Handout zum Workshop. Schwerewellen. M. Fruman & F. Rieper Ein Kurs für die Teilnehmer der StuMeTa

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1 Handout zum Workshop Schwerewellen M. Fruman & F. Rieper Ein Kurs für die Teilnehmer der StuMeTa 2010 Institut für Atmosphäre und Umwelt Theorie der atmosphärischen Dynamik und des Klimas Inhaltsverzeichnis 1 Leicht zu verstehen: Schwingungen durch Schwere 3 2 Was ist Phase: Wie schnell sich Wellenberge ausbreiten 4 3 Wenn Gruppen auseinander laufen Über die Ausbreitung von Wellenpaketen 4 4 Linear Boussinesq: die einfachste aller Atmosphären 5 5 Was ist Phase bei den Schwerewellen? 7 6 Vom Wachsen der Wellen in grosser Höhe 8 7 Jetzt geht s rund: Einfluss der Erdrotation auf Schwerwellen 9 1

2 Inhaltsverzeichnis 2 Vorwort Das vorliegende Skript dient den Teilnehmern des Workshops Schwerewellen, schnell in das Thema einzusteigen. Sie werden sich mit folgenden Fragen auseinander setzen: Wie können Teile der Atmosphäre schwingen? Wie kann man Phasen- und Gruppenschgeschwindigkeit verstehen und voneinander unterscheiden? Welche Faktoren beeinflussen diese Geschwindigkeiten bei den Schwerewellen in der Atmosphäre? Wieso wachsen die Amplituden dieser Wellen immer stärker an?...bis sie schließlich brechen Wir wünschen allen Teilnehmern der StuMeTa 2010 gutes Gelingen. Frankfurt, Sommersemester 2010 Mark Fruman & Felix Rieper.

3 1. Leicht zu verstehen: Schwingungen durch Schwere 3 1 Leicht zu verstehen: Schwingungen durch Schwere In einer stabil geschichteten Atmosphäre liegen die leichteren Luftschichten über den schwereren. Gelangt ein Luftpaket in eine höhere Schicht, ist es umgeben von leichterer bzw. dünnerer Luft. Es ist also schwerer als seine Umgebung und erfärt daher eine Rückstellkraft, die es wieder nach unten treibt. Schießt es über seine ursprüngliche Position nach unten hinaus, befindet es sich umgeben von dichterer Luft. Es ist leichter und wird daher wieder nach oben beschleunigt. Ist diese Auslenkung z klein, ist die rückstellende Kraft proportional zu dieser Auslenkung z: F z. Andererseits wissen wir seit Newton: Kraft gleich Masse mal Beschleunigung, oder, für unseren Kontext der massebezogenen Größen, Kraft/Masse gleich Beschleunigung: F = D2 z Dt 2. Daraus erbibt sich dann eine Schwingungsgleichung wobei der Proportionalitätsfaktor D 2 z Dt 2 = N 2 z, N 2 = ḡ ρ ein Maß für die Stärke der Schichtung ist und Brunt-Vaisala Frequenz genannt wird. Lösungen dieser Gleichung sind harmonischen Schwingungen mit der Frequenz N: z(t) = z 0 cos(nt). Je stärker die Schichtung N ausgeprägt ist, desto schneller schwingt das Luftpaket um seine Gleichgewichtslage. Beachte: Eine Schwingung ist nur möglich, wenn die Luft stabil geschichtet ist, also wenn ist. N 2 > 0 d ρ dz

