Nachrichtenübertragung I SS 2009

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1 Übungen Nachrichtenübertragung I SS 2009 Peter Klenner, Mark Petermann NW1, Room N2400, Tel.: 0421/ , klenner/petermann@ant.uni-bremen.de Universität Bremen, FB1 Institut für Telekommunikation und Hochfrequenztechnik Arbeitsbereich Nachrichtentechnik Prof. Dr.-Ing. K. D. Kammeyer Postfach D Bremen WWW-Server: Version 13. Mai 2009

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3 I SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen Inhaltsverzeichnis 1 Partial Response 1 Aufgabe 1 (pr03): Partial-Response-Vorcodierung Aufgabe 2 (pr04): Partial-Response-Codierung/Vorcodierung Aufgabe 3 (pr05): Matched Filter,Partial-Response-Codierung Aufgabe 4 (pr07): Partial-Response-Codierung Aufgabe 5 (pr09): Partial-Response-Vorcodierung Matched Filter/Lineare Modulation 6 Aufgabe 6 (mf11): Matched Filter, 1. & 2. Nyquist-Bedingung Aufgabe 7 (mf02): SNR mit und ohne Matched Filterung Aufgabe 8 (mf08): Matched Filter, 1. Nyquistbedingung Aufgabe 9 (lm14): ISI bei inkohärenter GMSK-Demodulation Aufgabe 10 (lm20): Modulation Aufgabe 11 (lm16): Minimum Shift Keying Trägerregelung / Carrier phase recovery 13 Aufgabe 12 (tp08): Trägerregelung 1. u. 2. Ordnung, Phasenjitter Aufgabe 13 (tp02): Trägerfrequenzregelung Aufgabe 14 (tp01): Trägerphasenregelung Aufgabe 15 ( carrier): Trägerphasenregelung Aufgabe 16 (tp10): Regelkreis 1.Ordnung Bitfehlerwahrscheinlichkeit 18 Aufgabe 17 (ber08): Bitfehlerwahrscheinlichkeit für MSK und 2-DPSK Aufgabe 18 (ber12): Bitfehlerwahrscheinlichkeit Aufgabe 19 (ber15): Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei ISI Aufgabe 20 (ber16): Bitfehlerwahrscheinlichkeit Aufgabe 21 (ber17): Bitfehlerwahrscheinlichkeit für QPSK

4 Nachrichtenübertragung I Übungen SS 2009 II Konventionen und Nomenklatur Alle Referenzen auf Textstellen (Kapitel- und Seitennummern) beziehen sich auf das Buch: K.-D. Kammeyer: Nachrichtenübertragung, 2. Auflage, B. G. Teubner Stuttgart, 1996, ISBN: ; Gleichungsreferenzen der Form (1.1.1) verweisen ebenfalls auf dieses Büch, solche der Form (1) auf die Lösungen zu den Übungsaufgaben. Die Funktionen rect ( ) und tri ( ) sind definiert analog zu: N. Fliege: Systemtheorie, 1. Auflage, B. G. Teubner Stuttgart, 1991, ISBN: Daher hat rect (t/t) die zeitliche Ausdehnung T, wogegen tri (t/t) für ein Zeitintervall der Länge 2T ungleich null ist. Die Buchstaben f und F stehen für Frequenzen (in Hertz), ω und Ω dagegen für Kreisfrequenzen (in rad/s). Auch ohne ausdrückliche Erwähnung gelten prinzipiell die Zusammenhänge ω = 2πf bzw. Ω = 2πF (auch für die entsprechenden Größen mit Index etc.). δ 0 (t) bezeichnet den kontinuierlichen(!) Dirac-Impuls, wogegen δ(i) für die diskrete (Einheits-)Impulsfolge steht. Sogenannte ideale Tief-, Band- und Hochpaßfilter G(jω) nehmen im jeweiligen Durchlaßbereich den Betrag eins, im Sperrbereich den Wert null an. Erregt eine diskrete Datenfolge d(i) der Rate 1/T ein kontinuierliches Filter mit der Impulsantwort g(t), so ist dies zu verstehen als [ ] x(t) = T d(i)δ 0 (t it) g(t) = T Abkürzungen i= i= d(i) g(t it). AKF Autokorrelationsfunktion, -folge ISI Intersymbol-Interferenz BB Bandbreite; Basisband KKF Kreuzkorrelationsfunktion, -folge BP Bandpaß NF Niederfrequenz DPCM Differentielle PCM PCM Pulse Code Modulation F{ } Fourier-Transformation PR Partial Response H{ } Hilbert-Transformation S/N=SNR Signal-to-Noise ratio (Signal-Stör-Verh.) HP Hochpaß TP Tiefpaß Verfügbarkeit über Internet PDF (oder PS) -Dateien der Aufgaben können mit Hilfe eines WWW-Browsers von erhalten werden.

