Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Lösung Aufgabe 1

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1 Abiturprüfung Mathematik 0 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Lösung Aufgabe. () Die Stammfunktion H hat genau dann eine Wendestelle, wenn die Ableitungsfunktion h eine Extremstelle besitzt. Da h zwei Extremstellen bei x = 0 und x = besitzt, besitzt H zwei Wendestellen. Die Aussge ist wahr. () h (0,5) ist negativ, da das Schaubild von h an der Stelle x = 0,5 rechtsgekrümmt ist. h (,5) ist positiv, da das Schaubild von h an der Stelle x =,5 linksgekrümmt ist. Damit gilt h (,5) > h (0,5). Die Aussage ist falsch. () Die Wertemenge von h stellen die möglichen Steigungen der Tangenten dar, die man an das Schaubild von h anlegen kann. Für x < 0 und für x > sind die Tangentensteigungen positiv. Im Bereich 0 < x < sind die Tangentensteigungen negativ. Die kleinste Steigung befindet sich am Wendepunkt von h. Die zugehörige Tangente ist gestrichelt eingezeichnet. 6 Die Steigung dieser Tangente beträgt ungefähr m= =. Folglich sind alle Steigungen größer als -. Die Aussage ist wahr. (4) Ungefähr bei x = besitzt das Schaubild von h einen Wendepunkt mit einer Tangente, die eine minimale Steigung besitzt. Somit besitzt das Schaubild von h an der Stelle x = einen Tiefpunkt. Ein Schaubild mit einem Tiefpunkt ist an dieser Stelle linksgekrümmt. Die Aussage ist falsch... Um zu ermitteln, welche Steigungen das Schaubild C annehmen kann, muss der Wertebereich der Ableitungsfunktion s (x) bestimmt werden. Dies kann mit dem GTR erfolgen: 5 Zuletzt aktualisiert:.04.0

2 Der größte Wert von s (x) beträgt,0708. Der kleinste Wert von s (x) beträgt -,0708. Die Steigung von C kann Werte annehmen im Intervall [-,0708 ;,0708] Zeichnung von C:.. Die Gerade g(x) = 0,5x berührt das Schaubild von s(x), wenn folgende beiden Bedingungen erfüllt sind: s(x) = g(x) und s (x) = g (x). π π Es gilt g (x) = 0,5 und s (x) = + cos x 4 4 Nachweis der Berührung bei x = -: π g( ) = 0,5 ( ) = s( ) = + + sin = also g( ) = s( ) g ( ) = 0,5 und also g ( ) = s ( ) π π s ( ) = + cos = 0,5 4 Damit ist die Berührung an der Stelle x = - nachgewiesen. Nachweis der Berührung bei x = 6: π g(6) = 0,5 (6) = s(6) = + + sin = also g(6) = s(6) 6 Zuletzt aktualisiert:.04.0

3 π π g (6) = 0,5 und s (6) = + cos = 0,5 4 also g (6) = s (6) Damit ist die Berührung an der Stelle x = 6 nachgewiesen. Nachweis, dass das Schaubild C oberhalb von g verläuft: Hierzu muss gezeigt werden, dass die Ungleichung s(x) g(x) für alle x-werte erfüllt ist. π Zu zeigen ist: x+ + sin( x) x x 4 π π sin( x) sin( x) und dies ist für alle x-werte wahr. 4 4 Damit ist gezeigt, dass die Ungleichung für alle x-werte erfüllt ist und das Schaubild C oberhalb von g verläuft. Flächenberechnung: Die komplette Fläche zwischen dem Schaubild C und der Gerade g beträgt: 6 A = (s(x) g(x))dx = 6 Flächeneinheiten (GTR) Die Gerade h besitzt die Gleichung h(x) = 0,5x+ (gleiche Steigung wie g(x) und y-achsenabschnitt b = ) Berechnung der Schnittstellen von s(x) und h(x): π s(x) = h(x) x+ + sin x = 0,5x+ 4 Mit dem GTR ergibt sich als Schnittstellen x = 0 und x = 4. 4 Berechnung der Fläche A : A = (s(x) h(x))dx = 5,09 Flächeneinheiten Daraus folgt für die gesuchte größere Teilfläche: A= A A= 6 5,09 = 0,907 Flächeneinheiten 0 7 Zuletzt aktualisiert:.04.0

4 .. Berechnung der Wendepunkte von C: Notwendige und hinreichende Bedingung: s (x) = 0 und s (x) 0 GTR: Die Extremstellen der Ableitungsfunktion stellen die Wendestellen von s(x) dar. Die Extremstellen liegen bei x = 0 bzw. x = 4 bzw. x = 8, Allgemein: x= 4 k mit k π Es gilt: s(4k) = 4k+ + sin 4k = k+ 4 (die Sinusfunktion nimmt den Wert 0 an für alle ganzzahligen Werte von k) Das Schaubild C besitzt somit unendlich viele Wendepunkte mit den Koordinaten W (4k / k+ ) k Zur Begründung, dass die Wendepunkte alle auf einer Geraden liegen, wird die Ortskurve der Wendepunkte berechnet: x= 4k () und y= k+ () Aus () k = x eingesetzt in (): 4 y= x+ y= 0,5x+ 4 Da die Ortskurve der Wendepunkte eine Gerade ist, liegen alle Wendepunkte auf einer Geraden... Es gilt x x f (x) e e = und = x x f (x) 4e e Die allgemeine Tangentengleichung lautet y= f (u) (x u) + f(u) Im Punkt S(0/) also an der Stelle u = 0 lautet die Tangentengleichung y= f (0) (x 0) + f (0) 0 0 Es gilt f (0) = und f (0) = 4e e = y= (x 0) + y= x+ Tangentengleichung in S(0/) 8 Zuletzt aktualisiert:.04.0

