Computergestützte Mechanik

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1 Technische Universität Chemnitz Wintersemester 009/10 Institut für Physik Di, Prof. Dr. A. Thränhardt Abgabe: Montag, 1. Februar 010 Stehaufkreisel Computergestützte Mechanik 3. Projekt Der Stehaufkreisel (Englisch: Tippe top) ist ein älteres Spielzeug, das sich Frl. Helene Sperl aus München 1891 patentieren ließ. Schon lange vorher hatten Kinder aus dem Amazonasgebiet mit Kalebassenkreiseln gespielt, die sich auf den Kopf stellten. Anfang der 50er Jahre des 0-ten Jahrhunderts brachte ein englischer Spielzeugfabrikant mit großem Erfolg einen Stehaufkreisel aus Plastik auf den Markt, der selbst Nobelpreisträger, Könige und Politiker in seinen Bann zog. Winston Churchill soll stundenlang in seinem Arbeitszimmer gekniet und damit gespielt haben. Abb. 1: Bei der Aufrichtung geht der durch einen schwarzen Punkt markierte Schwerpunkt in die höchste Lage. Die Richtungen des Drehimpulses L und der Winkelgeschwindigkeit ω ändern sich bei der Aufrichtung nur wenig. Die in der Abbildung 1 dargestellte Form des Stehaufkreisels besteht aus einer hohlen, abgeschnittenen Kugel mit einem aufgesetzten Stift. Ohne Drehung oder mit geringer Drehzahl ist die Lage ANF stabil; der Kreisel wackelt wie ein Stehaufmännchen hin und her, da der Schwerpunkt S unterhalb des Kugelmittelpunktes M liegt. Dieses einfache Verhalten ändert sich grundlegend, wenn man den Kreisel in eine schnelle Rotation ψ(0) um die Symmetrieachse versetzt: Man beobachtet dann ein erstaunliches Phänomen: Die Position ANF ist nun instabil; der Kreisel neigt sich immer stärker zur Seite, der Neigungswinkel ϑ wird laufend größer. Dabei dreht sich nun der Kreisel nicht nur mit der Winkelgeschwindigkeit ψ um die Symmetrieachse, sondern gerät auch schnell in eine überraschend große Präzession ϕ um die raumfeste vertikale Achse. Schließlich berührt der Stift den Boden, und einen Augenblick haben Kreisel und Unterlage zwei Berührungspunkte. Nach dem Bruchteil einer Sekunde richtet sich der Kreisel fast ruckartig auf dem Stift auf und rotiert stabil in der Position END weiter. Der Schwerpunkt S hat die höchste Lage erreicht. Die stabile Rotation in der Lage END dauert so lange an, bis die Reibung die Winkelgeschwindigkeit unter einen kritischen Wert gedrückt hat. Dann taumelt der Kreisel und geht langsam in die Ausgangslage ANF zurück. 1

2 Laut Experiment ändern Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit ihre raumfeste (nahezu vertikale) Richtung bei der Aufrichtung des Kreisels kaum (siehe die Drehsinne in Abbildung 1). Die numerischen Rechnungen bestätigen diese überraschende Beobachtung. Daher ist der Drehimpulssatz L = M, der in der Literatur gerne für die Veranschaulichung von allen möglichen Kreiseleigenschaften herangezogen wird, beim Stehaufkreisel nutzlos, wenn die Aufrichtung anschaulich - nicht, wenn sie mathematisch - begründet werden soll. Leider gibt es keine leicht verständliche