5 1 SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen 1 Partial Response Aufgabe 1 (pr03): Partial-Response-Vorcodierung Klausur Nachrichtentechnik (TUHH, neue DPO) vom (Aufgabe 5) Ein Datensignal d(i) durchläuft wie unten dargestellt einen Partial Response Coder, der die Koeffizienten {α ν } = {1,2,1} enthält. Die Sendedaten d(i) {0, 1} seien statistisch unabhängig und gleichverteilt. d(i) PR-Coder c(i) a) Welche Signalstufen weist das Signal c(i) am Ausgang des PR Coders mit welcher Häufigkeit auf? b) Berechnen und skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum des Signals c(i) im Bereich 0 f 1/(2T). T bezeichnet hierbei den Bittakt. c) Zur Vermeidung von Fehlerfortpflanzung soll der Datenquelle nun eine Partial Response Vorcodierung nachgeschaltet werden (die so codierten Daten werden mit b(i) bezeichnet). Bestimmen Sie die Koeffizienten α ν Blockschaltbild des Vorcodierers an! des Vorcodierers und geben Sie das entsprechende d) Die angegebene Wertefolge stellt einen Ausschnitt aus einem Datenstrom dar: d(i) = Berechnen Sie hieraus unter Berücksichtigung der Vorcodierung die Datenfolge c(i) am Ausgang des PR-Coders! (Im Grundzustand sind alle Zustandsspeicher auf Null gesetzt.) e) Leiten Sie von dem Beispiel in Aufgabenteil d) eine Vorschrift zur Entscheidung der Daten ˆd(i) aus dem empfangenen Signal c(i) am Empfänger ab!

6 Nachrichtenübertragung I Übungen SS Aufgabe 2 (pr04): Partial-Response-Codierung/Vorcodierung Klausur Nachrichtentechnik (Universität Bremen) vom Gegeben sei der abgebildete d(i) b(i) Partial-Response-Vorcodierer. z 1 z 1 a) Geben Sie die vorcodierte Folge b(i), i 0, für die Eingangsfolge d(i) = 1 an. Die beiden Speicher des Vorcodierers enthalten zum Zeitpunkt i = 0 die Werte Null. b) Geben Sie alle möglichen Partial-Response-Coder für den obigen Vorcodierer an, deren Koeffizienten die Bedingungen α 0 = 1, α 1,α 2 { 2, 1, 0, 1, 2} erfüllen. Welche dieser Codes sind gleichanteilfrei? c) Wählen Sie unter den gleichanteilfreien Codes denjenigen aus, der zu einer dreistufigen Sendefolge c(i) führt. Zeichnen Sie das Blockschaltbild dieses Partial-Response-Coders. d) Verwenden Sie im folgenden den in Aufgabenteil c) ausgewählten Code. Geben Sie für die unter Aufgabenteil a) bestimmte vorcodierte Folge b(i) die Coder-Ausgangsfolge c(i), i = 0,... 7, an. Nehmen Sie dabei an, daß die Speicher des Coders zum Zeitpunkt i = 0 die Werte Null enthalten.

7 3 SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen Aufgabe 3 (pr05): Matched Filter,Partial-Response-Codierung Klausur Nachrichtentechnik (Universität Bremen) vom Ein Datensender benutzt zur binären Datenübertragung (Bitrate 1/T) den abgebildeten Grundimpuls g(t). a g(t) -b T 2T t a) Zeichnen Sie die Impulsantwort h(t) des zugehörigen Matched-Filters für den Empfänger (nichtkausale Darstellung). b) Bestimmen Sie die Gesamtimpulsantwort c(t) = g(t) h(t) durch graphische Faltung und skizzieren Sie sie für zunächst willkürliche Werte a und b. c) Wählen Sie die Konstanten a und b (a,b 0) so, daß sich am Empfänger nach der Symbolabtastung ein Partial-Response-Code der Form α ν = { 1,2, 1} ergibt.

