Rapoport, Anatol, und Horvath, William J. (1961): A study of a large sociogram. Behavioral Science 6 (4), S

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1 Andreas Diekmann, Besprechung von Anatol Rapoport und William J. Horvath (1961): A Study of a Large Sociogram. Behavioral Science 6 (4), S Beitrag für Schlüsselwerke der Netzwerkforschung, hrsgg. Von Christian Stegbauer und Boris Holzer, Wiesbaden: Springer VS Rapoport, Anatol, und Horvath, William J. (1961): A study of a large sociogram. Behavioral Science 6 (4), S In der klassischen, von Moreno (1967 [1934]) inspirierten Forschung über soziale Netzwerke und bei der grafischen Darstellung von Netzwerken als Soziogramm hat man sich meist auf kleine Gruppen konzentriert. So kann man das Soziogramm z.b. einer Schulklasse leicht anschaulich grafisch darstellen und wesentliche Eigenschaften auf einen Blick erfassen. Bei größeren Gruppen oder sozialen Systemen ist dies allerdings nicht mehr möglich. Mit Hilfe mathematischer Modelle kann es aber gelingen, wesentliche Eigenschaften eines Netzwerks zu beschreiben. In ihrer Studie über große Soziogramme argumentieren Rapoport und Horvath, dass nicht so sehr die speziellen und erratischen Details eines Netzwerks, sondern wichtige strukturelle Eigenschaften von Interesse sind und diese Eigenschaften sparsam durch wenige Parameter beschrieben werden können. Die Autoren konzentrieren sich auf zwei Aspekte: Den distributiven Aspekt der Verteilung von Wahlen (allgemein der Verteilung der Anzahl von Kanten an den Knoten des Netzwerks) und den strukturellen Aspekt der Konnektivität des Netzwerks (die Beschaffenheit des Netzwerks im Vergleich zu einem Zufallsnetz). Von den Autoren werden Modelle für beide Eigenschaften entwickelt und die Parameter der Modelle an empirischen Daten von Freundschaftswahlen an Junior- High-Schulen in Ann Arbor, Michigan, geschätzt. Netzwerkbias. Welche Eigenschaften eines Netzwerks als bedeutsam gelten können, ist eine Frage, die sich nur mit sozialpsychologischen und soziologischen Theorien über Einstellungen und Verhalten der Akteure in einem Netzwerk beantworten lässt. So ist z.b. das Muster von Einflusspfaden wichtig, wenn die soziale Diffusion von Meinungen und Einstellungen oder die Ausbreitung von Epidemien in einem Kontaktnetzwerk den Gegenstand der Untersuchung bilden. In diesem Sinne ist es wichtig, zwischen reinen Zufallsnetzwerken und biased Netzwerken zu unterscheiden. In einem Zufallsnetz wurden Beziehungen zwischen Paaren von Akteuren zufällig generiert. Die klassischen Modelle der Diffusion von Innovationen und der Ausbreitung von Krankheiten in der Epidemiologie 1

2 basieren auf der Annahme der zufälligen Durchmischung der Population. Anatol Rapoport hat dagegen in mehreren grundlegenden Arbeiten die Theorie der biased Netzwerke entwickelt, auf die auch in der vorliegenden Studie zurückgegriffen wird (Rapoport 1951, 1953, 1956, 1957, Solomonoff und Rapoport 1951). In einem biased Netzwerk entstehen Beziehungen zwischen den Akteuren nicht nur rein zufällig. Solche Netzwerke sind als Ausgangspunkt soziologischer Analyse natürlich wesentlich angemessener. Rapoport und Horvath unterscheiden dabei Netzwerke mit einem absoluten und einem relationalen Bias. Bei einem absoluten Bias hat die Zielperson (allgemein ein Knoten im Netzwerk) bestimmte Eigenschaften, die die Wahrscheinlichkeit einer Verbindung erhöhen oder verringern kann. Ein relationaler Bias liegt dagegen vor, wenn Eigenschaften vom Ausgangsund Zielknoten gemeinsam die Wahrscheinlichkeit einer Verbindung beeinflussen wie z.b. die Distanz zwischen zwei Knoten. Verteilungsform. Die spezifische Form der Verteilung von Wahlen in einem Netzwerk kann in komprimierter Form durch ein mathematisches, probabilistisches Modell beschrieben werden. Gelingt es, die Verteilung durch ein Modell angemessen darzustellen, ist also die Diskrepanz zwischen Modell und Beobachtungen gering, können die spezifischen Eigenschaften durch wenige Parameter zum Ausdruck gebracht werden. Die Methodik wird anhand der Freundschaftswahlen von 957 Schülern beschrieben. Die Schüler wurden gebeten, ihren erstbesten, zweitbesten usw. Freund zu nennen (insgesamt acht Freunde), sowie einige Angaben zur Person zu machen. Man erhält auf diese Weise acht Sozimatrizen mit jeweils nahezu einer Million Zellen. Geht man davon aus, dass alle Akteure in gleicher Weise populär sind und jede Person einen erstbesten, zweitbesten usw. Freund benennt, dann wird die Verteilung der n-besten Wahlen einer Poisson-Verteilung entsprechen mit einem Erwartungswert (Mittelwert) von eins. Obwohl alle gleich populär sind, werden rein zufällig einige Personen keine Wahl erhalten, andere dagegen ein, zwei oder mehr Wahlen auf sich ziehen. Der Test des Modells fällt allerdings negativ aus. Tatsächlich weichen die Beobachtungen signifikant von der Poisson-Verteilung ab. Nun führen Rapoport und Horvath in einem zweiten Schritt Heterogenität ein. Es ist sicher realistisch anzunehmen, dass sich die Popularität der Schüler mehr oder minder stark unterscheidet. Unabhängig von den mathematischen Details kann man sich den Prozess 2

