Theorie ein Druckminimum in der Mitte der x-achse, die zweite Raummode ein Druckmaximum. Für beide Frequenzen wird mit dem Mikrofon die Mitte der x-achse, also die x-position x = 31, 5cm vermessen. Am Frequenzgenerator wird die Frequenz einmal solange verändert, bis die gemessene Spannung minimal wird (erste Raummode) und einmal solange bis sie maximal wird (zweite Raummode). Bei der Minimierung ergibt sich eine Frequenz von f Minimierung = 269Hz der ersten Raummode, bei der Maximierung eine Frequenz von f Maximierung = 565Hz der zweiten Raummode. Nach Gl. 2 ergeben sich somit Schallgeschwindidkeiten von c Minimierung = 339m/s und c Maximierung = 355m/s. Der große Unterschied zwischen den Messergebnissen ergibt sich durch die Messungenauigkeiten bei kleinen Spannungen am Oszilloskop. Bei der Vermessung des Minimums treten Spannungen auf, die im Oszilloskop 6

7 nicht mehr korrekt darstellbar sind. Das Minimum ist somit nicht exakt feststellbar. Die Vermessung des Maximums ist dahingehend genauer, sodass als Schallgeschwindigkeit c Maximierung = 355m/s für die weiteren Versuche angenommen wird. 3.3 Vermessung der Raummoden in x-richtung Mit der festgelegten Schallgeschwindigkeit von c = 355m/s ergeben sich Raummoden gem. Tabelle 2. Bei jeder Raummodenfrequenz wird die x-achse vermessen und die jeweiligen Minima notiert (s. Tab. 2). Raummode in x-richtung Frequenz / Hz Position Minimum / cm 1 282,5 30, , , Tabelle 2: Gemessene Druckminima bei verschiedenen Raummoden. Es zeigt sich, dass jeweils die ungeraden Raummoden ein Druckminimum in der Mitte des Raums aufweisen Frequenzverteilung In diesem Abschnitt wurde der jeweilige Druck in der Mitte der x-achse (x = 31,5cm) bei verändererter Frequenz vermessen. Es ergibt sich eine Verteilung gem. Abb Spannung Spannung [mv] Freuqenz [Hz] Abbildung 2: Gemessener Druck in der Raummitte bei x 31,5cm über die Frequenz aufgetragen. 7

8 Es ergeben sich klare Druckmaxima bei f max1 = 563Hz, f max2 = 825Hz und f max3 = 876Hz. Das erste Druckmaximum bei f max1 entspricht der zweiten Raummode in x- Richtung. Die zwei weiteren gemessenen Druckmaxima entsprechen jedoch nicht weiteren Raummoden in x-richtung, da die dritte Raummode in x-richung bei f 3x = 847Hz ein Druckminium besitzt. Auch aus Tabelle 1 ist keine Raummode zu entnehmen, die den gemessenen Maxima entspricht. Entsprechend Gl. 5 ergibt sich ein Verlauf gem. Abb. 3. Eindeutig zu erkennen ist die Übereinstimmung bei der ersten Raummode. Die Theorie zeigt auch einen kleinen Peak bei 850Hz, aber die gemessenen Werte in dem Bereich müssen durch andere, dreidimensionale Moden, oder den Versuchsaufbau selbst bedingt sein. Leider wurde über diese Peaks hinaus nicht weitergemessen, sodass nicht verifiziert werden kann, ob der Peak bei der nächsten Mode in x-richtung bei f 4x = 1130Hz gefunden worden wäre. Abbildung 3: Gemessener Druck und Theoriewerte. 3.4 Druckverteilung - mit und ohne Dämmung Bei einer festen Frequenz wird die x-achse des Raums in 2cm Abständen vermessen, sodass sich eine Druckverteilung ergibt. Die Messung wurde bei f = 565Hz (erste Raummode in x-richtung) und f = 1130Hz (zweite Raummode in x-richtung) durchgeführt. Die Verteilung sollte Abb.4 entsprechen, wobei schwarz gestrichelt die erste Raummode darstellt und blau die zweite. 8

9 Abbildung 4: Theoretischer Verlauf der Druckverteilung. Schwarz gestrichelt: erste Raummode bei f = 565Hz, Druckminimum in der Mitte. Blau: zweite Raummode bei f = 1030Hz, Druckmaximum in der Mitte und an den Rändern, Druckminimum jeweils dazwischen. Quelle: ( ) Des Weiteren wurde die Druchverteilung für beide Frequenzen mit einer Dämmung durchgeführt. Dabei wurde 4cm starkes Dämmmaterial an die Wand des Lautsprechers und die gegenüberliegende Wand gelegt. Für Lautsprecher und Mikrofon sind jeweils Aussparungen im Material vorhanden gewesen. Die Druckverteilung für die zwei Frequenzen ist in Abb. 5 und 6 dargestellt. 50 f=565hz ohne D f=565hz mit D 40 Spannug [mv] x-position [cm] Abbildung 5: Druckverteilung bei f = 565Hz mit und ohne Dämmung. 9

