8 Der Vektorraum R n und Lineare Abbildungen

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1 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN Der Vektorraum R n und Lineare Abbildungen Im vorherigen Abschnitt haben wir den Begriff des Vektorraumes über einem Körper K kennengelernt. Beispiele kennen wir schon aus dem Anschauungsraum in den ersten Kapiteln: Die Menge der Zeilenvektoren in der Ebene bilden einen Vektorraum, ebenso die Menge Zeilenvektoren im dreidimensionalen Raum. Das gleiche gilt aber auch für die Spaltenvektoren in Ebene und Räum. Diese Räume haben wir mit R 2 und R 3 bezeichnet: R 2 = Menge der Zeilenvektoren v = (v 1, v 2 ) ( ) v1 = Menge der Spaltenvektoren v = Die Verallgemeinerung von Zahlendupel oder Zahlentrippel auf n-tupel bietet keine überaschungen. Der Vollständigkeit halber werden wir aber die wesentlichen Konzepte auch für diese n-dimesionalen Vektoren im folgenden Abschnitt aufführen. v Euklidische Vektorräume Die grundlegenden Modelle für Vektorräume sind die Räume der n-dimesionalen rellen Zeilen- oder Spaltenvektoren. R n = Menge der Zeilenvektoren v = (v 1,..., v n )

2 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 172 = Menge der Spaltenvektoren v = Die Rechenregeln für die Vektoren aus dem R n sind im Prinzip die gleichen wie für die aus R 2. Wir notieren die Vektoren bis auf Weiteres aus schreibtechnischen Gründen als Zeilenvektoren. Nur wenn es explizit darauf ankommt Spaltenvektoren zu verwenden, benutzen wir die Schreibweise in Spalten oder die Notation v = (v 1,..., v n ). Definition 8.1 Es seien u = (u 1,..., u n ) und v = (v 1,..., v n ) Vektoren im R n und k K ein Skalar. u und v sind gleich, wenn Die Summe u + v ist definiert durch u 1 = v 1, u 2 = v 2,..., u n = v n, v 1. v n u + v = (u 1 + v 1 + u 2 + v u n + v n ) das skalare Vielfache ku von u ist gegegeben durch ku = (ku 1, ku 2,..., ku n ). Mit diesen Standardoperationen gelten die folgenden Rechenregeln, die wir auch schon aus dem R 2 und R 3 kennen. Satz 8.1 Für Vektoren u, v und w im R n und Skalaren k, l R gelten

3 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN u + v = v + u (Kommutativität) 2. (u + v) + w = v + (u + w) (Assoziativität) 3. u + 0 = 0 + u = u (Neutrales Element) 4. u + ( u) = 0 (Inverses Element) 5. k(lu) = (kl)u 6. k(u + v) = ku + kv (Distributivität I) 7. (k + l)u = ku + lu (Distributivität II) 8. 1u = u Weiter werden wir auch das für R 2 und R 3 eingeführte innere Produkt (bzw. Skalarprodukt) auf den R n übertragen, um dann Norm, Abstand und Winkel definieren zu können. Definition 8.2 Es seien u = (u 1,..., u n ) und v = (v 1,..., v n ) Vektoren im R n. Das innere Produkt bzw. das Skalarprodukt u v wird definiert durch u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n. Viele geometrische Konzepte in der Ebene oder im Anschauungsraum lassen sich auf den n-dimensionalen Raum übertragen. Deswegen bezeichnet

4 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 174 man den mit Addition, Skalarmultiplikation und Skalarprodukt versehenem R n als n-dimensionalen euklidischen Raum. Wir fassen die wichtigsten arithmetischen Rechenregeln zusammen im Satz 8.2 Für Vektoren u, v und w im R n und einem Skalar k R gelten: 1. u v = v u 2. (u + v) w = u w + v w 3. (ku) v = k(u v) 4. v v 0. Zudem ist v v = 0. genau dann wenn v = 0. Auch die Konzepte der Norm und des Abstandes sind uns im R 2 und R 3 bereits bekannt. Deswegen halten wir uns kurz. Definition 8.3 Die euklidische Norm (oder euklidische Länge) eines Vektors u = (u 1, u 2,..., u n ) R n ist durch gegeben. u = (u u) 1 2 = u u u2 n (8.31) Das Vorhandensein einer Norm für einen Vektorraum bietet die Möglichkeit Längen von Vektoren zu messen, aber auch den Absatnd zweier Punkte, nämlich über die Länge der Differenzvektors.