5 Die allgemeine Normalengleichung lautet y = (x u) + f(u) f (u) Im Punkt S(0/) also an der Stelle u = 0 lautet die Normalengleichung y = (x 0) + f (0) f (0) 0 0 Es gilt f (0) = und f (0) = 4e e = y = (x 0) + y= x+ Normalengleichung in S(0/) Die Tangente und die Normale bilden mit der x-achse ein rechtwinkliges Dreieck. Schnittpunkt der Tangente mit der x-achse: x+ = 0 x= Schnittpunkt der Normale mit der x-achse: x + = 0 x = 0 Die Hypotenuse des Dreiecks besitzt die Länge + = Längeneinheiten.. Schnittpunkt mit der y-achse: Schnittpunkt mit der x-achse: f a (x) f a(0) a e e a = = und damit S y(0 / a ) x x = ( ) e ae = 0 x Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt ae = 0 x= ln a und damit N(ln / 0) a Der Schnittpunkt N liegt rechts von der y-achse, wenn ln > 0 ist. a Der Wert des Logarithmus ist positiv, wenn > ist, also für 0 a a < <. 9 Zuletzt aktualisiert:.04.0

6 .. x x Die allgemeine Stammfunktion lautet F a(x) = a e e + C. Da in der allgemeinen Stammfunktion nun zwei Parameter a und C enthalten sind, müssen zwei Bedingungen aus dem abgebildeten Schaubild abgelesen werden..bedingung: Die waagrechte Asymptote lautet y =,5 für x Für x strebt F a(x) C, also ist C =,5 Das abgebildete Schaubild enthält außerdem den Punkt R(0/). x x F a(0) = a +,5 = a= also lautet die Stammfunktion F (x) = e e +,5 0 Zuletzt aktualisiert:.04.0

7 Abiturprüfung Mathematik 0 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Lösung Aufgabe.. Zeichnung der Schaubilder für t = - und t = : Asymotote von K : x+ x+ f (x) = (e x) = e + x Für x strebt Asymotote von K : x f (x) = e x Für x strebt x+ e 0, also lautet die schiefe Asymptote y= x x e 0, also lautet die schiefe Asymptote y= x.. Die.Winkelhalbierende hat die Gleichung y = x (gestrichelte Gerade). Zuletzt aktualisiert:.04.0

8 Berechnung der gesuchten Fläche: x x x a a a a a A(a) = (f (x) ( x))dx = (e x+ x)dx = e dx= e = e e Für a strebt a e 0 und daher A(a) e.. Berechnung der Ableitungsfunktionen: x t f (x) = t e x t t ( ) x t ( ) f (x) = t e und f (x) = t e t x t Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrempunkte: f t (x) = 0 und f t (x) 0 t x t ( ) f (x) = 0 t e = 0 = = 0 f t(t) t e t = = = x t e x t ln() x t f (t) = t t = t t Außerdem gilt ( ) Für t > 0 existiert ein Tiefpunkt t Für t < 0 existiert ein Hochpunkt T(t / t t ) H(t / t t ) Die Gerade y = - ist waagrecht. Wenn diese Gerade eine Tangente sein soll, muss der Berührpunkt ein Extrempunkt sein. Daraus folgt, dass der y-wert des Extrempunktes - sein muss. t t = t t = 0 t,..4 ± + 48 ± 7 = = also t = 4 oder t = -. Skizze des Dreiecks mit dem Schaubild für t = : Zuletzt aktualisiert:.04.0

9 Die Fläche des Dreiecks lautet A = PR QR Es ist PR= u (Differenz der beiden x-werte) und QR= 0 f (u) = f (u) (Differenz der beiden y-werte) Damit gilt A(u) = (u ) ( f (u)) Gesucht ist nun das globale Maximum von A(u) im Intervall < u 4 Notwendige und hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt: A (u) = 0 und A (u) < 0 GTR: Das Schaubild von A(u) besitzt einen Hochpunkt bei u =,54 mit A(,54) = 6,95. Für die Randwerte gilt: A() = 0 und A(4) = 5,77. Damit nimmt die Fläche für u =,54 ein globales Maximum an und der maximale Flächeninhalt beträgt 6,95 Flächeneinheiten... Die Stammfunktion G besitzt dort einen Hochpunkt, an der die Ableitungsfunktion g eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von + nach - besitzt. Dies ist bei x = der Fall. Die Stammfunktion G besitzt dort einen Tiefpunkt, an der die Ableitungsfunktion g eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von nach + besitzt. Dies ist bei x = 4 der Fall. Anmerkung: An der Stelle x = liegt eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. Das heißt, dass bei G dort ein Sattelpunkt vorliegt (also kein Extrempunkt).. () An der Stelle x = ist das Schaubild von g rechtsgekrümmt, also ist g () < 0. Die Aussage ist falsch. () Die Steigung an der Stammfunktion G wird berechnet über G (x) = g(x). Damit die Steigung 4 ist, muss g(x) = 4 gelten. Der Wert 4 wird von g(x) allerdings nur an zwei Stellen angenommen (ungefähr bei x = -0, und bei x = 4,5. Die Aussage ist falsch. () Wenn g (x) monoton fallend ist, muss g (x) 0 sein. Dies bedeutet wiederum, dass das Schaubild im Bereich 0 x rechtsgekrümmt sein muss, was jedoch nicht so ist. Die Aussage ist falsch. Zuletzt aktualisiert:.04.0

10 (4) Die Flächenzahl zwischen dem Schaubild von g und der x-achse im Bereich x = bis x = wird positiv beim Integral erfasst. Die Fläche zwischen x = und x = 4 wird negativ beim Integral erfasst, da diese sich unterhalb der x-achse befindet. Da die beiden Flächen ungefähr gleich groß sind, ergibt sich als Integralwert näherungsweise Null auf alle Fälle jedoch ein Wert klener als. Die Aussage ist wahr... Die einzelnen Schritte, wie die Funktionen auseinander hervorgehen, sehen wie folgt aus: π π y= sin(x) y= cos(x) y= cos(x) y= cos x y= cos x π.umformung: Verschiebung um nach links π Eine Kosinusfunktion entsteht aus einer Sinusfunktion, in dem die Sinusfunktion um nach links verschoben wird..umformung: Streckung mit Faktor in y-richtung.umformung: Streckung mit Faktor 4 π in x-richting (Kehrwert!!) 4.Umformung: Verschiebung um 5 nach oben.. Die allgemeine Tangentengleichung lautet y= h (u) (x u) + h(u) Nun ist ein beliebiger Tangentenpunkt O(0/0) bekannt. Einsetzen des Punktes in die allgemeine Tangentengleichung: 0= h (u) (0 u) + h(u) Diese Gleichung wird nun mit dem GTR gelöst: Eine Lösung lautet u = 4,588. Der Berührpunkt lautet also B(u / h(u)) = B(4,588 /,). Die Tangentengleichung lautet y= h (4,588) (x 4,588) + h(4,588) y= 0,7(x 4,588) +, und vereinfacht: y= 0,7x 4 Zuletzt aktualisiert:.04.0

11 Abiturprüfung Mathematik 0 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Anwendungsorientierte Aufgabe Teil, Lösung Aufgabe.. Messergebnisse im Koordinatensystem: Die mittlere Vertikalbeschleunigung in den ersten 4 Sekunden beträgt v(4) v(0) 6, 0 m = =, s.. Anhand der Darstellung der Messergebnisse im Koordinatensystem ergibt sich ein Schaubild mit Extrempunkten. Das heißt, dass die Funktion mindestens Grad 4 haben muss. Ermittlung einer Regressionsfunktion mit dem GTR: Die Polynomfunktion lautet 4 f(x) = 0,00097x + 0,0488x 0,786x +,964x+ 0,00545 Zuletzt aktualisiert:

12 .. Die Vertikalbeschleunigung wird durch die Ableitungsfunktion f (t) beschrieben. Bestimmung des Maximums und Minimums von f (t) (was der Wendestelle von f(t) entspricht): Notwendige und hinreichende Bedingung: f (t) = 0 und f (t) 0 Lösung mit dem GTR: Der Tiefpunkt befindet sich bei t = 7,7 mit f (7,7) =,5 Der Hochpunkt befindet sich bei t = 7, mit f (7,) = 0,50 Für die Randwerte gilt: f (0) = 4 und f () =,9 Der höchste Punkt befindet sich also am Rand bei t = 0. m Die maximale Vertikalbeschleunigung beträgt somit 4. s m Die minimale Vertikalbeschleunigung beträgt,5 s.. Die Höhe des Hubschraubers wird durch die Fläche zwischen dem Schaubild von f(t) und der t-achse dargestellt. Die größte Höhe erreicht der Hubschrauber am zweiten Schnittpunkt mit der t-achse bei t = 0. Für t > 0 sinkt der Hubschrauber, da f(t) < 0 ist. Es ist 0 f(t)dt = 8, Meter und dies ist die größte Höhe über dem Ausgangspunkt. 0 Zuletzt aktualisiert:

13 Abiturprüfung Mathematik 0 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Anwendungsorientierte Aufgabe Teil, Lösung Aufgabe.. Es werden folgende Variablen eingeführt: x = Menge der benötigten Gedenkmünzen in kg x = Menge des benötigten Tafelbestecks in kg x = Menge des benötigten Messings in kg Aufgrund der Angaben in der Aufgabenstellung können folgende Gleichungen aufgestellt werden:.) Insgesamt werden 0 kg Neusilber benötigt: x+ x+ x = 0 kg.) Das Neusilber besteht aus 0,6 0=,6 kg Kupfer: 0,6x+ 0,60x + 0,7x =,6.) Das Neusilber besteht aus 0, 0=, kg Nickel: 0,8x+ 0,x =, 4.) Das Neusilber besteht aus 0,6 0= 5, kg Zink: 0,x+ 0,8x + 0,8x = 5, Lösung des Gleichungssystems mit dem GTR: 65 5 x= 5 kg ; x = kg ; x = kg 6 6 Es werden 5 kg Gedenkmünzen sowie 0,8 kg Tafelbesteck und 4,7 kg Messing benötigt... Nun ist x= 4 kg vorgegeben, Dafür kennt man die Gesamtmenge des Neusilbers nicht, das nun mit x 4 bezeichnet wird. Aufgrund der Angaben in der Aufgabenstellung können folgende Gleichungen aufgestellt werden:.) Kupfergleichung : 0,6 4+ 0,60x + 0,7x = 0,6x 4.) Nickelgleichung : 0,8 4+ 0,x = 0,x 4.) Zinkgleichung : 0, 4+ 0,8x + 0,8x = 0,6x 4 Lösung des Gleichungssystems mit dem GTR: 6 0 x = kg ; x = kg ; x4 = 6 kg Somit kann mit 4 kg Gedenkmünzen insgesamt 6 kg Neusilber hergestellt werden. Zuletzt aktualisiert:

14 . Die Funktion im Bereich 0 x stellt eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt S(0/4) dar. Allgemeiner Ansatz: f(x) = ax + 4 Mit dem Parabelpunkt P(/) folgt: = 4a+ 4 a= 4 Die Parabelgleichung lautet f(x) = 0,75x + 4 Die Funktion im Bereich x 6 stellt eine Gerade dar. Allgemeiner Ansatz: y= m x+ b Die Gerade enthält die Punkte P(/) und Q(6/) yq yp Steigung der Gerade: m = = = x x Einsetzen des Punktes P(/): = + b b= Die Geradengleichung lautet y= x+ 7 7 Berechnung des Rotationsvolumens: 6 Q 5 V =π ( 0,75x + 4) dx+π x+ dx VZylinder V=π 9,6+π π = π 45,9 cm³ 5 P Die notwendige Masse an Neusilber beträgt 45,9 8,7 = 9, Gramm. Zuletzt aktualisiert:

15 Abiturprüfung Mathematik 0 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Anwendungsorientierte Aufgabe Teil, Lösung Aufgabe. Der Funktionsterm mit Hilfe des GTR als Regressionsfunktion bestimmt: t Die Funktion lautet f(t) = 0,75. Man erkennt am rechten Schaubild, dass die Funktion näherungsweise durch die angegebenen Punkte verläuft... Stromstärke zu Beginn des Aufladevorgangs: f(0) = ma Zeitpunkt, ab dem Stromstärke kleiner als 0,mA ist: f(t) < 0, Die Schaubilder schneiden sich bei t = 6,64 Sekunden. Folglich ist die Stromstärke für t > 6,64 Sekunden kleiner als 0, ma... Momentane Änderungsrate der Stromstärke: f (t) Durchschnittliche Änderungsrate im Zeitraum [ ;,4]: f(,4) f() 6,0 9 ma = =,9,4,4 s Zuletzt aktualisiert:

16 Nun soll gelten: f (t) =,9 Als Lösung ergibt sich t =,68 Sekunden... Da die Stromstärke, die von der Funktion f(t) beschrieben wird, die momentane Änderungsrate der Ladung Q ist, stellt die Ladungsfunktion Q(t) die Stammfunktion von f(t) dar. Die Ladungsmenge ergibt sich als Fläche zwischen f(t) und der t-achse. Ladung in den ersten 8 Sekunden: 8 0 f(t)dt = 4,5 mas (GTR) Zeitpunkt, wenn der Kondensator 60% der Ladung trägt: 60% von 4,5 mas sind 4,9 mas x 0 f(t)dt = 4,9 60% der Ladung trägt der Kondensator nach,6 Sekunden. Zuletzt aktualisiert:

17 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG) Hauptprüfung 0 Teil 4, Lineare Optimierung, Lösung zu Aufgabe Baden-Württemberg.. Folgende Variablen werden definiert: x = Anzahl der bestellten Regale bei Lieferant A y = Anzahl der bestellten Regale bei Lieferant B Folgende Ungleichungen müssen erfüllt sein: Mindestens 4400 Bücher mittlerer Größe: 0x+ 0y 4400 y 0 0,5x () Mindestens 600 großformatige Bücher: 00x+ 00y 600 y 6 x () Maximal 9600 Euro für Lieferant A: 400x 9600 x 4 () Maximal 9600 Euro für Lieferant B: 600y 9600 y 6 (4) Zu minimieren ist die Kostenfunktion K = 400x+ 600y K y= x+ 600 Die gefärbte Fläche stellt die Menge aller Punkte dar, die sich aus dem Ungleichungssystem () bis (4) ergeben. Die gestrichelte Gerade stellt die Kostengerade mit der Steigung dar, die mit der gefärbten Fläche einen Punkt gemeinsam hat und einen möglichst kleinen y- Achsenabschnitt besitzt. Der Schnittpunkt der Geraden () und () ist S(/4). Zuletzt aktualisiert:

18 Durch diesen Punkt verläuft auch die gestrichelte Gerade. Einsetzen des Punktes S in die Kostengerade: K 4= + K = 00 Euro sind die minimalen Kosten Aufgrund der Preissenkung des Lieferants A sehen die Bedingungen nun so aus: Mindestens 4400 Bücher mittlerer Größe: 0x+ 0y 4400 y 0 0,5x () Mindestens 600 großformatige Bücher: 00x+ 00y 600 y 6 x () Maximal 9600 Euro für Lieferant A: 00x 9600 x () Maximal 9600 Euro für Lieferant B: 600y 9600 y 6 (4) Zu minimieren ist die Kostenfunktion K = 00x+ 600y K y= x+ 600 Die gefärbte Fläche stellt die Menge aller Punkte dar, die sich aus dem Ungleichungssystem () bis (4) ergeben. Die gestrichelte Gerade stellt die Kostengerade mit der Steigung dar, die mit der gefärbten Fläche einen Punkt gemeinsam hat und einen möglichst kleinen y- Achsenabschnitt besitzt. Die gestrichelte Gerade liegt gleichzeitig auf der Begrenzungsgerade () der Fläche. Zuletzt aktualisiert:

19 Daher gibt es mehrere Lösungen für x und y, die zu minimalen Kosten führen. Beispiel:.) x = und y = 4.) x = 6 und y =.) x = 8 und y = Einsetzen des Punktes S(/4) (man könnte auch Q(6/) einsetzen) in die Kostengerade: K 4= + K = 000 Euro sind die minimalen Kosten Das Simplextableau ist bereits optimal, das heißt ein weiterer Simplexschritt ist nicht erforderlich. Das erkennt man daran, dass in der letzten Zeile keine positiven Zahlen mehr vorliegen. Die Nichtbasisvariablen des Tableaus sind y, u und w. Für diese Nichtbasisvariablen gilt: y = u = w = 0 Für die Basisvariablen ergeben sich folgende Werte: x = 0 ; z = 5 ; v = 70 Die Größe E wird dann maximal mit E = Dies ist jedoch nicht die einzige Lösung, die auf das Optimum von E = führt. Die letzte Zeile lautet: u w = E Damit E = ergibt, müssen u = w = 0 sein. Setzt man dies in die ersten Zeilen ein, folgt x + y = 0 v = 70 0,y + z = 5 Dieses Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen ( Gleichungen, 4 Variable). Nun sollen alle Lösungen gefunden werden, so dass alle Variablen 0 und z ganzzahlig ist..fall: z = 0 ; dann folgt y = 5 und x = -5 ; damit ist dies keine zulässige Lösung.Fall: z = ; dann folgt y = 0 und x = 0 ; zulässige Lösung.Fall: z = ; dann folgt y = 5 und x = 5; zulässige Lösung 4.Fall: z = ; dann folgt y = 0 und x = 0; zulässige Lösung 5.Fall: z = 4; dann folgt y = 5 und x = 5; zulässige Lösung 6.Fall: z = 5; dann folgt y = 0 und x = 0; zulässige Lösung Daraus folgt, dass für alle ganzzahligen Werte von z zwischen und 5 optimale Lösungen existieren. 4 Zuletzt aktualisiert:

20 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG) Hauptprüfung 0 Teil 4, Lineare Optimierung, Lösung zu Aufgabe Baden-Württemberg. Folgende Variablen werden definiert: x = Menge des peruianischen Kaffees in Gramm y = Menge des ecuadorianischen Kaffees in Gramm Folgende Bedingungen ergeben sich aus der Aufgabe:.) Jede Packung enthält mindestens 0 g: x+ y 0 y 0 x ().) Anteil des peruanischen Kaffees mindestens 5%: x 0,5(x + y) y x ().) Pro Packung nicht mehr als 0,0 : 0,0x+ 0,006y 0,0 y 50 x () Einzeichnen der drei Geraden in ein Koordinatensystem ergibt folgendes schraffiertes Planungsvieleck: Die Eckpunkte des Vielecks lauten wie folgt: S(5/5) (Schnitt der Geraden () und () ) R(0/0) (Schnitt der Geraden () und () ) P(5/0) (Schnitt der Geraden () mit der x-achse) Q(0/0) (Schnitt der Geraden () mit der x-achse) Nur die Punkte R und S stellen eine Mishung dar, die aus beiden Sorten besteht. Eckpunkt R mit x= 0g peruanischen Kaffees und y= 0g ecuadorianischen Kaffees: Gesamtgewicht: 0+ 0= 40 Gramm je Packung Kosten: 0,0 0+ 0,006 0= 0,0 Euro je Packung Zuletzt aktualisiert:

21 Qualität: Da der Anteil des peruanischen Kaffees 5% beträgt (0 Gramm von 40 Gramm), ist die Mindestqualität erreicht. Eckpunkt S mit x = 5g peruanischen Kaffees und y = 5 g ecuadorianischen Kaffees: Gesamtgewicht: = 0 Gramm je Packung (Mindestgewicht) Kosten: 0,0 5+ 0,006 5= 0,5 Euro je Packung (deutlich unter dem Höchstpreis) Qualität: Da der Anteil des peruanischen Kaffees 5% beträgt (5 Gramm von 0 Gramm), ist die Mindestqualität erreicht. Die Punkte R und S liegen beide auf der Gerade y = x, die die Restriktion hinsichtlich des Anteils in Höhe von 5% beschreibt. Wählt man einen Punkt des Planungsvielecks, der nicht auf dieser Gerade liegt, ergibt sich eine Mischung mit höherer Qualität. Beispiel: x = 0g peruanischer Kaffee und y = 0g ecuadorianischer Kaffee: Gesamtgewicht: 0+ 0= 0 Gramm je Packung Kosten: 0,0 0+ 0,006 0= 0,4 Euro je Packung Qualität: Da der Anteil des peruanischen Kaffees,% beträgt (0 Gramm von 0 Gramm), ist die Mindestqualität überschritten.. Es werden folgende Variablen definiert: x = Menge der Becher vom Getränk Orango y = Menge der Becher vom Getränk Marange Beim Getränk Orango ist das Verhältnis Orange zu Mango : Das heißt Becher (0,5 Liter) Orango enthält Liter Mangosaft und 6 6 Liter Orangensaft. Beim Getränk Marange ist das Verhältnis Orange zu Mango : Das heißt Becher (0,5 Liter) Marange enthält Liter Mangosaft und 6 Liter Orangensaft. Folgende Ungleichungen ergeben sich:.) Maximal 00 Becher Orango : x 00.) Maximal 60 Liter Orangensaft: x+ y ) Maximal 5 Liter Mangosaft: x+ y 5 6 Zu maximieren ist der Gewinn: 0,9x+ y= G Zuletzt aktualisiert:

22 Um den Simplex-Algorithmus anzuwenden, müssen Schliufvariablen eingeführt werden: x + u = 00 x + y v = 60 x + y 6 + w = 5 Damit ergibt sich nun folgendes Simplex-Tableau: x y u v w Erg. Quotient : = : 00 6 = 0, G Die Pivotspalte ist die Spalte mit der größten positiven Zahlen in der letzten Zeile (oben markiert) Der kleinste positive Wert der Spalte Quotient legt die Pivotzeile fest. Das Simplextableau wird nun so umgeformt, dass das Pivotelement den Wert annimmt (das heißt die komplette. Zeile wird mit multipliziert) Nummer x y u v w Erg. Umformung () keine () () () () 0, keine (4) 0, G (4) () Nach der Umformung erhält man folgendes Tableau: x y u v w Erg. Quotient : = : = 0, :075=400 0, G-00 Die Pivotspalte ist die Spalte mit der größten positiven Zahlen in der letzten Zeile (oben markiert) Der kleinste positive Wert der Spalte Quotient legt die Pivotzeile fest. 4 Zuletzt aktualisiert:

23 Das Simplextableau wird nun so umgeformt, dass das Pivotelement den Wert annimmt (das heißt die komplette. Zeile wird mit 6 multipliziert) Nummer x y u v w Erg. Umformung () () () () () 0, () 0,75 () (4) 0, G-00 (4) 0,5 () Nach der Umformung erhält man folgendes Tableau: x y u v w Erg ,4-7, G-4 Da die letzte Zeile keine positiven Elemente mehr besitzt, ist das Optimum erreicht. Als Lösung folgt: x = 60 und y = 80 und u = 40. Die Nichtbasisvariablen ergeben v = 0 und w = 0. Es müssen 60 Becher Orango (also 40 Liter) und 80 Becher Marange (also 45 Liter) hergestellt und verkauft werden. Der maximale Gesamtgewinn beträgt 4 Euro. Da v = w = 0 ist, wird das eingekaufte Obst komplett verbraucht. Die Variable u = 40 bedeutet, dass von den maximal möglichen 00 Bechern Orango 40 davon nicht verkauft werden, sondern nur Zuletzt aktualisiert:

24 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG, TG) Hauptprüfung 0 Teil, Stochastik, Lösung Aufgabe Baden-Württemberg. Für die einzelnen Räder gelten folgende Wahrscheinlichkeiten: Rad : 80 P(Blau) = = 60 Rad : 80 P(Schwarz) = = 60 6 P(Rot) = = P(Rot) = = P(Grün) = = P(Grün) = = 60 0 Nun können die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse berechnet werden: P(E ) = = P(E ) = P("kein Pfeil zeigt auf Rot")=- = P(E ) = P("beide Pfeile zeigen auf gleiche Farben)=-(P(rot,rot)+P(grün,grün)) 4 = ( + ) = Die Zufallsvariable X gibt die Auszahlung an den Spieler in Euro an. Zunächst werden die Wahrscheinlichkeiten berechnet, mit denen der Spieler die einzelnen Auszahlungen erhält. 7 P(X= ) = P(rot,rot) + P(grün,grün) = + = P(X=,50) = P(blau,rot) = = Die erwartete Auszahlung an den Spieler beträgt E(X) = +,50 = 0,49 Euro 50 0 Damit der Anbieter 50 Cent Gewinn macht, muss er als Einsatz 0,49 Euro + 0,50 Euro = 0,99 Euro = 99 Cent verlangen. Zuletzt aktualisiert:

25 .. Es soll gelten: P( bei n Spielen mindestens einmal,50 Euro ) > 0,8 P("nach n Spielen niemals,50 Euro") > 0,8 9 > 0,8 0 n n (es gilt P(X=,50) = und damit 0 9 < 0, (Ungleichheitszeichen dreht sich um!) 0 ln(0,) n ln(0,9) < ln(0,) n> = 5, ln(0,9) (Ungleichheitszeichen dreht sich um, da ln(0,9) < 0 ist) Der Spieler muss mindestens 6 mal spielen. 9 P(X,50) = = ) 0 0 Zuletzt aktualisiert:

26 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG, TG) Hauptprüfung 0 Teil, Stochastik, Lösung Aufgabe Baden-Württemberg. P( kein Baustein wird aussortiert ) = P( alle Bausteine sind in Ordnung ) 4 = 0,95 = 0,85 P( genau ein Baustein wird aussortiert ) = 0,05 0,95 4= 0,7 (Der Faktor 4 kommt deshalb zustande, weil nicht vorgegeben ist, welcher Baustein konkret aussoritert werden soll. Somit kann der defekte Baustein an der.,.,. oder 4.Stelle aussortiert werden. Es gibt folglich 4 mögliche Kombinationen. P( mindestens zwei Bausteine werden aussortiert ) = P( höchstens einer wird aussortiert ) = - P( keiner wird aussortiert ) - P( genau wird aussortiert ) = 0,85 0,7= 0,04. Von den Bausteinen sind 5%, also 0, = 7000 Ausschuss. Diese Ausschusszahl wird in den beiden Stufen aussortiert. Das Verhältnis der aussortierten Anzahlen in den beiden Stufen beträgt 9 :. Es gilt 7000 : 0= 700 (0 = 9 + ) In der ersten Stufe werden 700 9= 600 Bausteine aussortiert. In der zweiten Stufe werden 700 Bausteine aussortiert. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit: Von den Bausteinen werden in der ersten Stufe 600 aussortiert, also verbleiben 700 Bausteine für die zweite Stufe. Von diesen 700 Bausteinen werden 700 Bausteine in der zweiten Stufe aussortiert. Die (bedingte) Wahrscheinlichkeit, dass ein Baustein, der die erste Stufe durchlaufen hat 700 (700) in der zweiten Stufe aussortiert wird, beträgt 0,005 0,5% 700 = = Zuletzt aktualisiert: 9.0.0