4 2. Was ist Phase: Wie schnell sich Wellenberge ausbreiten 4 2 Was ist Phase: Wie schnell sich Wellenberge ausbreiten Eine harmonische Welle in 1D wird durch folgende Gleichung beschrieben, wobei wir hier die Dichtefluktuationen ρ schwingen lassen ρ (x, t) = ρ 0 cos(kx ωt + φ 0). Die Bewegung eines Wellenberges wird durch die Phase φ(x, t) = kx ωt + φ 0 beschrieben. Dabei gibt die Wellenzahl k an, wie viele Wellen der Länge λ ins Intervall [0, 2π] passen: k = 2π λ. Die Kreisfrequenz ω gibt entsprechend an, wie viele zeitliche Perioden der Dauer T ins Intervall [0, 2π] passen: ω = 2π T. Ein Beobachter sieht einen Wellenberg mit der Phasengeschwindigkeit c P = ω/k sich ausbreiten. Dies erhalten wir, wenn wir die zeitliche Änderung der Phase auf Null setzen: Dφ Dt = D Dt (kx ωt + φ 0) = k Dx Dt ω = 0, also Dx/Dt = c P = ω/k für konstante Phase. 3 Wenn Gruppen auseinander laufen Über die Ausbreitung von Wellenpaketen Beim Schall ist alles ganz einfach: egal wie kurz oder lang die Wellen sind, alle breiten sich gleich schnell aus: c P = ω k = const, ω k. Anders bei Wasserwellen und Schwerewellen der Atmosphähre: Diese breiten sich je nach Wellenlänge unterschiedlich schnell aus: c P = ω k = const, ω = ω(k). Ein Gruppe von Wellen unterschiedlicher Wellenlängen läuft auseinander (engl.: gets dispersed) und wird daher dispersiv genannt. Die nicht-lineare Abhängigkeit ω = ω(k) heißt Dispersionsrelation.

5 4. Linear Boussinesq: die einfachste aller Atmosphären 5 Gruppengeschwindkeit Wellen in der Natur treten fast immer als Wellenpakete auf: es werden nicht nur einzelne Frequenzen angeregt (mono-chromatische Wellen) sondern ein ganzes Spektrum. Jede einzelne Mode läuft mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit mit welcher Geschwindigkeit aber breitet sich das gesamt Signal, das Wellenpaket aus? Dazu überlagern wir zwei Wellen, die sich um 2δk und 2δω in Wellenzahl und Frequenz unterscheiden: cos[(k + δk)x (ω + δω)t] + cos[(k δk)x (ω δω)t] und mit etwas Algebra... = 2 cos(δkx δωt) cos(kx ωt). Der rechte Kosinus beschreibt eine Welle mit der mittleren Wellenzahl k und Frequenz ω. Der linke Kosinus beschreibt die Amplitude des Signals. Sie breitet sich mit der Geschwindigkeit δω/δk aus - der sogenannten Gruppengeschwindigkeit c G. Für den Grenzübergang δk 0 zu einem kontinuierlichen Spektrum gilt: c G = dω dk. Matlab-Experiment zur Gruppengeschwindigkeit [groupvelocity.m] Stellen Sie die Gruppengeschwindigkeit so ein, dass diese halb so groß ist wie die Phasengeschwindigkeit (Wasserwellen). Stellen Sie die Gruppengeschwindigkeit nun größer als die Phasengeschwindigkeit ein (atmos. Schwerewellen). 4 Linear Boussinesq: die einfachste aller Atmosphären Wir möchten Schwerewellen sehen und verstehen, und das in möglichst einfachen Gleichungen. Wir machen daher folgende Vereinfachungen: ρ = ρ 0 + ρ(z) + ρ u = u p = p(z) + p w = w

6 4. Linear Boussinesq: die einfachste aller Atmosphären 6 Abbildung 1: Überlagerung zweier Kosinus-Wellen. Amplitude der einzelne Wellen (oben); Amplitude der Summe der Wellen sowie deren Einhüllende (unten).

7 5. Was ist Phase bei den Schwerewellen? 7 und erhalten aus den linearisierten Boussinesq-Gleichungen eine Gleichung für die vertikale Geschwindigkeit w : mit der Lösung 2 ( 2 w t 2 x w ) z 2 + N 2 2 w x 2 = 0 w (x, t) = w 0 cos(kx + mz ωt + φ 0). Im Gegensatz zur einfachen Wellengleichung handelt es sich hier um eine Gleichung für dispersive Wellen. Die Dispersionsrelation ist ω 2 = N2 k 2 k 2 + m 2, mit der horizontalen Wellenzahl k, der vertikalen Wellenzahl m und der Schichtung N. 5 Was ist Phase bei den Schwerewellen? Die Gruppengeschwindigkeit in 2D ist ein Vektor mit den Komponenten c G = ( cgx c Gz ) = ( ω k ω m ) c Gx = N2 m 2 ω/k k 4, c Gz = N2 k 2 ω/m k 4, wobei k 2 = k 2 + m 2. Gibt s doch gar nicht Zeige, dass Wellenzahl k und Gruppengeschwindigkeit c G aufeinander senkrecht stehen - Energie also parallel zu den Phaselinien transportiert wird. Matlab-Experiment mit Schwerewellen-Paket (wavepacket.m, anim wave.m) Starten Sie zuerst wavepacket.m, um die Schwerewelle zu berechnen und die Daten im workspace zu speichern. Für die graphische Darstellung starten Sie anschließend anim wave.m.

