Stefan Große. 6. Dezember 2005

Transkript

1 Hilfestellung zur Bratwurst Aufgabe Stefan Große Lehrstuhl für Mikroökonoie insb. Ind. Ök. 6. Dezeber 200 Einführung Die Bratwurst Aufgabe ist intuitiv nicht so einfach zu erfassen. In der Übung i WS 2004/0 hatten zuindest einige Studenten Problee dait. U die Aufgabe anschaulicher zu achen habe hier neben der Lösung der Aufgabe ein Beispiel angegeben u den Effekt besser zu verdeutlichen. Dieses Beispiel habe ich it einer allgeeinen Herleitung begonnen u auch diese nochals zu verdeutlichen. In diese allgeeine Lösung können dann Werte eingesetzt werden. Für das Beispiel wurde zusätzlich eine Nutzenfunktion und ein Budget angenoen, die es eröglichen sollen, die Arguente der Übung durch konkrete Zahlen zu veranschaulichen und zude z.b. ittels Excel Grafiken darzustellen. 2 Aufgabe Student S aus E sei ein nutzenaxiierendes Individuu aus der Mikroökonoie it den dort unterstellten typischen Präferenzen. Er kauft neben anderen Gütern 0 Thüringer Bratwürste pro Monat, wenn der Preis je Wurst 4,00 beträgt. Jetzt steigt aber der Preis auf,00, alle anderen Preise bleiben gleich. Gleichzeitig steigt auch sein Einkoen u 0,00 pro Monat. Steigt der Nutzen von S, bleibt er gleich oder sinkt er? (Graphisch zu lösen. Starten Sie it den zwei passenden Tangentiallösungen...) 2. Lösung Der neue Nutzen ist indestens genau so groß wie der alte. Wenn das erhöhte Einkoen vollständig für Bratwürste eingesetzt würde, könnte der Preisanstieg vollstän-

2 dig kopensiert werden. Andererseits kann das erhöhte Einkoen ja auch für andere Güter ausgegeben werden. Bei veränderte relativen Preis habe ich dadurch sogar einen höheren Nutzen. Wahrscheinlich werden also weniger Bratwürste und ehr andere Güter auf eine höheren Nutzenniveau konsuiert. Abbildung : Graphische Lösung der Bratwurstaufgabe Vielleicht wird es ein wenig plausibler wenn ich die Änderung der Ursprungssituation in zwei Phasen teile:. Preiserhöhung der Bratwürste 2. Budgeterhöhung Durch die Preiserhöhung der Bratwürste wird die Budgetgeraden entgegengesetzt des Uhrzeigersinnes gedreht. Ich kann ir jetzt, wenn ich alles Geld in Bratwürste stecke weniger Bratwürste leisten. Daher berührt die Budgetgerade die y Achse in eine tieferen Punkt. Der Berührungspunkt it der x-achse ändert sich nicht, da ja der Preis der anderen Güter gleich bleibt. Erhöht sich nunehr das Budget, verschiebt sich die Budgetgerade parallel vo Ursprung weg. Der Student kann sich nun sowohl ehr Bratwürste als auch ehr andere Güter leisten. Da die Budgeterhöhung in der Aufgabe den theoretischen Verlust durch die Preiserhöhung kopensiert, schneidet die neue Budgetgerade (orange) die alte (grün) i alten 2

3 Optiu. Der Student ist also theoretisch in der Lage das selbe Konsugüterbündel zu konsuieren. Dies wird er aber nicht tun. Waru? Wir sehen die neue Budgetgeraden schneidet die alte Nutzenkurve. Das liegt a veränderten Anstieg respektive Preisverhältnis. Der Student könnte seinen Nutzen steigern, inde er sich vo alten Optiu auf der Budgetgeraden nach rechts bewegt. Dies heißt nun wiederu aber auch, daß er weniger Bratwürste als i alten Optiu konsuieren wird. Man darf nicht vergessen: er setzt sein neues Budget natürlich auch dazu ein, ehr andere Güter zu konsuieren. 3 Das Beispiel Zusätzlich zu der Aufgabe oben (Bratwurstpreis sei 4, wobei 0 Würste pro Monat konsuiert werden, nun erhöhe sich der Preis auf und das Budget u 0) kot nun hinzu: Es sei ein Budget von 400 gegeben und die anderen Güter haben einen durchschnittlichen Preis von. Die Nutzenfunktion sei U(x; y) = x 0, y 0,9 wobei x die Bratwürste und y die anderen Güter bezeichnen soll. Mögliche Fragestellungen: Wo sind die optialen Güterbündel zu Beginn, nach Preiserhöhung, sowie nach Preiserhöhung und Budgeterhöhung? Wie hoch sind die Nutzenniveaus in diesen drei Fällen? Wie kann ich die Budgetgeraden und die Nutzenkurven (Iso-Nutzenlinien: Nutzenniveau ist gleich auf der ganzen Linie) graphisch darstellen? (Gleichungen herleiten?) 3. Allgeeine Lösung Statt von der Funktion direkt auszugehen soll nun erst einal eine allgeeinere Lösung hergeleitet werden. Daher werden die Potenzen vorerst durch a und b ersetzt. Also leiten wir zuerst die Lösung für eine Nutzenfunktion U(x; y) = x a y b und für ein Budget = p x x + p y y her: U(x; y) = x a y b MU x = ax a y b 3

