Grundlagen der Elektrotechnik 2

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1 Wolf-Ewald Büttner Grundlagen der Elektrotechnik. Auflage Oldenbourg

2 Grundlagen der Elektrotechnik von Prof. Dipl.-ng.Wolf-Ewald Büttner., verbesserte Auflage Oldenbourg Verlag München Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

3 nhalt Einleitung Grundbegriffe der Wechselstromtechnik. Kenngrößen periodisch zeitabhängiger Größen..... Periodendauer und Frequenz..... Arithmetischer Mittelwert Gleichrichtwert Effektivwert Formfaktor und Scheitelfaktor...9. Kenngrößen sinusförmiger Wechselgrößen..... Kreisfrequenz und ullphasenwinkel..... Mittelwerte sinusförmiger Wechselgrößen..... Formfaktor und Scheitelfaktor sinusförmiger Wechselgrößen...6 Sinusförmige Wechselgrößen 7. eigerdarstellung einer Sinusgröße...7. Überlagerung sinusförmiger Wechselgrößen Überlagerung gleichfrequenter Wechselgrößen Überlagerung verschiedenfrequenter Wechselgrößen.... Komplexe Rechenmethode Lineare passive weipole Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert Ohmscher Widerstand nduktiver Blindwiderstand Kapazitiver Blindwiderstand Reihen- und Parallelschaltung passiver weipole Reihenschaltung linearer passiver weipole und komplexer Widerstände, Spannungsteilerregel Parallelschaltung linearer passiver weipole und komplexer Widerstände, Stromteilerregel Äquivalente Schaltungen...57 Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

4 V nhalt.6 etzwerkberechnungen Einfache gemischte Schaltungen eigerdiagramme Maschenstromverfahren Knotenpotenzialverfahren Überlagerungsverfahren weipoltheorie Wechselstrombrücken Leistung Leistung der Grundzweipole Wirkleistung Blindleistung Scheinleistung und Leistungsfaktor Leistungsmessung im Einphasennetz Komplexe Leistung Blindleistungskompensation Leistungsanpassung Technische Wechselstromwiderstände Widerstand nduktivität Kapazität Resonanz Reihenresonanz Parallelresonanz Widerstandstransformation etzwerke mit mehreren Resonanzfrequenzen Vierpole... 4 Drehstrom 4. Drehstromsystem Grundbegriffe Möglichkeiten des usammenschaltens der Stränge Sternschaltung Sternschaltung bei symmetrischer Belastung am Vier- und Dreileiternetz... 8 Sternschaltung bei unsymmetrischer Belastung am Vierleiternetz Sternschaltung bei unsymmetrischer Belastung am Dreileiternetz Dreieckschaltung Dreieckschaltung auf der Erzeugerseite Dreieckschaltung bei symmetrischer und unsymmetrischer Belastung Stern- und Dreieckschaltung am Drehstromnetz Leistungen bei Drehstrom Messung der Wirkleistung bei Drehstrom Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

5 nhalt V 4.4. Messung der Blindleistung bei Drehstrom Blindleistungskompensation Durch Oberschwingungen hervorgerufene eutralleiterströme Ortskurven Ortskurven bei Reihen- und Parallelschaltungen von Grundzweipolen nversion von Ortskurven nversion eines Punktes nversion einer Geraden und Halbgeraden nversion von Kreisen Konstruktion der Ortskurven für etzwerke ichtsinusförmige Wechselgrößen und Mischgrößen Harmonische Synthese und Analyse Fourierreihen in reeller Darstellung Spektrum Effektivwert und Leistung Kenngrößen für nichtsinusförmige Wechselgrößen und Mischgrößen ichtsinusförmige Spannungen und Ströme in linearen etzwerken Übertragungsfunktion und Schaltvorgänge 5 7. Übertragungsfunktion Komplexe Kreisfrequenz Aufstellen der Übertragungs- und Dämpfungsfunktion usammenschaltung von etzwerken mit bekannter Übertragungsfunktion Bodediagramm Filter Schaltvorgänge Berechnung eines Gleichstromschaltvorgangs im eitbereich Berechnung eines Wechselstromschaltvorgangs im eitbereich Laplacetransformation Anwendung der Laplacetransformation auf Erregerfunktionen Anwendung der Laplacetransformation auf die Lösung von Differenzialgleichungen Anwendung der Laplacetransformation in Verbindung mit der Übertragungsfunktion Elektromagnetische Felder Maxwellsche Gleichungen in ntegralform Energietransport im elektromagnetischen Feld...70 Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

6 V nhalt 9 Transformator und Übertrager Aufgaben des Transformators und Übertragers Aufgaben des Transformators Aufgaben des Übertragers Aufgaben des Messwandlers dealer Transformator Spannungsübersetzung Stromübersetzung Leistungsübertragung Widerstandstransformation Lufttransformator dealer Lufttransformator Lufttransformator mit Streuung Frequenzgang des fest gekoppelten Übertragers Transformator mit Eisenkern Die Transformatorgleichungen Berücksichtigung der Kernverluste Transformator im Leerlauf Transformator im Kurzschluss Spannungsänderung Praxisgerechte Ersatzschaltbilder Spartransformator Bemessung des Eisenkerns Bemessung von Kleintransformatoren Lösung der Aufgaben Weiterführende Literatur 49 Stichwortverzeichnis 5 Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

7 4 Drehstrom 4. Drehstromsystem 4.. Grundbegriffe Anders als bei Einphasensystemen werden hier drei gleichfrequente sinusförmige Spannungen wirksam, die gegeneinander um einen gleichbleibenden Winkel phasenverschoben sind und einen gleichen Scheitelwert haben. Ein solches System bezeichnet man als symmetrisches Drehstrom- oder Dreiphasensystem. Es gibt auch Mehrphasensysteme, bei denen mehr als drei Spannungen miteinander verknüpft sind. Die größte wirtschaftliche und technische Bedeutung haben jedoch Drehstromsysteme, deshalb werden auch nur diese hier behandelt. Mit den vermittelten Kenntnissen lassen sich aber auch andere Mehrphasensysteme leicht verstehen und berechnen. n Band, Kap wurde gezeigt, wie eine in einem homogenen Magnetfeld rotierende Leiterschleife eine sinusförmige Spannung induziert. Ein Drehstromsystem könnte also dadurch aufgebaut werden, dass man drei getrennte Leiterschleifen mit gleicher Winkelgeschwindigkeit benutzt, die jeweils um 0 räumlich zueinander versetzt sind. atürlich würde eine solche Anordnung praktisch nicht funktionieren, da die geringste Abweichung die räumliche Lage zueinander verändert und somit das System unsymmetrisch macht. Montiert man dagegen alle drei Leiterschleifen jeweils um 0 verschoben auf eine gemeinsame Achse, so bleiben auch die Spannungen zeitlich zueinander um 0 versetzt. Die Differenz der ullphasenwinkel zwischen zwei aufeinander folgenden Spannungen ist somit: u 0 u u u u u (4.) n Abb. 4. sind die drei Leiterschleifen für den eitpunkt t = 0 gezeigt, wobei sie jeweils an ihrem Leiteranfang bezeichnet sind. n Abb. 4. sind das zugehörige Linien- und eigerdiagramm der Spannungen der drei Leiterschleifen dargestellt. Das eigerdiagramm gilt für die Effektivwerte. Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

