Übung 1: Stochastik und Datenübertragung

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1 Wintersemester 6/7 Rechnernetze Universität Paderborn Fachgebiet Rechnernetze Übung : Stochastik und Datenübertragung. Maßzahlen einer Stichprobe Bestimmen Sie den Mittelwert µ, die Varianz σ und die Standardabweichung σ der folgenden Stichprobe: Lösung: µ 5., σ.98, σ Notiz zur Varianzberechnung mit Stichproben; optionales Material: Die Varianz einer Zufallsvariable ist definiert über die Verteilungsfunktion. Für den Spezialfall einer Zufallsvariable mit nur endlich vielen Werten x i (Anzahl: N), die alle gleich häufig sind, vereinfacht sich das zu: σ = /N i (x i µ) (mit Kurzschreibweise: µ = E[X]) Wir kennen aber nicht die Zufallsvariable, sondern nur eine Stichprobe daraus. Nehmen wir an, der Umfang der Stichprobe sei n (Achtung: kleines n! Das großes N ist die nicht bekannte Anzahl der möglichen Werte der Zufallsvariable) und wir haben die Werte y i, i =,..., n beobachtet. Wir versuchen nun, aus dieser beobachteten Stichprobe die nicht bekannte Varianz zu schätzen: Einen Schätzer zu bestimmen. Grundsätzlich kann man eine beliebige Funktion f(y,..., y n ) als Schätzer auffassen, aber natürlich hätte man gerne einen irgendwie plausiblen Schätzer. Eine plausible Anforderung ist, dass ein Schätzer, wenn ich unendlich oft eine Stichprobe nehme, jedesmal den Schätzer ausrechne, dann wenigstens im Mittel der Schätzungen das richtig Ergebnisse bekomme (eine einzelne Schätzung wird im allgemeinen nicht den korrekten Wert liefern). Nehmen wir s als Kurzschreibweise für s = f(y,..., y n ) (das Quadrat soll daran erinnern, dass wir die Varianz schätzen), dann heisst das formal das wir gerne: E[s ] = σ hätten - ein solcher Schätzer heißt erwartungstreu. Ein einfacher, erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert µ der Zufallsvariable ist y = /n (y i ) Wie sieht ein solcher Schätzer für die Varianz aus? Versuch : s = /n i (y i y ) Dann stellt sich raus, dass das nicht erwartungstreu ist! (Letztlich: Definitionen einsetzen und ausrechnen) Versuch : s = /(n ) i (y i y ) Das IST erwartungstreu! Intuition: ich rechne ja schon einen Schätzer y für den Mittelwert µ aus meiner Stichprobe aus - in der Schätzformel steht y wo eigentlich µ stehen müsste (aber µ kenne ich ja nicht). Dieser Mittelwert y wird IMMER in der Mitte der Stichprobe liegen, auch wenn meine Stichprobe durch Rechnernetze WS 6/7 Übung

2 Zufall ganz komische, untypische Werte ausgewählt hat (z.b. nur ganz kleine). Dann ist der Abstand y i zu y aber (im Mittel) kleiner als der zu µ! Deswegen unterschätzt der erste Schätzer die Varianz! Der zweite Schätzer korrigiert diesen Fehler (formal argumentiert man hier über sog. Freiheitsgrade... ). Weiterlesen? Eine vernünftige Illustration (wenn auch in Details etwas schlampig) ist das hier: review-and-intuition-why-we-divide-by-n--for-the-unbiased-sample-variance Details finden sich unter dem Begriff Besselkorrektur, z.b. hier: s_correction. Geschmackssache. Zufallsexperiment: Münzwurf Zwei faire Münzen werden gleichzeitig geworfen. (a) Geben Sie den Stichprobenraum an. Lösung: Ω = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)} (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze Zahl und die andere Münze Kopf liefert? günstige Fälle Lösung: Pr ((K, Z) oder (Z, K)) = mögliche Fälle = {(K,Z),(Z,K)} Ω = Jetzt werde nur eine dieser fairen Münzen mehrfach hintereinander geworfen und das Ergebnis jeweils betrachtet. (c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst (k )-mal Zahl und dann einmal Kopf fällt? Lösung: X repräsentiere die Anzahl notwendiger Wurfversuche. Es gilt: Pr(X = k) = / k (/) = / k ; k {,,...} (d) Sie verwenden nun und für alle folgenden Versuche eine manipulierte Münze, die Kopf mit der Wahrscheinlichkeit p anzeigt. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst (k )-mal Zahl und dann einmal Kopf fällt? Lösung: Geometrische Verteilung X repräsentiere die Anzahl notwendiger Wurfversuche. Es gilt: Pr(X = k) = ( p) k p; k {,,...} (e) Geben Sie an, wie viele Versuche Sie im Durchschnitt benötigen, bis zum ersten Mal Kopf fällt. Lösung: Erwartungswert: E(X) = j( p) j p = p j= (Kann gezeigt werden mittels d dq qj = jq j, Berechnung der geometrischen Reihe mit q <, wobei q = p, dann ableiten) E(X) = j( p) j p = p d dp j= ( p) j = p d dp ( p ) = p( p ) = p j= Rechnernetze WS 6/7 Übung

