Magnetics 4 Freaks Alles rund um den Elektromagnetismus Wintersemester 2012/13
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- Roland Albert
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1 Magnetics 4 Freaks Alles rund um den Elektromagnetismus Wintersemester 2012/13 Willkommen an der Reinhold-Würth-Hochschule in Künzelsau Die Kolloquiumsreihe von Hochschule und Industrie Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Institut für schnelle mechatronische Systeme (ISM) Seite 1
2 Programm Wintersemester 2012/13 Falls Veranstaltung abgesagt werden muss Neuer Hinweis Seite 2
3 Programm Wintersemester 2012/13 Seite 3
4 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Dauermagnete 10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Seite 4
5 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Dauermagnete 10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Seite 5
6 1. Mathematische Grundlagen Flächen: Offene Fläche: Ein Fläche heißt offen, wenn zwei Punkte, die nicht auf der Fläche liegen, durch eine Kurve verbunden werden können. Geschlossene Fläche: Eine Fläche heißt geschlossen, wenn sie den Raum in zwei getrennte Bereiche teilt. z geschlossene Fläche y z offene Fläche P 1 P 2 y x x Beispiel: Kugel Seite 6
7 1. Mathematische Grundlagen Integrale: Kurven- Linienintegral: Der Integrationsweg ist eine Kurve. y ds P 1 P 2 x S P2 P1 f ( x, y) ds Umlauf- Kreisintegral: Ein Umlaufintegral ist ein Kurvenintegral über einen geschlossenen Integrationsweg. y ds S f ( x, y) ds s Integral über eine Fläche: z Volumen- Dreifachintegral: y x O f ( x, y) dxdy s Integral über eine geschlossene Fläche: z z y x O...dA A x y V f ( x, y, z) dzdydx x y z x Seite 7
8 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Dauermagnete 10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Seite 8
9 2. Klassifikation der Felder Quellenfelder (wirbelfreie Felder): elektrostatische Felder Quellenfreie Felder (Wirbelfelder): Magnetische Feldlinien Feldlinien des induzierten elektrischen Feldes Eigenschaft: Feldlinien besitzen Anfang und Ende Eigenschaft: Feldlinien besitzen weder Anfang noch Ende Seite 9
10 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Dauermagnete 10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Seite 10
11 3. Erste Maxwell sche Gleichung James Clerk Maxwell ( ) Begründer der Elektrodynamik Maxwellsche Gleichungen Übersicht: 1. Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz (Ampère sche Gesetz) 2. Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz (Faraday sche Gesetz) 3. Maxwell sche Gleichung: Quellenfreiheit (Divergenzfreiheit) des magnetischen Feldes 4. Maxwell sche Gleichung: quellenbehaftetes elektrisches Feld (Divergenz) Seite 11
12 3. Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz Gerader stromdurchflossener Leiter Rechte-Hand-Regel H [A/m], [A], s [m] Durchflutung (Theta) s H Feldlinienlänge x Feldstärke = Durchflutung I Seite 12
13 3. Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz Anordnungen gleicher Durchflutung: N I konstant Seite 13
14 3. Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz Gerader stromdurchflossener Leiter der Umfang einer Feldlinie wird bequem mit dem Kreisintegral beschrieben s... ds damit wird das Durchflutungsgesetz erneut formuliert Hds N I Zirkulation = Vektortangentialkomponente Umfang Seite 14
15 3. Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz Beispiel: Feld außerhalb des Leiters s Hds ds 2 H r d 0 H r 2 N I H 2 r r [R; ] r d N I Feld innerhalb des Leiters s s Hds Hds Mit: s folgt J A I r 2 R Hds 2 r H r H I 2 R r [0;R] 2 2 Seite 15