8 Nachrichtenübertragung I Übungen SS Aufgabe 4 (pr07): Partial-Response-Codierung Klausur Nachrichtentechnik (Universität Bremen) vom Partial-Response-Coder können als nichtrekursive Filter (FIR-Filter) interpretiert werden, die im Symboltakt arbeiten. Eine Besonderheit dabei ist, daß für die Filterkoeffizienten nur ganzzahlige Werte gewählt werden. a) Geben Sie die Nullstellen-Diagramme der in der Vorlesung behandelten drei Codes mit den Koeffizienten {1,1}, {1,0, 1} und { 1,0,2,0, 1} an. Erläutern Sie anschaulich die Form der zugehörigen Leistungsdichtespektren, die in Bild des Buches Nachrichtenübertragung von K.D. Kammeyer (Teubner-Verlag) abgebildet sind. b) Entwerfen Sie (durch entsprechende Wahl von Nullstellen im z-bereich) einen reellwertigen Partial-Response-Code, der nur an den Stellen f = 1/(4T) und f = 1/(2T) Nullstellen im Sendespektrum hervorruft. Geben Sie die Koeffizienten des Coders an. c) Bestimmen Sie die Koeffizienten des zu Aufgabenteil b) gehörenden Partial-Response- Vorcodierers und skizzieren Sie das entsprechende Blockschaltbid für die Vorcodierung.

9 5 SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen Aufgabe 5 (pr09): Partial-Response-Vorcodierung Klausur Nachrichtentechnik (TUHH, neue DPO) vom (Aufgabe 2) Ein Datensignal b(i) durchläuft einen Partial-Response-Coder, der die Koeffizienten {α ν } = {1,2,1} enthält. Die Sendedaten b(i) {0, 1} seien statistisch unabhängig und gleichverteilt. b(i) PR-Coder c(i) (a) Welche Signalstufen weist das Signal c(i) am Ausgang des PR-Coders mit welcher Häufigkeit auf? (b) Zur Vermeidung von Fehlerfortpflanzung soll der Datenquelle d(i) {0, 1} eine Partial- Response-Vorcodierung nachgeschaltet werden. b(i) entspricht damit nun den vorcodierten Symbolen. Bestimmen Sie die Koeffizienten α ν des Vorcodierers und geben Sie das entsprechende Blockschaltbild des Vorcodierers an. d(i) Precoder b(i) PR-Coder c(i) (c) Die folgende Wertefolge durchläuft PR-Vorcodierer und PR-Codierer: d(i) = Berechnen Sie die Datenfolge c(i) am Ausgang des PR-Coders! (Im Grundzustand sind alle Zustandsspeicher auf Null gesetzt.) (d) Leiten Sie von dem Beispiel in Aufgabenteil d) eine Vorschrift zur Entscheidung der Daten ˆd(i) aus dem empfangenen Signal c(i) am Empfänger ab!

10 Nachrichtenübertragung I Übungen SS Matched Filter/Lineare Modulation Aufgabe 6 (mf11): Matched Filter, 1. & 2. Nyquist-Bedingung Klausur Nachrichtentechnik (TUHH, neue DPO) vom (Aufgabe 6) Eine Datenquelle liefert die redundanzfreie Folge d(i) { 1, 1}. Im Datensender erfolgt eine rechteckförmige Impulsformung durch 1/T für T/2 t < T/2 g(t) = 0 sonst Auf dem Übertragungswege wird additives weißes Rauschen überlagert. d(i) n(t) it g(t) x(t) h(t) d^(t)+r(t) d^(i)+r(i) Sendefilter Empfangsfilter Entscheider a) Geben Sie die Matched-Filter-Impulsantwort für den Empfänger an. Skizzieren Sie die auf eins normierte Gesamtimpulsantwort y(t) des Übertragungssystems. Für die weiteren Aufgabenteile soll die Normierung der Gesamtimpulsantwort auf eins beibehalten werden. Ferner ist die Rauschquelle abgeschaltet. b) Konstruieren Sie das Augendiagramm am Matched-Filter-Ausgang. Prüfen Sie, ob die erste und die zweite Nyquist-Bedingung erfüllt sind und begründen Sie dieses anhand der Gesamtimpulsantwort. c) Am Matched-Filter-Ausgang erfolgt eine Abtastung zu den Zeitpunkten t i = it + t ; t T/2. Bei nichtidealer Abtastung ( t 0) ergibt sich Intersymbol-Interferenz. Berechnen Sie das zugehörige (S/N) ISI -Verhältnis als Funktion von t. Wie groß ist das (S/N) ISI für t = T/2?

