Beschreibung von Messabweichungen

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1 Beschreibung von Messabweichungen Übung 1 (KW15) Die Dicke d eines Stabes wurde an mehreren Stellen gemessen. Folgende Werte wurden ermittelt: arithmetisches Mittel: d ҧ = 7,2334 mm absolute Messunsicherheit: u d = 0,0123 mm relative Messunsicherheit: u d തd = 0,0017 ( ҧ d als Bestwert für wahren Wert) Wie ist das Ergebnis der Messung anzugeben, wenn auf 3 Nachkommastellen gerundet wird? Lösung: Das Resultat der Messung lautet: d = (7,233±0,020) mm = 7,233(20)mm Die Messunsicherheit sollte immer aufgerundet sein (pessimistischer Ansatz)! oder d = 7,233 (1±0,17%) mm Angaben wie d = 7,233 mm±0,17% sind allerdings falsch, da Längen und Zahlen nicht addiert werden können. 1

2 Beschreibung von Messabweichungen Übung 2: (KW15) Eine Wiederholungsmessung zum Widerstand R ergab: arithmetische Mittel തR = 17,913 Ω Messunsicherheit u R = 0,1529 Ω Geben Sie die relative Messunsicherheit und das Messergebnis (2 Nachkommastellen) an. Lösung: relative Messunsicherheit: u R തR = 0, Messergebnis: R = (17,91 ±0,16) Ω oder R = 17,91(1±0,9%) Ω. 2

3 Beschreibung von Messabweichungen Übung 3: (KW15) Das Ergebnis einer Zeitmessung ergibt arithmetisches Mittel ҧ t = 91,513 s absolute Messunsicherheit u t = 1,08151 s, relative Messunsicherheit u t ҧ t = 0, Geben Sie das Messergebnis (1 Nachkommastelle) an. Lösung: Das Messergebnis ist t = (91,5±1,1) s oder t = 91,5(1± 1,2%) s 3

4 2.1 Beschreibung von Messabweichungen Übung 4: (KW15) Auf einem analogen Strommessgerät ist der Garantiefehler für Messbereiche 10 ma.. 10A mit ±2,3% angegeben. Die Messung erfolgt bei 1,75 A. Die Skalenteilung beträgt 10 ma. Ermitteln Sie den Größtfehler. Lösung: 1,75 A Garantiefehler = ± 2,3% 1,75 A = ± 40,25 ma. Ablesefehler entspricht der Hälfte des Abstandes der Teilungsstriche ± 5 ma Insgesamt ergibt sich daraus ein Größtfehler von ±(40,25 + 5) ma = ± 45,25 ma 4

5 2.2 systematischer Anteil der Messabweichung Übung 5: (KW15) Annahme dreier Messgrößen (ohne Maßeinheit) x, y und z mit den Genauigkeiten Δx, Δy und Δz sowie dem Zusammenhang E: E = x y 2 z x = 9,8 ± 0,2 y = 2,43 ± 0,01 z = 12,0 ± 0,1 E = 4,822 a. Berechnen Sie die partielle Ableitung entsprechend des Gesetzes der (linearen) Fortpflanzung systematischer Anteile der Messabweichung b. Kontrollieren Sie das Ergebnis im Vergleich zur Addition der relativen Abweichungen. 5

6 2.2 systematischer Anteil der Messabweichung a. Partielle Ableitung entsprechend Gesetz der (linearen) Fortpflanzung systematischer Anteile der Messabweichung E = x y 2 z Δy n f x i= 1 i Δx i E E E ΔE Δx Δy Δz x y z E x y z 2 E y x z 2y E z xy 2 z 2 2 y 2xy xy ΔE Δx Δy 2 z z z ΔE 2 Δz 0,4920,2 3,9690,01 0,4020,1 0,178 x = 9,8 ± 0,2 y = 2,43 ± 0,01 z = 12,0 ± 0,1 6