3 3. Alle Jahre wieder (Wiederholung Stochastik) In Vorbereitung auf Weihnachten möchten Sie Weihnachtsbaumkugeln im Internet bestellen. Ein Karton enthält n Weihnachtsbaumkugeln. Bei der Lieferung zerbricht jede einzelne Kugel mit der Wahrscheinlichkeit p =,. Die Kugeln zerbrechen unabhängig voneinander. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält ein Karton genau k zerbrochene Kugeln, k n? Lösung: Bernoulli-Prozess, da Kugel entweder zerbrochen () oder heile (). Sei X die Anzahl zerbrochener Kugeln in einem Karton. X ist B n,p verteilt (Binominialverteilung), d.h. ( ) n Pr(X = k) = p k ( p) (n k) k (b) Einen Karton mit mindestens einer zerbrochenen Weihnachtsbaumkugel werden Sie reklamieren. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für eine Reklamation in Abhängigkeit von n und p. Lösung: Heiler Karton mit Wahrscheinlichkeit p = P (X = ) = ( p) n. Reklamation bei defekter Kugel also Pr(X > ) = p = ( p) n. (c) Wie viele Kartons müssen im Mittel versendet werden, bis Sie einen Karton ohne zerbrochene Kugeln empfangen? Lösung: Sei Y die Anzahl notwendiger Sendungen, d.h. Y = k bedeutet, dass k Kartons beschädigt, der k-te Karton jedoch korrekt empfangen wurde. Gesucht ist jetzt der Erwartungswert von Y. Pr(Y = k) = ( p ) (k ) p. Damit gilt: E[Y ] = = k Pr(Y = k) k= k( p ) (k ) p k= Umformung analog zu Aufgabe e = p 4. Paketvermittlung/Leitungsvermittlung (packet/circuit switching) Es soll eine Nachricht der Länge L bits zwischen zwei Rechnern übertragen werden, die allerdings nicht direkt miteinander verbunden sind. Die Nachricht muss über k dazwischen liegende Rechner weitergeleitet werden. Nehmen Sie an, dass alle Verbindungen in diesem Netz eine einheitliche Datenrate von R bits/s aufweisen und dass die Ausbreitungsverzögerung (Propagation delay) vernachlässigbar ist. (a) Das Netz sei paketvermittelt. Stellen Sie die Übertragung mit k = in einem Weg-Zeit- Diagramm (Message Sequence Chart) dar. Erläutern Sie, welche Annahmen Sie dabei treffen! (b) Ein Paket kann höchstens Nutzdaten der Länge P bits aufnehmen (Payload) und besitzt einen Paketkopf (Header) der festen Größe H bits. Geben Sie nun eine Formel für die Sendedauer T tx an. (Sendedauer = Dauer erstes bis letztes Bit gesendet.) Lösung: T tx = L P H+L R (c) Geben Sie eine Formel für die gesamte Übertragungsdauer T D an. (Übertragungsdauer = Begin Senden des ersten Bits bis Ende Empfangen des letzten Bits.) Lösung: T D = T tx + k H+P R Rechnernetze WS 6/7 Übung 3

4 (d) Bestimmen Sie die Paketgröße P, mit der die Zeit minimiert wird, bis das letzte Paket der Nachricht vollständig am Ziel eingetroffen ist. Hinweis: Vereinfachen Sie x zu x und x zu x, wenn nötig. Lösung: (T D) P = P = LH k (e) Das Netz sei jetzt leitungsvermittelt. Stellen Sie die Übertragung mit k = in einem Weg- Zeit-Diagramm dar. Achten Sie dabei darauf, den Auf- und Abbau der Leitung darzustellen! Erläutern Sie ebenfalls wieder alle Annahmen, die Sie treffen! (f) Sei T s die Zeit, die jeweils zum Verbindungsaufbau bzw. -abbau benötigt wird. Geben Sie eine Formel für die Übertragungsdauer T D,l an. Lösung: T D,l = T S + L R (g) Vergleichen Sie nun Paketvermittlung und Leitungsvermittlung im Hinblick auf die vollständige Übertragungsdauer T D,p bzw. T D,l. Wann würden Sie Leitungsvermittlung bevorzugen, wann Paketvermittlung? Was ändert sich insbesondere, wenn die Ausbreitungsverzögerung nicht vernachlassigbar ist? Lösung: Paketvermittlung ist bei der Übertragung kleinerer Datenmengen zu bevorzugen, so dass man sich den Verbindungsaufbau und -abbau erspart. Bei großen Datenmengen bringt Paketvermittlung jedoch viel Overhead (Header), so dass sich Leitungsvermittlung lohnen kann. Formal: Leitungsvermittlung lohnt sich, sobald die Übertragungsdauer des gesamten Overheads der Paketvermittlung die zeit des Verbindungsaufbaus/-abbaus übersteigt. Ist die Ausbreitungsverzögerung nun nicht mehr vernachlässigbar, so hat die größere Auswirkungen auf die Leitungsvermittlung, wegen des Verbindungsaufbaus/-abbaus. Die Datenschranke ab der sich leitungsvermittlung lohnt wächst demnach. 5. Fourier-Analyse und Tiefpass-Kanal Erinnerung: Die Fourier-Transformation ist gegeben durch: c = T a n = T b n = T g(t) dt g(t) sin(πnf t) dt g(t) cos(πnf t) dt (a) Berechnen Sie die Koeffizienten c, a, a, b, b der Fourier-Transformation für das aus dem Zeichen b resultierende Signal g(t) (siehe Abb.??). Lösung: Es gilt: g(t) = c + a n sin (πnft) + b n cos (πnft) n= n= 3 7 c = T g(t)dt = T dt + T 6 dt = T [(3 ) + (7 6)] = 6 T = 3 4 Rechnernetze WS 6/7 Übung 4