11 7 SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen Aufgabe 7 (mf02): SNR mit und ohne Matched Filterung Klausur Systemtheoretische Grundlagen (TUHH) vom (Aufgabe 7) Gemäß der Abbildung liefert eine stationäre Datenquelle redundanzfreie binäre Ausgangsdaten d(i) {+1, 1} mit gleicher Auftrittswahrscheinlichkeit und der Rate 1/T. d(i) n(t) g(t) x(t) h (t) T d^(t)+r(t) d^(i)+r(i) Sendefilter Empfangsfilter Entscheider it Im Sender erfolgt eine rechteckige Impulsformung durch g(t) = 1 ( ) { t T rect 1/T für t < T/2 = T 0 sonst. Das Empfangsfilter hat ebenfalls eine rechteckförmige Impulsantwort, deren Zeitdauer vom Parameter T abhängt: h T (t) = 1 ( ) T rect t mit T T T + 2 T 4 Auf dem verzerrungsfreien Übertragungskanal tritt additives, stationäres, weißes, mittelwertfreies Rauschen n(t) mit der spektralen Leistungsdichte N 0 /2 auf. a) Skizzieren Sie die Gesamtimpulsantwort y T (t) := g(t) h T (t) des Übertragungssystems für die drei Fälle (i) T = 0, (ii) T = +T/4 und (iii) T = T/4. Für welches Intervall von T erfüllt das Gesamtsystem y T (t) die 1. Nyquistbedingung? Unterscheiden Sie in den folgenden Teilaufgaben zwischen den Fällen T 0 und T > 0. b) Leistung der Intersymbolinterferenz (ISI) am Entscheidereingang: Zunächst sei kein Rauschen vorhanden. Am Empfänger wird zu den Zeitpunkten t = it abgetastet, so daß am Entscheidereingang das Signal ˆd(i) = ˆdNutz (i) + ˆd ISI (i) liegt, wobei der zweite Term den ISI-Anteil des abgetasteten Signals bezeichnet. { ( ) } 2 Berechnen Sie die ISI-Leistung N ISI = E ˆdISI (i) in Abhängigkeit von T. Skizzieren Sie damit das ISI-Stör/Signal-Verhältnis N ISI /S als Funktion von T/T. c) Leistung des Rauschens am Entscheidereingang: Berechnen Sie zunächst das E b /N 0 Verhältnis am Empfangsfiltereingang. Berechnen Sie die Rauschleistung N Rausch = E{(r(i)) 2 } am Entscheidereingang in Abhängigkeit von T. Berechnen und skizzieren Sie damit das Rausch-Stör/Signal-Verhältnis N Rausch /S als Funktion von T/T.

12 Nachrichtenübertragung I Übungen SS Aufgabe 8 (mf08): Matched Filter, 1. Nyquistbedingung Eine Datenquelle liefert binäre Ausgangsdaten d(i) { 1, 1} mit gleicher Auftrittswahrscheinlichkeit, deren Leistung σd 2 sei. Zur Impulsformung wird ein Filter mit der Impulsantwort 1 T cos(2πt/t) für t T/4 g(t) = 0 sonst eingesetzt. Auf dem Übertragungskanal tritt ein additives, weißes Rauschen n(t) auf. Die Impulsantwort des Gesamtsystems aus Impulsformer und Empfangsfilter sei y(t) := g(t) h(t). d(i) n(t) it g(t) x(t) h(t) d^(t)+r(t) d^(i)+r(i) Sendefilter Empfangsfilter Entscheider a) Wie lautet die Impulsantwort h(t) des Empfangsfilters, wenn das Gesamtsystem mit dem größtmöglichen S/N-Verhältnis arbeiten soll? b) Erfüllt das Gesamtsystem nach a) die 1. Nyquist-Bedingung? Begründen Sie ihre Antwort! c) Geben Sie die Gesamtimpulsantwort y(t) an. d) Wie groß darf die spektrale Leistungsdichte N 0 des Rauschprozesses n(t) höchstens sein, damit das S/N-Verhältnis am Entscheidereingang mindestens 30 db beträgt?