16 3. Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz Beispiel: H fe s Hds N l fe H N I H Fe H i l l Fe i H l Legende: = Durchflutung (Theta) [A], N = Windungszahl, H = magnetische Feldstärke [A/m] In einem magnetischen Kreis entspricht die Summe der magnetischen Spannungsabfälle der Durchflutung. Seite 16
17 Seite 17 z r 1r2 I H A I H 1 2 ist für alle N Windungen gleich I s H 1 N i i i i i i s s I H s N r s I N Hds Überlagerung (Superponierung): 3. Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz
18 3. Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz Gesetz von Biot-Savart: R 0 H(P) H ( z) I R 2 0 3/ 2 Z 2 2 z P 2R 0 z ez Legende: R 0 = Spulenradius [m] I = Strom [A] P = Aufpunkt z = Abstand Mittelpunkt Spule zu Aufpunkt P N = Anzahl Windungen Anwendung: H-Feldberechnung einer Spule mit N Windungen H z Z Für N Leiterschleifen wird das Superpositionsprinzip angewendet. Seite 18
19 3. Erste Maxwell sche Gleichung: Durchflutungsgesetz H-Feld einer Spule Magnetische Feldstärke H (for freaks only!) Seite 19
20 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Dauermagnete 10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Seite 20
21 4. Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Linke-Hand-Regel der Induktion: Quelle: Internet Physikalischer Inhalt der zweiten Maxwell schen Gleichung: Jede(r) sich zeitlich ändernde magnetische Feldstärke, Fluss, Flussdichte umgibt sich mit einem elektrischen Feld Ei, dessen Feldlinien in sich geschlossen sind. Daumen: Richtung der induzierten Spannung Verbleibende Finger: Richtung der Flussänderung Legende:, magnetischer Fluss [Vs]; Ei, induziertes elektrisches Wirbelfeld [V/m]; Beispiel mit zeitlich veränderlichen Fluss Seite 21
22 4. Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Der Stab wird durch das B-Feld bewegt. Die Lorentz-Kraft F L FL Qv B treibt die Elektronen nach hinten. Durch die Ladungsverschiebung entsteht die elektrische Kraft F el Fel QE die einen Gleichgewichtszustand hervorruft und den Ladungstrennungsvorgang beendet. Es verbleibt F L Fel Q = Ladung [As]; B = Flussdichte [Vs/m²]; E Q = elektr. Feldstärke (Quellenfeld) [V/m] E i = induziertes Feld (Wirbelfeld) [V/m] Bewegter Leiter im zeitl. konst. Feld. B B B B B B B + F el B B B e F L v E i Seite 22
23 4. Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Die beiden Kräfte F L und F el werden durch ihre elektrischen und magnetischen Größen F L F QvB QE beschrieben. Eine Wegintegration über die Leiterlänge l führt zur gesuchten induzierten Spannung u ind zwischen den Stabenden E E 2innen 1innen Q vb dl E el i 2außen 1außen u E dl ind _ außen Bewegter Leiter im zeitl. konst. Feld. B B 1 + F el B e l F L B B v E Q Ei Seite 23
24 4. Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Zeitlich veränderl. Feld, ruhender Leiter. Es sei d/dt > 0, also zunehmender Fluss. u ind Ei E u ind (t) = im Ringsegment induzierte Spannung [V], E Q = elektrische Feldstärke (Quellenfeld) [V/m] Ei = induziertes Feld (Wirbelfeld) [V/m] Q dl u Induzierte Spannung: ind _ außen 0 E i E Q dl - 2außen 1außen 2innen 1innen E i E E 2innen 1innen i Q dl E E Q i dl dl d dt d dt Ei EQ uind Linke-Hand Regel: Die Richtung der im Leiter induzierten Spannung (Daumen) ist der Richtung der Flussänderung (Finger) so zugeordnet, wie die Drehrichtung einer linksgängigen Schraube. Seite 24