5 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 175 Definition 8.4 Der euklidische Abstand zweier Punkte u = (u 1, u 2,..., u n ) und v = (v 1, v 2,..., v n ) ist gegeben durch gegeben. d(u, v) = u v = (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) (u n v n ) 2 Der nächste Satz liefert eine der bedeutendsten Ungleichungen der Mathematik, die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (A.L.Cauchy, , und H.A.Schwarz, ): Satz 8.3 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Für Vektoren u und v im R n gilt: u v u v. Ein Beweis dieser Ungleichung findet sich in fast jedem fortgeschrittenen Buch über Lineare Algebra und wird deswegen hier nicht ausgeführt. Die Norm eines Vektors hat interessante Eigenschaften. Satz 8.4 Es seien u und v Vektoren im R n und k R ein Skalar. Dann gelten: 1. u 0 2. u = 0 u = 0 3. ku = k u

6 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN u + v u + v (Dreiecksungleichung) Die Dreiecksungleichung verallgemeinert die aus der ebenen Geometrie bekannte Tatsache, dass die Summe der Längen zweier Seiten eines Dreiecks nicht kleiner ist als die dritte Seite. Beweis: An der Tafel. Gemäß Gleichung (8.31) kann die Norm mit Hilfe des inneren Produktes dargestellt werden. Das folgende Resultat zeigt, dass das auch umgekehrt geht. Satz 8.5 Für Vektoren u und v im R n gilt: u v = 1 4 u + v u v 2 (8.32) Beweis: als Übung! Analog zur Definition für ebene und räumliche Vektoren soll die Orthogonalität von Vektoren im R n eingeführt werden. Definition 8.5 Zwei Vektoren u, v R n heißen orthogonal, wenn u v = 0 ist.

7 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 177 Es soll darauf hingewiesen sein, dass sich viele aus der ebenen und räumlichen Geometrie bekannten Tatsachen auf den R n übertragen lassen. So gilt für orthogonale Vektoren u und v im R 2 oder R 3, dass u, v und u + v ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Nach dem Satz von Pythagoras gilt dann u + v 2 = u 2 + v 2. Diesen Satz kann man auch für n-dimensionale Vektoren formulieren. Satz 8.6 Sind u und v orthogonale Vektoren im euklidischen Raum R n, so gilt u + v 2 = u 2 + v 2. Beweis: An der Tafel. 8.2 Lineare Abbildungen zwischen R n und R m a In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Funktionen w = F (x), die jedem x R n ein w R m zuordnen. Wir beschränken uns aber auf einfache Funktionen, den linearen Transformationen, die nicht nur in der Mathematik sondern auch in Technik, Natur- und Sozialwissenschaften eine wichtige Rolle spielen.

8 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 178 In der Vorlesung über Differential- und Integralrechnung haben wir uns mit Funktionen/Abbildungen von R nach R betrachtet. Hier dreht es sich nun um Funktionen f mit Definitionsbereich R n und Zielmenge R m, die wir deswegen auch Transformation von R n nach R m nennen. Man schreibt f : R n R und sagt, dass f den R n in R m abbildet. Beispiel 8.1 Eine Funktion/Abbildung f von R n nach R ist z.b. f(x 1, x 2,..., x n ) = x x x 2 n Man spricht in diesem Fall von einer reellwertigen Funktion in mehreren Unbekannten. Wir betrachten f 1, f 2,..., f m reellwertige Funktionen in n Variablen, also w 1 = f 1 (x 1,..., x n ) w 2 = f 2 (x 1,..., x n ).. w m = f m (x 1,..., x n ) (8.33) Durch diese Gleichungen wird jedem Punkt/Vektor (x 1, x 2,..., x n ) genau ein (w 1, w 2,..., w ) zugeordnet. Wir erhalten damit eine Transformation von

