Das magnetische Feld

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1 Praktikum: Grundlagen der Elektrotechnik für Maschinenbauingenieure Praktikumsanleitung Versuch Nr. 3 Das magnetische Feld Ort: Arbeitsbereich Optische Kommunikationstechnik (2-03), Denickestrasse 15, Raum Organisation: Dr.-Ing. Hagen Renner, Tel Stand der Versuchsunterlagen: 09. Juni Optische Kommunikationstechnik Optical Communication Technology

2 1 Magnetische und elektrische Feldgrößen Analog zur elektrischen Feldstärke E im Vakuum beschreibt die magnetische Induktion oder Flussdichte das magnetische Feld, dass von einer Leiteranordnung im Vakuum hervorgerufen wird. Die Einheit der magnetischen Induktion ist 1T(esla) = V s (früher auch 1G(auß) = 10 4 T ). Der magnetische Feldbeitrag m 2 der Materie wird über die Magnetisierung M beschrieben (analog zur Polarisation P im elektrischen Feld). Die magnetische Feldstärke H beschreibt die Überlagerung des Vakuum-Feldes mit dem Feldbeitrag der Materie gemäß der Materialgleichung H = 1 µ M. Die Einheit von magnetischem Feld und Magnetisierung ist 1 A m. Die Permeabilitätskonstante µ ist das Produkt aus relativer Permeabilität µ r des Mediums und Permeabilität des Vakuums µ 0 = 4π10 7 V s = V s. Am 2 Am 2 Das Erdmagnetfeld beträgt auf der Erdoberfläche gemessen etwa 50µT. Die Remanzinduktion von kommerziell erhältlichen Permanentmagneten kann etwa 1.5T betragen. Durch Elektromagnete (Spulen) lassen sich stabile Felder von bis zu einigen zehn Tesla erzeugen (eispiel Magnetresonanz-Tomographie (Kernspin-Tomographie): etwa 3T). Deutlich höhere Felder lassen sich nur für extrem kurze Zeiträume erzeugen. eispielsweise lassen sich durch die schlagartige Entladung von mehreren Kondensatoren, die auf eine Spannung von einigen zehntausend Volt aufgeladen wurden, über eine einzelne Spulenwicklung Spulenströme von einer Million Ampère erreichen, die ein Magnetfeld im ereich von 100T erzeugen. Die dadurch entstehenden Kräfte führen jedoch zu einer sofortigen Zerstörung der Spule. 2 Materie im Magnetfeld In Materie kann der Ansatz = µ H = µ r µ 0 H (1) begrenzt angewendet werden. Um die Permeabilität als skalare Konstante betrachten zu können, muss das Material homogen und isotrop sein und lineares Verhalten aufweisen. Man unterteilt Materialien nach ihrem Verhalten in verschiedene Kategorien. 2.1 Stoffe mit diamagnetischem Verhalten (µ r < 1) Diamagnetismus ist weitgehend temperaturunabhängig und grundsätzlich bei jeder Materie vorhanden. ei Anlegen eines Magnetfeldes an einen Diamagneten werden nach der Lenz schen Regel mikroskopische oder auch makroskopische Kreisströme so induziert, dass das angelegte Feld abgeschwächt wird. In inhomogenen Magnetfeldern werden Diamagnete in Richtung abnehmender Feldstärke getrieben (z..: Cu, Au, H 2 O). Supraleiter 1. Art sind unterhalb einer material- und temperaturabhängigen Grenzfeldstärke ideale Diamagnete (µ r = 0). 2.2 Stoffe mit paramagnetischem Verhalten (µ r > 1) ei Elementen mit nicht abgeschlossenen Schalen besitzen die Atome auch ohne äußeres Feld ein resultierendes magnetisches Moment. Die Atome können als Elementarmagnete aufgefasst werden, deren Richtung im Raum statistisch verteilt sind. Durch Anlegen eines äußeren Feldes werden die Elementarmagnete gegen die unordnende Wirkung der Temperatur teilweise ausgerichtet. Paramagnetische Stoffe werden in inhomogenen Feldern in Richtung wachsender Feldstärke gezogen (z..: Fe, Co, Ni, Pd, Pt und Verbindungen/Legierungen, die diese Elemente enthalten (oberhalb der jeweiligen Curie-Temperatur)). 2

