Optionen als interessantes, aber risikoreiches Finanzinstrument

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1 Optionen als interessantes, aber risikoreiches Finanzinstrument 0. Einleitung 1. Allgemeine Betrachtungen. 2. Warum Optionen erwerben? 3. Berechnung des Preises einer europäischen Option. 4. Kritische Stimmen. 5. Persönliche Standpunkte. 0. Einleitung In einer Zeit, in welcher von allen Seiten der Ruf nach Wissenschaft und Technik immer stärker wird, haben paradoxerweise gerade die Mathematiker schwer um Anerkennung und Erhalt der Stellen an den Unis zu kämpfen. Sogar an sehr renommierten Universitäten, wie z.b. LMU-München, wurden in den letzten Jahren Stellen in den Fakultäten für Mathematik gestrichen, bzw. anderen Fakultäten zugesprochen, da dort eine höhere Anzahl von Absolventen erwartet wird. Die Frage, ob diese Absolventen danach (im Gegensatz zu unseren eine qualifizierte Arbeitsstelle erhalten, hat bei solchen Entscheidungen keine Rolle gespielt!! Seit 1998 bis heute hat unsere Fakultät (früher Fachbereich Mathematik etwa die Hälfte der Stellen im wissenschaftlichen Bereich verloren! Leider geht es meinen verehrten Kollegen aus der Elektrotechnik nicht besser! Deshalb habe ich auf die Initiative meines Kollegen Prof. Winfried Hochstättler, anlässlich des Jahres der Mathematik eine Vortragsreihe zu veranstalten, spontan zugesagt. Bei der Suche nach einem Vortragsthema habe ich zwischen Anwendungen der Funktionentheorie auf Strömungsmechanik, insbesondere Flugzeugbau, und Anwendungen der geometrischen Wahrscheinlichkeiten geschwankt. Schließlich habe ich mich entschieden fremd zu gehen und über Optionen zu sprechen, ohne damals zu ahnen, welche Brisanz dieses Vorhaben durch die jetzige Finanz- und Gesellschaftskrise erhalten wird. Aber: Je ne regrette rien! (Édith Piaf. Der Wunsch meines Diplomanden Tristan Nguyen eine Diplomarbeit über 1

2 ein Thema aus der Finanzmathematik mit einem starken mathematischen Anteil zu schreiben, führte uns zur Berechnung von Optionspreisen. Inzwischen hat Herr Nguyen bei meinem sehr geschätzten Kollegen Prof. Volker Arnold glänzend promoviert und habilitiert. Nichts von dem, was ich heute erzähle, basiert auf meiner eigenen Forschung. Sogar die eigenwilligen Allerweltskommentare haben Sie vielleicht in einer ähnlichen Form im Rundfunk, im Fernsehen oder in der Presse gehört oder gelesen. 1. Allgemeine Betrachtungen In der Wirtschaft bezeichnet eine Option ein abgeleitetes Finanzinstrument, das zu den sogenannten Finanzderivaten gehört. Mit dem Kauf einer Option erwirbt der Käufer (Inhaber der Option oder Long-Position das Recht, aber nicht die Pflicht, ein Produkt zu einem späteren Zeitpunkt, wenn gewisse Bedingungen erfüllt sind, und zu einem vorher (beim Kauf der Option vereinbarten Preis vom Verkäufer der Option (Stillhalter oder Short- Position zu kaufen oder an ihn zu verkaufen. Das Produkt wird Basiswert genannt; Basiswerte sind z.b. Aktien, Indizes, ausländische Währungen, Anleihen, Rohstoffe, Nahrungsmittel, Strom, Gas, Gold und weitere Edelmetalle. Es muss nicht unbedingt gekauft oder verkauft werden; man kann die Option auch verfallen lassen. Deshalb ist eine Option ein bedingtes Termingeschäft. Beim Vertragsabschluss wird festgelegt, ob bei der Ausübung der Option der Basiswert geliefert wird oder ein Barausgleich stattfindet. Also: Der Käufer erwirbt das Recht, zu einem späteren Zeitpunkt entweder den Basiswert zu kaufen und dann handelt es sich um eine Kaufoption oder Call oder zu verkaufen; in diesem Fall spricht man von einer Verkaufsoption oder Put. Solche Verträge beinhalten einen Verfallstag oder eine Erklärungsfrist. Je nachdem, ob die Option nur am Ende der Laufzeit (also zum Verfallstag oder zu jedem Zeitpunkt bis zur Erklärungsfrist ausgeübt werden kann, spricht man von europäischen bzw. von amerikanischen Optionen. Dieser Unterschied macht amerikanische Optionen teurer als die europäischen Optionen (und spiegelt die verschiedenen Philosophien des neuen und des alten Kontinents wieder!. Der Optionskäufer ist in einer günstigeren Position als der Aktienkäufer, da er über eine lange Entscheidungszeit für den Aktienkauf (oder Verzicht darauf! bis zum Verfallstag verfügt. Der Optionsverkäufer ist schlechter gestellt als der Optionskäufer, da er während der ganzen Laufzeit der Option nicht weiß, ob das Geschäft zustande kommt, und dann er seinen Verpflichtungen nachkommen muss! Im Gegensatz zum Käufer übernimmt der Verkäufer Pflichten. Diese asymmetrische Beziehung zwischen den beiden Vertragspartnern 2