7 2.2 systematischer Anteil der Messabweichung b. Addition der relativen Abweichungen E = x y 2 z Δy n xi α Δ i y i= 1 xi ΔE E ΔE Δx x Δx x Δy 2 y Δy 2 y Δz z Δz z E ΔE (0,0204 0,0082 0,0083) 4,822 0,178 x = 9,8 ± 0,2 y = 2,43 ± 0,01 z = 12,0 ± 0,1 7

8 2.3 zufälliger Anteil der Messabweichung Übung 6: (KW15) Zur Bestimmung der Erdbeschleunigung g wurden 9 Messreihen durchgeführt. Geben Sie das Ergebnis in korrekter Form an, wobei eine statistische Sicherheit von P = 95 % angenommen wird (Nachkommastellen: 2)! Messung Messwert g (m/s 2 ) 1 9,82 2 9,77 3 9,76 4 9,84 5 9,82 6 9,8 7 9,82 8 9,83 9 9,78 8

9 2.3 zufälliger Anteil der Messabweichung Ergebnis ist der Form: y = തy ± t s n Mittelwert ( x ҧ = 1 σ n i=1 n x i ) g ҧ = 9,8044 mτ s 2 = തy ± u Messung Messwert g (m/s 2 ) 1 9,82 2 9,77 3 9,76 (emp.) Standardabweichung (s x = s g = 0,0283 mτ s 2 1 σ n 1 i=1 n Ermittlung der Messunsicherheit u g = ± t(f,α) n (x i x) ҧ 2 ) s g + L syst u g = ± t(f,α) s n g = ± 2,306 s 9 g = ±0,0218 mτ s 2 4 9,84 5 9,82 6 9,8 7 9,82 8 9,83 9 9,78 Darstellung des Messergebnis (x = g = g ҧ ± u g = 9,80 mτ s 2 ± 0,03 x ҧ ± t s = n x ҧ ± u) mτ s 2 = 9,80(3) mτ s 2 9

10 Tabelle 1: t f,a -Werte der t-verteilung bei f Freiheitsgraden und gegebener IrrtumsWSK P 90% 95% 98% 99% 99,90% α 10% 5% 2% 1% 0,10% f 1 6,314 12,706 31,821 63, , ,92 4,303 6,965 9,925 31, ,353 3,182 4,541 5,841 12, ,132 2,776 3,747 4,604 8,61 5 2,015 2,571 3,365 4,032 6, ,943 2,447 3,143 3,707 5, ,895 2,365 2,998 3,499 5, ,86 2,306 2,896 3,355 5, ,833 2,262 2,821 3,25 4, ,812 2,228 2,764 3,169 4, ,796 2,201 2,718 3,106 4, ,782 2,179 2,681 3,055 4, ,66 1,984 2,364 2,626 3, ,653 1,972 2,345 2,601 3,339 1,645 1,96 2,326 2,576 3,291 10

11 2.5.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens Übung 11 zur Faltung (KW17) x 1 n = {1; 2; 3; 0; 0; 0} x 2 n = {1; 0; 2; 1; 0; 0} x 1 [n] x 2 n = {1, 2, 5, 3, 4, 3} wobei x 1 [-n] x 1 [n] x 2 n = { 3, 4, 3, 5, 2, 1} wobei x 2 [-n] (Quelle: Werner: Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB, 4. Auflage) 11

12 2.5.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens Aufgabe 12: Zeigen Sie, das bei der Berechnung der Übertragungsfunktion eines LTI-Systems u.a. gilt: U A U E = U A U E. Welche Bedingung muss dabei erfüllt sein? (KW17) Es gilt: U A = U A e jωt und U E = U E e jωt Deshalb: U A U E = U A e jωt U E e jωt = U A U E für f E = f A 12

13 2.5.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens Übung 14: komplexe Übertragungsfunktion eines RC-Tiefpass (KW17) Es gilt eingangsseitig: u E = i C R + 1 jωc Es gilt ausgangsseitig: u A = i C ( 1 jωc ) Als ÜF ergibt sich: G = u A u E = 1 jωc R + 1 jωc = jωrc = 1 jωrc 1 + (ωrc) 2 Wird jω durch s ersetzt (Laplace), erhält man mit τ=rc: G(s) = 1 1+sRC = 1 1+sτ 13

14 2.5.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens Übung 15: komplexe Übertragungsfunktion eines RC- Tiefpasses (KW17) Bei welcher Frequenz beträgt der Amplitudengang G jω des RC- Tiefpasses -10dB? Gegeben sind R = 100 W und C = 2µF. Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik - Übungsaufgaben mit ausführlichen Musterlösungen, S

15 2.5.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens Amplitudengang des Tiefpasses 1. Ordnung (aus Aufgabe 14): u A = u E G (jω) bzw. G = u A u E G (jω) = u A u E = 1 jωc R + 1 jωc = jωrc Zähler(G (jω)) G (jω) = Nenner(G (jω)) = (ωrc) 2 G (jω) db = 20dB log G (jω) = 10dB G (jω) = Τ 20 = = (ωRC) 2 10 = 1 + (ωrc)2 ω = s 1 f = Hz 15

16 2.5.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens Übung 16: komplexe Übertragungsfunktion (KW17): R 1 Ein ohmscher Spannungsteiler mit den Widerständen R 1 = 900 W und R 2 = 100 W ist mit der Kapazität C = 10 µf belastet. Die Sinus-Eingangsspannung ist U 1 =100 V, f = 50 Hz. Wie groß ist die Ausgangsspannung U 2? Um welchen Winkel f ist U 2 gegenüber U 1 phasenverschoben? U 1 U 2 R 2 C 1 Stiny, Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik - Übungsaufgaben mit ausführlichen Musterlösungen, S

17 2.5.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens Zusammenfassen des Ausgangswiderstandes: 1 Z= R 2 jωc R jωc = R 2 1+jωR 2 C Spannungsteiler anwenden: U 2 = U 1 Z R 1 + Z U 2 = U 1 R jωr 2 C R R jωr 2 C U 2 = U 1 R 2 R 1 + R 2 + jωr 1 R 2 C = U 1 G (jω) 17

18 2.5.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens Betrag der Ausgangsspannung: U 2 = U 1 G (jω) G (jω) = R 2 2 R 1 + R ωr 1 R 2 C 2 Zähler(G jω ) Nenner(G jω ) G (jω) = π G (jω) = 0,0962 U 2 = U 1 G (jω) = 100V 0, 0962 = 9, 62V 18

19 2.5.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens Phasenwinkel: φ ω = arg G (jω) arg U 2 arg(u 1 ) arg U 2 = arg R 2 = 0 arg U 1 = arg R 1 + R 2 + jωr 1 R 2 C φ U1 = arctan I U 1 R U 1 = arctan ωr 1R 2 C R 1 +R 2 φ ω arg U 2 arg(u 1 ) φ ω = 0 arctan 2π = 15, 79 19

20 2.5.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens Übung 17: komplexe Übertragungsfunktion (KW17) : Wie lautet die ÜF der Schaltung? Bestimmen Sie die Grenzfrequenz für R 1 = 10kW, R 2 = 2kW, L=10nH. Welche Minimal- und Maximalwerte kann G (jω) annehmen? R 1 L U 1 U 2 R 2 20

21 2.5.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens Übertragungsfunktion G jω = U 2 U 1 = Z A Z E Z A Z E = G jω = R 2 (R 1 + R 2 + Z L ) R 2 (R 1 + R 2 + jωl) Grenzfrequenz für R 1 = 10kW, R 2 = 2kW, L=10nH übertragene Amplitude sinkt auf den 1 -fachen Wert ab 2 Phasenverschiebung zwischen Ein-& Ausgang: 45 ω g = R 1 + R 2 L = Ω Ωs = 1, s 1 f g = ω g 2π Hz = 191 GHz 21

22 2.5.2 Beschreibung des Übertragungsverhaltens Minimal- und Maximalwerte von G jω? G jω = R 2 (R 1 + R 2 + jωl) ω = 0Hz: G jω R 2 (R 1 + R 2 ) = ,16 ω : G jω

23 Ergänzung zur dynamischen Messabweichung aus der Vorlesung am für Selbststudium 23

24 2.5.3 dynamische Messabweichung Dynamische Messabweichung systematischer Art, d.h. Bestandteil der gesamten systematischen Messabweichung bei LTI-Systemen: separat von statischen Abweichungen betrachtbar im Wesentlichen auf Trägheit der Messeinrichtung zurückzuführen Messsystem wahre Messgröße x (t) w G(s) gemessener Wert x(t) 24

25 2.5.3 dynamische Messabweichung t System ohne Speicher, mit Totzeit: Phasenverschiebung M x w (t) Messgerät x x(t) t Anzeigegerät Schreiber Oszilloskop System mit einem/ mehreren Speichern (Massen): Phasenverschiebung und Verringerung Amplitude 25

26 2.5.3 dynamische Messabweichung momentane dynam. Messabweichung (zeitlicher Verlauf!): F dyn (t) = x t x w (t) mittlere quadratische dynam. Messabweichung (Maß, Kennzahl!): T 1 2 F dyn = lim T T න 2 F dyn t dt 0 (bei periodischen Signalen: T.. Periodendauer) 26

27 2.5.3 dynamische Messabweichung Bestimmung der dynam. Messabweichung (Laplace) F dyn s X s X s w mit X s Gs X s w F dyn s X s Gs 1 X s w 1 1 G s für bekanntes Eingangssignal (wahrer Wert) ist Momentanverlauf der dynam. Abweichung: F dyn 1 t L X sgs w 1 Vorwärtsanalyse 27

28 2.5.3 dynamische Messabweichung für bekanntes Eingangssignal (wahrer Wert) ist Momentanverlauf der dynam. Abweichung: 1 t X sgs F L 1 Vorwärtsanalyse dyn w für bekannten Messwert gilt: F dyn t L 1 X s 1 1 G s Rückwärtsanalyse 28

29 2.5.3 dynamische Messabweichung Rechenbeispiel (Profos, S. 89): Eingangssignal Sprungfunktion x(t)=σ(t) dynamische Messabweichung F dyn t? x t = σ(t) x s = 1 s (Laplace-Transformierte, für das wahre Signal x w s ) Im Frequenzbereich gilt: F dyn s = x w s G s 1 F dyn s = x s G s 1 x t = σ(t) F dyn s = 1 s G s 1 y t = h(t) Rücktransformation in den Zeitbereich: F dyn t = L 1 1 s G s 1 F dyn t F dyn t = L 1 G s s 1 s = g t σ(t) 29

30 Informationen in eigener Sache 1. Praktika, Hiwi-Jobs, Bachelor- und Masterarbeiten Vielfältiges Aufgabenangebot Messtechnik und Leistungselektronik, Akustische Sensoren Signalanalyse und verarbeitung Prozessmesstechnik Applikationsspezifische Messsysteme Kontaktlose Energie- und Datenübertragung IKT und Automation, Verkehr und Assistenz, Wasser & Energie Einrichtungen Lehrstuhl Messtechnik, Institut für Automatisierungstechnik, OvGU ifak - Institut für Automation und Kommunikation e.v. 30

31 Informationen in eigener Sache 2. Tag der Logistik: ( Kostenfreie Veranstaltungen Blick hinter die Kulissen der Logistik in Industrie, Handel und Dienstleistung ifak (Institut für Automation und Kommunikation e.v.): Führung durch das Technikum (Denkfabrik, Wissenschaftshafen) IKT und Automation, Messtechnik und Leistungselektronik, Verkehr und Assistenz, Wasser & Energie :30 Uhr :30 Uhr 31

32 Ergänzende Übungsaufgaben 32

33 2.3 zufälliger Anteil der Messabweichung Übung 7: Gemessen wurden n=9 Schraubenlängen: Mittelwert x = 7,33 mm (empirische) Standardabweichung s = 1,5 mm Vertrauensniveau P = 95% ( 99%). Berechnen Sie die Grenzen des Vertrauensniveaus für den Mittelwert der Stichprobe. P=95% P=99% x o = x ҧ + t s n x u = xҧ t s n x o = x ҧ + t s n x u = xҧ t s n x o;95 = 7,33 + 2,306 1,5 9 x u;95 = 7,33 2,306 1,5 9 x o;99 = 7,33 + 3,355 1,5 9 x u;99 = 7,33 3,355 1,5 9 x o;95 = 8,483 mm x u;95 = 6,18 mm x o;99 = 9,01 mm x u;95 = 5,65 mm 33

34 2.3 zufälliger Anteil der Messabweichung Übung 8: Fehlerfortpflanzung Eine Komponente wird automatisch abgefüllt. Bekannt ist das mittlere Gewicht g 1 = 80g der Verpackung mit der zugehörigen Standardabweichung s 1 = 5g. Gewogen wird jeweils während des Füllens. Das Gesamtgewicht g 3 von Inhalt und Verpackung ist im Mittel g 3 = 600g mit der Standardabweichung s 3 = 9g. Bestimmen Sie Mittelwert und Standardabweichung der Einwaage g 2 = g 3 -g 1. 34

35 2.3 zufälliger Anteil der Messabweichung Lösung: Mittelwert g 2 =g 3 -g 1 = g = 520g Standardabweichung s 2 = g 2 g 3 s g 2 g 1 s 1 2 g = g = 10,3g Waren genügend viele (n ) und voneinander unabhängige Messgrößen vorliegend, so ist Normalverteilung anzunehmen. (Erinnerung: Aussage der Gauss-Verteilung: Im Intervall μ σ bis μ + σ befinden sich ca. 68,27% aller Messwerte Im Intervall μ 2σ bis μ + 2σ befinden sich ca. 95,45% aller Messwerte Im Intervall μ 3σ bis μ + 3σ befinden sich ca. 99,73% aller Messwerte) Bei normalverteilten Gewichten haben 95 von 100 Packungen einen Inhalt von 520g ± 2s 2 = 520g ± 20,6g 35

36 2.3 zufälliger Anteil der Messabweichung Übung 10: Messung der Schallgeschwindigkeit v = s/t Wiederholungsmessung der Laufzeit t = t ҧ ± t = 0,65s ± 0,05s Einzelmessung der Wegstrecke s = s ҧ ± s = 220m ± 2m Ermitteln Sie den Größtfehler von v! 36

37 2.3 zufälliger Anteil der Messabweichung Lösung Größtfehlerabschätzung lineare Fehlerfortpflanzung v = v t v t = s t 2 t + v s s v und = 1 s t Größtfehler v = sҧ tҧ 2 t + 1 tҧ s = 220m 0,65 2 s 2 0,05s + 1 0,65s 2m = 26,04 + 3,08 m s = 29,12 m s 37

38 2.3 zufälliger Anteil der Messabweichung Lösung Größtfehler v = sҧ tҧ 2 t + 1 ҧ t s = 220m 0,65 2 s 2 0,05s + 1 0,65s 2m = 26,04 + 3,08 m s = 29,12 m s Fehler Zeitmessung > Streckenmessung Angabe Messergebnis: v = sҧ t ҧ ± v = 338 m s ± 29 m s = 338 m s ± 8,6% 38

39 Übertragungsfunktion Kapazitiver Spannungsteiler Quelle: Stiny: Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik, S

40 Übertragungsfunktion Kapazitiver Spannungsteiler 40

41 Messunsicherheit Quelle: Stiny: Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik, S

42 Übertragungsfunktion 42

43 Übertragungsfunktion 43

44 Übertragungsfunktion Quelle: Stiny: Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik, S

45 Übertragungsfunktion Quelle: Stiny: Aufgabensammlung zur Elektrotechnik und Elektronik, S