3. Quintil. 2. Quintil

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1 Beispiel 9 (Einige Aufgaben und Illustrationen zur Lorenzkurve) Aufgabe Stellen Sie die Einkommensungleichheit in Argentinien, Brasilien, Costa Rica, Chile, Mexico, Panama, Peru und Venezuela mit Hilfe einer Lorenzkurve dar. Die Daten, die Sie kennen, sind die folgenden: Tabelle: Einkommensverteilungen in Südamerika Land Jahr. Quintil 2. Quintil. Quintil 4. Quintil 5. Quintil Argentinien Brasilien Costa Rica Chile Mexiko Panama Peru Venezuela Die reichsten 0 %

2 Aufgabe 2 Das Einkommen der 500 Angehörigen der Firma F-Mann wird durch folgende Tabelle beschrieben: Bruttolohn in DM bis über 400 bis 800 über 800 bis 200 über 200 bis 600 über 600 bis 2000 Anzahl Angehörige Bestimmen Sie die dazugehörige Lorenzkurve! Lösung: Bruttolohn bis unter bis unter bis unter bis unter bis unter kum. Häufigkeit absolut relativ Lohnempfänger Klassenmitte Lohnsummen kum. Häufigkeit absolut relativ % % % % % % % % % %

3 Aufgabe Für die Einkommensverteilung (private income) von Venezuela berichtet A.R.Gluski (989) drei verschiedene Statistiken: Quelle Quartil (0-25%) 2 (25-50%) (50-75%) 4 (75-00%). Weltbank: Bourguignon: Modell Gluski: a) Diskutieren Sie die Zahlen auf Zuverlässigkeit, Genauigkeit und Bedeutung insgesamt. b) Zeichnen Sie die Lorenzkurven der drei Verteilungen und prüfen Sie, wieweit Sie entscheiden können, welche Verteilung die geringste Ungleichheit aufweist. Lösung: Column Column 2 Column Column

4 4 Aufgabe 4 Ein Thema, das in der Wirtschaftspolitik eine große Rolle spielt, ist die Darstellung einer Lorenzkurve. Eine Lorenzkurve y = f(x) erfüllt folgende Eigenschaften: f(0) = 0, f() =, f'(x) 0, f"(x) 0, f(x) x, 0 x Betrachten Sie die folgende Stichprobe zur Einkommensverteilung für Italien: Dezile Verfügbares Einkommen nach Steuern in Italien Laufende Summe Zeichnen Sie die Lorenzkurve. Lösung Lorenz-Kurve Italien

5 Aufgabe 5 Bestimmen Sie für die folgenden Einkommen die Lorenzkurven, d.h. für (Vergleich Sie ebenfalls in Kapitel ) Land : Zahl Bezüge unterer Dienst: 0 00 mittlerer Dienst: oberer Dienst: 200 Land 2: Zahl Bezüge unterer Dienst: mittlerer Dienst: oberer Dienst: Land : Zahl Bezüge unterer Dienst: mittlerer Dienst: oberer Dienst: Lösung 5 00 % Einkommen Column Column 4 Column 5 Column 6 Column 7 Column % Einkommensbezieher

6 Illustration : Eine typische Lorenzkurven-Anwendung Die Größenverteilung landwirtschaftlicher Nutzflächen im Vergleich 980 und 992 Quelle: Missong, Martin, Aufgabensammlung zur deskriptiven Statistik, Verlag Oldenbourg, München, Wien 99, S Bezeichnungen von bis = Intervalle (Klasse) 2 x i = Spannweite des Intervalls x i = Klassenmitte des Merkmals 4 n i = absolute Häufigkeit des Merkmals 5 f i = relative Häufigkeit des Merkmals 6 F i = kumulierte Häufigkeit 7 x i n i = Masse des Merkmals 8 g i = durchschnittliche Masse des Merkmals 9 G i = kumulierte Masse des Merkmals