3 ist charakteristisch für Optionskontrakte. Dafür muss natürlich der Käufer dem Verkäufer einen Preis (Optionsprämie oder Optionspreis zahlen. Diese Optionsprämie fair zu berechnen ist eine höchst komplizierte und natürlich folgenschwere Aufgabe. Eine Methode, die sich in der Praxis sehr bewährt hat, diesen Preis unter bestimmten Annahmen zu berechnen, wurde 1973 in zwei unabhängigen Veröffentlichungen erläutert. Eine davon hat Robert C. Merton von der Universität Harward als Autor; die Autoren des anderen Artikels sind Fischer Black und Myron S. Scholes von der Universität Stanford. Das Ergebnis ihrer Untersuchungen ist in der sog. Formel von Black- Scholes kurz zusammengefasst. Dafür bekamen die Professoren Merton und Scholes 1997 von der königlichen schwedischen Akademie der Wissenschaften den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften; Fischer Black ist leider schon 1995 gestorben. Diese Ehrung wurde in der zur Verleihung gehaltenen Laudatio damit begründet, dass die entwickelte Methode einen Bewertungsweg für verschiedene ökonomische Phänomene aufzeigt und Finanzinstrumente für erhöhte Effizienz im Risikomanagement liefert. Ein weiterer Zugang zur Black-Scholes-Formel wurde von Cox, Ross und Rubinstein 1979 angegeben. Ein kurzer Blick in die Geschichte der Optionen macht uns klar, warum diese theoretischen Untersuchungen von den Finanzmärkten in den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts beinah erzwungen wurden, warum sie gerade in den USA erzielt wurden und schließlich welche bahnbrechenden Wirkungen diese Forschungsergebnisse hatten. 2. Warum Optionen erwerben? Bevor wir uns mit der Black-Scholes-Formel beschäftigen, wollen wir die Motive für Optionsgeschäfte erläutern. Zuerst wollen wir grundsätzlich festhalten, dass das Geschäft mit Aktienoptionen einen spekulativen Charakter besitzt. Das Geschäft kommt nur dann zustande,wenn die Marktteilnehmer unterschiedliche Erwartungen bzgl. zukünftiger Kursentwicklungen haben. Würden alle Marktteilnehmer dieselben Erwartungen haben, so würde niemand die andere Entscheidung treffen! Es gibt mannigfache Motive für den Erwerb von Optionen. Man kann sie in zwei Klassen einteilen: Spekulation und Absicherung(Hedging. Zum Spekulationsmotiv: Der Inhaber einer Kaufoption (Call oder einer Verkaufsoption (Put spekuliert auf steigende bzw. fallende Aktienkurse, ohne evtl. mehr als den gezahlten Optionspreis c 0 bzw. p 0 zu verlieren. Man unterscheidet zwei Varianten des Optionshandels: Bei der Kaufoption (Call 3

4 erhält der Optionsnehmer (short-position gegen eine Optionsgebühr c 0 vom Optionsgeber (long-position die Zusage, von ihm zum Zeitpunkt T eine Aktie zum Preis E kaufen zu können (unabhängig welchen Kurs die Aktie zu diesem Zeitpunkt hat!. Bei der Verkaufsoption erhält der Optionsnehmer gegen eine Optionsgebühr p 0 vom Optionsgeber die Zusage, an ihn zum Verfallstag T eine Aktie zum Preis E verkaufen zu können. Das Optionsrecht ist eine kann -Regelung, die Option muss also nicht in Anspruch genommen werden. Es sei S : [0, T ] R der Kurs der Aktie, es bezeichnet also S(t den Kurs der Aktie zum Zeitpunkt t [0, T ]. Ist S(T > E, so lohnt es sich für den Inhaber eines Calls, sein Kaufrecht auszuüben, um S(T E als Gewinn zu machen; um den tatsächlichen Ertrag auszurechnen, muss davon noch der Optionspreis c 0 abgezogen werden. nicht für den Inhaber eines Puts, von seinem Verkaufsrecht zum Preis E Gebrauch zu machen, und damit verliert er den bezahlten Optionspreis p 0. Ist S(T < E, so lohnt es sich nicht für den Inhaber eines Calls, die Aktie zum vereinbarten Preis E zu kaufen, und er verbucht damit c 0 als Totalverlust. für den Putinhaber sein Verkaufsrecht auszuüben und die Differenz E S(T als Gewinn mitzunehmen; davon muss wieder p 0 abgezogen werden, um den tatsächlichen Ertrag zu erhalten. Die Abhängigkeit des Ertrags der Option vom Aktienkurs für beide Seiten (long-position und short-position wird durch die folgenden Skizzen deutlich gemacht. In der ersten Skizze wird der Ertrag eines Calls in Abhängigkeit vom Aktienkurs für die long-position bzw. short-position (fetter gezeichnet dargestellt. Der Ertrag eines Puts in Abhängigkeit vom Aktienkurs für die long-position bzw. short-position (fetter gezeichnet wird durch die zweite Skizze erläutert. 4

5 Ertrag E + c 0 c 0 c 0 E Aktienkurs Ô¼ ÖØÖ Fig. 1 Ô¼ Ô¼ ÔÓ Ø Ò ÙÖ Ô¼ º¾ 5

6 Aus den beiden Skizzen wird ersichtlich, dass der Optionsinhaber in beiden Fällen höchstens seinen Einsatz (c 0 oder p 0 verlieren kann, aber unbegrenzt (im Falle eines Calls bzw. höchstens E p 0 (im Falle eines Puts gewinnen kann. Der Verkäufer kann viel verlieren (unbegrenzt bei einem Call, aber höchstens E p 0 bei einem Put, jedoch maximal c 0 bzw. p 0 gewinnen. Damit ist uns klar, dass die Risiken auf beiden Seiten liegen, und deshalb erhält die Berechnung des fairen Optionspreises eine große Bedeutung. (Überall haben wir die unvermeidlichen Gebühren sowie die evtl. hässlichen steuerlichen Belastungen außer Acht gelassen! Man sieht daraus, dass der geringere Kapitaleinsatz beim Kauf eines Calls als beim Kauf der zu Grunde liegenden Aktie die Spekulationsneigung mancher Anleger stimuliert. Hinzu kommt (etwas versteckt in der Skizze die wesentlich höhere prozentuale Gewinnchance beim Call als bei der zu Grunde liegenden Aktie, da S(T E c 0 S(T S(0 viel größer als sein kann. S(0 Dazu ein einfaches Beispiel: Der Optionspreis einer Aktie, die zum Zeitpunkt 0 nur S(0 = 100 Euro kostet, sei c 0 = 8 Euro bei einem Ausübungspreis von E = 112 Euro. Ist S(T = 130 Euro der Aktienkurs am Verfallstermin T, so ist (wegen = 1, 25 der prozentuale Gewinn des Calls 125%, 8 während derjenige der Aktie nur 30% beträgt (vgl = 0, 3. Hoffentlich 100 wird dieses sehr optimistisch konstruierte Beispiel Sie nicht zum Leichtsinn verleiten! Zum Absicherungsmotiv: Nicht nur mit Aktien kann man handeln sondern auch mit Optionen. Der Aktienbesitzer kann mit dem Erwerb von Optionen seinen Aktienbestand mit relativ geringen Kosten vor Kursverlusten weitgehend absichern, indem er eine der folgenden Strategien wählt: a Erwerb von Puts und Ausübung dieser Optionen: Fällt der Aktienkurs unter den Ausübungspreis, so kann er die Aktien aus seinem Depot zum festgelegten Ausübungspreis verkaufen und vermeidet damit größere Verluste. Dadurch verkleinert sich natürlich sein Depot. b Erwerb von Puts und Verkauf dieser Puts: Der Wert der gekauften Puts steigt bei sinkenden Aktienkursen. Damit kann der Anleger diese Puts günstig verkaufen und gleicht einen Teil seiner Aktienverluste aus. Sein Portefeuille bleibt damit unverändert. Auch diesmal geben wir ein einfaches Beispiel: Für einen konservativen Anleger ist inzwischen der sog. Protective Put ein gutes und probates Hedging- Instrument; es besteht aus dem Kauf einer Anzahl von Aktien eines Unternehmens und derselben Anzahl von Puts (also Put-long des selben Unternehmens. Mittelfristig rechnet er mit Kursgewinnen, aber er möchte sich gegen einen kurzfristigen Kursrückgang absichern. Dafür zahlt er zusätzlich zum Aktienpreis in Höhe von 110 Euro noch 3 Euro Prämie für den auf sechs 6 c 0