27 . Die Aufgabe kann mit einer Vierfeldertafel gelöst werden: Defekt Nicht defekt Summe Aussortiert 4,405% 0,595% 5% (gemäß Angabe am Anfang der Aufgabe) Nicht aussortiert (=verkauft) 0,095% (ein Tausendstel der 95% verkauften Bausteine ist defekt) 94,905% 95% Summe 4,5% 95,5% 00% Anteil nicht defekter Bausteine im Ausschuss = 0,595 = 0,9 5 Es ist ein Anteil von,9% zu erwarten. Zuletzt aktualisiert: 9.0.0

28 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG) Hauptprüfung 0 Teil 4, Vektorgeometrie, Lösung zu Aufgabe Baden-Württemberg. Aufstellen der Ebenengleichung durch A, B und C: E: 5 4 x= OA+ r AB+ s AC= + r + s Schnittpunkt von E und g: Gleichsetzen: r + s = 7 + t 8 Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: r + 4s t = 4 r + s t = 5 r s t = 7 Mit dem GTR ergibt sich: r = - ; s = ; t = -4 Einsetzen von t = -4 in die Gerade: 9 x= 7 4 = 8 4 Der Schnittpunkt hat die Koordinaten R(//-4).. Berechnung des Schnittpunktes von E mit der x Achse: S (x / 0 / 0) x = + r + s 0 Dies führt auf die Lösung von folgendem Gleichungssystem: r + s = r s = Lösung mit GTR: r = -7 ; s = 5 Zuletzt aktualisiert:

29 Daraus folgt: x= 5 + 0= 6 und damit S ( 6 / 0 / 0) Berechnung des Schnittpunktes von E mit der x Achse: S (0 / x / 0) x = + r + s 0 Dies führt auf die Lösung von folgendem Gleichungssystem: r + 4s = 5 r s = Lösung mit GTR: r = ; s = -7 Daraus folgt: x = + 7= 6 und damit S (0 / 6 / 0) Für das Pyramidenvolumen gilt: V = G h Die Grundfläche G entspricht dem Dreieck in der x x -Ebene mit den Eckpunkten S,S,O Die Fläche des (in O rechtwinkligen) Dreiecks beträgt G= 6 6= 8 FE. Der Punkt S(0 / 0 / x ) liegt auf der x -Achse. Die Höhe der Pyramide entspricht dem x Wert von S. Einsetzen der bekannten Werte in die Volumenformel: 0= 8 h h= 5 LE Damit lautet S(0/0/5). Es wäre auch S(0/0/-5) möglich.. Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn die Richtungsvektoren Vielfache zueinander sind. Die Bedingung lautet: 4 k = 4a Aus der.zeile und.zeile : k = - Aus der.zeile folgt: = 4a a= Damit die Geraden verschieden sind, darf der Punkt D(b/4/-), der auf der Geraden h liegt, nicht auf g liegen. Zuletzt aktualisiert:

30 Punktprobe von D mit g: b 9 4 = 7 + t 8 Aus der. Zeile und.zeile folgt t = -. Damit D auf g liegt, müsste gelten: b= 9 =. Da die Geraden jedoch verschieden sein sollen, muss b sein. Ergebnis: Für a = und b sind die Geraden parallel, aber verschieden. 4 Zuletzt aktualisiert:

31 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG) Hauptprüfung 0 Teil 4, Vektorgeometrie, Lösung zu Aufgabe Baden-Württemberg. B C A D Aufgrund der Angabe, das AB die Breite und AD die Länge der Tischtennisplatte darstellt,wird das Rechteck so beschriftet. Die Platte ist parallel zur xx -Ebene, weil alle drei gegebenen Punkte A, B und C den x -Wert 76 haben und daher alle Punkte auf gleicher Höhe liegen. Berechnung der Koordinaten von C: Wenn ABCD ein Rechteck ergibt, muss gelten: AD= BC 64,4 0 64,4 AD= 0,7 9,5 = 9, ; c 64,4 BC= c 0 = 9, c 76 0 Daraus folgt c= 86,4 und c = 9, und c = 76 ; also C(86,4/9,/76). Die Ebene, in der das Netz verläuft enthält folgende Punkte: 0 64,4 8, Mittelpunkt M von AD: OM= ( OA+ OD) = 9,5 + 0,7 = 0, also M(8,/0,/76) Mittelpunkt N von BC: ( ) also N( 04,/09,6/76) 86,4 04, ON= OB+ OC = 0 + 9, = 09, Zuletzt aktualisiert:

32 Da die Netzhöhe 5,5 cm beträgt, ist ein weiterer Punkt der Netzebene P(8,/0,/9,5). Der Punkt P hat die gleichen x /x Koordinaten wie M, er hat nur einen x -Wert, der um 5,5 cm höher ist. Gleichung der Netzebene: 8, 0 H: x= OM+ r MN+ s MP= 0, + r 9,5 + s ,5. Die obere Netzkante enthält den Punkt P(8,/0,/9,5). aus Teilaufgabe. Außerdem enthält sie den Punkt R(04,/09,6/9,5). Der Punkt R hat die gleichen x /x Koordinaten wie N, er hat nur einen x -Wert, der um 5,5 cm höher ist. Gerade durch P und R: 8, k : x= 0, + r 9,5 9,5 0 Nun muss nachgewiesen werden, dass die in der Aufgabe angegebene Geradengleichung gdieselbe Gerade darstellt wie die Gerade k. 4,4 Vergleich der Richtungsvektoren: 5 8, = 9,5 0 0 Da die Richtungsvektoren Vielfache sind, sind die beiden Geraden parallel. Punktprobe: Liegt der Punkt S(4,/55,5/9,5) (der auf g liegt) auf der Gerade k? 4, 8, k : 55,5 = 0, + r 9,5 9,5 9,5 0 Für r = 0,5 sind alle Zeilen erfüllt. Damit liegt der Punkt S auf k. Die beiden Geraden g und k sind identisch. Damit ist gezeigt, dass die Gerade g die obere Netzkante beschreibt. Zuletzt aktualisiert:

33 .4 Die Flugbahn des Balles wird geschnitten mit der Netzebene aus Teilaufgabe.. Dies erfolgt rechnerisch durch das Gleichsetzen der beiden Gleichungen: 0 8, s 4 = 0, + r 9,5 + t ,5 Als Lösung mit dem GTR folgt (gerundet) r = 0,497 und t =, und s = -8,6. Einsetzen von s = -8,6 ergibt als Schnittpunkt Z(4,8/55,6/,4) Die Punkte der oberen Netzkante haben enien x -Wert von 9,5. Da der x -Wert des Schnittpunktes Z größer als 9,5 ist, fliegt der Ball über das Netz. Er landet also nicht im Netz. 4 Zuletzt aktualisiert:

34 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG) Hauptprüfung 0 Teil 4, Wirtschaftliche Anwendungen, Lösungen Aufgabe Baden-Württemberg. Anhand der Angaben in der Aufgabe wird eine Input-Output-Tabelle aufgestellt A B C Markt Produktion A B C Die fett gedruckten Zahlen sind anhand der gegebenen Größen berechnet worden. Die Inputmatrix lautet ,5 0, A= 0 0 0, = ,5 0, Der neue Produktionsvektor für die Produktionsperiode II lautet x x= 0 x 87 Der neue Marktabgabevektor für die Produktionsperiode II lautet y= y 78 Aufstellen der Leontief-Gleichung: y = (E A) x 0,75 0, x y = 0, x 0,5 0,875 Multipliziert man das ganze aus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: 0,75x x 6 = 47 x 0,5x y 6 = 0 x + 0,875x = 8

35 Als Lösung mit dem GTR ergibt sich x= 6 und x = 40 und y = 54 A produziert Waren im Wert von 6 GE, C produziert Waren im Wert von 40 GE und B gibt Waren im Wert von 54 GE an den Markt ab.. x Der neue Produktionsvektor lautet: x= Der Marktabgabevektor ist unbekannt. Aufstellen der Leontief-Gleichung: y = (E A) x 0,75 0,5 y 6 x y = 0, y 480 0,5 0,875 Multipliziert man das ganze aus, ergibt sich ein Gleichungssystem mit Gleichungen und 4 Variablen: y 0,75x = 50 y + x = 80 6 y + x = 00 Mit dem GTR ergibt sich folgende Matrix: 0 0 0, , , 00 Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Setze x= t. Daraus folgt y = 00 t und y = 80 t und y= 50+ 0,75t 6 Für den Parameter t können nur solche Werte eingesetzt werden, dass die folgenden Variablen nicht negativ werden: y = 00 t 0 t 900 y = 80 t 0 t y= 50+ 0,75t 0 t 00 Da alle drei Bedingungen erfüllt sein müssen, folgt 00 t 900. Da x= t ist, muss der Wert der Produktion von A mindestens 00 GE und darf höchstens 900 GE betragen.

36 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG) Hauptprüfung 0 Teil 4, Wirtschaftliche Anwendungen, Lösungen Aufgabe Baden-Württemberg. Die Komponenten können als Rohstoffe interpretiert und die einzelnen Rahmen als Endprodukte interpretiert werden. Die Rohstoff-Endprodukt-Matrix lautet 44 8 C= Der Rohstoffvektor lautet r = und der Produktionsvektor 700 p C p= r p = p p p = p p. p+ 88p+ 8p = p+ 8p = 9600 p + p + 4p = p + 4p = 700 Als Lösung ergibt sich p= 00 und p = 00. Von den kleinen quadratischen Rahmen können 00 ME, von den großen quadratischen Rahmen können 00 ME und von den rechteckigen Rahmen können 00 ME hergestellt werden... Die Streben bzw. die Eckverbinder können als Zwischenprodukte interpretiert werden. 4 0 Gegeben ist die Zwischenprodukt Endprodukt Matrix B= Aus den in der Aufgabenstellung stehenden Angaben kann ein Teil der Rohstoff Zwischenprodukt Matrix aufgestellt werden: 5 a b A = c d

37 Es gilt: a b 44 8 A B= C 0 4 c d = Multipliziert man die Matrixgleichung aus, ergeben sich folgende Gleichungen: 0+ 4b= b= 4c+ 4= c = 4a+ 4b= 44 a= 8 4d+ 4= 6 d= Ergebnis: Für eine kurze Strebe werden 5 ME von Komponente und c = ME von Komponente benötigt. Für eine lange Strebe werden a = 8 ME von Komponente und d = ME von Komponente benötigt. Für einen Eckverbinder werden b = ME von Komponente und ME von Komponente benötigt Gegeben ist der Produktionsvektor p= 00 und die Rohstoffkosten KR = Berechnung der benötigten Zwischenproduktmengen (Streben und Eckverbinder): z= B p= = Kosten für die Herstellung der Zwischenprodukte: T K = k z= 800 0, , ,0 = 0 Z Z Montagekosten für insgesamt 00 quadratische Rahmen und 00 rechteckige Rahmen: K = 00 0,+ 00 x= 0+ 00x E Nun kann folgende Kostengleichung aufgestellt werden: x x 0, Die Montagekosten eines rechteckigen Rahmens dürfen höchstens 0, betragen. 4