9 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 179 R n nach R m. Bezeichnet man diese mit T, so hat man also T : R n R m mit T (x 1,..., x n ) = (w 1,..., w m ) Beispiel 8.2 Die Gleichungen w 1 = x 1 + x 2 w 2 = 3x 1 x 2 w 3 = x 2 1 x 2 2 definieren in der Tat eine Transformation T : R 2 R 3, die jedem Punkt/Vektor (x 1, x 2 ) einen Wert/Punkt/Vektor T (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, 3x 1 x 2, x 2 1 x 2 2) zuordnet, also etwa T (1, 2) = ( 1, 6, 3). Diese Transformation ist nichtlinear. Ergibt sich T aber durch die Gleichungen vom Typ w 1 = a 11 x a 1n x n

10 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 180 w 2. = a 21 x a 2n x n. w m = a m1 x a mn x n (8.34) als dem Gegegenstück zu (8.33), dann spricht man von einer linearen Transformation T : R n R m. Es ist wichtig zu bemerken, dass man Gleichung (8.34) auch in Matrixschreibweise darstellen kann als w 1 w 2.w m was man auch kurz als = a 11 a 12 a 1n a 21. a 22. a 2n. a m1 a m2 a mn w = Ax x 1 x 2.x n notieren. Die Matrix A = (a ij ) heißt Standarddarstellungsmatrix der linearen Transformation T. T vermittelt also eine Multiplikation mit A, ganz in Analogie mit den linearen Funktionen aus DIN I: mit a R und x R. t(x) = ax

11 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 181 Beispiel 8.3 Durch die Gleichungen w 1 = 2x 1 3x 2 + x 3 5x 4 w 2 = 4x 1 + x 2 2x 3 + x 4 w 3 = 5x 1 x 2 + 4x 3 wird eine lineare Transformation T definiert. Weiter an der Tafel. Notation Falls T : R n R m die Multiplikation mit A darstellt, schreibt wir gelegentlich T A an Stelle T : T A (x) = Ax mit dem Spaltenvektor x. Wir bezeichnen mit [T ] die Standarddarstellungsmatrix der linearen Transformation T : R n R m Also ist T (x) = [T ]x

12 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 182 Bei der Benutzung beider Notationen gilt [T A ] = A Bei einer linearen Transformation T : R n R n spricht man auch häufig von einem linearen Operator, der R n in sich abbildet. Wir machen eine wichtige Bemerkung Bemerkung 8.1 Es besteht eine essentielle Verbindung zwischen m n- Matrizen und linearen Transformationen von R n nach R m : Zu jeder Matrix A gehört eine lineare Transformation T A (die Multiplikation mit A) und umgekehrt, jeder linearen Transformation T : R n R m entspricht eine m n-matrix [T ] (die Standarddarstellungsmatrix von T ). 8.3 Geometrische Veranschaulichung linearer Transformationen Abhängig davon, ob wir n-tupel als Punkte oder Vektoren auffassen, entspricht einer Transformation T : R n R n (!) geometrisch der Überführung eines Punktes (Vektors) im R n in einen neuen Punkt (Vektor), siehe 38. Beispiel 8.4 Es sei 0 die m n-nullmatrix und 0 der Nullvektor im R m. Dann ist für jeden Vektor x R n T 0 (x) = 0x = 0,

13 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 183 Abbildung 38: Wirkung einer linearen Transformation. T 0 wird auch Nulltransformation genannt und wird gelegentlich mit der Notation 0 belegt. Beispiel 8.5 Die n n-einheitsmatrix I stiftet die Identität oder identische Transformation. Das sind sehr einfache Beispiele, komplizierter aber von grundlegender Bedeutung sind die Transformationen oder Operatoren wie Spiegelungen, Projektionen und Drehungen im R 2 oder R 3. Zuerst werden wir alles flach halten, also im R 2 bleiben.

