Zugänge zur nichtlinearen Dynamik. W. Oehme, Universität Leipzig

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1 Zugänge zur nichtlinearen Dynamik W. Oehme, Universität Leipzig

2 einfache physikalische Experimente Wirtschaft Wetter historische Bezüge Nichtlineare Dynamik Chaos und Ordnung Verkehrsstau Populationsdynamik Fraktale Soziophysik oszillierende chemische Reaktionen Medizin Astronomie

3 Siebenschläfer Das Wetter zum Siebenschläfer-Tag sieben Wochen bleiben mag. 27. Juni 2005: ein sonniger Tag Er ist nicht schuld! aber: verregneter Sommer 2005 Bei großzügiger Interpretation: Trefferquote 70%

4 Chaos und Kosmos Hesiod aber sagt: Chaos entstand vor allem zuerst; es wurde dann Gaea mit weitem Gefild, Eros zugleich, der weit vor allen Unsterblichen vorglänzt. Quelle: Aristoteles Metaphysik Hesiodes ca. 700 v. Chr. Gaia ( Erde ) Zeichnung am Pergamon Zeus Altar Chaos (griech.): ungeordneter und ungeformter Zustand der Dinge; mystischer Urzustand; leerer Raum Kosmos (griech.): Welt als geordnete Einheit

5 Die Welt als Uhrwerk (klassischer Determinismus) Pierre Simon Laplace ( ) Pierre Laplace (1812): Eine Intelligenz, welche für einen gegebenen Augenblick alle in der Natur wirkenden Kräfte sowie die gegenseitige Lage der sie zusammensetzenden Elemente kennt...; nichts würde ihr ungewiss sein und Zukunft und Vergangenheit würden ihr offen vor Augen liegen.

6 Kausalität Henry Poincaré ( ) schwache Kausalität: Gleiche Ursachen haben gleiche Wirkungen. starke Kausalität: Ähnliche Ursachen haben ähnliche Wirkungen. Henry Poincaré, 1903, nach theoretischen Untersuchungen zur Stabilität des Planetensystems: Eine sehr kleine Ursache, die wir nicht bemerken, bewirkt einen beachtlichen Effekt, den wir nicht übersehen können, und dann sagen wir, der Effekt sei zufällig. Vorhersagen werden damit unmöglich. Verletzung der starken Kausalität deterministisches Chaos

7 Buckelpiste und Magnetpendel Potentialmulden Einzugsgebiete Wohin rollt die Kugel? Wohin geht das Magnetpendel?

8 Berechnungen zum Magnetpendel Potentialmulden Pendelbewegung Sensitivität Einzugsgebiete

9 Verhulst-Dynamik und logistische Gleichung X n = A X a ( 1 X ) a Pierre Francois Verhulst ( ) Populationsmodell N a N n = c*n a aktuelle Tierzahl nächste Generation c Reproduktionsfaktor c>1 => Überbevölkerung c<1 => Aussterben Dämpfungsfaktor (N max N a )/N max N max maximal ernährbare Tierzahl

10 Berechnungen mit der logistischen Gleichung Einschwingverhalten Selbstähnlichkeit 1. und 2. Bifurkation Feigenbaumdiagramm

11 Räuber-Beute-Systeme Quelle: Universität Bonn Hudson Bay Company: Buchführung über die aufgekauften Felle von Luchsen und Schneeschuhhasen zwischen 1845 und 1935

12 Räuber-Beute-Systeme x y = ax (1 cx = by (1 dy + ey) fx) Beute x Räuber y Beute

13 Pohlsches Drehpendel mit Unwucht Drehmomente Potentiale Feder Zusatzmasse Summe Feder Zusatzmasse Summe 0 2 cos 2 1 sin U r g m D U r g m D M + + = + = α α α α Feder Zusatzmasse Drehschwinger mit Zusatzmasse Feder Antrieb Wirbelstromdämpfung

14 Experimente ohne Unwucht Variation der Anregung ohne Antrieb mit Antrieb

15 Experimente mit Unwucht Variation der Dämpfung starke Dämpfung Chaos 1. 2 Bifurkation schwache Dämpfung

16 Feder Reibung Antrieb Zusatzmasse

17 Berechnungen zum Drehpendel

18 Linearer elektrischer Schwingkreis u(t) Experiment u L u R u C L Q+ ul + ur + uc = u(t) R Q+ 1 Q C = Usin( ω t) Simulation UC Zeitverhalten Phasendiagramm Resonanzkurve

19 Nichtlinearer elektrischer Schwingkreis u(t) u L u R Experiment ul + ur + ud = u(t) u D Simulation LQ+ Q RQ+ U0 (exp( ) 1) = Usin( ω t) C U o o

20 Diode als Plattenkondensator A C= ε 0 εr d =d(u ) d CU ( ) = α U+ U C0 U CU ( ) = U+ U U D Q = U0 (exp( ) 1) C U 0 0 d ( U+ U ) ~ 0 C=C(U) U 0 = α 0 α=c0 U0 U0 C ( 0) = C dq C= du Durchbruchsspannung

21 Berechnungen zum nichtlinearen elektrischen Schwingkreis Zeitdiagramm Phasendiagramm

22 Wettervorhersage Lorenz-Modell = α ( Y X ) X = β X Y Z = γ Z + X Z Y X Y Benard-Zellen Quelle: Uni Fankfurt ebene Konvektion Lorenz-Attraktor

23 Sierpinski-Dreieck P3 S1 S4 S3 S2 Startpunkt P1 P2 Spielregeln: zufällige Ziele P1, P2 und P3; halber Weg zum Zielpunkt

24 Fraktale Lorenz-Attraktor Farn Mandelbrots Apfelmännchen Attraktor des Drehpendels Sierpinski-Dreieck

25 Oszillierende chemische Reaktionen Belousov-Zhabotinsky-Reaktion Bromierung der Malonsäure Br Prozess A + BrO3 + 2 Br + 3CH 2( COOH ) 2 + 3H 3O 3BrCH ( COOH ) 2 + 6H 2O Prozess B BrO3 + Ce + CH2( COOH) 2 + 5H3O Ce + BrCH( COOH) 2 + 8H 2O Ce + BrCH ( COOH ) 2 + 7H 2O 4Ce + HCOOH + 2CO2 + 5H 3O + Br

26 Belousov-Zhabotinsky-Reaktion Z B k X A k Z Z k B f Y X k Y A k Y X k X A k Y X k Y A k X c c = + = + = Z=[Ce 4+ ] Oregonator-Modell

27 einfache physikalische Experimente Wirtschaft Wetter historische Bezüge Nichtlineare Dynamik Chaos und Ordnung Verkehrsstau Populationsdynamik Fraktale Soziophysik oszillierende chemische Reaktionen Medizin Astronomie

28 Quellenangabe: Titelseite, Satellitenbild, Deutscher Wetterdienst, Offenbach (DWD) Folie 5, Prager Uhr, Wikipedia.org User Maros Folie 7, Buckelpiste, Wikipedia.org User Art-top Folie 12, Frosch, Wikipedia.org User Fabelfroh; Storch Wikipedia.org User SirEx Folie 22, Altocummulus, Wikipedia.org User Fir0002