Quantenmodelle Anfängerpraktikum an der Universität Konstanz Claire-Denise Frese & Eva-Johanna Hengeler

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1 ************************************************************************** Quantenmodelle Anfängerpraktikum an der Universität Konstanz Claire-Denise Frese & Eva-Johanna Hengeler **************************************************************************

2 Inhaltsverzeichnis Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 3 2 Physikalisches Hintergrundwissen Der Rohrresonator Der Kugelresonantor Versuche Der Rohrresonator ohne Irisblenden Der Kugelresonator ohne Zwischenringe Der Kugelresonator mit Zwischenringen Rohrresonator mit Zwischenringen Das Wasserstoffmolekül Transferfunktion Fragen und Aufgaben 29 5 Literatur 32 2

3 Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler 1 Vorwort In dem Versuch Quantenmodelle soll der abstrakte Begriff der Wahrscheinlichkeitswelle durch Schallwellen verdeutlicht werden. Wird eine Schallwelle durch einen Rohrresonator geleitet, so dient dieser als Modell für den unendlich hohen Potentialtopf. Setzt man Blenden zwischen die Segmente des Rohrresonators, zeigt die Konstruktion ein Analogon zur Bandstruktur eines Festkörpers. Genauso simuliert ein einfacher Kugelresonantor das Wasserstoffatom H, ein Doppelter das Wasserstoffmolekül H 2. 2 Physikalisches Hintergrundwissen 2.1 Der Rohrresonator Der Rohrresonator ist lediglich ein Rohr, dessen Enden durch einen Lautsprecher und ein Mikrofon abgeschlossen werden. Betrachten wir zunächst den Rohrresonator ohne Blenden. Da die Länge des Rohres viel größer als sein Durchmesser ist, genügt es die eindimensionale Abbildung 1: Stehende Wellen im Rohrresonator [1] Ausbreitung entlang der Länge zu betrachten. Trifft eine Welle Ψ(x, t) auf das Ende des Rorresonators, so wird sie Reflektiert. Dabei behält sie ihre Amplitude bei, wechselt aber die Ausbreitungsrichtung. Entsteht dabei wieder die gleiche Welle, so nennt man diese eine stehende Welle mit der Resonanzfrequenz f. Bei stehenden Wellen verändert sich die Lage der Schwingungsbäuche und -knoten zeitlich nicht. Um diesen Effekt zu erreichen, muss die Rohrlänge L ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge λ sein. L = 1 2 nλ n = nv 2f n, n N (1) Dabei ist v die Schallgeschwindigkeit. Betrachtet man die Bewegung der Luftteilchen, so können sie nicht durch das geschlossene Ende entweichen. Ihre Schwingung besitzt also an den Enden einen Knoten und nennt diese abgeschlossen. Betrachtet man allerdings die Druckwelle p(x, t) so wird dieser am Ende nicht festgehalten. Das bedeutet wir haben zwei offene Enden und somit Schwingungsbäuche (Extrema der Schwingung) am Rand. Somit gilt: p x = p x=0 x = 0 (2) x=l 3

4 2.1 Der Rohrresonator Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Aus diesen beiden Bedingungen kann man die resultierende stehende Welle durch die Gleichung p(x) = A cos(k n x) = A cos( 2π v f n x) charakterisieren, wobei k n = 2π (1) 2π λ n v f n (3) die Wellenzahl ist. Diese Beziehung nennt sich Dispersionsrelation. Betrachtet man den unendlich hohen Potentialtopf, so sieht man, dass dieser das quantenmechanische Analogon zum Rohrresonator darstellt. Wir betrachten auch hier den eindimensionalen Fall, wobei für das Potential V (x) gilt:, x < 0 V (x) = 0, 0 x L, x > L. (4) Abbildung 2: Stehende Wellen im Unendlich hohen Potentialtopf [1] Da die entstehende Welle die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens ausdrückt, welches sich nur in 0 < x < L befinden kann, muss die Wahrscheinlichkeit an den Wänden konstant Null sein. Somit ergibt sich eine stehende Welle, die die gleiche Wellenzahl k und Wellenlänge λ besitzt, wie die im Rohrresonator. Allerdings ist die Funktion um π 2 phasenverschoben zur Druckwelle. Betrachten wir nun den Fall, dass der Rohrresonator aus mehreren Rohrsegmenten zusammengesetzt ist, welche je mit Irisblenden voneinander getrennt werden. Für m verwendete Rohrsegmente treten im Frequenzspektrum m Peaks in der Nähe der jeweiligen ursprünglichen Resonanzfrequenz auf. Dadurch wird die Lücke zwischen den neu auftauchenden Resonanzen verringert, bis für m das Resonanzspektrum aus quasi zusammenhängenden Bändern besteht. Zwischen diesen kontinuierlichen Bereichen bleiben sogenannte Bandlücken bestehen. Die Irisblenden filtern aus dem Resonanzspektrum gewisse Frequenzen heraus, da die Wellenfunktion an der Stelle näherungsweise einen Knotenpunkt besitzen muss. Dieses Hindernis führt zu den Bandlücken. 4

5 2.1 Der Rohrresonator Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler So etwas kann man auch in der Festkörperphysik beobachten. Wir wissen dass ein Elektron nur bestimmte, diskrete Energie besitzen darf. Bringt man nun zwei Atome in unmittelbare Nähe, so wechselwirken diese und die erlaubten Energiezustände spalten sich auf. Betrachten wir nun Atome mit vielen Elektronen, so entstehen quasi kontinuierliche Energiebänder, die Bandlücken bleiben allerdings bestehen. Abbildung 3: Aufspaltung der Energieniveaus [3] Betrachen wir nun ein Kristallgitter, in dem die Atome regelmäßig angeordnet sind. Die Überlagerung des Coulumb-Potentials kann man in untenstehender Abbildung sehen. Wie man dort erkennen kann, ist es möglich, dass sich die Potentialtrichter überschneiden und wir ein durchgängiges Band erhalten. Das Unterste Band, bei dem das der Fall ist, wird Leitungsband genannt. Abbildung 4: Energiebänder im Kristallgitter [3] 5