14 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN Reflexionen (im R 2 ) Wir betrachten den Operator T : R 2 R 2, der jedem Vektor sein Spiegelbild bezüglich der y-achse zuordnet. Mit w = T (x) ergeben sich die Abbildung 39: Spiegelung an der y-achse Komponenten bzw. w 1 = x = x + 0y w 2 = y = 0x + y ( w1 w 2 ) = ( ) ( x y T ist ein linearer Operator mit der Darstellungsmatrix ( ) 1 0 [T ] = 0 1 )

15 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 185 Operatoren, die jedem Vektor sein Spiegelbild bezüglich einer Geraden oder Ebene abbilden, heißen Reflexionsoperatoren. Beispiel 8.6 Wir betrachten den Operator der im R 2 die Spiegelung an der x-achse beschreibt. Wie lautet die Gleichungen dieses Operators, wie seine Standarddarstellungsmatrix? Weiter an der Tafel. Abbildung 40: Spiegelung an der x-achse

16 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 186 Beispiel 8.7 Wir betrachten den Operator der im R 2 die Spiegelung an der Geraden y = x beschreibt. Wie lautet die Gleichungen dieses Operators, wie seine Standarddarstellungsmatrix? Weiter an der Tafel. Abbildung 41: Spiegelung an der Geraden y = x Projektionsoperatoren (im R 2 ) Wir behandeln zuerst den Operator T : R 2 R 2, der jedem Vektor seine Orthogonalprojektion auf die x-achse zuweist. Für die Komponenten von

17 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 187 Abbildung 42: Projektion auf die x-achse. x und w = T (x) gilt was die Gleichung in Matrixform ( ) w1 = w 1 = x = x + 0y w 2 = 0 = 0x + 0y w 2 ( ) ( x y impliziert. T ist ein linearer Operator, dessen Darstellungsmatrix ( ) 1 0 [T ] = 0 0 )

18 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 188 lautet. Allgemein bezeichnet man die Operatoren, die jeden Vektor seine Orthogonalprojektion auf eine durch den Ursprung verlaufende Ebene zuordnet, als Projektionsoperatoren oder als Orthogonalprojektionsoperatoren. Beispiel 8.8 Wir betrachten den Operator der im R 2 die Orthogonalprojektionsoperatoren auf die y-achse beschreibt. Wie lautet die Gleichungen dieses Operators, wie seine Standarddarstellungsmatrix? Weiter an der Tafel. Abbildung 43: Projektion auf die y-achse.

19 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN Rotationen (im R 2 ) Einen auf dem R 2 definierter Operator, der jeden Vektor um einen festen Winkel θ dreht, nennt man Rotationsoperator. Zur Herleitung der bestimmenden Gleichungen führen wir folgende Bezeichnungen ein: Es handelt sich um eine Drehung um den positiven Winkel θ in mathematisch positiven Sinn; der Vektor x und sein Bild T (x) haben die Länge r; x schließt mit der positiven x-achse den Winkel φ ein, vgl. Abbildung 44. Man erkennt, dass Abbildung 44: Rotation um Winkel θ. x = r cos φ y = r sin φ

20 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 190 und w 1 = r cos φ w 2 = r sin φ gilt, woraus durch Anwendung der Additionstheoreme w 1 w 2 = r cos θ cos φ r sin θ sin φ = r sin θ cos φ + r cos θ sin φ und schließlich w 1 w 2 = x cos θ y sin θ = x sin θ + y cos θ folgt. Diese Gleichungen sind linear, der Rotationsoperator T ist also auch linear. Als Darstellungsmatrix ergibt sich ( ) cos θ sin θ [T ] =. sin θ cos θ Beispiel 8.9 Bei einer Drehung um den Winkel π 6 = 30o erhällt man das Bild w des Vektors ( ) x x = y zu... Weiter an der Tafel!

