3. Kinematik und Schwingungen

Transkript

1 3. Kinematik und Schwingungen 1

2 3.1. Kinematik Als Nächstes wollen wir Bewegungen beschreiben z.b. die einer Cataglyphis 2

3 Zuallererst brauchen wir ein Koordinatensystem um die Positionen überhaupt zu beschreiben. 3

4 Der zurückgelegte Weg als Funktion der Zeit x y 100 Weg (Meter) Zeit (Minuten) 4

5 Verschiedene Parameter können definiert werden. Geschwindigkeit: Wie weit entfernt sich die Ameise in einer bestimmten Zeit? In diesem Beispiel hängt das stark vom gewählten Zeitintervall ab. Ausserdem ist die Distanz ein Vektor. Wir müssen also Komponentenweise schauen. 5

6 Die Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten 30 v x Geschwindigkeit (Meter / Minute) v y Zeit (Minuten) 6

7 Als bestes Mass erweist sich die Momentangeschwindigkeit, wo wir das Zeitintervall möglichst klein wählen. Mathematisch bedeutet dies, dass wir die Zeitableitung der Position bestimmen müssen. Das heisst statt der Zeitabhängikeit der Position geben wir deren Zeitableitung an, also wie sich die Position ändert, was die Momentangeschwindigkeit ist. 7

8 Beispiel Schwingung: 8

9 Wie wir gesehen haben kann die Momentangeschwindigkeit auch von der Zeit abhängen. Das heisst wir können uns auch für diese Anderungen interessieren. Dies heisst dann Beschleunigung. Wiederum ist hier das Zeitintervall entscheidend, also nehmen wir wieder die Ableitung. 9

10 Wieder am Beispiel der Schwingung: 10

11 Hier fällt etwas auf: 11

12 Was fällt einem den hier auf? A B C D E Geschwindigkeit = Position Geschwindigkeit = Beschleunigung Beschleunigung = Position Position = -Beschleunigung Position = - Geschwindigkeit 12

13 Die Beschleunigung sieht aus wie die umgekehrte Position. Damit lässt sich diese Kurve in eine kurze Gleichung zusammenfassen: Dies erhalten wir auch wenn wir F = ma benützen für eine rückstellende Federkraft: 13

14 Graphische Darstellung der Ableitung: 14

15 Mehrdimensionale Bewegungen: Im Allgemeinen müssen wir aufpassen, da Positionen, Geschwindigkleiten und Beschleunigungen Vektoren sind wir unterscheiden z.b. zwischen der Schnelligkeit (Betrag des Vektors) und Geschwindigkeit. Die Beschleunigung ist aber durch die Geschwindigkeitsänderung gegeben, nicht durch eine Schnelligkeitsänderung. 15

16 Eine Kreisbewegung ist eine Uberlagerung von zwei Schwingungen 16

17 Woher kommt das? Schauen wir uns die Anderungen der verschiedenen Richtungen an: dy/dt = ωx dx/dt = - ωy Das gibt einerseits d 2 x/dt 2 = - ω 2 x Und andererseits: dy/dx = -x/y Das gibt integriert: x 2 + y 2 = const, also einen Kreis! 17

18 Exkurs:Oszillationen gibt es nicht nur bei Pendeln 18

19 Dies lässt sich ebenfalls durch zwei Differentialgleichungen beschreiben die von Lotka und Volterra aufgestellt wurden 19

20 Wenn wir diese Bewegung in zwei Dimensionen beschreiben wollen, können wir die Zeit auch aus den Gleichungen eliminieren, was uns die Abhängigkeit y(x) beschreibt: Dies kann man lösen und erhält, dass die Grösse V unten immer konstant sein muss 20

21 Was weiss ich wenn die Beschleunigung gleich Null ist? A B C D die Geschwindigkeit ist Null die Schnelligkeit ist konstant die Geschwindigkeit ist konstant die Schnelligkeit ist Null 21

22 Wodurch wird die Periode eines Federpendels bestimmt? A B C D E F Auslenkung und Erdbeschleunigung Federlänge und Auslenkung Masse und Federkonstante Federkonstante und Erdbeschl. Federlänge und Masse Federlänge und Erdbeschleunigung

23 Betrachten wir eine Schwingung mit Dämpfung ergibt sich eine zweite Zeit

24 Was ist i? A Der neunte Buchstabe im Alphabet B die imaginäre Einheit C die Wurzel aus -1 D eine komplexe Zahl E eine Drehung um 90 Grad F exp(i π/2)

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26 Was passiert wenn wir zwei Pendel miteinander koppeln? 26

27 Das sind zwei Schwingungen mit ganz ähnlicher Frequenz 27

28 Wie beschreiben wir allgemeine Schwingungen? 28

29 Die Amplitude der höheren Harmonischen nimmt ab mit 1/n 29

30 Funktion und Fourier-Amplitude sind also nur zwei Seiten der gleichen Medaille 30

31 Wir können uns das auch als verschiede Kreisbahnen vorstellen 31

32 Anderes Beispiel - Dreieckskurve 32

33 Das hätten wir uns auch direkt überlegen können wenn wir daran denken, dass die Ableitung einer Dreickskurve eine Rechteckkurve gibt. Jede Ableitung der Sinus oder Cosinus-Terme ergibt einen Vorfaktor n, also muss die Amplitude der Dreickskurve mit 1/n 2 gehen 33