8 4 Drehstrom Leiterschleife Leiterschleife Leiterschleife B Abb. 4.: Drei rotierende, um 0 versetzte Leiterschleifen im homogenen Magnetfeld u u u u 0 t u u u u Abb. 4.: Linien- und eigerdiagramm der Spannungen der drei Leiterschleifen aus Abb. 4. Die Spannung eilt gegenüber der Spannung um 0 voraus, d.h. sie erreicht ihr Maximum entsprechend früher, und sie eilt gegenüber um 0 nach. Demnach gilt: e e j u j u j j 0 u u e e e j u 0 j 0 u j0 e e e j0 Technische Generatoren werden allerdings in der Regel so aufgebaut, dass sich die Leiterschleifen bzw. Wicklungen auf dem ortsfesten Teil des Generators, dem Ständer befinden. Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

9 4. Drehstromsystem Das Magnetfeld rotiert. Dazu wird in der Regel auf dem Läufer oder Rotor eine Gleichstromwicklung aufgebracht, durch die ein in seiner Stärke veränderbares Magnetfeld aufgebaut wird. An dem Spannungsverlauf ändert sich dadurch nichts, solange die Flussänderung einer Sinusfunktion folgt. W V Läufer V S W Ständer Abb. 4.: Prinzipieller Aufbau eines nnenpol-drehstrom-synchrongenerators Jeder Teil beim Erzeuger, Verbraucher und der Leitungsverbindung zwischen beiden, in dem ein einheitlicher Strom fließt, wird Strang oder Phase genannt. Bei elektrischen Maschinen gibt es die drei Stränge, V und W. Der Anfang eines Strangs wird mit, V bzw. W und das jeweils zugehörige Ende mit, V und W bezeichnet. Die Spannungen in dem Linien- und eigerdiagramm der Abb. 4. nennt man entsprechend Strangspannungen. An die Anfangspunkte jedes Strangs werden die Außenleiter angeschlossen, die man mit L, L und L bezeichnet (vgl. Abb. 4.5 oder 4.6). Die frühere Bezeichnung dafür war R, S und T. Die Spannung zwischen zwei Außenleitern nennt man entsprechend Außenleiterspannung oder kurz Leiterspannung. Hat ein Erzeuger oder Verbraucher drei gleiche, d.h. symmetrische, Stränge und verbindet man die Enden derselben zu einem gemeinsamen Knotenpunkt, so bezeichnet man diesen als Sternpunkt (früher M oder Mp). An diesen Sternpunkt kann ein so genannter Sternpunktleiter, eutralleiter oder ullleiter angeschlossen werden (vgl. Abb. 4.5). Bei einem unsymmetrischen Verbraucher (unsymmetrische Erzeuger kommen praktisch nicht vor) heißt der gemeinsame Knotenpunkt K. 4.. Möglichkeiten des usammenschaltens der Stränge Die Abb. 4.4 zeigt ein so genanntes offenes Drehstrom- oder Dreiphasensystem. Man benötigt hier für jeden Strang eine eigene Hin- und Rückleitung. Wegen des hohen Materialaufwands für die Leitungen wird diese Schaltung praktisch nicht eingesetzt. Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

10 4 4 Drehstrom V W W V q q q v v v V W W V Abb. 4.4: Offenes Drehstromsystem Werden die drei Strangenden des Erzeugers und des Verbrauchers jeweils in einem gemeinsamen Sternpunkt (bzw. bei einem unsymmetrischen Verbraucher in einem gemeinsamen Knotenpunkt) miteinander verbunden, so erhält man für beide eine Sternschaltung, die mit dem Kurzzeichen symbolisiert wird. Die Strangspannungen werden bei Symmetrie mit, und bezeichnet, bei nsymmetrie mit K, K und K. V W L L L W V q q q v v v V W W V Abb. 4.5: Sternschaltung für den Erzeuger und Verbraucher Ein System mit drei Außenleitern L, L und L und einem Sternpunktleiter nennt man ein Vierleitersystem. Wird auf den Sternpunktleiter verzichtet, weil z.b. eine symmetrische Belastung vorliegt, so erhält man ein Dreileitersystem. An eine Sternschaltung kann sowohl ein Drei- als auch ein Vierleitersystem angeschlossen werden. Wird jedes Ende eines Strangs mit dem Anfang des nächsten Strangs verbunden, so erhält man eine Dreieckschaltung, sie wird durch das Kurzzeichen symbolisiert. An eine Dreieckschaltung kann nur ein Dreileitersystem angeschlossen werden. Die Strangspannungen sind hier gleich den Außenleiterspannungen und werden mit, und bezeichnet. Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

11 4. Sternschaltung 5 W L W q q v v W L W V q V L V v V Abb. 4.6: Dreieckschaltung für den Erzeuger und Verbraucher Da die Erzeugerseite (ndex q) bzw. das Drehstromnetz in der Regel als symmetrisch angesehen werden kann, d.h. die Spannungen haben alle den gleichen Effektivwert und sind gegeneinander um jeweils 0 phasenverschoben, erfolgt die nähere Betrachtung der Sternund Dreieckschaltung in den folgenden Kapiteln mit einer Ausnahme nur für Verbraucher (ndex v). 4. Sternschaltung Die Sternschaltung für einen Drehstromverbraucher ist nochmals mit allen Spannungen und Strömen in Abb. 4.7 dargestellt. Die Strangspannungen sind dabei zweimal angetragen. L L L Abb. 4.7: Sternschaltung eines Drehstromverbrauchers Die Strangspannungen, ausgedrückt als Augenblickswerte, lauten hier: Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

12 6 4 Drehstrom u u cos t u cos t u 0 u u cos t u 0 u n komplexer Form für die Effektivwertzeiger lauten die Strangspannungen bei Sternschaltung: e e e j j j u u u e e j j u 0 j0 u 0 j u 0 j0 e e e (4.) Bildet man die Summe der drei komplexen Spannungen, wobei hier der ullphasenwinkel der Spannung mit null angenommen wurde, so erhält man: cos0 j sin0 cos0 jsin0 0,5 j 0,866 0,5 j 0, (4.) Die Leiterspannungen erhält man, indem man die Maschengleichungen bildet. um Beispiel erhält man für die oberste Masche in Abb = 0. 0 (4.4) Die Summe der Leiterspannungen ist ebenfalls null, denn Die Strangströme ergeben sich aus dem Quotienten der jeweiligen Strangspannung und dem Strangwiderstand. Die Strangströme sind gleich den Außenleiterströmen. Bei der Sternschaltung sind die Leiterströme gleich den Strangströmen. 0. Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