6 2.2 Der Kugelresonantor Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler 2.2 Der Kugelresonantor Wir untersuchen nun die Resonanzen des Kugelresonantors und versuchen wie beim Rohrresonator eine Parallele zur Quantenmechanik zu finden. Der Kugelresonator besteht aus zwei Hohlkugelhälften, in die Mikrofon und lautsprecher eingebaut sind (siehe Abbildung 5), welche gegeneinander verdrehbar sind. Aufgrund der Kugelsymmetrie behandeln wir das Problem in Polarkoordinaten. Für die Druckwelle des Schalls gilt nach der Helmholzgleichung mit dem Ansatz p( r, t) = p( r) cos(ωt) die stationäre Druckverteilung: ω2 p( r) = p( r), c2 Abbildung 5: zeigt den Aufbau des bei uns verwendeten Kugelresonantors = 1 ( [1] r 2 r 2 ) 1 + r r r 2 sin θ θ r 2 sin θ ϕ 2 (5) Man kann diese Differentialgleichung in einen radialen Anteil f(r) und einen winkelabhängigen Anteil Yl m (θ, ϕ) aufspalten. Da die Lösung der Radialgleichung im Experiment unwichtig ist, wird diese hier weggelassen. Die Lösungen des winkelabhängigen Anteils heißen Kugelflächenfunktionen und sind von l und m abhängig. Es kann gezeigt werden, dass l N 0 und l < m < l, m Z gilt, es gibt also für jedes l 2l + 1 Lösung der Differentialgleichung. Die Kugelflächenfunktionen haben folgende Form: Yl m (2l + 1)(l m)! (θ, ϕ) = Pl m (cos(θ)) exp(imϕ) (6) 4π(l + m)! Hierbei sind die Pl m die Legenderepolynome. Alle Kugelflächenfunktionen zu einem bestimmten l haben die gleiche Energie. Desshalb wird, solange der Hohlraum kugelsymmetrisch bleibt, im Spektrum kein Unterschied für die verschiedenen m auffallen. Lösen wir uns allerdings (geringfügig) von der Kugelsymmetrie, wird die Symmetrieachse nicht mehr von der Lautsprecher-Mikrofon-Linie geprägt. Desshalb hebt sich die Entartung der m Zustände für ein bestimmtes l, die m mit dem gleichen Betrag bleiben jedeoch entartet. Das äußert sich im Spektrum indem aus jedem einzelnen Peak eine Gruppe von l +1 Peak wird. Eigentlich sind die Kugelflächenfunktionen nicht mehr die exakte Lösung der Differentialgleichung, aber sie können als Näherung verwendet werden. 6

7 2.2 Der Kugelresonantor Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Abbildung 6: zeigt den Betrag der Kugelflächenfunktionen Y m l (θ, ϕ) [1] Der Kugelresonantor kann als Modell für ein Wasserstoffatom fungieren. Betrachten wir dazu das Wasserstoffatom näher: Um die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons, das sich im Coulomb-Potential befindet, zu erfahren, müssen wir die zeitunabhängige, dreidimensionale Schrödingergleichung lösen. Auch hier ist es einfacher das Problem in Kugelkoordinaten zu betrachten. Wählt man einen zu (5) ähnlichen Ansatz: ψ(r, θ, ϕ) = Yl m (θ, ϕ) R n, l(r), bekommt man die gleiche winkelabhängige Differentialgleichung. In der Radialgleichung unterscheiden sich das Wasserstoffatom und der Kugelresonator, da hier eine Abhängigkeit zur Hauptquantenzahl n (siehe unten) besteht, welche dafür sorgt, dass die beiden Systeme unterschiedliche Energien aufweisen. Da wir die Radialteile nicht ausmessen können, kann der Unterschied für den Versuch vernachlässigt werden. [1] An dieser Stelle möchten wir auf die Quantenzahlen eingehen. Betrachten wir das Schalenmodell in der Chemie, so gibt es die K-Schale (n = 1), die L-Schale (n = 2) usw. n wird als Hauptquantenzahl bezeichnet und ist ein Maß für die 7

8 2.2 Der Kugelresonantor Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Energie des Elektrons. Allerdings können nicht alle möglichen Zustände des H-Atoms nur mit der Hauptquantenzahl beschrieben werden, man benötigt die Nebenquantenzahlen l und m. Die Bahndrehimpulsquantenzahl l gibt das Orbital an, auf dem sich ein Elektron befinden kann, z.b. das s-orbital (l = 0), p-orbital (l = 1)... Zusätzlich gibt es die magnetische Drehimpulsquantenzahl m, welche die räumliche Orientierung des Bahndrehimpulses angibt. Der Wert für m kann sich nur im Intervall [ l, l] befinden, wobei m eine ganze Zahl ist. Die Spinnquantenzahl gibt die Orientierung des Eigendrehimpulses des Teilchens zur z-achse an, wobei nur Werte von s = ± 1 2 angenommen werdenn können. Widmen wir uns nun dem Wasserstoffmolekül mit nur einem Elektron, d.h. dem H + 2. Koppelt man zwei Kugelresonatoren mit einer Irisblende, ist es möglich ein positiv Ionisiertes Wasserstoffmolekül zu simulieren. Nähert man zwei Moleküle einander, so fangen die Atomorbitale an sich zu überlappen und sich neu zu Molekülorbitalen ausbilden. Um die Schrödingergleichung weiterhin zu erfüllen, gibt es nur zwei mögliche Überlagerungen, die additive und die subtraktive. das bedeutet es können sich entweder zwei gleichphasige (g) oder zwei gegenphasige (u) Orbitale überlagern. Molekülorbitale werden nach der magnetischen Drehimpulsquantenzahl benannt, m=0 ergibt das σ-orbital, m=1 das π-orbital, usw. Abbildung 7: zeigt die Energieniveaus von unterschiedlichen Orbitalüberlagerungen. [1] Um die die verschiedenen Energieniveaus bei gleicher Symmetrie zu unterscheiden, wird die Hauptquantenzahl n vorangestellt. So entstehen bei einer überlagerung von zwei 1s- Atomorbitalen 1σ u,g -Molekülorbitale (siehe Abbildung 7). Man kann hier gut erkennen, dass die gegenphasige Kopplung der Moleküle Energetischer ist als die gleichphasige. Betrachten wir nun die Überlagerung der Orbitale genauer. Besitzen die beiden Atomorbitale die gleichen Vorzeichen (in der Grafik steht rot für positiv, blau für negativ), so überlagern sie sich bindend. Sind sie entgegengepolt, ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons am Berührpunkt minimal, was man in den folgenden Grafiken als hellen Bereich erkennen kann: 8

9 2.2 Der Kugelresonantor Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Abbildung 8: Diese Abbildung zeigt die Aufspaltung von 1s auf 1σg und 1σu Abbildung 9: Diese Abbildung zeigt die Aufspaltung von 2p auf 2σg und 2σu Abbildung 10: Diese Abbildung zeigt die Aufspaltung von 2p auf 1πg und 1πu 9

10 Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler 3 Versuche 3.1 Der Rohrresonator ohne Irisblenden Aufbau Für diesen Versuchsteil stecken wir zunächst ein Rohr der Länge l = 60cm zusammen, das aus kürzeren Rohren der Länge 7,5cm besteht. An einem Ende des Rohres befindet sich ein Lautsprecher, am anderen ein Mikrofon. Ein Sinusgenerator wird über den TeachSpin- Controller einmal mit dem Rohr verbunden, sodass dort Schallwellen entstehen, und einmal mit dem Oszillator, damit wir die das Rohr eingehende Welle messen können. Das Mikrofon wird ebenfalls über den TeachSpin-Controller mit dem Oszilloskop verbunden, damit wir die Amplitude der überlagerten Welle messen können, die aus der eingehenden und reflektierten Wellen entsteht. Um analoge Messungen mit dem Computerprogramm SpectrumSLC durchführen zu können, werden Oszilloskop und Sinusgenerator nicht benötigt. Stattdessen wird der Lautsprecherausgang des Computers über den TeachSpin- Controller mir dem Lautsprecher des Rohres und der Mikrofoneingang des Computers mit dem Mikrofon des Rohres verbunden. Wir können nun über den Computer die Frequenzen der Wellen modulieren und die entstehenden Amplituden bestimmen. Der Aufbau ist im linken Bild zu sehen, wobei zwischen Mikrofon und Lautsprecher noch ein Resonator anzubringen ist. Abbildung 11: Versuchsaufbau mit ohne Resonator [1] 10

11 3.1 Der Rohrresonator ohne Irisblenden Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Durchführung n f Oszi f Com Tabelle 1: Resonanzfrequenzen Rohrresonator Zuerst verwenden wir den Sinusgenerator und das Oszilloskop. Wir beobachten, wie sich die Amplitude verändert, wenn wir die Frequenz verändern, und notieren uns die Frequenzen, bei denen die Amplitude maximal wird. So bestimmen wir die ersten 10 Resonanzfrequenzen des Rohresonators. Danach verwenden wir den Computer. Wir stellen das Programm SpectrumSLC so ein, dass es die Amplituden der überlagerten Wellen von 0 bis 3000Hz in einem Abstand von 10Hz aufzeichnet. Bei den Maxima der Amplituden sind wieder die Resonanzfrequenzen zu finden. Da wir den Messbereich etwas höher als die 10. mit dem Oszilloskop gemessenen Resonanzfrequenz angesetzt haben, können wir wieder 10 Resonanzen beobachten, die in der Nähe der mit dem Oszilloskop gemessenen liegen. In der linken Tabelle sind die gemessenen Resonanzfrequenzen, nach Ordnung und Messgerät sortiert, zu sehen. Abbildung 12: Rohresonator: Ampilutude in Abhängigkeit der Frequenz (SpectrumSLC) 11

12 3.1 Der Rohrresonator ohne Irisblenden Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Auswertung Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit, führen wir zuerst für die Resonanzfrequenzen eine lineare Regression durch. Hierfür wird die Funktion y=ax+b aufgestellt, wobei y die Resonanzfrequenzen n-ter Ordnung und x die Ordnungszahlen darstellen. Die Steigung A ergibt sich daher als Steigungsdreieck A = fn n. Die lineare Regression wurde mit QTI-Plot durchgeführt, woraus sich die Werte (und ihre Fehler) A Oszi = 288, 3(28)Hz und A Com = 287, 8(34)Hz ergeben. Mit Formel 1 wird gezeigt, was für das Verhältnis Länge und Frequenz gelten muss, damit eine Resonanz entsteht. Stellt man diese nach der Geschwindigkeit um, so ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit Abbildung 13: Resonanzfrequenzen mit linearer Regression v = 2l f n n = 2Al (7) Der Fehler für die Schallgeschwindigkeit wurde wie folgt berechnet δv = v δl + v δa = 2A δl + 2l δl A l (8) Wobei δl = 0, 2cm ist. Hieraus ergibt sich nun v Oszi = 346, 0(45) m s und v Com = 345, 4(52) m s. Diese Werte liegen im Rahmen des Messfehlers nahe an dem wahren Wert der Schallgeschwindigkeit in der Luft c = 343 m s [2]. Außerdem liegen sie auch nah aneinander, wobei die Messung durch den Computer näher am wahren Wert liegt, wodurch schließen lässt, dass das Computerprogramm genauer messen konnte, als wir mit dem Oszilloskop. Allerdings ist zu beachten, dass der vom Computer nur Frequenzen im Abstand von 10Hz ausgesendet wurden, wodurch die Resonanzfrequenzen also nur auf 5Hz genau gemessen werden konnten. Durch eine genauere Untersuchung des Messbereiches hätten also genauere Werte erziehlt werden können. 12

13 3.2 Der Kugelresonator ohne Zwischenringe Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler 3.2 Der Kugelresonator ohne Zwischenringe Aufbau In diesem Versuchsaufbau wird anstatt eines Rohrresonators ein Kugelresonator verwendet, die Schaltung bleibt wie bei der Messung mit dem Computer. Ein Kugelresonator besteht aus zwei Metallzylindern mit je einer halbkugelförmigen Wölbung, die ineinander gesteckt einen kugelförmigen Hohlraum bilden. In einer Halbkugel befindet sich das Mikrofon, in der anderen der Lautsprecher. Betrachtet man den Äquator der Kugel als 0 Linie, befinden sich Mikrofon und Lautsprecher auf jeweils 45. Außen auf den Zylindern kann abgelesen werden, um wie viel Grad Lautsprecher und Mikrofon zueinander verdreht wurden. Bei α = 0 stehen sie genau übereinander, die Anzeige geht bis α = 180. Durchführung Wir stellen den Resonator nacheinander auf die Winkel α = 0, 30, 100, 180 und messen jeweils das Spektrum von Hz. Wir messen wieder ein Spektrum für α = 180. Wir wählen nacheinander die ersten drei Resonanzfrequenzen f Hz, f , f Hz und Werte die nahe an ihnen liegen aus, und erstellen Polarschnitte der stehenden Welle. Hierbei drehen wir das Mikrofon in 10 -Schritten von 0 bis 180 und der Computer bestimmt die Amplitude der Resonanz. Diese Werte werden durch die Symmetrie zu vollständigen Polarschnitten ergänzt. Auswertung Beim der Betrachtung der entstehenden stehenden Wellen im Kugelresonator geht unsere Symmetrie Achse vom Lautsprecher durch den Mittelpunkt, da der Lautsprecher in diese Richtung die Wellen ausstrahlt. Zur vereinfachten Berechnung gehen wir davon aus, dass wenn wir die Wellen in einem Koordinatensystem betrachten die z-achse durch Lautsprecher und Mittelpunkt geht. Drehen wir das Mikrofon also nun, verändern sich dessen Polarwinkel θ und Azimutwinkel ϕ. Da die stehenden Wellen allerdings symmetrisch zur z-achse sind, verändert sich bei Variation des Azimutwinkels nichts, daher können die Werte rein in Abhängigkeit zum Polarwinkel betrachten. Aus diesen Gegebenheiten kann man herleiten, dass für den Winkel zwischen Lautsprecher und Mikrofon gilt θ = 1 2 (cos α 1) (siehe Frage 2). 13

14 3.2 Der Kugelresonator ohne Zwischenringe Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Abbildung 14: Spektrum bei verschiedenen Stellungen von Mikrofon und Lautsprecher zueinander Bei den Spektren, die bei verschiedenen Winkel aufgenommen wurden, fällt auf, dass diese die gleichen Resonanzfrequenzen haben, jedoch unterschiedliche Amplituden. Die Gleichheit der Resonanzen folgt wahrscheinlich aus der Symmetrie der Kugel, die Höhe der Amplituden aus der Position von Mikrofon und Lautsprecher zueinander. Durch die Symmetrie sollte die Amplitude bei 180 am höchsten sein, da dort die Welle gerade vom Lautsprecher auf das Mikrofon trifft. Die Amplitude sollte für immer kleinere Winkel abnehmen. Wie links im Bild, beispielhaft für einen Peak, zu sehen ist, passt diese Überlegung nicht auf unsere Messwerte: bei 0 ist die Amplitude maximal, bei 180 minimal, 100 hat die zweithöchste Amplitude Abbildung 15: Zoom auf einen Peak und 30 die zweitniedrigste. Wären die Werte für 0 und 180 also vertauscht, würde 14

15 3.2 Der Kugelresonator ohne Zwischenringe Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler unsere Überlegung stimmen, dies lässt vermuten, dass wir die Dateien vertauscht und falsch benannt haben. Variationen zwischen den einzelnen Peaks, bei welcher Gradzahl die höchste Amplitude auftrifft, können durch Störungen der Symmetrie der Kugelsymmetrie entstehen. Zum Beispiel entsteht dort wo die Halbkugel aufeinander gesteckt wurden eine Lücke, die durch Zusammendrücken der Halbkugeln verkleinert werden kann. Wir betrachten nun die Polarschnitte die zu den ersten drei Resonanzfrequenzen erstellt wurden. Hierbei wird zur Auswertung jeweils der Polarschnitt gewählt, der am wenigsten Entartungen aufweist. Mit dem Programm PlotYlm können verschiedene Kugelfunktionen zu verschiedenen Quantenzahlen simuliert werden. Hierbei fällt auf, dass die Ordnung der Resonanzn dem Wert der Quantenzahl l entspricht. Die Quantenzahl m ist für den gesamten Zeitraum Null. Auf den nächsten drei Bildern sind die in 3D geplottete Kugelfunktion, ihr Polarschnitt und der von uns gemessene Polarschnitt jeweils zu sehen. Bei der Betrachtung der Bilder fällt auf, dass die ersten beiden Polarschnitte viele Kanten und teils Entartungen aufweisen, die nicht erwartet wurden. Dies kann durch die Beschaffenheit des Kugelresonators entstehen. Der Kugelresonator hat eine kleine Lücke, wo die Halbkugeln zusammengesteckt werden, wodurch die Symmetrie der Kugel und damit die Resonanz gestört werden kann. Dieser Fehler wurde bei der Messung des dritten Polarschnitts wahrscheinlich durch zusammendrücken der Halbkugeln verringert, wodurch dieser vom Aussehen näher am optimalen Ergebnis liegt. Weitere Fehler können durch nicht genaue Einstellung des Winkels α entstehen. Abbildung 16: l=1: sphärische Darstellung, Polarschnitt, gemessener Polarschnitt 15

16 3.2 Der Kugelresonator ohne Zwischenringe Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Abbildung 17: l=2: sphärische Darstellung, Polarschnitt, gemessener Polarschnitt Abbildung 18: l=3: sphärische Darstellung, Polarschnitt, gemessener Polarschnitt Zur genaueren Betrachtung des Aussehens der Polarschnitt werden nun an die Messwerte Legendre-Polynome gefittet. Legendre-Polynome geben Kugelfunktionen verschiedener Ordnungen an, wobei die Ordnung hier unserem Wert für l entspricht. Die Amplitude der Legendre-Polynome musste an unsere Messwerte angepasst werden, hierfür wurde jeweils der maximale Messwert verwendet. Außerdem entspricht das Aussehen des Randes unserer Polarschnitte dem Betrag der Polynome. Es ergibt sich daraus 16

17 3.2 Der Kugelresonator ohne Zwischenringe Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler für die Funktionen P l P 1 = 60 cos α P 2 = 71, 5 0.5(3 cos 2 α 1) P 3 = 69, 6 0.5(5 cos 3 α 3 cos α) Wie man an den unteren Bildern sehen kann, sind sind unsere Messwerte wie oben schon behandelt nicht sehr gut, allerdings lässt sich grob den Verlauf der Legendre-Polynome mit ihnen nachvollziehen. Abbildung 19: Messwerte(schwarz) und Legendre-Polynom(rot) für l=1 und l=2 Abbildung 20: Messwerte(schwarz) und Legendre-Polynom(rot) für l=3 17

18 3.3 Der Kugelresonator mit Zwischenringen Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler 3.3 Der Kugelresonator mit Zwischenringen Aufbau In diesem Versuchsteil wird der selbe Aufbau wie beim Kugelresonator ohne Zwischenringe verwendet. In die Mitte des Kugelresonators können nun in die Mitte Ringe von 3mm Höhe eingesetzt werden, wodurch der Hohlraum zu einer Ellipse wird. Durchführung Zuerst werden drei Zwischenringe mit einer Gesamthöhe von 9mm eingelegt und ein Spektrum von 1.200Hz bis 7.000Hz bei α = 180 in kleinen Messschritten aufgenommen. Als nächstes werden für die ersten zwei Resonanzen f Hz und f die Amplituden zu verschiedenen Winkeln α aufgenommen (analog zu den Polarschnitten). Nun werden wieder Spektren wie oben aufgenommen. Hierbei jeweils eines ohne Zwischenringe und drei mit Zwischenringe mit jeweils der Höhe 3mm, 6mm und 9mm. Auswertung Durch das Einsetzten der Zwischenringe in den Resonator ist die Symmetrieachse der Wellen nicht mehr zwischen Lautsprecher und Resonatormitte, sondern senkrecht entlang der langen Ellipsenache(sie haben in diese Richtung den meisten Platz zum ausbreiten). Daraus folgt, dass wir beim Drehen des Mikrofons nur noch die Abhängigkeit der Funktion vom Azimutwinkel messen. Dabei bleibt der Polarwinkel konstant bei θ = 45, da wir das Mikrofon nicht in seiner Höhe verändern können. Dadurch wird eine andere Winkelabhängigkeit als im vorherigen Versuchsteil untersucht, und die Schnitte sind nicht direkt vergleichbar. Durch im Kugelresonator senkrechte Symmetrieachse gilt außerdem ϕ = α. Abbildung 21: Spektrum für einen Kugelresonator ohne und mit 9mm hohen Zwischenring 18

19 3.3 Der Kugelresonator mit Zwischenringen Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Betrachtet man das Spektrum des Kugelresonators mit und ohne Zwischenringe (oben), so fällt auf, dass die maximalen Amplituden ungefähr konstant sind, sich die Resonanzpeaks jedoch etwas verschoben, und in mehrere Peaks aufspaltet haben. Durch experimentieren mit PlotYlm und vergleichen mit den aufgenommenen Azimutschnitten, die weiter unten zu sehen sind, kommen wir zu dem Schluss, dass der Wert der Quantenzahl l der aufgespalteten Peaks dem des ursprünglichen Peaks bei der Aufnahme ohne Zwischenringe entspricht. Allerdings gilt für die Zwischenringe nicht konstant m=0, sondern pro Peak der auf ein l kommt, erhöht sich m konstant. Dass heißt für den linken der ersten zwei Peaks gilt l=1 mit m=0, für den rechten l=1 mit m=1. Bei den Peaks die zu l=2 gehören fällt auf, dass ein Peak eine Doppelspitze hat, dieser Peak sollte wohl eigentlich in 2 Peaks gespalten sein, sodass in dieser Gruppe jeweils ein Peak für m=0,1,2 existiert. Für die nächsten beiden Gruppen sollte für die Anzahl auch l+1 gelten, was jedoch nur schwer erkennbar ist. Dass diese Peaks nicht genau abgetrennt voneinander sind kann daran liegen, dass Mikrofon und Lautsprecher nicht im richtigen Winkel zueinander ausgerichtet worden sind, oder dass die Symmetrie der Ellipse durch die Lücken, die zwischen den Zwischenringen entstehen, gestört wurde. Der Fehler, der durch die Größe der Lücken entsteht, kann durch Zusammendrücken der Teile verringert, jedoch noch nicht ganz ausgelöscht werden. Betrachtet man die mit PlotYlm aufgenommenen Azimutschnitte, so fällt auf, dass wir in diesem Versuchsteil lediglich den Realteil der Kugelfunktion betrachten konnten, was beim späteren fitten der Kugelfunktion hilfreich ist. Abbildung 22: Erste Resonanz; l=1, m=0: Sphärischer Plot, Azimutschnittplot, aufgenommener Azimutschnitt 19

20 3.3 Der Kugelresonator mit Zwischenringen Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Abbildung 23: Zweite Resonanz; l=1, m=1: Sphärischer Plot, Azimutschnittplot, aufgenommener Azimutschnitt Das Programm SpectrumSLC rechnet automatisch die zu verschiedenen Winkeln aufgenommenen Amplituden zum Polarwinkel θ um, allerdings möchten wir die Veränderung der Amplitude in Abhängigkeit zum Azimutwinkel ϕ betrachten. Da durch den Verlauf der Symmetrieachse α = ϕ gilt, können wir den Azimutwinkel durch Umstellen der in Frage 2 hergeleiteten Beziehung zwischen θ und α bestimmen. Es gilt ϕ = α = arccos(2 cos θ + 1) Nun können wir an unsere Messwerte der Azimutschnitte eine Funktion fitten mit P m 1 = a m cos(mϕ) Wobei a 1 = 67, 5 und a 2 = 32, 7 jeweils die maximale Amplitude darstellt. Abbildung 24: Amplitude in Abhängigkeit vom Azimutwinkel und Erwartungswert (rot) Für m=0 passt der Fit gut zu unseren Messwerten, wo bei der für m=1 nicht passt. Die Funktion ist verschoben, was allerdings an unseren Messwerten liegen kann. Betrachtet 20

21 3.3 Der Kugelresonator mit Zwischenringen Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler man oben den Plot des Azimutschnittes und und unseren Aufgenommenen, fällt auf, dass der obere und untere Teil nicht gleich groß sind. Dadurch ist der mittlere Teil mit geringer Amplitude nach oben verschoben, was erklärt, warum unsere Messwerte bei einem höheren Winkel Minimal werden, als die gefittete Funktion. Außerdem scheint der als Fitparameter ausgewählte Maximalwert zu niedrig zu sein. Das Maximum der angedeuteten Kosinus-Betrags-Funktion scheint weiter oben zu liegen. Abbildung 25: Resonanz bei verschiedenen Ringdicken Wir betrachten nun die Spektren, die zu den verschiedenen Ringhöhen aufgenommen wurden. Im oberen Bild ist die Aufspaltung des ersten Peaks zu beobachten. Die aufgespaltenen Peaks entfernen sich immer weiter voneinander und treten bei immer niedrigeren Frequenzen auf. Ringhöhe f links f rechts f 0mm 2320Hz - 0Hz 3mm 2240Hz 2310Hz 70Hz 6mm 2180Hz 2290Hz 110Hz 9mm 2110Hz 2280Hz 170Hz Tabelle 2: Aufspaltung der Peaks Wir bestimmen die einzelnen Frequenzen der Resonanzen und deren Abstand pro Ringhöhe. Diese tragen wir in ein Diagramm(siehe unten) ein, und legen eine gerade an. es ist deutlich zu erkennen, dass die Aufspaltung linear proportional zur Höhe des Zwischenringes ist. Die Abweichung zwischen gerade und Messwerten kann wieder von den Lücken zwi 21

22 3.3 Der Kugelresonator mit Zwischenringen Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler schen den zusammengesteckten Teilen entstehen. Außerdem erschwert das Zwischenlegen der Ringe das genaue einstellen von Mikrofon und Lautsprecher zueinander, da die Skala auf der einen Halbkugel, und der Strich auf der anderen Halbkugel nun weiter voneinander entfernt sind und man nicht mehr ganz genau bestimmen kann auf welche Gradzahl der Strich zeigt. Abbildung 26: Auspaltung der Resonanzen zu verschiedenen Ringhöhen 22

23 3.4 Rohrresonator mit Zwischenringen Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler 3.4 Rohrresonator mit Zwischenringen Aufbau Es stehen uns, zu den bishergenutzten Messgeräten, in diesem Versuchsteil die Rohrsegmentlängen L 1 =5cm und L 2 =7,5cm und Irisblenden mit einem Durchmesser von d 1 =1cm, d 4 =1,3cm und d 2 =1,6cm zur Verfügung. Der Rohrresonator ist analog zum Versuchsteil Rohrresonator ohne Zwischenringe an den PC zur Messung angeschlossen. Durchführung Zunächst nehmen wir nur für ein Rohrsegment das Frequenzspektrum zwischen 0Hz und 12kHz auf. Im Anschluss koppeln wir mit einer Blende des Durchmessers d 2 ein weiteres Rohrsegment der Länge L 1 und nehmen wieder den gleichen Frequenzbereich auf. Dies wird ein weiteres Mal wiederholt. Man kann beobachten, wie sich die Resonanzfrequenzen pro Rohrsegmentanzahl einmal aufspalten, N Rohrsegmente müssten demnach N Peaks um die ursprüngliche Resonanz besitzen. Abbildung 27: Hier kann man die Aufspaltung der einzelnen Resonanzen erkennen für aufsteigende Rohrsegmentanzahl. links: ein einzelnes Rohrsegment, mitte: zwei Rohrsegmente mit einer Irisblende gekoppelt, rechts: drei Rohrsegmente mit zwei Irisblenden gekoppelt. Danach wurde für ein Rohr, das aus 12 Segmenten der Länge L 1 zusammengesetzt wurde je ein Spektrum für jede Irisgröße aufgenommen. Im Anschluss wurde ein Rohr aus 8 Segmenten der Länge L 2 zusammengesetzt, wobei die Irisgröße d 1 verwendet wurde. Auswertung Am ersten Versuchstag wurde das Resonanzfrequenzspektrum des Rohrresonators (Länge L=60cm) ohne Zwischenringe aufgenommen. Trägt man die Dispersionsrelation f n (k n ) in einem Grafen auf, so kann man deutlich sehen, dass ein linearer Resonanzfrequenz f [Hz] kn Messwerte Ausgleichsgerade Abbildung 28: Dispersionsrelation des Rohrresonators ohne Irisblenden 23

24 3.4 Rohrresonator mit Zwischenringen Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Zusammenhang besteht. Wie im Grundlagenteil beschrieben gilt dabei: f n = v 2π k n 3 wobei k n = nπ L mit der Gesamtlänge des Rohres L, der Schallgeschwindigkeit v und der Frequenz f, die von der Resonanzordnung n N abhängig sind. Betrachten wir nun das zusammengesetzte Rohr sammt Irisblenden, so ist als Erstes zu beachten, dass sich die Gesamtlänge pro Irisblende um 5mm verlängert. So bekommen wir für L 1 eine Gesamtlänge von L 1ges = 12 5cm , 5cm = 65,5cm und L 2ges = 8 75cm + 7 0, 5cm = 63,5cm. Nun untersuchen wir zunächst den Einfluss der Irisblendengröße auf das Frequenzspektrum. Amplitude Blende = 10mm Blende = 13mm Blende=16mm Amplitude Blende = 10mm Blende = 13mm Blende=16mm Frequenz in Hz Frequenz in Hz Abbildung 29: Die rechte Abbildung zeigt das Frequenzspektrum des Rohrresonators mit 12 Segmenten der Länge L 1. In der linken Grafik wurde das zweite Band vergrößert um die unterschiede besser sehen zu können. Man kann hier erkennen, dass das Frequenzband mit steigendem Blendendurchmesser länger wird. Damit verringert sich auch die Bandlücke, verschwindet aber nicht. Ebenso wird die Intensität der einzelnen Peaks größer, d.h. sie sind deutlicher zu erkennen. Liest man mit hilfe eines Plotprogrammes die Resonanzfrequenzen der verschiedenen Ordnungen aus einem der Frequenzspektren, und trägt diese wieder über die Wellenzahl k n auf, so ergibt sich nebenstehendes Bild. Die Resonanzfrequenzen, die keiner Ordnung n eindeutig zugeschrieben werden konnten, da sie, wenn überhaupt, nur als Schulter erkennbar waren, wurden ausgelassen. Die Kanten befinden sich genau an den Orten, wo ein neues Band beginnt. Damit ist die Linearität, die man in Abbildung 28 erkennt hier mit jeder Bandlücke gebrochen. Außerdem kann man erkennen, Resonanzfrequenz f [Hz] kn Rohrlaenge: 75mm Abbildung 30: Dispersionsrelation des Rohrresonators (L=63,5cm) mit Irisblenden (d=1cm) 24

25 3.5 Das Wasserstoffmolekül Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler dass innerhalb eines Bandes weiterhin ein linearer Zusammenhang herrscht und der Proportionalitätsfaktor mit der Ordnung des Bandes kleiner wird. 3.5 Das Wasserstoffmolekül Aufbau und Durchführung Dieser Versuchsteil besteht aus drei Unterversuchen. Zunächst bauen wir den Kugelresonantor analog zum ersten Versuchstag auf und schließen ihn am PC zur Messung an. Nun wird das Spektrum von 0 bis 1000Hz gemessen, wobei sich Mikrofon und Lautsprecher gegenüber stehen, d.h. α = 180. Im Anschluss bauen wir den Kugelresonator so um, dass es ein Wasserstoffmolekül signifiziert. Hierfür stehen uns zwei Halbkugeln zur Verfügung, die ein Loch besitzen (siehe Abbildung 3.5). In dieses Loch können verschiedene Irisblenden (5mm,10mm,15mm,20mm) eingesetzt werden. Nun wird für jede Blendengröße das Frequenzspektrum von 0 bis 1000Hz bei α = 180 aufgenommen. Abbildung 31: zeigt den Versuchsaufbau des durch verschiedene Irisblenden gekoppelten Doppelkugelresonators Als Nächstes wird das Oszilloskop hinter den AC MONITOR und den SINE WAVE IN- PUT geschaltet. Mit Hilfe des Oszilloskops können wir die Zeitdifferenenz der Flanken zwischen Lautsprechersignal und dem jeweiligen Mikrofonsignal (siehe Abbildung 3.5) bestimmen. Der Doppelkugelresonator wird wieder zu einem einfachen Kugelresonantor umgebaut und wie in den vorherigen Versuchsteilen an den PC angeschlossen, um das Spektrum zwischen 2000Hz und 3000Hz bei α = 180 aufzunehmen. Um maximale Kopplung, und somit die deutlichsten Ergebnisse, zu erhalten, benutzen wir die größte Irisblende für den Aufbau des Doppelkugelresonators. Wir nehmen auch bei ihm die Frequenzspektren von 2000Hz bis 3000Hz auf, mit α 1 = 180 und α 2 = 0. 1σ Transferfunktion 1σ Molekülorbital 25

26 3.5 Das Wasserstoffmolekül Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Amplitude A Frequenz f [Hz] 5mm 10mm 15mm 20mm Abbildung 32: 1σ Orbitale für verschiedene Kopplungsgrade Die Nebenstehende Abbildung zeigt die Spektren der 1σ Orbitale des H + 2 Ions für verschiedene Kopplungsgrade. Man kann erkennen, dass für größere Blendenradien eine höhere Intensität erreicht wird. Ebenso vergrößert sich die Resonanzfrequenz. Da die Frequenz mit der Energie einen linearen Zusammenhang beschreibt, können wir aus der Verteilung schließen, dass die Energie mit dem Kopplungsgrad steigt. Amplitude A Einzelkugelspektrum bei 180 Doppelkugelresonator mit 5mm Blende Frequenz f [Hz] Abbildung 33: Energievergleich Dies ist ein erstes Anzeichen, dass es sich um ein antibindendes Molekülorbital handelt. Betrachtet man Abbildung??, so sieht man, dass eine Bindung von zwei 1s Atomorbitalen eine höhere Energie besitzt, falls sie antibindend ist, Energie frei wird, falls es sich um eine bindende Überlagerung handelt. In nebenstehender Abbildung ist das Einzelkugelspektrum für α=180 abgebildet, welches dem Atomorbital 1s entspricht. In diesem Bereich haben wir leider eine sehr geringe Amplitude, es ist jedoch ein Maxima zu erkennen, das klar links vom ersten Peak des Doppelkugelresonators steht. Jeder Peak des gekoppelten Resonators ist somit Energiereicher, was ein weiterer Hinweis für die Beobachtung eines antibindenden Zustandes wäre. Um diesen Verdacht zu festigen betrachten wir die Phasenverschiebung zwischen den beiden Mikrofonsignalen (siehe Abbildung 3.5). Wir erhielten t 1 = µm als Zeitdifferenenz zwischen der Flanke des oberen Mikrofonsignals mit dem Lautsprechersignal und t 2 = µm für das Untere. Diese Zeitdifferenenz kann man mittels der Periodendauer T, die für Mikros und Lautsprecher die selbe ist, in Phasenverschiebungungen umrechnen, sodass gilt: ϕ i = t i T, δ( ϕ i) = t i T 2 δt + 1 T δt i i {1; 2} (9) Für die Phasenverschiebung zwischen den Mikrofonsignalen ergibt sich somit: ϕ = ϕ 1 + ϕ 2 = 0, 81(6)π + 0, 27(3)π = 1, 08(9)π. (10) Es liegt also eine Phasenverschiebung von π vor, das heißt die beiden Mikrofonsignale schwingen gegenphasig. Das zeigt uns, dass hier das 1σ u, also das antibindende Molekülorbital vorliegen muss. 26

27 3.6 Transferfunktion Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler 2p Molekülorbital Betrachten wir nun die nächst höheren Raumfrequenzen. Wir simulieren nun die Kopplung zweier Wasserstoffatome (l = 1) mit dem Frequenzspektrum des Kugelresonators (α = 0 ). Zur besseren Veranschaulichung der Aufspaltung betrachten wir nocheinmal das Bild aus dem Grundlagenteil. Man kann sehen, dass sich zwei Energieniveaus unterhalb, zwei oberhalb des 2p-Niveaus befinden. Außerdem ist die energetische Reihenfolge eindeutig festgelegt. Das bedeutet für unser Frequenzspektrum, dass die Peaks von links nach rechts gesehen folgende sein müssen: 2σ g, 1π u, 1π g, 2σ u. In der Grafik sind zwar nur drei eindeutige Peaks pro Messkurve erkennbar, es deuten sich aber Schultern aus, die auf einen weiteren Peak schließen lassen Einzelkugel 0 0 Amplitude Resonanzfrequenz f [Hz] 3.6 Transferfunktion 27

28 3.6 Transferfunktion Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Abbildung 34: Messung der Transferfunktion Bevor wir am zweiten Versuchstag mit den eigentlichen Messungen begonnen haben, betrachteten wir die Transferfunktion von Lautsprecher zu Mikrofon. Schiebt man die beiden Geräte nahe zusammen und schützt sie mit der Hand von den Geräuschen in der Umgebung, so erkennt man, dass es keineswegs eine lineare Funktion ist, sondern mehrere starke Peaks aufweist. Die Peaks in der nähe von 2000Hz und 4000Hz kann man auf den späteren Frequenzspektren wieder finden, besonders in Abbildung?? (links) fallen beide Peaks auf, da sie nicht wie in anderen Bildern auf eine Resonanzfrequenz fallen. So verschwindet der Peak bei 4000Hz im mittleren Bild von Abbildung??. Betrachtet man die Transferfunktion nur auf einem Intervall von Hz und vergleicht sie mit der Resonanz des Kugelresonantors ohne Blende im selben Frequenzband, so stellt man fest, dass sie von der Form Identisch sind, außer, dass das Transfersignal stärker ist. Abbildung 35: links: Transfersignal, rechts: erster Peak des Resonanzspektrums des Kugelresonantors ohne Blende bei