25 4. Zweite Maxwell sche Gleichung: Induktionsgesetz Vom offenen Ringsegment zum geschlossenen Kreis: Grenzübergangsbetrachtung Spaltbreite b0: 2 dl dl 1 E Q 0 damit findet ein Ladungsausgleich statt, der einen Stromfluss zur Folge hat. Im Leiter mit der Querschnittsfläche A stellt sich die Stromdichte J ein. Es ist J E; J i A = spezifische elektrische Leitfähigkeit des Leiters [1/(m)], J = Stromdichte [A/m²], d E dl dt J l iind l A A d iind l dt Seite 25
26 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Dauermagnete 10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Seite 26
27 5. Dritte Maxwell sche Gleichung Quellenfreiheit magnetischer Felder: Kontrollvolumen Die in die Volumenoberfläche eintretenden magnetischen Feldlinien sind gleich den aus der Volumenoberfläche austretenden Feldlinien. A B da 0 Die Integration erfolgt über eine geschlossene Oberfläche. Aus dieser Gleichung geht hervor, dass Magnetische Feldlinien weder Anfang noch Ende haben und damit quellenfrei sind. A = Oberfläche des Kontrollvolumens [m²] Seite 27
28 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Dauermagnete 10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Seite 28
29 6. Vierte Maxwell sche Gleichung Außerhalb Innerhalb des Volumens des Volumens Ladungszufuhr Ladungserhöhung durch die Oberfläche = im Volumen Q m² m² zufuhr Qinnen m³ m³ Q m² zufuhr m² Q m³ innen m³ Q = elektrische Ladung [As], = Ladungsdichte, Raumladungsdichte [As/m³], = Permittivität [As/(Vm)], D = elektrische Flussdichte [As/m²], D m² m³ Seite 29
30 6. Vierte Maxwell sche Gleichung Die über eine geschlossene Oberfläche A eintretende elektrische Ladung Q ist gleich der Zunahme der im Volumen befindlichen Ladungsdichte D da A V dv (Ladungserhaltungsgesetz) Q = elektrische Ladung [As], = Ladungsdichte, Raumladungsdichte [As/m³], D = elektrische Flussdichte [As/m²], Es ist D = E. Damit wird A E da dv, was auch bedeutet, dass ein elektrisches Feld, welches über eine Oberfläche in ein Volumen eindringt, innerhalb des Volumens enden kann. Damit haben elektrische Feldlinien einen Anfang und Ende. Elektrische Felder sind somit Quellenfelder. V 0 Seite 30
31 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Dauermagnete 10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Seite 31
32 7. Magnetische Scherung Definition der Scherung (Transvektion): Unter Scherung (Transvektion) versteht man in der Geometrie die Überführung einer zweidimensionalen geometrischen Figur in eine andere Figur unter Beibehaltung der Höhe. Die Gerade a ist parallel zur Geraden, die durch P und P festgelegt ist. A ist der Fußpunkt des Lots von P auf a. Der Winkel entsteht durch Translation von P nach P. Durch Anwendung der Transvektion wird ein Parallelogramm zu einem Rechteck. Seite 32
33 7. Magnetische Scherung Anwendung der Scherung auf den magnetischen Kreis: H fe Magnetische Durchflutung: H fe l fe H H B fe Bfe mit H folgt 0 Bfe Hfe lfe 0 durch Umstellen nach der Flussdichte B fe folgt 0 l fe H fe 0 Seite 33
34 7. Magnetische Scherung Geradensteigung: B fe 0 l fe H fe 0 Annahme H fe = 0: Bfe 0 Annahme B fe = 0: H fe lfe Seite 34
35 7. Magnetische Scherung Scherungsgerade: Fazit: ein Luftspalt bewirkt eine Linearisierung der Kennlinie Seite 35
36 7. Magnetische Scherung Anwendung der Scherung an dem Beispiel einer nichtlinearen Werkstoffkennlinie: Seite 36
37 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Dauermagnete 10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Seite 37