3 intuitiv einfach wie folgt vorstellen. Die einzelnen Schüler sind in unterschiedlichem Maße populär, d.h. die Wahrscheinlichkeit, als Freund gewählt zu werden, variiert zwischen den Schülern. Ob nun tatsächlich eine Wahl erfolgt, hängt von einer Reihe von Umständen ab, die nicht prognostizierbar sind. Die Anzahl der Wahlen von Schülern gleicher Popularität folgt damit der Poisson-Verteilung. Im Prinzip verwendet man also wieder die Poisson- Verteilung, wobei allerdings die Intensität des Prozesses (die Popularität der Personen) nicht mehr konstant ist, sondern variieren kann. Technisch gesprochen wird für die Verteilung der Intensität die relativ allgemeine Pearson-Typ-III-Funktion gewählt. Kombiniert mit der Poisson-Verteilung ergibt sich eine negative Binomialverteilung mit zwei Parametern α und γ. Dieses Modell ist als Greenwood-Yule-Verteilung bekannt. Wie Rapoport und Horvath bemerken, erhält man die gleiche Verteilung auch durch einen Ansteckungsprozess. Schüler, die bereits Wahlen erhalten haben, weisen eine höhere Wahrscheinlichkeit auf, weitere Wahlen zu erhalten, d.h. Popularität erzeugt Popularität (Polya-Prozess). Beide Mechanismen, anfänglich gegebene (exogene) Unterschiede der Popularitätswerte oder (endogen) im Zuge des Prozesses variierende Popularitätswerte ergeben schließlich die gleiche Verteilung: Die negative Binomialverteilung. Rapoport und Horvath demonstrieren nun, dass dieses Modell sehr gut mit den Beobachtungen übereinstimmt. Es zeigt sich sogar, dass sich die Verteilungen für die Freundschaftswahlen verschiedener Stufen (erstbester, zweitbester Freund usw.) nicht signifikant unterscheiden, so dass die negative Binomialverteilung auf sämtliche Freundschaftswahlen bezogen werden kann. Nur zwei Parameter α und γ, mit denen sich alle Merkmale der Verteilung bestimmen lassen (Mittelwert, Varianz, Schiefe und die erwartete Verteilung insgesamt), können so die wesentlichen Merkmale von mehreren Mllionen Beobachtungen (wenn man die sämtliche Beziehungen und Nicht-Beziehungen jeweils als Datum betrachtet) komprimiert repräsentieren. Es genügt dann also für den Vergleich verschiedener Schulen oder allgemein für den Vergleich sozialer Systeme, diese beiden Parameter zu betrachten. Konnektivität. Zwischen Zufallsnetzwerken einerseits und dem Extrem der vollständigen Separierung in Cliquen lassen sich unterschiedliche Grade der Konnektivität identifizieren. Der Grad der Konnektivität wird mit einem Modell bestimmt, das über die Erreichbarkeit der Knoten im Netzwerk Auskunft gibt. Den Ausgangspunkt bilden die beiden Größen 3