8 6. Vom Wachsen der Wellen in grosser Höhe 8 1. Ein sogenanntes Hovmöller-Diagramm (rechts) zeigt die Dichte-Kontur- Linien für ein festgehaltenes x. Es veranschaulicht, wie ein Wellenberg mit der Zeit an Höhe verliert oder gewinnt. Bestimmen Sie grob die Periode, sowie vertikale Wellenlänge und Phasengeschwindigkeit. 2. Variieren Sie vorsichtig die Ausbreitungsrichtung der Schwerewelle und beobachten Sie Phasen- und Gruppengeschwindigkeit. Hinweis: Der Parameter α gibt den Winkel zwischen Horizontale und Wellenzahlvektor k an. 6 Vom Wachsen der Wellen in grosser Höhe Im Boussinesq-Modell wird die Abnahme der Dichte mit der Höhe nur im Auftriebsterm berücksichtigt - nicht aber in der Energie-Erhaltung. Für große Höhenunterschiede sind die anelastischen Modelle besser geeignet: Statt ρ = const = ρ 0 erlauben wir ρ = ρ(z). Die Dichteänderung wird bei Erhaltung der kinetischen Energie der Welle berücksichtigt: 1 2 ρ(z)ŵ(z)2 = const = 1 2 ρ 0ŵ 2 z=0. Die Amplitude der Welle wächst mit zunehmender Höhe wie ρ0 ŵ(z) ρ(z). Matlab-Experiment zum Wachstum der Amplituden (wavepacket 1d.m, anim wave.m) Für diese Studie benutzen wir das pseudo-inkompressible Modell. Öffnen Sie die Datei wavepacket 1d.m, kommentieren Sie model = boussi und aktivieren Sie model = pseudo. 1. Das Diagramm rechts zeigt die Dichte ρ im Zentrum des Wellenpakets während dieses nach oben aufsteigt. Verändern Sie die pressure scale height H in Zeile 20 und beobachten Sie die Wachstumsrate der Amplitude. 2. Überlegen Sie, warum mit dem Anwachsen der Amplitude die Stabilität der Atmosphäre im Bereich der Schwerewelle gestört wird. Hinweis: Argumentieren Sie mit der Definition von N 2.

9 7. Jetzt geht s rund: Einfluss der Erdrotation auf Schwerwellen 9 7 Jetzt geht s rund: Einfluss der Erdrotation auf Schwerwellen Schwerewellen deren Wellenvektor fast senkrecht nach oben zeigt, haben sehr große Ausdehung in der Horizontalen. In diesem Fall kann der Einfluss der Erdrotation auf die Schwerewelle nicht mehr vernachlässigt werden. Die Corioliskraft ist dann eine weitere rückstellende Kraft, die sich in der Dispersionsrelation niederschlägt: ω 2 = N2 k 2 + f 2 m 2 k 2 + m 2, wobei typische Werte für die Schichtung und den Coriolisparameter sind: Matlab-Experiment zur Erdrotation (wavepacket.m, anim wave.m) N 10 2 s 1, f 10 4 s 1. Für diese Studie setzen Sie den Parameter wavetype = igw in Zeile 8 des Programms wavepacket.m. 1. Nutzen Sie das Hovmöller-Diagramm, um die Periode der Schwerewellen abzuschätzen. Warum ist die Periode so lang? 2. Das Diagramm (oben rechts) zeigt die Horizontalkomponente u = (u, v ) im Zentrum des Wellenpakets. Überlegen Sie, warum hier die v - Komponente ins Spiel kommt. Variieren Sie die Ausbreitungsrichtung mit Hilfe des Winkels α. Ändern Sie den Winkel in ±0, 5 Schritte. Welche Veränderungen können Sie feststellen?

10 Literatur 10 Literatur [1] J. R. Holton, An Introduction to Dynamic Meteorology, 3rd ed., Academic Press, San Diego, [2] A. Gill, Atmosphere-Ocean Dynamics, Academic Press, San Diego, [3] D. R. Durran, Improving the anelastic approximation, J. Atmos. Sci. 46 (1989)