7 7 Aufgabe 6 Bei der Wahl des Aufsichtsrates einer Aktiengesellschaft gilt bekanntlich nicht das Prinzip "Ein Mann - Eine Stimme", sondern die Anzahl der Stimmen, die eine Person bei einer Aktionärsversammlung zur Verfügung hat. Sie wird durch die Stärke des Aktienpakets bestimmt, über das diese Person verfügt. Auf einer solchen Versammlung ergab sich folgende Verteilung der Aktien (in tausend Stück): Kleinaktionäre B-Bank C-Bank D-Bank D2-Bank Zeichnen Sie die Lorenzkurve (mit Achsenbeschriftung) für diese Verteilung der Aktien und geben Sie die entsprechenden kumulierten Anteile explizit an. Aufgabe 7 Zehn Angestellte eines Betriebes haben folgende Monatseinkommen (in 000 DM): 2.4;.; 4.0;.5;.8; 2.4; 2.6;.8; 2.4; 2.6;.8; 2.4; 2.8. a) Stellen Sie diese Einkommensverteilung graphisch dar b) Bestimmen Sie den Modalwert dieser Einkommensverteilung. Aufgabe 8 Der Markt für ein bestimmtes Produkt teilt sich (in Prozent) wie folgt zwischen fünf Anbietern auf: A A 2 A A 4 A 5 0% 0% 20% 5% 5% a)zeichnen Sie die Lorenz-Kurve für diese Marktaufteilung. b)nehmen Sie an, der Anbieter A unternimmt einen Werbefeldzug für seinen Artikel und erreicht, daß bei Beendigung dieser Werbeaktion sich folgende Marktaufteilung (in Prozent) einstellt: A A 2 A A 4 A 5 Zeichnen Sie die Lorenz-Kurve. 40% 0% 5% 5% 0% Aufgabe 9 Ein Markt werde von 5 Unternehmungen beliefert. Unternehmungen besitzen jeweils 0% Marktanteil, die restlichen beiden besitzen einen Marktanteil von 20% bzw. 50%. Stellen Sie die zugehörige Lorenzkurve auf. Aufgabe 9 In einer Großstadt teilen sich fünf Brauereien den städtischen Biermarkt wie folgt Brauerei A B C D E Marktanteil a) Berechnen und zeichnen Sie die Lorenzkurve. b) Berechnen Sie den Ginikoeffizienten.

8 8 Aufgabe 0 Für international operierende Gesellschaften ist es selbstverständlich, ihr Personal weltweit von einer nationalen Beteiligung zu einer anderen auszutauschen. Für die Mitarbeiter ist das in Ordnung und kein Problem, solange die "Kasse stimmt" und Arbeitsklima und sonstige Umgebung der Firma in Ordnung sind. Ein Kriterium zur Beurteilung des Firmenklimas sind die Gehaltsrelationen, d.h. was verdient der niedrigstbezahlte Arbeitnehmer, z.b. der Pförtner, und was erhält der Direktor (CEO), die Spitzenposition, und wie ist die Spanne dazwischen. Angenommen, es wären drei nationale Firmen zu beurteilen, eine in Spanien (S), eine in Deutschland (D) und eine in Polen (P). In allen dreien wird in etwa die gleiche Wertschöpfung (Einkommen) erbracht, nämlich 20 Geldeinheiten $, und es wird zwischen drei Einkommensgruppen: Arbeitern (A), mittleres Management (M) und Vorstand (V) unterschieden. Gesamteinkommens- Kopfzahl relation zwischen A M V A und M und V. Firma S: 6: 5: Firma D: 8: : Firma P: 4: 4: Interpretieren Sie die Zahlen anhand einer Lorenzkurve; bevor Sie die Zeichnung anlegen. Überprüfen Sie, ob alle Zahlen den notwendigen Anforderungen einer Lorenzkurve entsprechen. Lösung: Die Ausgangzahlen sind: Gesamteinkommens- Kopfzahl relation zwischen A M V A und M und V. Firma S: 6: 5: Firma D: 8: : Firma P: 4: 4: x-koordinate der Lorenzkurve sind die kumulierten Zahlen der Einkommensbezieher S: 60/90 20/90 0/90 60/90 80/90 90/ D: 75/90 0/90 5/90 75/90 85/90 90/ P: 70/90 6/90 4/90 70/90 86/90 90/