13 4. Sternschaltung 7 st nur der Effektivwert eines Stromes von nteresse, so werden in diesem Buch Leiterströme mit L und Strangströme mit bezeichnet, d.h. bei Sternschaltung ist L =. Für die Ströme gilt nach dem Knotensatz: (4.5) Will man die Leiterspannungen auf graphischem Weg bestimmen, so muss man jeweils zu den Strangspannungen den eiger der negativen zugehörigen Strangspannung, d.h. den um 80 verschobenen eiger der Spannung, addieren. Es sei nochmals darauf hingewiesen, dass aus Gründen der Übersichtlichkeit bei den eigerdiagrammen auf die Eintragung des Achsenkreuzes mit der reellen und imaginären Achse verzichtet wird. Alle waagerecht verlaufenden und von links nach rechts weisenden eiger liegen in Richtung der positiven reellen Achse und alle senkrecht verlaufenden und von unten nach oben weisenden eiger in Richtung der positiven imaginären Achse. Auch die Angabe der Rotation der eiger entfällt (vgl. Kap..5.). Abb. 4.8: eigerdiagramm der symmetrischen Strang- und Leiterspannung Aus der Definitionsgleichung für die Leiterspannungen oder den geometrischen Beziehungen im eigerdiagramm kann man feststellen, um welchen Winkel die jeweiligen Leiterspannungen gegenüber den Strangspannungen verschoben sind und um welchen Faktor die Effektivwerte der Leiterspannungen größer sind als die der Strangspannungen. e j0 e j0 cos0 j sin0 Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

14 8 4 Drehstrom n einem symmetrischen etz sind die Leiterspannungen um den Faktor größer als die Strangspannungen, und die Leiterspannungen eilen den jeweiligen Strangspannungen um 0 voraus. Die Spannungsangabe bei einem Drehstromsystem bezieht sich stets auf die Außenleiterspannung. Ein Drehstromsystem mit Sternpunkt oder Sternpunktleiter ist ein System mit zwei Spannungen. Hier kann die Angabe für die Strang- und Außenleiterspannung erfolgen, z.b. dass es sich um ein 400/ V-etz handelt. Es genügt jedoch allein die Angabe der Außenleiterspannung. st nur der Effektivwert der Spannungen von nteresse, so werden in diesem Buch Leiterspannungen mit L und Strangspannungen mit bezeichnet. Das eigerdiagramm für die Spannungen kann jedoch günstiger als in Abb. 4.8 dargestellt werden, indem man die einzelnen Spannungen zueinander parallel verschiebt. n Abhängigkeit von dem gegebenen ullphasenwinkel einer Spannung ergibt sich dann eine Darstellung wie in Abb. 4.9 gezeigt. n ukunft wird diese eigerdiagrammdarstellung bevorzugt. n Abb. 4.9 ist 0. u Abb. 4.9: eigerdiagramm der symmetrischen Strang- und Leiterspannungen 4.. Sternschaltung bei symmetrischer Belastung am Vierund Dreileiternetz Bei symmetrischer Belastung, die in der Praxis sehr oft vorkommt, ist = =. Damit werden: j u e j i j i j e e u i e Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

15 4. Sternschaltung 9 e e j0 j0 e e j0 j0 immt man z.b. an, dass der ullphasenwinkel von null ist, so ergibt sich für : cos0 j sin0 cos0 jsin0 0,5 j 0,866 0,5 j 0,866 0 Der Strom im Sternpunktleiter ist bei Symmetrie null. Die Leiterströme L sind gleich den Strangströmen und haben alle den gleichen Effektivwert, den gleichen Phasenverschiebungswinkel gegenüber ihren zugehörigen Strangspannungen und sind zueinander um 0 phasenverschoben. Beispiel: n Abb. 4.0 ist das eigerdiagramm aller Spannungen und Ströme für einen symmetrischen Drehstromverbraucher nach Abb. 4.7 mit = e j 50 gezeigt. Die Strangströme sind dabei gegenüber den zugehörigen Strangspannungen um jeweils 50 nacheilend. Der ullphasenwinkel der Spannung ist u 0. Abb. 4.0: eigerdiagramm aller Spannungen und Ströme eines symmetrischen Drehstromverbrauchers n Abb. 4.0 ist auch die Summe aus + + = 0 gestrichelt eingetragen. Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

16 40 4 Drehstrom 4.. Sternschaltung bei unsymmetrischer Belastung am Vierleiternetz n Abb. 4. ist ein Vierleiternetz mit symmetrischen Strang- und Leiterspannungen auf der Erzeugerseite und unsymmetrischen Verbrauchern gezeigt. ach D 4008 darf der Knotenpunkt auf der Verbraucherseite nicht mehr Sternpunkt genannt werden, er wird deshalb mit K gekennzeichnet, dementsprechend heißen die Strangspannungen des Verbrauchers nun K, K und K. m dem Erzeugersternpunkt ein festes Potenzial zuzuordnen, wird er geerdet und ist der komplexe Ersatzwiderstand des Sternpunktleiters. Würde man den Sternpunktleiter auch als ideal, d.h. widerstandslos, annehmen, so lägen der Sternpunkt und Knotenpunkt K trotz des Fließens eines Stroms auf gleichem Potenzial, bilden also einen gemeinsamen Knotenpunkt. Für diesen Fall, den man für die Praxis oft näherungsweise annehmen kann, bleiben die Strangspannungen des Verbrauchers symmetrisch. Es ist dann K =, K = und K =. Die folgenden Ableitungen gelten für den Fall, dass nicht vernachlässigbar ist. Die anderen Leiter werden weiterhin als widerstandslos angenommen bzw. sei ihr Ersatzwiderstand den komplexen Strangwiderständen K, K und K zugeschlagen. K K K K K K K K Abb. 4.: nsymmetrischer Verbraucher in Sternschaltung an einem Vierleiternetz Gegeben sind die symmetrischen Spannungen der Erzeugerseite bzw. die symmetrischen Leiterspannungen, wie die Widerstände, K, K und K. Gesucht sind die Spannungen K, K, K und K sowie die Ströme,, und. Aus den Maschen erhält man die Spannungsgleichungen: Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

17 4. Sternschaltung 4 K K K K K K (4.6) Es genügt also die Ermittlung von K. Dann erhält man aus den obigen Gleichungen die Strangspannungen an den Verbrauchersträngen und daraus die Ströme: K K K K K K K Y K K K K K K K Y Y K Y K K K K K (4.7) ormalerweise ist kleiner als die Außenleiterströme, bei unsymmetrischer Belastung am Vierleiternetz kann der Strom im Sternpunktleiter aber in Ausnahmefällen wesentlich größer als die Strangströme werden (vgl. Aufgabe 4.), dies kann zu einer Leitungsüberlastung führen. Aus der Knotengleichung von Gleichung 4.7 kann man K ermitteln. Y K K Y K K Y K K Y K K Y K Y K Y K Y Y K Y K Y K K Y K Y Y K K Y Y Y Y K K K K K e K e Y j0 K K Y j0 K K Y K Y K K Y K e Y Y K e K K K j0 j0 (4.8) Die Sternpunktspannung K kennzeichnet die Verlagerung des Verbraucherknotenpunkts in Bezug auf den Erzeugersternpunkt. Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

