Chaos Seminar Wetter und Klima. Dominik Fröschl

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1 Chaos Seminar Wetter und Klima Dominik Fröschl

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Vorbemerkungen Begriffsklärung Entstehung der modernen Disziplin Ziel der Chaosforschung Deterministisches Chaos Beispiele Die Logistische Funktion Das nichtlineare Drehpendel Attraktoren Das Lorentz-Modell Fraktale Mandelbrot-Menge Julia-Menge Fraktale Dimension Boxcounting-Methode Yardstick-Methode Motivation Fazit 13 2

3 1 Einleitung 1.1 Vorbemerkungen In den letzten Jahrzehnten hat der Begriff der Chaostheorie, sowohl im allgemeinen Sprachgebrauch, als auch in der Physik immer mehr an Bedeutung gewonnen. Welche Unterschiede hierbei jedoch bestehen ist Gegenstand dieses Vortrages, genauso wie die Untersuchung chaotischer Phänomene und deren Auswirkungen auf unsere Umwelt und die Vorhersage natürlicher Phänomene. 1.2 Begriffsklärung Das Wort Chaos, oder auch sein hebräisches Gegenstück Tohuwabohu, stehen im heutigen Sprachgebrauch gemeinhin für Unordnung. Diese Definition liegt aufgrund der etymologischen Herkunft des Wortes nahe. So verwendeten die alten Griechen ihr Wort χαoσ für den Urstoff. Also alles was sich im Universum befand, bevor die Ordnung, der Kosmos (κoσµoσ ), einkehrte. In der Physik hingegen ist Chaos heute ein terminus technicus. Hier bezeichnet er, ganz im Gegenteil zur landläufigen Meinung, nicht die Abwesenheit von Ordnung, sondern lediglich, dass ein System nicht erkennbar ist. Fasst man diese Folgerung also zusammen: Unter Chaos versteht man nicht die Abwesenheit von Ordnung, aber die Unvorhersehbarkeit eines Systems, aufgrund unzureichender Kenntnis über dessen Ausgangszustand! 1.3 Entstehung der modernen Disziplin Die Grundidee der Chaostheorie beruht bereits auf einer Aussage von Laplace, nach der das Universum in alle Ewigkeit voraussagbar wäre, würde man den gasamten Zusatnd aller Teilchen zu einem gegebenen Zeitpunkt kennen. Basierend darauf, sowie der Forschung der Mathematiker und Physiker des 19. Jahrhunderts, stellte König Oskar II von Schweden 1885 eine Preisfrage nach der Stabilität unseres Sonnensystems. Vergeben wurde dieser Preis allerdings erst 15 Jahre später an Henri Poincaré für seine Entwicklung, des nach ihm benannten, Poincaréschnittes. Weiterhin zeigte er bereits das schon in einfachen Systemen mit drei Körpern, bei minimalen Veränderungen der Anfangsbedingungen, völlig unterschiedliche Ergebnisse auftreten. Hierbei kann bemerkt werden dass der Physiker Ströntgen von 1900 bis Mitarbeiter beschäftigte, allein zum Zweck eine Vielzahl von Ergebnissen des Dreikörperproblems zu berechnen. Ein weiteres Teilgebiet der Chaostheorie stellt die Betrachtung von Fraktalen 3

4 dar. Diese folgte der Enwicklung der Iterationsmathematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts und inspirirte zum Beispiel Gaston Julia und Mitchell Feigenbaum zu ihren Entdeckungen. Nach den 20er Jahren wurde es jedoch ruhig um die Chaosforschung und es sollte bis 1961 dauern, da Edward Lorentz seine Forschungen der Turbulenzen und einfacher Wettermodelle aufnahm. Lorentz war es auch der erstmals den, so häufig ziterten, Butterfly-Effect publizierte. Also die Tatsache, dass schon der Flügelschlag eines Schmetterlings andernorts Stürme auslösen könne. Dies begründet den Anfang der modernen Chaosforschung. 1.4 Ziel der Chaosforschung Die Chaostheorie studiert das Verhalten von dynamischen Systemen, welche extrem sensitiv auf eine Veränderung ihrer Anfangswerte reagieren. Es geht hierbei also um Systeme, welche eigentlich durch ihre Anfangsbedingungen definiert wären, in denen allerdings kleinste Störungen exponentiell anwachsen, was sie langfristig nicht vorhersehbar macht (Deterministisches Chaos). Chaos tritt also nur in nichtlinearen Systemen auf. Wichtig ist wiederum die Tatsache, dass dies mitnichten vom Zufall abhängig ist. 4