4 MU y = bx a y b MRS = MU x MU y = axa y b = a y b x MRS = MRT a b y x = p x p y bx a y = a x a y b y b b x a x y b x = a p y y b p x = p x x + p y y a p y = p x y + p y y = a b p x b p yy + p y y y = b a + b MRS = MRT a y b x = p x p y y = b p x x a p y = p x x + p y y b p x = p x x + p y x = p x x + b a p y a p xx x = a a + b 3.2 Einsetzen p y p x Nun können die Werte aus de Beispiel in die allgeeine Lösung eingesetzt werden.. Anfang: x = a a+b p x = 0, x a y b = x 0, y 0,9 = 0 0, 72 0,9 = 9, 2. nach Preiserhöhung: x = a = 0 und y = b a+b p x = 0, U(x; y) = x a y b = x 0, y 0,9 = 8 0, 72 0,9 = 7, 8 a+b p y = 0,9 400 = 8 und y = b 3. nach Preiserhöhung und Budgeterhöhung: x = a b a+b p y = 0,9 400 = 72 sowie U(x; y) = a+b p y = 0,9 a+b p x = 0, 400 = 72 sowie 40 = 8, 2 und y = 40 = 73, 8 sowie U(x; y) = x a y b = x 0, y 0,9 = 8, 2 0, 73, 8 0,9 = 9, 24 Wir sehen: wir befinden uns a Ende tatsächlich auf eine höheren Nutzenniveau. Die Budgeterhöhung schlägt sich auch in der Konsution anderer Güter nieder, wird nicht nur in Bratwürste ugesetzt. 4

5 3.3 Zeichnen Wie kann ich dies nun graphisch usetzen? Bzw. wie setze ich die Beispielzahlen graphisch u? Für die Budgetgeraden sollte es klar und bis dato hinreichend geübt sein. U Verwirrungen zu vereiden lösen wir uns von der Notation der allgeeinen Lösung und kehren zurück zu: w sei die Zahl der Würste und g die anderer Güter. Die Preise sind entsprechend gezeichnet. Die it w bezeichneten Bratwürste sind nun auf der y-achse verzeichnet, die it g bezeichneten anderen Güter werden auf der x-achse abgetragen, das heißt also es wird zu einen die Budgetrestriktion nach w (also der y-achse) aufgelöst: = p w w + p g g = p g g + p w woit w = g = g + 00 die Gleichung zu zeichnen der ursprünglichen Budgetgeraden ist. Für die anderen Budgetgeraden üssen lediglich noch die Werte ausgetauscht werden. Die Vorgehensweise für Nutzenfunktionen, also die Iso-Nutzenlinien ist ähnlich. Hierbei uß lediglich beachtet werden, daß die Iso-Nutzenlinie für das optiale Güterbündel gesucht wird. Wir erhielten für den Ausgangszustand einen Nutzen in der Höhe von 9,. Auf der Iso-Nutzenlinie ist der Nutzen überall konstant, also 9,. In die Nutzenfunktion U(w; g) eingesetzt heißt das: 9, = w 0, g 0,9. Diese Gleichnung uß nun nach x aufgelöst ( ) 0 9, werden. Ich erhalte: w = g = 9, 0 g 9. Dait kann ich nun die Iso-Nutzenlinie 0,9 der Ausgangssituation einzeichnen. Für die anderen Szenarien sind die entsprechenden Werte zu nutzen. Tabelle : Übersicht zu Zeichnen. Die Bratwürste (w) sind auf der y Achse abgezeichnet, daher ist alles nach w ugestellt. Optia Budgetgeraden Nutzenkurven w(bratw.) g(andere G.) alt w = 4 g + 00 w = ( 9, g 0,9 ) 0 = 9, 0 g nach Preisänderung w = g + 80 w = ( 7,8 g 0,9 ) 0 = 7, 8 0 g nach Budgetänderung w = g + 82 w = ( 9,24 g 0,9 ) 0 = 9, 24 0 g 9 8,2 73,8 Diese Gleichungen können nun benutzt werden u die Graphiken für das Beispiel z.b. ittels Excel, Matlab (oder die freie alternative Octave) oder das kostenlose gnuplot ( zu zeichnen. Das Excel file wird zur Verfügung gestellt. Der Matlab Code könnte so aussehen: clear

6 g=70:0.0:76; Ualt=9.^0*g.^(-9); Unachp=7.8^0*g.^(-9); Uneu=9.24^0*g.^(-9); BGalt=-/4*g+00; BGnachp=-/*g+80; BGneu=-/*g+82; plot (g,ualt,g,unachp,g,uneu,g,bgalt,g,bgnachp,g,bgneu) axis([ ]) h = legend( U_{alt}, U_{nachp}, U_{neu}, BG_{alt}, BG_{nachp}, BG_{neu},6); h=ylabel( Bratwürste ); h=xtitle( andere Güter ); h=text(72,0, \leftarrow altes Opt.., HorizontalAlignent, left ) h=text(72,8, \leftarrow Opt. nach Preisänd., HorizontalAlignent, left ) h=text(73.8,8.2, Opt. nach Preisänd. und Budgetänd.\rightarrow, HorizontalAlignent, right ) h=title( \textbf{bratwurst Aufgabe} ); set(h, Interpreter, latex ); Hier wird nur der Ausschnitt zwischen 70 und 76, resp. 6 bis 2 betrachtet. Für das Gesatbild uß das Intervall bei g und bei axis entsprechend angepaßt werden. 6

7 Abbildung 2: Matlab Output (Ausschnitt) 7

8 Mit gnuplot in einer etwas einfacheren Variante (** bedeutet Potenz): set xrange[70:76] set yrange[6:2] set title "Bratwurstaufgabe" set xtitle "andere Gueter" set ytitle "Bratwuerste" plot 9.**0*x**(-9), 7.8**0*x**(-9), 9.24**0*x**(-9), *x+00, -x+80, -x+82 Mit diese Ergebnis: Abbildung 3: Gnuplot Output (Ausschnitt) 8