Übungen zur Physik III WS 09/10

Transkript

1 Übungen zur Phyik III WS 09/0 Prof. Dr. Th. Mannel, Dr. W. Walkowiak, H. Czirr, S. Faller, M. Pontz Blatt 4 Augabe: Abgabe: Donnertag, Aufgabe : (Zerfließen von Wellenpaketen) Betrachten Sie ein Wellenpaket, da im k-raum gegeben it durch g.k/ D C e.k k 0/ ; mit C al einer Normierungkontanten. Die Fouriertranformation in den Ortraum it gegeben durch f.x; t/ D p Z dk g.k/ e i.kx!.k/t/ : Die Kontante wird o gewählt, da da Wellenpaket tark um k 0 lokaliiert it, d.h.! kann um k D k 0 entwickelt werden,!.k/ '! 0 Cv G.k k 0 /C ˇ.k k 0/, ˇ D.@!.k/=@k / kdk0. a) Berechnen Sie f.x; t/ und jf.x; t/j. ( Punkte) Teilergebni: f.x; t/ D p C e i.k 0 x! 0 p t/.x v exp G t/. C iˇt 4. C iˇt / b) Betimmen Sie den Ort x 0.t/, an dem jf.x; t/j ein Maximum hat. Skizzieren Sie odann in einem Diagramm jf.x; t D 0/j und jf.x; t > 0/j. Dikutieren Sie den Einflu de Parameter ˇ auf die zeitliche Entwicklung de Wellenpakete im Ortraum. ( Punkte) c) Geben Sie ein Beipiel für in der Natur vorkommende Wellen an, die nicht zerfließen. Begründen Sie Ihre Auage. ( Punkt) Aufgabe : (Unbetimmtheitrelation) Durch einen Veruch oll der Impul p x eine Parallelbündel von Elektronen möglicht genau betimmt werden. Die nebentehende Abbildung zeigt ein Halbkreipektrometer: Da Parallelbündel von Elektronen tritt mit der nichtrealtivitichen Gechwindigkeit Ev nach der Blende B in ein homogene Magnetfeld EB ein, durchläuft diee und verläßt da Magnetfeld durch die Blende B. Der Mittelpunktabtand der beiden Blenden ei D und ihre Öffnungweite d. Die Öffnungweite wird zunächt o eingetellt, da keine Beugungercheinung auftritt. a) Zeigen Sie, da für die Streuung de Impul p x mit dem der Elektronentrahl die Blende B verlät p x D eb d gilt. ( Punkt) D Ep x B B y x E B

2 Die Öffnungweite d wird nun o eingetellt, da Beugungeffekte an den Blenden B und B zu berückichtigen ind. Der Streubereich wird durch den Winkel charakteriiert, wie e die nebentehende Skizze zeigt. Der Einfachheit halber bechränken Sie die Dikuion der Beugungeffekte auf die Eintrittblende B. b) Begründen Sie, da der Veruch den Impul der Elektronen zu betimmen, eine Unchärfe ihre Aufenthaltorte zur Folge hat, d.h. da.v t/ p x h gilt. t it die Streuung der Flugzeit im B-Feld, welche durch die Beugungeffekte an der Blende B hervorgerufen wird. (3 Punkte) Aufgabe 3 (de-broglie-wellenlänge) In einer evakuierten Röhre werden Elektronen in einem elektrichen Feld bechleunigt und treffen al feingebündelter Strahl auf eine polykritalline Graphitchicht. Auf einem Beobachtungchirm, der ich in einer Entfernung von L D 3 cm hinter der Graphitchicht befindet, erkennt man konzentriche Kreie. E handelt ich um Interferenzen. Ordnung. Die Krümmung de Beobachtungchirm darf vernachläigt werden. d ' ' a) Wie könnte man experimentell zeigen, da da beobachtete Interferenzbild nicht etwa von Röntgentrahlung veruracht wird? ( Punkt) b) Leiten Sie allgemein eine Beziehung zwichen der Bechleunigungpannung U, dem Netzebenenabtand d, der Entfernung L und dem Kreiradiu R her (nichtrelativitiche Rechung). Für U D ; 4 kv ergibt ich für einen der beobachteten Kreie der Radiu R D ; 0 cm. Berechnen Sie den zugehörigen Netzebenenabtand d. (3 Punkte) c) Berechnen Sie relativitich die Gechwindigkeit von Elektronen, deren de-broglie-wellenlänge ; 3 0 m beträgt. ( Punkt) ŒHinwei: hc D ; 0 6 evm Aufgaben 4: (Elektronen im Atomkern?) Die Größenordnung von Atomkerndurchmeern wurde experimentell zu r 0 4 m betimmt. Würde man annehmen, da ein Elektron ich im Atomkern aufhält, o müte e entprechend lokaliiert ein: x r. (a) Betimmen Sie die Energie, die da Elektron dann haben müte, indem Sie die Unchärferelation benutzen und p.p/ etzen (relativitiche Rechnung). ( Punkt) (b) Vergleichen Sie diee Energie mit der potentiellen Coulomb- und Gravitationenergie zwichen einem Elektron und einem Proton mit Abtand 0 4 m. It die Annahme, die Elektronen eien im Kern gebunden, realitich? ( Punkt)

3 Löungvorchlag. a) g.k/ eingeetzt in die Fouriertranformation ergibt f.x; t/ D C p Z dk e.k k 0/ e i.kx!.k/t/ : Der Exponent wird o umgeformt, da er auf ein bekannte gaußförmige Integral führt: Somit it.k k 0 / C ikx i!.k/t D.k k 0 / C ikx i! 0 C v G.k k 0 / C ˇ.k k 0/ t D.k k 0 / iˇt C ikx i! 0 t iv G t.k k 0 /.k k 0/ D i! 0 t C iˇt.k k 0 / iv g t.k k 0 / C ikx C ik 0 x ik 0 x D ik 0 x i! 0 t C iˇt.k k 0 / iv g t.k k 0 / C ix.k k 0 / D i.k 0 x! 0 t/ C iˇt.k k 0 / C i.x v G t/.k k ƒ 0 / ƒ ƒ D B D k 0 D A D i.k 0 x! 0 t/ A k 0 ib A k0 ; dk dk 0 ; D i.k 0 x! 0 t/ A k 0 ib ib ib A k0 C A A D i.k 0 x! 0 t/ A k 0 ib ib A A B D i.k 0 x! 0 t/ 4A A k 0 ib B i.k 0 x! 0 t/ A 4A Aq : ƒ D q ; dk 0 dq f.x; t/ D C ei.k 0x! 0 t/ p Z e B 4A ) f.x; t/ D C p e i.k 0x! 0 t/ q C iˇ t dq e Aq D C ei.k 0x! 0 t/ p.x vg t/ exp 4. C iˇ t / : r e B 4A A Mit jf.x; t/j D f.x; t/f.x; t/ erhält man jf.x; t/j jc j.x vg t/ D q exp C ˇ t. C ˇ t / 4 4 :

4 b) Dem Ergebni au Teilaufgabe a für f.x; t/ und jf.x; t/j kann man direkt entnehmen, da da Maximum für beide Funktionen an der Stelle x 0 v G t D 0 ) x 0 D v G t liegt. Für die Skizze: E gilt jf.x; 0/j jc j x D j j exp ; eine um x D 0 lokaliierte Gaußfunktion mit der Breite. Für t > 0 bewegt ich der Schwerpunkt der Verteilung mit der Gruppengechwindigkeit v G entlang der x-ache. Der Parameter ˇ orgt dafür, da die Verteilung dabei immer breiter wird, d.h. ie dipergiert. jf.x; 0/j zeitliche Entwicklung jf.x; t/j x 0 v G t c) Au der Entwicklung für!.k/ folgt, da für den Diperionparameter ˇ gilt ˇ ˇ ˇkDk0 d.h. für alle!.k/, die linear in k ind, verchwindet der Diperionparameter, ein Beipiel hierfür ind Photonen:!.k/ D ck ) ˇ 0 :. a) Die Elektronen treten mit Gechwindigkeit Ev D vee x in da EB-Feld ein Die Lorentzkraft EF L erfüllt die Bedinungen einer Radialkraft, j EF L j D jqev E Bj D evb D jf rad j D mr! D mv r ) p x D ebr D ebd : (4.)

5 Da Bündel der Elektronen it parallel, d.h. e treten Kreibahnen mit Durchmeer D max D.D C d/ und D min D.D d/ auf, die Ungenauigkeit in der Impulmeung it damit p x D ebd : (4.) b) Beugung am Einfachpalt: Da Hauptmaximum wird begrenzt durch da erte Minimum. Der Skizze entnimmt man: in D d D d :. Minimum Mit der Näherung für kleine Winkel und der de- Broglie-Beziehung p D h folgt in d D h p x d : (4.3) d Hauptmaximum Die Beugung hat zur Folge, da nicht alle Elektronen eine Halbkreibahn durchlaufen. Für die Mittelpunktwinkel ' der auftretenden Bahnen gilt ' Œ ; C (Skizze). Unterchiedliche Bahnen haben unterchiedliche Aufenthaltdauer im Magentfeld zur Folge. Die Streuung der Mittelpunktwinkel um hat eine Streuung der Aufenthaltdauer um t zur Folge. It T die Dauer für einen vollen Umlauf im EB-Feld, dann folgt au der Proportion Ep x B 3 T D t ) t D T : (4.4) Die Zeit T für einen vollen Umlauf folgt au B T D r (4.) D m v eb : (4.5) Mit dem Ergebni au Teilaufgabe a kann t abgechätzt werden: t (4.4) D T (4.5) m (4.3) eb ).v t/ p x h : h p x d D h m p x ebd (4.) D h m p x D h m p x m v p x Term.v t/: Elektronen, die praktich gleichzeitig in da B-Feld eingetreten ind, verlaen e zu verchiedenen Zeiten. oder: gleichzeitige Betrachtung de Aufenthaltorte verchiedener Elektronen: Elektron hat einen Vorprung vor Elektron von v t;

6 daelbe gilt für da Elektron bzgl. Elektron 3. Cum grano ali kann der Ort eine Elektron nach dem paieren der Blende B nur mit der Unchärfe x D v t angegeben werden, zwichen Ort und Impul beteht die Beziehung x p h : 3. a) Überlagert man ein magnetiche Feld, o werden die enttehenden Kreie verzerrt, da die Elektronen abgelenkt werden. Röntgentrahlung würde durch Magnetfelder nicht beeinflut werden. b) Bragg-Beziehung (au Vorleung) für da Maximum. Ordnung: D d in ' ; und mit der Näherung für kleine Winkel in, D d' : ' Graphit ' L Der Geometrie der Anordnung (Skizze) entnimmt man tan ' D R L! ' D R L ; d.h. D R d L : Den Impul der Elektronen erhält man au der kinetichen Energie mv D eu ).mv/ D p D eum ; (4.6) mit der de-broglie-beziehung p D h folgt p D h (4.6) D Einetzen der Zahlenwerte: d D h L D eum ) d D R d h L R p eum : 6; ; 3 0; 0 p ; ; 0 34 m D 3 0 m D 3 pm :

7 c) Mit der relativitichen Energie-Impul-Beziehung E D E0 C p c, E D E 0 p und ˇ der de-broglie-beziehung p D h folgt E 0 ˇ D E 0 C p c ) ˇ D E 0 E 0 C p c ) ˇ D E 0 E 0 C p c ) v c D E 0 E 0 C. hc / : Einetzen der Zahlenwerte E 0 D 5 kev und hc D ; 0 6 evm ergibt v u.5 0 v D ct 3 / ) v D 0; 7c : / C. ;0 6 / ;30 4. (a) Heienbergche Unchärferelation p x ) p x eingeetzt in die relativitiche Energie-Impul-Beziehung ergibt E D p m c 4 C.p/ c m c 4 C 4.x/ c 4; ev m D ev/ C m D ; 58 0 J 0 MeV : (b) Für die Coulombenergie E C und die Gravitationenergie E Gr gilt ohne Herleitung: E C D E Gr D 4 0 e x D ; C e 4 8; kev D ; J G m em p x C V m 0 4 m D 6; m 3 kg 0; 5 938; 7 06 ; C V 0 4 m m /4 D 6; ev D ; J MeV Der Vergleich mit der kinetichen Energie E au 4. (a) zeigt, da owohl E C E al auch E Gr E ind, d.h. die kinetiche Energie it ehr viel größer al die elektromagnetiche und die gravitative Bindungenergie. Da Elektron kann omit nicht im Kern gebunden ein.