5 2 Deterministisches Chaos Betrachten wir nun einige Beispiele für chaotisches Verhalten 2.1 Beispiele Die Logistische Funktion Diese wurde 1838 vom belgischen Mathematiker Pierre-François Verhulst veröffentlicht. Dieser beschäftigte sich im Rahmen seiner Betrachtung von Glückspiel mit der Auswertung von Statistiken und deren mathematischer Beschreibung. Die Logistische Gleichung N(t + 1) = c N(t) (1 N(t) K ) stellt somit eine generelle Beschreibung einer exponentiell wachsenden Population dar. Hierbei ist es unerheblich ob von Einzellern, Pflanzen, Tieren oder Menschen ausgegangen wird. K stellt in jedem Fall den begrenzenden Faktor dar, also beispielweise Nahrungsknappheit oder Platzmangel. Möchte man diese Formel nun rein mathematisch betrachten eignet sich eine simple Umformung um die Gleichung wie folgt darzustellen: f(x) = x c x c x 2 Man lässt diese Funktion nun für verschiedene c vom Computer iterieren und stellt hierbei Erstaunliches fest. In Bereichen von beispielsweise c = 2 pendelt sich die Funktion stets auf einen Fixpunkt ein. Überschreitet man allerdings die Grenze von c = 3.17, lässt sich kein stabiler Fixpunkt mehr ausmachen, die Funktion springt zwischen 2 Werten. Weitere Bifurkationen, oder Verzweigungen lassen sich bei c = 4 oder c = 8 finden. Es tritt also eindeutig chaotisches Verhalten auf. Zur besseren Veranschaulichung wertet man die erhaltenen Ergebnisse nun 5

6 graphisch aus. Man erhöht c schrittweise und trägt nach ablaufen der Einschwingvorgänge die erhaltenen Werte auf. Dies resultiert in einem Feigenbaum- Diagramm, benannt nach Mitchell Feigenbaum Das nichtlineare Drehpendel Betrachten wir nun ein bekanntes physikalische Beispiel - das nichtlineare Drehpendel. Dies wird bekannterweise durch folgende Differentialgleichung beschrieben: α = kα γ α + mgr sin α + A sin ωt Hierzu gehört ein Doppelmuldenpotential. Die einzelnen Summanden der Gleichung beschreiben der Reihenfolge nach die Rückstellkraft der Feder, den linearen Dämpfungsterm, den nichtlinearen Term der Gravitationskraft, sowie den Antrieb durch einen Frequenzgenerator. Startet man mit einer hohen Anregung schwingt das Pendel in einer der Potentialmulden annähernd harmonisch. Verringert man allerdings die Frequenz entsteht wiederum chaotisches Verhalten. Betrachtet man eine Auftragung der Umkehrpunkte gegen die Anregungungsfrequenz entsteht wiederum ein Feigenbaumdiagramm. 6

7 Die Ähnlichkeit zum bereits gesehenen Diagramm im Bezug auf die Logistische Funktion ist kein Zufall konnte von Feigenbaum selbst gezeigt werden, dass ein solches Diagramm für eine große Klasse von Systemen erstellt werden kann. Ferner entdeckte er in diesem Zusammenhang die, ebenfalls nach ihm benannte, Feigenbaum-Konstante (k = ), welche ein Verhältnis der Werte zwischen zwei Phasenverdopplungen beschreibt. Dies stellt bis heute ein wichtiges Kriterium zur Erkennung chaotischen Verhaltens in physikalischen Systemen dar. Betrachtet man an dieser Stelle noch kurz den Phasenraum des Drehpendels und schneidet diesen mit einer Ebene entlang der α und α Achsen, betrachtet also diese zu einer jeweiligen festen Anregungsphase, würde man eigentlich ein chaotisches Bild erwarten. Allerdings ergibt sich ein verblüffend regelmäßiges Muster. 2.2 Attraktoren Betrachtet man Attraktoren allgemein erschließen sich leicht einige Charakteristika. Zum Ersten stellt ein Attraktor eine Punktmenge dar, die stabil unter dem Fluß einer Differentialgleichung ist. Ausserdem wird jeder Attraktor bereits von einer einzelnen Lösungskurve erzeugt. Weiterhin gilt, dass sich Startpunkte eines definierten Gebietes beliebig weit annähern. Attraktoren wie sie hier betrachtet werden, treten nur in dissipativen Systemen auf. Der Physik ist natürlich auch der Begriff des hamiltonischen Chaos bekannt, da allerdings die Erde, deren Wetterbetrachtung ja das größere Ziel dieser Auftragsreihe ist, ein dissipatives System darstellt, lässt man dieses aussen vor. Möchte man nun Beispiele für Attraktoren sind diese nicht schwer zu finden. Einfachsterweise betrachte man einen Punktattraktor, weil er zum Beispiel von der Ruhelage eines ungetriebenen gedämpften Pendels erzeugt wird. Dieser ist 0-dimensional. Ein weiteres Beispiel ist die 2-dimensionale Oberfläche 7