7 Wochen befristeten Put. Der Ausübungspreis liege bei E = 106, 4. Sollte binnen sechs Wochen der Kurs dieser Aktie auf 77 Euro fallen, so würde der Anleger ohne Put = 33 Euro pro Aktie verlieren, d.h. (wegen 33 = 0, 3 30% seiner Investition. Mit dem Put übt er die Verkaufsoption aus 110 und verkauft dem Stillhalter seine Aktie zum Kurs von 106, 4 Euro. Dadurch verliert er nur , 4 = 6, 6 Euro, d.h. (wegen 6,6 = 0, 06 nur 6% 110 seiner Investition, also 5mal weniger. Tritt stattdessen der von ihm erhoffte Kursaufschwung ein und steigt nach 6 Wochen der Kurs auf 133 Euro, so verliert er zwar die Prämie, aber streicht einen Nettogewinn von 20 Euro ein. (Wenn der Anleger diese Strategie auf 100 oder mehr Aktien und Puts angewandt hat, verstehen wir nun, warum der vorsichtige Anleger ruhig geschlafen hat! Eine allgemeine Regel bei allen Finanzaktivitäten also auch beim Handel mit Optionen ist: Jeder Geschäftsteilnehmer strebt nach Vergrößerung seiner Geldmenge. (Das tun wir natürlich auch! 3. Berechnung des Preises einer europäischen Option Wir beobachten eine Aktie S und eine Option mit dem Ausübungspreis E und dem Verfallsdatum T (also eine Funktion S : [0, T ] R. Es wird angenommen, dass der Jahreszinssatz r einer risikolosen Anlage (z.b. Bundesschatzbriefe während der Optionslaufzeit konstant bleibt. Weiter wird immer angenommen, dass eine Dividendenzahlung auf den Basiswert während der Optionslaufzeit ausgeschlossen wird, für den Kauf bzw. Verkauf von Aktien und Optionen keine Transaktionskosten fällig sind, Aktien und Optionen beliebig teilbar sind, Leerverkäufe 1 uneingeschränkt möglich sind. Ein einfaches Modell, um eine Bewertungsformel für den Preis einer Kaufoption zu erhalten, ist das sog. Binomialmodell. Die wesentliche Annahme dieses Modells ist, dass nach jeder Zeitperiode der Wert der Aktie nur zwei Zustände 1 Der Verkäufer leiht sich bei einer Bank eine Aktie gegen eine Leihgebühr mit der Vereinbarung, sie zu einem festgelegten Zeitpunkt zurückzugeben und verkauft sie am Markt. Zum Verfallsdatum muss er die Aktie am Markt wieder kaufen. Ist der Kurs bis dahin um mehr als die Leihgebühr gefallen, so erzielt er einen Gewinn. Im anderen Fall macht er einen Verlust. 7

8 annehmen kann; entweder wächst er mit der Wahrscheinlichkeit q um den Faktor u per > 1 + r per (u als Abkürzung für up oder nimmt ab mit der Wahrscheinlichkeit 1 q um den Faktor d per < 1 + r per (d steht für down. r per ist der Zinssatz pro Zeitperiode; beträgt z.b. die Periode 36 Tage oder 1 des Jahres, so ist (1 + r 10 per 1 36 = (1 + r 1 360, d.h. r per = (1 + r ; es ist üblich in den Finanzrechnungen das Jahr mit 360 Tagen und den Monat mit 30 Tagen anzusetzen. Es wird weiterhin angenommen, dass die Schwankungen nach oben und nach unten gleich stark ausgeprägt sind, d.h. d per u per = 1. Mit C : [0, T ] R (genauer C : [0, T ] [0, + [ bezeichnen wir den Wert der Kaufoption auf die Aktie S. Also ist C(0 = c 0 der gesuchte faire Optionspreis. (Man spricht auch von der fairen Optionsprämie. Wir nehmen zuerst an, dass nur eine einzige Periode vorliegt; die Periode habe also die Länge T. Dann gilt (mit u 1 = u per und d 1 = d per { u1 S(0 mit der Wahrscheinlichkeit q, (1 S(T = d 1 S(0 mit der Wahrscheinlichkeit 1 q. Damit ist der Wert der Option am Verfallstag T gleich { max{u1 S(0 E, 0}=:C (2 C(T = 1,1 mit der Wahrscheinlichkeit q, max{d 1 S(0 E, 0}=:C 0,1 mit der Wahrscheinlichkeit 1 q. Der Erwartungswert der Option zum Verfallstermin T ist damit E(C(T = qc 1,1 + (1 qc 0,1. Es ist fair, die Gleichheit zwischen dem Erwartungswert der Kaufoption und der mit dem Zinssatz r per abgezinsten Optionsprämie C(0 anzunehmen, also (1 + r per C(0 = E(C(T. Damit ergibt sich die folgende Bewertungsformel für die Optionsprämie: (3 c 0 = C(0 = r per (qc 1,1 + (1 qc 0,1. Damit hat man früher die Optionsprämie berechnet. Die langjährige Praxis der Optionswelt zeigt, dass dadurch sehr selten eine akzeptable Annäherung der tatsächlichen Optionsprämie berechnet werden kann. Woran liegt diese Unstimmigkeit? Erstens wird vorausgesetzt, dass sowohl der Käufer als auch der Verkäufer die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Aktienkurses übereinstimmend vorhersagen können. Zweitens wird angenommen, dass beide Partner sich völlig risikoneutral verhalten. Die Realität ist aber, dass risikofreudige Investoren bereit sind, eine höhere Prämie als die risikoscheuen 8

9 Anleger zu zahlen. Deshalb bezeichnet man die obige Bewertung als eine präferenzabhängige Bewertung. Es ist der Verdienst von Black, Scholes und Merton, 1973 einen Zugang zur Prämienberechnung gefunden zu haben und dabei eine präferenzfreie Bewertungsformel zu beweisen, die sich in der Praxis sehr gut bewährt hat. Das fundamentale Prinzip ihrer Untersuchungen heißt Duplikationsprinzip. Es bedeutet folgendes: Zwei Finanztitel, die in jedem Zustand identische Rückflüsse liefern, müssen denselben Preis haben. Sonst erzielen schlaue Anleger risikolos Gewinne, indem man den billigeren Titel kauft und den teureren verkauft. (Man spricht dann von Arbitrage, d.h. das Ausnutzen räumlicher und zeitlicher Preisdifferenzen für gleiche Positionen um risikolose Gewinne zu erzielen. Es war vernünftig d per < 1 + r per < u per anzunehmen, da falls d per < u per < 1+r per niemand die betrachtete Aktie kaufen würde, weil die risikofreie Anlage mehr hergibt, 1 + r per < d per < u per sichere Arbitragegewinne ausgenutzt werden können. (Man verschuldet sich zum Zinssatz r per und investiert mit sicherem Gewinn in die betrachtete Aktie. Ausgehend vom genannten Fundamentalprinzip haben Black, Scholes und Merton angenommen, dass der Aktienkurs einem sog. Itô-Prozess folgt. Die Untersuchung führt zu einer partiellen Differenzialgleichung, deren Lösung zur angesprochenen Formel führt. Unter Berücksichtigung desselben Prinzips haben Cox, Ross und Rubinstein 1979 das Binomialmodell verfeinert, eine beliebig große Anzahl n von Zeitperioden betrachtet und schließlich durch den Grenzübergang n zu einem kontinuierlichen Modell erweitert. Im Rahmen dieses Modells haben sie einen weiteren Beweis der Black-Scholes-Formel angegeben. Deren Vorgehensweise möchten wir nun genauer beschreiben. Zuerst wird für eine Periode eine präferenzfreie Bewertungsformel abgeleitet. Wir konstruieren zwei äquivalente Portefeuilles, die die gleichen Rückflüsse bringen, und zum Zeitpunkt Null denselben Wert haben. Das Portefeuille 1 soll genau eine Kaufoption (mit Verfallstermin T und Ausübungspreis E auf die Aktie S enthalten; (2 beschreibt die von diesem Portefeuille erwarteten Rückflüsse. Das Portefeuille 2 enthält x 0 Aktien und einen positiven oder negativen Geldbetrag B, der risikolos zum Jahreszins r angelegt bzw. aufgenommen wird. Wir nehmen zuerst wieder an, dass T (in Jahren gemessen genau die Periode ist, wonach aus S(0 entweder u 1 S(0 oder d 1 S(0 entsteht. Der Zinssatz für diese eine Periode ist r per =: r 1, also 1 + r 1 = (1 + r T oder auch r 1 = (1 + r T 1. Der Wert der beiden Portefeuilles zum Verfallstag T ist C 1,1 bzw. u 1 S(0x + (1 + r 1 B, falls S(T = u 1 S(0 oder C 0,1 bzw. 9

10 d 1 S(0x + (1 + r 1 B, falls S(T = d 1 S(0. Aus dem Gleichungssystem (4 ergeben sich u 1 S(0x + (1 + r 1 B = C 1,1 d 1 S(0x + (1 + r 1 B = C 0,1 (5 x = C1,1 C 0,1 (u 1 d 1 S(0 und B = u 1C 0,1 d 1 C 1,1 (u 1 d 1 (1+r 1. Zum Zeitpunkt Null haben die Portefeuilles denselben Wert; dabei ist der Wert des ersten Portefeuilles laut Definition die Optionsprämie C(0, während der Wert des zweiten S(0x + B ist. Es folgt C(0=S(0x+B = C1,1 C 0,1 u 1 d 1 + u 1C 0,1 d 1 C 1,1 (u 1 d 1 (1+r 1 = 1 1+r 1 [ (1+r 1 d 1 u 1 d 1 C 1,1 + u 1 (1+r 1 u 1 d 1 C 0,1 ]. Bezeichnet man mit p 1 die Zahl (1+r 1 d 1 u 1 d 1 aus [0, 1], so hat man für die Berechnung der Optionsprämie die folgende Formel zur Verfügung: (6 c 0 = C(0 = 1 1+r 1 [p 1 C 1,1 + (1 p 1 C 0,1 ]. Diese Formel gibt im Gegensatz zu (3 eine präferenzfreie Bewertung der Prämie, weil die Zahl p 1 aus den Größen S(0, E, u 1, d 1 und r berechnet wird und damit risikoneutral für alle Marktteilnehmer unabhängig von deren Vorstellungen und Hoffnungen gleich ist. Der Marktpreis der Optionen muss gegen einen Gleichgewichtspreis tendieren, der keine Arbitragegewinne erlaubt. (Sonst nutzen die rational handelnden Marktteilnehmer den Unterschied zwischen dem tatsächlichen Marktpreis und dem Gleichgewichts- preis aus! Die Formel (6 liefert in jedem Fall ein besseres Instrument als (3, um dem Gleichgewichtspreis näher zu kommen. Die moderne Entwicklung verlangte feinere Mittel, mit welchen an der Börse die Arbitragegewinne möglichst klein zu halten sind. Eine erste Verbesserung der Formel (6 kann man erreichen, wenn man T in mehrere Perioden einteilt, um den raschen Veränderungen gerecht zu werden. Teilt man T in n gleiche Perioden, so sei r n der risikolose Zinssatz pro Periode; es gilt 1 + r n = (1 + r n T, d.h. r n = (1+ r n T 1, wenn T in Jahren gemessen wird. Nimmt man an, dass der Initialpreis S(0 der Aktie sich in j Perioden um den Faktor u n und in n j Perioden um den Faktor d n ändert, so beträgt der Aktienwert zum Verfallstermin S j,n := u j nd n j n S(0; dabei ist es gleichgültig, in welcher Reihenfolge die zwei möglichen Änderungen geschehen. Dann ist C j,n := max{s j,n E, 0} = max{u j nd n j n S(0 E, 0} der Wert dieser Option am Verfallstag. Aus S(0 kann also 1-mal C n,n und C 0,n, n-mal C n 1,n und C 1,n,..., ( n k -mal C n k,n und C k,n entstehen. Man 10

11 bezeichne mit p n die Zahl 1+rn dn u n d n ; also: 1 p n = un (1+rn u n d n. Ist z.b. n = 2, so hat die Option nach der ersten Periode entweder den Wert C 1,1 = 1 1+r 2 [p 2 C 2,2 + (1 p 2 C 1,2 ], falls in der ersten Periode S(0 sich in u 2 S(0 geändert hat, oder C 0,1 = 1 1+r 2 [p 2 C 1,2 + (1 p 2 C 2,2 ], falls in der ersten Periode S(0 sich in d 2 S(0 geändert hat. Damit ist der abgezinste Erwartungswert der Option nach zwei Perioden (der Länge T : 2 1 c 0 = C(0 = [p 2 C 1,1 + (1 p 2 C 0,1 ] 1 + r (7 2 1 = (1 + r 2 2 [p2 2C 2,2 + 2p 2 (1 p 2 C 1,2 + (1 p 2 2 C 0,2 ]. Setzt man diese Überlegungen fort, so kann man durch vollständige Induktion nachweisen, dass die Bewertungsformel für eine Kaufoption, für welche n gleichlange Teilperioden bis zum Verfallstermin betrachtet wurden und für welche in jeder Teilperiode das Binomialmodell mit denselben Faktoren d n und u n angenommen wurde, lautet: (8 c 0 = C(0 = = 1 (1 + r n n 1 (1 + r n n n ( n j n ( n j j=0 j=0 p j n(1 p n n j C j,n p j n(1 p n n j max{u j nd n j n S(0 E, 0}. In der obigen Formel kommen nur solche Summanden tatsächlich vor, für welche C j,n > 0 gilt, d.h. für welche u j nd n j n S(0 E > 0 gilt. Äquivalent dazu ist j > ln(e/s(0 n ln d n ln(u n /d n. Sei (9 a n := min{j N 0 j > ln(e/s(0 n ln dn ln(u n /d n }. Wegen d n < u n gilt C j,n > 0 genau dann, wenn j a n gilt. Deshalb erhält (8 die äquivalente Gestalt (10 c 0 = C(0 = 1 (1+r n n = S(0 n j=a n ( n j n ( n j p j n (1 p n n j (u j nd n j n S(0 E j=a n ( u np n 1+r n j ( (1 p nd n ( 1+r n n j E n (1+r n n j p j n (1 p n j n. Wegen p n = 1+r n d n u n d n hat man (1 pndn 1+r n = 1 u np n 1+r n. Mit der Bezeichung 11

12 (11 B(a n, n, t = n j=a n ( n j t j (1 t n j für die sogenannte komplementäre Binomialverteilung lässt sich (10 in der folgenden Form schreiben: (10 c 0 = C(0 = S(0B(a n, n, unpn 1+r n E (1+r n n B(a n, n, p n. Für r = 0, 06, n = 3 und T = 3 Jahre betrachten wir zum Verdeutlichen das folgende Beispiel. Eine Aktie S habe zum Zeitpunkt 0 den Wert 4 S(0 = 100 Euro. Es gibt darauf eine Kaufoption, die dem Anleger nach einem 3 Jahr erlaubt, die Aktie zum Ausübungspreis E = 105 Euro zu erwerben. Es wird angenommen, dass u 3 = 1, 25 und d 3 = 0, 8 (insbesondere 4 also u 3 d 3 = 1, was immer angenommen wird gilt, d.h., dass aus S(0 = 100 Euro zuerst S( 1 = 125 oder 80 Euro folgt, dann S( 2 = 125 1, 25 = 156, oder S( 2 = 100 falls S( 1 = 125 folgt bzw. S( 2 = 80 0, 8 = oder S( 2 = 100 falls S( 1 = 80 folgt, usw. Es ergibt sich die folgende 4 4 Kursentwicklung der Aktie in den drei Perioden: 156, S(0 = , , 2 Aus (1 + r 3 3 = (1 + 0, 06 3/4 folgt r 3 = 4 1, 06 1 = 0, , und damit p 3 = 1+0, ,8 = 0, , 1 p 1,25 0,8 3 0, 5229, p 2 3 0, 2276, p 3 3 0, 1086, 3p 2 3(1 p 3 0, Da u 3 d 2 3S(0 = 80 < 105 und d 3 3S(0 = 51, 2 < 105 braucht man 3p 3 (1 p 3 2 und (1 p 3 3 nicht mehr. Aus (10 ergibt sich 1 c 0 =C(0 = (1 + r 3 3 [p3 3(u 3 3S(0 E+3p 2 3(1 p 3 (u 2 3d 3 S(0 E+0+0] 1 [0, 1086(195, , 3571( ] 16, , Wenn der Marktpreis der Kaufoption von diesem Gleichgewichtspreis 16, 225 abweicht, kann man mit einer Hedging-Strategie einen sicheren Arbitrage- 12

13 gewinn erzielen. Das wollen wir an dieser Stelle nicht vertiefen. Die Bewertungsformel (10 für das diskrete Modell mit n Perioden führt durch den Grenzübergang n +, also wenn die Periode T gegen Null n konvergiert, zur Black-Scholes-Formel. Dabei entsteht aus dem Binomialmodell ein kontinuierliches Modell. Wir folgern den Überlegungen von Cox, Ross und Rubinstein, um festzustellen, was mit (1 + r n n, B(a n, n, unpn 1+r n und B(a n, n, p n beim Grenzübergang n + passiert. Im Binomialmodell mit n Perioden bekommt man risikolos nach n Perioden, K d.h. zum Zeitpunkt T, aus dem Kapital (1+r n das Kapital K. Im kontinuierlichen Modell erhält man risikolos aus dem Kapital K(t nach einer n Zeitspanne dt das Mehrkapital dk = K(t + dt K(t. Es gilt dk = rkdt, und damit ln K(t T = r(t t. Anders geschrieben: K(t = K(T e r(t T. t Damit aus K(0 zum Zeitpunkt T wieder K entsteht, muss K(T = K gelten; dann ist K(t = Ke r(t T und insbesondere K(0 = Ke rt. Aus demselben Kapital entsteht zum Zeitpunkt T im kontinuierlichen Modell und im Grenzfall des Binomialmodells dasselbe Kapital K, wenn wenn gilt: (12 (1 + r n n = e rt. K (1+r n n = Ke rt gilt, d.h. Seien X 1, X 2,..., X n n unabhängige Zufallsvariablen, die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p n den Wert 1 und mit der Wahrscheinlichkeit 1 p n den Wert 0 annehmen. Es gilt E(X j = p n, E(Xj 2 = p n und nach dem Verschiebungssatz Var(X j = p n p 2 n. Die Zufallsvariable Z n := n X j gibt die Anzahl der Versuche an, für welche der Wert 1 angenommen wird. Aus S(T = u j nd n j n S(0 folgt, dass die Aktienrendite zum Verfallstag ln(s(t /S(0 gleich j ln u n + (n j ln d n = j ln(u n /d n + n ln d n ist. Also nimmt S zum Zeitpunkt T den Wert u j ndn n j S(0 dann und nur dann an, wenn Z n den Wert j annimmt. Man kann also die Aktienrendite zum Zeitpunkt T wegen (13 ln(s(t /S(0 = Z n ln(u n /d n + n ln d n als Zufallsvariable sehen. Der Erwartungswert und die Varianz der Aktienrendite t ln sind also (S(t/S(0 zum Zeitpunkt T sind also (14 E(ln(S(T /S(0 = [p n ln(u n /d n + ln d n ]n, (15 Var(ln(S(T /S(0 = p n (1 p n [ln(u n /d n ] 2 n, weil X 1,..., X n stochastisch unabhängig sind und für die Zahlen b, b 1,..., b n gilt: j=1 13

14 E(b + n b j X j =b + j=1 n b j E(X j, Var(b + j=1 n b j X j = j=1 n b 2 jvar(x j. Bezeichnet man mit µ n und σ n die erwartete Aktienrendite pro Periode bzw. die Varianz der Aktienrendite pro Periode, so folgt aus E(ln(S(T /S(0 = µ n n und Var(ln(S(T /S(0 = σ 2 n n sowie (14 und (15: (16 p n ln(u n /d n + ln d n = µ n, j=1 (17 pn (1 p n ln(u n /d n = σ n. Mit Z n bezeichnet man die zugehörige normierte binomialverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 und Varianz 1, d.h. Z n := Z n np n. Wegen npn (1 p n der Definition von Z n und a n sowie der Bezeichnung für die komplementäre Binomialverteilung hat man Man kann wie folgt umformen: Z P (Z n a n 1 = P ( n np n npn (1 p n 1 B(a n, n, p n = P (Z n a n 1. an 1 npn = P ( Z n npn (1 p n an 1 npn. npn (1 p n Wegen a n 1 = ln(e/s(0 n ln d n ln(u n /d n ε n mit ε n ]0, 1] geeignet gewählt folgt a n 1 np n = und damit (18 ln(e/s(0 n ln dn ln(u n/d n ε n np n = ln(e/s(0 n ln d n np n ln(u n/d n ε n ln(u n/d n ln(u n /d n = ln(e/s(0 µn n εn ln(un/dn ln(u n /d n a n 1 p n = ln(e/s(0 µ n n ε n ln(u n /d n npn (1 p n npn (1 p n ln(u n /d n Wegen u n n = u 1 und d n n = d 1 folgt ( u n d n n = u 1 d 1 u (19 lim n n d n und damit = 1 sowie lim n ln(u n /d n = 0. Ist µ die erwartete Aktienrendite pro Zeiteinheit und σ 2 die Varianz pro Zeiteinheit für ln(s(t /S(0 (σ heißt auch die Kursvolatilität, so hat man (20 [p n ln(u n /d n + ln d n ]n = µ n n = µ T, (21 [p n (1 p n (ln(u n /d n 2 ]n = σ 2 n n = σ 2 T, und deshalb gilt (wegen der Annahme u n d n = 1 für alle n 1 :. 14

15 µt (22 µ n = n sowie σ T n = σ, n (23 p n = µ T/n ln d n ln(u n /d n = ln d n µ T/n 2 ln d n, (24 1 p n = 1 ln d n µ T/n 2 ln d n = ln d n+µ T/n 2 ln d n. Es folgt p n (1 p n = (ln d n 2 µ 2 T 2 /n 2 4(ln d n 2 und nach (21 (25 (ln d n 2 µ 2 T 2 /n 2 = σ 2 T/n. Da E((ln(S(T /S(0 2 = [p n (ln u n 2 + (1 p n (ln d n 2 ]n gilt, ergibt sich aus dem Verschiebungssatz σ 2 T = Var(ln(S(T /S(0 = E((ln(S(T /S(0 2 [E(ln(S(T /S(0] 2 = [p n (ln u n 2 + (1 p n (ln d n 2 ]n µ 2 T 2 = (ln d n 2 n µ 2 T 2, also: (26 (ln d n 2 n ( µ T n 2 = σ2 T n 2. (ln dn2 n Aus (25 und (26 erhält man (ln d n 2 (ln d n 2 = σ2 T, d.h. ln u n n = ln d n = σ T ln u n = σ und ln d T n n = σ und deshalb n (27 d n = e σ T n, un = e σ T n und ln u n d n = σ2 T n σ2 T n 2 und daraus T. Wegen d n n < u n hat man T = 2σ. n Um lim p n zu berechnen, benutzen wir die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion n e x x k = k! = 1 + x + O(x2 = 1 + x + x2 + 2 O(x3. k=0 Hiermit bekommt man aus p n = 1 r n d n u n d n rt n +σ T n σ2 T 2n +O(n 1,5 2σ T n +O(n 1 = ert /n e σ T /n e σ T /n e σ = 1+ rt [1 σ T n +O(n 2 n +σ2 T 2n +O(n 1,5 ] T /n 1+σ T [1 σ T n +O(n 1 n +O(n 1 ] T n +σ(n 1 = r σ T n +1 σ 2 2+O(n 0,5 die folgende Abschätzung für µ n n : µ n n = (p n ln( u n d n + ln d n n = {[ ( r σ σ 2 T n + O(n 1 ]2σ = = ( r σ σ 2 T n + O(n 1 T σ T }n = n n (r T n σ2 2 T n + O(n 1,5 n = rt σ2 T 2 + O(n 0,5. 15

16 Es folgt lim µ n n = rt σ2 T, und damit gilt wegen (18,(19 und (22: n 2 Also: lim n a n 1 np n = lim ln(e/s(0 µ n n ε n ln(u n/d n npn (1 p n n σ n n (28 lim n a n 1 np n npn(1 pn = ln(e/s(0 (r σ2 2 T = ln(e/s(0 (r σ 2 2 T Aus dem zentralen Grenzwertsatz von Moivre und Laplace folgt, dass die Verteilung einer normierten binomialverteilten Zufallsvariable für n gegen die Standardnormalverteilung konvergiert, und dabei gilt wobei N(y = 1 2π also (wegen (28 und damit lim P ( Z n n y a n 1 np n = N( lim npn(1 pn n. a n 1 np n, npn(1 pn e x2 2 dx gilt; man beachte: N( y = 1 N(y. Es folgt lim [1 B(a n, n, p n ] = lim P ( Z n n n N( lim n a n 1 np n npn (1 p n = N(ln(E/S(0 (r σ2 lim B(a n, n, p n = 1 N( ln(e/s(0 (r n N( ln(e/s(0 (r σ 2 2 T a n 1 np n = npn(1 pn 2 T σ 2 2 T = N( ln(s(0/e+(r σ 2 Analog (also auch mühsam! zeigt man, dass 2 T lim B(a n, n, u n p n /1 + r n = N( ln(s(0/e+(r+ n =. σ 2 2 T gilt; aus (10 folgt dann die Bewertungsformel von Black-Scholes für die Kaufoption europäischen Typs: (29 c 0 = C(0 = S(0N( ln(s(0/e+(r+ σ 2 2 T Ee rt N( ln(s(0/e+(r σ 2 Mit konkreten Beispielen kann man die Güte der Black-Scholes-Bewertungsformel für die Börsenpraxis testen. Zwischen einer Kaufoption und einer Verkaufsoption gleichen Typs (d.h., es handelt sich um dieselbe Aktie und sowohl der Ausübungspreis E als auch T.

17 der Verfallstermin T sind gleich! besteht eine wichtige Relation, die unter dem Namen Put-Call-Parität bekannt ist (siehe dazu [10]. Um diese Relation herzuleiten, sei B ein Portefeuille, das eine Aktie S, eine Verkaufsoption P, die als Funktion auf [0, τ] verstanden wird, und eine Kaufoption C enthält. Zum Zeitpunkt 0 besitzt das Portefeuille B den Wert B(0 = S(0 + P (0 C(0. Zum Verfallstermin ist der Wert dieses Portefeuilles B(T = S(T + max{e S(T, 0} max{s(t E, 0}. Man hat also S(T + E S(T 0 = E, falls S(T < E, B(T = S(T + 0 (S(T E = E, falls S(T > E, S(T = E, falls S(T = E. Das Portefeuille muss zum Zeitpunkt 0 den Wert Ee rt haben, damit es zum Zeitpunkt T risikolos den Wert E hat, d.h. B(0 = S(0 + P (0 C(0 = Ee rt. Man erhält also die Put-Call-Parität (30 P (0 = C(0 S(0 + Ee rt. Nach (29 ergibt sich P (0 = S(0[1 N( ln(s(0/e+(r+ σ 2 2 T ] + Ee rt [1 N( ln(s(0/e+(r σ 2 Deshalb lautet die Bewertungsformel von Black-Scholes für die Verkaufsoption europäischen Typs: (31 P (0 = Ee rt N( ln(e/s(0+( σ 2 2 rt S(0N( ln(e/s(0 ( σ 2 2 +rt In den Bewertungsformeln von Black und Scholes (also (29 und (31 ist die Volatilität σ der einzige Parameter, den man nicht vereinbaren oder genau berechnen kann. Diese Zahl spiegelt die mittlere Kursschwankung des Basiswertes S(t zwischen t = 0 und t = T wieder. Aber σ wird schon zum Zeitpunkt t = 0 benötigt, um den Optionspreis c 0 bzw. p 0 zu bestimmen. Deshalb wird σ aus der Vergangenheit der Aktienkurse berechnet und diesen Wert nennt man auch die historische Volatilität; dabei ist es sinnvoll die unmittelbare Vergangenheit stärker zu berücksichtigen, d.h. eine geeignete Gewichtung vorzunehmen. Da man die zukünftigen Kursschwankungen nicht kennt und die Volatilität (im Gegensatz zur Annahme im Black-Scholes- Modell veränderlich ist, ist es möglich, dass die historische Volatilität sich von der tatsächlichen Volatilität (die erst nach dem Zeitpunkt T berechnet 17 2 T. ].