13 9 SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen Aufgabe 9 (lm14): ISI bei inkohärenter GMSK-Demodulation Geben Sie das ISI S/N Verhältnis bei inkohärenter Demodulation eines GMSK Signals mit f 3dB T = 0.3 an. Der Impuls q(t) ist Bild auf S. 446 zu entnehmen. Die Daten seien unkorreliert.

14 Nachrichtenübertragung I Übungen SS Aufgabe 10 (lm20): Modulation Die Signalräume sowie die entsprechenden Komplexen Einhüllenden s(t) verschiedener Modulationsarten sind in Abbildung 1 bzw. 2 dargestellt. (1) Im (2) 1 1 Im -1 1 Re -1 1 Re -1-1 (3) Im (4) 1 1 Im -1 1 Re -1 1 Re -1-1 Abbildung 1: Signalräume der Komplexen Einhüllenden s(t) s(t) (i) T 2T 3T 4T 5T t Re Im s(t) s(t) (ii) T 2T 3T 4T 5T (iii) t Re Im t Re Im T 2T 3T 4T 5T s(t) (iv) T 2T 3T 4T 5T t Re Im Abbildung 2: Real- und Imaginärteil der Komplexen Einhüllenden s(t) (a) Ordnen Sie jedem in Abbildung 1 dargestellten Signalraum die entsprechende Komplexe Einhüllende aus Bild 2 zu. (b) Benennen Sie die vier hier dargestellten Modulationsarten.

15 11 SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen (c) Bestimmen Sie die jeweiligen Bitraten für T = 2µs. (d) Bestimmen Sie für die in Abbildung 2 (iv) dargestellte Komplexe Einhüllende die gesendete Bitfolge unter der Annahme, dass die Daten sendeseitig vorcodiert wurden.

16 Nachrichtenübertragung I Übungen SS Aufgabe 11 (lm16): Minimum Shift Keying Klausur Nachrichtentechnik (Universität Bremen) vom Im Folgenden sind der Realteil und der Imaginärteil der komplexen Einhüllenden eines MSK- Sendesignals s MSK (t) dargestellt. Es wurden Daten d(i) {1, 1} gesendet Re{s(t)} t/t Im{s(t)} t/t a) Skizzieren Sie den Verlauf der Momentanphase ϕ(t). b) Bestimmen Sie die gesendete Datenfolge. c) Bestimmen Sie die Position der ersten Nullstelle im Spektrum des MSK-Signals.

17 13 SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen 3 Trägerregelung / Carrier phase recovery Aufgabe 12 (tp08): Trägerregelung 1. u. 2. Ordnung, Phasenjitter Klausur Nachrichtentechnik (Universität Bremen) vom Über einen Fernsprechkanal werden Daten mittels 8-PSK übertragen; die Symbolrate beträgt 1/T = 2.4 kbaud. Es sollen die Einflüsse einer Frequenzverwerfung von f = 75 Hz sowie eines Phasenjitters mit dem Phasenhub φ j = π/3 und der Frequenz f j = 100 Hz untersucht werden, wobei additives Rauschen und lineare Kanalverzerrungen vernachlässigt werden. Im kohärenten Empfänger wird zunächst eine entscheidungsrückgekoppelte Trägerphasenregelung 1. Ordnung verwendet. a) Berechnen Sie den statischen Phasenfehler Θ und die resultierende Jitter-Amplitude ˆΘ j, wenn die Schleifenkonstante des Trägerphasen-Regelkreises a 0 = 1.0 beträgt. b) Kommt es infolge der beiden Einflüsse der Trägerregelung zu Symbolfehlentscheidungen? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Welche Bedingung muß die Summe der Koeffizienten a 1 und a 2 einer Trägerregelung zweiter Ordnung erfüllen, um Entscheidungsfehler auszuschließen? d) Legen Sie nun bei der Trägerregelung 2. Ordnung die Konstante a 1 = 1.0 fest. Geben Sie den möglichen Wertebereich für a 2 an, wenn sowohl Entscheidungsfehler nach Aufgabenteil c) ausgeschlossen sein sollen als auch die Stabilität des Regelkreises gewährleistet werden soll.