8 eines Torus. Hier ist der Poincaré-Schnitt ein Kreis. Wichtig Für die Beschreibung des folgenden Lorentz-Modelles werden die sogenannten Strange Attractors sein. Diese unterscheiden sich von anderen Attraktoren, durch den, bereits im Zusammenhang mit den Zielen der Chaostheorie beschriebenen, Umstand dass Abstände benachbarter Punkte exponentiell auseinander wachsen. Dies führt uns zu einem kurzen Exkurs in die Mathematik. Exkurs: Theorem von Poincaré-Bendixson Nach diesem Theorem ist die Entstehung eines Strange Attractors nur möglich falls der Phasenraum eine Dimension größer als zwei bestitzt. Genauer besagt das Theorem: Sei F ein zwei-dimensionales dynamisches System, das durch (ẋ, ẏ) = (f(x, y), g(x, y)) gegeben ist. f und g stetig diff bar anch x und y. Sei S eine geschlossene beschränkte Untermenge des zweidimensionalen Phasenraums von F, die keinen stationären Punkt von F enthält, und sei C eine Bahnkurve von F, die S nie verlässt. Dann ist C entweder ein Zykel oder C konvergiert gegen einen Zykel. Wichtig ist nun für unsere Aussage, dass dies für Dimensionen größer als zwei versagt, (siehe auch Beweis für jordan schen Kurvensatz), weshalb der Fall eintritt welcher in unserem Kontext zu einer chaotischen Bewegung führt. 2.3 Das Lorentz-Modell Edward Lorentz entwickelte dieses Modell Er studierte, um die auf der Erde herrschenden Konvektionen besser zu verstehen, die Rayleigh-Bénard- Konvektion. Hierbei befindet sich eine Flüssigkeit zwischen zwei Platten unendlicher Ausdehnung, von denen Eine gekühlt, die Andere erhitzt wird. 8

9 Bis zu einer gewissen Temperatur findet die Übertragung von Wärme lediglich über Molekülstöße statt. Wird allerdings die kritische Temperatur überschritten, entstehen in der Flüssigkeit Konvektionsrollen. (Näheres hierzu siehe Vortrag Turbulenzen) Diese Konvektionen können durch komplexe Differentialgleichungen beschrieben werden. Durch Lösungsansätze lassen sich diese in Fourierreihen entwickeln. Lorentz betrachtete der Einfachheit halber nur einen sehr kleinen Frequenzbereich und errechnete hierbei folgendes Gleichungssytem. Ẋ = σx + σy Ẏ = XZ + τx Y Ż = XY βz Diese lies er nun iterieren und stellte hierbei fest dass sich völlig andere Ergebnisse ergaben, rundete man Zwischenergebnisse. Die Auftragung der Bahnen im Phasenraum ergeben das klassische Bild eines Lorentz-Attraktors. 9