18 werden kann, wenn der Aktienkurs von S bekannt ist erheblich unterscheidet. (Aber hinterher ist man sowieso immer klüger! Wir haben erwähnt, dass Scholes und Merton ausgehend vom Duplikationsprinzip eine partielle Differenzialgleichung angegeben haben, deren Lösung der Wert C(S(t, t der Kaufoption für den Basiswert S ist. Wir skizzieren mit einigen Worten, wie man zu dieser Differenzialgleichung gekommen ist und welche Lösung sie hat. Der englische Botaniker Robert Brown ( entdeckte 1827 die sog. Brownsche Bewegung: Kleine Teilchen bewegen sich in einer Flüssigkeit unter dem Einfluss von rasch aufeinander folgenden zufälligen Zusammenstößen mit Nachbarpartikeln sehr unregelmäßig. Dieses Phänomen hat zum mathematischen Begriff Brownscher Prozess geführt, der dieses Verhalten meisterhaft modelliert. Es handelt sich um einen stochastischen Prozess, der von den Mathematikern Wiener und Itô untersucht wurde. Black und Scholes haben bemerkt, dass die Funktionen t C(S(t, t und t P (S(t, t, die jedem t [0, T ] den Wert C(S(t, t bzw. P (S(t, t der Kaufoption bzw. Verkaufsoption für den Basiswert S zuordnen, einem speziellen Brownschen Prozess nämlich einem Itô-Prozess unterliegen, weil für die weitere Kursentwicklung der Aktie S nur ihr aktueller Wert ausschlaggebend ist. (Man sagt, dass die Aktienkurse die Markov-Eigenschaft haben. Eine besonders wertvolle Überlegung (warum nicht: ein genialer Einfall! von Black und Scholes hat dazu geführt, dass die allgemeine Differenzialgleichung eines Itô-Prozesses die folgende einfachere Gestalt erhält: (32 V T σ2 S 2 2 V V + rs S2 S rv = 0, wobei V {C, P } ist. σ (die Volatilität von S und r (der Jahreszinssatz einer risikolosen Anlage bleiben im betrachteten Zeitraum [0, T ] unverändert. Diese spezielle parabolische Differenzialgleichung wird im Falle V = C zusammen mit den (dem Inhalt eines Calls entsprechenden folgenden Randbedingungen betrachtet: C(0, t = 0 t [0, T ] C(S(t, t und S(t verhalten sich asymptotisch (d.h. für sehr große Werte von S gleich. Die Lösung dieses Randwertproblems auf [0, + [0, T [ lautet (33 C(S(t, t = S(t N(d + Ee r(t t N(d, 18

19 wobei wie vorher gilt: N(x := 1 2π x e y2 2 dy und d± := ln/s(t/e + (r2 ± σ2 (T t 2 t. Für t = 0 erhält man (29. Die Beweisidee, die für (30 benutzt wurde, war: Es darf keine Arbitrage entstehen. Hiermit kann man für die Kauf- bzw. Verkaufswerte C bzw. P der Option für S die (allgemeine Put-Call-Paritätsrelation beweisen: (34 S(t + P (t C(t = Ee r(t t t [0, T ]. Aus (32 und (34 erhält man leicht die Berechnungsformel (35 P (S(t, t = Ee r(t t N( d S(tN( d +. Man kann (35 auch als Lösung von (32 mit den folgenden Randbedingungen (welche für eine Put-Option offensichtlich verlangt werden müssen erhalten: P (0, t = Ee r(t t t [0, T ]. P (S(t, t fällt gegen Null, wenn S(t unbegrenzt wächst. Jede Modellbildung eines komplexen Sachverhaltes verlangt restriktive Annahmen; durch regelmäßige Vergleiche der theoretischen (errechneten mit den tatsächlichen Ergebnissen kann man den Nachweis liefern, dass die ausgesuchten Annahmen das betrachtete Problem vereinfachen und nicht verfälschen. Im Fall des Black-Scholes-Modells handelt es sich um die folgenden Vereinfachungen: Die betrachtete Kursvolatilität σ ist konstant während der Laufzeit. Der Basiswert S verhält sich gemäß einem Itô-Prozess; insbesondere ist der Aktienkurs stetig und es gibt keine Kurssprünge. Auf den verschiedenen Kapitalmärkten sind gleiche Zinssätze vorhanden. Aktien und Optionen sind nicht ganzzahlig, sondern beliebig teilbar. Leerverkäufe sind erlaubt. Es entstehen keine Transaktionskosten beim Kauf oder Verkauf von Aktien und Optionen. Die Steuerfragen werden außer Acht gelassen. 19

20 Es gibt keine Dividendenzahlung während der Laufzeit. Die Geschäftsgrundlagen der Firmen bleiben unverändert während der gesamten Laufzeit. In der Praxis muss man die Nichterfüllung der einen oder anderen Annahme berücksichtigen und daraus die Konsequenzen ziehen. 4. Kritische Stimmen Die Bewertungsformel von Black-Scholes geht von der Annahme aus, dass die Veränderungen der Aktienkurse einer Normalverteilung entsprechen. Der bekannte Mathematiker Benoit Mandelbrot, der wesentliche Beiträge zur Theorie der dynamischen Systeme und zur Chaos-Theorie geliefert hat, verneint aufgrund seiner Beobachtungen und Forschungsergebnisse diese Annahme, und behauptet, dass die Kursveränderungen exponentiell verteilt sind und außerdem keine stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen sind. Beide Ursachen können zu sehr starken Preisschwankungen führen, was nach der Theorie von Merton, Black und Scholes nicht vorkommen sollte. Ist dies die Ursache dafür, dass diese Nobelpreisträger mit ihren Hedgefonds Schiffbruch erlitten haben? Auch die heftigen Preisschwankungen der russischen Börse könnten damit erklärt werden. Eine weitere Kritik der herrschenden Optionstheorie hat der amerikanische Finanzexperte Nasser Saber im Jahre 2006 geübt. Er definiert den Begriff Option als eine zeitlich begrenzte Transaktion, bei welcher eine Seite (also der Optionskäufer das Recht auf Nichterfüllung einer Zahlungsverpflichtung erwirbt. Seiner Meinung nach ist der Käufer in diesem Geschäft der Spekulant, weil er von Preisveränderungen ab einer vereinbarten Höhe profitiert, während der Verkäufer nur bei geringen Veränderungen Gewinne erzielt. Natürlich ist der Verkäufer in der Regel eine Bank kein Samariter; er verfügt über wesentlich mehr Informationen und Erfahrungen, die ihm helfen, für ihn günstige Vertragsbedingungen durchzusetzen. 5. Persönliche Standpunkte Optionen bieten die Möglichkeit, Chancen und Risiken einer gewöhnlichen Finanzanlage zu trennen und in ein anderes Verhältnis zueinander zu setzen; dadurch findet mancher Anleger neue Instrumente, die besser zu seinem Risiko-Profil passen. Der Handel mit Optionen ist keineswegs risikofrei, nicht einmal für sehr er- 20