29 Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler 4 Fragen und Aufgaben Frequenz des Rohrresonators in Abhängigkeit der Ordnungszahl Damit eine Resonanz in einem Rohr entstehen kann muss gelten, dass die Länge des Rohres ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge ist, es gilt daher Formel 1(Siehe außerdem 2.1). Formt man diese Formel um ergibt sich nv fn = (11) 2l Zusammenhang zwischen θ und α Bei der Betrachtung des Kugelresonators ohne Zwischenringe ist das Koordinatensystem um 45 zum Äquator der Kugel verdreht. Daraus ergibt sich, dass der Azimutwinkel α der Kugel nicht der Azimutwinkel des Koordinatensystems ist. Eine Veränderung des Polarwinkels θ des Koordinatensystems lässt sich allerdings durch die Veränderung von α ausdrücken. Hierzu werden die Position des Mikrofons und des Lautsprechers betrachtet. Der Polarwinkel des Kugelkoordinatensystems (Hier ist das Koordinatensystem mit der z-achse senkrecht zum Äquator gemeint) sei ϑ. Der Lautsprecher befinde sich bei αl = 0 und ϑl = 135 (er befindet sich 45 unter dem Äquator), das Mikrofon bei αm = α und ϑm = 45. Die Kugel habe außerdem den Radius r. Für die Ortsvektoren von Abbildung 36: Schematische Innen- L und M gilt also im Kugelkoordinatensystem: ansicht der Hohlku 1 gel cos αl sin ϑl 2 ~ = r sin αl sin ϑl = r 0 L cos ϑl 12 1 cos α cos αm sin ϑm 2 1 ~ = r sin αm sin ϑm = r M 2 sin α 1 cos ϑm 2 Die Hauptachse des bei der Auswertung betrachteten Koordinatensystems geht vom Lautsprecher aus durch den Lautsprecher aus durch die Kugel. Daraus folgt, dass der ~ und M ~ der Polarwinkel θ dieses Koordinatensystems darstellt. Es Winkel zwischen L folgt also cos θ = ~M ~ ~M ~ L L cos α 1 = 2 = ~ M ~ r 2 2 L 29

30 Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler θ = arccos( 1 (cos α 1)) (12) 2 Modenaufspaltung beim Kugelresonator ohne Zwischenringe Beim Kugelresonator ohne Zwischenringe verläuft die Symmetrieachse der Kugelwellen vom Lautsprecher durch den Mittelpunkt der Kugel. Da am Lautsprecher der Schall erzeugt wird, befindet sich dort dann direkt ein Knotenpunkt der Kugelfunktion. Durch die Symmetrie befindet sich auch ein Knotenpunkt am Mikrofon. Die Kugelfunktionen erfüllen dies für beliebige l, aber nur für m=0. Daher werden vom Kugelresonator diese Moden bevorzugt angeregt. Welchem Effekt entspricht die im letzten Teil beobachtete Aufspaltung? Die Aufspaltung der Resonanzfrequenzen entspricht der Aufspaltung der Spektrallinien beim quantenmechanischen Zeeman-Effekt. Bei diesem Effekt wird durch Anlegen eines B-Feldes die Symmetrie gebrochen, wodurch sich die Spektrallinien linear proportional zur Stärke des B-Feldes aufspalten. Diese Beobachtungen sind analog zu unseren Versuch, bloß dass wir zum Erzeugen eines Symmetriebruchs Ringe einlegen und sich nicht die Spektrallinien, sondern die Resonanzfrequenzen aufspalten. Der einzige Unterschied zum Zeeman-Effekt ist, dass die Aufspaltung der Resonanzen symmetrisch ist, im Gegensatz zur Aufspaltung der Spektrallinien. 30

31 Abbildungsverzeichnis Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Abbildungsverzeichnis 1 Stehende Wellen im Rohrresonator [1] Stehende Wellen im Unendlich hohen Potentialtopf [1] Aufspaltung der Energieniveaus [3] Energiebänder im Kristallgitter [3] Aufbau eines Kugelresonantors Kugelflächenfunktionen Energieniveaus von Molekülorbitalen Aufspaltung 1s 1σ Aufspaltung 2p 2σ Aufspaltung 2p 1π Versuchsaufbau mit ohne Resonator [1] Rohresonator: Ampilutude in Abhängigkeit der Frequenz (SpectrumSLC) Resonanzfrequenzen mit linearer Regression Spektrum bei verschiedenen Stellungen von Mikrofon und Lautsprecher zueinander Zoom auf einen Peak l=1: sphärische Darstellung, Polarschnitt, gemessener Polarschnitt l=2: sphärische Darstellung, Polarschnitt, gemessener Polarschnitt l=3: sphärische Darstellung, Polarschnitt, gemessener Polarschnitt Messwerte(schwarz) und Legendre-Polynom(rot) für l=1 und l= Messwerte(schwarz) und Legendre-Polynom(rot) für l= Spektrum für einen Kugelresonator ohne und mit 9mm hohen Zwischenring Erste Resonanz; l=1, m=0: Sphärischer Plot, Azimutschnittplot, aufgenommener Azimutschnitt Zweite Resonanz; l=1, m=1: Sphärischer Plot, Azimutschnittplot, aufgenommener Azimutschnitt Amplitude in Abhängigkeit vom Azimutwinkel und Erwartungswert (rot) Resonanz bei verschiedenen Ringdicken Auspaltung der Resonanzen zu verschiedenen Ringhöhen Aufspaltung der Resonanzen Dispersionsrelation des Rohrresonators ohne Irisblenden Einfluss der Irisgröße auf die Resonanzen Dispersionsrelation mit Irisblenden Versuchsaufbau: Doppelkugelresonator Sigmaorbital Energie bei der 1σ-Orbitalbindung Messung der Transferfunktion Transferfunktion vs. Kugelresonator Schematische Innenansicht der Hohlkugel

32 Tabellenverzeichnis Claire-Denise Lisa Frese & Eva-Johanna Hengeler Tabellenverzeichnis 1 Resonanzfrequenzen Rohrresonator Aufspaltung der Peaks Literatur [1] Runge, Bernd-Uwe Physikalisches Anfängerpraktikum Konstanz 5.9 Quantenmodelle [2] Wikipedia entnommen [3] AG-Jodl Technische Universität Keiserslautern, [4] Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG [5] Prof. Nielaba, Prof. Ganteför Skript zum IK4 32