3 2.3 Ferromagnetische Stoffe (µ r 1) ei einigen Elementen und Verbindungen tritt eine starke Wechselwirkung unter den Elementarmagneten auf, wodurch es zu einer spontanen Ausrichtung dieser Magnete selbst ohne äußeres Feld kommen kann. Die Ausrichtung ist auf kleine ereiche (Weiß sche ezirke) beschränkt, deren Orientierung ohne äußeres Feld regellos ist, so dass der Festkörper als Ganzes unmagnetisch erscheint. ei Anlegen eines äußeren Feldes verändern sich die Orientierungen und/oder die Ausdehnung der Weiß schen ezirke. Ab einer gewissen Stärke des äußeren Feldes verlaufen die Prozesse irreversibel, d.h. auch nach Abschalten des Feldes bleibt eine Magnetisierung des Materials erhalten (Remanenzinduktion), die erst durch ein Gegenfeld wieder aufgehoben wird. Es tritt eine Hysterese auf (Abb. 1a) (z..: Fe, Co, Ni, SmCo 5, Nd 2 Fe 14 (unterhalb der jeweiligen Curie-Temperatur)). a) b) S R hartmagnetisch H C Neukurve H H weichmagnetisch Abbildung 1: a) Hysteresekurve mit Sättigungsinduktion S, Remanenzinduktion R, Koerzitivfeldstärke H C und Neukurve, b) Hysteresekurven für hart- oder weichmagnetische Stoffe Je nach Öffnung der Hysteresekurve spricht man von hart- und weichmagnetischen Stoffen (Abb. 1b). Sind alle Elementarmagnete ausgerichtet, kann die Magnetisierung nicht weiter zunehmen (Sättigungsmagnetisierung). Oberhalb der sogenannten Curie-Temperatur gibt es aufgrund der Temperaturenergie keine spontane Ausrichtung, der Stoff verhält sich paramagnetisch. Für Ferromagnetika geht die Materialgleichung (1) über in = µ 0 H + M, wobei die Magnetisierung M (auch magnetische Polarisation) von der Feldstärke H und von der Vorgeschichte abhängt. 2.4 Antiferromagnetische Stoffe Unterhalb der Curie-Temperatur sind jeweils benachbarte elementare magnetische Dipole entgegengesetzt ausgerichtet, so dass sie sich über das gesamte Kristallgitter vollständig kompensieren (z..: Cr, Mn (unterhalb der jeweiligen Curie-Temperatur)). 2.5 Ferrimagnetische Stoffe Nur eine Klasse von Stoffen weist ferrimagnetisches Verhalten auf: Die Ferrite. Die Kristallstruktur besteht hier aus zwei verschachtelten Untergittern mit unterschiedlich vielen Gitterplätzen. Sind jeweils alle Elementardipole eines Gitters parallel ausgerichtet, die beider Gitter zueinander jedoch antiparallel, so kommt 3

4 es zu einer unvollständigen Kompensation und es bleibt eine resultierende Magnetisierung (z..: Fe 3 O 4 (unterhalb der Curie-Temperatur)). 3 Kraftwirkung magnetischer Felder Die magnetische Induktion ist mit einer Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter verknüpft. Steht das Magnetfeld senkrecht auf einem Leiter der Länge l, so ist die gesamte Kraft betragsmäßig F = I l, wobei F senkrecht zu und senkrecht zur Leiterachse l gerichtet ist. Für einen beliebigen Winkel α zwischen l und gilt [ ] F = I l, (2) F = I l sin α. Die Kraft auf ein infinitesimal kurzes Leiterstück beträgt demnach df [ = I d s ]. Im betrachteten Leiterstück (Abb. 2) befindet sich die Ladung dq, die sich mit der Geschwindigkeit v in Richtung d s bewegt Id s = dq v, so dass auf die infinitesimale Ladung dq die Kraft d F = dq [ v ] wirkt. Ein Elektron oder Ion mit der Ladung q und der Geschwindigkeit v ruft in Gegenwart eines Feldes die sogenannte Lorentzkraft [ F = q v ] hervor. Sie steht grundsätzlich senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor, so dass durch das Magnetfeld keine Energie auf die Ladungsträger übertragen wird. Die Kraft auf bewegte Ladungsträger kann mit der speziellen Relativitätstheorie aus der Coulombkraft auf ruhende Ladungen hergeleitet werden. df I ds Abbildung 2: Infinitesimales Leitersegment Da ein stromdurchflossener Leiter selbst ein kreisförmiges Magnetfeld erzeugt (Eigenfeld), das sich mit dem vorhandenen Feld (Fremdfeld) überlagert, resultiert auf einer Seite des Leiters eine Feldverstärkung, auf der anderen Seite eine Abschwächung des Feldes. Der Leiter erfährt eine Kraft zur Seite des schwächeren Magnetfeldes (Abb. 3). 4