10 16 f=1130hz ohne D f=1130hz mit D Spannug [mv] x-position [cm] Abbildung 6: Druckverteilung bei f = 1130Hz mit und ohne Dämmung. Es zeigt sich bei f = 565Hz eine klare Abschwächung bei Verwendung von Dämmaterial. Bei der Frequenz f = 1130Hz ergibt sich in der wandnahen Position ebenfalls eine klare Abschwächung. Vor dem Lautsprecher (große x Positionen) ergibt sich nur noch ein schwaches Druckmaximum bei der Messung ohne Dämmung. Die Messung mit Dämmung zeigt jeweils gleich hohe Druckmaxima. Aus dem Verhältnis von Druckmaximum und-minimum kann nach Gl. 6 der Dämmungkoeffizient R bestimmt werden. Ohne Dämmung sollte er theoretisch R = 1 annehmen. Für diesen Versuch und das verwendete Dämmmaterial ergeben sich folgende Koeffzienten gem. Tab. 3 R f=565hz R f=1130hz ohne Dämmung 0,95 0,88 mit Dämmung 0,76 0,79 Tabelle 3: Gemessene Dämmungskoeffizienten R für f = 565Hz und f = 1130Hz mit und ohne Dämmung. Die Koeffizienten dieser Messung zeigen, dass durch das Dämmmaterial eine Dämmung von ca. 20% bei einer Frequenz von f = 565Hz erreicht wurde und eine Dämmung von ca. 10% bei einer Frequenz von f = 1130Hz. Des Weiteren zeigt sich, dass auch ohne Dämmmaterial eine Absoption an der Wand stattfindet 3.5 Charakterisierung des Dämmmaterials In einer weiteren Messung wurden für weitere Frequenzen der Dämmungskoeffizient R bestimmt, um das Material in einem größeren Frequenzspaketrum zu untersuchen. Dabei 10

11 wurde jeweils das erste messbare Maximum und das erste Minimum gemessen. Die Werte können Tab. 4 entnommen werden. Frequenz f / Hz Koeffizient R 565 0, , , , , ,64 Tabelle 4: Gemessene Dämmungskoeffizienten R für verschiedene Frequenzen mit Dämmung. Für f = 565Hz ergibt sich ein vergleichbarer Koeffizient wie in Tab. 3. Der Wert für f = 1130Hz weicht jedoch stark von der ersten Messung ab. Dieses hängt von den gemessenen Minimal- und Maximalwerten ab. Bei der ersten Messung lagen Minimal- und Maximalwerte von Min 1 = 1,12mV und Max 1 = 9,76mV vor, bei der zweiten Werte von Min 2 = 4,4mV und Max 2 = 10,6mV. Durch die um ca. 3mV unterschiedlichen Minimawerte ergeben sich stark unterschiedliche Koeffizienten R. Die Messung des Koeffizienten ist also sehr empfindlich und jede Messung sollte mehrmals wiederholt werden. In diesem Fall wurde jeweils nur eine Messung durchgeführt, sodass ein Fehler nicht abgeschätzt werden kann, er sollte jedoch bedacht werden. Eine prinzipielle Fehlerquelle liegt eventuell auch in den insgesamt niedrigen Schaldrücken, die während des Versuchs eingestellt wurden. Höhere Schalldrücke hätten jedoch eine zu große Lärmbeeindrächtigung bedeutet. 3.6 Messung dreidimensionaler Raummoden In diesem Versuchsabschnitt wurde versucht, dreidimensionale Raummoden zu messen. Zunächst wurde eine Frequenz von f = 424Hz (s. Tabelle 1) eingestellt, um die erste Mode in y-richtung zu messen (n x = 0 n y = 1 n z = 0. Für diese Mode wird ein Druckminimum entlang der gesamten x-achse erwartet. Dieses konnte leider nicht mit der Messung bestätigt werden. Misst man entlang der x-achse bei dieser Frequenz, ergibt sich ein Druckverlauf mit mehreren Maxima und Minima (dieser wurde nur qualitativ vermessen). Aufgrund dessen wurden Berechnungen auf Grundlage der Finite Elemente Methode (FEM) mit dem Program COMSOL durchgeführt (s.abb. 7) 3. Wird bei der Berechnung der Lautsprecher nicht mit berücksichtigt, ergibt sich die theoretsich erwartete Druckverteilung (s. Abb. 7a). Wird allerdings der Lautsprecher ebenfalls modelliert, ergibt sich eine Druckverteilung gem. 7b. Diese Berechnung erklärt auch die Messung verschiedener Druckminima- und maxima entlang der x-achse. Wie zu erkennen ist, hat die theoretische erste Raummode in y-richtung ein Minimum in Höhe des Lautsprechers. Betrachtet man die Raummode mit n x = 1 und n y = 2 (n z = 0) (s. 3 an dieser Stelle vielen Dank an Dr. Roland Kruse, der die FEM Berechnungen durchgeführt hat 11

