Versuch A1 - Braggsche Reflexion und Röntgenspektrum. Abgabedatum: 28. Februar 2008

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1 Versuch A1 - Braggsche Reflexion und Röntgenspektrum Sven E Tobias F Abgabedatum: 28. Februar 2008

2 Inhaltsverzeichnis 1 Versuchsziel 3 2 Physikalischer Zusammenhang Röntgenstrahlung Braggsche Reflexion Röntgenabsorption Versuchsbeschreibung 5 4 Auswertung Fehlerrechnung Maximalfehler Vertrauensbereich Bestimmung des Gitterabstands d Erstellung des Spektrums Bestimmung des Schwächungskoeffizienten µ Fehlerdiskussion und Fazit 10 6 Anhang und Diagramme in A4 12 2

3 1 Versuchsziel Aus der Lage der Maxima der Impulsrate monochromatischer Röntgenteilchen, die vom Winkel abhängt, wird der Netzebenenabstand eines LiF-Kristalls ermittelt. Aus dem erhaltenen Wert lässt sich das Röntgenspektrum auslesen. Außerdem wird die Planck-Konstante aus dem Messergebnis bestimmt. Bei der Untersuchung von Röntgenabsorption in Aluminium werden charakteristische Daten des Aluminiums, der Streukoeffizient, der Schwächungskoeffizient und der Absorptionskoeffizient, berechnet. 2 Physikalischer Zusammenhang Zum Verständnis des Versuchsthemas folgen nun Erklärungen zu Erzeugung und Eigenschaften von Röntgenstrahlen, Röntgenspektren und der Röntgenbeugung. Außerdem wird das Prinzip der Braggschen Reflexion erläutert. Zum Schluss wird auf Röntgenabsorption eingegangen. 2.1 Röntgenstrahlung Abb. 1: Schematischer Aufbau einer Röntgenröhre [PPB07] Röntgenstrahlen sind wie sichtbares Licht als em-wellen charakterisiert. Sie liegen im oberen Frequenzbereich ( Hz bis Hz). Somit überschneiden sich Röntgen- mit Gammastrahlen. Der einzige Unterschied liegt in ihrer Entstehung. Während Gammastrahlung durch Kernprozesse entsteht, werden Röntgenstrahlen durch Elektronenvorgänge erzeugt. In Abb. 1 ist ein solcher Vorgang zu sehen: Elektronen werden aus einer Glühkathode gelöst, im E-Feld beschleunigt und auf einer Antikathode aufgefangen. Hierbei entstehen zwei Arten von Röntgenstrahlung, einerseits die Bremsstrahlung, andererseits die charakteristische Strahlung. 3

4 Abb. 2: Schema: Diagramm eines Röntgenspektrums aus Überlagerung von Bremsstrahlung und charakteristischer Strahlung [PPB07] Bremsstrahlung entsteht bei der starken negativen Beschleunigung des Elektrons, bevor es auf die Antikathode auftrifft (beschleunigte Ladungen strahlen). Sie hat ein kontinuierliches Spektrum. Die charakteristische Strahlung entsteht anders: Die auf der Antikathode (hier Molybdän) eintreffenden Elektronen schlagen andere Elektronen aus besetzten Mo-Zuständen heraus. Diese Zustände werden sofort von Valenzelektronen besetzt, bei diesem Übergang wird das diskrete Mo-Spektrum emittiert. Es gibt beim Molybdän die Linien K α bei 71pm und K β bei 61pm. Das Röntgenspektrum, welches wir im Experiment beobachten werden, entsteht aus der Überlagerung jener beiden Strahlungsarten. Es ist in Abb. 2 exemplarisch dargestellt. Die gestrichelte Linie links im Diagramm verdeutlicht das Versuchsspezifische: Außerhalb der unten erklärten Bragg-Bedingung gibt es bei kleinem Winkel α selbstverständlich einen direkt durchgehenden Teil des Röntgenlichts, der detektiert wird. 2.2 Braggsche Reflexion Abb. 3: Schema: Strahlengang bei erfüllter Bragg-Bedingung [PPB07] An einem Einkristall einfallende Röntgenstrahlung wird an dessen Netzebenen reflektiert. Wenn nun zwei parallele benachbarte Strahlen die Bragg-Bedingung 2d sin α B = n λ (1) erfüllen (siehe Abb. 3), interferieren sie konstruktiv. Im ersten Versuchsteil beobachten wir Braggsche Reflektion von Licht einer bestimmten Wellenlänge des Spektrums (Filterung mittels Zirkonfolie), somit 4

5 treten für verschiedene n messbare Maxima auf. Im zweiten Teil betrachten wir ein ganzes Röntgenspektrum, indem wir sein Interferenzmuster mit dem Geiger- Müller-Zählrohr vermessen. Da der Effekt für n = 1 am deutlichsten sichtbar ist, können wir durch Drehung des Einkristalls immer eine bestimmte Wellenlänge, die über obige Formel mit dem Winkel zusammenhängt, ihrer Intensität im Spektrum zuordnen. 2.3 Röntgenabsorption Abb. 4: Zusammenhang Eindringtiefe - Intensität bei der Röntgenabsorption [PPB07] Beim Durchgang durch Materie wird Röntgenstrahlung geschwächt. Es gilt (s. Abb. 4) di = µ I dx I = I 0 e µd. (2) µ setzt sich dabei zusammen aus der echten Absorption τ und aus der materieinternen Streuung σ (µ = τ + σ). µ wird als Schwächungskoeffizient bezeichnet. Da τ λ 4 gilt, muss in Teil 3 des Versuchs erneut der Zirkon-Filter benutzt werden. Als Absorber benutzen wir Aluminium. 3 Versuchsbeschreibung In Abb. 5 auf der nächsten Seite sieht man den Versuchsaufbau: Von der Röntgenröhre im grauen Kasten links wird Röntgenstrahlung emittiert. Das Geiger- Müller-Zählrohr detektiert jedes einfallende Röntgenquant. Es ist an einen Zähler angeschlossen. An der Skala oben kann man den eingestellten Winkel ablesen. Im ersten Versuchsteil wird das Röntgenspektrum mit einem Zirkonfilter so gefiltert, dass nur eine Spektrallinie durchkommt und auf den LiF-Kristall trifft. Der Winkel des Kristalls wird variiert, das Zählrohr ist so justiert, dass es die Intensitätsmaxima nach Bragg-Reflexion aufnehmen kann. Diese werden bestimmt. 5

6 Abb. 5: Versuchsaufbau [PPB07] Im nächsten Versuchsteil wird der Filter entfernt und somit erneut durch Winkelvariation das Röntgenspektrum aufgezeichnet, welches die Röhre erzeugt. Darauf wird der Kristall durch das Absorptionsmaterial Aluminium ersetzt, das dann in verschiedenen Schichtdicken vermessen wird. So bekommen wir das Absorptionsverhalten für Röntgenstrahlung. 4 Auswertung 4.1 Fehlerrechnung Maximalfehler Falls Messgrößen nicht direkt durch Messreihen berechnet werden, sondern durch Einzelmessungen bestimmt werden, so wird in der Regel der Maximalfehler angegeben. Dieser wird gemäß der Formel ( ) f f = x x + f y ȳ +... berechnet. Hierbei entsprechen die x, ȳ,... den Vertrauensbereichen der Mittelwerte oder den geschätzten Fehlern Vertrauensbereich Nimmt man bei einem Versuch mehrere Messungen desselben Wertes unter identischen Versuchsbedingungen auf, so schwanken die Messwerte um einen bestimmten Wert. Der am häufigsten auftretende Wert (Erwartungswert) ist dabei der Mittelwert. Dieser lässt sich auf folgende Weise berechnen: x = 1 N N i=1 x i 6

7 N = Anzahl der Messwerte x i = i-ter Messwert Da auch dieser Wert nur mit einer bestimmten Genauigkeit angegeben werden kann, muss zusätzlich noch der Vertrauensbereich des Mittelwertes bestimmt werden. Hierzu muss zuerst die Streuung S des Mittelwertes folgendermaßen berechnet werden: S = 1 N 1 N (x i x) 2 Unter Verwendung dieser Streuung S kann dann ein Intervall angegeben werden, in welchem der berechnete Mittelwert mit einer bestimmten Genauigkeit liegt. Bei einer kleinen Anzahl von Messwerten ist zusätzlich eine Korrektur mit dem Student-t-Faktor vorzunehmen. Für den Vertrauensbereich des Mittelwertes gilt: x = t S N Für den t - Faktor gilt (bei einer Wahrscheinlichkeit von 95 Prozent) laut Bronstein mit m = N 1: i=1 m t 12,7 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,2 2,08 2, Bestimmung des Gitterabstands d Nachdem die Maxima erster bis dritter Ordnung ermittelt wurden, wird der jeweilige Winkel bestimmt (s.tab.1). Da wir wissen, dass dank des Filters eine Wellenlänge von λ=0,071nm vorliegt, kann nun über die Braggsche Gleichung 2 d sin α = n λ (3) der Gitterabstand d des verwendeten Kristalls bestimmt werden. So erhält man folgende Gitterabstände α 1 = 9, 5 1 0, 071nm d 1 = = 0, 215nm 2 sin 9, 5 α 2 = 20, 0 2 0, 071nm d 2 = = 0, 208nm 2 sin 20, 0 α 3 = 31, 0 3 0, 071nm d 3 = = 0, 207nm 2 sin 31, 0 Als Mittelwert ergibt sich somit d = (0, 21 ± 0, 02)nm 7

8 I. α/ Impulse 8, , , , , , , II. 18, , , , , ,0 302 III. 30, , , , ,0 93 Tab. 1: Die Winkel α der verschiedenen Maxima. 8

9 Abb. 6: Die Intensität über der jeweiligen Wellenlänge λ. 4.3 Erstellung des Spektrums Mithilfe des vorher berechneten Gitterabstands d lässt sich jetzt ebenfalls über die Braggsche Gleichung die Wellenlänge λ zu jedem zugehörigen Winkel α berechnen. Trägt man über diese nun die Intensität auf, so erhält man den Verlauf des kompletten Röntgenspektrums. So kommt man für K α und K β zur Wellenlänge λ = 0, 058nm bzw. λ = 0, 069nm. Aus dem Diagram 6 lässt sich ebenfalls das kurzwellige Ende entnehmen. Für dieses ergibt sich λ = 0, 022nm und eine Anodenspannung von U = 37, 480kV. Nun lässt sich über die Beziehung c h = eu λ min h = eu λ min c = 1, , Js = 4, Js das Planksche Wirkungsquantum h bestimmen. Es ergibt sich h = (4, 4 ± 0, 5) Js Der Literaturwert beträgt h = 6, Js. Die große Abweichung lässt somit an der Genauigkeit des Versuches zweifeln. Eine Fehlerquelle kann sein, dass die Röntgenstrahlung wahrscheinlich schon in der Quelle abgeschwächt wird. 9

10 4.4 Bestimmung des Schwächungskoeffizienten µ Abb. 7: Die Transmission T = I/I 0 über der Schichtdicke d. (logarithmische Darstellung) Hierzu wurde die Transmission T = I/I 0 über der Schichtdicke d aufgetragen. Da I I 0 = e µ d gilt, ergibt sich durch die Regression des Diagrammes 7 µ = (1, 59±0, 12)mm 1. Für den Streuungskoeffizienten σ ergibt sich für das Aluminium folgender Wert σ = e4 µ 4 0 ρn LZ 6πm 2 M = 0, 052mm 1 (4) mit N L = 6, mol 1 als Loschmidt-Konstante, e = 1, C und m = 9, kg als Ladung und Masse eines Elektrons, µ 0 = 1, Vs Am als magnetische Feldkonstante, ρ = 2700 g als Dichte des AL, 26, 982g/mol als cm 3 seine relative Atommasse und Z = 13 als dessen Ordnungszahl. Da gilt: Ergibt sich µ = τ + σ (5) τ = µ σ = (1, 53 ± 0, 12)mm 1 5 Fehlerdiskussion und Fazit Es gibt hier sowohl Quellen für systematische als auch für zufällige Fehler. Zufällige Fehler kommen beim Ablesen der Winkelskala zum Tragen, außerdem kann 10

11 durch die Reaktionszeit beim Zeitmessen mit der Stoppuhr ein Fehler entstehen. Systematische Fehler können entstehen, wenn der Kristall selbst Fehler im Aufbau hat oder wenn der Netzebeneabstand nicht konstant ist, wenn die Kopplung Probenhalter-Zählrohr nicht exakt ist und wenn die angelegte Spannung schwankt. Ein deutlicher Fehler ließ sich bei der Bestimmung der Planck-Konstante beobachten. Dieser ist vermutlich systematischer Natur, da seine Größenordnung eindeutig außerhalb von Ablesefehlern liegt. Bei der Bestimmung von Gitterabstand und Schwächungskoeffizient lassen sich keine besonderen Fehlereinflüsse feststellen. 11

12 6 Anhang und Diagramme in A4 Tabellenverzeichnis 1 Die Winkel α der verschiedenen Maxima Abbildungsverzeichnis 1 Röntgenröhre Röntgenspektrum Bragg-Reflexion Röntgenabsorption Aufbau A Die Intensität über der jeweiligen Wellenlänge λ Die Transmission T = I/I 0 über der Schichtdicke d. (logarithmische Darstellung) Die Intensität über der jeweiligen Wellenlänge λ Die Transmission T = I/I 0 über der Schichtdicke d Quellenverzeichnis PPB07 Versuchsskript W07 Wikipedia 12

13 Abb. 8: Die Intensität über der jeweiligen Wellenlänge λ. 13

14 Abb. 9: Die Transmission T = I/I 0 über der Schichtdicke d. 14