10 3 Fraktale Fraktal vom lat. fractus: gebrochen, ist ein von Benoît Mandelbrot geprägter Begriff für selbstähnliche Strukturen. Bekannte Fraktale sind beispielsweise das Sierpinski-Dreieck, der Pythagorasbaum oder auch in der Natur vorkommend, Blumenkohl bzw. die damit verwandte Züchtung Romanesco. Ausserdem zählen die Mandelbrot- und Julia-Mengen zu den Fraktalen auf die im Folgenden noch näher eingegangen wird Mandelbrot-Menge Die Mandelbrot-Menge wird von einer Recht simpel anmutenden Funktion erzeugt. z z 2 + c Zur Beschreibung wendet man nun eine einfaches iteratives Verfahren an. Man beginnt hierzu bei z 0 = 0 und betrachtet alle Werte von c aus einem Kreis um (0/0) mit Radius 2. Konvergiert nun die Funktion zu einem c wird dieses c in der komplexen Zahlenebene mit einem schwarzen Punkt markiert. Dies kann prinzipiell unendlich vortgesetzt werden. Man erhält also ein Bild das wie folgt aussieht Julia-Menge Das Konstrukt der Julia-Menge ist dem der Mandelbrotmenge nicht unähnlich, liegt ihm doch die identische Funktion zugrunde. Allerdings betrachtet man in diesem Fall ein festes c und variiert die Anfangswerte z 0, weshalb man 10

11 für jede Konstante eine eigene Julia-Menge erhält. Für c = 0, , 312i: 3.1 Fraktale Dimension Wie wir bereits zu einem früheren Zeitpunkt festgestellt haben, trifft man bei der Betrachtung von Attraktoren und Fraktalen auf nicht ganzzahlige Dimensionen. Möchte man z.b. den Rand der Mandelbrotmenge abwickeln erhält man eine unendlich lange Strecke, welche also eine Dimension größer 1 hat. Allerdings ist die Fläche dieser Menge 0 was wiederum für eine Dimension kleiner zwei spricht. Aus diesem Grund greift man zur Klassifizierung auf den Begriff der Fraktalen Dimension zurück. Es gibt im Großen und Ganzen zwei Methoden zur Bestimmung der Fraktalen Dimension eines Objektes Boxcounting-Methode Man legt über das zu bestimmende Objekt bzw. die zu bestimmende Kurve ein quadratisches Gitter mit Zellenbreite ɛ. Daraufhin zählt man alle Quadrate, welche einen Teil der Kurve berühren und errechnet aus diesen beiden Parametern N (Anzahl der Quadrate) und ɛ (Breite der Quadrate) anhand folgender Formel die Dimension. D = lim ɛ 0 log N(ɛ) log 1 ɛ 11

12 3.1.2 Yardstick-Methode Hierbei wählt man sich wiederum ein ɛ welches als Kreisradius dient, mit dem daraufhin die Kurve abgezirkelt wird. Schnittpunkte von Kreisen werden hierbei wieder zu Mittelpunkten neuer Kreise, bis die Kurve vollständig überdeckt ist. Die Dimension errechnet sich nun wiederum nach obiger Formel, mit dem minimalen Unterschied, dass es sich nun bei N und ɛ um die Anzahl der Kreise und deren Radius handelt. 3.2 Motivation Warum ist nun die Betrachtung von Fraktalen für die Chaostheorie interessant? Seltsame Attraktoren haben fraktale Dimensionen. Untersucht man also eine Kurve im Phasenraum und entdeckt hierbei eine fraktale Dimension größer zwei, ist dies ein Anzeichen chaotischen Verhaltens. Beispielsweise kann die Zeitreihe einer einzelnen Variablen in einen n-dimensionalen Phasenraum eingebettet werden, um so die fraktale Dimension der Kurve zu messen. Ist diese unabhängig von der gewählten Einbettung, kann auf diese Weise die Dimension des zugehörigen Attraktors bestimmt, und Chaos nachgewiesen werden. 12

13 4 Fazit Es wurden nun einfache Systeme mit wenigen Freiheitsgraden untersucht. Wettervorhersagen gestaltet sich natürlich ungleich komplexer, da es sich um ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden handelt. Weiterhin werden die ablaufenden Prozesse durch nichtlineare Dirrerentialgleichungen beschrieben, zeigen also chaotisches Verhalten, was also Chaostheorie für die Wetterbetrachtung interessant macht. Und schließlich treten auch in der Natur in vielfältigerweise Fraktale auf, wie beispielsweise der bereits angsprochene Blumenkohl, aber auch Ränder von Wolkenfeldern oder die Küste Norwegens. 13

14 Literatur 1. Schuster, Heinz-Georg: Deterministic Chaos 2. McGoodwin, Michael: Julia Jewels 3. Mandelbrot, Benoît: Persönliche Homepage (Yale) 4. Bergman, Jonas: Knots in the Lorentz Equation 5. Wikimedia: Bildquelle 6. Hans, Erich: Das Pohlsche Rad