9 9 y-koordinate der Lorenzkurve sind die kumulierten Zahlen der Einkommens-relationen S: 6/2 5/2 /2 6/2 /2 2/ D: 8/2 /2 /2 8/2 /2 2/ P: 4/2 4/2 4/2 4/2 8/2 2/ Die folgende Überlegung zeigt, daß man in dieser Weise die Lorenzkurven nicht zeichnen kann, denn es folgt: Durchschnittliches Einkommen pro Kopf: Gesamteinkommens- Kopfzahl relation zwischen A M V A und M und V. Firma S: 6: 5: 60/60 50/20 0/ Firma D: 8: : 80/75 0/0 0/ Firma P: 4: 4: 4 40/70 40/6 40/ Damit sind die Einkommensklassen umzusortieren: in S: A V M, in S: A V M, in P ist die Ordnung zutreffend. x-koordinate der Lorenzkurve sind die kumulierten Zahlen der Einkommensbezieher A V M S: 60/90 0/90 20/90 60/90 70/90 90/ A V M D: 75/90 5/90 0/90 75/90 80/90 90/ y-koordinate der Lorenzkurve sind die kumulierten Zahlen der Einkommens-relationen A V M S: 6/2 /2 5/2 6/2 7/2 2/ A V M D: 8/2 /2 /2 8/2 9/2 2/ Damit folgt die Menge dreier Lorenzkurven:

10 0 Gini-Koeffizient und Lorenz-Kurve Firma P (mit Beobachtungen) X: Y: Anstieg Die Fläche unter der Lorenzkurve =.2555; Gini-Koeffizient =.489 Gini-Koeffizient und Lorenz-Kurve Firma S modifiziert (mit Beobachtungen) X: Y: Anstieg Die Fläche unter der Lorenzkurve =.402; Gini-Koeffizient =.975

11 Gini-Koeffizient und Lorenz-Kurve Firma D modifiziert (mit Beobachtungen) X: Y: Anstieg Die Fläche unter der Lorenzkurve =.469; Gini-Koeffizient =.662 Insgesamt: 25 Lorenz-Aufgabe 00 Einkommen-S Einkommen-S Einkommen-D Einkommen-P Bezieher-S

12 2 Aufgabe (Eine Lorenzkurve für einen Thai-Distrikt) Bestimmen Sie die Lorenzkurve für die folgenden Daten Durchschnittliches monatliches Haushaltseinkommen in Baht Anzahl der Beobachtungen prozentuale Verteilung weniger als 2.000,4 % , % ,0 % , % ,8 % ,9 % , % ,6 % ,2 % ,7 % mehr als , %

13 Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Lorenzkurve für die Größenverteilung philippinischer Bauernhöfe. Die Daten sind wie folgt: Landwirtschaftliche Betriebe in den Philippines klassifiziert nach Größe und Anteil an der landwirtschaftlich genutzten Fläche, 90 Größe des Betriebes Anzahl der Betriebe Anteil an der Gesamtfläche Alle Betriebe Weniger als 0.5 ha Mehr als 0.5 und weniger als ha Mehr als und weniger als 2 ha Mehr als 2 und weniger als 5 ha Mehr als 5 und weniger als 0 ha Mehr als 0 und weniger als 5 ha.8 6. Mehr als 5 und weniger als 0 ha Mehr als 0 und weniger als 50 ha Mehr als 50 und weniger als 00 ha Mehr als 00 ha Quelle: O.D. Corpuz, Land and agriculture in the Philippines: an economic history perspective, Philippine Review of Economics and Business 29, No.2, December 992

14 4 Aufgabe Betrachten Sie folgende Abbildung und interpretieren Sie die Angaben: Quelle: Newsweek, 8. Januar 996, S. 4 Aufgabe 4 Stellen Sie zu der nachfolgenden Tabelle die zugehörigen Lorenz-Kurven auf: monatliches Nettoeinkommen von... bis unter... DM Beamte (in%) Angestellte (in%) Arbeiter (in%) insgesamt (in%) unter und mehr