38 8. Magnetische Energie Magnetischer und verketteter magnetischer Fluss: Legende:, magnetischer Fluss [Vs];, verketteter magnetischer Fluss [Vs]; A, Fläche [m²] B, Flussdichte [Vs/m²]; N, Windungszahl [1]; N/S, Nord/Süd Seite 38
39 8. Magnetische Energie Definition Energie und Co-Energie: H [A/m]; B [Vs/m²] Magnetische Energiedichte w mag B HdB; [J/m³] Magnetische Co-Energiedichte w co mag Magnetische Energie W Magnetische Co-Energie W mag co mag H V V BdH; w w mag co mag dv; [J] dv; [J/m³] [J] Seite 39
40 8. Magnetische Energie Magnetischer Fluss B da B A A Magnetische Durchflutung: N I [A]; [Vs]; B [Vs/m²]; Seite 40
41 8. Magnetische Energie Wandlung magnetischer Energie in mechanische Energie: W mech Mechanische Energie berechnet aus der Co-Energie-Differenz W mech W co mag co minw max mag Seite 41
42 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Dauermagnete 10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Seite 42
43 10. Dauermagnete Aufmagnetisieren eines Permanentmagnetkreises Durchflutungsansatz: Legende: H = magnetische Feldstärke [A/m]; s = Feldlinienlänge [m]; n = Windungszahl [1]; I = Strom [A]; = Durchflutung (Theta) [A] Seite 43
44 10. Dauermagnete Permanentmagnetkreis ohne Luftspalt Durchflutungsansatz: Legende: H = magnetische Feldstärke [A/m]; s = Feldlinienlänge [m]; n = Windungszahl [1]; I = Strom [A]; = Durchflutung (Theta) [A] Seite 44
45 10. Dauermagnete Permanentmagnetkreis mit Luftspalt Durchflutungsansatz: die Geradengleichung Legende: H = magnetische Feldstärke [A/m]; s = Feldlinienlänge [m]; = Luftspalt [m] n = Windungszahl [1]; I = Strom [A]; = Durchflutung (Theta) [A] Seite 45
46 10. Dauermagnete Permanentmagnetkreis mit Luftspalt Geradengleichung Legende: H = magnetische Feldstärke [A/m]; s = Feldlinienlänge [m]; = Luftspalt [m] n = Windungszahl [1]; I = Strom [A]; = Durchflutung (Theta) [A] Seite 46
47 10. Dauermagnete Eisenbehafteter Magnetkreis Durchflutungsansatz: Legende: H = magnetische Feldstärke [A/m]; s = Feldlinienlänge [m]; = Luftspalt [m] n = Windungszahl [1]; 0 = Permeabilität [Vs/(Am)] I = Strom [A]; = Durchflutung (Theta) [A] Seite 47
48 10. Dauermagnete Eisenbehafteter Magnetkreis Durch Ausklammern folgt Geradengleichung mit negativer Steigung Legende: H = magnetische Feldstärke [A/m]; s = Feldlinienlänge [m]; = Luftspalt [m] n = Windungszahl [1]; 0 = Permeabilität [Vs/(Am)] I = Strom [A]; = Durchflutung (Theta) [A] Seite 48
49 10. Dauermagnete Eisenbehafteter Magnetkreis mit elektrischer Erregung Durchflutungsansatz: Legende: H = magnetische Feldstärke [A/m]; s = Feldlinienlänge [m]; = Luftspalt [m] n = Windungszahl [1]; 0 = Permeabilität [Vs/(Am)] I = Strom [A]; = Durchflutung (Theta) [A] Seite 49
50 10. Dauermagnete Eisenbehafteter Magnetkreis mit elektrischer Erregung Durch Umstellen folgt die Geradengleichung Legende: H = magnetische Feldstärke [A/m]; s = Feldlinienlänge [m]; = Luftspalt [m] n = Windungszahl [1]; 0 = Permeabilität [Vs/(Am)] I = Strom [A]; = Durchflutung (Theta) [A] Seite 50
51 10. Dauermagnete Eisenbehafteter Magnetkreis mit elektrischer Erregung Geradengleichung Legende: H = magnetische Feldstärke [A/m]; s = Feldlinienlänge [m]; = Luftspalt [m] n = Windungszahl [1]; 0 = Permeabilität [Vs/(Am)] I = Strom [A]; = Durchflutung (Theta) [A] Seite 51
52 Inhaltsverzeichnis 1. Mathematische Grundlagen 2. Klassifikation der Felder 3. Erste Maxwell sche Gleichung 4. Zweite Maxwell sche Gleichung 5. Dritte Maxwell sche Gleichung 6. Vierte Maxwell sche Gleichung 7. Magnetische Scherung 8. Magnetische Energie 9. Dauermagnete 10.Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Seite 52