5 Fremdfeld Eigenfeld I=0 + = 1 2 (I) F = + (I) 1 2 Abbildung 3: Überlagerung des eines Leiterfeldes mit einem Fremdfeld. 3.1 Halleffekt Die Ablenkung von Ladungsträgern im Magnetfeld ist die Ursache des sogenannten Halleffektes. Mit dem Halleffekt können Magnetfelder gemessen oder bei bekanntem Magnetfeld Materialeigenschaften wie Ladungsträgerdichte und -beweglichkeit bestimmt werden. Für den Fall des dotierten Halbleiters in der Störstellenerschöpfung kann der Halleffekt näherungsweise aus dem Drude-Modell berechnet werden d E H b I U H Abbildung 4: Hallsonde. In der in Abbildung 4 dargestellten Anordnung werden Elektronen vom -Feld zur hinteren Probenseite abgelenkt, bis auf Grund der Ladungstrennung eine Coulombcraft F C entstanden ist, die betragsmäßig ebensogroß ist wie die Lorentzkraft F L : F L = F C, ev = ee H = eu H b. Mit der Elektronendichte n folgt für die Stromdichte j = I bd = nev und damit für die Hallspannung U H = I ned = R H. Diese Formel darf nur als einfachste Näherung betrachtet werden. Es bleibt z.. unberücksichtigt, dass die Elektronen aufgrund der Fermiverteilung jeweils unterschiedliche Geschwindigkeiten besitzen. Aus dem Vorzeichen der Hallspannung kann auf den vorherrschenden Ladungsträgertyp geschlossen werden. Die Proportionalität U H erlaubt bei Verwendung einer geeichten Hallsonde die estimmung unbekannter Magnetfelder. Die Proportionalitätskonstante R H wird Hallkonstante genannt. Die folgende Tabelle zeigt die Hallkonstanten verschiedener Metalle und Halbleiter bei Zimmertemperatur: 5

6 Material R H [10 10 m 3 /C] Ag Al Au Cu -0.5 i Si ( dotiert mit Phosphor-Atomen pro cm 3 ) 4 Induktionsgesetz Wenn ein Leiter mit der Geschwindigkeit v = d r dt durch ein Magnetfeld bewegt wird, erfahren die Elektronen eine Lorentzkraft und werden in Stabrichtung beschleunigt. Es baut sich eine Raumladung und damit die Feldstärke E i auf, bis die Lorentzkraft durch die Coulombkraft kompensiert wird: F C = F L QE [ i = Q v ] F P 2 ds P 1 v Abbildung 5: Durch Induktion ausgeübte Kraft auf Ladungsträger in einem Leiter E i = v ist die induzierte elektrische Feldstärke und U i = Ei d s die induzierte Spannung. Für P 1 den Integranden gilt E [ i d s = d r dt ] [ ] d s = d s d r dt = d dtda. Die Fläche da, die in der Zeit dt vom Leiterelement d s überstrichen wird, ist [d s d r] und d A = dφ ist der Fluss, der vom Leiterelement geschnitten wird. Das Experiment zeigt, dass für die induzierte Spannung nur die Flussänderung maßgebend ist. Diese kann durch ewegung einer Leiterschleife oder durch Änderung des Flusses selbst entstehen: U i = dφ dt = U i = A E i d s = d dt d dt d A + A d A C P 2 [ v ] d l 6