18 4 4 Drehstrom Es ergeben sich also am Verbraucher unsymmetrische Strangspannungen trotz der symmetrischen Erzeugerstrangspannungen und Leiterspannungen. Für den Sonderfall, dass gegen null geht, geht auch K gegen null, und die Strangspannungen des Verbrauchers bleiben symmetrisch. Es gibt aber auch Sonderfälle, bei denen trotz der unsymmetrischen Strangströme der Strom im Sternpunktleiter null wird, und damit auch bei 0 die Spannung K null wird. Aus = 0 bzw. K = 0 darf nicht auf Symmetrie geschlossen werden. Beispiel: An ein symmetrisches Drehstromnetz werden zwei Widerstände wie in Abb. 4. gezeigt angeschlossen, der dritte Außenleiter wird demnach gar nicht belastet. = = 0 V, = 0, K =, K = e j 60. Gesucht sind die Ströme, und. Da null ist, bleiben die Strangspannungen symmetrisch! Der ullphasenwinkel der Spannung sei null. L L L K K K Abb. 4.: nsymmetrische Sternschaltung am Vierleiternetz 0 K 0 V 0 A K 0 V e j e 0 A 0 A 0 0 j A e j80 0 A D.h. auch bei 0 würden in diesem Fall wegen 0 die Strangspannungen symmetrisch bleiben. Wollte man die Aufgabe auf graphischem Wege mit Hilfe des eigerdiagramms lösen, so müssten nur die Beträge der beiden Ströme ermittelt werden. Abb. 4. zeigt das eigerdiagramm. Der Maßstab für die Spannungen ist hier gleichgültig, allein die Richtung der Spannungszeiger ist maßgeblich. ist phasengleich mit K =, eilt K = um 60 nach. Für die Stromzeiger wurde gewählt: cm ˆ 4 A. Aus dem eigerdiagramm sieht man sofort, dass die beiden betragsmäßig gleichgroßen Ströme gegenphasig sind. Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

19 4. Sternschaltung 4 K K K Abb. 4.: eigerdiagramm der Spannungen und Ströme für die Schaltung in Abb. 4. Ein Beispiel dafür, wann nicht mehr vernachlässigt werden darf, zeigt das folgende Kapitel. 4.. Sternschaltung bei unsymmetrischer Belastung am Dreileiternetz Dies ist ein Sonderfall von Kap st kein Sternpunktleiter vorhanden, so geht gegen unendlich und Y ist null. Der Fall tritt dann auf, wenn z.b. der Sternpunktleiter aufgrund eines Fehlers unterbrochen ist oder man bewusst auf ihn verzichtete, da bei symmetrischer Last kein Strom in ihm fließt und man so einen Leiter einspart. Hochspannungsnetze sind z.b. typische Dreileiternetze. st der Sternpunktleiter nicht vorhanden, so kann in ihm auch kein Strom fließen, d.h. zwangsläufig wird null. Die Gleichung 4.8 geht mit Y = 0 über in die folgende Form: K Y K Y Y K K K K Y e K j0 K j0 (4.9) K K Y Y K K K K K e 0 (4.0) Es ist hier noch ein anderer Lösungsweg möglich. Bei fehlendem Sternpunktleiter ist: K e K j0 K K K K K K K K K K e j0 Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

20 44 4 Drehstrom Mit Gleichung 4.0 folgt dann: j0 K K e K K 0 K K K j0 e K K K K K K (4.) Beispiel: An ein Dreileiternetz mit symmetrischen Leiterspannungen wird ein Verbraucher, wie in Abb. 4.4 gezeigt, angeschlossen. Dieser Fall könnte z.b. dadurch eingetreten sein, dass die Sicherung vor dem Verbraucher des dritten Strangs angesprochen und diesen abgeschaltet hat. L = 400 V, R = 0, u 0. Gesucht sind,,, K, K, K und K. L L L K R K K K R K Abb. 4.4: Sternschaltung bei unsymmetrischer Belastung am Dreileiternetz e K K V R R 0 R 0 R K K K j0 K Dieses Ergebnis hätte auch einfacher gefunden werden können, da die Reihenschaltung der beiden Widerstände an der Leiterspannung liegt. 0A R 0 A 0A K K K K 00 V K K 0 00 V Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

21 4. Sternschaltung 45 K lässt sich auf diesem Weg nicht ermitteln, denn 0 ist ein unbestimmter Ausdruck. Deshalb wird zunächst K berechnet. K K j0 K e cos0 j sin 0 j j5,5 V j0 j0 j0 K e K e e j j90 e j j j 46,4 V Einfacher und übersichtlicher ist die Lösung mit Hilfe des eigerdiagramms. Dazu zeichnet man zunächst die symmetrischen Leiterspannungen usw. und evtl. die gestrichelt gezeichneten symmetrischen Erzeugerstrangspannungen usw. Aus der Maschengleichung + K K = 0, wobei wegen K = K auch K = K = / sein muss, kann dann sofort die Lage des Knotenpunkts K ermittelt werden und daraus dann K und K. Die Ströme müssen phasengleich mit den Strangspannungen sein. Als Maßstab wurde in Abb. 4.5 gewählt: cm ˆ 50 V und cm ˆ 0 A. K K K K K Abb. 4.5: eigerdiagramm der Spannungen und Ströme zu der Schaltung in Abb. 4.4 Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

22 46 4 Drehstrom Beispiel: Die unsymmetrische Sternschaltung in Abb. 4.6 besteht aus zwei gleichen Glühlampen mit R = R = 000 und einem Kondensator mit C =,8 F. Die Frequenz ist 50 Hz, die Leiterspannung beträgt 400 V und der ullphasenwinkel von sei null. Gesucht sind,, und K. L L L K K K K R K R K K j C Abb. 4.6: Schaltung zur Bestimmung der Phasenfolge in einem Drehstromnetz j0 e K e K K K K K j4,9 87 j86,6ma 06 ma K e R K j98,5,4 j86,6ma 87,6 ma j5 7 j7ma 45 ma e K K e j0 K j6,5 7 j58v 8,5 V e um eichnen des eigerdiagramms in Abb. 4.7 wurden die Maßstäbe cm ˆ 50 V und cm ˆ 50 ma gewählt und folgendermaßen vorgegangen: uerst zeichnet man die Leiterspannungen und trägt den Sternpunkt ein. Ausgehend von kann man die Spannung K antragen mit K = K und erhält somit die Lage des Knotenpunkts K. Damit lassen sich sofort die Spannungen K, K und K einzeichnen, deren eiger jeweils bei L, L bzw. L beginnt und bei K endet. Die Ströme und müssen dabei phasengleich mit K bzw. K sein und der Strom der Spannung K um 90 voreilen. Aus diesen berechneten Strömen liegen auch umgekehrt die Richtungen der Strangspannungen fest, und man hätte aus deren Schnittpunkt ebenfalls den Knotenpunkt K konstruieren können. Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