18 Nachrichtenübertragung I Übungen SS Aufgabe 13 (tp02): Trägerfrequenzregelung Klausur Nachrichtentechnik (TUHH, neue DPO) vom (Aufgabe 4) Eine Datenquelle liefert eine Bitrate von 20 kbit/s. Bei der Übertragung mittels 8-PSK erfährt das Datensignal eine Frequenzverwerfung von 100 Hz. Außerdem wird ein sinusförmiger Phasenjitter mit der Amplitude φ = π/2 und einer Jitterfrequenz von f j = 150Hz eingebracht. Am Empfänger wird eine entscheidungsrückgekoppelte Trägerregelung eingesetzt. (a) Dimensionieren Sie einen Regelkreis 1. Ordnung so, dass der maximale Phasenfehler um 50% unterhalb der Entscheidungsschwelle liegt. (b) Es wird eine Regelung 2. Ordnung eingesetzt, wobei der Koeffizient a 1 auf den Wert a 1 = 2 gesetzt ist; Welche Bedingung muss der Koeffizient a 2 erfüllen, damit die Stabilität des Systems gewährleistet wird und der maximale Phasenfehler 75% unterhalb der Entscheidungsschwelle liegt?

19 15 SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen Aufgabe 14 (tp01): Trägerphasenregelung Klausur Nachrichtentechnik (TUHH, neue DPO) vom (Aufgabe 4) Ein QPSK-moduliertes Signal (d(i) { 1+j 2, 1+j 2, 1 j 2, 1 j 2 }) wird mit einer Symbolrate von 1.6 kbaud über eine Funkstrecke übertragen. Nachdem das Signal im Empfänger in das Basisband heruntergemischt worden ist, verbleibt ein Frequenzversatz von f = 100 Hz. Zusätzlich misst man einen Phasenjitter von 25 Hz mit einer Amplitude von φ = π/4. (a) Dimensionieren Sie die Regelkonstante a 0 einer Trägerphasenregelung so, dass der verbleibende Phasenfehler 25% unterhalb der Entscheidungsgrenze liegt. (b) Bei einer Übertragung unter AWGN-Einfluss liegt am Empfänger nach dem Matched- Filter-Ausgang ein S/N-Verhältnis von 12 db vor. Berechnen Sie die Leistung σ Θ 2 N des Phasenrauschens, das infolge des Kanalrauschens durch den Phasenregelkreis rückgekoppelt wird. Die Werte für R Ψ können Sie untenstehender Grafik entnehmen R Ψ in DB a 0

20 Nachrichtenübertragung I Übungen SS Aufgabe 15 ( carrier): Trägerphasenregelung Ein QPSK-Signal wird über einen gedächtnisfreien Kanal mit vernachlässigbaren Rauschen übertragen; die Symbolrate beträgt 1/T = 1, 2 kbaud. Im kohärenten Empfänger wird eine Trägerphasenregelung 1.Ordnung eingesetzt. Die Regelkreiskonstante ist auf a 0 = 0,85 festgelegt. Der Frequenzoffset des lokalen Oszillators beträgt f = 90 Hz. Das Empfangssignal enthält einen sinusförmigen Phasenjitter der Frequenz 100 Hz mit einem Phasenhub von Φ j = 30. a) Bestimmen Sie den resultierenden Phasenverlauf Ψ j (it) nach der Phasenregelung und skizzieren Sie ihn über den Abtastzeiten it. Tragen Sie die Symbol-Abtastwerte ein. Hinweis: Phasenjitter und Symboltakt seien so feinsynchronisiert, dass die Maximalwerte der Phasenjitterschwingung mit dem Symboltakt übereinstimmen. b) Bestimmen Sie die Symbolfehlerrate. c) Wie muss die Regelkreiskonstante geändert werden, damit die Fehlerrate gerade 0 wird.