15 5 Aufgabe 5 (Lorenzkurve,und Einkommen) Stellen Sie folgende Einkommensverteilung als Lorenzkurve dar. Wochenlohn Häufigkeit Aufgabe 6 (Lorenzkurve, Ginikoeffizient und Parteienmacht) Bei einer Untersuchung über die Anhängerschaft von drei Parteien A, B und C in der wahlberechtigten Wohnbevölkerung eines Landes erhält man in einem bestimmten Jahr das folgende Ergebnis: 5% der Wahlberechtigten sind Anhänger der Partei A, 0% der Wahlberechtigten sind Anhänger der Partei B, 55% der Wahlberechtigten sind Anhänger der Partei C. a) Berechnen und zeichnen Sie die Lorenzkurve. b) Berechnen Sie den Ginikoeffizienten. Aufgabe 7 (Lorenzkurve, Ginikoeffizient und Marktanteil) Ein Markt werde von vier Oligopolisten beherrscht. Ihre jeweiligen Marktanteile seien 0%, 20%, 0% und 40%. a) Berechnen und zeichnen Sie die Lorenzkurve. b) Berechnen Sie den Ginikoeffizienten. Aufgabe 8 In der Diskussion zur Ungleichheit in den Ländern F und D wird am Ende des Jahres 996 in der Süddeutschen Zeitung, bzw. in Newsweek folgendes behauptet: In Land D beziehen / der Einkommensbezieher 2/ des verfügbaren Einkommens. In In Land F verfügen /0 der Bürger über die Hälfte des Vermögens. a) Zeichnen Sie für beide Situationen die Lorenzkurve. b) Bestimmen Sie den jeweilig zugehörigen Gini-Koeffizienten. c) In welchem Land ist die Ungleichheit größer, wenn Sie nur diese Information haben?

16 6 Aufgabe 9 (Lorenzkurve) Das Einkommen von den 500 Angehörigen der Firma F wird durch folgende Tabelle beschrieben: Bruttolohn in DM bis 400 über 400 bis 800 über 800 bis 200 über 200 bis 600 über 600 bis 2000 Anzahl Angehörige Bestimmen Sie die dazugehörige Lorenzkurve! Lösung: Bruttolohn bis unter bis unter bis unter bis unter bis unter kum. Häufigkeit absolut relativ Lohnempfänger Klassenmitte Lohnsummen kum. Häufigkeit absolut relativ % % % % % % % % % %

17 7 Aufgabe 20 (Lorenzkurve) Sei die Konzentration auf einem Produktmarkt mit 5 Anbietern wie folgt: Anbieter besitzen je 5% Marktanteil, ein Anbieter 5% und einer 70% Marktanteil. Der gesamte Umsatz betrage 0 Mrd DM. Stellen Sie die zugehörige Lorenzkurve auf. Lösung Die Tabelle zeigt die Ausgangsdaten sowie in den letzten beiden Spalten die benötigten Werte für die kumulierten Anteile der Merkmalsträger bzw. Merkmalsausprägungen. Kumulierter Kumulierter Anteil an Anteil an Anteil der Anteil der der gesamten der gesamten Merkmals- Merkmals- Merkmals- Merkmals- Unter- Umsatz träger träger summe summe nehmen in Mrd DM (Unternehmen) (Unternehmen) (Umsätze) (Umsätze) Lorenzkurve",2,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2

18 8 Aufgabe 2 (Lorenzkurve) Für die Einzelhandelsunternehmen eines kleinen Bundeslandes S sei folgende Übersicht betrachtet: Anzahl der Einzel- Umsatz in DM 000 handelsunternehmen [0, 0) 200 [0, 50) 00 [50, 00) 250 [00, 00) 250 Berechnen Sie die Werte der Lorenzkurve und stellen Sie die errechneten Werte graphisch dar. Welchen Anteil an der Merkmalssumme haben 20% (75%) der Merk-malswerte? Lösung: x Σx y Σy A= 0.077; B= ; Gini-Koeffizient G= B/(A+B)= 0.495

19 9 Aufgabe 22 (Lorenzkurve nach D. Hochstädter, Einführung in die statistische Methodenlehre Für den Konzern S aus der Großstadt M wurde zu den Tarifverhandlungen die folgende Übersicht zu den einzelnen Lohnklassen aufgestellt: Merkmals- kumulierte Klassen- summe der relative relative Lohnklasse mitte absolute relative Klassen Merkmals- Merkmals- (in Tsd DM) (in Tsd) Häufigkeit Häufigkeiten (in Tsd) summe summe m i n i n i /n n i m i [ 0, 2.4) [ 2.4, 4.8) [ 4.8, 7.2) [ 7.2, 9.6) [ 9.6, 2.0) [ 2.0, 6.0) [ 6.0, 20.0) [ 20.0, 25.0) [ 25.0, 6.0) [ 6.0, 50.0) [ 50.0, 75.0) [ 75.0, 00.0) [ 00.0, 200.0) Lösung,2,0 0,8 Lorenzkurve der Löhne" 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8,0,2