21 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN Dilatations- und Kontraktionsoperatoren (im R 2 ) Für einen Skalar k R wird der durch T (x) = kx auf R n definierte Operator entweder Kontraktion um den Faktor k (0 k 1) oder Dilatation um den Faktor k (k 1). Geometrisch wirkt sich T auf den Vektor x durch Stauchung oder Streckung aus. Die bestimmenden Abbildung 45: Dilatation und Kontraktion: Streckung und Stauchung um den Faktor k. Gleichungen für die Komponenten von w = T (x) lauten w 1 w 2 = kx = ky

22 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 192 oder in Matrixform ( w1 w 2 ) = ( k 0 0 k ) ( x y ). Also hat dieser Operator T die Darstellungsmatrix ( ) k 0 [T ] = 0 k Dabei kommt es eigentlich nicht darauf an, ob k größer ist als 1 oder nicht. Wie aändern sich die Verhältnisse nun beim übergang zum R 3? Und wie sieht es dann weiter im R n aus? Reflexionen, Projektionsoperatoren, Rotationen, Dilatationsund Kontraktionsoperatoren im R 3 Im R 3 verkomplizieren sich die Dinge ein wenig, die Grundprinzipien bleiben aber die gleichen, allerdings mit einer Ausnahme: die Rotationen im R 3. Während man im R 2 den kanonischen Drehpunkt 0 haben, geht es im R 3 darum, eine Rotationsachse festzulegen. Wenden wir uns aber zuerst den anderen Operatoren aus dem vorherigen Unterabschnitt zu.

23 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 193 Spiegelungen Spiegelung an der xy-ebene. Abbildung 46: Spiegelung an der xy-ebene. Darstellungsmatrix:

24 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 194 Spiegelung an der xz-ebene. Abbildung 47: Spiegelung an der xz-ebene. Darstellungsmatrix:

25 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 195 Spiegelung an der yz-ebene. Abbildung 48: Spiegelung an der yz-ebene. Weiter an der Tafel.

26 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 196 Projektionen Orthogonalprojektionen auf die xy-ebene. Abbildung 49: Orthogonalprojektionen auf die xy-ebene. Darstellungsmatrix:

27 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 197 Orthogonalprojektionen auf die xz-ebene. Abbildung 50: Orthogonalprojektionen auf die xz-ebene. Darstellungsmatrix:

28 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 198 Orthogonalprojektionen auf die yz-ebene. Abbildung 51: Orthogonalprojektionen auf die yz-ebene.

29 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 199 Rotationen Rotationen im R 3 haben eine sogenannte Rotationsachse, die man sich als eine durch den Ursprung gehende Gerade vorstellen kann und die durch einen von Null verschiedenen Vektor gegeben wird. Bei der Drehung durchläuft ein Punkt eine Kreisbahn, während ein Vektor in seiner Bewegung einen Kegelmantel beschreibt. Abbildung 52: Rotation im R 3 : Drehachse (links) und Drehsinn (rechts) bei positivem Drehwinkel (Rechte-Hand-Regel). Ein Rotationsoperator im R 3 ist ein linearer Operator, welcher bei vorgegebener Rotationsachse jeden Vektor um einen vorgegebenen Winkel θ dreht. Wir listen einige spezielle Rotationen auf.

30 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 200 Rotation um die x-achse Abbildung 53: Rotation um die x-achse mit Drehwinkel θ gegen den Uhrzeigersinn (also im mathematisch positiven Drehsinn). Darstellungsmatrix: cos θ sin θ 0 sin θ cos θ

31 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 201 Rotation um die y-achse Abbildung 54: Rotation um die y-achse mit Drehwinkel θ gegen den Uhrzeigersinn (also im mathematisch positiven Drehsinn). Darstellungsmatrix:

32 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 202 Rotation um die z-achse Abbildung 55: Rotation um die z-achse mit Drehwinkel θ gegen den Uhrzeigersinn (also im mathematisch positiven Drehsinn). Weiter an der Tafel. Der Vollständigkeit wegen sei eine Darstellungsmatrix einer allgemeinen Rotation um einen positiven Winkel θ, deren Roatationsachse durch einen

33 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 203 beliebigen Einheitsvektor u = (a, b, c) gegeben ist. Diese Matrix lautet: a 2 (1 cos θ) + cos θ ab(1 cos θ) c sin θ ac(1 cos θ) + b sin θ ab(1 cos θ) + c sin θ b 2 (1 cos θ) + cos θ bc(1 cos θ) a sin θ ac(1 cos θ) b sin θ bc(1 cos θ) + a sin θ c 2 (1 cos θ) + cos θ Dilatations- und Kontraktionsoperatoren Abbildung 56: Dilatation und Kontraktion: Streckung und Stauchung um den Faktor k. Das Aufstelle der Darstellungtsmatrix zum Dilatations- und Kontraktionsoperator im R 3 ist kein Schwierigkeit mehr (Übung?!). Die bisher betrachteten Operatoren sind doch recht einfach gestrickt. Für die Anwendungen ist es unerlässlich auch kompliziertere Transformationen, die sich aus einfachen zusammensetzen, zur Verfügung zu haben. Im

34 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 204 nächsten Abschnitt wenden wir uns deshalb der Komposition bzw. der Hintereinanderschaltung von Transformationen zu. 8.4 Die Komposition linearer Transformationen Wir betrachten zwei lineare Transformationen, T A : R n R k und T A : R k R m. Ein Vektor x R n werde vermöge T A auf T A (x) R k abgebildet, dessen Bild unter T B sich als der Vektor T B (T A (x)) R m herausstellt. Letztendlich sind wir durch die Hintereinanderausführung von T A und dann T B vom R n in den R m gelangt. Diese Komposition von T B mit T A wird üblicherweise durch die Notation T B A ( T B nach T A ) ausgedrückt. Also (T B T A )(x) = T B (T A (x)) Wie ergibt sich nun die Darstellungsmatrix der Komposition T B T A? Ganz einfach durch Matrixmultiplikation, denn (T B T A )(x) = T B (T A (x))t B (Ax) = B(Ax) = BAx. Also ist T B T A eine lineare Transformation, genauer, die Multiplikation mit BA: T B T A = T BA (8.35) Bemerkung 8.2 Wesentlich ist, dass der Komposition von linearen Transformationen genau der Multiplikation ihrer Darstellungsmatrizen entspricht.

35 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 205 Diese Entsprechung in anderer Notation ausgedrückt: [T 2 T 2 ] = [T 2 ][T 1 ]. (8.36) Diese Zusammenhänge seien im folgenden Beispiel konkretisiert. Beispiel 8.10 Es seien T 1 R 2 R 2 und T 2 R 2 R 2 Rotationen um die Winkel θ 1 und θ 2. Ein Vektor x wird durch die Komposition (T 2 T 1 )(x) = T 2 (T 1 (x)) zuerst um θ 1 gedreht, und der resultierende Vektor T 1 (x) dann um θ 2 weitergedreht. Im Endeffekt vermittelt T 2 T 1 eine Drehung um θ 2 + θ 1, wie in Abbildung 57 angedeutet. Wir vergleichen [T 2 T 1 ] und [T 2 ][T 1 ]. Weiter an der Tafel! Beispiel 8.11 Es sei nun T 1 : R 2 R 2 die Spiegelung an der Geraden und T 2 : R 2 R 2 die Orthogonalprojektion auf die y-achse. Man beachte: wie in Abb. 58 deutlich wird, hat der Vektor x unterschiedliche Bilder

36 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 206 Abbildung 57: Komposition zweier Drehungen im R 2 um den Winkel θ 1 und dann noch um θ 2. unter T 1 T 2 und T 2 T 1. Auf der Ebene der Matrizen entspricht dies dem Faktum, dass die Darstellungsmatrizen... Weiter an der Tafel. Beispiel 8.12 T 1 : R 2 R 2 und T 2 : R 2 R 2 bezeichne die Reflexion bzgl. der y-achse und der x-achse. Wir untersuchen die Kompositionen dieser Transformationen (siehe Abb. 59). Details als Übung! Bei der Komposition von drei oder mehr linearen Transformationen kommt kein wirklich neuer Aspekt hinzu. Zu drei linearen Transformationen T 1 : R n R k, T 2 : R k R l, T 3 : R l R m

37 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 207 Abbildung 58: Komposition einer Spiegelung an der Gerade y = x im R 2 und einer Projektion auf die y-achse. wird durch (T 3 T 2 T 1 )(x) = T 3 (T 2 (T 1 (x))) die lineare Transformation (T 3 T 2 T 1 ) : R n R m erklärt, die vom R n über die Zwischenstationen R k und R l in den R m abbildet. Die Darstellungsmatrix ergibt sich aus [T 3 T 2 T 1 ] = [T 3 ][T 2 ][T 1 ]. Oder anders ausgedrückt, falls A,B und C die Darstellungsmatrizen von T 1, T 2 und T 3 sind, T C T B T A = T CBA.

38 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 208 Abbildung 59: Komposition zweier Drehungen im R 2 um den Winkel θ 1 und dann noch um theta 2. Beispiel 8.13 Es sei T der Operator, der jeden Vektor um den Winkel θ im Uhrzeigersinn um die x-achse rotiert, dann an der yz-ebene spiegelt und schließlich auf die xy-ebene projeziert. Wir wollen die Darstellungsmatrix von T als Übung (!) bestimmen. 8.5 Erste Eigenschaften linearer Transformationen Linearität. Unsere Berechtigung lineare Transformationen linear zu nennen, kam der Linearität des T -definierenden Gleichungssystems w = T (x).

39 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 209 Wir werden eine andere, viel stärker verallgemeinerungsfähige, Charakterisierung der Linearität einer Abbildung kennenlernen. Satz 8.7 Eine Transformation T : R n R m ist genau dann linear, wenn für alle Vektoren v und w aus R n und jedem Skalar k gilt: 1. T (v + w) = T (v) + T (w) 2. T (kv) = kt (v) Bevor wir uns an den Beweis wagen, eine kleine Bemerkung 8.3 Die wesenlichen Operationen in einem Vektorraum sind die Addition und die Multiplikation mit einem Skalar. Unter diesen Operationen ist ein Vektorraum stabil. Eine lineare Transformation respektiert diese beiden Operationen, die lineare Struktur des Vektorraumes. In diesem Sinne ist eine lineare Transformation nicht anderes als ein Homomorphismus der zu der Struktur des Vektorraumes passt. Beweis: an der Tafel!

40 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 210

41 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 211 Der Beweis von Satz 8.7 stellt mit der Konstruktion der Matrix A eine Anleitung bereit, wie die Standarddarstellungsmatrix einer linearen Transformation T : R n R m direkt bestimmt werden kann. Wegen seiner Wichtigkeit fassen wir diese Erkenntnis in Form von Satz 8.8 Es sei T : R n R m eine lineare Transformation, und es seien e 1, e 2,..., e n, die Standardbasisvektoren des R n. Die Standarddarstellungsmatrix von T wird gegeben durch [T ] = [T (e 1 ), T (e 2 ),..., T (e n )] d.h. durch die Bilder der Basisvektoren. Beispiel 8.14 T A : R 3 R 2 die Multiplikation mit ( ) A = Weiter an der Tafel. Injektivität und Invertierbarkeit. Schon aus früheren Vorlesungen ist bekannt, was Injektivität einer Abbildung bedeutet: zwei verschiedenen Urbildern entsprechen zwei verschiedene

