Wellen machen Unsichtbares sichtbar

Transkript

1 Wellen machen Unsichtbares sichtbar Prof. Dr. Marcus Grote Departement Mathematik und Informatik Mathematisches Institut Universität Basel

2 Übersicht - Was ist eine Welle? Echoortung in der Natur und Technik Seismologische Tomographie Die Wellengleichung Simulation einer schwingenden Saite Lokale Zeitschrittverfahren Das inverse Problem Globale Computer-Seismologie Heutige Petaflop Supercomputer

3 Was ist eine Welle?

4 Was ist eine Welle? Aber auch... Schallwellen: Ton, Musik... EM-Wellen: Funk, Licht, UV, Röntgen,... Elastische Wellen: Erdbeben,... Eine Welle ist eine Störung, die sich ungehindert durch ein homogenes Medium ausbreitet und dabei ihre Form behält. So überträgt sie Information.

5 Echoortung in der Natur Trifft eine Welle auf ein Hindernis, wird sie reflektiert.

6 Echoortung in der Natur Trifft eine Welle auf ein Hindernis, wird sie reflektiert.

7 Echoortung in der Natur Trifft eine Welle auf ein Hindernis, wird sie reflektiert.

8 Echoortung in der Technik Sonar Ultraschall S Zerstörungsfreie Materialprüfung Ultraschall-Mikroskop usw.

9 In das Erdinnere sehen : Seismik

10 Vorwärts- / Inverses Problem Vorwärtsproblem Modell der Erde c(x) Seismische Aktivität u(x,t) Inverses Problem Messdaten

11 Seismische Tomographie: Erforschung der inneren Struktur der Erde Löse das inverse Problem

12 Das inverse Problem in der Seismik Bestimme die im Erdinneren anhand von Messungen an der Oberfläche Algorithmus: 0) Mathematisches Startmodell c(x) 1) Löse das Vorwärtsproblem: Numerische Mathematik 2) Vergleiche simulierte Daten u mit Messdaten u* 3) Korrektur c(x) := c(x) + Δc(x) 4) Zurück nach 1).

13 Was ist eine Computersimulation? Physikalische Gesetze F = m a E = konstant Konstitutive Gleichungen Parameter Empirische Gesetze Mathematische Modell Algorithmus Programmierung C++, Java, Fortran Numerische Lösung Simulation Visualisierung Interpretation Entscheidung Vorhersage Make everything as simple as possible, but not simpler. -- Albert Einstein

14 Was ist eine Computersimulation? Physikalische Gesetze F = m a E = konstant Computational Mathematics Konstitutive Gleichungen Parameter Empirische Gesetze Mathematische Modell Algorithmus Programmierung C++, Java, Fortran Numerische Lösung Simulation Visualisierung Interpretation Entscheidung Vorhersage Make everything as simple as possible, but not simpler. -- Albert Einstein

15 Computational Mathematics: FEM Finite Elemente Methode CAD, Technik, Computergrafik

16 Untergang der Bohrinsel Sleipner A (1991) FEM Programm NASTRAN, Scherkräfte 47% falsch Betonwände (24 Zellen, 4 Säulen) Fehlerhaftes Teil: sog. Trizelle (Verbindungsstück) Verlust $ Trizelle

17 Die Wellengleichung Die schwingende Saite D. Bernoulli J.-B. le R. d Alembert Klassische Gleichung der Physik (XVIII. Jh.) Nur in akademischen Fällen per Hand lösbar Sonst nur mit Hilfe des Computers:

18 Simulation der schwingenden Saite u(x,t) = Auslenkung der Saite Ruhezustand bei t = 0 Am linken Ende periodische Kraft mit T = 1 Was passiert dann mit der schwingenden Saite oder Was ist u(x,t) =? 1-D Wellengleichung

19 Schwingende Saite: Diskretisierung Diskretes Gitter Diskrete Zeitpunkte Diskrete Werte Numerische Mathematik Kontinuum Ableitungen exakt Diskret Differenzen approximiert MASCHENWEITE H

20 Genauigkeit: welche Rolle spielt H? H = 1

21 Genauigkeit: welche Rolle spielt H? H = 0.25

22 Genauigkeit: welche Rolle spielt H? H = 0.1

23 Genauigkeit: welche Rolle spielt H? H = 0.025

24 Genauigkeit und Aufwand Je kleiner die Maschenweite H, desto genauer aber auch aufwendiger! ist die Simulation. Für L = 10 und die Endzeit t = 10 gilt: H Diskrete Werte (Aufwand x4 Flops)

25 Wahl des Zeitschritts Δt Bisher Δt H. Warum? Math. Annalen 1928

26 Die CFL Bedingung: Δt H (C =1)

27 Δt = CFL x H, CFL = 1

28 Δt = CFL x H, CFL = 1.05

29 Lokale Verfeinerung, H/2: T = 3 CFL = 1 CFL = 0.9 CFL = 0.55 CFL = 0.5

30 Lokale Gitterverfeinerung CFL Schranke: Wenige kleine Elemente zwingen alle zu einem kleinen Zeitschritt und zwar überall, im gesamten Rechengebiet! Kritischer Engpass!

31 Lokale Zeitschrittverfahren (LTS) IDEE: benutze grosse Zeitschritte in grossen und kleine Zeitschritte in kleinen Elementen La Soufrière Vulkan LTS-RK3 P2-FEM 300,000 Elemente 515 Elemente im verfeinerten Bereich Δt / Δτ = 199

32 Die Simulation als virtuelles Labor Was wenn? Alles nur mit EINEM Programm!

33 Das inverse Problem in 1-D Quelle: bekannt Reflektion / Echo Messung Echo bei x = 2

34 Inverses Problem: Startmodell c(x) = 1 SIMULATION ECHO MODELL MESSUNG

35 Inverses Problem: Iteration 1 SIMULATION ECHO MODELL MESSUNG

36 Inverses Problem: Iteration 2 SIMULATION ECHO MODELL MESSUNG

37 Inverses Problem: Iteration 3 SIMULATION ECHO MODELL MESSUNG

38 Das inverse Problem in 2-D Phantom-Hindernis Gemessenes Streufeld 3 Einfallswinkel, 50 Messpunkte am Aussenrand (J. Huber, Fachbereich Mathematik, Basel)

39 Nichtkonvexe Optimierung Standard Newton-Vefahren 10 it. 500 it it. Mit Hessian-Regularisierung 3 it. 6 it. 11 it. SNF Projekt (G., Schenk, 2010)

40 Globale 3D Computer-Seismologie Quelle: D. Giardini, ETHZ, km Auflösung 1, Gitterpunkte - Forschung: 10 5 Zeitschritte 1, Unbekannte - Forschung: 100 Iterationen 1, Flops - Laptop in 2015 mit 10 9 Flops /s 422 Jahre!!

41 Die #1 (2009): parallele Computer IBM BlueGene/L #1 131,072 Prozessoren Gesamt 18 Systeme alle in den Top kwatt (1600 Efh) 43,000 ops/s/erdling

42 Einheiten der Rechenleistung Nehmen wir an man druckt: 5 Spalten je mit 100 Zahlen, zweiseitig beschrieben, entspricht 1000 Zahlen (Kflop) pro Sekunde (1 Kflop/s)

43 Einheiten der Rechenleistung Nehmen wir an man druckt: 5 Spalten je mit 100 Zahlen, zweiseitig beschrieben, also 1000 Zahlen (Kflop) pro Sekunde (1 Kflop/s) 1000 Seiten etwa 10 cm = 10 6 Zahlen (Mflop) 2 Pakete Papier pro Sekunde (1 Mflop/s)

44 Einheiten der Rechenleistung Nehmen wir an man druckt: 5 Spalten je mit 100 Zahlen, zweiseitig beschrieben, also 1000 Zahlen (Kflop) pro Sekunde (1 Kflop/s) 1000 Seiten etwa 10 cm = 10 6 Zahlen (Mflop) 2 Pakete Papier pro Sekunde (1 Mflop/s) 10 9 Zahlen (Gflop) = cm = 100 m Stapel Höhe der Freiheitsstatue pro Sekunde gedruckt (1 Gflop/s)

45 Einheiten der Rechenleistung Nehmen wir an man druckt: 1000 Seiten etwa 10 cm = 10 6 Zahlen (Mflop) 2 Pakete Papier pro Sekunde (1 Mflop/s) 10 9 Zahlen (Gflop) = cm = 100 m Stapel Höhe der Freiheitsstatue pro Sekunde (1 Gflop/s) Zahlen (Tflop) = 100 km Stapel: Flughöhe der SpaceShipOne gedruckt pro Sekunde (1Tflop/s)

46 Einheiten der Rechenleistung Nehmen wir an man druckt: 1000 Seiten etwa 10 cm = 10 6 Zahlen (Mflop) 2 Pakete Papier pro Sekunde (1 Mflop/s) 10 9 Zahlen (Gflop) = cm = 100 m Stapel Höhe der Freiheitsstatue pro Sekunde (1 Gflop/s) Zahlen (Tflop) = 100 km Stapel: Flughöhe der SpaceShipOne gedruckt pro Sekunde (1Tflop/s) Zahlen (Pflop) = 100,000 km (1/4 Entf. zum Mond) Stapel gedruckt pro Sekunde (1Pflop/s)

47 Der schnellste Computer der Welt NRCPC Sunway TaihuLight, Wuxi, China 40,960 nodes Intel Xeon Prozessoren -> 10,649,600 cores 93 Petaflop/s (1989 rechnete der schnellste Computer mit 1.3 Gflop/s, 100,000,000 mal langsamer)

48 Der neue Supercomputer der Schweiz Piz Daint: XC30 Cray 6.27 Pflops Nr. 7 weltweit, Nr. 1 in Europa CSCS & USI, Lugano HP2C: 10 SNF Projekte

49 LTS: Parallel Performance SPECFEM3d-LTS Cray XC30 Piz Daint Tohoku fault, 7.5M elements (M. Rietmann, 2015, USI)

50 Parallel Performance: LTS FE T = 180 sec dof s 16 h ( statt 40 min. ) on 8-core CPU

51 Globale Computer-Seismologie Inverses Problem

52 Globale Computer-Seismologie Inverses Problem Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!