4 Netzwerkdichte und die Anzahl der Knoten. Nun wird ein kleiner Anteil von Knoten p 0 ausgewählt. Von diesen Knoten führen Beziehungen zu anderen Knoten, aber auch zu Knoten, die bereits in p 0 enthalten sind. Der neu erreichte Anteil wird mit p 1 bezeichnet. Von dort aus wird die tracing Prozedur wiederholt und p 2 ermittelt usw. bis schließlich keine neuen Knoten mehr erreicht werden. Die Erwartungswerte für p 1, p 2, p 3 wurden in grundlegenden Arbeiten von Rapoport (1951, 1953, Solomonoff und Rapoport 1951) für Zufallsnetzwerke und Netzwerke mit Bias abgeleitet. Die theoretisch erwarteten Werte werden mit den beobachteten Werten verglichen, wobei sich wiederum zeigt, dass die Modellprognosen des Zufallsnetzwerks stark von den Beobachtungen abweichen. Wie zu erwarten hat das Schülernetzwerk einen Bias. Dieser wäre extrem, wenn nur separate Cliquen existieren würden. Zwischen dem Extrem des Zerfalls in abgeschlossene Cliquen und dem Zufallsnetzwerk gibt es viele Zwischenstufen der Konnektivität, die durch einen Parameter θ ausgedrückt werden. Der Parameter nimmt Werte im Bereich null bis eins an (0 θ 1) und misst das Ausmaß der Überlappung von Cliquen. Weiterhin wird wieder davon ausgegangen, dass nicht alle Schüler in gleicher Weise populär sind. Popularität wird jetzt der Einfachheit halber als binäres Merkmal definiert und die Anzahl N der Knoten auf eine Anzahl N* der effektiven (populären) Knoten reduziert. Die beiden Parameter θ und N* werden anhand der Daten geschätzt. Mit diesen beiden Parametern gelingt eine sehr gute Anpassung des Modells an die Daten. In einer Folgearbeit werden einige Probleme des Modells analysiert und behoben (Foster, Rapoport und Orwant 1963). Vor allem wird die Annahme der einfachen Aufteilung in populäre und nicht-populäre Akteure durch eine Annahme über relationale Konnektivität ersetzt. Das verbesserte Modell enthält zwei freie, an empirischen Daten zu schätzende Parameter. Eine weitere Analyse der Daten durch Foster und Horvath (1971) betont die Rolle der Reziprozität von Freundschaftswahlen. Eine Diskussion verschiedener probabilistischer Modelle sozialer Netzwerke findet sich in Rapoport (1979/1980). Die Arbeit von Rapoport und Horvath und Folgestudien zeigen, dass eine sehr große Zahl von beobachteten soziometrischen Relationen mit einem sparsamen mathematischen Modell beschrieben werden können. Verschiedene soziale Netzwerke von Schulen, Firmen, Organisationen usw. können dann lediglich bezüglich der Parameterwerte verglichen werden. Weiterhin wird das Ausmaß der Diffusion von Meinungen, Einstellungen und 4

5 Innovationen sowie die Ausbreitung von Epidemien wesentlich von der Konnektivität des Netzwerks abhängen. Der Artikel von Rapoport und Horvath bettet sich ein in ein umfangreiches, von Anatol Rapoport (1951) begonnenes und über Jahrzehnte entwickeltes Forschungsprogramm. Dieses Programm ist heute in hohem Maße aktuell und wird mit Forschungen im Bereich der Sozialwissenschaften, Informatik, Biologie und anderen Wissenschaften, die sich mit Modellen der Netzwerkanalyse befassen, fortgesetzt. Andreas Diekmann Literatur Foster, Caxton C; Rapoport, Anatol; Orwant, Carol, A Study of a Large Sociogram II. Elimination of Free Parameters, Behavioral Science 8: Foster, Caxton C.; William J. Horvath, A Study of a Large Sociogram. Social Choice Probabilities as a Measure of Social Distance, Behavioral Science 16: Moreno, Jacob L., 1967 [1934]. Die Grundlagen der Soziometrie. Wiesbaden: Springer. Solomonoff, R., & Rapoport, Anatol, Connectivity of Random Nets. Bulletin of Mathematical Biophysics 13: Rapoport, Anatol, Nets With Distance Bias. Bulletin of Mathematical Biophysics 13: Rapoport, Anatol, Spread of Information Through a Population With Sociostructural Bias. Bulletin of Mathematical Biophysics 15: Rapoport, Anatol, The Diffusion Problem in Mass Behavior. General Systems 1: Rapoport, Anatol, Contribution to the Theory of Random and Biased Nets. Bulletin of Mathematical Biophysics 19: Rapoport, Anatol, 1979/1980. A Probabilistic Approach to Networks. Social Networks 2: