Vertiefungskurs Mathematik am RNG Wangen i.a.

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3 Vertiefungskurs Mathematik am RNG Wangen i.a. c Alois Temmel 6. Januar 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik Schaltkreise Aussagen Verknüpfungen von Aussagen Die Konjunktion A B Die Disjunktion A B Die Negation A Äquivalente Aussagen Tautologie und Kontradiktion Rechenregeln für Verknüpfungen Das Kommutativgesetz Das Assoziativgesetz Das Distributivgesetz De Morgansche Regeln Die Implikation Normalformen Die disjunktive Normalform (DNF) Die konjunktive Normalform (KNF) Ein kleiner Ausflug in die Prädikatenlogik Quantoren Der Existenzquantor Der Allquantor Die Negation von Aussagen mit Quantoren

4 2 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 3 Beweise in der Mathematik Mathematische Sätze Der mathematische Satz Der Kehrsatz Die Kontraposition Beweismethoden Der direkte Beweis Beweis durch Widerspruch (Der indirekte Beweis) Die Kontraposition Beweis durch vollständige Induktion Gleichungen und Ungleichungen lösen Polynomgleichungen Alte Bekannte Polynomdivision Theorie zu Polynomgleichungen Betragsgleichungen Die Betragsfunktion Betragsgleichungen Wurzelgleichungen Beispiele Zusammenfassung Ungleichungen Lösen von Ungleichungen Lineare Ungleichungen Quadratische Ungleichungen Bruchungleichungen Bekannte Ungleichungen Folgen, Reihen und Konvergenz Folgen Rekursive und explizite Folgen Rekursive Folgen Explizite Folgen Konvergenz von Folgen Die ε-n ε -Definition Nullfolgen Das Vergleichskriterium für Nullfolgen Jede Nullfolge ist beschränkt Rechnen mit Nullfolgen Folgen mit Grenzwert a Konvergenzsätze - Rechengesetze für konvergente Folgen Jede konvergente Folge ist beschränkt Reihen als Folgen von Partialsummen

5 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Definitionen und Beispiele Rechnen mit konvergenten Reihen Konvergenzkriterien und absolut konvergente Reihen Mengen und ihre Eigenschaften Zur Definition von Mengen Bezeichnungen Die leere Menge Die Potenzmenge Mengenverknüpfungen, Boolesche Algebra Relationen und Funktionen Das Produkt zweier Mengen Relationen Ordnungsrelationen Äquivalenzrelationen Funktion und Umkehrfunktion Injektive und surjektive Funktionen Die Umkehrfunktion Spezielle Umkehrfunktionen Spezielle Funktionen und ihre Eigenschaften Die trigonometrischen Funktionen Die hyperbolischen Funktionen Ebene Kurven Parameterdarstellung von Kurven Der Tangentenvektor Polarkoordinatendarstellung von Kurven Die Ableitung von Polarkoordinaten Komplexe Zahlen Zahlbereichserweiterungen Komplexe Zahlen Die Gaußsche Zahlenebene Geometrische Interpretation beim Rechnen mit komplexen Zahlen Die Eulersche Formel und die komplexe e-funktion Gleichungen in den komplexen Zahlen Quadratische Gleichungen Die n-ten (Einheits-)Wurzeln Der Fundamentalsatz der Algebra

6 4 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 1 Aussagenlogik 1.1 Schaltkreise Es gibt prinzipiell zwei Arten wie man zwei Schalter S 1 und S 2 in einen Stromkreis mit einer Lampe L und einer Stromquelle einbauen kann: Reihenschaltung und Parallelschaltung. Vereinfacht gesehen gibt es für die Schalter und die Lampe nur zwei Zustände, nämlich an oder aus. Bei dieser Vereinfachung (Idealisierung) werden z.b. die Stromstärke oder eventuelle Energieverluste nicht berücksichtigt. Es gibt nur die beiden Zustände an oder aus bzw. 1 oder 0. Der Zustand der Lampe L hängt von den Zuständen der Schalter S 1 und S 2 ab. Dies kann man mit sog. Schalttafeln verdeutlichen: Reihenschaltung von S 1 und S 2 : Parallelschaltung von S 1 und S 2 : S 1 S 2 L S 1 S 2 L Mit diesen beiden Grundschaltungen können auch komplexe Schaltungen analysiert werden. 1.2 Aussagen Eine zentrale Idee der meisten Wissenschaften, speziell der Mathematik, ist es, die Welt in Gedanken zu vereinfachen (zu idealisieren), damit man sog. mathematische Modelle bilden kann und Theorien aufstellen kann. Wollte man die Welt in all ihren Details erfassen, würde man feststellen, dass es nichts Gleiches gibt, sondern alles individuell ist. So ist z.b. in der Mathematik von Rechtecken, Würfeln, Pyramiden usw. die Rede, obwohl es in der realen Welt kein einziges ideales Rechteck gibt. Aber für diese Begriffe gibt es in der Mathematik aussagekräftige Theorien wie z.b. Formeln zu Flächeninhalt, Volumen, usw. Die stärkste Vereinfachung bzw. Idealisierung in Bezug auf Logik ist die Aussagenlogik. Ein zentraler Begriff in der Aussagenlogik ist die Elementaraussage oder auch kurz Aussage. Bei der Festlegung dieses Begriffs orientiert man sich an den Schaltern, die nur zwei Zustände annehmen können. Definition: Ein Ausdruck, von dem grundsätzlich entschieden werden kann, ob er wahr (w) oder falsch (f) ist, heißt Aussage.

7 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 5 Beispiele: Ausdruck Aussage? Ober, noch ein Bier! Nein 15 > 13 Ja 2x = 7 Nein Ach hätte ich bloß eine Freundin Nein Es gibt einen Planeten, der mit Nuß-Nougat-Creme gefüllt ist. Ja Es gibt keine natürliche Zahl n > 2 mit a n + b n = c n, wobei a, b und c ebenfalls natürliche Zahlen sind. Ja Das Pferd ist ein treuer Freund des Menschen.??? 1.3 Verknüpfungen von Aussagen Die Idee besteht darin, aus Aussagen neue Aussagen zu bilden ähnlich wie bei den Schaltungen mit Schaltern Die Konjunktion A B (lies: A UND B; vgl. Reihenschaltung) Aus zwei Aussagen A und B soll eine neue Aussage A B entstehen, die nur dann wahr ist, wenn A UND ( gleichzeitig ) B wahr sind. Dies veranschaulicht man mit einer Wahrheitstafel: A B A B w w w w f f f w f f f f Durch diese Wahrheitstafel wird die Aussage A B definiert Die Disjunktion A B (lies: A ODER B; vgl. Parallelschaltung) Die neue Aussage A B wird durch folgende Wahrheitstafel definiert: A B A B w w w w f w f w w f f f Achtung: Das ist nicht das entweder... oder! Beispiel: Ich mag Spätzle oder Salat.

8 6 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Die Negation A (lies: NON) Beispiele: A: ist eine Primzahl; A: ist keine Primzahl B: 4 > 3 B: 4 3; 4 ist nicht größer als 3 C: Schnee ist weiß C:??? (Kommt es auf Schnee an oder auf weiß?) Vorschläge: Ruß ist schwarz; Schnee ist farbig; Schnee muss nicht weiß sein;??? Besser ist es, den Vorsatz NICHT../Es stimmt nicht../non.. zu benutzen. Die Negation ist durch folgende Wahrheitstafel definiert: A A w f f w Beispiele: A A A ( A) w f f f w f A A A ( A) w f w f w w Bemerkung: Vorerst muss man A ( A) mit Klammer schreiben. Das ist wie in der Algebra: Der Ausdruck muss eindeutig sein. Dies wird durch Klammern geregelt. In diesem Fall könnte man die Klammer weglassen, aber z.b. im Ausdruck A (A B) nicht Äquivalente Aussagen Definition: Zwei zusammengesetzte Aussagen C und D heißen äquivalent, wenn ihre Wahrheitswerte für jede Belegung der Elementaraussagen übereinstimmen. Man schreibt dann: C D. Beispiel: Es gilt A B ( A B). Nachweis mit Wahrheitstafel: A B A B A B A B ( A B) w w f f w f w w f f w w f w f w w f w f w f f w w f w f

9 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 7 Man kann die Äquivalenz zweier Aussagen auch als eigenständige Aussage betrachten. Diese wird dann durch die folgende Wahrheitstafel definiert: C D C D w w w w f f f w f f f w Die Aussage C D wird C genau dann, wenn D gelesen und heißt Bijunktion von C und D Tautologie und Kontradiktion Definition: Eine zusammengesetzte Aussage, die nur den Wahrheitswert w annehmen kann, heißt Tautologie. Beispiele: a) A A (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, Tertium non datur) b) (A B) ( A B) Definition: Eine zusammengesetzte Aussage, die nur den Wahrheitswert f annehmen kann, heißt Kontradiktion. Beispiel: a) A A (Satz vom Widerspruch) 1.4 Rechenregeln für Verknüpfungen Entsprechend den Rechengesetzen der Algebra, kann man auch die Verknüpfungen der Aussagenlogik auf Rechengesetze untersuchen. Es gelten die folgenden Gesetze, die sich mit den zugehörigen Wahrheitstafeln prüfen lassen Das Kommutativgesetz A B B A und A B B A Das Assoziativgesetz (A B) C A (B C) und (A B) C A (B C)

10 8 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Das Distributivgesetz A (B C) (A B) (A C) und A (B C) (A B) (A C) De Morgansche Regeln (A B) A B und (A B) A B 1.5 Die Implikation Die Definitionen der bisherigen Verknüpfungen mit Wahrheitstafeln gingen relativ glatt, weil diese Definitionen mit unserem Alltagsgebrauch übereinstimmen bzw. im Falle der Disjunktion das oder durch eine Präzisierung ( und/oder ) klargestellt werden konnte. Etwas anders ist der Sachverhalt bei der sog. Implikation A B (Lies: Aus A folgt B; A impliziert B, A ist hinreichend für B; B ist notwendig für A) A B besteht aus der Voraussetzung A und der Folgerung B. Das Problem besteht nun darin, dass wir in unserem System nicht inhaltlich argumentieren wollen, sondern Verknüpfungen von Aussagen nur mit Wahrheitstafeln festlegen wollen! Das wird materielle Implikation genannt und bedeutet, dass zwischen A und B kein inhaltlicher Zusammenhang bestehen muss. Man beschränkt sich nur auf Wahrheitswerte. Bespiele: 1) A : 2 < 5; B : 2 < Hier würden wir anschaulich sagen: Aus A folgt B, weil man das inhaltlich begründen kann. 2) A : 1 = 2; B: Der Mond ist viereckig. Hier würden wir sagen: Aus A folgt niemals B, weil erstens kein inhaltlicher Zusammenhang zwischen A und B besteht und zweitens B sowieso falsch ist. Bemerkung: Der Mathematiker und Philosoph Bertrand Russell ( ) hat es geschafft, einen inhaltlichen Zusammenhang herzustellen, etwa so: Aus 1 = 2 folgt 0 = 1 (Äquvalenzumformung: -1) Aus 0 = 1 folgt 0 = 4 (Äquivalenzumformung: 4) Der Mond ist rund, hat also 0 Ecken. Da aber 0 = 4, hat er 4 Ecken und ist somit viereckig.

11 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 9 Definition: Die Implikation A B ist durch folgende Wahrheitstafel definiert: A B A B w w w w f f f w w f f w 1.6 Normalformen Die disjunktive Normalform (DNF) Bei zwei Elementaraussagen A und B gibt es 16 mögliche nicht-äquvalente zusammengesetzte Aussagen. Anders ausgedrückt: man kann die folgende Wahrheitstafel auf 16 verschiedene Arten ausfüllen: A B? w w w f f w f f Manche dieser zusammengesetzten Aussagen haben Bezeichnungen wie z.b. A B oder A B. Die meisten haben jedoch keine Bezeichnung. Dies liegt an folgendem Sachverhalt: Satz Jede zusammengesetzte Aussage zweier Elementaraussagen A und B lässt sich als Disjunktion von Konjunktionen der Aussagen A, B, A und B darstellen (Disjunktive Normalform). Somit sind also die Junktoren, und als Grundjunktoren aufzufassen. (Vgl. die Grundschaltungen in der E-Lehre) Dieser Satz soll nun an Hand eines Beispiels plausibel gemacht werden. Wenn die Wahrheitstafel z.b. folgende Belegung hat: A B? w w w w f f, f w w f f f dann ist die zusammengesetzte Aussage wahr (w), wenn A und B wahr sind (Zeile 1) oder wenn A und B wahr sind (Zeile 3). Dies kann man sofort in Kurzschreibweise hinschreiben: (A B) ( A B).

12 10 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Natürlich funktioniert dieses Verfahren bei jeder anderen Belegung der obigen Wahrheitstafel auch. Somit ist nicht nur gezeigt, dass es eine DNF gibt, sondern auch wie man sie findet. Außerdem funktioniert dieses Verfahren auch mit mehr als zwei Elementaraussagen Die konjunktive Normalform (KNF) Zu jeder DNF gibt es eine äquivalente konjunktive Normalenform (KNF). Auch dies soll an Hand des obigen Beispiels erläutert werden. A B? w w w w f f, f w w f f f Die zusammengesetzte Aussage ist nun falsch (f), wenn A wahr ist und B wahr ist oder wenn A wahr ist und B wahr ist. Kurz (A B) ( A B) wahr ist. Da die zusammengesetzte Aussage aber falsch ist, muss diese Aussage noch negiert werden. Also ((A B) ( A B)) bzw. nach Anwendung der de Morganschen Regeln ( A B) (A B). 2 Ein kleiner Ausflug in die Prädikatenlogik Ein Prädikat nennt man in der Logik den Teil einer Aussage, durch den eine Eigenschaft von einem Objekt ausgesagt wird. Der der Eigenschaft entsprechende Begriff wird dem Objekt zugeordnet. In Anlehnung an diese Zuordnung wird folgende Schreibweise benutzt: Wird die Eigenschaft mit F bezeichnet, so bedeutet F (x), dass x die Eigenschaft F hat. Beispiel: Ist F die Eigenschaft... größer als 100, so ist z.b. F (53) falsch, aber F (128) wahr. 2.1 Quantoren Mit Quantoren können Aussagen darüber gemacht werden, ob ein Prädikat auf keines, einige oder alle Objekte einer Grundmenge zutrifft.

13 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Der Existenzquantor Setzt man in das Prädikat eine Objektvariable ein und stellt den Existenzquantor und dieselbe Variable davor, so wird damit behauptet, dass es mindestens ein Objekt gibt, auf das das Prädikat zutrifft. Es muss also mindestens eine Aussage der Form geben, dass in das Prädikat ein Objekt eingesetzt wird und die Aussage wahr ist. Beispiel: oder x IN : F (x), wobei F (x) bedeutet: x > 100. x IN : x > 100. Zu beachten ist, dass die gesamte Aussage wahr ist, wenn es mindestens ein x IN gibt. Es darf auch mehr geben wie es hier z.b. der Fall ist Der Allquantor Der Allquantor sagt aus, dass ein Prädikat auf alle Objekte einer Grundmenge zutrifft. Beispiel: a) Alle Lehrer sind doof. Ist L die Menge aller Lehhrer, so kann man diese Aussage folgendermaßen schreiben: x L : doof(x). b) x IN : x 0 heißt: Alle natürlichen Zahlen sind größer oder gleich Null Die Negation von Aussagen mit Quantoren Für die Negation von Aussagen mit Quantoren gelten folgende Regeln: x : F (x) x : F (x) und x : F (x) x : F (x).

14 12 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 3 Beweise in der Mathematik 3.1 Mathematische Sätze Der mathematische Satz Ein mathematischer Satz hat immer die Form A B. Lies: Wenn A, dann B. oder Aus A folgt B. manchmal auch A ist hinreichend für B. oder B ist notwendig für A. A heißt Voraussetzung, B heißt Behauptung. Beispiel: Wenn eine natürliche Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar. Anmerkung: Manchmal nennt man die zusammengesetzte Aussage A B nur dann einen mathematischen Satz, wenn sie wahr ist Der Kehrsatz Zu jedem mathematischen Satz A B gibt es den sog. Kehrsatz B A. Der Kehrsatz entsteht also dadurch, dass man die Voraussetzung und die Folgerung vertauscht. Beispiele: a) Satz: Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann sind alle Seiten gleich lang. (Wahr) Kehrsatz: Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat, dann ist es ein Quadrat. (Falsch) b) Satz: Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann halbieren sich die Diagonalen. (Wahr) Kehrsatz: Wenn sich die Diagonalen in einem Viereck halbieren, dann ist es ein Parallelogramm. (Wahr) c) Satz: Wenn ein Viereck vier gleiche Winkel hat, dann ist es ein Quadrat. (Falsch) Kehrsatz: Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann hat es vier gleiche Winkel. (Wahr) Diese Beisiele zeigen: Der Wahrheitswert des Kehrsatzes hat nichts mit dem Wahrheitswert des Satzes zu tun! Alles ist möglich.

15 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Die Kontraposition Beispiel: A: Das Viereck ist ein Quadrat B: Das Viereck hat vier gleich lange Seiten Der Satz A B ist wahr, aber der Kehrsatz B A ist falsch. (s.o.) Dennoch kann man aus der Wahrheit von A B noch einen anderen Satz folgern: Wenn ein Viereck keine vier gleich langen Seiten hat, dann ist es kein Quadrat. Dieser Satz ist ebenfalls wahr. Formal wäre dies die Aussage B A. Aussagenlogische Analyse: A B A B A B B A w w f f w w w f f w f f f w w f w w f f w w w w Die Wahrheitstafel zeigt: Die Aussage A B und B A sind äquivalent. B A heißt Kontraposition zu A B. Dass die Kontraposition auch außerhalb der Mathematik verwendet wird, zeigt folgendes (juristische) Beispiel: A: Otto hat die Bank in Stuttgart ausgeraubt. B: Otto war in Stuttgart. A B ist wahr. Wenn Otto seine Unschuld beweisen will, muss er nachweisen, dass er nicht in Stuttgart war, denn die Kontraposition B A ist ebenfalls wahr. 3.2 Beweismethoden Den Nachweis, dass eine Aussage der Form A B wahr ist, nennt man in der Mathematik einen Beweis. Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind %28Mathematik%29 (Stand: )

16 14 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Indizien für die Wahrheit einer Aussage reichen also offenbar nicht aus (im Gegensatz zu manch juristischen Beweisen). So ist die Feststellung, dass die Zahlen 3, 5 und 7 Primzahlen sind, kein Beweis für die Aussage Alle ungeraden Zahlen größer als 1 sind Primzahlen. Um nachzuweisen, dass eine Aussage falsch ist, reicht es, ein Gegenbeispiel zu finden. In der Mathematik gibt es mehrere Beweismethoden, von denen einige im Folgenden vorgestellt werden. Dazu werden als Material die folgenden Definitionen benutzt. Dabei stehen die Variablen n, m, k, l, i, j für natürliche Zahlen. a) m heißt gerade, genau dann, wenn es ein n gibt mit m = 2 n. b) m heißt ungerade, genau dann, wenn es ein n gibt mit m = 2 n + 1. c) m teilt n (kurz: m n), genau dann wenn es ein k gibt mit m k = n. d) m heißt Primzahl, genau dann wenn es kein n, k > 1 gibt mit n k = m Der direkte Beweis Der direkte Beweis hangelt sich mit der Implikation Schritt für Schritt vorwärts. Beispiel: Satz: Wenn eine natürliche Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar. Beweis: 6 n (Voraussetzung) n = 6 k (Definition c)) n = (2 3) k (wegen 6 = 2 3) n = 3 (2 k) (elementare Rechenregeln) n = 3 j (mit j = 2 k) 3 n (Definition c)) Aussagenlogische Analyse: Aus A wahr und A B wahr wird gefolgert B wahr. Formal lautet dieser Schluss (A (A B)) B und heißt Abtrennungsregel. Diese Aussage (A (A B)) B ist eine Tautologie (Nachweis mit Wahrheitstafel). Die Abtrennungsregel wird in den meisten direkten Beweisen, so wie im obigen, mehrfach verwendet: Seien folgende Aussagen wahr: A, A B 1, B 1 B 2, B 2 B 3,..., dann gilt z.b.: [A (A B 1 ) (B 1 B 2 ) (B 2 B 3 )] B 3.

17 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Beweis durch Widerspruch (Der indirekte Beweis) Das Vorgehen beim indirekten Beweis ist folgendermaßen: a) Man nimmt an, die Behauptung des Satzes sei falsch. b) Man versucht dann durch logische Schlussfolgerungen einen Widerspruch abzuleiten (z.b.: 1=2). c) Wenn die Schlussfolgerungen legitim und logisch korrekt waren, muss die Annahme falsch gewesen sein und somit folgt die Behauptung des Satzes. Beispiel 1: Satz: 2 ist keine Bruchzahl. Beweis: Angenommen 2 ist eine Bruchzahl. Dann gibt es teilerfremde Zahlen n, m IN mit 2 = n und m 1 (sonst m wäre 2 eine ganze Zahl, was offensichtlich nicht der Fall ist). Dann ist allerdings auch n n = n2 nicht weiter kürzbar mit einem von 1 m m m 2 verschiedenen Nenner. Das kann aber nicht sein, da n2 = 2 sein muss. Also m 2 hat man einen Widerspruch. Somit muss die Annahme falsch sein und damit die Behauptung des Satzes wahr. Beispiel 2: Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis: Angenommen es gibt nur endlich viele Primzahlen p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, p 5 = p n, wobei p n die größte Primzahl sei. Dann kann die Zahl b = p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p n + 1 keine Primzahl sein, denn b > p n und p n ist ja dann die größte Primzahl. Andererseits muss sich b aber dann wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung multiplikativ aus den Primzahlen p 1, p 2, p 3,..., p n zusammensetzen. Also muss b daher mindesntens durch eine der Primzahlen p 1, p 2, p 3,..., p n teilbar sein. Andererseits erhält man bei Division durch eine der Primzahlen immer Rest 1 (wegen der Addition von 1). Somit hat man einen Widerspruch und der Satz ist bewiesen. Aussagenlogische Analyse: Man folgert aus einer Aussage A eine Aussage B und die Aussage B. Daraus folgert man, dass A falsch ist. Formal ist dies der Schluss: [A (B B))] A. Dieser Schluss ist eine Tautologie (Nachweis mit Wahrheitstafel).

18 16 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Die Kontraposition Der mathematische Satz A B und seine Kontraposition B A sind äquivalent. Somit kann man anstelle von A B auch B A beweisen. Beispiel: Satz: Wenn n 2 gerade ist, dann ist n gerade. Beweis: Zeige: Wenn n ungerade ist, dann ist n 2 ungerade. n = 2k + 1 (Voraussetzung mit Definition für ungerade ) n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 (elementare Rechenregeln) n 2 = 2 (2k 2 + 2k) + 1 (elementare Rechenregeln) n 2 = 2 j + 1 (mit j = (2k 2 + 2k)) n 2 ist ungerade (per Definition) Bemerkung: Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob der Beweis durch Widerspruch und der Beweis der Kontradiktion dasselbe wären. Aussagenlogisch gibt es allerdings einen Unterschied: Beim Beweis durch Widerspruch wird der Schluss [A (B B))] A verwendet. Beim (direkten) Beweis der Kontradiktion verwendet man B ( B A) A. Beide Schlüsse sind Tautologien, aber die linken Seiten von A, nämlich [A (B B))] und B ( B A) sind nicht äquivalent (Nachweis mit Wahrheitstafel). In der (Beweis-) Praxis wird allerdings zwischen Beweis durch Widerspruch und Beweis der Kontradiktion so gut wie nicht unterschieden Beweis durch vollständige Induktion Die Beweismethode der vollständigen Induktion wird dann oft benutzt, wenn gezeigt werden soll, dass eine Aussage bzw. ein Prädikat A(x) für alle natürlichen Zahlen wahr ist. Das Problem liegt nun darin, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, sodass A(x) nicht für jede natürliche Zahl n explizit nachgewiesen werden kann. Man benutzt nun folgenden Trick: a) Zeige, dass A(1) wahr ist. (Induktionsanfang) b) Beweise, dass A(n) A(n + 1) wahr ist. (Induktionsschritt) c) Daraus schließt man, dass A(n) für alle n IN wahr ist. (Induktionsschluss)

19 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 17 Dies soll erst einmal am sog. Dominoeffekt veranschaulicht werden: Induktion (Stand: ) a) Stoße den ersten Stein an. (Induktionsanfang). b) Beim Aufstellen der Steine musst du dafür gesorgt haben, dass wenn ein beliebiger Stein (der n-te Stein) umfällt, auch sein Nachfolger (der (n+1)-te Stein) umfällt. (Induktionsschritt) c) Dann kannst du sicher sein, dass alle Dominosteine umfallen. (Induktionsschluss) Der Unterschied zur vollständigen Induktion liegt bei dieser Veranschaulichung darin, dass es in der Realität nicht unendlich viele Dominosteine gibt. Und selbst wenn es unendlich viele gäbe, bräuchten sie unendlich lang Zeit um umzufallen. Allerdings ist der (gedankliche) Schluss A(n) A(n + 1) nicht an irgendwelche Zeiten gebunden, sondern findet (im Kopf) simultan für alle unendlich viele natürliche Zahlen statt. Dies kann man mit dem Aufschreiben der natürlichen Zahlen mit dem Zeichen IN vergleichen. Mit IN werden simultan unendlich viele natürliche Zahlen aufgeschrieben mit dem Wissen, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat. Durch Aufzählen {1; 2; 3; 4; 5;... } würde man zeitlich nie fertig werden. Aussagenlogische Analyse: Bei der vollständigen Induktion wendet man folgende Schlussregel an: [A(1) ( n IN : (A(n) A(n + 1)))] [ n IN : A(n)] Beispiel: Satz: Für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gilt n k = k=1 n(n + 1) 2. Beweis:

20 18 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik a) Induktionsanfang: Für n = 1 gilt die Behauptung, denn 1 = 1 (1 + 1) 2. b) Induktionsschritt: Zeige: Wenn n k = k=1 n(n + 1) 2, dann gilt auch n+1 k = k=1 (n + 1)((n + 1) + 1) 2 Dazu: n+1 k = k=1 (n + 1)((n + 1) + 1) 2 = = = = = = n k + (n + 1) k=1 n(n + 1) + (n + 1) 2 n(n + 1) 2(n + 1) n(n + 1) + 2(n + 1) 2 (n + 1)(n + 2) 2 (n + 1)((n + 1) + 1) 2 c) Induktionsschluss: Damit ist gezeigt, dass die Summenformel für alle n IN gilt.

21 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 19 4 Gleichungen und Ungleichungen lösen 4.1 Polynomgleichungen Definition: a) Ein Term der Form P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 mit a 0, a 1,...,a n IR und a 0 0 heißt Polynom vom Grad n. Die größte vorkommende Hochzahl n heißt Grad des Polynoms. b) Eine Gleichung der Form P n (x) = 0 heißt Polynomgleichung. Bemerkung: Funktionen der Form f(x) = P n (x) heißen Polynomfunktionen oder auch ganzrationale Funktionen vom Grad n. D.h. das Lösen einer Polynomgleichung ist gleichbedeutend mit dem Auffinden von Nullstellen einer Polynomfunktion Alte Bekannte Für einige Poloynomgleichungen kennt man schon aus dem regulären Mathematikunterricht Lösungsstrategien und Algorithmen. Lineare Gleichungen: Lineare Gleichungen sind Polynomgleichungen vom Grad 1. Diese löst man durch Äquivalenzumformung: mx + c = 0 c mx = c : m x = c m Quadratische Gleichungen: Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form ax 2 + bx + c = 0 und somit Polynomgleichungen vom Grad 2. Diese löst man mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen: x 1/2 = b ± b 2 4 a c 2 a

22 20 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Biquadratische Gleichungen: Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form ax 4 + bx 2 + c = 0 und somit spezielle Polynomgleichungen vom Grad 4. Diese löst man durch Substitution und anschließende Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen: Substitution: z = x 2 Führt zu: az 2 + bz + c = 0 Weitere Methoden zum Lösen von Polynomgleichungen sind: Nullproduktsatz: Ein Produkt kann nur dann Null sein, wenn mindestens ein Faktor Null ist: a b = 0 a = 0 b = 0. Damit kann man z.b. die Lösungen der Gleichung 3(x 2) 3 (x + 2) x 3 = 0 sofort ablesen: x 1 = 2, x 2 = 2 und x 3 = 0. Ausklammern einer x-potenz: Ist in der Gleichung a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 = 0 a 0 = 0, so kann man x ausklammern und erhält mit dem Nullproduktsatz sofort eine Lösung x 1 = 0. Weitere Lösungen muss man dann in der Gleichung a n x n 1 + a n 1 x n a 1 = 0 suchen. Sind sogar die ersten Koeffizienten a 0, a 1,..., a j alle Null, so kann man x j+1 ausklammern. Freistellen einer Potenz: Kann man die Polynomgleichung so umstellen, dass sie die Form (x d) n = c hat, so gilt: a) Ist n gerade und c 0, so ist x = n c + d. Ist n gerade und c < 0, so gibt es keine Lösung. b) Ist n ungerade und c 0, so ist x = n c + d. Ist n ungerade und c < 0, so ist x = n c + d.

23 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Polynomdivision Die Gleichung (x 2 + 4x + 4) (x 5) = 0 lässt sich relativ einfach mit dem Nullproduktsatz und der Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen. (x 1 = 5, x 2 = 2) Multipliziert man die linke Seite dieser Gleichung aus, so erhält man Dies ist äquivalent zu (x 2 + 4x + 4) (x 5) = x 3 x 2 16x 20. (x 3 x 2 16x 20) : (x 5) = x 2 + 4x + 4. Die Frage ist nun: Wie kann man die Divisionsaufgabe (x 3 x 2 16x 20) : (x 5) lösen? Dies soll am Beispiel des schriftlichen Dividierens veranschaulicht werden: 948 : 3 = : 3 = : 3 = 1 Rest : 3 = 6 0 Also ist 948 : 3 = 316. Übertragung dieses Verfahrens auf Polynome: (x 3 x 2 16x 20) : (x 5) = x 2 + 4x + 4 (x 3 5x 2 ) 4x 2 16x 20 x 3 : x = x 2 (4x 2 20x) 4x 2 : x = 4x 4x 20 (4x 20) 4x : x = 4 0 Also ist (x 3 x 2 16x 20) : (x 5) = x 2 + 4x + 4.

24 22 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Theorie zu Polynomgleichungen Satz 1: Hat die Polynomfunktion f vom Grad n die Nullstelle u, so kann man f auch in der Form f(x) = (x u) g(x) schreiben, wobei g(x) ein Polynom vom Grad n 1 ist. Beweis: Sei f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 ein Polynom vom Grad n mit Nullstelle u, d.h. f(u) = 0. Dann ist f(x) = f(x) f(u) = (a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 ) (a n u n + a n 1 u n 1 + a 1 u + a 0 ) = a n (x n u n ) + a n 1 (x n 1 u n 1 ) + a 1 (x u) Jeder dieser Summanden enthält den Faktor (x u), denn es gilt x 2 u 2 = (x u) (x + u) x 3 u 3 = (x u) (x 2 + ux + u 2 ) x 4 u 4 = (x u) (x 3 + ux 2 + u 2 x + u 3 ) usw. Also gilt f(x) = (x u) g(x). Da f(x) den Grad n hat muss die rechte Seite auch den Grad n haben und damit muss g(x) den Grad n 1 haben. Mathematisch ist das usw. im obigen Beweis etwas unbefriedigend. Deshalb wird nun folgender Hilfssatz bewiesen: Hilfssatz: Es gilt n 1 x n u n = (x u) x n 1 j u j. j=0

25 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 23 Beweis: n 1 (x u) x n 1 j u j = j=0 = n 1 (x n j u j x n 1 j u j+1 ) j=0 n 1 n 1 x n j u j x n 1 j u j+1 j=0 j=0 n 1 n 2 = x n + x n j u j u n x n 1 j u j+1 j=1 j=0 n 1 n 1 = x n u n + x n j u j x n 1 (j 1) u j 1+1 j=1 j=1 n 1 n 1 = x n u n + x n j u j x n j u j = x n u n j=1 Bemerkung 1: Der Faktor (x u) heißt auch Linearfaktor. Bemerkung 2: Von Satz 1 gilt auch der Kehrsatz: Wenn das Polynom f(x) die Form hat, dann ist u eine Nullstelle von f. Beweis: Einsetzen von u. Eine Folgerung von Satz 1 ist f(x) = (x u) g(x) j=1 } {{ } =0 Satz 2: Ein Polynom f(x) vom Grad n besitzt höchstens n Nullstellen. Beweis durch Widerspruch: Angenommen f(x) mit Grad n hat mehr als n Nullstellen. Dann kann man f(x) als Produkt von mindestens n+1 Linearfaktoren schreiben. Durch Ausmultiplizieren ergibt sich dann, dass f(x) mindestens den Grad n + 1 hat. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass f(x) den Grad n hat.

26 24 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Bemerkung: Es gibt eine Zahlbereichserweiterung der reellen Zahlen IR zu den sog. komplexen Zahlen Cl. In diesem Zahlenbereich gilt: Eine Polynomfunktion f(x) vom Grad n hat genau n Nullstellen. In der Mathematik sagt man hierzu: Die komplexen Zahlen Cl sind algebraisch abgeschlossen. Weitere Bemerkung: Auch für Polynomgleichungen vom Grad 3 und vom Grad 4 gibt es Lösungsformeln ähnlich wie die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, so dass man diese Gleichungen allgemein lösen kann. Diese sind allerdings sehr komplex. Für Polynomgleichungen, deren Grad größer als 4 ist, gibt es keine allgemeine Lösungsformel mehr. Dies zu beweisen übersteigt allerdings das Niveau des Vertiefungskurses. 4.2 Betragsgleichungen Die Betragsfunktion Der Betrag einer Zahl x, kurz x, ist anschaulich auf der Zahlengeraden der Abstand von x zur Null. Beispiele: 3 = 3; 28 = 28; π = π; log(0, 001) = 3; 0 = 0 In Worten: Ist x positiv oder Null, so ist der Betrag von x die Zahl x selbst. Wenn x negativ ist, so ist der Betrag von x die entsprechende (positive) Gegenzahl von x. Die Betragsfunktion ist die Funktion f mit f(x) = x. Mit der eben in Worten beschriebenen Fallunterscheidung kann man die Betragsfunktion auch ohne Betragsstriche schreiben: f(x) = { x, falls x 0 x, falls x < 0. Das Schaubild der Betragsfunktion ist in folgendem Diagramm dargestellt:

27 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 25 Ist nun z.b. eine Funktion f gegeben durch f(x) = 2x 4, so kann man diese ebenfalls betragsfrei schreiben: { 2x 4, falls x 2 f(x) = 4 2x, falls x < Betragsgleichungen Eine Betragsgleichung ist eine Gleichung, in der der Betrag eines Termes vorkommt. Anhand des folgenden Beispiels soll ein Lösungsverfahren für Betragsfunktionen vorgestellt werden. x 2 = 3 Um diese Gleichung lösen zu können, muss man sie betragsfrei schreiben. Dies erfordert allerdings eine Fallunterscheidung. Die beiden Fälle unterscheiden sich dadurch, dass der Betragsinhalt positiv oder negativ ist. Um zu sehen, was in welchem Bereich vorliegt, berechnet man in einer Nebenrechnung, wo der Inhalt größer oder gleich 0 ist. x x 2 Im Bereich mit x 2 ist demnach der Inhalt des Betrages positiv oder gleich 0, die Betragsstriche können dann einfach weggelassen werden. Dieser Bereich stellt in unserer Rechnung den ersten Fall dar. Der zweite Fall beinhaltet dann alle anderen reellen Zahlen, also x < 2. In diesem Bereich muss der Betragsinhalt dann mit ( 1) multipliziert werden. Mit diesen beiden Fällen führt man dann die weiteren Rechnungen durch. für x 2: x 2 = 3 x 2 = x = 5

28 26 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik für x < 2: (x 2) = 3 x + 2 = 3 2 x = 1 ( 1) x = 1 Natürlich muss man vor Bestimmung der Lösungsmenge prüfen, ob die gefundenen Werte innerhalb der jeweils untersuchten Bereiche liegen. Da 5 2 und 1 < 2 ist, ist das in diesem Beispiel gegeben. Die Lösungsmenge der Gleichung lautet also L = { 1; 5}. 4.3 Wurzelgleichungen Da sich selbst Wurzeln wie z.b. x oder x 2 16 nicht vereinfachen lassen (Merke: Bei + oder unter der Wurzel darf man die Wurzel nicht aus jedem Summanden einzeln ziehen! Z.B , sondern = 25 = 5), muss man bei Gleichungen mit Wurzelausdrücken die Wurzeln im Normalfall durch Quadrieren eliminieren Beispiele Beispiel 1: x = 4 () 2 x = 16 Also ist L = {16}. Beispiel 2: x = 4 () 2 x = 16 Aber für die Lösungsmenge gilt L = {}, denn setzt man 16 in die ursprüngliche Gleichung ein, so erhält man 4 = 4. ACHTUNG! Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung!

29 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 27 Dazu noch ein weiteres Beispiel. Beispiel 3: x = x Diese Gleichung hat die Lösungsmenge L = {0}. Durch Quadrieren erhält man x 2 = ( x) 2 x 2 = x 2 Diese Gleichung hat die Lösungsmenge L = IR. Es sind also durch das Quadrieren zusätzliche Scheinlösungen hinzugekommen, die aber keine Lösungen der ursprünglichen Gleichgung sind. Dies hat zur Folge, dass man in der Praxis am Ende immer eine Probe mit der ursprünglichen Gleichung machen muss! Beispiel 4: 2x + 1 = x 17 () 2 2x + 1 = (x 17) 2 2x + 1 = x 2 34x x 1 0 = x 2 26x Diese Gleichung löst man mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen und erhält x 1 = 24 und x 2 = 12. Jetzt muss man noch überprüfen, ob dies auch Lösungen der ursprünglichen Wurzelgleichung sind. Die Probe mit x 1 = 24 ergibt = = 7 Somit ist x 1 = 24 eine Lösung. 7 = 7 ist wahr. Die Probe mit x 2 = 12 ergibt = = 5 5 = 5 ist falsch. Somit ist x 2 = 12 keine Lösung. Insgesamt gilt also für die Lösungsmenge L = {24}.

30 28 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Beispiel 5: 8x x = 4x 11 2x 8x + 1 = 2x 11 () 2 8x + 1 = (2x 11) 2 8x + 1 = 4x 2 44x x 1 0 = 4x 2 52x : 4 0 = x 2 13x + 30 Diese Gleichung löst man wieder mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen und erhält x 1 = 3 und x 2 = 10. Die Probe ergibt schließlich L = {10}.

31 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 29 Beispiel 6: x + 1 = 6 2 x + 2 x x x = 6 () 2 x x x + 2 x = x x = 3 : 2 x x = 3 2 ()2 (x + 1)(2 x) = 9 4 x 2 + x + 2 = 9 4 x 2 + x 1 4 = 0 ( 4) 4x 2 4x + 1 = 0 Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen liefert x = 0, 5 und die Probe bestätigt diese Lösung, sodass für die Lösungsmenge gilt L = {0, 5} Zusammenfassung Bei Wurzelgleichungen steht die Variable immer unter mindestens einer Wurzel und unter Umständen auch zusätzlich noch außerhalb. Lösungsverfahren: a) Die Wurzel wird (die Wurzeln werden) auf einer Seite der Gleichung isoliert. b) Die Gleichung wird quadriert. c) Ist jetzt noch eine Wurzel, unter der die Variable steht, enthalten, ab a) wiederholen. d) Die Gleichung mit bekannten Verfahren, wie z.b. der Lösungsformel für qadratische Gleichungen, nach x auflösen. e) Alle erhaltenen Lösungen müssen mit der ursprünglichen Gleichung überprüft werden, da durch Schritt b) zusätzliche Scheinlösungen entstehen können.

32 30 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 4.4 Ungleichungen Eine Ungleichung besteht, ähnlich wie eine Gleichung, aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichszeichen <, >, oder verbunden sind. Ebenso wie Gleichungen stellt eine Ungleichung eine Suchvorschrift für üblicherweise x dar, so dass durch die Belegung der Variablen x eine wahre Aussage entsteht Lösen von Ungleichungen Um Ungleichungen zu lösen, kann man fast genauso vorgehen, wie bei Gleichungen. Die Idee besteht ebenso darin, die ursprüngliche Ungleichung durch Äqivalenzumformungen so umzuformen, dass man am Ende eine Ungleichung erhält, an der man die Lösungsmenge direkt ablesen kann. Zur Erinnerung: Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, bei der sich die Lösungsmenge nicht ändert. Typische Äquivalenzumformungen sind: a) Addition einer Zahl a IR auf beiden Seiten. (Für a < 0 schließt das die Subtraktion mit ein.) b) Multiplikation einer positiven Zahl a IR auf beiden Seiten. Achtung bei Multiplikation mit einer negativen Zahl: Bei Multiplikation mit einer negativen Zahl kehrt sich das Ungleichungszeichen um. D.h. aus < wird > bzw. aus wird und umgekehrt. Dies soll das folgende einfache Beispiel verdeutlichen: x < 5 und x > 5 sind äquivalent (Multiplikation mit 1). Oder 3 < 5 und 3 > 5 sind äquivalent. Man unterscheidet bei Ungleichungen genau wie bei Gleichungen folgende unterschiedliche Gleichungstypen Lineare Ungleichungen Beispiel: 2 x + 5 x 3 2 Die Lösungsmenge erhält man durch elementare Äquivalenzumformungen. L = {x IR x 34 5 }.

33 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Quadratische Ungleichungen Beispiel: x 2 + x + 2 < 0 Man betrachtet den linken Term als Funktionsterm einer quadratischen Funktion und bestimmt mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen deren Nullstellen. Das Vorzeichen des Koeffizienten vor x 2 bestimmt, ob die zugehörige Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. (Negatives Vorzeichen: nach unten geöffnet; positives Vorzeichen: nach oben geöffnet.) Damit kann man sich überlegen, für welche Bereiche die Parabel oberhalb bzw. unterhalb der x-achse liegt. Für das Beispiel gilt: Nullstellen: x 1 = 1, x 2 = 2. Die Parabel ist nach unten geöffnet. Damit Bruchungleichungen L = {x IR x < 1 x > 2} Beispiel: x 2; D = IR\{2} x 2 Bruchungleichungen sind deshalb problematisch, da man mit einem Term multiplizieren muss, der die Variable x enthält, hier (x 2). Ob (x 2) positiv oder negativ ist, hängt davon ab, was man für x einsetzt. Deshalb muss man, wie schon bei den Betragsgleichungen, eine Fallunterscheidung vornehmen. für x > 2: x x 2 x 4 ( 1) x 4 2 (x 2) x 2(x 2) x 2x 4 2x für x < 2: x 2(x 2) x 2x 4 2x x 4 ( 1) x 4

34 32 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Auf den ersten Blick erhält man zwei Lösungen, die sich widersprechen. In Wahrheit gilt aber die Lösung x 4 nur für den Fall, dass x > 2 ist. Für die zweite Lüsung gilt entsprechend, dass sie nur gültig ist im Bereich x < 2. Man bekommt also zwei Teillösungsmengen für den jeweiligen Gültigkeitsbereich. Um die jeweilige Teillösungsmenge zu bestimmen, muss man eine UND- Verknüfung zwischen dem Ergebnisterm und der zugehörigen Bedingung für den Gültigkeitsbereich bilden. Dies soll in folgender Grafik veranschaulicht werden. Die Bedingung für den ersten Fall ist hier x > 2, in der Grafik rot dargestellt. Das Ergebnis für diesen Fall ist x 4, in der Grafik blau dargestellt. Somit erhält man für den ersten Fall die erste Teillösungsmenge L 1 = {x IR 2 < x 4}. Für den zweiten Fall, nämlich x < 2 erhält man folgende Grafik. Hier erhält man als Ergebnis x 4 also L 2 = {x IR x 4 x < 2} = {}. Da es keine Zahl gibt, die einerseits kleiner als 2 und andererseits größer oder gleich 4 ist, ist die zweite Teillösungsmenge L 2 die leere Menge. Somit ist die gesamte Lösungsmenge L gleich der ersten Teillösungsmenge L 1. L = {x IR 2 < x 4}

35 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Bekannte Ungleichungen Die Bernoullische Ungleichung Aus h > 1 folgt Beweis: Durch vollständige Induktion: (1 + h) n 1 + nh für alle n IN. a) Induktionsanfang: Für n = 1 gilt (1 + h) 1 = h, also auch (1 + h) h. b) Induktionsannahme: Sei für ein n IN (1 + h) n 1 + nh. c) Induktionsschritt: Zeige, dass dann auch gilt (1+h) n+1 1+(n+1) h (1 + h) n 1 + nh (1 + h) (das ist positiv, da h > 1) (1 + h) n+1 (1 + nh) (1 + h) (1 + h) n h + nh + nh 2 (1 + h) n (n + 1)h + nh 2 Da nh 2 0, gilt 1 + (n + 1)h + nh (n + 1)h und damit (1 + h) n (n + 1)h. d) Induktionsschluss: Damit gilt die Ungleichung für alle n IN. Die Dreiecksungleichung: Für Zahlen a, b IR gilt a + b a + b. Beweis: a + b 2 = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a ab + b 2 = a a b + b 2 = ( a + b ) 2 Da sowohl a + b 0 als auch a + b 0, folgt daraus die Behauptung. Bemerkung: Daraus folgt auch n a k k=1 n a k. k=1

36 34 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung Für Zahlen a, b IR gilt n a k b k n a 2 k n k=1 k=1 Beweis: Sei A die erste und B die zweite Quadratwurzel auf der rechten Seite. Falls A = 0 oder B = 0, sind auch alle a k bzw b k gleich Null. Dann gilt 0 = 0 und die Behauptung stimmt. Für A, B > 0 macht man die Substitution α k := a k und β A k := b k. Damit B geht die Behauptung in die äquivalente Ungleichung n α k β k 1 k=1 k=1 b 2 k über. Es gilt n α k β k = k=1 n n ( ) α 2 α 2k β2k k 2 + β2 k = k=1 k=1 n αk k=1 n βk 2 = = 1 k=1 Das -Zeichen in dieser Zeile folgt aus Aufgabe 2 auf dem Übungsblatt 3. Damit ist die Behauptung bewiesen. Mit der Bemerkung nach der Dreiecksungleichung folgt damit n a k b k n a 2 k n b 2 k. k=1 Für den Fall n = 3 bedeutet dies k=1 a b a b, wobei a, b IR 3 Vektoren sind und a b das Skalarprodukt von a und b ist. k=1

37 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 35 5 Folgen, Reihen und Konvergenz 5.1 Folgen Eine Folge ist eine Auflistung von üblicherweise unendlich vielen fortlaufend nummerierten Zahlen a n (n IN, a n IR). Eine Folge ist also eine Funktion, die jeder natürlichen Zahl n eine (reelle) Zahl a n zuordnet. f : IN IR n a n Die gesamte Folge, also die Funktion f, wird mit (a n ) n IN oder auch kurz mit (a n ) bezeichnet. Beispiele a) Die Folge der ungeraden Zahlen: b) Die Folge der Quadratzahlen: c) Die Fibonacci-Folge: 1; 3; 5; 7; 9;... 1; 4; 9; 16; 25;... 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; Rekursive und explizite Folgen Die Darstellung einer Folge wie z.b. 1; 3; 5; 7;... (die Folge der ungeraden Zahlen) ist unter mathematischen Aspekten sehr ungenau, denn diese Art der Darstellung lässt zu viel Interpretationsspielraum. So weiß man z.b., ohne den verbalen Zusatz, dass es sich um die ungeraden Zahlen handelt, nicht, was... genau bedeuten soll. Beispiel: 3; 1; 4; 1; 5;... Wie geht es weiter? 1. Möglichkeit: 3; 1; 4; 1; 5; 1; 6; 1; 7;...

38 36 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 2. Möglichkeit: (Dezimalziffern der Kreiszahl π). 3; 1; 4; 1; 5; 9; 2; 6; 5; 3; 5;... Natürlich gibt es hier eigentlich unendlich viele Möglichkeiten, diese Zahlenfolge fortzusetzen. Um Folgen mathematisch konkret zu definieren, gibt es prinzipiell zwei unterschiedliche Möglichkeiten Rekursive Folgen Bei rekursiven Folgen wird das n-te Folgenglied a n Folgenglieder a 1,..., a n 1 definiert. durch die vorigen Beispiele: a) Die Folge der ungeraden Zahlen: (a n ) : { a1 = 1 a n+1 = a n + 2 b) Die Folge der Quadratzahlen (a n ) : { a1 = 1 a n+1 = a n + 2n + 1, vgl. Übungsblatt 3; Aufgabe 4 c) Fibonacci-Folge (a n ) : a 1 = 1 a 2 = 2 a n+1 = a n + a n 1 Man beachte, dass bei der rekursiven Darstellung so viele Folgenglieder ausdrücklich angegeben werden müssen, dass mit der Rekursionsformel das nächste Folgenglied ausgerechnet werden kann Explizite Folgen Bei expliziten Folgen wird das n-te Folgenglied direkt durch die Nummer n definiert. Beispiele:

39 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 37 a) Die Folge der ungeraden Zahlen: (a n ) : a n = 2n 1; n IN b) Die Folge der Quadratzahlen (a n ) : a n = n 2 ; n IN c) Fibonacci-Folge (a n ) : a n = 1 5 (( (Formel von Moivre-Binet) 1 + ) n ( ) n ) 5 ; n IN Konvergenz von Folgen Die ε-n ε -Definition Unter den (überabzählbar) vielen Folgen sind solche Folgen von besonderem Interesse, bei denen sich die Folgenglieder a n einer Zahl a, dem sog. Grenzwert immer mehr annähern. Man sagt hierzu, die Folge konvergiert gegen den Grenzwert a. Die Kurzschreibweise hierfür lautet: oder a n n a bzw. kurz a n a lim a n = a. n Die mathematische Definition hierfür lautet: Definition: Eine Folge (a n ) hat genau dann den Grenzwert a (konvergiert gegen a), wenn gilt ε > 0 n ε IN : n > n ε a a n < ε. D.h. für jeden (noch so kleinen) Abstand ε gibt es eine Nummer n ε, die von ε abhängt (deshalb n ε ), sodass ab dieser Nummer n ε die Folgenglieder a n von a einen kleineren Abstand als ε haben. Beispiel; Gegeben sei die Folge (a n ) durch (a n ) : a n = 1 n.

40 38 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Intuitiv (d.h. gefühlsmäßig) ist schon klar, dass die Folgenglieder der Zahl 0 immer näher kommen. Also 1 lim n n = 0. Der formal korrekte Beweis hierfür lautet Sei ein beliebiger Abstand ε > 0 gegeben. Dann gilt 0 a n < ε a n < ε 1 n < ε 1 < ε n n > 1 ε Was bedeutet das? Ist irgendein noch so kleiner Abstand ε > 0 gegeben, z.b. 1 ε = 0, , so ist ab der Nummer 1 = also für n ε = der Abstand 0 1 kleiner als 0, Also kommen die Folgenglieder n a n = 1 der Zahl 0 beliebig nahe. n Bemerkungen a) Um die Konvergenz bei dieser Definition nachzuweisen, muss man den Grenzwert a schon wissen bzw. vermuten. Was passiert z.b., wenn man bei der obigen Folge den (falschen) Grenzwert 1 vermutet? Sei ε > 0 gegeben. 1 a n < ε 1 1 n < ε 1 1 n < ε 1 < ε + 1 n 1 ε < 1 n n < 1, weil, wenn ε genügend klein ist, 1 ε > 0 ist 1 ε Das heißt aber, dass es kein n ε gibt, ab dem der Abstand zwischen den Folgengliedern a n und dem vermuteten Grenzwert 1 kleiner ist als ε. Diese Bedingung ist nur für n = 1 erfüllt. Ist hier z.b. ε = , so muss n < 1,

41 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 39 sein. Für n = 2 gilt schon = 1 2 > 0, Das ist ein Widerspruch. b) Diese Definition liefert leider keine Möglichkeit, den eventuellen Grenzwert zu finden! Mathematisch von besonderem Interesse sind die sog. Nullfolgen Nullfolgen Definition: Eine Folge (a n ) heißt Nullfolge, wenn sie den Grenzwert 0 hat. Also wenn gilt lim n a n = 0. bzw. eine Folge ist Nullfolge, genau dann wenn gilt ε > 0 n ε IN : n > n ε a n < ε. Ein weiteres wichtiges Beispiel Ist 0 < q < 1 so gilt Beweis: Sei ε > 0, dann gilt lim n qn = 0 q n < ε log( ) n log(q) < log(ε) n > log(ε) log(q) Also muss n ε > log(ε) log(q) gelten, damit der Abstand ε von a n = q n kleiner ist als ε. Ebenso gilt: Ist 1 < q < 1 so gilt lim n qn = 0

42 40 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Beweis: Sei ε > 0, dann gilt q n < ε log( ) q n < ε log( ) n log( q ) < log(ε) n > log(ε) log( q ) Also muss n ε > log(ε) log( q ) gelten, damit der Abstand ε von a n = q n kleiner ist als ε. Wie wichtig es ist, die Konvergenz einer Folge mit dieser Definition nachzuweisen, zeigen die folgenden Beispiele. a) b) (a n ) : a n = n! 20 n Die Berechnung der ersten Folgenglieder mit dem Taschenrechner liefert a 1 = 0, 05; a 2 = 0, 005; a 3 = 7, ; a 4 = 1, ; a 5 = 3, ;... ; a 20 2, ;... Intuitiv vermutet man, dass diese Folge gegen Null konvergiert. Dies ist jedoch ein Trugschluss, denn a , 3; a , 78. (a n ) : a n = 2n n! Auch hier liefert die Berechnung der ersten Folgenglieder a 1 = 2; a 2 = 2; a 3 = 4 3 ; a 4 = 2 3 ; a 5 = 4 15 ; a 6 = 4 45 ; a 7 0, 0254; a 8 0, 00635;... und lässt vermuten, dass es sich um eine Nullfolge handelt. Aber wer garantiert, dass die Folgenglieder ab z.b. n = 100 nicht wieder anwachsen, wie bei Beispiel a)? Die Überprüfung mit dem Taschenrechner liefert ERROR! Offenbar übersteigt das die Rechenkapazität des Taschenrechners.

43 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 41 Dazu folgende Überlegungen. Für n 3 gilt: a n+1 = a n+1 = 2n+1 (n + 1)! = 2 2 n (n + 1) n! = 2 n + 1 a n 1 2 a n. Also a n a n a n 1 Daraus folgt ( ) n 3 1 a n a 3 2 ( ) n 3 1 = ( ) n 1 = ( ) n 1 = Da ( 1 n ( 2) eine Nullfolge ist, geht auch 1 ) n 2 32 gegen Null. Da aber 3 a n ( ) 1 n 2 32 ist auch a 3 n eine Nullfolge. ACHTUNG! Hier hat man intuitiv Regeln benutzt, die mathematisch noch nicht bewiesen sind. Dies soll nun aber geschehen Das Vergleichskriterium für Nullfolgen Das wohl wichtigste Kriterium für Nullfolgen ist das Vergleichskriterium. Ist (b n ) schon als Nullfolge bekannt und ist ab einer bestimmten Nummer N, also für n > N a n b n, so ist auch (a n ) eine Nullfolge. BEWEIS: Nach Voraussetzung gibt es zu jedem ε > 0 eine n ε sodass b n = b n < ε, falls n > n ε. Wählt man nun N ε = max{n, n ε }, so ist für n > N ε einerseits n > N also a n b n und andererseits n > n ε, also b n < ε. Damit ist für n > N ε a n b n < ε.

44 42 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Jede Nullfolge ist beschränkt Ist (a n ) eine Nullfolge, so gibt es zu jedem ε > 0 ein n ε mit a n < ε für n > n ε. Insbesondere gibt es dann für ε = 1 ein n 1, so dass a n < 1 für alle n > n 1. Wählt man nun aus allen Zahlen a 1 ; a 2 ;... ; a n1 ; 1 das Maximum und nennt dieses M, also M := max{ a 1 ; a 2 ;... ; a n1 ; 1}, so gilt a n < M für alle n IN Rechnen mit Nullfolgen a) Ist (a n ) eine Nullfolge, so ist auch (c a n ) eine Nullfolge. b) Ist (a n ) eine Nullfolge und ist (b n ) nach oben und unten beschränkt, so ist auch (a n b n ) eine Nullfolge. c) Sind (a n ) und (b n ) Nullfolgen, so sind auch Nullfolgen. (a n + b n ), (a n b n ), (a n b n ) und (c a n + d b n ) d) Ist (a n ) eine Nullfolge, so ist auch ( a n ) eine Nullfolge. BEWEIS: a) Zu jedem ε > 0 gibt es ein n ε mit a n < ε, falls n > n ε. Damit gilt c a n = c a n < c ε. Sei nun irgendein ε > 0 gegeben, so setze ε = ε c. Dann gilt für n > n ε c a n < ε. b) Ist (a n ) Nullfolge und b n < M für alle n IN, so ist a n b n < M a n für alle n IN. Die Folge ( a n ) ist Nullfolge, also nach (a) auch die Folge (M a n ). Nach dem Vergleichskriterium ist also auch die Folge (a n b n ) Nullfolge. c) Sind (a n ) und (b n ) Nullfolgen und ist ε > 0 eine beliebige vorgegebene Zahl, so gibt es ein n ε und ein m ε mit a n < ε für n > n ε und b n < ε für n > m ε. Für n > N ε := max{n ε ; m ε } ist dann ca n + db n c a n + d b n < ( c + d ) ε. Damit ist dann aber auch, wie bei (a), (ca n + db n ) eine Nullfolge. Sind (a n ) und (b n ) Nullfolgen, so ist insbesondere die Folge (b n ) beschränkt und somit die Folge (a n b n ) nach (b) eine Nullfolge. d) Ist ε > 0 vorgegeben, so wähle N ε = n ε 2 so, dass a n < ε 2 für n > n ε 2. Dann ist a n < ε für n > N ε.

45 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 43 Beim Beweis für lim n qn = 0, falls q < 1 ist der Logarithmus noch etwas undurchsichtig. Mit dem Vergleichskriterium kann man das besser beweisen: Mit der Substitution h := bzw. q = gilt h > 1. Mit der Bernoullischen Ungleichung (vgl ) gilt q h+1 dann: 1 q n = 1 q = (1 + n h)n 1 + nh nh und somit q n 1 h 1 n. Mit dem Vergleichskriterium und dem Punkt (a) der Rechenregeln für Nullfolgen folgt, dass (q n ) eine Nullfolge ist Folgen mit Grenzwert a SATZ: Eine Folge (a n ) hat den Grenzwert a, genau dann, wenn die Folge (a a n ) eine Nullfolge ist. Oder kurz lim a n = a lim (a a n ) = 0. n n BEWEIS: Ist lim n a n = a, dann gibt es zu jedem ε > 0 ein n ε mit a a n < ε für alle n > n ε. D.h. aber, dass (a a n ) Nullfolge ist. Ist umgekehrt (a a n ) Nullfolge, bedeutet das, dass es für jedes ε > 0 ein n ε gibt mit a a n < ε. D.h. aber, dass lim n a n = a. Folgen, die einen Grenzwert besitzen, heißen auch konvergente Folgen Konvergenzsätze - Rechengesetze für konvergente Folgen Aus den Rechengesetzen für Nullfolgen und dem letzten Satz folgt für konvergente Folgen: a) Ist lim n a n = a, so ist lim (c a n) = c a. n b) Gilt lim n (a n ) = a und lim n (b n ) = b, so gilt lim n ± b n ) n = a ± b lim n b n ) n = a b.

46 44 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik c) Gilt zudem b n 0 und lim n b n = b 0, so gilt a n lim = a n b n b. d) Ist lim n a n = a, so gilt lim n an = a. Als Beispiel soll hier nur b) mit + ausführlich bewiesen werden: Es gilt laut Voraussetzung: lim a n = a und n lim b n = b. n Also gilt: Für jedes ε > 0 gibt es ein n aε IN mit a a n < ε, falls n > n aε n bε mit b b n < ε, falls n > n bε. Für n ε := max{n aε ; n bε } gilt dann, falls n > n ε : und ein a a n < ε b b n < ε. Damit gilt (a + b) (a n + b n ) = (a a n ) + (b b n ) a a n + b b n (Dreiecksungleichung) < ε + ε = 2 ε Ist nun für die Folge (a n + b n ) ein ε gegeben, dann wähle ε := ε. 2 Für n ε = n ε gilt dann (a + b) (a n b n ) < 2 ε = ε, falls n > n ε =: n ε Jede konvergente Folge ist beschränkt Gilt so ist (a n ) beschränkt. lim a n = a, n Beweis: lim a n = a lim (a a n ) = 0 n n a a n < M (Beschränktheit für Nullfolgen)

47 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 45 Daraus folgt a n = a n a + a a n a + a (Dreiecksungleichung) < M + a 5.4 Reihen als Folgen von Partialsummen Definitionen und Beispiele Ist (a n ) n IN eine beliebige Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a k = a 0 + a 1 + a k=0 eine Reihe. Die einzelnen a k sind die Glieder dieser Reihe. Natürlich ist es unmöglich, unendlich viele Additionen tatsächlich durchzuführen. Daher betrachtet man die Folge (s n ) n IN der endlichen Partialsummen n k=0 und untersucht deren Verhalten für n. Existiert der Grenzwert s := lim n s n, so heißt die Reihe konvergent und s ist ihre Summe. Besitzt die Folge (s n ) n IN keinen Grenzwert, so die Reihe divergent. Beispiele Die geometrische Reihe k=0 besitzt für beliebiges q IR die Partialsummen n s n = q k. Für diese gilt a k q k k=0 s n = 1 qn+1 1 q Dies kann man (als Übungsaufgabe) mit vollständiger Induktion beweisen. Ist q < 1, so gilt q n }{{} 0, und man erhält mit den Grenzwertsätzen für n Folgen q k = 1 1 q. k=0.

48 46 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Für q 1 ist die geometrische Reihe divergent. Die harmonische Reihe ist divergent, obwohl ihre Glieder eine Nullfolge bilden, denn es gilt k=1 k=1 1 k = }{{ 4} }{{ 8} }{{ 16} und damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt. Es gilt allerdings folgender Satz: Ist die Reihe k=0 a k konvergent, dann bilden die Glieder a k eine Nullfolge, denn für n gilt: a n = s n s n 1 s s = 0. Die Umkehrung dieses Satzes gilt offenbar nicht, wie das Beispiel der harmonischen Reihe zeigt. 1 k Rechnen mit konvergenten Reihen Aus den Rechenregeln für endliche Summen und den Grenzwertsätzen für Folgen folgt: Ist a k = a, b k = b, α, β IR, so gilt k=0 k=0 (αa k + βb k ) = αa + βb. k=0 Achtung: Für die Multiplikation gilt der entsprechende Satz nicht wie das folgende Gegenbeispiel zeigt. Es ist Aber k=0 ( ) k 1 = k=0 = 2 und ( ) k 1 = k=0 ( ) k 1 = = = 3. = 3 2.

49 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Konvergenzkriterien und absolut konvergente Reihen Die folgenden Kriterien sind Hilfmittel zur Überprüfung, ob Reihen überhaupt konvergieren. Sie dienen nicht dazu, den Grenzwert bzw. die Summe der Reihe zu finden. Dies ist im Einzelfall sehr schwierig oder sogar unmöglich. Da dieser Vertiefungskurs keine Vorlesung für MINT-StudentInnen ist, wird hier auf die Beweise der Konvergenzkriterien für Reihen verzichtet. Allerdings ist es sicherlich sinnvoll diese Konvergenzkriterien zu kennen bzw. wenigstens von ihnen gehört zu haben. Eine weitere Vertiefung findet dann sicher im Studium statt. Das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen Bilden die positiven Zahlen a 0, a 1, a 2,... eine monoton fallende Nullfolge, so ist die Reihe ( 1) k a k k=0 konvergent. Alternierend heißt, dass die Reihenglieder jeweils das Vorzeichen wechseln. Beispiel: Nach dem Leibniz-Kriterium ist die Reihe ( 1) k+1 1 k = k=1 konvergent. Bemerkung: k=1 ( 1)k+1 1 k Das Leibniz-Kriterium motiviert folgende Definition: Eine Reihe k=0 a k = ln 2. heißt absolut konvergent, wenn die zugehörige Betragsreihe mit positiven Gliedern konvergiert. a k k=0 Beispiel: Die alternierende Reihe k=1 ( 1) k+1 1 k

50 48 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik ist zwar konvergent, aber nicht absolut konvergent. Majorantenktiterium Ist die Reihe k=0 b k konvergent und gilt ab einer bestimmten Nummer N a k b k, so konvergiert die Reihe a k. Die Reihe k=0 b k heißt dann Majorante für die Reihe k=0 a k. Beispiel: Die Reihe k=0 k=0 1 k! ist konvergent. Denn es gilt: k! = k (k 1) (k 2) Ist N > 2, so gilt: Für k N gilt 1 k! = 1 N! 1 N k 1 N! ( ) k N 1 = 2N 2 N! ( ) k 1 = M 2 ( ) k 1. 2 Entsprechend zum Majorantenkriterium gibt es ein Minorantenkriterium Minorantenktiterium Ist die Reihe k=0 b k divergent und gilt ab einer bestimmten Nummer N a k b k, so divvergiert die Reihe a k. Die Reihe k=0 b k heißt dann Minorante für die Reihe k=0 a k. Beispiel: Die Reihe ist divergent. Denn es gilt 1 k 1 k k=0 k=1 1 k und damit ist die harmonische Reihe eine Minorante.

51 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 49 Quotientenkriterium Gibt es eine Konstante C < 1 und eine Nummer N, sodass für alle k N gilt dann ist die Reihe absolut konvergent. Beispiel: Die Reihe ist konvergent. Denn es gilt a k+1 a k C, k=0 k=1 1 ( ) k (k+1) k+1 k 1 = k + 1 k k a k 1 k k 1 k + 1 = 1 (1 + 1 k )k 1 k + 1 Der erste Faktor konvergiert gegen 1, der zweite gegen 0, also konvergiert e der ganze Ausdruck gegen 0. Damit konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium. Wurzelkriterium Gibt es eine Konstante C < 1 und eine Nummer N, sodass für alle k N gilt k ak C dann ist die Reihe absolut konvergent. k=0 a k Beispiel: Die Reihe k=1 ( ) k 2k + 3 3k + 2 ist absolut konvergent. Denn hier gilt k ak = 2k + 3 3k + 2 = k k Daher gibt es für 0 < ε < 1 ein n 3 ε := N mit n a n < 2 + ε < 1 falls n > N. 3

52 50 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 6 Mengen und ihre Eigenschaften 6.1 Zur Definition von Mengen In der naiven Mengenlehre legt man meist den von Georg Cantor 2 im Jahre 1895 in Beiträge zur Begründung der Mengenlehre umschriebenen Begriff der Menge zugrunde: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Dies kann man sicherlich nicht als eine Definition des Begriffes Menge ansehen, denn der zu erklärende Begriff wird nicht auf klare und präzise, schon vorhandene Begriffe zurückgefühert. Was heißt z.b. Zusammenfassung zu einem Ganzen? Die hier gegebene Umschreibung ist allenfalls dazu geeignet, gewisse Vorstellungen des Begriffs Menge zu wecken. In der formalen Mengenlehre wird erst gar nicht der Versuch gemacht, zu sagen, was eine Menge ist, sondern es wird nur gesagt, was über die Beziehungen von Mengen (und Klassen) zueinander angenommen werden soll. Diese Annahmen, die Axiome der Mengenlehre, sind dann der Grundstein für den logischen Aufbau der Mengenlehre. Man vergleiche dazu den axiomatischen Aufbau der Geometrie (Inzidenzgeometrie) seit David Hilbert. 3 In Hilberts Axiomatisierung der Geometrie wird auch nicht definiert, was ein Punkt oder eine Gerade ist, sondern es werden Axiome aufgestellt, die die Beziehung zwischen diesen Begriffen regeln. Hier soll uns diese naive Definition einer Menge als Ausgangspunkt genügen. Allerdings muß man sich darüber im Klaren sein, dass dies unter Umständen zu Widersprüchen führen kann, denn es ist nicht immer nachvollziehbar, alle Dinge einer gewissen Art zu sammeln und zusammenzufassen: wenn man alle zu haben glaubt, sind es evtl. doch nicht alle. Beispielsweise kann man zwar alle Mengen wohlunterscheiden, aber man kann sie nicht zu einer neuen Menge zusammenfassen. Diese müsste ja selbst in sich enthalten sein. (Es geht auch nicht alle Säcke dieser Welt in einen Sack zu stopfen, von evtl. Problemen mit der Größe abgesehen.) 2 Georg Cantor: David Hlibert:

53 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Bezeichnungen Die hier eingeführten Bezeichnungen dürften jedem Mathematiker geläufig sein. Der Vollständigkeit halber werden sie trotzdem behandelt. Definitionen a) Die fundamentale Beziehung eines Dinges a zu einer Menge M zu gehören bezeichnen wir nach G. Peano 4 mit a M lies: a ist Element von M Entsprechend heißt a M, dass a nicht in M enthalten ist. b) Seien M und N zwei Mengen. Man sagt N ist in M enthalten oder N ist Teilmenge von M und schreibt dafür N M genau dann, wenn für jedes a N auch a M gilt. Also N M : (a N a M) c) Zwei Mengen M, N werden als gleich definiert und man schreibt N = M genaudann, wenn jedes Element der einen auch Element der anderen Menge ist. Also M = N : N M und M N. d) Man sagt N ist echte Teilmenge von M und schreibt N M genau dann, wenn N M und N M Die Relationen und sind transitiv. D.h. aus N M und M A folgt N A. Entspechendes gilt für. 4 Guiseppe Peano:

54 52 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Beispiele: Bereits bekannte Mengen sind a) die Menge IN der natürlichen Zahlen. b) die Menge ZZ der ganzen Zahlen. c) die Menge Ql der rationalen Zahlen. d) die Menge IR der reellen Zahlen. e) die Menge Cl der komplexen Zahlen. Nach der Gleichheitsdefinition 3.) ist eine Menge durch die Angabe ihrer Elemente eindeutig bestimmt. Wir können dies z.b. dadurch zum Ausdruck bringen, dass wir die Elemente der Menge zwischen geschwungenen Klammern auflisten. {2, 3, 5, 7} ist die Menge mit den Elementen 2,3,5,7. Ist E(x) eine Aussageform, so bezeichnet {x M E(x)} die Menge aller Elemente von M mit der Eigenschaft E(x). Beispiele: a) b) {x IR x 2 4x = 0} = {0, 4} {n ZZ n ist gerade} = {0, 2, 2, 4, 4,... } Die Punkte bedeuten hier, dass noch weitere Elemente hinzukommen. Es muß allerdings aus dem Kontext immer klar hervorgehen, welche Elemente das sind. Bei dieser Angabe von Mengen muß immer eine Grundmenge M zugrundeliegen, sonst kann dies eventuell zu Widersprüchen führen: Die Menge {x x ist Menge} gibt es nicht, wie wir vorher schon bemerkt haben.

55 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Die leere Menge Liegt eine Grundmenge M vor, so können wir die Menge M folgendermaßen definieren: M := {x M x x}. Da die Eigenschaft x x für kein Element aus M zutrifft, enhält M kein Element. Sie wird dementsprechend die leere Menge von M genannt. Ist P irgendeine Aussage (Eigenschaft), so gilt stets x M P (x), denn x M ist für jedes x falsch, und aus einer falschen Aussage kann man jede beliebige Aussage folgern. ( Q P ist gleichbedeutend mit (nicht Q) oder P. ) Sind also M, N zwei Mengen, so gilt stets und Also gilt x M x N x N x M. M = N für alle Mengen M, N. Alle leeren Mengen sind somit gleich und werden deshalb einfach nur mit oder {} bezeichnet ohne die Angabe der Grundmenge. 6.4 Die Potenzmenge Die Potenzmenge (M) einer Menge M ist diejenige Menge, die als Elemente alle Teilmengen von M enthält: BEMERKUNG: (M) := {N N M} Hier ist nicht klar, welche Grundmenge man nehmen soll. Eigentlich müsste man dafür die Menge aller Mengen nehmen, die es ja aber nicht gibt. In der formalen Mengenlehre wird axiomatisch vorausgesetzt, dass die Potenzmenge (M) einer Menge M stets wieder eine Menge ist. Es gilt offensichtlich M (M), denn M M. Aber auch (M)

56 54 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik denn x x M (nach derselben Argumentation wie oben). Also M. Beispiel: ({1, 2, 3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Satz 1: Wenn M eine Menge mit n (n IN) Elementen ist, so ist (M) eine Menge mit 2 n Elementen. Beweis: Induktion nach n: IA: n = 1: M = {x} (M) = {, {x}} Also ist die Anzahl= 2 = 2 1. IV: Die Behauptung stimme für n. IS: Man nehme aus M ein Element x heraus. Was übrigbleibt ist eine n-elementige Teilmenge von M, die nach Induktionsvoraussetzung 2 n Teilmengen besitzt, die alle auch Teilmenge von M sind. Was noch fehlt sind die Teilmengen von M, die x enthalten. Diese entstehen aber gerade duch Kombination (Vereinigung s.u.) der 2 n Teilmengen von oben mit x. Also haben wir insgesamt 2 2 n = 2 n+1 Teilmengen von M. Eine weitere Beweisidee, die auch später nochmals aufgegriffen wird und die auch den Funktionsbegriff voraussetzt ist die folgende: Ist N M irgendeine Teilmenge von M, so können wir von jedem x M entscheiden, ob es Element von N ist oder nicht. Wir können also eine Funktion definieren { 1 falls x N χ N (x) = 0 falls x N die sog. Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion von N. Umgekehrt ist durch jede Funktion χ : M {0, 1} eindeutig eine Teilmenge von M festgelegt: N := {x M χ(x) = 1} Um festzustellen, wieviel Teilmengen es in M gibt, muß man also herausfinden, wieviel solche Funktionen χ : M {0, 1} es gibt. Oder anders ausgedrückt: Wieviel Möglichkeiten gibt es, n Stellen mit 0 oder mit 1 zu belegen. Das sind aber gerade 2 n : 2 für die erste Stelle; für jede dieser zwei wieder zwei für die 2. Stelle; usw.

57 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 55 Satz 2: Die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge M (k, n IN) ist ( ) n k := n!. (n k)! k! Beweis: (Kombinatorisch) Für die Auswahl einer k-elementigen Teilmenge von M hat man folgende Möglichkeiten Für das 1. Element n Möglichkeiten. Für das 2. Element (n 1) Möglichkeiten Für das k. Element (n k + 1) Möglichkeiten.. Hierbei wurde allerdings die Reihenfolge berücksichtigt. Wir sprachen vom 1., 2., usw. Element. Bei Mengen kommt es aber auf die Reihenfolge der Elemente nicht an. Wir haben also zuviel gezählt und müssen duch die Anzahl der möglichen Reihenfolgen, nämlich k! dividieren. Also ist die Anzahl n (n 1) (n k + 1) k! = n! (n k)! k! = ( ) n. k 6.5 Mengenverknüpfungen, Boolesche Algebra In diesem Abschnitt soll das Hinzufügen und das Wegnehmen von Elementen, wie das im letzten Abschnitt schon geschah formalisiert werden. Definition Seien A und B zwei Mengen. a) A B := {x x A oder x B} heißt die Vereinigungsmenge oder auch die Summe von A und B. (lies: A vereinigt B). b) A B := {x x A und x B} heißt die Schnittmenge von A und B. (lies: A geschnitten B). c) Lies: A ohne B. A \ B := {x A x B}

58 56 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik d) Liegt eine Grundmenge M zugrunde, so definieren wir: A M := M \ A heißt das Komplement von A bzgl. M. Wenn keine Mißverständnisse zu befürchten sind, schreibt man auch einfach nur A. Es gelten folgende Aussagen, die wir auch als Rechenregeln für die Verknüpfungen und auffassen können. Die einfachen Beweise sollen hier nicht ausgeführt werden. a) Kommutativgesetz: A B = B A; A B = B A b) Assoziativgesetz: (A B) C = A (B C); (A B) C = A (B C) c) Distributivgesetz: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) d) e) (A B) B = B, (A B) B = B (A A) B = B; (A A) B = B Eine Struktur bestehend aus einer Menge mit den Operationen,,, die den Rechenregeln (Axiomen) 1.) bis 5.) genügen heißt eine Boolesche Algebra 5. Ist also M irgendeine Menge, so ist die Potenzmenge (M) auf kanonische Weise eine Boolesche Algebra. 5 George Boole:

59 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 57 Noch anzufu hren wa ren die De Morganschen Regeln6 A B = A B A B = A B Auch hier lassen wir die Beweise weg. Es sei jedoch angemerkt, dass es ha ufig der Anschauung sehr dienlich ist, sich solche Aussagen in einem sog. Venn Diagramm (Mengenbild) klarzumachen. Man muß sich allerdings vor Augen halten, dass dies dann kein formaler Beweis ist. Beispiel: A B = A B 6 Augustus de Morgan:

60 58 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 7 Relationen und Funktionen 7.1 Das Produkt zweier Mengen Sind A, B zwei Mengen, so heißt die Menge A B := {(a, b) a A, b B} das kartesische Produkt (oder einfach Produkt) von A und B. Die Elemente von A B sind also die geordneten Paare (a, b) mit a A und b B. Man beachte dabei, dass das geordnete Paar (a, b) eine andere Begriffsbildung ist als die Menge {a, b}. Bei letzterer kommt es im Gegensatz zum geordneten Paar auf die Reihenfolge nicht an. Für drei Mengen A, B, C definiert man das Produkt durch A B C := (A B) C. Ein Element aus A B C wird dann allerdings anstelle von ((a, b), c) mit (a, b, c) bezeichnet. Für n Mengen A 1, A 2,..., A n (n IN) definiert man das Produkt rekursiv durch A 1 A n := (A 1 A n 1 ) A n und schreibt für die Elemente wieder kurz (a 1,..., a n ) statt ( ((a 1, a 2 ), a 3 ),... a n ). Gilt A 1 = A 2 = = A n = A, so schreiben wir A n statt A A A (n mal). Also A n := A } A {{ A } n mal Ein dazu sicherlich bekanntes Beispiel ist IR 2 = IR IR. BEMERKUNG: Sind die Mengen A und B endlich und besteht A aus m und B aus n Elementen, so folgt aus einer einfachen kombinatorischen Überlegung, dass das Produkt A B aus m n Elementen besteht. Die Paarmenge A B hat also tatsächlich den Charakter eines Produkts. 7.2 Relationen Sind A und B zwei Mengen, so kann man festlegen, welche Elemente aus A in Beziehung stehen mit Elementen aus B. Anders ausgedrückt wählt man durch diese Festlegung eine Teilmenge R des Produktes A B aus. Dies motiviert folgende

61 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 59 Definition: Eine (zweistellige) Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A B. Also R A B. Im Hinblick auf Funktionen als spezielle Relationen nennt man A die Quellmenge und B die Zielmenge von R. Häufig sind A und B dieselben Mengen. Dann nennt man die Relation R homogen. Gilt hingegen A B, so heißt die Relation R heterogen. Beispiele: Ein erstes, nicht mathematisches Beispiel ist das folgende: Der Fluss x fließt im Land y Eine mögliche Darstellung von Relationen sind sog. Pfeildiagramme. Hier sieht das Pfeildiagramm folgendermaßen aus: Eine weitere Darstellungsform ist die Relationsmatrix: Der Aufbau der Relationsmatrix ist selbsterklärend.

62 60 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik In diesem Beispiel einer heterogenen Relation sind die Mengen A und B folgende: A = {Donau; N il; Elbe; Rhein} B = {U kraine; Deutschland; Irland; N iederlasnde} Ordnungsrelationen Ordnungsrelationen sind Verallgemeinerungen der kleiner-gleich - Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge miteinander zu vergleichen. Eine Ordnungsrelation ist eine homogene Relation R M M auf einer Menge M, die zusätzlich noch die Eigenschaft hat, dass sie transitiv ist. Definition: Eine Relation R M M ist transitiv, genau dann, wenn gilt (a; b) R (b; c) R (a; c) R. Zum Beispiel ist die Relation Fluss x 1 ist mindestens so lang wie Fluss x 2 eine Orndungsrelation auf A = {Donau; N il; Elbe; Rhein}. BEMERKUNG: Bei einer Ordnungsrelation R ist statt (a; b) R häufig auch die etwas anschaulichere Schreibweise a b üblich. Definition: Eine Ordnungsrelation heißt Totalordnung oder Totale Ordnung, wenn zusätzlich zur Transitivität die folgenden Forderungen für alle a, b, c M erfüllt sind: Reflexivität: Antisymmetrie: Totalität: a a a b b a a = b a b b a Äquivalenzrelationen Definition: Eine homogene Relation R M M heißt Äquivalenzrelation, wenn die folgenden Forderungen für alle a, b, c M erfüllt sind: Reflexivität: Symmetrie: Transitivität: (a; a) R (a; b) R (b; a) R (a; b) R (b; c) R (a; c) R

63 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 61 Zum Beispiel ist die Relation Fluss x 1 ist gleich lang wie Fluss x 2 eine Äquivalenzrelation auf A = {Donau; N il; Elbe; Rhein}. 7.3 Funktion und Umkehrfunktion Der folgende auf Dirichlet 7 zurückgehende Funktionsbegriff fasst eine Funktion als Zuordnung auf wie man sie auch aus dem regulären Mathematikunterricht kennt. Definition: Unter einer Funktion f von einer Menge A in eine Menge B versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x A genau ein Element y B, das mit f(x) bezeichnet wird, zuordnet. Schreibweise: f : A B; x y = f(x) A heißt Definitionsmenge, B heißt Zielmenge und die Menge W f := {y B es gibt ein x A mit f(x) = y} heißt Wertemenge von f. Man beachte, dass eine Funktion nicht etwa die Zusammenfassung aller Funktionswerte ist, das wäre die Menge W f, sondern als neues Objekt bestehend aus Definitionsmenge, Zielmenge und Zuordnungsvorschrift aufzufassen ist; sozusagen als Punkt in einem Funktionenraum. In der modernen Definition des Funktionsbegriffs nach N. Bourbaki 8 tritt dies deutlicher zum Vorschein, denn hier wird eine Funktion als Relation R A B mit speziellen Eigenschaften aufgefasst. Dabei geht allerdings der Aspekt der Zuordnung völlig verloren. Definition: (Nach N. Bourbaki) Eine Funktion f von A in B ist eine Teilmenge von A B mit den folgenden Eigenschaften: a) Linkstotalität: Für alle x A existiert ein y B mit (x, y) f A B. b) Rechtseindeutigkeit: Aus (x, y 1 ) f und (x, y 2 ) f folgt stets y 1 = y 2. 7 Peter Gustav Lejeune-Dirichlet: Nicolas Bourbaki: Pseudonym einer Gruppe französischer Mathematiker, die sich zum Ziel setzten, durch konsequente Anwendung der axiomatischen Methode die Fundamente der Mathematik neu zu ordnen.

64 62 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Eine Funktion ist somit also ein Element der Potenzmenge (A B) von A B. Schreibt man x y statt (x, y), so wird es etwas deutlicher, wie diese Definition mit der Zuordnungsdefinition nach Dirichlet zusammenhängt Injektive und surjektive Funktionen Eine Funktion f : A B nennt man injektiv, wenn aus f(x 1 ) = f(x 2 ) stets x 1 = x 2 folgt, oder anders ausgedrückt, wenn die Gleichung f(x) = y für y B höchstens eine Lösung x A besitzt. BEISPIELE: a) Die Funktion f : IR IR; x x 3 ist injektiv. b) Die Funktion f : IR IR; x x 2 ist nicht injektiv. Eine Funktion f : A B nennt man surjektiv, wenn es zu jedem y B ein x A gibt mit f(x) = y. D.h. jedes Element y B muss als Funktionswert bzw. als Bild vorkommen. Eine Funktion f : A B nennt man bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Anschauliche Beispiele mit Mengendiagrammen: Die Umkehrfunktion Diese Diagramme verdeutlichen anschaulich auch den folgenden

65 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 63 Satz: Sei f : A B; x y = f(x) eine Funktion. f ist genau dann bijektiv (oder eineindeutig), wenn es eine Funktion g : B A gibt mit den Eigenschaften 1.) f(g(y)) = y für alle y B 2.) g(f(x)) = x für alle x A Die Funktion g heißt Umkehrfunktion von f und wird auch mit f 1 bezeichnet Spezielle Umkehrfunktionen a) Die Wurzelfunktion Die Quadratfunktion f : IR IR, f(x) = x 2 ist weder injektiv noch surjektiv. Damit es eine Umkehrfunktion gibt, muss die Funktion aber bijektiv sein. Um die Surjektivität zu erreichen, schränkt man die Zielmenge (hier das rechte IR) auf die Wertemenge von f ein. W f = IR + 0. Um die Injektivität zu erreichen muss man die Ausgangsmenge (hier das linke IR) so einschränken, dass jeder Funktionswert nur einmal vorkommt. Dafür gibt es im Allgemeinen viele Möglichkeiten, aber auch in der Mathematik wählt man eine naheliegende Möglichkeit aus. Hier ist es sinnvoll, die Ausgangsmenge ebenfalls auf IR + 0 einzuschränken, sodass man formal folgende neue Funktion erhält: f : IR + 0 IR + 0, f (x) = x 2. Diese ist bijektiv mit der Umkehrfunktion f 1 : IR + 0 IR + 0, f 1 (y) = y. Im Schaubild bedeutet die Umkehrung von f : IR + 0 IR + 0, f (x) = x 2 die Vertauschung von x- und y-achse. Dies entspricht aber einer Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. Man erhält also auch das Schaubild von f 1 durch Spiegelung des Schaubildes von f an der ersten Winkelhalbierenden.

66 64 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik b) Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen (a) Die Arkussinusfunktion f : IR IR, f(x) = sin(x) f : [ π 2 ; π 2 ] [ 1; 1], f (x) = sin(x) f 1 : [ 1; 1] [ π 2 ; π 2 ], f 1 (y) = arcsin(y)

67 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 65 (b) Die Arkuskosinusfunktion f : IR IR, f(x) = cos(x) f : [0; π] [ 1; 1], f (x) = cos(x) f 1 : [ 1; 1] [0; π], f 1 (y) = arccos(y) (c) Die Arkustangensfunktion f : IR\{x IR x = π + k π; k ZZ} IR, f(x) = tan(x) 2 f : ( π; π) IR, f (x) = tan(x) 2 2 f 1 : IR ( π; π), f 1 (y) = arctan(y) 2 2

68 66 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik c) Die Logarithmusfunktion f : IR IR, f(x) = e x f : IR IR +, f (x) = e x f 1 : IR + IR, f 1 (y) = ln(y) 7.4 Spezielle Funktionen und ihre Eigenschaften Die trigonometrischen Funktionen Die trigonometrischen Funktionen oder auch Dreicksfunktionen wurden ursprünglich als Verhältnisse am rechtwinkligen Dreieck definiert. Die Verallgemeinerung wird dann am Einheitskreis bewerkstelligt. Dabei ist folgendes festgelegt: sin(x) ist die Hochkoordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis, dessen Radius vom Startpunkt (1 0) den Winkel x (im Bogenmaß) überstrichen hat. Entspechend ist cos(x) die Rechtskoordinate des Punktes und tan(x) der Quotient aus Hochkoordinate und Rechtskoordinate. Die Sinusfunktion Definitionsbereich: IR Wertebereich: [ 1; 1] Differenzierbarkeit: Überall auf IR differenzierbar mit sin (x) = cos(x). Nullstellen: kπ; k ZZ Umkehrfunktion (vgl. S.64): arcsin(y) mit arcsin (y) = 1 1 y 2 ; y ( 1; 1)

69 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 67 Besonderheiten: sin ist 2π-periodisch und eine ungerade Funktion, d.h., es gilt sin( x) = sin(x). Die Kosinusfunktion Definitionsbereich: IR Wertebereich: [ 1; 1] Differenzierbarkeit: Überall auf IR differenzierbar mit cos (x) = sin(x). Nullstellen: π 2 + kπ; k ZZ Umkehrfunktion (vgl. S.65): arccos(y) mit arccos (y) = 1 1 y 2 ; y ( 1; 1) Besonderheiten: cos ist 2π-periodisch und eine gerade Funktion, d.h., es gilt cos( x) = cos(x). Die Tangensfunktion Definitionsbereich: IR\{kπ + π 2 k ZZ} Wertebereich: IR Differenzierbarkeit: Diffenernzierbal auf IR differenzierbar mit tan (x) = 1 + tan 2 (x) = 1 cos 2 (x). Nullstellen: kπ; k ZZ Umkehrfunktion (vgl. S.65): arctan(y) mit arctan (y) = 1 1+y 2 ; y IR Besonderheiten: tan ist π-periodisch und eine ungerade Funktion, d.h., es gilt tan( x) = tan(x). Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y) cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)

70 68 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Exemplarisch soll hier das Additionstheorem sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) bewiesen werden, wobei die Winkel hier im Gradmaß angegeben werden, was eher gewohnt ist: Die Strecke OS hat die Länge 1 (Einheitskreis) und die Dreiecke OP S, OAS, OBA und CAS sind rechtwinklig. Damit gilt für die Summe der Winkel α + β + δ = 90 o = α + β + δ also Damit gilt α = α sin(α + β) = r + s = sin(α) k + cos(α) t = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) Nebenrechnung: Aus den Dreiecken OBA und OAS ergibt sich: r = sin(α) k; mit k = cos(β) 1 = sin(α) cos(β) Aus den Dreiecken CAS und OAS ergibt sich: s = cos(α) t; mit t = sin(β) 1 = cos(α) sin(β)

71 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 69 Mit Hilfe der Additionstheoreme kann man auch die folgenden Formeln beweisen: Doppelwinkelformeln sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) = 2 tan(x) 1+tan 2 (x) cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) = 1 2 sin 2 (x) = 2 cos 2 (x) 1 = 1 tan2 (x) 1+tan 2 (x) tan(2x) = 2 tan(x) 1 tan 2 (x) Halbwinkelformeln sin ( ) x 2 = ± 1 cos(x) 2 cos ( ) x 2 = ± 1+cos(x) 2 tan ( ) x 2 = ± 1 cos(x) 1+cos(x) Dabei wechselt das Vorzeichen bei sin und cos alle 360 o bzw. 2π und bei tan alle 180 o bzw. π Die hyperbolischen Funktionen Die Sinus Hyperbolicus Funktion Definitionsbereich: IR Wertebereich: IR sinh(x) = 1 2 (ex e x ) Differenzierbarkeit: Überall auf IR differenzierbar mit sinh (x) = cosh(x). Nullstellen: x = 0 Umkehrfunktion: arcsinh(y) = ln(y + y 2 + 1) Besonderheiten: sinh ist eine ungerade Funktion, d.h., es gilt sinh( x) = sinh(x).

72 70 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Die Kosinus Hyperbolicus Funktion Definitionsbereich: IR Wertebereich: [1; ) cosh(x) = 1 2 (ex + e x ) Differenzierbarkeit: Überall auf IR differenzierbar mit cosh (x) = sinh(x). Nullstellen: keine Umkehrfunktion: arccosh(y) = ln(y + y 2 1) Besonderheiten: sinh ist eine gerade Funktion, d.h., es gilt cosh( x) = cosh(x). Die Tangens Hyperbolicus Funktion Definitionsbereich: IR Wertebereich: ( 1; 1) tanh(x) = sinh(x) cosh(x) = ex e x e x + e x Differenzierbarkeit: Überall auf IR differenzierbar mit tanh (x) = 1 tanh 2 (x) = 1 cosh 2 (x). Nullstellen: x = 0 Umkehrfunktion: arctanh(y) = 1 2 ln ( 1+y 1 y Besonderheiten: tanh ist eine ungerade Funktion, d.h., es gilt tanh( x) = tanh(x). ) Additionstheoreme für hyperbolische Funktionen cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1 sinh(x ± y) = sinh(x) cosh(y) ± cosh(x) sinh(y) cosh(x ± y) = cosh(x) cosh(y) ± sinh(x) sinh(y) tanh(x ± y) = tanh(x)±tanh(y) 1±tanh(x) tanh(y)

73 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 71 Bemerkung: Der Name hyperbolische Funktionen hängt mit dem ersten Additionstheorem cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1 zusammen. Setzt man X = cosh(x) und Y = sinh(x) so liegen alle Punkte (X Y ) mit X 2 Y 2 = 1 auf einer Hyperbel mit den beiden Winkelhalbierenden als Asypmtoten. Analog dazu liegen die Punkte (X Y ) mit X 2 + Y 2 = 1 auf einem Kreis (vgl. das erste Additionstheorem für trigonometrische Funktionen; S.67). Schaubilder der hyperbolischen Funktionen

74 72 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik Anwendungen Die Form einer frei hängenden Kette ähnelt zwar sehr stark einer Parabel, selbst Galileo Galilei hatte schon vorgeschlagen, frei hängende Ketten als Schablonen für Parabeln zu benutzen, aber man kann inzwischen zeigen, dass eine frei hängende Kette die Form des Schaubildes einer Kosinus- Hyperbolicus-Funktion hat. Aus diesem Grund nennt man den Graphen der Kosinus-Hyperbolicus-Funktion auch Kettenlinie. Auch in der Architektur spielt die Kettenlinie eine, im wahrsten Sinne des Wortes, tragende Rolle. So hat z.b. auch der Gateway Arch in St. Louis, Missouri, USA die Form einer Kettenlinie, also die Form des Graphen einer Kosinus-Hyperbolicus-Funktion.

75 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 73 8 Ebene Kurven 8.1 Parameterdarstellung von Kurven Ähnlich zur Parameterdarstellunng von Geraden x = p + t v bzw. in Koordinaten ( x(t) y(t) ) ( p1 + t v = 1 p 2 + t v 2 ) kann man in der x-y-ebene den Vektor R in Abhängigkeit eines Parameters t darstellen: ( ) x(t) R(t) =. y(t) Man kann R(t) dabei als Ortsvektor eines Massepunktes in Abhängigkeit von der Zeit t interpretieren und erhält so eine Kurve in der x-y-ebene. x(t) und y(t) sind dabei Funktionen, die vom Parameter t abhängen. Beispiele: a) Kreis mit Radius r um den Mittelpunkt (x 0 y 0 ): R(t) = ( x0 y 0 ) + ( r cos(t) r sin(t) ) = ( x0 + r cos(t) y 0 + r sin(t) )

76 74 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik b) Ellipse mit den Halbachsen a und b um den Mittelpunkt (x 0 y 0 ): ( ) ( ) ( ) x0 a cos(t) x0 + a cos(t) R(t) = + = y 0 b sin(t) y 0 + b sin(t) c) Zykloide: Bahnkurve eines Punktes auf einem rollenden Kreis: Vektor zum Kreismittelpunkt ( ) t R 1 (t) = r 1 Vektor vom Kreismittelpunkt zur Kreislinie ( cos( π R 2 (t) = r t) ) 2 sin( π t) 2 Insgesamt R(t) = R 1 (t) + R 2 (t) = r ( t 1 ) + r Mit cos( π t) = cos( π + t) = sin(t) 2 2 und sin( π t) = sin( π + t) = cos(t) folgt: 2 2 ( ) t sin(t) R(t) = r 1 cos(t) ( cos( π 2 t) sin( π 2 t) )

77 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 75 Betrachtet man einen Punkt mit Abstand d vom Mittelpunkt erhält man die Parameterdarstellung: ( ) rt d sin(t) R(t) = r d cos(t) Zykloide mit r = 1 und d = 1, 35. Zykloide mit r = 1 und d = 0, 7. d) Relativ einfach ist die Parametrisierung eines Graphen einer Funktion f : x f(x), denn hier kann man als Parameter t einfach den x-wert nehmen: ( ) t R(t) = f(t)

78 76 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 8.2 Der Tangentenvektor Zu zwei Zeitpunkten t und t + t betrachten wir die zugehörigen Ortsvektoren R(t) und R(t + t). Der Differenzenvektor R = R(t + t) R(t) gibt dann an, wie der Massepunkt während der Zeitspanne t von R(t) nach R(t + t) im Mittel verschoben wurde. Der Differenzenquotient R t = R(t + t) R(t) t = 1 t { R(t + t) R(t) } gibt dann an, mit welcher Geschwindigkeit (unter Berücksichtigung der Richtung) der Massepunkt im Mittel bei geradliniger gleichmäßiger Bewegung von R(t) nach R(t + t) im Mittel verschoben wurde. Für die Komponenten erhält man {( 1 x(t + t) t y(t + t) ) ( x(t) y(t) )} = ( x(t+ t) x(t) t y(t+ t) y(t) t Sind die Komponentenfunktionen x(t) und y(t) differenzierbar, so erhält man als Grenzwert: {( ) ( )} ( ) 1 x(t + t) x(t) x(t+ t) x(t) ( ) lim R(t) = lim = t 0 t ẋ(t) y(t+ t) y(t) = t 0 t y(t + t) y(t) lim t 0 ẏ(t) t ).

79 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 77 Die Ableitungsvorschrift überträgt sich auf die beiden Komponenten der Parameterdarstellung der Kurve. Im Spezialfall einer Geraden mit der Parameterdarstellung ist R(t) = ( x(t) y(t) R(t) = ( ẋ(t) ẏ(t) genau der Geschwindigkeitsvektor v = ) ( ) p1 + t v = 1 p 2 + t v 2 ( v1 ) = v 2 ) ( v1 ( ) ẋ(t) Bei einer ungeradlinigen Bewegung ist der Vektor Ṙ(t) = tangential ẏ(t) zur Kurve und gibt den momentanen Geschwindigkeitsvektor an. Beispiel: Parameterdarstellung einer Zykloide:. v 2 R(t) = r ( t sin(t) 1 cos(t) R(t) = r ( 1 cos(t) sin(t) Die beiden Komponentenfunktionen sind beliebig oft differenzierbar, trotzdem hat die Kurve bei t = k 2π eine Spitze. Dort ist der Tangentenvektor gleich dem Nullvektor. Deshalb ist oft die Bedingung R(t) 0 sinnvoll. Eine Kurve mit R(t) 0 heißt reguläre Kurve. Z.B. ist die Zykloide mit r = 1 und d = 0, 6 regulär: ) ) )

80 78 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 8.3 Polarkoordinatendarstellung von Kurven In vielen Fällen, z.b. beim Radar der Schifffahrt, ist es sinnvoll, die Koordinaten eines Punktes in der Ebene durch sog. Polarkoordinaten anzugeben. Dabei wird der Abstand r vom Ursprung und der Winkel ϕ zur positiven x-achse angegeben. Bewegt sich der Punkt auf einer Kurve um das Zentrum, den Ursprung, so kann man auch Kurven in der sog. Polarkoordinatendarstellung beschreiben. In vielen Fällen lässt sich der Abstand r sogar als Funktion r(ϕ) des Winkels ϕ auffassen. Beispiele: a) Der Kreis: Für eine Kreisbahn um den Ursprung mit Radius r gilt dann in Polarkoordinaten: R(ϕ) = (r; ϕ), ϕ [0; 2π) bzw. r(ϕ) = r = konst. b) Die lineare Spirale: R(ϕ) = (aϕ; ϕ), ϕ IR, bzw. r(ϕ) = aϕ.

81 A. Temmel; Vertiefungskurs Mathematik 79 c) Die logarithmische Spirale: R(ϕ) = (ke aϕ ; ϕ), ϕ IR, bzw. r(ϕ) = ke aϕ. d) Für einen Kreis mit Mittelpunkt M(2 0) und dem Radius 2 gilt (Nachweis als Übungsaufgabe) r(ϕ) = 4 cos(ϕ).