53 10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Festtagsbraten Magnet Seite 53
54 10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Definition der Diffusion: Ein stattfindender Ausgleichsvorgang von Konzentrationsunterschieden Diffusionsvorgänge in der Natur: Osmose als Beispiel einer einseitigen Diffusion von Wassermolekülen durch eine semipermeable Membran in Richtung der niedrigeren Konzentration (bei Regen platzen die Kirschen auf). Regen durchdringt die trockene Erde (niedrigere Konzentration). Bei Trockenheit verdunstet das Wasser im Boden. Die niedrigere Konzentration ist in der Luft zu finden (Beispiel einer zweiseitigen Diffusion). Diffusionsvorgänge in der Technik: Wärmeleitung von Warm nach Kalt, magnetische Feldausbreitung in Magnetwerkstoffen in Richtung niedrigerer Flussdichte. Seite 54
55 10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Thermisches Netzwerk: Festtagsbraten als Anwendungsbeispiel Legende: Q= Wärmemenge [J]; Rth = Wärmewiderstand [K/W]; Cth = Wärmekapazität [J/K] Pv = therm. Spannungsquelle [W]; = Temperatur [K] Seite 55
56 10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Wärmeleitung: Differenzialgleichung 2 ter Ordnung gekennzeichnet durch zwei Ortsableitungen und eine Zeitableitung. Die Temperatur ist eine skalare Größe. Eindimensionale Wärmeleitungsgleichung 2 c 2 x t Legende: = Dichte [kg/m³]; = Wärmewiderstand [W/(m K)]; c = spezifische Wärmekapazität [J/(kg K)] x = Weg [m]; = Temperatur [K] t = Zeit [s] Angaben für Kupfer: = 8960 kg/m³; = 384 W/(m K); c = 383 J/(Kg K); Koeffizient = 8936 s/m² einfache Zeitableitung Koeffizient zweifache Ortsableitung Seite 56
57 10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Beispiel einer linearen, eindimensionalen Temperaturdiffusion in Kupfer Seite 57
58 10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Vom Elektromagneten zur Felddiffusion Seite 58
59 10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Thermisches Netzwerk: Elektromagnet als Anwendungsbeispiel Legende: Q= Wärmemenge [J]; Rth = Wärmewiderstand [K/W]; Cth = Wärmekapazität [J/K]; Pv = therm. Spannungsquelle [W]; = Temperatur [K] Seite 59
60 10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Felddiffusion: Differenzialgleichung 2 ter Ordnung gekennzeichnet durch zwei Ortsableitungen und eine Zeitableitung. Die Flussdichte ist eine vektorielle Größe. Legende: B = magnetische Flussdichte [Vs/m²]; x = Weg [m]; = Permeabilität [Vs/(Am)]; = spezifische elektrische Leitfähigkeit [A/(Vm)]; Angaben für Kupfer: = 58 1E6 A/(Vm) ; = 1,256 1E-6Vs/(A m); Koeffizient = 73 s/m² Eindimensionale Felddiffusionsgleichung 2 B 2 x B t zweifache Ortsableitung einfache Zeitableitung Koeffizient Seite 60
61 10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten Beispiel einer linearen, eindimensionalen Felddiffusion in Kupfer MATLAB-Ergebnis: Im Kupfer verläuft die magnetische Felddiffusion 122 x schneller als die thermische Diffusion! Seite 61
62 10. Gemeinsamkeiten von Festtagsbraten und Magneten bla bla Beispiel einer nichtlinearen zweidimensionalen Felddiffusion im Eisen Seite 62
63 Programm Wintersemester 2012/13 Seite 63
64 Magnetics 4 Freaks Alles rund um den Elektromagnetismus Wintersemester 2012/13 Willkommen an der Reinhold-Würth-Hochschule in Künzelsau Die Kolloquiumsreihe von Hochschule und Industrie Prof. Dr.-Ing. Jürgen Ulm Institut für schnelle mechatronische Systeme (ISM) Seite 64
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