23 4. Sternschaltung 47 L L K K K K K L Abb. 4.7: eigerdiagramm der Spannungen und Ströme für die Schaltung in Abb. 4.6 Aus der Rechnung bzw. dem eigerdiagramm erkennt man, dass die Glühlampe im Strang heller brennt als die im Strang. Dies gilt unabhängig von C immer, wenn R = R ist. Man kann mit der Schaltung die Phasenfolge eines Drehstromnetzes bestimmen, bei dem z.b. die Kennzeichnung der Phasen nicht sicher ist. Die heller brennende Glühlampe zeigt stets an, dass ihre etzstrangspannung gegenüber der dunkler brennenden voreilt. Aus dem Ergebnis der folgenden Aufgabe 4. kann man noch eine weitere wichtige Schlussfolgerung ziehen: Bei unsymmetrischer Belastung am Dreileiternetz können die Strangspannungen und Strangströme erheblich größer werden als bei gleicher Belastung am Vierleiternetz. Dies kann evtl. zu Überlastungen führen. Aufgabe 4. Eine unsymmetrische Sternschaltung mit L = 400 V, K = 46,, K = 46, e j 70, K = 46, e j 80 ist an ein Vierleiternetz mit 0 angeschlossen. Mit Hilfe eines maßstäblichen eigerdiagramms soll der Betrag des Stroms ermittelt werden. Es soll berechnet werden, wie groß die Spannungen K, K, K und K sowie die Ströme, und (nur die Effektivwerte der Ströme) für den Fall werden, dass der Sternpunktleiter unterbrochen wird? Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

24 48 4 Drehstrom 4. Dreieckschaltung 4.. Dreieckschaltung auf der Erzeugerseite Vor der eigentlichen Behandlung der Dreieckschaltung auf der Verbraucherseite soll zunächst die Dreieckschaltung auf der Erzeugerseite betrachtet werden, da hier eine Besonderheit vorliegt. Bei der Dreieckschaltung sind, wie auch in Abb. 4.8 zu sehen, die Strangspannungen gleich den Leiterspannungen. L L L Abb. 4.8: Dreieckschaltung auf der Erzeugerseite ach Gleichung 4.4 ist die Summe der Leiterspannungen null. n dem geschlossenen Dreieck fließt demnach, wenn an die Außenleiter keine Verbraucher angeschlossen sind, auch kein Strom. Bei Belastung werden die Erzeugerstrangströme allein von den angeschlossenen Verbrauchern bestimmt. Enthält jedoch die in den Strängen induzierte Spannung eine Spannungskomponente mit der dreifachen Frequenz der Strangspannung, was bei Drehstromgeneratoren vorkommen kann, so ergibt sich das in Abb. 4.9 gezeigte Liniendiagramm für die Augenblickswerte der so genannten Grundwellen, das sind die sinusförmigen Strangspannungen bzw. Leiterspannungen, und den so genannten dritten Oberschwingungen oder dritten Harmonischen (diese sind in Abb. 4.9 mit wesentlich größerer Amplitude gezeichnet, als sie in der Praxis sind), das sind Spannungen mit dreifacher Frequenz der Grundwelle. Die Augenblickswerte der Grundwelle tragen dabei zur Verdeutlichung den ndex und die der dritten Oberwelle den ndex. Wie bereits in Abb..6 des Kap... gezeigt, ergibt sich dadurch ein insgesamt nichtsinusförmiger Spannungsverlauf für die drei Strangspannungen. Für die Grundwelle sieht man, dass für jeden Augenblickswert gilt: u u u 0 Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

25 4. Dreieckschaltung 49 Die dritten Oberschwingungen dagegen sind phasengleich und addieren sich somit: u u u 0 u u u u 0 u u u t Abb. 4.9: Sinusförmige Leiterspannungen mit überlagerten dritten Oberschwingungen st also eine Oberschwingung mit dreifacher Frequenz der Grundschwingung vorhanden, so fließt in der Dreieckschaltung auf der Erzeugerseite ein Strom dreifacher Grundfrequenz. Da die Widerstände der Quellen meist sehr klein sind, kann der Strom sehr groß werden und zu unzulässigen Erwärmungen führen. Generatoren werden deshalb eigentlich nie in Dreieck geschaltet, sondern in Stern; bei Transformatoren sind dagegen sowohl Stern- als auch Dreieckschaltung üblich. Schaltet man die drei Stränge eines Generators, bei dem eine dritte Oberwelle auftritt, in Stern, so gilt für die Leiterspannungen: u u u u u u u u u u u u 0 u u u 0 u u u 0 Trotz nichtsinusförmiger Strangspannungen ergeben sich hier also sinusförmige Leiterspannungen, da sich die dritten Oberwellen gegenseitig aufheben! 4.. Dreieckschaltung bei symmetrischer und unsymmetrischer Belastung Abb. 4.0 zeigt die Dreieckschaltung eines Drehstromverbrauchers, wobei weiterhin die bereits in Kap. 4. aufgeführte Gleichung 4.4 gilt: 0 Für die Ströme gilt, unabhängig davon, ob eine symmetrische oder unsymmetrische Belastung vorliegt: Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

26 50 4 Drehstrom 0 (4.) L L L Abb. 4.0: Dreieckschaltung eines Drehstromverbrauchers Bei der Dreieckschaltung sind die Strangspannungen gleich den Leiterspannungen. Die Leiterströme sind verkettete Ströme, ihre Summe ist null. Bei einem symmetrischen Verbraucher haben die drei Strangströme gleichen Betrag und sind gegenüber den zugehörigen Strangspannungen um den jeweils gleichen Phasenverschiebungswinkel vor- bzw. nacheilend bzw. bei ohmscher Belastung phasengleich mit ihnen. Bei Symmetrie ist: e e j0 j e j0 e j0 e j0 Will man den Strom durch ausdrücken, so erhält man bei symmetrischer Belastung: j0 e cos0 jsin0 j0 e Für die anderen Leiterströme erhält man entsprechend: j0 j0 j0 j0 e e e e Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

27 4. Dreieckschaltung 5 Bei symmetrischer Belastung sind die Leiterströme um den Faktor Strangströme und eilen den jeweiligen Strangströmen um 0 nach. größer als die Bei einer unsymmetrischen Belastung müssen die Strangströme berechnet und daraus die Leiterströme rechnerisch oder mit Hilfe des eigerdiagramms nach Gleichung 4. bestimmt werden. Beispiel: Für eine Dreieckschaltung mit L = 400 V, = 0, = (6 j ) und = 40 sollen mit Hilfe des eigerdiagramms die Beträge der Leiterströme ermittelt werden. Durch die graphische Lösung müssen nur die Beträge der Ströme berechnet werden. und sind jeweils phasengleich mit ihren Strangspannungen, eilt um 6,9 vor. 0 A 0 A 0 A 6 Als Maßstab für das folgende eigerdiagramm wurde gewählt: cm ˆ 50 V und cm ˆ 5A Abb. 4.: eigerdiagramm der Ströme und Spannungen für die unsymmetrische Dreieckschaltung Abgelesen aus dem eigerdiagramm erhält man: = 6,5 A, = 6,5 A, = 9,5 A. Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

28 5 4 Drehstrom Aufgabe 4. Die symmetrische Dreieckschaltung in Abb. 4. mit = = = e j 0 liegt an einer langen Leitung mit R L = R L = R L = 8 und X L = X L = X L =. Am Leitungsende soll am Verbraucher eine Spannung L = 660 V anliegen. Welche Leiterspannung muss demnach am Leitungsanfang anliegen, damit dies gewährleistet ist? Da eine symmetrische Belastung vorliegt, genügt die Betrachtung einer der drei Leiterspannungen. L RL RL X L X L a e L RL RL X L X L L R L X L Abb. 4.: Symmetrische Dreieckschaltung an einer verlustbehafteten Drehstromleitung 4.. Stern- und Dreieckschaltung am Drehstromnetz L L L S S S D D D Abb. 4.: Drehstromnetz, belastet mit einer Stern- und Dreieckschaltung Drehstromnetze sind meist mit mehreren Verbrauchern belastet, die jeweils in Stern oder Dreieck geschaltet sein können. n Abb. 4. ist dies für ein einfaches Beispiel gezeigt. Es Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

29 4. Dreieckschaltung 5 sollen die Leiterströme bestimmt werden, wenn L = 400 V und = = =, und = = = 40 sind. Die Lösung über das eigerdiagramm ist wieder sehr übersichtlich. Da die Sternschaltung symmetrisch ist, ist auch der Strom im Sternpunktleiter null. Weil auch die Dreieckschaltung symmetrisch ist, genügt die Ermittlung eines Leiterstroms, die beiden anderen sind dann um jeweils 0 phasenverschoben. Wenn man mit dem eigerdiagramm arbeitet, genügt die Ermittlung des Betrags der Strangströme. Alle Strangströme sind phasengleich mit den zugehörigen Strangspannungen. L L S S S 0 A 0 A Es wird mit Hilfe der Beziehung D = der Leiterstrom der Dreieckschaltung ermittelt und der Gesamtstrom im Leiter L als Summe von S und D. Als Maßstäbe werden gewählt: cm ˆ 50 V und cm ˆ A S D S D Abb. 4.4: eigerdiagramm für die Schaltung in Abb. 4. Aus dem eigerdiagramm liest man für einen Wert von 7, A ab. Rechnerisch erhält man: D 7,A. Dieser Strom eilt dem Strangstrom um 0 nach, ist also phasengleich mit der Spannung und damit auch dem Strom S. Somit ergibt sich aus der algebraischen Summe von D und S zu 7, A. Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

30 54 4 Drehstrom 4.4 Leistungen bei Drehstrom Grundsätzlich kann man in einem Drehstromsystem die Wirk-, Blind- und Scheinleistung jedes Strangs nach den in Kap..7 besprochenen Methoden berechnen und dann die Gesamtleistungen und den Gesamtleistungsfaktor eines Drehstromsystems ermitteln aus: P P S P Q Strang cos Strang P S Q Q Strang Strang bzw. S S Strang (4.) Bei unsymmetrischen Schaltungen ist dies auch der einzige Lösungsweg. Für die sehr häufig vorkommenden symmetrischen Schaltungen lässt sich aber eine einfachere Beziehung ableiten. Strangspannungen und -ströme werden dabei wieder ohne ndex geschrieben, Leiterspannungen und -ströme erhalten den ndex L. ach Gleichung 4. würde man die gesamte Wirkleistung eines symmetrischen Drehstromverbrauchers erhalten, indem man für einen Strang die Wirkleistung ermittelt und diese mit drei multipliziert. Handelt es sich dabei um eine Sternschaltung, so kann man in der Gleichung die Strangspannung durch die Leiterspannung ersetzen, die Strangströme entsprechen den Leiterströmen. Bei einer Dreieckschaltung entsprechen die Strangspannungen den Leiterspannungen, und man könnte den Strangstrom durch den Leiterstrom ersetzen. n beiden Fällen erhält man die gleiche Formel. Für die gesamte Blindleistung gilt das Gleiche. Hier dürfen auch die Scheinleistungen algebraisch addiert werden, da sie alle die gleiche Richtung in der komplexen ahlenebene haben. P cos Bei Sternschaltung wird daraus: L P L cos L L cos Bei Dreieckschaltung wird daraus: L P L cos L L cos Somit gilt bei symmetrischen Belastungen unabhängig davon, ob die Verbraucher in Stern oder Dreieck geschaltet sind: P cos Q sin S L L L L L L P sin cos Q (4.4) Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

31 4.4 Leistungen bei Drehstrom 55 Dabei ist zu beachten, dass der Phasenverschiebungswinkel der Winkel zwischen einem Strangstrom und der zugehörigen Strangspannung ist, nicht jedoch der Winkel zwischen dem Leiterstrom und der Leiterspannung Messung der Wirkleistung bei Drehstrom Wie in Kap..7.5 bereits erwähnt, soll auf die Klemmenbezeichnung der Wirkleistungsmesser hier verzichtet werden. Die Leistungsmesser werden in den Schaltbildern immer so eingezeichnet, dass beim Strompfad rechts die Klemme und links liegt und beim Spannungspfad oben die Anschlussklemme und unten 5. Ergibt sich dann ein negativer Ausschlag der Leistungsmesser, so muss der Spannungspfad zur Ablesung umgepolt und der jeweilige Leistungswert negativ gewertet werden. nabhängig davon, ob der Verbraucher in Stern oder Dreieck geschaltet ist, kann die gesamte Wirkleistung mit einer der in Abb. 4.5 gezeigten Schaltungen gemessen werden. Bei der linken Schaltung am Vierleiternetz kann der Sternpunktleiter natürlich bei einer Dreieckschaltung im Verbraucher selbst nicht angeschlossen sein, trotzdem steht er bei iederspannungsnetzen meist zur Verfügung. Bei der rechten Schaltung mit dem künstlich gebildeten Sternpunkt müssen alle drei Spannungspfade den gleichen ohmschen Widerstand haben, d.h. die Leistungsmesser auf denselben Spannungsmessbereich gestellt sein. L L L L Verbraucher L L Verbraucher Abb. 4.5: Wirkleistungsmessung am Vier- und Dreileiternetz Der Beweis, dass sowohl bei Stern- als auch bei Dreieckschaltung die Summe der drei angezeigten Leistungswerte die gesamte Wirkleistung darstellt, soll mit Hilfe der Augenblickswerte geführt werden. Gemessen wird: p i u i u i u p p p Für eine symmetrische oder unsymmetrische Sternschaltung am Vierleiternetz erhält man demnach für die linke Schaltung in Abb. 4.5 jeweils die drei Strangwirkleistungen, für die Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

32 56 4 Drehstrom rechte Schaltung allerdings nur bei einer symmetrischen Sternschaltung, da andernfalls die Strangspannungen des Verbrauchers nicht gleich denen am Spannungspfad der Wattmeter sind (siehe Kap. 4..). Wäre eine Dreieckschaltung angeschlossen, so kann man die Spannungen und Ströme mit Hilfe der Gleichungen 4.4 und 4. durch die Stranggrößen der Dreieckschaltung ausdrücken. p i i u i u i u i u u i u u i u u i i u u i i u u i i u u i u u i i u u i i u u i i u u i Ersetzt man i u durch i u u durch i u p u u i u, u i u u und i u, so vereinfacht sich die obige Gleichung zu: i u i u i u p p p i u i u i durch Man misst also als Summe die Wirkleistung der drei Strangwirkleistungen, obwohl die einzelnen Wirkleistungsmesser nicht die Strangwirkleistungen anzeigen, außer es handelt sich um eine symmetrische Dreieckschaltung. Auf ähnliche Weise kann man nachweisen, dass bei einer unsymmetrischen Sternschaltung am Dreileiternetz die Summe der drei Leistungsmesseranzeigen der gesamten Wirkleistung entspricht, obwohl auch hier die einzelnen Wirkleistungsmesser nicht die Strangwirkleistungen anzeigen. p i uk i uk i uk Wollte man direkt die Strangleistungen bei einer unsymmetrischen Sternschaltung am Dreileiternetz oder einer Dreieckschaltung messen, so müsste man die Leistungsmesser nach Abb. 4.6 anschließen. L K L L K L L K K L Abb. 4.6: Messung der Strangwirkleistungen bei einer unsymmetrischen Sternschaltung und Dreieckschaltung Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

33 4.4 Leistungen bei Drehstrom 57 Beispiel: Eine Dreieckschaltung mit = 80, = 40 und = j 80 wird entsprechend der rechten Schaltung in Abb. 4.5 an ein Drehstromnetz mit L = 400 V angeschlossen. Es soll berechnet werden, welche Werte die drei Leistungsmesser anzeigen und dieses Ergebnis mit Hilfe des eigerdiagramms überprüft werden. Der ullphasenwinkel sei 60. Die Strangwirkleistungen sollen zunächst berechnet werden, um das Ergebnis überprüfen zu können: kw P 4 kw P 0 P P P P P 5A e j60,59 A e 4,55 A e j5 j9,9 0 A e j80 0 A, A e j60,9 u 5A e 6 kw j0 Der erste Leistungsmesser, dessen Strompfad in L liegt, zeigt das Produkt aus dem Effektivwert des Stroms, der Spannung und dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden an. Die Spannung eilt um 0 nach, somit ist der ullphasenwinkel 90. V,59 A cos 45 4 W P cos u i Entsprechend erhält man P und P : u V, A cos0,9 00 W i V 4,55 A cos 9,9 578 W P cos P cos u i P P P P 600 W 6 kw Übersichtlicher ist die Lösung mit Hilfe des eigerdiagramms. Dazu müsste man die Beträge der Strangströme berechnen. Da diese schon bekannt sind, wird die Berechnung nicht extra durchgeführt. ist dann phasengleich mit, mit und eilt um 90 nach. Aus den Strangströmen konstruiert man die Leiterströme und liest dann die Winkel zwischen den Leiterströmen und den an den Leistungsmessern anliegenden Spannungen ab. Diese sind im eigerdiagramm in Abb. 4.7 mit, und bezeichnet. Die Berechnung der Leistungen erfolgt dann auf die gleiche Weise wie vorher und liefert bei ausreichender eichengenauigkeit auch die gleichen Ergebnisse. Die Lösung mit Hilfe eines eigerdiagramms ist in der Regel der komplexen Rechnung vorzuziehen. Als Maßstäbe in Abb. 4.7 wurden gewählt: cm ˆ 50 V und cm ˆ A u Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

34 58 4 Drehstrom Abb. 4.7: eigerdiagramm für das Beispiel der unsymmetrischen Dreieckschaltung Aufgabe 4. L P L P L P Abb. 4.8: Leistungs- und Strommessung bei einer unsymmetrischen Dreieckschaltung Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

35 4.4 Leistungen bei Drehstrom 59 Für die Dreieckschaltung in Abb. 4.8 sind die Strangwirk- und Strangblindleistungen bekannt. Da hier eine unsymmetrische Schaltung vorliegt, entsprechen die Anzeigen der Wirkleistungsmesser nicht den Strangwirkleistungen, allerdings muss deren Summe gleich der Summe der Strangwirkleistungen sein. Gegeben sind die Spannung und folgende Leistungen: L = 400 V, P = P = kw, P = 0,8 kw, Q = 0, Q = kvar, Q = 500 var. Wie groß sind, und? Die komplexen Strangwiderstände sollen dabei als Reihenschaltung von ohmschen Widerständen und Blindwiderständen aufgefasst werden. Welche Werte zeigen jeweils die drei Leistungs- und Strommesser an? Bei einer symmetrischen Belastung kann die Schaltung in Abb. 4.5 vereinfacht werden, indem man nur einen der drei Leistungsmesser anschließt und den abgelesenen Wert mit drei multipliziert. Für die rechte Schaltung mit dem künstlichen Sternpunkt schließt man anstatt der Spannungspfade für die beiden fehlenden Leistungsmesser zwei ohmsche Widerstände an, deren Widerstandswert dem des Spannungspfades des verbleibenden Wattmeters entsprechen muss. Für ein Dreileiternetz gibt es noch eine Sonderschaltung, die sowohl für symmetrische als auch unsymmetrische Belastung anwendbar ist. Es ist dies die so genannte weiwattmetermethode oder Aronschaltung. Wie in Abb. 4.9 für zwei Varianten gezeigt, werden dabei nur zwei Leistungsmesser mit ihrem Strompfad in zwei der drei Leiter geschaltet. Der Eingang des Spannungspfads wird jeweils an dem Strang abgegriffen, in dem der Strompfad des Leistungsmessers liegt, und die Ausgänge beider Spannungspfade an den Außenleiter angeschlossen, in dem kein Leistungsmesser hängt. L L L P P P Verbraucher L L L P Verbraucher Abb. 4.9: Aronschaltung zur Leistungsmessung am Dreileiternetz Für die rechte der beiden Schaltungen soll der Beweis mit Hilfe der Augenblickswerte geführt werden, dass die Summe der Anzeige der beiden Leistungsmesser der Gesamtwirkleistung des Drehstromverbrauchers entspricht. Schlägt einer der beiden Leistungsmesser negativ aus, so muss sein Spannungspfad umgepolt werden und ab diesem Augenblick seine Anzeige von der des anderen Leistungsmessers abgezogen werden. Gemessen wird: Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