20 20 Aufgabe 2 (Lorenzkurve und Gini) Das Einkommen von drei Leuten sei wie folgt: Person TDM/Monat Zeichnen Sie die Lorenzkurve und berechnen Sie den Gini-Koeffizienten. Lösung: Anteile (relative und kumulierte) x y x y Fläche unter der Kurve: (Ein Dreieck und zwei Trapeze) ( ) 2 + ( 2 +) 2 = 7 8 Fläche unter der Diagonalen und über der Kurve: = 2 8 ; G = 2 8 / = 2/

21 2 Aufgabe 24 (Vergleich zweier Lorenzkurven) Stellen Sie zu der nachfolgenden Tabelle die zugehörigen Lorenz-Kurven auf: Size class West-Germany number (000) The Netherlands number (000) growth (%) growth (%) less than 5 ha <20 ha <50 ha <00 ha ha and more Total number Average size (ha) Aufgabe 25 (Die Variation der Lorenzkurve) a) Zeichnen Sie die Lorenzkurve für folgende Alternativen: Es gibt insgesamt 0 Einkommensempfänger und ein Gesamteinkommen E von E > 0, z.b. E = 200 Fall 0: Alle bekommen gleichmäßig viel. Fall : Der erste bekommt eine Geldeinheit, die übrigen jeweils gleichmäßig viel vom Rest. Fall 2: Die beiden ersten bekommen jeweils eine Geldeinheit und die übrigen jeweils gleich viel vom Rest. Fall 9: Die ersten neun bekommen jeweils eine Geldeinheit und der letzte den Rest. b) Wie ändert sich der Gini-Koeffizient? Aufgabe 26 Ein nicht ganz übliche Anwendung der Lorenzkurve ist in der Bewertung von Literaturzitaten. Hier geht es um die Frage, wie oft wird ein Artikel zitiert? Die meisten Artikel, z.b. 40% in den Wirtschaftswissenschaften, werden überhaupt nicht zitiert, d.h. haben keinerlei Einfluß, die nächsten 25% werden einmal, die weiteren 20 % zweimal und der Rest im Durchschnitt 0-mal zitiert. wie sieht die zugehörige Lorenzkurve aus?

22 22 Aufgabe 27 (Lorenzkurve und Gini) Das Einkommen von drei Leuten sei wie folgt: Person TDM/Monat Zeichnen Sie die Lorenzkurve und berechnen Sie den Gini-Koeffizienten. Lösung: Anteile (relative und kumulierte) x y x y Fläche unter der Kurve: (Ein Dreieck und zwei Trapeze) ( ) 2 + ( 2 +) 2 = 7 8 Fläche unter der Diagonalen und über der Kurve: = 2 8 ; G = 2 8 / = 2/

23 2 Aufgabe 28 (Lorenzkurve und Gini) Das Einkommen von vier Leuten sei wie folgt: Person TDM/Monat Zeichnen Sie die Lorenzkurve und berechnen Sie den Gini-Koeffizienten Lösung: A= 0.625; B= 0.75 ; Gini-Koeffizient G= B/(A+B)= 0.275

24 24 Aufgabe 29 (Lorenzkurve und Gini) Das Einkommen von zehn Leuten sei wie folgt: Person TDM/Monat Zeichnen Sie die Lorenzkurve und berechnen Sie den Gini-Koeffizienten Lösung: A= 0.555; B= ; Gini-Koeffizient G= B/(A+B)= 0.289

25 25 Aufgabe 0 (Lorenzkurve und Gini) Das Einkommen von zwanzig Leuten sei wie folgt: Person TDM/Monat Zeichnen Sie die Lorenzkurve und berechnen Sie den Gini-Koeffizienten

26 26 Lösung: A= 0.825; B= ; Gini-Koeffizient G= B/(A+B)= 0.675

27 27 Aufgabe Das Einkommen von 50 Leuten sei wie folgt verteilt: Wert Wer Häufigkeit Zeichnen Sie die Lorenzkurve und bestimmen Sie den Gini-Koeffizienten! Man benutze die Klassenmitten und berechne das jeweilige Einkommen der Intervalle, 550* *8 usw., woraus dann die prozentuale Verteilung des Einkommens folgt. Die Häufigkeiten der Merkmalsträger werden wie diskreten Fall bestimmt Wert Wert Häufigkeit Es folgt die Lorenzkurve sowie A= ; B= ; Gini-Koeffizient G= B/(A+B)=