und einprägsame Erklärung für die Aufrichtung. Die Ursache für das Verhalten des Stehaufkreisels ist in den Bewegungsgleichungen verborgen. Sie sind trotz des einfachen Aufbaus des Kreisels sehr kompliziert und können nur numerisch gelöst werden - abgesehen von uninteressanten Spezialfällen. Entscheidend für die Aufrichtung ist die Reibungskraft des Kreisels auf dem Boden, denn da die potentielle Energie bei der Aufrichtung größer wird, muss die kinetische Energie (unabhängig von den Reibungsverlusten) kleiner werden: T End I 3 ω End < T Anf I 3 ω Anf Folglich muss auch der Drehimpuls, der während der ganzen Bewegung seine nahezu vertikale Richtung nicht wesentlich ändert, kleiner werden: L End I 3 ω End < L Anf I 3 ω Anf Daher ist ein vertikales Drehmoment erforderlich. Es kann nur durch horizontale Kräfte aufgebracht werden. Die einzige horizontale Kraft, die der über den Boden rutschende Kreisel erfährt, ist die Reibungskraft. Wir stellen also fest: Ohne Reibungskraft ist eine Aufrichtung nicht möglich. Wenn der Kreisel auf einer völlig glatten Oberfläche reibungsfrei rutscht, erfolgt keine Aufrichtung. Die Reibung kann allerdings nicht genau angegeben werden - alleine schon deshalb, weil Staubpartikel und Unregelmäßigkeiten der Oberflächen die Reibung stark beeinträchtigen. Wir verwenden hier folgenden Ansatz für die Reibung: Aufgrund der Elastizität wird der Kreisel unten etwas eingedrückt und berührt daher die Unterlage nicht - wie beim Coulombschen Reibungsgesetz angenommen - in einem Punkt, sondern auf einer kleinen, kreisförmigen Fläche. Da diese Fläche zugleich eine Translation und eine Rotation ausführt, haben ihre infinitesimalen Flächenelemente verschiedene Geschwindigkeitsvektoren und daher sowohl dem Betrage als auch der Richtung nach verschiedene infinitesimale Reibungskräfte d R. Integration der Reibungskräfte d R über die Berührungsfläche liefert die gesamte Reibungskraft. Sie ist für nicht zu kleine Winkelgeschwindigkeiten proportional zur Gleitgeschwindigkeit R = k m (g + z S ) v K, wobei z S die z-koordinate des Schwerpunkts und v K die Geschwindigkeit des Kreiselpunkts, der momentan über den Boden rutscht, bezeichnet.

3 Der Boden soll weich sein, weil ein harter, unnachgiebiger Boden zwei Nachteile hat: Die Bewegungsgleichungen des Kreisels auf hartem Boden sind extrem steif und können daher nur mit aufwendigen numerischen Verfahren, die auf steife Differentialgleichungen spezialisiert sind (wie z.b. das Gearsche Verfahren), zuverlässig gelöst werden 1. Bei einem weichen Boden sind die Differentialgleichungen nicht steif und es treten keine gravierenden numerischen Probleme auf. Bei einem harten Boden gilt für die z-komponente des Schwerpunktes die Zwangsbedingung z S = r a cos ϑ z S = a( ϑ sin ϑ + ϑ cos ϑ). Die Bezeichnungen sind aus Abbildung ersichtlich. Der Aufrichtung des Kreisels ist eine Nutation überlagert, so dass ϑ(t) nicht monoton wächst, sondern in großen Teilen der Bewegung abwechselnd steigt und fällt. Wegen dieses typischen Kreiseleffektes kann z S beim zwischenzeitlichen Hochschwingen des Stiftes auch bei hartem Boden auf g = 9, 81m/s fallen, so dass der Kreisel eventuell vom Boden abhebt und einen kleinen Luftsprung macht! (In Experimenten können die Luftsprünge an einem Rattern akustisch erkannt werden.) Der folgende Aufprall auf den Boden kann nur bei einem nachgiebigen Boden realistisch simuliert werden. Der Einfachheit wegen berechnen wir nur die Bewegung einer inhomogenen Kugel - ohne Stift. Der Stift ist für den Stehaufeffekt unwichtig; er macht die Aufrichtung nur spektakulärer und ermöglicht ein schnelles Andrehen per Hand. Abgesehen von dem in Abbildung dargestellten Doppelkontakt werden inhomogene Kugel und Stehaufkreisel durch dieselbe Physik beschrieben. Wegen des weichen Bodens hat der Kreisel sechs Freiheitsgrade. Als generalisierte Koordinaten bieten sich die drei Schwerpunktkoordinaten x S, y S, z S sowie die Euler-Winkel ϕ, ϑ, ψ an. Abb. : Stehaufkreisel mit den Abmessungen r,r und a,a beim flüchtigen Doppelkontakt am Boden. 1 Ein System von Differentialgleichungen heißt steif, wenn für die Realteile der Eigenwerte λ i der Jacobi-Matrix gilt: Re(max λ i ) Re(min λ i ) = Re(λ max) Re(λ min ) 1 Da diese Definition gelegentlich Probleme bereitet, definiert man auch: Differentialgleichungen heißen steif, wenn sie durch die herkömmlichen numerischen Verfahren (z.b. Runge-Kutta-Verfahren) nicht zuverlässig gelöst werden können 3

4 Für die Eindrücktiefe s des weichen Bodens gilt z S = r a cos ϑ s s = r z S a cos ϑ. Die potentielle Energie des weichen Bodens ist daher V Boden = D s = D (r z S a cos ϑ). Die Lagrangefunktion lautet dann L = m (ẋ S + ẏ S + ż S) + I 1 ( ϕ sin ϑ + ϑ ) m g z s D (r z s a cos ϑ). + I 3 ( ϕ cos ϑ + ψ ) (1) Da Reibung keine konservative Kraft ist, wird zu ihrer Behandlung eine sogenannte Dissipationsfunktion eingeführt. r K und v K sind der Orts- und Geschwindigkeitsvektor des kreiselfesten Punktes, der momentan über den Boden rutscht. Es gilt mit R j = R r K q j = km (g + z S )v K v K v K r K q j = km (g + z S )v K v K q j = km (g + z S ) ˆP q j ˆP : = v K. Auf eine Herleitung der Dissipationsfunktion soll hier verzichtet werden (siehe F. Kuypers, Klassische Mechanik, Kapitel 6.). Wir definieren eine effektive Schwerebeschleunigung g eff := g + z S. Wenn g eff bei der Ableitung der Dissipationsfunktion nach den Geschwindigkeiten q j als Konstante behandelt wird und erst nach Aufstellung der Lagrangegleichungen wieder durch die veränderliche Größe g + z S ersetzt wird, dann dürfen wir mit der Dissipationsfunktion P = kmg eff ˆP = k mg effv K () arbeiten. Da die Reibungskraft nur in horizontaler Richtung wirkt, muss die z-komponente von v K gleich Null gesetzt werden; das geschieht aber erst unmittelbar vor Gleichung (3). Für die Dissipationsfunktion P muss v K als Funktion der sechs generalisierten Koordinaten und ihrer Zeitableitungen geschrieben werden. Es gilt v K = v S + ω r SA mit r SA = Vektor von S zum Auflagepunkt A. Er hat nach Abbildung () die raumfesten Koordinaten cosϕ sin ϕ 0 0 a sin ϕ sin ϑ r SA = sin ϕ cos ϕ 0 a sin ϑ = a cos ϕ sin ϑ (r a cos ϑ) a cosϑ r 4

5 Die raumfesten Koordinaten von ω lauten ψ sin ϑ sin ϕ + ϑ cos ϕ ω = ψ sin ϑ cos ϕ + ϑ sin ϕ ϕ + ψ cos ϑ ẋ S ψ sin ϑ sin ϕ + ϑ cos ϕ v K = ẏ S ż S + ψ sin ϑ cosϕ + ϑ sin ϕ ϕ + ψ cos ϑ = ẋ S + (a ϕ + r ψ) cos ϕ sin ϑ ϑ(r a cos ϑ) sin ϕ ẏ S + (a ϕ + r ψ) sin ϕ sin ϑ ϑ(r a cos ϑ) cos ϕ ż S ϑa sin ϑ a sin ϕ sin ϑ a cos ϕ sin ϑ a cos ϑ r = Wir streichen die z-komponente von v K, da sie keinen Beitrag zur Reibung liefert. Nach einigen Umformungen ergibt sich die Dissipationsfunktion als Funktion der sechs generalisierten Koordinaten und ihrer Zeitableitungen: P = 1 kmg effvk = = k [ mg eff ẋ S + ẏs + (a ϕ + r ψ) sin ϑ + ϑ (r a cos ϑ) +(a ϕ + r ψ) sin ϑ(ẋ S cos ϕ + ẏ S sin ϕ) ϑ(r a cos ϑ)(ẋ S sin ϕ ẏ S cosϕ) (3) Mit den Abkürzungen L qj := d ( ) L dt q j L q j + P q j und c := kmg eff = km(g + z S ) lauten die Bewegungsgleichungen für eine inhomogene Kugel, die mit der sogenannten Contensou-Reibung über einen weichen Boden rutscht: L ϕ = d [ I 1 ϕ sin ϑ + I 3 ( ϕ cos ϑ + dt ψ) cos ϑ [ + ca sin ϑ (a ϕ + r ψ) (4) sin ϑ + ẋ S cos ϕ + ẏ S sin ϕ = 0 I 3 I 1 L ϑ = I 1 ϑ + ϕ sin(ϑ) + I 3 ϕ ψ sin ϑ + D a sin ϑ(r z S a cos ϑ) + c(r a cos ϑ)[ ϑ(r a cos ϑ) ẋs sin ϕ + ẏ S cos ϕ = 0 L ψ = d [ I 3 ( ϕ cos ϑ + dt ψ) [ + cr sin ϑ (a ϕ + r ψ) sin ϑ + ẋ S cos ϕ + ẏ S sin ϕ = 0 (6) [ L xs = mẍ S + c ẋ S + (a ϕ + r ψ) sin ϑ cos ϕ ϑ(r a cos ϑ) sin ϕ = 0 (7) [ L ys = mÿ S + c ẏ S + (a ϕ + r ψ) sin ϑ sin ϕ ϑ(r a cos ϑ) cos ϕ = 0 (8) L zs = m z S + mg D(r z S a cos ϑ) = 0 (9) (5) 5

6 Aufgaben a) Bringen Sie die Differentialgleichungen auf eine numerisch lösbare Form. b) Lösen Sie das Gleichungssystem mit Hilfe eines Runge-Kutta-Algorithmus, möglichst mir variabler Schrittweite. Unterscheiden Sie dabei die folgenden vier Phasen: Abb. 3 Phase=1: Die Hauptkugel rutscht über den Boden. Die Gleichungen (4-9) gelten. Phase=: Die Hauptkugel fliegt durch die Luft. Die Gleichungen (4-9) gelten mit D = 0 und k = 0 bzw. c = 0. Phase=3: Hauptkugel und Stift berühren den Boden zugleich. Hier ist zu berücksichtigen, dass Reibungs- und Normalkräfte in beiden Auflagepunkten auftreten. Phase=4: Der Stift rutscht über den Boden. Die Differentialgleichungen (4-9) gelten auch hier, wenn nur r durch r und a durch a ersetzt werden (siehe Abbildung ). Hinweis: Um zu sehen, ob der Kreisel sich aufstellt, tragen Sie die Bewegungsphasen und den Winkel ϑ gegen die Zeit auf. Mit den folgenden Parametern und Anfangsbedingungen sollte sich der Kreisel nach etwa 0,8s aufstellen: m = 15g I 1 = I = 3, kg m I 3 = 4, 10 6 kg m D = 14715N/m k = 30s/m r =, 5 10 m r = 0, 5 10 m a = 0, 5 10 m a =, 7 10 m ϑ(0) = 0, 1Rad ψ(0) = 350Rad/s z S (0) = r a cos ϑ(0) mg/d =, m Die restlichen neun Anfangsbedingungen sind null. aus: F. Kuypers, Klassische Mechanik, WILEY-VCH, 8.,erweiterte Auflage, 008 6