36 60 4 Drehstrom u u i u i i u u i u i u u i u u i i i u i u i u i u i p p p p i Der Beweis, dass dies auch der gesamten Wirkleistung für eine Dreieckschaltung entspricht, wurde bereits weiter vorn geführt. immt man an, dass in der rechten Schaltung von Abb. 4.9 ein symmetrischer Verbraucher in Sternschaltung angeschlossen ist, so ergeben sich für cos =, cos = 0,5 und cos = 0 die drei in Abb. 4.0 gezeigten eigerdiagramme. L L L L L L L L L Abb. 4.0: eigerdiagramme der Spannungen und Ströme der Aronschaltung für cos =, cos = 0,5, cos = 0 Bei cos = des Verbrauchers sind die Strangströme und phasengleich mit den (nicht eingezeichneten) Strangspannungen bzw.. Die Leistungsmesser und zeigen demnach folgende Werte an: P cos cos0 P cos cos 0 Beide Ausschläge sind positiv und betragsmäßig gleich groß. Bei cos = 0,5 des Verbrauchers eilen die Strangströme und den Strangspannungen bzw. um 60 nach. Die Leistungsmesser und zeigen demnach folgende Werte an: P cos cos90 0 P cos cos0 Ein Ausschlag wird somit null und der zweite ist positiv. Bei cos = 0 des Verbrauchers eilen die Strangströme und den Strangspannungen bzw. um 90 nach. Die Leistungsmesser und zeigen demnach folgende Werte an: P cos cos0 P cos cos 60 Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

37 4.4 Leistungen bei Drehstrom 6 Betragsmäßig sind beide Ausschläge gleich groß, aber sie haben entgegengesetztes Vorzeichen. Folglich ist die Summe beider Ausschläge null, es ist ja auch keine Wirkleistung, sondern nur Blindleistung vorhanden. Ein kleiner Messfehler würde hier zu sehr großen relativen Messfehlern führen. Deshalb ist die Aronschaltung für einen cos < 0, des Verbrauchers problematisch und für cos < 0, unbrauchbar. Beispiel: Ein ohmscher Widerstand soll nach Abb. 4. so mit zwei Blindwiderständen verschaltet werden, dass sich von außen gesehen eine rein ohmsche symmetrische Belastung wie für eine Sternschaltung ergibt. u bestimmen sind die Kapazität C und nduktivität L sowie die Anzeigen der beiden Leistungsmesser. R = 0, L = 400 V, f = 50 Hz. L P R L L P C L Abb. 4.: nsymmetrische Dreieckschaltung Hier ist die Lösung mit Hilfe des eigerdiagramms sehr einfach und übersichtlich. n das eigerdiagramm der Spannungen (Abb. 4.) kann man zunächst den Strom phasengleich mit eintragen. = / R = 40 A. Ebenso wurden die Richtungen der Spannungen, und gestrichelt eingezeichnet, denn in diese Richtung müssen ja die Ströme, und weisen, wenn eine rein ohmsche symmetrische Belastung vorliegen soll. Weiter wurde die Richtung der Strangströme um 90 voreilend gegenüber und und um 90 nacheilend gegenüber gestrichelt eingetragen. Verschiebt man nun parallel zu bzw. eine Gerade in die Spitze des eigers von, so ergibt sich aus dem Schnittpunkt dieser Geraden mit der Linie für die Richtung von der Stromzeiger. Ebenso konstruiert man den Leiterstrom = und liest für dessen Effektivwert A ab. un kann man entweder den Leiterstrom oder finden. Möchte man zunächst ermitteln, so zeichnet man ein, indem man die Länge des eigers von überträgt und in die Spitze dieses eigers eine Gerade parallel zur Richtung von einzeichnet. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Linie für die Richtung von legt zugleich als auch fest. Somit kann auch angetragen und = graphisch ermittelt werden. Möchte man vor den Strom ermitteln, so verschiebt man den eiger so parallel, dass seine Spitze mit der Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

38 6 4 Drehstrom Richtungslinie für zusammentrifft. Sein Fußpunkt auf der Richtungslinie für markiert dann die Spitze des eigers und seine Spitze auf der Richtungslinie für die Spitze des eigers. Für das eigerdiagramm in Abb. 4. gelten folgende Maßstäbe: cm ˆ 50 V und cm ˆ 0 A. Damit liest man ab: = = = = A. Der Vorteil dieser Schaltung für große, einphasige, ohmsche Belastungen besteht darin, dass das etz symmetrisch belastet wird und die Strangströme kleiner als bei einphasiger Belastung sind. Dadurch werden die Spannungsabfälle auf der Leitung geringer bzw. man kann kleinere Leitungsquerschnitte wählen. Somit können die Blindwiderstände berechnet werden: X X 7,9 7,9 C L X X 8F 55,4 mh Richtung von Richtung von Abb. 4.: eigerdiagramm der Spannungen und Ströme für die Schaltung in Abb. 4. Der Leistungsmesser liegt an der Spannung ( = ) und wird vom Strom durchflossen, der Phasenverschiebungswinkel zwischen diesen beiden Größen beträgt, wie man aus dem eigerdiagramm ablesen kann, 0. Der Leistungsmesser liegt an der Spannung und wird im Strompfad von durchflossen. Der Phasenverschiebungswinkel zwischen diesen beiden beträgt 0. Somit ergeben sich folgende Anzeigen: Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009

39 4.4 Leistungen bei Drehstrom 6 P P P P cos 0 5,94 kw 7,97 kw P cos0 7,97 kw Rechnerisch kann dieses Ergebnis leicht überprüft werden. n der Dreieckschaltung nimmt nur der ohmsche Widerstand Wirkleistung auf, somit ist P = / R = 6 kw. Die kleine Abweichung gegenüber der Lösung mit Hilfe des eigerdiagramms liegt in der begrenzten Ablesegenauigkeit bei der graphischen Lösung. Aufgabe 4.4 Welche Anzeigen würden die Leistungsmesser anzeigen, wenn man die Wirkleistung des Verbrauchers von Aufgabe 4. mit der linken und rechten Aronschaltung von Abb. 4.9 messen würde? 4.4. Messung der Blindleistung bei Drehstrom Man könnte wieder wie im Einphasennetz eine Hummelschaltung anwenden, d.h. man müsste in alle drei Spannungspfade der Leistungsmesser in Abb. 4.5 eine solche Kunstschaltung einfügen. Da jedoch in der Praxis meist ein symmetrisches etz vorliegt, kann man zu jeder Strangspannung eine andere Spannung finden, die dieser um 90 nacheilt. Für ist dies, für und für. Allerdings sind diese Spannungen auch um den Faktor größer als die Strangspannungen, man muss demnach den abgelesenen Leistungswert durch dividieren. L Q L L Q Q Verbraucher Abb. 4.: Blindleistungsmessung bei Drehstrom Es muss hier nochmals betont werden, dass ein so genanntes elektrodynamisches Messwerk prinzipiell das Produkt aus dem durch das Messwerk fließenden Strom, der angelegten Spannung und dem Kosinus des Phasenverschiebungswinkels zwischen beiden Größen anzeigt. Wolf-Ewald Büttner, Grundlagen der Elektrotechnik. SB Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 009