21 17 SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen Aufgabe 16 (tp10): Regelkreis 1.Ordnung Klausur Nachrichtentechnik (TUHH, neue DPO) vom (Aufgabe 4) Ein QPSK-Signal wird kohärent demoduliert. Die Bitrate beträgt 2kbit/s. Es wird eine Trägerregelung 1.Ordnung verwendet. Die z-transformierte des geschlossenen Regelkreises lautet Nehmen Sie das Schleifenfilter G(z) als an. F(z) = G(z). G(z) = 1 z + c (a) Untersuchen Sie die Stabilität des geschlossenen Regelkreises für verschiedene Werte von c. Für welchen der beiden Werte c 0 = 2 oder c 1 = 1 ist das Gesamtsystem stabil? (Begründung) (b) Bestimmen Sie für das stabile System den statischen Phasenfehler, wenn ein Frequenzoffset von f = 10Hz am Empfängereingang vorhanden ist. (c) Der Übertragungskanal bewirkt zusätzlich einen Phasenjitter von 50 Hz mit einem Phasenhub von φ j = 30. Bestimmen Sie für das stabile System die Amplitude des Phasenjitters nach der Trägerphasenregelung. Hinweis: Bestimmen Sie die Schleifenkonstante a 0 anhand der Übertragungsfunktion des stabilen geschlossenen Regelkreises.

22 Nachrichtenübertragung I Übungen SS Bitfehlerwahrscheinlichkeit Aufgabe 17 (ber08): Bitfehlerwahrscheinlichkeit für MSK und 2-DPSK Klausur Nachrichtentechnik (Universität Bremen) vom Bei einer MSK-Übertragung über einen AWGN-Kanal wird am Empfänger bei idealer kohärenter Demodulation eine Bitfehlerrate von P b = gemessen. a) Wie hoch ist unter den gleichen Kanalbedingungen die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei 2- DPSK-Übertragung mit inkohärenter Demodulation? b) Um welchen Wert (in db) müßte das Signal-/Störverhältnis erhöht werden, um bei inkohärenter 2-DPSK ebenfalls die Bitfehlerwahrscheinlichkeit P b = zu erhalten? Benötigte Werte der erfc-funktion sind der untenstehenden Graphik zu entnehmen erfc(x) x

23 19 SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen Aufgabe 18 (ber12): Bitfehlerwahrscheinlichkeit Klausur Nachrichtentechnik (TUHH, neue DPO) vom (Aufgabe 3) Das Ergebnis eines Fußballspiels ( A: Sieg der Heim-Mannschaft, B: Unentschieden, C: Niederlage der Heim-Mannschaft) soll einem Empfänger mitgeteilt werden, wobei die Ereignisse A, B und C die gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit haben. Dazu wird eine digitale Übertragung im Basisband realisiert, wobei die Ereignisse auf ein zweistufiges Alphabet mit A d(1) = 1; d(2) = 0 B d(1) = 0; d(2) = 1 C d(1) = 1; d(2) = 1 abgebildet werden. Auf dem Übertragungsweg wird das Signal d(i) von weißem Rauschen mit der Leistung σn 2 = 0.1 und der Verteilungsdichtefunktion p n (ζ) = 1 2πσn exp( ζ 2 /(2σ 2 n )) überlagert. (a) Bestimmen Sie die diskrete Verteilungsdichtefunktion des binären Signals d(i). (b) Legen Sie eine Schwelle S für die Datenentscheidung von d(i) so fest, dass die Wahrscheinlichkeit einer Fehlentscheidung ˆd(i) d(i) am Empfänger minimiert wird. Berücksichtigen Sie dabei die in Aufgabenteil (a) ermittelten a-priori Wahrscheinlichkeiten Pr{d(i) = 0} und Pr{d(i) = 1}. (c) Bestimmen Sie nun mit Hilfe der Funktion erfc (siehe Graphik) die bedingte Wahrscheinlichkeit Pr{ ˆd(i) = 1 d(i) = 0} (die Wahrscheinlichkeit, dass unter der Bedingung d(i) = 0 das geschätzte Datum ˆd(i) den Wert 1 annimmt). Berechnen Sie außerdem auch die bedingten Wahrscheinlichkeiten Pr{ ˆd(i) = 0 d(i) = 1}, Pr{ ˆd(i) = 1 d(i) = 1} und Pr{ ˆd(i) = 0 d(i) = 0}. (d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die entschiedenen Daten keinem der Ereignisse A, B oder C sinnvoll zugeordnet werden können.