7 5 Maxwell-Gleichungen Für ruhende Medien lassen sich die Maxwell-Gleichungen wie folgt angeben: I) Hd l = ( dd dt + ) M da rot H = d D dt + M (Durchflutungsgesetz) C A II) Ed l = d dt d A rot E = d dt (Induktionsgesetz) C A (3) mit der Nebenbedingung div = 0, die aus der Quellenfreiheit des magnetischen Feldes resultiert und den Materialgleichungen D = ε E + P, H = 1 µ M. Sofern homogene und isotrope Medien betrachtet werden, können ε und µ als skalare Konstanten betrachtet werden. 6 Vorbereitungsaufgaben 1. Skizzieren Sie die Feldlinienverläufe a) eines Permanentmagneten (Stab, Hufeisen) b) zwischen den Polen von zwei Stabmagneten ( und ) c) zwischen zwei Stabmagneten mit Weicheisenring in der Mitte ( ) d) um einen stromdurchflossenen Leiter ( ) und um zwei parallele stromdurchflossene Leiter (, und ). Zeichnen Sie die Kraftrichtungen! e) bei Überlagerung eines homogenen Feldes mit dem Feld eines senkrecht dazu stehenden stromdurchflossenen Leiters. In welche Richtung zeigt die Kraft? f) für das Feld einer Spule durch Überlagerung der Felder einzelner Leiter 2. a) Welches magnetische Feld entsteht im Außenraum eines Koaxialkabels, bei dem der Innenleiter den Strom I und der Außenleiter den Strom -I führt? Warum? b) Warum werden manche Stromzuführungen verdrillt verlegt? 3. Warum orientieren sich Eisenfeilspäne im Magnetfeld? Wo liegt der Unterschied zum Orientierungsvorgang einer Kompassnadel? 4. Leiten Sie die Gleichung = µ 0I 2πr für das Feld um einen stromdurchflossenen Leiter aus der integralen Form des Durchflutungsgesetzes (Gl. 3I) ab. Gehen Sie dazu von von der Abwesenheit eines elektrischen Feldes ( E = 0, bzw. D = 0) und einer über dem Leiterquerschnitt A konstanten Stromflussdichte M aus. 5. Kombinieren Sie das Ergebnis aus der vorigen Teilaufgabe mit Gl. 2 um zu einer Formel zu gelangen, die die Kraft pro Meter Leiterlänge zwischen zwei parallelen stromdurchflossenen Leitern im Abstand r beschreibt. 7

8 6. Wie groß ist die Kraft pro Meter Leiterlänge zwischen zwei parallelen Linienleitern, die im Abstand von a) 1 m von je 10 A b) 10 cm von je 10 ka durchflossen werden? 7. Halleffekt a) Erklären Sie Prinzip und Wirkung einer Hallsonde! b) In welche Richtung werden Elektronen, bzw. Defektelektronen abgelenkt? c) Warum muss die Länge der Hallsonde deutlich größer als die reite der Sonde sein? d) Schätzen Sie die Hallspannung eines Leiters mit quadratischer Querschnittsfläche (1 mm x 1 mm) in einem Magnetfeld von 0.1 T und einem Strom I von 1 ma für jeweils einen Halbleiter und ein Metall Ihrer Wahl ab. Sind Metalle oder Halbleiter besser geeignet für den Einsatz in Hallsonden? 8. Ist die datenspeichernde Schicht von Disketten, Videokassetten und Magnetstreifenkarten hart- oder weichmagnetisch? 9. Leiten Sie aus dem integralen Induktionsgesetz (Gl. 3II) eine Gleichung mit den Größen Spannung u i und magnetischem Fluss φ ab. 10. Der bei einer Flussänderung induzierte Spannungsstoß ist ein Maß für die Änderung der magnetischen Induktion. Wird z.. eine Spule aus dem Luftspalt eines Magnetkreises in den feldfreien Raum gebracht, so kann man damit die magnetische Induktion im Luftspalt messen. a) Welcher Zusammenhang besteht dabei zwischen der Höhe des Spannungsstoßes und der Spulendimensionierung (Fläche, Windungszahl)? b) Wie sieht der Spannungsstoß in der Spule aus, wenn die Spule von einem feldfreien Punkt A durch den Luftspalt zu einem gegenüberliegenden feldfreien Punkt bewegt wird? Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung und des magnetischen Flusses durch die Spule, unter der Annahme, dass der Luftspaltdurchmeser etwa den doppelten Spulendurchmesser beträgt. c) Wie ist der zeitliche Verlauf von magnetischem Fluss und induzierter Spannung, wenn die Spule im Luftspalt um eine Achse gedreht wird, die in der Spulenebene liegt? Skizzieren Sie den Verlauf beider Größen. 11. Wie groß ist das Erdmagnetfeld? Magnetfelder welcher Stärke können im Labor erzeugt werden? 8