42 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 212 Bilder oder, anders ausgedrückt, zu jedem Wert im Wertbereich der Abbildung gibt es nur ein Urbild. Injektive Abbildungen gestatten also eine umgekehrte Zuordnung vom Bildpunkt (-vektor) zum Urbildpunkti (-vektor). Diese umgekehrte Zuordnung stiftet nun die sogenannte Umkehrabbildung oder inverse Abbildung. An diesen grundsätzlichen Zusammenhängen ändert sich natürlich nichts, wenn wir spezielle Abbildungen betrachten, die linearen Transformationen T zwischen Vektorräumen. Nur zur besseren Referenz wiederholen wir nochmals die Definition 8.6 Man nennt eine lineare Transformation T : R n R m injektiv, wenn sie unterschiedlichen Vektoren (bzw. Punkten) im R n immer unterschiedliche Bildvektoren des R m zuordnet. Die Rotation des R 2 um den Winkel θ ist injektiv, wohingegen z.b. die Orthogonalprojektion T : R 3 R 3 auf die xy-ebene nicht injektiv ist. Letztere bildet nämlich alle Punkte, die auf einer zur z-achse parallelen Gerade liegen jeweils auf den selben Bildpunkt ab (vgl. Abb. 60). Ebenfalls von früher ist der Begriff der Surjektivität bekannt. Insbesondere ist ein linearer Operator T : R n R n surjektiv, wenn jeder Vektor aus der Zielmenge R n (welcher der beiden?) als Bildwert w = T (x) eines Vektors x R n vorkommt. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass der Wertebereich von T gleich R n ist. Ein Operator der zugleich surjektiv und injektiv ist, ist bijektiv und also

43 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 213 Abbildung 60: P und Q werden auf den selben Punkt M projeziert. invertierbar. Aber Surjektivität und Injektivität bedingen sich bei beliebigen Abbildung in der Regel nicht gegenseitig. Erstaunlicherweise ist dies bei linearen Operatoren, die den R n auf den R n abbilden, anders: Hier gilt der Satz 8.9 Es sei T : R n R n ein linearer Operator. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig (!): 1. T ist surjektiv. 2. T ist injektiv.

44 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN T ist bijektiv, also invertierbar. Also, das Vorhandensein der Vektorraumstruktur und die Linearität von T erzwingen es, dass die Begriffe surjektiv, injektiv und bijektiv zusammenfallen. Wie berechnet sich nun die Inverse eines bijektiven linearen Operators? Die Inverse zu einem bijektiven linearen Operator Wir betrachten den bijektiven linearen Operator T A : R n R n mit Darstellungsmatrix A. T A vermittelt die Multiplikation mit A. Man kann zeigen: Satz 8.10 Die Darstellungsmatrix A eines bijektiven linearen Operators T A : R n R n ist invertierbar. Es existiert also A 1. Der Operator T A 1 Mehr noch, es gilt für alle x R n : R n R n ist wieder linear. T A (T A 1(x)) = T A (A 1 x) = AA 1 x = Ix = x, T A 1(T A (x)) = T A 1(Ax) = A 1 Ax = Ix = x, oder gleichwertig T A T A 1 = T AA 1 = T I, T A 1 T A = T A 1 A = T I,

45 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 215 Abbildung 61: Ein linearer Operator T A mit seiner Inversen T A 1 Ist [T ] die Standarddarstellungsmatrix eines bijektiven Operators so ergibt sich die Darstellungsmatrix [T 1 ] des inversen Operators T 1 als [T 1 ] = [T ] 1. Beispiel 8.15 Es sei T : R 2 R 2 die Rotation um den Winkel θ. Wir berechnen die Darstellungsmatrix der Inversen T 1. Weiter an der Tafel.

46 8 DER VEKTORRAUM R N UND LINEARE ABBILDUNGEN 216 Beispiel 8.16 Es sei T : R 2 R 2 gegeben durch die Gleichungen w 1 = 2x 1 + x 2 w 2 = 3x 1 + 4x 2 Wir wollen zeigen, dass T invertierbar ist und T 1 (w 1, w 2 ) berechnen.