2. Rheologische Modelle Einführung

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1 2. Rheologische Modelle 2.1. inführung Alle realen Stoffe besitzen, wenn auch in unterschiedlichem Maße, sämtliche rheologischen igenschaften [2.1]. Bei einer Deformation treten somit elastische, plastische und iskose Verformungsanteile auf, die in der Rheologie durch entsprechende Grundelemente repräsentiert werden (siehe Kap. 2.2). Das Verhältnis der erschiedenen Anteile wird maßgeblich durch die Materialstruktur festgelegt. Sie bestimmen die Zeit- und somit die Deformationsgeschwindigkeitsabhängigkeit der zu messenden Materialkenngrößen. Die Verwendung rheologischer Modelle (Kombinationen on Grundelementen) zur Beschreibung realen Materialerhaltens ist immer dann sinnoll, wenn ein Modell für erschiedene Belastungsarten gültig ist. Für einachsige Druck- bzw. Zugersuche gelingt das sehr gut, da die Spannung F und die Dehnung g meßtechnisch zugänglich sind. Für Deformationen durch Punktbelastung, wie sie beim Härteeindruckersuch orkommen, bedürfen die Modelle einer zusätzlichen Modifikation für die sich ändernde Kontaktfläche Modellkörper Grundelemente Abb. 2.-1: Das HOOKsche Grundlelement lastische Verformungsanteile werden in der Rheologie durch eine HOOKsche Feder modelliert ([2.1], [1.14], siehe auch [2.2]). Die charakteristische Größe des HOOKschen lementes ist der lastizitätsmodul (Abb. 2.-1). Unter der Voraussetzung der Linearität und der Zeitunabhängigkeit wird die Beziehung zwischen der Spannung F und der Deformation g mit F ' g (2.2-1) 4

2 beschrieben. Der NWTONsche Dämpfungszylinder (Abb. 2.-2) beschreibt das zeitabhängige, iskose Verformungserhalten eines Stoffes, das mit Abb. 2.-2: Der NWTONsche Dämpfungszylinder F ' g, g ' dg dt (2.2-2) für Linearität zwischen der Spannung F und der Deformationsrate dg/dt beschrieben werden kann. Dabei ist die NWTONsche Viskosität des Stoffes. Plastisches Stofferhalten wird in der Rheologie durch ein ST.-VNANT- F lement (Abb. 2.-3) charakterisiert. Abb. 2.-3: Das ST.-VNANT-lement ine bleibende Verformung setzt erst nach rreichen einer kritischen Schwellspannung F ein g ' für F < F g(t) für F $ F (2.2-3) Grundkörper Die in beschriebenen Grundelemente repräsentieren einzeln idealisiertes Stofferhalten bei mechanischer Verformung. Zur Simulation on realem Verhalten werden die Grundkörper unter Beachtung on Kopplungsorschriften kombiniert. Bei einer Reihen- bzw. Hintereinanderanordnung addieren sich die inzelerformungen g zur Gesamterformung g, wobei alle i lemente die gleiche Spannung erfahren: g ' g i, F'F i g'g i, F'GF i (2.2-4) Für eine Parallelanordnung ergibt sich die Gesamtspannung F als Summe der Teilspannungen F bei gleicher Deformation aller lemente: i Wenn die Stetigkeit der Materialgesetze orausgesetzt wird, sind die Additionsorschriften (2.2-5) 5

3 auch für die zeitlichen Ableitungen gültig: g ' G g i, F ' G F i (2.2-6) Abb. 2.-4: F BINGHAM-Körper zur Beschreibung iskoplastischen Materialerhaltens Zur Beschreibung eines iskoplastischen Materials eignet sich im einfachsten Fall ein BINGHAM-Körper [2.1], eine Parallelanordnung eines ST.-VNANT-lementes und eines NWTONschen Dämpfungszylinders (Abb. 2.-4). Aus den Gln.(2.2-2), (2.2-3) und (2.2-5) ergibt sich die rheologische Gleichung für einen BINGHAM-Körper: F g % F für F $ F (2.2-7) für lineares, NWTONsches Fließen. Hierbei bedeuten ein Maß für die plastische Zähigkeit, g die iskoplastische Deformation und F die kritische Schwellspannung. Der BINGHAM-Körper läßt erst dann Deformationen zu, wenn die Fließspannung erreicht wurde. Abb. 2.-5: MAXWLL-Körper zur Beschreibung iskoelastischen Materialerhaltens Viskoelastisches Material, bei dem ein Fließorgang unabhängig on einer Schwellspannung einsetzt, kann mit der Reihenanordnung einer HOOKschen Feder und eines NWTONschen Zylinders beschrieben werden (Abb. 2.-5). Die rheologische Gleichung für den so entstandenen MAXWLL-Körper ergibt sich mit den Gln.(2.2-1), (2.2-2) und (2.2-4): Abb. 2.-6: F % F g KLVIN-Körper zur Beschreibung der Firmoiskosität 6 (2.2-8) bei linearem Fließen. Die molekulare Reibung in elastischen Festkörpern, die auch als Festkörperzähigkeit (KLVIN 189) oder Firmoiskosität bezeichnet wird, kann durch

4 eine Parallelanordnung on HOOKscher Feder und NWTONschem Zylinder beschrieben werden (Abb. 2.-6). Hierbei wird die einwirkende Kraft teilweise durch die elastische Verformung und durch die innere Reibung aufgenommen, während die Deformation für beide lemente gleich sein muß. Die rheologische Gleichung für solch einen KLVIN-Körper ergibt sich mit den Gln.(2.2-1), (2.2-2) und (2.2-5) zu F ' g % g (2.2-9) Drei-lemente-Körper Abb. 2.-7: 1 2 Der JFFRYS-Körper zur Beschreibung einer iskoelastischen Flüssigkeit Durch Drei-lemente-Körper lassen sich komplexe Materialeigenschaften modellieren [2.3, 2.4]. Die iskoelastischen igenschaften on Flüssigkeiten können mit Körpern beschrieben werden, die durch die Hinzunahme eines NWTONschen Zylinders zu einem iskoelastischen Grundkörper (MAXWLL, KLVIN) entstehen. Die Parallelanordnung eines MAXWLL-Körpers mit einem NWTON-lement ergibt den JFFRYS-Körper (Abb. 2.-7). Die rheologische Gleichung ergibt sich unter Beachtung der Kopplungsorschriften (2.2-4) bis (2.2-6): F % 1 F ' ( 1 % 2 ) g % 1 2 g (2.2-1) Abb. 2.-8: 1 2 Der LTHRSICH-Körper zur Beschreibung einer iskoelastischen Flüssigkeit Die Reihenanordnung eines KLVIN- Körpers mit einem NWTON-Zylinder ergibt einen LTHRSICH-Körper (Abb. 2.-8), dessen rheologische Gleichung sich zu F % 1 % 2 F ' 2g % 1 2 g (2.2-11) ergibt. 7

5 Abb. 2.-9: 1 2 Der ZNR -Körper zur Beschreibung iskoela- M stischer Festkörper F % F ' 2 g % ( % 2 ) g 1 Die Beschreibung iskoelastischer igenschaften fester Stoffe erfolgt mit ZNR-Körpern. Hierbei werden die iskoelastischen Grundkörper mit einer HOOKschen Feder kombiniert. Die Parallelanordnung MAXWLL- Körper und HOOK-lement ergibt den ZNRM-Körper (MAXWLL-Typ) (Abb. 2.-9). Die rheologische Gleichung lautet: (2.2-12) Abb. 2.-1: 1 2 Der ZNR -Körper zur Beschreibung iskoela- K stischer Festkörper Die Reihenanordnung eines KLVIN- Körpers mit einer HOOKschen Feder ergibt den ZNRK-Körper om KLVIN-Typ (Abb. 2.-1) mit der Gleichung F % % 2 F ' 2 % 2 g % 2 % 2 g (2.2-13) Abb : F BINGHAM-HOOK-Körper zur Beschreibung iskoplastischer Festkörper Die Beschreibung plastischer Anteile am Verformungsprozeß erfolgt durch die Hinzunahme eines ST.-VNANT- lementes. Als Modell für iskoplastische Festkörper eignet sich die Reihenanordnung eines BINGHAM- Körpers mit einer HOOKschen Feder (Abb ). Die rheologische Gleichung ergibt sich zu: F ' g für F<F F % F ' g % F für F$F (2.2-14) Bis zum rreichen der kritischen Spannung F wird das Material rein elastisch deformiert, 8

6 danach zeigt es MAXWLL-Verhalten. Abb : F PRANDTL-NWTON-Körper zur Beschreibung iskoplastischen Materialerhaltens ine weitere Kombinationsmöglichkeit aus den drei Grundelementen ist die Reihenanordnung eines PRANDTL- Körpers (Parallelanordnung eines ST.- VNANT-lementes mit einer HOOKschen Feder) und eines NWTONschen Zylinders (Abb ). Die zugehörige Differentialgleichung F ' g für F<F F % F ' g für F$F (2.2-15) zeigt, daß die Deformation bis zum rreichen on F rein iskosen Charakter hat, was für feste Stoffe nicht zu erwarten ist. Nachdem sich die kritische Spannung eingestellt hat, erhält sich dieser Körper wie ein MAXWLL-Körper. Abb : F KLVIN-ST.-VNANT-Körper zur Beschreibung iskoplastischen Materialerhaltens Die Reihenanordnung eines KLVIN- Körpers mit einem ST.-VNANT- lement (Abb ) ergibt eine weitere Möglichkeit, plastische Deformationsanteile einzubeziehen. Die Gleichung Abb : F ' g % g für F<F F ' (g&g p ) % (g&g p ) für F$F F Reihenanordnung aller rheologischer Grundelemente zur Beschreibung iskoplastischen Materialerhaltens 9 (2.2-16) zeigt KLVINsches Verhalten bis F. Die Lösung der Differentialgleichung (2.2-16) für F$F ist nur dann möglich, wenn für das zeitabhängige Deformationserhalten des ST.-VNANT-lementes die Funktion g (t) aus Gl.(2.2-3) bekannt p ist bzw. angesetzt wird (siehe Kap. 2.3). Die Annahme der Additiität der er

7 schiedenen Verformungsanteile ermöglicht als weitere Variante eine Reihenanordnung aller rheologischen Grundelemente (Abb ). Die entsprechende Gleichung ergibt sich zu: F % F ' g für F<F F % F ' ( g&g p ) für F$F (2.2-17) Um die Gleichung für F$F lösen zu können, muß wie für Gl.(2.2-16) die Funktion g p(t) be- kannt sein, während or dem rreichen der Fließspannung das Verhalten dem des MAXWLL-Körpers gleicht Mehrelemente-Körper Unter Mehrelemente-Körpern sollen rheologische Modelle erstanden werden, die mehr als drei Grundelemente enthalten. s sei hier jedoch darauf hingewiesen, daß nicht jede beliebige Kombination sinnoll ist. Beispielsweise ergibt die Reihenanodnung HOOKscher Federn ein Modell mit rein HOOKscher Charakteristik. In diesem Sinne sind auch die Reihenanordnung on MAXWLL-Körpern und die Parallelanordnung on KLVIN-Körpern physikalisch nicht sinnoll, da daraus wiederum lediglich einfache MAXWLL- bzw. KLVIN-Charakteristiken entstehen [2.1]. Hingegen kann eine Parallelanordnung on MAXWLL-Körpern zur Untersuchung des Relaxationszeitspektrums on z.b. Polymeren erwendet werden [1.14] Abb : Der BURGRS-Körper Zur Beschreibung des Fließerhaltens on Bitumen und Asphalt wurde on BURGRS (1935) die Reihenanordnung eines MAXWLL- und eines KLVIN-Körpers (Abb ) orgeschlagen [2.1]. Mit den Kopplungsorschriften (2.2-4) bis (2.2-6)ergibt sich die rheologische Gleichung: F % 1 % 2 % 2 1 F % 1 2 ' 2 g % 1 2 g 2 F 2 (2.2-18) 1

8 F Untersuchungen on SCHWDOFF Abb : 1 2 Der SCHWDOFF-Körper (189) an konzentrierter Gelatinelösung ergaben eine Reihenanordnung einer HOOKschen Feder mit der Parallelanordnung eines MAXWLL- Körpers mit einem ST.-VNANT- lement (Abb ) als gutes Modell zur Beschreibung des Materialerhaltens [2.1]. Die rheologische Gleichung lautet: F ' g für F<F F % ( % 2 ) F ' g % F 2 für F$F (2.2-19) Bis zum rreichen der kritischen Spannung F ist das Deformationserhalten rein elastisch und wird nur durch die HOOKsche Feder 1 bestimmt. Danach (F$F ) unterscheidet sich das Verhalten qualitati nicht on dem durch Gl.(2.2-14) beschriebenen Modell (Abb ), * * wenn die elastischen Parameter durch einen effektien -Modul als 1/ =(+ 2)/(1 2) repräsentiert werden in umfangreiches rheologisches Modell ist der SCHOFILD-SCOTT- Abb : F 2 Der SCHOFILD-SCOTT-BLAIR-Körper BLAIR-Körper, eine Reihenanordnung aus HOOK, KLVIN und der Parallelanordnung aus NWTON und ST.-VNANT (Abb ). Aus ihm können alle bisher beschriebenen Körper als Spezialfälle abgeleitet werden, wenn die jeweiligen rheologischen Parameter Null (Viskositäten) bzw. Unendlich (-Moduln) gesetzt werden. Die zugehörige Gleichung F % 2 % 2 F ' 2 % 2 g % 2 % 2 g für F<F (2.2-2) F % 1 % 2 % F % F ' 1 g % g % F für F$F entspricht für F<F Gl.(2.2-13) für einen ZNR -Körper. Bis auf die additie Konstante F, K die einer Zeitnullpunktstransformation nach F=F entspricht, ist für F$F Gl.(2.2-2) mit 11

9 Gl.(2.2-18) für einen BURGRS-Körper identisch. Die allgemeine Differentialgleichung für das Spannungs-Dehnungs-Zeiterhalten der hier behandelten Modellkörper hat die Form (siehe auch [2.2]) F % A 1 F % A 2 F ' B g % B 1 g %B 2 g % CF (2.2-21) Sie ist bis auf wenige Ausnahmen uniersell. Diese betreffen solche Modelle, die ein ST.- VNANT-lement enthalten und für die zur Aufstellung der rheologischen Gleichung die Funktion g (t) für das zeitabhängige plastische Fließen bekannt sein muß. Die Koeffizienten p A und B sind Kombinationen aus den Materialparametern und. C= bedeutet, daß keine i i i i kritische Spannung existiert bzw. F<F, während C=1 angibt, daß F$F. Für einige wichtige Modellkörper sind diese Koeffizienten in Tab. 2-1 dargestellt Nichtlineare Modellansätze Für eine NWTONsche Flüssigkeit besteht nach Gl.(2.2-2) ein linearer Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnungsrate. Viele Materialien zeigen im xperiment jedoch unter bestimmten Versuchsbedingungen Nichtlinearität, sie werden als "allgemeine Flüssigkeiten" ([2.1]) bezeichnet. Dieses inhomogene Fließerhalten kann durch einen Potenzansatz, das NORTON-BAILYsche Kriechgesetz F ' b g m (2.3-1) beschrieben werden [2.5]. Hierbei ist b ein Viskositätsmaß und m kann als Maß für die Dehnungsratenempfindlichkeit des Materials interpretiert werden. Für m=1 liegt NWTONsches Fließen or und damit ist b* m'1 / die NWTONsche Viskosität. Für m<1 kommt es zu inhomogenem Fließen durch Lokalisierung der Deformation in Scherbändern [2.6, 2.7]. Der in [2.1] für Potenzansätze mit gebrochenen xponenten (wie Gl.(2.3-1)) eingebrachte "Dimensionseinwand" läßt sich immer dann umgehen, wenn die Basis durch Diision mit einer charakteristischen Größe dimensionslos gemacht werden kann. Für den Ansatz Gl.(2.3-1) ist das durch möglich. Mit orgegebenem Wenn alle Deformationsraten g g m g F ' b ( (2.3-1a) g -1 * in der inheit s hat b die Dimension einer Spannung (Pa). -1 dann auch mit der inheit s erwendet werden, sind die 12

10 * Zahlenwerte on b aus Gl.(2.3-1a) und b aus Gl.(2.3-1) identisch und somit miteinander ergleichbar. Im folgenden wird der Potenzansatz immer in der Form on Gl.(2.3-1) erwendet, wie u.a. auch on HAN und TOMOZAWA [1.1] und on KULN [2.8] zur Beschreibung on Kriechexperimenten an Gläsern, da in dieser Arbeit stets mit der inheit s -1 benutzt wird. ine weitere Möglichkeit, nichtlineares Fließerhalten zu beschreiben, bietet der yring-ansatz g g ' g k sinh VF kt Die Näherung für VF>kT ergibt den Arrhenius-Ansatz (2.3-2a) g. 1 2 g k e VF kt (2.3-2b) Neben der Boltzmannkonstanten k und der Temperatur T enthält dieser Ansatz mit g k g k und V zwei Materialparameter. Die Bedeutung dieser Parameter folgt aus der Ratentheorie der thermisch aktiierten Bewegung on mikroskopischen Strukturelementen im Gradienten eines mechanischen Spannungsfeldes ([2.9] in [2.2]). Der Vorfaktor ist wesentlich durch die Zahl der beweglichen Struktureinheiten bestimmt, während das Aktiierungsolumen V ein Maß für die Ausdehnung der die Bewegung der Struktureinheiten kontrollierenden mikroskopischen "Hindernisse" darstellt. Um nichtlineares Fließerhalten rheologisch zu beschreiben, wird Gl.(2.3-1) oder Gl.(2.3-2) für das NWTON-lement angesetzt bzw. wird aus den Ansätzen die Funktion g (t) für das p ST.-VNANT-Verhalten nach rreichen der kritischen Schwellspannung F gewonnen. 13

11 Modellkörper A1 A2 B B1 B2 C HOOK (H) NWTON (N) KLVIN (K=H2N) MAXWLL (M=H-N) / BINGHAM (B=N2SV) 1 PRANDTL (P=H2SV) 1 JFFRYS (J=M2N) 1/ / LTHRSICH (L=K-N) (1+2)/ 2 12/ ZNR (Z =M2H) M M /1 2 (1+2)/1 14 ZNR (Z =K-H) K K /(1+2) 12/(1+2) 2/(1+2) BINGHAM-HOOK (B-H) / 1 PRANDTL-NWTON (P-N) / 1 BURGRS (BU=M-K) ( )/12 12/ /2 SCHWDOFF (SCHW=H-(M2SV)) 1 (1+2)/12 1 SCHOFILD-SCOTT-BLAIR 2/(12) 12/(1+2) 12/(1+2) (SCH SCB=H-B-K) ( )/12 12/ /2 1 Tab. 2-1: Bedeutung der in Gl.(2.2-21) enthaltenen Koeffizienten für einige wichtige rheologische Modelle