12 (a) ohne Lautsprecher (b) mit Lautsprecher Abbildung 7: FEM Berechnung (COMSOL) des Quaders bei f = 408Hz mit und ohne Lautsprecher. Abb. 8a) mit f = 893Hz (s. Tab 1) ergibt sich eine Mode die in Höhe des Lautsprechers ein Druckmaxmimum aufweist. Wird diese Mode mit Lautsprecher modelliert, zeigt sich eine ähnliche Druckverteilung (Abb. 8b). Die Erklärung der unterschiedlichen Druckverteilungen liefert die zusätzliche Modellierung des Lautsprechers, wodurch die Schallschnelle an der Wand des Lautsprechers maximal ist (an der gegenüberliegenden Wand ist die Schallschnelle jedoch auch weiterhin minimal). Da des Weiteren auch der Schalldruck an der Stelle des Lautsprechers maximal ist, lässt sich erklären, warum die Raummode mit n x = 1 und n y = 2 messbar ist, da diese ein Schalldruckmaximum in Höhe des Lautsprechers aufweist. (a) ohne Lautsprecher (b) mit Lautsprecher Abbildung 8: FEM Berechnung (COMSOL) des Quaders bei f = 861Hz mit und ohne Lautsprecher. Das Minimum in der yz-ebene mittig der x-achse konnte auch in der Messung bestätigt werden. 12

13 3.7 Zwischenwand In diesem Versuchteils wird eine Zwischenwand in die Mitte des Schuhkartons eingefügt. Diese besteht aus dem selben Material wie die eigentlichen Außenwände. Nun wird die Amplitudenverteilung im verbleibenden halben Raum vermessen. Es ergeben sich auch in diesem Aufbau Raummoden (s. Abb. 9 und 10). 40 f=565 f=1130 Spannung [mv] Position [cm] Abbildung 9: Druckverteilung bei f = 565Hz und f = 1130Hz mit Zwischenwand. 70 f=1412 f= Spannung [mv] Position [cm] Abbildung 10: Druckverteilung bei f = 1412Hz und f = 2824Hz mit Zwischenwand. Man erkennt deutlich, dass die ersten drei Moden jeweils ein Druckmaximum am Rand 13

14 aufweisen. Bei der Frequenz f = 2824Hz (10. Mode) ist kein klarer Verlauf erkennbar. Vergleicht man die Messwerte mit den Messungen ohne Zwischenwand ergibt sich exemplarisch für f = 565Hz ein Verlauf gem Abb. 11. Spannung [mv] Position [cm] f=565, mit Wand f=565, ohne Wand Abbildung 11: Vergleich der Druckverteilungen mit und ohne Zwischenwand bei einer Frequenz von f = 565Hz. Der Druckverlauf ist bis auf die Amplitude identisch. Die geringeren Messwerte sind durch die Absorption in der Zwischenwand zu erklären, da diese einen gewissen Dämmungseffekt aufweist. 3.8 Gegenstand im Raum In diesem Abschnitt wurde untersucht, inwiefern die Druckverteilungen durch Gegenstände verändert werden. Dazu wurde zunächst eine niedrige Raummode eingestellt und mit dem Mikrofon das Minimum gemessen. Daraufhin wird ein Gegenstand in den Raum gelegt (s. Abb. 12). Das Minimum ist weiterhin an der gleichen Position messbar. Wiederholt man diese Messung mit einer hohen Frequenz beeinträchtigt der Gegenstand sofort die Messung und das Minimum ist nicht mehr messbar. 14

15 Abbildung 12: Als Gegenstand wurde eine Geldbörse in den Raum gestellt. Die Wände wurden nur für das Foto entfernt. Das bedeutet, bei hohen Frequenzen verändern schon kleine Gegenstönde die Druckverteilung im Raum. 15