5 Abbildung : Binärdarstellung des ASCII-Codes von b als Signal 3 a = g(t) sin(πnft)dt = sin(πft)dt + sin(πf t)dt T T T 6 = [ cos(πft) ] 3 + [ cos(πft) ] 7 T πf T πf 6 = [ cos(6πf) + cos(πf) cos(4πf) + cos(πf)] πft =/ =/ = / = = {}}{{}}{{}}{{}}{ cos(3/4π) + cos(/4π) cos(7/4π) + cos(6/4π) = π π 7 b = T g(t) cos(πnft)dt =... = /π( / ) = π π (b) Berechnen Sie a n und b n für den allgemeinen Fall. Lösung: a n = T für n,..., 8 mod 8 b n = T für n... 8 mod 8 g(t) sin(πnft)dt =... = πn { } ; ; ; ; ; ; ; { } g(t) cos(πnft)dt =... = πn ; 3; ; ; + ; 3; + ; Die Dauer eines Bits beträgt ms. Da der ASCII-Code durch acht Bits repräsentiert wird, folgt damit T = 8 ms. Sie übertragen das Signal über einen Kanal mit Tiefpass, der folgende Eigenschaften hat: Frequenzen kleiner gleich khz werden ungedämpft übertragen Frequenzen größer als khz werden vollständig gefiltert (c) Berechnen Sie, welche Harmonischen des Signals übertragen werden. Lösung: f = /T = /8 khz = 5 Hz /5 = 8, d.h. bis zur 8. Harmonischen werden alle Harmonischen übertragen. Rechnernetze WS 6/7 Übung 5

6 Zusatzaufgaben: Zusatzaufgaben dienen der Wissensvertiefung und sind mit gekennzeichnet. (d) Zeichnen Sie das Signal am Empfänger (z.b. mit Hilfe von MATLAB, Octave, Gnuplot,... ). Lösung: g empf (t) = c + 8 n= a n sin (πn5t) + 8 n= b n cos (πn5t) (e) Nun überlagert der Kanal das Signal zusätzlich mit einem N(, σ )-verteilten Rauschen, wobei σ =. die Standardabweichung ist. Zeichnen Sie wieder das Signal am Empfänger (z.b. mit Hilfe von MATLAB, Tipp: help normrnd). (f) Das verrauschte und bandbegrenzte Signal soll am Empfänger ausgewertet werden. Dabei gilt (k {,,..., 8}): g empf ( + (k ) ) g empf ( + (k ) ) < k-tes Bit = k-tes Bit = Mit obiger Definition wird k immer in Mitte der Bitintervalle gemessen. Lesen Sie graphisch ab, wie viele Bitfehler auftauchen für σ {, ;, ;, 3;, 4;, 5}. 6. Theoreme von Nyquist und Shannon Ein Modem verwendet die Symbole {,,, }. (a) Was ist die obere Schranke für die Datenrate für eine Kanalbandbreite von MHz? Lösung: R u = H log V bits = MHz log 4 bits = 4 Mbits/s (b) Welche Symbolrate liegt bei dieser Übertragungsrate vor? Lösung: Mbaud (c) Welches Signal-zu-Rauschverhältnis (SNR) benötigen Sie am Empfänger, um die Datenrate der oberen Schranke zu erreichen? ) Lösung: R u = H log ( + S N S N Ru H = 4 = 5 (d) Um welchen Faktor verändert sich die minimal benötigte Sendeleistung, wenn Sie nun ein Byte pro Symbol (statt zwei Bits pro Symbol) übertragen wollen (die Rauschleistung sei konstant)? Lösung: Nach Nyquist folgt für die maximale Datenrate R MHz log 56 bits = 6 Mbits/s und somit nach Shannon R H log ( + S S N R H = 6 = Mit a S N = S N a = S S (weil N = N ) gilt a = = N ) Rechnernetze WS 6/7 Übung 6