9 7 Versuchsanleitung Achtung: Vor Einschalten der Netzgeräte sind die Spannungen auf Null zu stellen und nach dem Einschalten langsam zu erhöhen, bis der gewünschte Strom erreicht ist. Vor Abschalten oder Entfernen von Kabeln sind die Spannungen ebenso langsam wieder auf Null zu stellen. Auf keinen Fall eine Spule unter Last vom Netzgerät trennen! (Warum?) ei Verwendung der Multimeter zur Spannungs- und Strommessung ist vor Einschalten der Quellen unbedingt auf eine korrekte Verwendung der Multimeter-Eingänge zu achten! (Welchen Innenwiderstand hat ein ideales Strom- bzw. ein Spannungsmessgerät?) Zum Aufnehmen der Ströme in Spule und Leiterschleife sind Multimeter als Strommesser einzusetzen. Zum Aufnehmen der Induktion mit der Hallsonde und zum Auswerten der aufintegrierten induzierten Spannung sind Multimeter als Spannungsmesser einzusetzen. Alle Messreihen sind zu protokollieren und graphisch aufzutragen. 7.1 Magnetfeldmessung 1. estimmen Sie qualitativ mit einer Hallsonde die magnetische Induktion zwischen den Schenkeln eines Hufeisenmagneten und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Skizze aus 6.1.a. 2. estimmen Sie mit der Hallsonde im Luftspalt des aus Spule, Schenkeln und Polschuhen bestehenden magnetischen Kreises (Elektromagneten) die Hysteresekurve für das Eisenkernmaterial, also die magnetische Induktion als Funktion des magnetischen Feldes, das proportional zum Spulenstrom ist. Tragen Sie die gemessene Induktion über dem Strom auf, wobei Sie den Strom in Schritten von höchstens 0.5A von 2.5A auf -2.5A reduzieren und danach wieder bis auf 2.5A erhöhen. 7.2 Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld Überprüfen Sie die Homogenität des Feldes über der Querschnittsfläche der Polschuhe und in der Umgebung des Luftspaltes. Skizzieren Sie hierzu grob die magnetische Induktion als Funktion des Abstandes vom Mittelpunkt der Polschuh-Querschnittsfläche. ringen Sie die am Aufbau befestigte Leiterschleife in den Luftspalt des Elektromagneten und stellen Sie einen Spulenstrom von etwa 2.5A ein. estimmen Sie anschließend die ablenkende Kraft als Funktion des Stromes durch die Leiterschleife im ereich -5A bis 5A und stellen Sie diese graphisch dar. Zur Vermeidung eines systematischen Fehlers ist der Leiter durch Heben und Senken des Kraftmessers in der Mitte der Polschuh-Querschnittsfläche zu halten (Warum?) Nehmen Sie an, das magnetische Feld sei zwischen den Polschuhen homogen und Null außerhalb. estimmen Sie den Polschuhdurchmesser aus den aufgenommenen Messdaten und vergleichen Sie diesen mit dem tatsächlichen Durchmesser. Diskutieren Sie das Ergebnis. 7.3 ewegungsinduktion Schließen Sie die kleine Probespule an die Integratorschaltung an und bringen Sie sie vollständig in den Luftspalt des Elektromagneten. Aktivieren Sie den Integrator und bringen Sie die Spule in den feldfrei- 9

10 en Raum. Der aufintegrierten Spannungsstoß (vgl. 6.10) kann mit einem Multimeter als Spannungsmesser am Ausgang der Integratorschaltung abgelesen werden, wobei der eingestellte Verstärkungsfaktor zu berücksichtigen ist. estimmen Sie die Windungszahl der Probespule anhand der Spulenfläche und dem aufgenommenen Spannungsstoß. Wiederholen Sie das Experiment mehrfach und verwenden Sie den Mittelwert der aufgenommenen Spannungsstöße. Achtung: Der etrag des aufintegrierten Spannungsstoßes ist prinzipiell unabhängig von der Geschwindigkeit, mit der die Spule bewegt wird. Sollte sich eine Geschwindigkeitsabhängigkeit beobachten lassen, ist der Verstärkungsfaktor vermutlich zu groß gewählt, so dass es zu einem Sättigungseffekt kommt und ein verfälschter Wert aufgenommen wird. 7.4 Homogenität des Magnetfeldes im Inneren einer Spule Die magnetische Induktion im Inneren einer Spule ist mit Hilfe einer Hallsonde aufzunehmen. Verwenden Sie hierzu die auf einem Wagen montierte Hallsonde, um Messwerte im Abstand von 10mm aufzunehmen, wobei die Messung deutlich außerhalb der Spule beginnen und ebenfalls deutlich außerhalb der Spule enden soll (nutzen Sie den vollen Verschiebebereich des Wagens). Der Strom in der Spule soll dabei 5A betragen. Diskutieren Sie das Ergebnis anhand der graphischen Darstellung der Messwerte. Literatur [1] E. Philippow, Grundlagen der Elektrotechnik, 10. Auflage (Verlag Technik, erlin 2000). [2] W. Ameling, Grundlagen der Elektrotechnik I/II, 4. Auflage (Vieweg, raunschweig 1988). [3] R. Paul, Elektrotechnik d. 1, d. 2, 3. Auflage (Springer, erlin 1993/1994). [4] K. Lunze, Einführung in die Elektrotechnik, 13. Auflage (Verlag Technik, erlin 1991). 10