24 Nachrichtenübertragung I Übungen SS x erfc(x)

25 21 SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen Aufgabe 19 (ber15): Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei ISI Klausur Nachrichtentechnik (Universität Bremen) vom Das untenstehend abgebildete Symboltaktmodell eines Übertragungskanals in nichtkausaler Darstellung sei durch H(z) = αz αz 1 mit 0 α 1 gegeben. Die Sendedaten d(i) { 1, 1} im Symboltakt seien statistisch unabhängig und gleichverteilt. Am Kanalausgang steht das Signal y(i) zur Entscheidung an. Eine Rauschstörung ist nicht vorhanden. ( ) ( ) ( ) a) Wie lautet die Impulsantwort h(i) des Übertragungskanals? b) Erläutern Sie, ob das dargestellte Übertragungssystem die 1. Nyquistbedingung erfüllt. c) Bestimmen Sie für allgemeines α die Verteilungsdichtefunktion des empfangenen Signals y(i) (z.b. in Tabellenform oder als gewichtete Dirac-Folge) und skizzieren Sie diese für α = d) Bestimmen Sie die resultierende Bitfehlerwahrscheinlichkeit für die Wahl von α = 0.625, wenn Sie für die Schwelle S im nachfolgenden Entscheider den optimalen Wert verwenden.

26 Nachrichtenübertragung I Übungen SS Aufgabe 20 (ber16): Bitfehlerwahrscheinlichkeit Klausur Nachrichtentechnik (TUHH, neue DPO) vom (Aufgabe 6) Die Bitfehlerrate einer gray-codierten QPSK-Übertragungsstrecke mit den Sendedaten d(i) 1 2 {1 + j; 1 + j;1 j; 1 j} beträgt P b = a) Bestimmen Sie das E S /N 0 -Verhältnis in db. b) Am Sender wird zur Impulsformung ein Rechteckimplus { 1 0 t T g TX (t) = 0 sonst verwendet. Wie groß ist die spektrale Leistungsdichte N 0 /2 am Kanalausgang, wenn das Nutzsignal auf dem Übertragungsweg um dem Faktor 3 abgeschwächt wird? (Empfehlung: Setzen Sie Energien und Leistungsdichten im Bandpaßbereich an.) c) Auf welchen Wert muß die Amplitude für ein 8-PSK-Signal gegenüber dem QPSK-Signal aus Aufgabenteil a) erhöht werden, um am Empfänger die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit von zu erhalten? Benutzen Sie den folgenden Graph zur Bestimmung von Werten der erfc-funktion erfc(x) x

27 23 SS 2009 Nachrichtenübertragung I Übungen Aufgabe 21 (ber17): Bitfehlerwahrscheinlichkeit für QPSK Eine Gray-codierten QPSK Übertragung mit dem Symbolalphabet { d(i) d 0 = 1 + j,d 1 = 1 + j,d 2 = 1 j,d 3 = 1 j } wird durch weißen Gauss sches Rauschen überlagert. Das Signal zu Störverhältnis am Empfänger beträgt E s /N 0 = 10[dB] erfc(x) x (a) Wie hoch ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für das entsprechende System? (b) Nehmen Sie an, dass das Symbol s1 gesendet worden ist. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit anstelle des gesendeten Symbols das Symbol s2 zu detektieren? Geben Sie auch die Wahrscheinlichkeit für die Detektion der Symbole s2 und s3 an. I { b =1, b =1} 0 1 j 2 { b =0, b =0} R { b =0, b =1} j 2 { b =1, b =0} 0 1 (c) Welcher E s /N 0 Verlust stellt sich ein, wenn am Sender die Bits entsprechend der unteren Abbildung auf den Symbolen abbgebildet wurden (anstatt Gray-Mapping)?